Вычисление интегралов с помощью вычетов. Василего И.П.

2.5.2. ВЫЧЕТЫ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ КОШИ О ВЫЧЕТАХ

Вычисление интегралов с помощью вычетов. Василего И.П.

Определение. Точки комплексной плоскости, в которых однозначная функция f(z) является аналитической, называют правильными точками этой функции, а точки, в которых f(z) не является аналитиче­ской, называют особыми точками (в частности, точки, в которых f(z) не определена).

Определение. Точка z0 называется нулем (корнем) порядка (кратности) аналитической функции f(z),если:

а)

б)  существует, конечен и не равен нулю.

Если  целые положительные числа), то­гда  – нули (корни) этого многочлена, которые имеют соответственно порядки (кратности) .

Определение. Пусть f(z) аналитическая функция в окрестности точки z0, за ис­ключением самой точки z0. В этом случае точка z0 называется изолированной особой точкой функции f(z).

Различают изолированные особые точки одно­значной функции трёх типов:

1) устранимую особую точку – изолированную особую точку z0 , в которой существует конечный предел:

;                                                 (2.40)

2) полюс k-го порядка – изолированную особую точку z0, в которой существует конечный предел, не равный нулю:

                                                    (2.41)

если , то z0 – полюс первого порядка (простой полюс);

3) сущест­венно особую точку – изолированную особую точку z0, которая не является ни уст­ранимой, ни полюсом. То есть   не существует, ни конечный, ни бесконечный.

Теорема (о связи между нулем и полюсом). Если точка z0  – нуль порядка к функции f(z), то для функции 1/f(z) эта точка является полюсом порядка к.

Пусть f(z) – функция, аналитическая в каждой точке об­ласти D, за исключением конечного числа изолированных осо­бых точек, и L — кусочно-гладкий замкнутый контур, целиком лежащий в области D и не проходящий через особые точки функции f(z).

Если в области, ограниченной контуром L, не содержится особых точек функции   f(z), то по основной теореме Коши

.

Если же в области, ограниченной контуром L, имеются особые точки функции f(z), то значение этого интеграла, вообще говоря, отлично от нуля.

Определение.Вычетом аналитической функции f(z) относительно изо­лированной особой точки z0 (или в точке z0) называется комплексное число, равное значению интеграла  , где L – любой кусочно-гладкий замкнутый контур, лежащий в облас­ти аналитичности функции f(z) и содержащий внутри себя един­ственную особую точку z0 функции f(z).

Вычет f(z) относительно точки z0 обозначается симво­лом resf(z0)(Resf(z0)) или  так, что имеем:

.                                        (2.42)

Вычет функции относительно устранимой особой точки равен нулю:

.                                                   (2.43)

Вычет f(z) относительно простого полюса  можно найти по формуле:

.                                      (2.44)

Вычет f(z) относительно полюса порядка к находят по формуле:

.                                 (2.45)

Если причем точка  является простым нулем и не является нулем для , то:

.                                                 (2.46)

Основная теорема Коши о вычетах. Если функция f(z) аналитическая в замкнутой области , ограниченной контуром L, за исключением конечного числа особых точек , лежащих внутри ,то:

.                               (2.47)

Эта теорема имеет большое значение для приложений.

Од­но из них – это вычисление некоторых интегралов от функции комплексной переменной.

Замечание.

В предыдущих рассуждениях о вычетах неявно предпола­галось, что рассматриваются конечные изолированные особые точки (это ясно из того, что интеграл по замкнутому контуру по умолчанию брался в положительном направлении, т.е.

против часовой стрелки, а особая точка при этом попадает внутрь конту­ра только в случае, когда она конечна). В случае же, когда рас­сматривается бесконечно удаленная точка, ситуация несколько иная. Точнее, сформулируем это так.

Определение.Вычетом функции f(z) относительно бесконечно уда­ленной точки  называют интеграл:

,

где L – замкнутый кусочно-гладкий контур, целиком лежащий в той ок­рестности точки , в которой функция f(z) является анали­тической. Интегрирование по Lсовершается в отрицательном направлении этого контура, т.е. так, чтобы при обходе контура бесконечно удаленная точка оставалась слева. Таким образом:

                                        (2.48)

Пример 1

Найти интеграл от функции комплексного переменного, используя основную теорему Коши о вычетах:

.

Решение

1) Определим изолированные особые точки подинтегральной функции, согласно теореме (2.47):

Особые точки:   .

