Высшая математика. Толмачев В.Н.

Учебники. Математический анализ

Высшая математика. Толмачев В.Н.

Добрый день :)Я живу на этой планете почти 21 год, заканчиваю бакалавриат физтеха МИФИ и уже долгое время занимаюсь репетиторством.

Продолжаю тему учебников для института. В этом посте рассмотрю более подробно математический анализ. 1 курс.

Первый человек в матанализе, с которым должен познакомиться каждый первокурсник — Борис Павлович Демидович.

Его задачник(https://drive.google.com/file/d/1UXYijBUL9cxwvGn-158HidKf3uc…) был переведен на множество языков и используется повсеместно. В нем рассмотрены практический все задачи, которые вообще могут пригодиться учащимся — углубленное дифференцирование и интегрирование (в том числе и от нескольких переменных), подробное рассмотрение пределов и рядов. Одним словом — огромный торт применения матана. Четырьмя словами. Есть решебник. Насколько я понял, вконтакте есть и русская версия, но ее я никогда не трогал. В китайском подглядывали несколько сумасшедших задач — получалось все правильно.

Вторые два имени — Лев Дмитриевич Кудрявцев (https://alleng.org/d/math/math98.htm) и товарищ Фихтенгольц(https://nashol.com/2017052594676/osnovi-matematicheskogo-ana…). Их многотомники по теории математического анализа я считаю максимально полезными для изучения предмета, они примерно одинаково удобоваримы и понятны. Но лучше и лекции не прогуливать, конечно 🙂

1) Введение в матанализ.

Первое, с чем сталкиваются учащиеся — кванторы и различная новая символика. На этих символах построена вся база определений — кванторы упрощают записи слов.

Здесь советы особо не требуются — для понимания предмета кванторы нужно знать, все знаки в задачах и определениях также нужно знать и понимать отличие между эпсилон-окрестностью и проколотой эпсилон-окрестностью. Вопрос простой, а незнание может привести к неприятностям.

Наверняка у многих будут всякие разные коллоквиумы, поэтому с пониманием темы рекомендую не затягивать. Матан — наука, требующая перестройки ума, а на это необходимо время. Разбирайтесь!

2) Пределы.

«Что?! На ноль делить можно?»

Пределы — тема вечная. Что к чему стремится и каким образом это достигается. Сначала студентов долго мурыжат огромными пределами, заставляя упрощать или сводить к Замечательным пределам, затем страдающему дают — О, чудо! — правило Лопиталя. И все, студент неуязвим.

В этом разделе важно уметь видеть Замечательные пределы, которые часто не очевидны, чтобы не наделать ошибок, и очень важно знать и понимать определение предела по Коши — с помощью него дается понимание самого предела. Когда это определение станет понятно, то в голове сразу заиграет «елки-палки, да это же очевидно!».Вообще Коши — один из моих кумиров. Этот человек сделал столько для науки, сколько сейчас не делает весь мир.

Помимо Демидовича я бы советовал порешать пределы у Бермана(https://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&a…). У него есть и интересные пределы, и интересные вопросы — без знаний уйти не удастся. В то же время у него есть очень простые задачки, чтобы влиться.

И помните — на ноль делить можно только в пределе.

3) Производная и дифференцирование.

После пределов через появляется дифференцирование — одновременное изобретение Ньютона и Лейбница, которое они делили до конца жизни (https://ru.wikipedia.org/wiki/Спор_Ньютона_и_Лейбница_о_прио…). 
Производная — это счастье. Например, многие интегралы берутся очень сложно или даже не берутся вообще — производную можно взять всегда, поэтому самое важное — быть очень аккуратным и учить таблицу производных. И решать, решать, решать, брать километровые производные, чтобы в будущем применять и не сомневаться (применять придется много).
Если ничего не путаю, здесь же появится вишенка на торт дифференцирования — формула Тейлора. Эта вещь спасает жизнь, когда, казалось бы, проще умереть, чем решить. Используется довольно часто. Кстати, применять приближения Тейлора начинают еще с пределов, но там это сведено до сухой сути типа tgx~sinx~x. Остаточный член — не игрушка. Не отбрасывайте!

4) Интегрирование.

Решить задачу с анизотропностью? Найти объем банана? Все возможно, если с вами интеграл! Интегрирование — вещь темная. Если сходу видно как можно взять интеграл — счастливый случай. В большинстве случаев придется крутить интеграл вокруг да около или искать иные методы, которых очень много.

Что важно — перестроить голову после дифференцирования (на sin и cos особенно путаются) и учить таблицу и методы. Чем больше методов знает учащийся, тем ему проще (но это ни в коем случае не делает его умнее). Помню, на первом курсе писали контрольную по интегралам. Мне остался один, но я забыл к нему метод.

Я крутил-вертел его полчаса на двух листах, но взял! Преподаватель тогда мне слегка занизил балл за это извращение, но это все равно была победа.

Желаю всем своих собственных побед 🙂

Здесь же появится великолепная теорема о среднем, которая спасет некоторых от интеграла Пуассона при решении физических задач (но не всех).

