Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М

Введение в мат анализ в вопросах и задачах. Учебное пособие Анчиков А.М

Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

А.М. Анчиков, Р.Л. Валиуллин, Р.А. Даишев

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ.

Казань 2006

ÓÄÊ 517.5

Печатается по решению Редакционно-издательского совета физического факультета

Казанского государственного университета

Рецензент к.ф.-м.н., доцент М.П. Желифонов

А.М. Анчиков, Р.Л. Валиуллин, Р.А. Даишев. Введение в математический анализ в вопросах и задачах.Казань, 2006.

Данное пособие предназначено для студентов 1-го курса физического факультета.

Оно призвано помочь студентам, только что поступившим на первый курс физического факультета Казанского государственного университета, преодолеть барьер между школьной и вузовской математикой, между способами изучения математики в средней школе и на физиче- ском факультете университета. В н¼м кратко излагаются основные понятия, определения и теоремы по методам математической индукции, теории числовых последовательностей, функций одного аргумента, их пределов и непрерывности. В каждом параграфе предлагаются контрольные вопросы и задания, приводятся решения множества примеров и задач, а также приводятся задачи и упражнения, предназначенные для самостоятельной работы. Приводятся ответы и указания к решению наиболее трудных задач.

°c Казанский государственный университет, 2006.

Указатель основных обозначений.

N — множество натуральных чисел, Z — множество целых чисел,

R — множество вещественных чисел,

C — множество комплексных чисел, [ a; b ] — сегмент, (отрезок),

[ a; 1 ); ( a; 1 ); ( ¡1; a ]; ( ¡1; a ) — полупрямая, 9 x — существует такое x ,

8 x — для любого x,

x 2 X — число x принадлежит множеству X,

«»- окрестность» точки a ¡ на числовой оси — интервал

(a ¡ «; a + «) ;

на комплексной плоскости — открытый круг jz ¡ aj < ²; n" 2 N - натуральное число, зависящее от " > 0;

nM — натуральное число, зависящее от M(M может быть сколь угодно большим).

3

Ÿ1. Метод математической индукции.

А. Основные понятия и теоремы.

Доказательство верности гипотез в науке осуществляется экспериментальным, индуктивным или дедуктивным методами.

Дедуктивный метод — переход от общих утверждений к частным.

Индуктивный метод — метод рассуждения, при котором на основе рассмотрения нескольких частных предложений делается заключение об общем.

Полная индукция. Рассмотрим следующее утверждение. «Каждое четное натуральное число … в пределах от 1 до 100 представимо в виде суммы двух простых чисел.» Для этого перебираются все такие числа и выписываются соответствующие разложения:

4 = 2+2; 6 = 3+3; 8 = 5+3; ::::::; 98 = 93+5; 100 = 97+3:

Эти 49 равенств показывают, что каждое из интересующих нас чисел действительно представимо в виде суммы двух простых чисел. Общее утверждение доказано здесь перебором всех возможных частных случаев.

Такой метод перебора конечного числа случаев, исчерпывающих все возможности, называется полной индукцией. Этот метод имеет весьма ограниченную область применимости в математике.

Неполная индукция. Иногда общий результат удается предугадать после рассмотрения не всех, а достаточно большого числа частных случаев. Здесь мы имеем неполную индукцию. Результат, полученный неполной индукцией, остается, однако,

4

n — натураль-

лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. Неполная индукция может привести к ошибке.

Рассмотрим пример. Двухчлен xn ¡ 1; ãäå

ное число, разложим на множители с целыми коэффициентами. Рассмотрим эти разложения при многих частных значениях n:

Все коэффициенты разложения по абсолютной величине не превосходят единицы В самом деле,

(x ¡ 1) = x ¡ 1;

(x2 ¡ 1) = (x ¡ 1)(x + 1);

(x3 ¡ 1) = (x ¡ 1)(x2 + x + 1);

(x4 ¡ 1) = (x ¡ 1)(x + 1)(x2 + 1);

(x5 ¡ 1) = (x ¡ 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1);

(x6 ¡ 1) = (x ¡ 1)(x + 1)(x2 + x + 1)(x2 ¡ x + 1);

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

Попытки доказать этот факт для всякого n успеха не име-

ли. Оказалось, что указанным свойством обладают все двухчлены xn ¡1; степень которых меньше 105. Двухчлен x105 ¡1 имеет

один из множителей, равный x48 + x47 + x46 ¡ x43 ¡ x42 ¡ 2×41 ¡

x40 ¡x39 + x36 + x35 + x34 + x33 + x32 + x31 ¡x28 ¡x26 ¡x22 ¡x20 + x17 +x16 +x15 +x14 +x13 +x12 ¡x9 ¡x8 ¡2×7 ¡x6 ¡x5 ¡x2 +x+1;

который не обладает указанным выше свойством.