2) Определим точки, лежащие внутри области интегрирования, изобразим область  графически (рис. 2.7).

Точку z = 1 не рассматриваем, так как она не лежит внутри области .

3) Определим тип рассматриваемой изолированной особой точки z = 0. Найдем предел по формуле (2.41):

Так как предел существует, то z = 0 – полюс первого порядка (простой полюс).

4) Найдем вычет функции  относительно простого полюса z = 0, используя формулу (2.44):

5) Определим значение интеграла по основной теореме Коши о вычетах (2.47):

Ответ

Пример 2

Найти интеграл от функции комплексного переменного,  используя основную теорему Коши о вычетах:

.

Решение

1) Определим изолированные особые точки подинтегральной функции, согласно теореме (2.47):

Особые точки:   .

2) Определим точки, лежащие внутри области интегрирования, изобразим область  (рис. 2.8).

Обе особые точки   лежат внутри области интегрирования.

3) Определим тип рассматриваемых изолированных особых точек  . Найдем предел по формуле (2.41):

а)

так как предел существует, то z = -1 – полюс первого порядка (простой полюс).

б)

так как предел существует, то z = -2 – полюс первого порядка (простой полюс).

4) Найдем вычеты функции  относительно простых полюсов и      используя формулу (2.44):

5) Определим значение интеграла по основной теореме Коши о вычетах (2.47)

Ответ: 2

Источник: http://libraryno.ru/2-5-2-vychety-vychislenie-integralov-s-pomosch-yu-osnovnoy-teoremy-koshi-o-vychetah-2013_matem_dop/

Применение вычетов к вычислению интегралов

Вычисление интегралов с помощью вычетов. Василего И.П.

Основная теорема о вычетах:

Пусть -аналитическая функция в замкнутой области , кроме конечного числа изолированных особых точек , ,…,  (полюсов или существенно особых точек). Тогда интеграл от функции по контуру , содержащему внутри себя эти точки и целиком лежащему в области , равен произведению  на сумму вычетов в указанных особых точках, т.е.

.                                                                                      (32)

Задача 15.а). Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в задаче 14.

Особые точки  лежат в круге , тогда:

.

Задача 15.б).Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в задаче 14.

Особые точки , .

.

Вариант 1

1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел  и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. , .

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству , .

4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: .

5. Найти значение выражения  ( )

6. Дано . Тогда

7. Дана функция , где . Тогда

8. Найти действительную и мнимую часть .

9. Пусть , ,тогда ?

10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , , .

11. Найти аналитическую функцию  по следующим данным: , .

12. Вычислить интеграл ,         АВ: , , .

13. Разложить функцию в ряд Лорана: ,  .

14. Найти вычеты функций:

а) б)

15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:

а) б)

Вариант 2

1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел  и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. , .

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству , Rez-1.

4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: .

5. Найти значение выражения  ( )

6. Дано . Тогда

7. Дана функция , где . Тогда

8. Найти действительную и мнимую часть .

9. Пусть  , , тогда ?

10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , .

11. Найти аналитическую функцию  по следующим данным: , .

12. Вычислить интеграл . , .

13. Разложить функцию в ряд Лорана: , .

14. Найти вычеты функций:

а) б)

15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:

а) б)

Вариант 3

1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел  и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. , .

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству , Rez-1.

4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: .

5. Найти значение выражения  ( )

6. Дано . Тогда

7. Дана функция , где . Тогда

8. Найти действительную и мнимую часть .

9. Пусть  , , тогда ?

10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , , , .

11. Найти аналитическую функцию  по следующим данным: .

12. Вычислить интеграл , АВ – отрезок прямой , .

13. Разложить функцию в ряд Лорана: ,  .

14. Найти вычеты функций:

а) б)

15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:

а) б)

Вариант 7

1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел  и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. , .

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству .

4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: .

5. Найти значение выражения  ( )

6. Дано . Тогда

7. Дана функция , где . Тогда

8. Найти действительную и мнимую часть .

9. Пусть  , , тогда ?

10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , , .

11. Найти аналитическую функцию  по следующим данным: .

12. Вычислить интеграл , АВ – отрезок прямой , .

13. Разложить функцию в ряд Лорана: ,  .

14. Найти вычеты функций:

а) б)

15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:

а) б)

Вариант 8

1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел  и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. , .

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству , , .

4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: .

