Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М

Содержание
  1. Математический анализ. Курс лекций
  2. 1.1. Комплексные числа (КЧ)
  3. Действия над КЧ
  4. Комплексная плоскость
  5. Декартова система. Полярная система
  6. Формула Эйлера
  7. Возведение в степень КЧ
  8. Формула Муавра
  9. Извлечение корня из КЧ
  10. 1.2. Функция, способы её задания, простейшие свойства
  11. Кванторы
  12. Общие свойства функций
  13. 1.3. Предел функции. Свойства пределов
  14. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел
  15. Теорема о связи предела и бесконечно малой величины
  16. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой величиной
  17. Свойства бесконечно малых величин
  18. Теоремы о пределах
  19. Сравнение бесконечно малых величин (б.м.в.)
  20. 1.4. Непрерывность функции в точке и на интервале
  21. Теоремы о непрерывных функциях
  22. Разрыв первого рода
  23. Разрыв второго рода
  24. Свойства функции, непрерывной на замкнутом отрезке
  25. 2.1. Производная функции. Её физический и геометрический смысл
  26. Механический смысл производной
  27. Геометрический смысл производной
  28. Вычисление производной
  29. 2.2. Правила дифференцирования
  30. Теорема о производной сложной функции
  31. Теорема о производной обратной функции
  32. Производная сложной степенной функции
  33. Производная неявной функции
  34. Производная параметрически заданной функции
  35. Гиперболические функции
  36. Производные высших порядков
  37. 2.3. Дифференциал
  38. Инвариантность формы дифференцирования
  39. Теорема Ролля, теорема о корнях производных
  40. Теорема Коши о среднем
  41. Теорема Логранжа. Теорема о конечных приращениях
  42. Геометрический смысл
  43. Правило Лопиталя (теорема Вернули – Лопиталя)
  44. 2.5. Формула Тейлора
  45. Запись остаточного члена
  46. Формула Маклорена
  47. 2.6. Монотонность, экстремумы функции
  48. Экстремумы функции
  49. Первый достаточный признак экстремума
  50. Второй достаточный признак экстремума
  51. 2.7. Выпуклость и вогнутость функции
  52. Основы математического анализа, Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, Хавин В.П., 1998

Математический анализ. Курс лекций

Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М

1. Введение в анализ. Теория пределов

1.1. Комплексные числа

1.2. Функция, способы задания, простейшие свойства

1.3. Предел функции, свойства пределов

1.4. Непрерывность функции в точке и на интервале

2. Дифференциальное исчисление

2.1. Производная функции, её физический и геометрический смысл

2.2. Правила дифференцирования

2.3. Дифференциал

2.4. Основные теоремы дифференциального исчисления

2.5. Формула Тейлора

2.6. Монотонность, экстремумы функции

2.7. Выпуклость и вогнутость функции

2.8. Асимптоты

2.9. Исследование функции

3. Интегральное исчисление

3.1. Понятие первообразной и неопределенный интеграл

3.2. Таблица интегралов

3.3. Основные методы интегрирования

3.4. Понятие определенного интеграла и его вычисление

3.5. Приложения определенного интеграла

Примеры решения задач

1.1. Комплексные числа (КЧ)

Комплексным числом z называется выражение z = a+bi, где , i – мнимая единица. i 2 = –1.

a – действительная часть КЧ или a = Re z.

b – мнимая часть КЧ или b = Im z.

0+bi = bi – чисто мнимое число

a + 0i = a – действительное число

0 + 1i = i1 + 0i = 10 + 0i = 0
мнимая единицаобычная единицаобычный нуль

Z1 = a1 + b1i

Z2 = a2 + b2i

Действия над КЧ

Z1 Z2 = (a1 a2) + (b1 b2)i – сложение/вычитание КЧ.

Возведение в степень мнимой единицы:

i1 = i i2 = – 1 i3 = i i4 = 1

Z1 Z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i) = a1a2 + a1b2i
+ a2b1i
+ b1b2i2 =

= (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i – произведение КЧ.

Сопряженным числом () для данного комплексного числа называется число, которое отличается только знаком мнимой части от данного числа.

Пример:

  – деление КЧ.

Пример:

Комплексная плоскость

Z = a + bi – алгебраическая форма записи КЧ.

Декартова система. Полярная система

– полярный радиус, – полярный угол, – полярные координаты.

Пример:

– тригонометрическая форма записи КЧ.

Примеры:

Формула Эйлера

– Формула Эйлера
– взаимосвязь между e, i и

– показательная форма КЧ.

КЧ не сравнивают между собой. Множество КЧ не упорядоченно.