В 3 и 4 пункте советую также книгу Фихтенгольца «Дифференциальное и интегральное счисление». Когда начнется выяснение сходимости, нужно быть таким же аккуратным, как и при вычислении предела. Чем больше признаков сходимости знает учащийся — тем ему проще в той или иной задаче. Но в особо высокие мотивы уходить тоже не надо.

Все эти признаки будут рассказаны. Я хочу обратить внимание на признак Ермакова — он так и не был доказан, хотя вроде бы работает и в некоторых изощренных случаях вполне упрощает жизнь. Страждущему уму рекомендую обратить внимание.

Из постоянно используемых методов рекомендую обратить внимание на признак Абеля — он очень красив, на мой взгляд.И не забывайте про константу интегрирования! 🙂 Рискну посоветовать обратить внимание на сайты, где за Вас программа возьмет интеграл. Злоупотреблять не надо, но проверять себя можно. А если студент начнет осваивать великий Маткад — ууу…

5) Ряды.

В жизни практически любого ученого нельзя убежать от двух фамилий — Коши и Фурье. И именно ряды Фурье повсеместно встречаются. При изучении рядов очень пригодится повторение формулы по нахождению суммы бесконечно убывающего ряда.  Ряды — вещь простая и приятная. Обратите внимание, для каждого ряда есть свой признак, не нужно смешивать (я про знакопеременные или знакопостоянные ряды, например).

Плюс к задачнику Бермана смею порекомендовать также задачник Гюнтера — https://www.studmed.ru/gyunter-nm-kuzmin-ro-sbornik-zadach-p…

У него есть и матан, и диффуры, и немножко ангема и даже кусочек физики. Абсолютно адекватный задачник без лишних изысков или чрезмерной простоты.

Далее у кого-то начнется теория поля (градиент, ротор, дивергенция), у кого-то теория групп(гомоморфизм), но это уже совсем другая история :)В матане главное очень много решать, набивать руку, чтобы в дальнейшем выполнять большую часть операций на автомате, не тратя лишних сил.

Для этого нужно взять сто интегралов, посчитать сто производных и доказать сходимость ста рядов. 🙂

В конце хочется дать очень простой совет — разбирайтесь. Не отвечайте по принципу «потому что Танька так сказала» или «не знаю, у меня так записано».

Каждая операция и каждый символ должен быть на своем месте и с конкретной целью. Иначе обучение пройдет мучительно и абсолютно бестолково.

У меня остались лекции от одного из моих замечательных преподавателей, который сейчас, к сожалению, уже ушел в мир иной, но его знаниями мы пользуемся и сейчас — https://yadi.sk/d/VdKVvMmTN3wEbg

Буду очень рад узнать ваше мнение.

Вот моя рабочая почта — alexjuriev3142@gmail.com. Если у Вас есть какие-то ко мне вопросы — пишите туда, я буду рад помочь. Если хотите

Источник: https://pikabu.ru/story/uchebniki_matematicheskiy_analiz_6572699

Курс высшей математики — Шестаков А.А., Малышева И.А., Полозков Д.П

Высшая математика. Толмачев В.Н.

  • Книги и учебники →
  • Книги по математике

Купить бумажную книгуКупить электронную книгуНайти похожие материалы на других сайтахКак открыть файлКак скачатьПравообладателям (Abuse, DMСA)Название: Курс высшей математики. 1987.

Автор: Шестаков А.А., Малышева И.А., Полозков Д.П.

    Учебник представляет собой второй том курса высшей математики и является продолжением книги Мантурова О В , Матвеева Н. М «Курс высшей математики Линейная алгебра Аналитическая геометрия Дифференциальное исчисление функций одной переменной» (М., 1986) Он предназначен для студентов-заочников инженерно-технических специальностей втузов и написан в соответствии с программой по математике для указанных специальностей Большое внимание уделено разбору примеров и задач. Имеются задачи для самостоятельного решения.     Настоящая книга представляет собой второй том учебника по высшей математике для студентов-заочников инженерно-технических специальностей вузов, изучающих курс высшей математики по программе на 510 часов, утвержденной Минвузом СССР. Она является продолжением книги Мантурова О. В., Матвеева Н. М. «Курс высшей математики: Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной» (М., 1986). учебника отвечает указанной программе, причем названия глав и параграфов почти дословно повторяют соответствующие пункты программы.    В книге дано систематическое изложение соответствующих разделов курса высшей математики на достаточном для втуза уровне строгости, разобраны примеры, приведены упражнения для самостоятельного решения.В настоящем учебнике учтен накопленный авторами опыт преподавания высшей математики во Всесоюзном заочном институте инженеров железнодорожного транспорта, в частности, использован курс лекций, прочитанный проф. А. А. Шестаковым.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . 6

Глава I. Неопределенный интеграл 8

§11. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства 8§ 1 2. Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования . 17§ 1.3. Интегрирование рациональных функций 34§ 1.4 Метод рационализации. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций 43$ 1.5. О таблицах неопределенных интегралов Интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях 52