5. Найти значение выражения  ( )

6. Дано . Тогда

7. Дана функция , где . Тогда

8. Найти действительную и мнимую часть .

9. Пусть  , , тогда ?

10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , .

11. Найти аналитическую функцию  по следующим данным:

.

12. Вычислить интеграл , АВС – ломаная , , .

13. Разложить функцию в ряд Лорана: ,  .

14. Найти вычеты функций:

а) б)

15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:

а) б)

Вариант 9

1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел  и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. , .

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству , , .

4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: .

5. Найти значение выражения  ( )

6. Дано . Тогда

7. Дана функция , где . Тогда

8. Найти действительную и мнимую часть .

9. Пусть  , , тогда ?

10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , , .

11. Найти аналитическую функцию  по следующим данным: .

12. Вычислить интеграл , АВ , ВС — отрезок прямой , .

13. Разложить функцию в ряд Лорана: ,  .

14. Найти вычеты функций:

а) б)

15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:

а) б)

Вариант 10

1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел  и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. , .

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству , .

4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: .

5. Найти значение выражения  ( )

6. Дано . Тогда

7. Дана функция , где . Тогда

8. Найти действительную и мнимую часть .

9. Пусть  , , тогда ?

10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , , .

11. Найти аналитическую функцию  по следующим данным: .

12. Вычислить интеграл , АВС – ломаная , , .

13. Разложить функцию в ряд Лорана: ,  .

14. Найти вычеты функций:

а) б)

15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:

а) б)

Вариант 11

1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел  и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. , .

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству , , .

4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: .

5. Найти значение выражения  ( )

6. Дано . Тогда

7. Дана функция , где . Тогда

8. Найти действительную и мнимую часть .

9. Пусть  , , тогда ?

10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , ,.

11. Найти аналитическую функцию  по следующим данным: , .

12. Вычислить интеграл ,  — граница области: .

13. Разложить функцию в ряд Лорана: ,  .

14. Найти вычеты функций:

а) б)

15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:

а)   б)

Вариант 12

1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел  и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. , .

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству , .

4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: .

5. Найти значение выражения  ( )

6. Дано . Тогда

7. Дана функция , где . Тогда

8. Найти действительную и мнимую часть .

9. Пусть  , , тогда ?

10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , .

11. Найти аналитическую функцию  по следующим данным: , .

12. Вычислить интеграл , АВС – ломаная , , .

13. Разложить функцию в ряд Лорана: ,  .

14. Найти вычеты функций:

а) б)

15. Вычислить интеграл с помощью вычетов, найденных в предыдущей задаче:

а) б)

Вариант 13

1. Найти сумму, разность, произведение, частное комплексных чисел  и , и значение выражения . Результаты вычислений изобразить на комплексной плоскости. , .

2. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

3. Найти и изобразить на плоскости множество значений комплексных чисел, удовлетворяющих неравенству , .

4. Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме: .

5. Найти значение выражения  ( )

6. Дано . Тогда

7. Дана функция , где . Тогда

8. Найти действительную и мнимую часть .

9. Пусть  , , тогда ?

10. Заданы уравнения линий, ограничивающих область D. Найти ее образ при дробно-линейном отображении . D: , , .

11. Найти аналитическую функцию

Дата добавления: 2018-02-13; просмотров: 1005; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения:При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9739 — | 7449 — или читать все…

Источник: https://studopedia.ru/20_6370_primenenie-vichetov-k-vichisleniyu-integralov.html

Вычисление интегралов с помощью вычетов

Вычисление интегралов с помощью вычетов. Василего И.П.

Рассмотрим несколько примеров на применение вычетов к вычислению интегралов по замкнутому контуру, т.е. на применение основной теоремы о вычетах (утверждение 4.6 , формула (4.19)). Использование формулы (4.19) предполагает выполнение ряда действий, связанных с формой ее записи.

Алгоритм вычисления контурных интегралов с помощью вычетов

1. Найти особые точки функции .

2. Определить, какие из этих точек расположены в области , ограниченной контуром . Для этого достаточно сделать чертеж: изобразить контур и отметить особые точки.

3. Вычислить вычеты в тех особых точках, которые расположены в области.

4. Записать результат по формуле (4.19):

▼ Примеры 4.28-4.35 вычисления контурных интегралов с помощью вычетов

Пример 4.28. Вычислить контурный интеграл .

Решение

Записываем решение по алгоритму.