Возведение в степень КЧ

При возведении в степень модуль возводиться в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Формула Муавра

Возведение во 2 – ю и 3 – ю степень по формуле Муавра:

Используя равенство КЧ, получим: s

Извлечение корня из КЧ

k = 0, 1…,n – 1.

Корень n – ой степени из КЧ имеет n различных значений.

Примеры:

    Все корни n-ой степени из единицы находятся на единичной окружности и делят эту окружность на n равных частей.

    1.2. Функция, способы её задания, простейшие свойства

    Основные обозначения:

    N – натуральные числа,

    Q – рациональные(дробные),

    Z – целые числа,

    R – действительные числа;

    Счетное множество – это множество, элементы которого можно пересчитать.

    – счетные и имеют одинаковую мощность

    R – несчетное множество.

    Множество действительных чисел всюду плотно на числовой оси.

    [a, b] – замкнутый интервал,   (a, b) – открытый интервал

    Окр [x0] – окрестность точки x0 , любой открытый интервал, содержащий x0.

    Окр [x0] = (a, b), где (a, b) содержит x0 – это окрестность.

    ax0 = x0b, – окрестность x0

    Кванторы

    1) – кванты всеобщности;

    2) – кванты существования.

    |x – x0| – расстояние от точки x до точки x0

    Числовой функцией называется соответствие между числовыми множествами XY, при котором каждому значению x соответствует (сопоставлено) некоторое значение y.

    У каждого прообраза всегда один образ, у каждого образа может быть много прообразов.

    Взаимнооднозначная функция – это когда разные x имеют разные y.

    Способы задания функций:

    а) аналитический;

    б) графический;

    в) табличный;

    г) алгоритмический.

    Функции делятся на 2 класса

    1. Элементарные
    2. Неэлементарные (специальные).

    Элементарные функции изучаются в школьной математике и делятся на:

    1. Основные элементарные функции

      а) степенные y = xn

      б) показательные y = ax

      в) тригонометрические y = sin x и другие.

    2. Элементарные, полученные из основных с помощью арифметических операций и операции получения сложной функции (операции композиции).

      f

      X          Y         

      f -1 (обратная функция)

      Обратные к показательным функциям – логарифмические функции. Обратные к тригонометрическим

      Пример:

      y = f (g(x)) – сложная функция – композиция элементарных функций.

    Элементарными функциями называются функции, полученные из элементарных базисных функций с помощью алгебраических операций и операций композиции.

    Г(f) – график функции. График функции есть множество точек (x, y), где y = f(x).

    Общие свойства функций

    1. Четность –
    2. Нечетность –
    3. Периодичность –

    f(x) – ограниченная сверху, если

    f(x) – ограниченная снизу, если

    f(x) – ограниченная, если

    f(x) – монотонная, если она постоянно возрастает или постоянно убывает

    Если y = f(x), то Д – область определения данной функции.

    1.3. Предел функции. Свойства пределов

    Число b называется пределом функции в точке а, если для любой – окрестности точки b существует – окрестность точки а.

    – предел функции при , равный b.

    Число b называется пределом функции при неограниченном возрастании аргумента .
    Для любого существует такое N, и если , то .

    Примеры:

    y = f(x) =

    y = f(x) = x2

      Пример:

      y =, когда ,

      Неопределенности:

      Раскрытие неопределенностей.

      Теорема об ограниченности функции, имеющей предел

      Если функция f(x) имеет предел в точке a , то она ограниченна в некоторой окрестности точки a.

      Доказательство:

      Пусть , тогда , отсюда получаем .
      Обратное неверно.

      Контрольный пример:

      в окрестности точки 0.

      – не существует.

      Бесконечно малой величиной при называется функция, предел которой в точке a равен 0.

      – бесконечно малая величина (б.м.в.).

      • – бесконечно малая величина при
      • – бесконечно малая величина при s

      Бесконечно большой величиной при называется функция неограниченно возрастающая.

      – бесконечно большая величина (б.б.в.)

      Любая бесконечно большая величина неограниченна.

      Теорема о связи предела и бесконечно малой величины

      Если , то , где – бесконечно малая величина. Или .

      Доказательство:

      Допустим, что , тогда .

      , значит , – бесконечно малая величина.

      Пример:

      f(x) = x2 + 1

      Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой величиной

      Если – бесконечно малая величина при    – бесконечно большая величина.

      Если – бесконечно большая величина при
      – бесконечно малая величина.

      Доказательство:

      Допустим, что – бесконечно малая величина при , то , что .
      Значит

      Следствие: и

      Свойства бесконечно малых величин

      1) Алгебраическая сумма бесконечно малых величин есть бесконечно малая:

      Доказательство:

      или , значит – бесконечно малая величина.

      2) Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть бесконечно малая: , где f(x) – ограниченная.