Можно привести множество других примеров, которые позволяют сделать простой и в то же время важный вывод.

5

Утверждение может быть справедливым в целом ряде слу- чаев и в то же время несправедливым вообще.

Теперь возникает вопрос. Имеется утверждение, справедливое в нескольких частных случаях. Все частные случаи рассмотреть невозможно. Как же узнать, справедливо ли утверждение вообще? Этот вопрос иногда удается решить посредством применения особого метода рассуждений, называемого методом математической индукции.

В основе этого метода лежит принцип, заключающийся в следующем:

Пусть A(n) — предложение (утверждение), зависящее от натурального числа n: Тогда, если 1±: A(n) справедливо при

n = n0 ¸ 1;2±: для любогоn = k ¸ n0 из справедливости
A(k) следует справедливостьA(k + 1); то предложение A(n)
справедливо для всех n ¸ n0:
Итак, при пользовании этой теоремой мы должны проверить
выполнение двух условий:n = n0 ¸ 1 (это базис
1) Предложение справедливо для
индукции),
2) Предложение справедливо дляn = k + 1 åñëè îíî ñïðà-
ведливо дляn = k; ãäå k — произвольное натуральное число

не меньшее n0 (это индукционный шаг).

Б. Контрольные вопросы и задания.

1. Приведите примеры дедуктивного и индуктивного рассуждений.

2. Что называется полной индукцией? Привести пример.

3. Приведите пример неполной индукции, которая приводит к ошибочным выводам.

6

4.В чем состоит метод математической индукции? Из каких этапов он состоит?

5.В чем принципиальные различия между рассуждением, опирающимся на неполную индукцию, и методом математиче- ской индукции?

6.Что общего у всех задач, которые решаются методом математической индукции?

В. Примеры решения задач.

Пример 1. Доказать, что при 8n 2 N справедливо равенство

1 + 3 + 5 + ::: + (2n ¡ 1) = n2:(1)

Решение. Сначала вычислим последовательные суммы нечет-

ных чисел: 1 = 12; 1 + 3 = 4 = 22; 1 + 3 + 5 = 9 = 32; 1 + 3 = 5 =

7 = 16 = 42: Можно ожидать, что прибавив к предыдущей сум-

ме следующее нечетное число 9, получим квадрат числа 5, т.е. 25. И действительно, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52: После этого мы

выдвигаем гипотезу, что имеет место утверждение (1). Первая часть математической индукции справедлива. Теперь проверим

выполнение второй части, т.е. если для 8k имеет место

1 + 3 + 5 + ::: + (2k ¡ 1) = k2;(2)

то будет выполнено равенство

1 + 3 + 5 + ::: + (2k ¡ 1) + (2k + 1) = (k + 1)2:(3)

7

Для доказательства к обеим частям (2) прибавим (2k + 1) :

[1 + 3 + 5 + ::: + (2k ¡ 1)] + (2k + 1) = k2 + (2k + 1): Íî, ïî

предположению, выражение в квадратных скобках равно k2: В результате получим тождество k2 + 2k + 1 = (k + 1)2:

Итак, (1) справедливо при n = 1; а из его справедливости при n = k вытекает справедливость и при n = k + 1: Тогда из справедливости при n = 1 следует, что оно справедливо и при n = 1 + 1 = 2; а тогда оно справедливо и при n = 2 + 1 = 3; è

ïðè n = 3 + 1 = 4 и вообще при всех n 2 N:
Пример 2. Доказать, что при 8n 2 Nè 8x ¸ ¡1 ñïðà-
ведливо неравенство Бернулли
(1 + x)n ¸ 1 + nx;(4)

à ïðè x = 0 справедливо равенство.

Решение. Ïðè n = 1 соотношение (4) справедливо, по-

скольку обращается в верное равенство. Далее предположим, что соотношение (4) справедливо для натурального числа k è

x > ¡1 :

Òàê êàê x > ¡1; òî 1 + x > 0: Умножим неравенство (5) на положительное число 1 + x :

(1 + x)k+1 ¸ 1 + kx + x + kx2:

Отбрасывая неотрицательное число kx2 в правой части, полу- чаем неравенство

(1 + x)k+1 ¸ 1 + (k + 1)x:

8

Этим доказано, что (5) справедливо для натурального числа

k + 1 èx > ¡1: Тем самым доказано, что (5) справедливо при
8n 2 Nè x > ¡1:
Пример 3. Найти сумму
Sn = ¡1 + 2 ¡ 3 + 4 ¡ 5 + ::: + (¡1)nn:(6)
Решение. РассмотримS1;S2; :::S6 :S1 = ¡1; S2 =
¡1 + 2 = 1; S3 = S2 ¡ 3 = ¡2; S4 = S3 + 4 = 2; S5 = S4 ¡ 5 =
¡3; S6 = S ¡ 5 + 6 = 3: С другой стороны:·2¸ ;
1 = ·1 2¸ = ·2¸ ; 2 =·2¸ =
+ 12 + 13 + 14 + 1
¸ = ·
3 =·5 22¸ :
+ 16 + 1
Здесь под [a] понимается целая часть числаa . Отсюда имеем
гипотезу:Sn = (¡1)n·2¸:(7)
n + 1
Для натуральных значений 1; 2;::: 6соотношение (7)справед-

ëèâî.

Предположим, что 8k > 6 соотношение (7)справедливо:

Sk = (¡1)k «2# :(8)
k + 1
Далее«2# + (¡1)k(k + 1) =
Sk+1 = Sk + (¡1)k+1(k + 1) = (¡1)k
k + 1

= (¡1)k+1

Заметим, что для 8n 2 N;

[n2 ] + [n+12 ] = n: Используя преды- 9

дущее равенство, имеемk+1+k = k + 1: Откуда(k + 1)¡
k+1k+2h2ih2 i= (¡1)k+1k+2
h 2i = h 2 i : Значит, приходим к Sk+1h 2i : Òåì
самым мы доказали справедливость равенства (7).
Пример 4. Найти Sn = 1 ¢ 1! + 2 ¢ 2! + 3 ¢ 3! + ::: + n ¢ n!:
Решение. Сначала находим S1 = 1¢1! = 1 èëè S1 = 2!¡1;
S2 = S1 + 2 ¢ 2! = 5èëè S2 = 3! ¡ 1; S3 = S2 + 3 ¢ 3! = 23; èëè
S3 = 4! ¡ 1; S4 = S3 + 4 ¢ 4! = 119 èëèS4 = 5! ¡ 1;откуда
следует гипотеза
Sn = (n + 1)! ¡ 1:(9)
Покажем справедливость (9) при любыхn: Ïðèn = 1 ãèïî-
теза верна. Пусть она верна при8 k > 1:
Sk = (k + 1)! ¡ 1:(10)
Далее вычисляемSk+1:

Sk+1 = Sk + (k + 1)(k + 1)! = [(k + 1)! ¡ 1] + (k + 1)(k + 1)! =

= (k + 1)! [1 + k + 1] ¡ 1 = (k + 1)! (k + 2) ¡ 1 = (k + 2)! ¡ 1:

Отсюда следует справедливость (9) и при n = k +1: Значит мы доказали справедливость (9) при 8 n 2 N:

Пример 5. Доказать, что

sin x + sin 2x + ::: + sin nx =

ãäå x =6 2¼m; à m ¡ целое число.

10

sin n+12xsin nx ;
x(11)
sin 22

Источник: https://studfile.net/preview/787328/

Математический анализ в вопросах и задачах, Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А., 2002

Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М
Математический анализ в вопросах и задачах, Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А., 2002.Пособие охватывает все разделы курса математического анализа функций одной и нескольких переменных.

По каждой теме кратко излагаются основные теоретические сведения и предлагаются контрольные вопросы; приводятся решения стандартных и нестандартных задач; даются задачи и упражнения для самостоятельной работы с ответами и указаниями.

ОГЛАВЛЕНИЕПредисловие

ГЛАВА I ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА

§ 1. Сравнение вещественных чисел § 2. Точные грани числового множества. Применение символов математической логики .§ 3. Арифметические операции над вещественными числами . § 4. Метод математической индукции

ГЛАВА II ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

§ 1. Ограниченные и неограниченные последовательности . § 2. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности . § 3. Свойства сходящихся последовательностей.§ 4. Замечательные пределы§ 5. Монотонные последовательности§ 6. Предельные точки§ 7. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности

ГЛАВА III ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

§ 1. Предел функции. Теоремы о пределах. Бесконечно большие функции.§ 2. Непрерывность функции в точке§ 3. Сравнение бесконечно малых функций. Символ «о малое» и его§ 4. Вычисление пределов функций с помощью асимптотических формул. Вычисление пределов показательно-степенных функций .

ГЛАВА IV ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

§ 1. Производная функции. Правила дифференцирования§ 2. Дифференциал функции§ 3. Производные и дифференциалы высших порядков.