1. Конечными особыми точками функции являются нули знаменателя, , то есть . Заметим, что все точки — простые нули знаменателя, следовательно, простые полюсы .

2. Контуром интегрирования является окружность , а точки расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность (рис. 4.4). Поэтому в область, ограниченную контуром, попадают точки и .Заметим, что .

3. Находим вычеты в точках и по формуле (4.24):

Записываем ответ:

Пример 4.29. Вычислить интегралы: а) ; б) .

Решение

Единственной конечной особой точкой каждой из подынтегральных функций является — существенно особая точка. В обоих случаях она принадлежит области, ограниченной контуром интегрирования. Вычеты находим, раскладывая функции по степеням (см. примеры 4.23, 4.24). Получаем

Записываем ответ: a) ; б) .

Пример 4.30. Вычислить интегралы: a) ; б) .

Решение

а) Воспользуемся алгоритмом.

1. Находим конечные особые точки функции — корни уравнения , то есть , или .

2. В область входят точки . так как и . Другие точки не принадлежат кругу , так как для них . В этом можно также убедиться, сделав чертеж.

3. Точка — устранимая особая точка функции, так как ; поэтому .Точка является полюсом первого порядка , так как она — простой нуль знаменателя, а числитель при этом не обращается в нуль, т.е. функция может быть записана в виде . Вычет вычисляем по формуле (4.24):

4. Запишем ответ: .

б) Воспользуемся алгоритмом.

1. Особыми точками функции являются нули знаменателя, т.е. корни уравнения , или , то есть .

2. Из всех точек кругу принадлежит только одна точка .

3,4. Находим вычет в точке — простом полюсе

Записываем ответ: .

Пример 4.31. Вычислить контурные интегралы: а) ; б) .

Решение

а) Особыми точками функции являются простые полюсы и . Точка не принадлежит области , а точки расположены на окружности , следовательно, входят в область . Применяя формулу (4.19), можно найти вычеты в этих точках и получить ответ:

Чтобы не вычислять вычеты в 15 особых точках , используем обобщенную теорему о вычетах (формулу (4.20)). В данном случае она имеет вид и, следовательно,

Точка — простой полюс , и вычет находим по формуле (4.24):

Точка — устранимая особая точка для и . Вычет вычисляем по формуле (4.26):

Получаем ответ: .

б) Особыми точками функции являются — простой полюс и — существенно особая точка. Обе точки принадлежат кругу .

Вычет в точке находим по формуле (4.24): . Для нахождения вычета в точке -существенно особой точке — нужно найти коэффициент , т.е. записать разложение функции в ряд по степеням . Для этого записываем разложения функций и , перемножаем ряды и находим — коэффициент при степени .

Если, как и в предыдущем случае, использовать формулу (4.20), то задача вычисления интеграла упрощается, так как нет необходимости вычислять вычет в существенно особой точке . Действительно, из

следует .

Поэтому и .

Пример 4.32. Вычислить интеграл , где — граница круга единичного радиуса с центром в точке a) ; б) .

Решение

Особыми точками подынтегральной функции являются — полюс первого порядка, — существенно особая точка и — устранимая особая точка (см. пример 4.21).

а) В круг входит одна точка . Находим вычет по формуле (4.24):

Получаем ответ: .

б) В круг входят две точки: — существенно особая точка и — устранимая особая точка. Поэтому

или, применяя формулу (4.20) (чтобы избежать вычисления вычета в существенно особой точке), получаем

Так как , находим по формуле (4.24):

Получаем ответ: .

Пример 4.33. Вычислить интегралы от многозначных функций:

а) ; б) .

Решение

При вычислении интегралов от многозначной функции предварительно нужно убедиться, что в области, ограниченной контуром интегрирования, подынтегральная функция допускает выделение однозначных ветвей.

Это возможно, если точка ветвления многозначного выражения не принадлежит области.

Выделение ветви определяется заданием значения функции в некоторой точке области (случай «а»)), если нет такого задания — интеграл вычисляется от всех ветвей (случай «б»)).

а) Точка ветвления функции не принадлежит кругу , и в этой области выражение допускает выделение однозначных ветвей . Нуль знаменателя — точка принадлежит кругу . Эта точка будет особой точкой для одной из ветвей, а именно для той ветви, для которой . Из условия и находим

при .

Но при этом . Следовательно, для выбранной ветви точка не является особой. Поэтому ветвь является в круге аналитической и интеграл равен нулю (см. формулу (2.54).