      Доказательство:

      , значит – бесконечно малая величина.

      3) Частное от деления бесконечно малой величины на любую функцию, предел которой не равен 0, есть бесконечно малая: при и .

      Теоремы о пределах

      Теорема 1. Предел суммы равен сумме пределов, если они существуют:

      Доказательство:

      Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

      Получаем

      Теорема 2. Предел произведения равен произведению пределов, если они существуют:

      Доказательство:

      Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

      Получаем

      Теорема 3. Предел частного равен частному пределов: .
      При условии: все пределы существуют и .

      Доказательство:

      Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

      ;

      Получаем:

      Теорема 4. Предел сохраняет знак неравенства. Если .

      Доказательство:

      Следовательно,

      Следствие:

      Теорема 5. Если функция ограниченна и монотонна на (a, b), то она имеет предел:

      Теорема 6. Критерий Коши.

      Если , тогда и только тогда .

      Приемы раскрытия неопределенностей.

      1) Выделение общего множителя (для неопределенности ).

      Пример:

      2) Умножение на сопряженное выражение (для неопределенности ).

      Пример:

      3) Выделение главной части (для неопределенности ).

      Примеры:

      ;

      Теорема. Первый замечательный предел .

      Доказательство (геометрическое):

      Так как ,
      то .

      Следствия из теоремы:

      1)

      2)

      3)

      4)

      5)

      Теорема. Второй замечательный предел .

      Доказательство:

      Бином Ньютона:

      ,
      где .

      Используем бином Ньютона для доказательства неравенства:

      Отсюда заключаем, что ,
      а значит .

      Следствия из теоремы:

      1)

      2)

      3)

      4)

      Доказательство:

      Если принять, что ,
      то

      Примеры:

      1)

      Учитывая, что .

      2)

      . Отсюда A = e.

      Учитывая, что .

      Сравнение бесконечно малых величин (б.м.в.)

      Пусть – бесконечно малые величины при , т.е. .

      Определение 1. Если , то – б.м.в. одного порядка малости.

      Определение 2. Если , то – б.м.в. более высокого порядка, чем .

      – более высокого порядка, чем (“о” – читается как “о малое”).

      – более низкого порядка, чем (“О” – читается как “О большое”).

      Определение 3. Если , то и эквивалентны – .

      Следствие из определения 3:при .

      Теорема.Если и эквивалентны (), то и .

      Доказательство:

      Пусть – бесконечно малые величины при и они эквивалентны ().

      Тогда .

      1.4. Непрерывность функции в точке и на интервале

      Определение 1.
      Пусть функция определена в окрестности точки , тогда функция непрерывна в , если .

      Определение 2.
      Функция непрерывна, если.

      Определение 3.
      Функция непрерывна в точке , если .Приращение аргумента . Приращение функции .

      Определение 4. Функция непрерывна в точке , если .Если функция не является непрерывной в точке , то эта точка – точка разрыва. Если функция непрерывна на отрезке (a, b), то функция неразрывна на отрезке (a, b).

      Определение 5.
      Функция непрерывна в точке справа, если .

      Определение 6.
      Функция непрерывна в точке слева, если .

      Функция непрерывна на отрезке , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и односторонне непрерывна на его концах.

      Теоремы о непрерывных функциях

      Теорема 1. Сумма, произведение и частное непрерывных функций – непрерывны (кроме случая, когда знаменатель обращается в нуль).

      Доказательство:

      Пусть и .

      Тогда .

      Доказательство для умножения и деления аналогично доказательству для сложения.

      Теорема 2. Композиция непрерывных функций непрерывна:

      Функция непрерывна в точке , если g(x) непрерывна в точке и f(y) непрерывна в .

      Теорема 3. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.

      Разрыв первого рода

      Пусть и существуют:

      I. Если , то в точке функция
      испытывает разрыв скачок первого рода.

      Примеры:

        1. – целая часть числа x.
      1. – дробная часть от числа x.

      II. Если , то в точке функция испытывает устранимый разрыв первого рода.

      Примеры:

      1)

      2)

      3)

      4)

      Разрыв второго рода

      Функция испытывает разрыв второго рода, если – не существует.

      Свойства функции, непрерывной на замкнутом отрезке

      Пусть функция непрерывна на замкнутом отрезке .

      Теорема 1. Функция принимает наибольшее и наименьшее значение на .
      Или , где .

      Теорема 2. Функция принимает все свои промежуточные
      значения на .
      Или , где – область значений.

      Теорема 3. Если функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка найдется точка, в которой .
      Или .

      2.1. Производная функции. Её физический и геометрический смысл

      Пусть функция определенна в окрестности точки .

      Тогда , где и .