ГЛАВА V НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл.§ 2. Простейшие неопределенные интегралы.§ 3. Метод замены переменной § 4. Метод интегрирования по частям.§ 5. Интегрирование рациональных функций.§ б. Интегрирование иррациональных функций.§ 7. Интегрирование тригонометрических функций

ГЛАВА VI ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

§ 1. Теоремы об ограниченности непрерывных функций.§ 2. Равномерная непрерывность функции § 3. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях§ 4. Правило Лопиталя§ 5. Формула Тейлора.

ГЛАВА VII ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

§ 1. Построение графиков явных функций.§ 2. Исследование плоских кривых, заданных параметрически.

ГЛАВА VIII ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 1. Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл § 2. Свойства определенного интеграла.§ 3. Формула Ньютона-Лейбница.§ 4. Вычисление длин плоских кривых.§ 5. Вычисление площадей плоских фигур.§ 6. Вычисление объемов тел§ 7. Физические приложения определенного интеграла

ГЛАВА IX МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

§ 1. Мера множества.§ 2. Измеримые функции§ 3. Интеграл Лебега.

ГЛАВА X ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 1. Последовательности точек в m-мерном евклидовом пространстве§ 2. Предел функции.§ 3. Непрерывность функции§ 4. Частные производные и дифференцируемость функции § 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков § 6. Локальный экстремум функции.

ГЛАВА XI НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

§ 1. Неявные функции§ 2. Зависимость функций.§ 3. Условный экстремум§ 4. Замена переменных.

ГЛАВА XII КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Двойные интегралы.§ 2. Тройные интегралы.§ 3. m-кратные интегралы.

ГЛАВА ХIII КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Криволинейные интегралы первого рода.§ 2. Криволинейные интегралы второго рода.§ 3. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования

ГЛАВА XIV ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Площадь поверхности§ 2. Поверхностные интегралы первого рода.§ 3. Поверхностные интегралы второго рода.§ 4. Формула Стокса .§ 5. Формула Остроградского Гаусса

ГЛАВА XV СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

§ 1. Дифференциальные операции в скалярных и векторных полях . .§ 2. Повторные дифференциальные операции в скалярных и векторных полях .§ 3. Интегральные характеристики векторных полей.§ 4. Основные дифференциальные операции векторного анализа в криволинейных ортогональных координатах.Ответы и указанияПредметный указатель

Примеры.

1. Что такое криволинейные координаты; координатные линии? Какие криволинейные координаты называются ортогональными?2. Что такое параметры Ламэ? Каков их геометрический смысл?3. Приведите примеры криволинейных ортогональных координат. Напишите формулы, связывающие прямоугольные координаты: а) с цилиндрическими координатами; б) со сферическими координатами. Изобразите на рисунке координатные линии для цилиндрических и сферических координат.4. Вычислите параметры Ламэ для цилиндрических и сферических координат двумя способами: а) по формулам для параметров Ламэ; б) используя вид координатных линий и геометрический смысл параметров Ламэ.5. Напишите с помощью кванторов определение ограниченного снизу множества. Постройте отрицание этого определения, пользуясь правилом построения отрицаний.6. Дайте определение точной верхней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества.7. Сформулируйте теорему о существовании точных граней числового множества.8. Докажите единственность точных граней, т. е. что ограниченное сверху (снизу) множество имеет только одну точную верхнюю (нижнюю) грань.
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Математический анализ в вопросах и задачах, Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А., 2002 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu

Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу

Скачать книгу Математический анализ в вопросах и задачах, Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А., 2002 — djvu — depositfiles.

Скачать книгу Математический анализ в вопросах и задачах, Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А., 2002 — djvu — Яндекс.Диск.

22.05.2013 16:05 UTC

математика :: Бутузов :: Крутицкая :: Медведев :: Шишкин

Следующие учебники и книги:

  • Тесты по математике, 4 класс, Рудницкая, 2011
  • Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы( с решениями), Сканави М.И., 1992
  • Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы, Сканави М.И., 1992
  • Математический кружок, Антье, Мордкович А., Смышляев В.

Предыдущие статьи:

  • Метод координат в геометрии, Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., Раббот Ж.М., 2003
  • Основы теории делимости и решение уравнений в целых числах, Бардушкин В.В., Кожухов И.Б., Прокофьев А.А., Фадеичева Т.П., 2004
  • Сборник геометрических задач на построение, Александров И.И., 1950
  • Задачи Санкт — Петербургской олимпиады школьников по математике, Берлов С.Л., Иванов С.В., Кохась К.П., Карпов Д.В., Храбров А.И., Петров Ф.В., 2000

>

Источник: https://obuchalka.org/2013052271371/matematicheskii-analiz-v-voprosah-i-zadachah-butuzov-v-f-krutickaya-n-ch-medvedev-g-n-shishkin-a-a-2002.html

Biz-books
Добавить комментарий