б) Точка ветвления функции не принадлежит кругу . В области выделяются однозначные ветви функции

Приравнивая нулю знаменатель, находим , то есть . Точка принадлежит кругу . Так как , то равенство выполняется при только для ветви, для которой . Для этой ветви точка является полюсом первого порядка и вычет в ней вычисляется по формуле (4.24):

Получаем ответ: .

Для других ветвей подынтегральная функция является аналитической и, следовательно, (см. формулу (2.54).

Пример 4.34. Вычислить интеграл от многозначной функции .

Решение

Точка ветвления функции не принадлежит области, по границе которой вычисляется интеграл. Возможно выделение однозначных ветвей и вычисление интеграла с использованием теоремы о вычетах.

Каждая из двух ветвей выражения может быть выделена заданием значения функции в одной из точек области. Обозначим, например, — ветвь, для которой , и — ветвь, где . Для каждого случая вычисляем интеграл, т.е.

, где , и , где .

В обоих случаях в область попадает одна особая точка — . Записываем результат, вычисляя вычет в точке

Пример 4.35. Вычислить интегралы:

a) , где — контур, состоящий из дуга окружности и отрезка прямой (рис. 4.5,а);

б) , где — контур, состоящий из верхней полуокружности и отрезка действительной оси (рис. 4.5,б).

Решение

a) В область, ограниченную контуром, входят две особые точки функции: — и — . Находим вычеты в этих точках:

Получаем результат: .

б) В область, ограниченную контуром, попадают две особые точки функции: и (см. пример 4.27). Обе точки — простые полюсы. Находим вычеты функции в этих точках и записываем результат:

Здесь учтено, что .

Рассмотренные выше примеры вычисления интегралов от функций комплексного переменного по замкнутому контуру с помощью вычетов показывают преимущество этого метода. Методу соответствует алгоритм, состоящий из несложных процедур. В случае вычисления вычетов в полюсах задача еще более упрощается и сводится к нахождению производных (см. формулы (4.22),(4.24)).

Прежде всего следует ожидать, что можно использовать аппарат вычетов при вычислении определенных интегралов от функции действительной переменной. В самом деле, если подобрать некоторую функцию, переводящую отрезок в замкнутую плоскую кривую , то вычисление интеграла можно свести к вычислению интеграла . Простейшая задача такого вида связана с преобразованием отрезка в окружность.

Интегралы вида

Здесь — рациональная функция аргументов и . Для вычисления таких интегралов в математическом анализе в общем случае, за исключением некоторых частных случаев, применяется замена («универсальная» подстановка ) и интеграл приводится к интегралу от рациональной дроби, а далее применяется соответствующий алгоритм интегрирования с простыми, но трудоемкими процедурами.

С другой стороны, отрезок изменения переменных можно рассматривать как изменение точки , принадлежащей окружности. Действительно, замена переводит отрезок в окружность . При этом для переменных и получаются несложные, причем рациональные, выражения через . По формулам Эйлера имеем

, то есть .

Из получаем , a поэтому . В результате получаем формулу, связывающую интеграл от действительной переменной с интегралом по замкнутой кривой от функции комплексного переменного:

(4.27)

Полученный справа интеграл есть интеграл от рациональной функции, особыми точками которой являются только полюсы.

Пример 4.36. Вычислить собственный интеграл с помощью вычетов.

Решение

Обозначим , тогда

Получаем интеграл . Особыми точками подынтегральной функции являются нули знаменателя — корни уравнения . Это точки и . Тогда знаменатель можно записать в виде . Точка не принадлежит области , а точка принадлежит и — полюс 2-го порядка. Находим вычет в точке — полюсе второго порядка:

В результате .

Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов

Еще больший интерес представляет возможность применения вычетов для вычисления несобственных интегралов вида , где интеграл понимается в смысле главного значения, т.е. (здесь отрезок ). Будем рассматривать функцию , непрерывную на .

Возможность использования вычетов при решении такой задачи основана на том, что отрезок действительной оси рассматривается как часть замкнутого контура , состоящего из этого отрезка и дуги окружности, а интеграл по контуру записывается в виде суммы:

, где — дуга окружности .

Несобственный интеграл определяется как предел:

Пример 4.37. Вычислить несобственный интеграл , используя вычеты.

Решение

Рассмотрим контур , состоящий из дуги — окружности и отрезка . Для функции имеем

(см. пример 4.35 п.»б»).