Глава II. Определенный интеграл 54

§2.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический и механический смысл определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона — Лейбница 54§ 2.2. Площадь как предел. Интегральные суммы Дарбу. Признаки существования определенного интеграла Вычисление площади с помощью интеграла. Классы интегрируемых функций 67§ 2 3. Вычисление определенного интеграла Интегрирование разложением, подстановкой и по частям Приближенное вычисление определенного интеграла. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона 72§ 2.4. Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей вращения …. 83§ 2.5 Кривизна плоской линии. Центр и окружность кривизны Эволюта и эвольвента. Кривизна пространственной линии Формулы Френе …. 97§ 2.6. Несобственное интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от неограниченной подынтегральной функции Основные свойства. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости . . 108§ 2.7. Интегралы, зависящие от параметра Непрерывность Дифференцирование и интегрирование по параметру Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Гамма- и бета-функции 118

Глава III Обыкновенные дифференциальные уравнения 125

§3.1. Дифференциальные уравнения первого порядка Задача Коши Теорема существования и единственности решения задачи Коши Понятие об общем, частном и особом решениях дифференциальных уравнений . . 125§ 3.2. Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям 134§ 3.3. Основные классы уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах- уравнения в полных дифференциалах, с разделяющимися переменными, линейные, однородные, уравнение Бернулли 136§ 3.4. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Метод Эйлера и его модификации Метод Рунге — Кутта 149§ 3.5. Дифференциальные уравнения высших порядков Задача Коши Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка 153§ 3.6. Линейные дифференциальные уравнения. Понятие однородного и неоднородного уравнения. Однородное линейное уравнение, его общее решение. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами 159§ 3 7. Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка (дополнения)  167§ 3.8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида f 170§ 3.9. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида (дополнения) 179§ 3.10. Понятие о краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений 181

Глава IV. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений …. 185

§ 4.1. Нормальные системы дифференциальных уравнений и векторная форма их записи. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Понятие об общем, частном, особом и составном решениях. Метод исключения 185§ 4.2. Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Структура общего решения Решение в случае простых корней характеристического уравнения …. 193§ 4.3. Структура общего решения линейной нормальной однородной системы с постоянными коэффициентами. Линейная независимость собственных векторов квадратной матрицы 203§ 4.4. Нормальные системы линейных неоднородных дифференциальных уравнении с постоянными коэффициентами. Векторно-матричная форма записи. Структура общего решения , . 206

Глава V. Элементы теории устойчивости 210

§ 5.1. Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Типы точек покоя для системы двух уравнений 210§ 5.2. Нелинейные автономные системы. Понятие о функции Ляпунова. Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости 226

Глава VI. Кратные интегралы 231

§ 6.1. Двойные и тройные интегралы, их свойства. Геометрический и физический смысл интегралов. Представление об интегралах любой кратности 231§ 6.2. Вычисление двойных н тройных интегралов в декартовых координатах 240§ 6.3. Переход от декартовых координат к полярным. Замена переменных в кратных интегралах Переход от декартовых координат к цилиндрическим и сферическим 248§ 6.4. Применение кратных интегралов для вычисления объемов и площадей, для решения задач механики 262

Глава VII. Криволинейные и поверхностные интегралы 267

§ 7.1. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление. Геометрические и физические приложения. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода Формула Грина 267§ 7.2. Площадь поверхности. Определение поверхностных интегралов первого и второго роДа, их свойства и вычисление. Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода 278

Глава VIII. Векторный анализ 288

§ 8.1. Скалярные и векторные ноля. Линии и поверхности уровня скалярного поля. Производная по направлению. Градиент скалярного поля, его координатное и инвариантное определения Векторные линии и их дифференциальные уравнения 288§ 8.2. Поток векторного поля через поверхность. Физический смысл потока в поле скоростей жидкости. Вычисление потока. Формула Остроградского 293§ 8.3. Дивергенция векторного поля, ее инвариантное определение и физический смысл. Вычисление дивергенции. Соленоидальные (трубчатые) поля 298§ 8.4. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Формула Стокса. Ротор поля, его координатное и инвариантное определения Физический смысл ротора в поле скоростей. Условия независимости линейного интеграла от пути интегрирования . . 300 § 8 5. Потенциальное поле. Условие потенциальности поля. Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле . , 306§ 8.6. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка в векторном анализе. Оператор Лапласа, его выражение в декартовых, цилиндрических и сферических координатах 308Ответы к упражнениям 312Литература 316Предметный указатель
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Курс высшей математики — Шестаков А.А., Малышева И.А., Полозков Д.П. — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu

Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу

Скачать книгу Курс высшей математики — Шестаков А.А., Малышева И.А., Полозков Д.П. — depositfiles

Скачать книгу Курс высшей математики — Шестаков А.А., Малышева И.А., Полозков Д.П. — letitbit

30.05.2011 16:36 UTC

скачать учебник по высшей математике бесплатно :: высшая математика :: Шестаков :: Малышева :: Полозков :: задача Коши :: метод Эйлера

 

Источник: https://obuchalka.org/2011053055306/kurs-visshei-matematiki-shestakov-a-a-malisheva-i-a-polozkov-d-p.html

Biz-books
Добавить комментарий