С другой стороны,

, или .

Оценим интеграл по дуге, учитывая неравенство для подынтегральной функции

, то есть для , где .

Получаем , поэтому .

В результате , то есть .

Интерес, с точки зрения применения вычетов, представляют интегралы , где функция такова, что , как в рассмотренном примере. Классы таких функций выделяются, и для всех функций рассматриваемого класса устанавливается формула .

Алгоритм вычисления несобственных интегралов с помощью вычетов

1. Проверить условия применения формулы (4.28) или (4.29) (см. утверждение 4.9).
2. Найти особые точки подынтегральной функции .
3. Вычислить вычеты в особых точках функции , расположенных:а) выше оси , если применяется формула (4.28);
б) ниже оси , если применяется формула (4.29).

4. Записать результат по формуле (4.28) или (4.29).

▼ Примеры 4.38-4.39

Пример 4.38. Вычислить интегралы: а) ; б) .

Решение

а) Воспользуемся алгоритмом.

1. Проверяем условия утверждения 4.9:

– так как в числителе многочлен степени , а в знаменателе , то условие выполняется;

– уравнение не имеет действительных корней, так как дискриминант трехчлена . Поэтому второе условие также выполняется.

2. Особыми точками функции являются полюсы второго порядка и .

3. Применим формулу (4.28). Для этого вычислим вычет в точке

4. Записываем ответ: .

б) Воспользуемся алгоритмом.

1. Условия утверждения 4.9 выполняются. Можно использовать формулу (4.28). Подынтегральная функция является четной.

2. Особыми точками функции являются полюсы третьего порядка и .

3. Находим вычет в точке

4. Записываем ответ: .

Пример 4.39. Вычислить несобственные интегралы с помощью вычетов:

а) ; б) .

Решение

Условия применения формул вычисления интегралов с помощью вычетов выполняются.

Заметим, что в отличие от предыдущих примеров здесь подынтегральные функции являются комплекснозначными и может быть комплексным числом.

а) Особыми точками функции являются , и корни уравнения , то есть и . Три точки расположены в верхней полуплоскости, одна — в нижней. Будем применять формулу (4.29). Вычисляем вычет в точке — простом полюсе подынтегральной функции по формуле (4.24):

Получаем ответ: .

б) Особыми точками функции являются корни уравнения , то есть . Все особые точки — простые полюсы функции; две расположены в верхней полуплоскости, две — в нижней. Используем формулу (4.28), рассмотрим точки и .

Вычисляя вычеты по формуле (4.24), записываем результат (при этом учитывается, что ):

или, так как , то .

Выше рассматривались интегралы вида , где и для . Но такими интегралами не исчерпывается класс сходящихся несобственных интегралов .

Например, сходящимися, согласно признаку Абеля, являются интегралы , где и функции удовлетворяют условиям:

а) непрерывна и имеет ограниченную первообразную на , т.е. для любого справедливо неравенство ;

б) — непрерывно дифференцируема на и, монотонно убывая, стремится к нулю при , то есть

▼ Пример 4.40

Пример 4.40. Исследовать сходимость интегралов:

а)

б)

в)

Решение

а) Все интегралы расходятся по определению, так как не существует конечного предела .

б) Все интегралы сходятся по признаку Абеля. Функции или или удовлетворяют указанным выше условиям.

в) Запишем в виде суммы:

Определенный интеграл есть число, а первое слагаемое заменой приведем к виду , то есть . Тогда на основании результата, полученного в п. «б», можно сделать вывод о том, что оба интеграла, рассматриваемые в данном пункте, сходятся. При этом как интеграл от нечетной функции, a как интеграл от четной функции.

В качестве обобщения можно на основании признака Абеля сделать заключение, что сходящимися являются интегралы вида

, где и для .

Вычисление таких интегралов и приводящихся к ним интегралов методам математического анализа (нахождение первообразной) представляет в большинстве случаев определенные трудности.

Воспользуемся предложенным выше приемом сведения вычисления несобственного интеграла к вычислению интеграла по замкнутому контуру от функции комплексного переменного:

Заметим, что запись без исследования, в частности без доказательства равенства , не имеет основания и может привести к ошибкам. Так, для интеграла из примера 4.40 имеем

, но и ,

где — контур, состоящий из дуги и отрезка . Поэтому в данном случае .

Будем рассматривать , где и и , а принимает действительные значения. Такой интеграл сходится, так как он может быть записан в виде суммы двух сходящихся интегралов:

(4.30)

Лемма Жордана

Доказательство возможности применения вычетов к вычислению интеграла основано на следующем утверждении.

Утверждение Жордана (4.10). Пусть функция непрерывна в области и , где — дуга окружности . Тогда для любого справедливо равенство

(4.31)

Замечания 4.7

1. Формула (4.31) верна для любого действительного . На рис. 4.6 изображены контур и дуга для случаев .

2. Формула (4.31) верна и при любом . При этом — дуга окружности . Справедливость этого заключения получается из леммы пуnем замены на , что в силу геометрически соответствует повороту на (рис. 4.7).

3. Большой интерес в приложениях представляет запись леммы, получаемая заменой . Геометрически это соответствует повороту на угол , так как . Для дуг окружностей 1) при и 2) при (рис. 4.8) имеет место формула

(4.32)

В частном случае (см. рис. 4.6,б и рис. 4.7,б) лемма применяется для вычисления интегралов с помощью вычетов. Кроме того, если функция принимает только действительные значения при , то, используя равенство (4.30), получаем возможность вычислять с помощью вычетов интегралы и . Первый из них является действительной частью, второй — мнимой частью интеграла .

Для рассматриваемых в данном пункте интегралов функция удовлетворяет лемме Жордана. Подводя итог приведенным рассуждениям, запишем следующее утверждение.

Утверждение 4.11. Пусть — рациональная функция, не имеющая особых точек на действительной оси (т.е. для ), для которой точка — нуль порядка не ниже первого (т.е. ). Тогда справедливы формулы:

1) при

(4.33)

2) при

(4.34)

3) при

(4.35)

(4.36)

Алгоритм вычисления интегралов

1. Проверить условия для функции , записанные в утверждении 4.11.
2. Вычислить вычеты функции во всех ее особых точках:а) лежащих выше оси , в случае ;
б) лежащих ниже оси , в случае .3.

Записать результат по формуле (4.33) при и по (4.34) при .

4. Для вычисления интегралов и в результате, полученном в п.

3, отделить действительную и мнимую части и записать ответы для указанных интегралов по формулам (4.35) и (4.36).

▼ Примеры 4.41-4.43

Пример 4.41. Вычислить несобственные интегралы: а) ; б) .

Решение

Приведем интегралы к виду и воспользуемся алгоритмом.

а) Так как подынтегральная функция четная, то можно записать

. Введем функцию , для которой является мнимой частью, т.е. рассмотрим .

1. Функция удовлетворяет условиям: для действительных .

2. Так как здесь , применяем формулу (4.33) или (4.36), т.е. рассматриваем только те особые точки функции , которые лежат выше оси . Функция имеет две особые точки: и . Используя (4.24), вычисляем вычет в точке — простом полюсе:

Так как , то по формуле (4.36) записываем ответ:

б) Рассматриваем интеграл .

1. Условия применения формул выполняются: функция в точке имеет нуль порядка и на действительной оси не имеет особых точек. Особые точки функции: .

2. Так как , вычисляем вычет в точке — простом полюсе функции по формуле (4.24):

3. Для интеграла по формуле (4.33) получаем результат:

4. Записываем ответ: .

Используя формулу (4.35), пп. 3,4 можно объединить:

где ;

В результате получаем ответ: .

Пример 4.42. Вычислить несобственный интеграл .

Решение

Находим особые точки функции и . Так как , рассматриваем точки и — ; — . Находим вычеты функции в этих точках:

Используя формулу (4.35), получаем

Заметим, что , так как функция — нечетная, что соответствует вычислениям по формуле (4.36): — мнимое число и .

Пример 4.43. Вычислить интегралы: а) ; б) .

Решение

а) Применяем формулу (4.33), так как , т.е. рассматриваем только точки верхней полуплоскости.

Но обе особые точки функции , точки и расположены в нижней полуплоскости. Поэтому интеграл равен нулю.

б) Требуется, как и в предыдущем пункте, вычислить интеграл от комплекснозначной функции действительной переменной. При вычислении рассматривается та ветвь двузначного выражения , для которой задано значение в точке .

Функция удовлетворяет условиям применения формулы (4.33). Так как здесь , рассматриваем вычет в точке

Получаем ответ: .

Источник: http://MathHelpPlanet.com/static.php?p=vychisleniye-integralov-s-pomoshchyu-vychetov

Biz-books
Добавить комментарий