      Производная функции в точке есть предел отношения приращения функции () и приращения аргумента (), когда .

      Механический смысл производной

      Производная – это скорость изменения функции.

      Геометрический смысл производной

      Производная – это тангенс наклона угла касательной к график функции в данной точке к оси .

      ;

      при

      Вычисление производной

      Теорема. Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

      Доказательство:

      при

      при , следует

      Обратное неверно.

      Пример:

      1)

      ;

      ;

      ; ;

      Таблица производных

      2.2. Правила дифференцирования

      1) Производная от суммы равна сумме производных:

      Доказательство:

      2) Постоянный множитель выносится за знак производной: .

      3) Производная произведения: .

      Доказательство:

      4) Производная дроби: .

      Доказательство:

      Теорема о производной сложной функции

      Теорема.Доказательство:

      Пусть , определена и непрерывна в окрестности точки (, определена и непрерывна в окрестности точки . Тогда .

      Это верно при условии, что каждая из функций дифференцируема.

      Теорема о производной обратной функции

      Теорема. Доказательство:

      Пусть дифференцируемая в точке (). – обратная к . Обратная функция существует если монотонная функция. Тогда

      Производная сложной степенной функции

      Прием логарифмического дифференцирования.

      Производная неявной функции

      – общий вид неявно заданной функции.

      Производная параметрически заданной функции

      Примеры параметрических функций:

      1)   

      2)

      3)

          – дифференцируемы.

      Пример:

      Гиперболические функции

      (гиперболический синус)arsh x (ареа синус)
      (гиперболический косинус)arсh x (ареа косинус)
      (гиперболический тангенс)arth x (ареа тангенс)
      (гиперболический котангенс)arcth x (ареа котангенс)

      Схематичные графики гиперболических функций:

      Производные высших порядков

      Механический смысл второй производной – это ускорение.

      Геометрический смысл второй производной – отвечает за вогнутость или выпуклость графика функции.

      2.3. Дифференциал

      – гладкая, непрерывная и дифференцируемая.

      Дифференциалом называется главная (линейная) часть приращения функции.

      если

      Свойства дифференциала:

      1)

      2)

      3)

      4)

      Доказательство для :

      Остальные доказываются аналогично.

      Инвариантность формы дифференцирования

      Форма дифференциала функции (производная умножить на дифференциал аргумента), не зависит от того, является ли аргумент функции независимой переменной или функций другого аргумента.

      Теорема Ролля, теорема о корнях производных

      Доказательство:

      Пусть гладкая на , .

      Тогда :

      Любая гладкая функция, имеющая на концах отрезка одинаковые значения имеет, внутри этого отрезка, хотя бы один корень производной.

      при

      при

      Теорема Коши о среднем

      Доказательство:

      Пусть – гладкие на .

      на

      Тогда : , где .

      F – гладкая на отрезке .
      По теореме Ролля : .

      по условию, а так как иначе по теореме Ролля , что противоречит условию.

      Теорема Логранжа. Теорема о конечных приращениях

      Доказательство:

      Пусть гладкая на,

      Тогда : .

      Пусть :

      Геометрический смысл

      Для любой гладкой на замкнутом отрезке кривой найдется точка, в которой касательная параллельна хорде AB.

      Правило Лопиталя (теорема Вернули – Лопиталя)

      Пусть и гладкие в окрестности и

      Тогда

      Правило Лопиталя: Предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

      Доказательство:

      Применим теорему для и , ,
      где а – точка в окрестности .

      где .

      Примеры:

      1)

      2)

      3)

      2.5. Формула Тейлора

      Пусть определена и непрерывна и имеет все производные до n-ого порядка включительно, в некоторой точке .

      – остаточный член в форме Тейлора.

      – полином Тейлора для .

      1)

      2)

      3) , где k=0,1,2,…n.

      Запись остаточного члена

      – остаточный член в форме Логранжа.

      – остаточный член в форме Коши.

      – остаточный член в форме Пиано.

      Формула Маклорена

      Любой многочлен совпадает со свой формулой Маклорена, при этом постоянный член равен.

      1)

      2)

      3)

      4)

      5)

      2.6. Монотонность, экстремумы функции

      Функция называется возрастающей если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, а меньшему соответствует меньше.

      Функция называется убывающей если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, а меньшему соответствует большее.

      Теорема. У возрастающей функции производная больше 0 ().

      Доказательство:

      x-1
      ymin
      0+

      Экстремумы функции

      Точка -называется точкой max, если существует некоторая окрестность точки, что для любой точки x из этой окрестности .

      Точка -называется точкой min, если существует некоторая окрестность точки, что для любой точки x из этой окрестности .

      Необходимый признак экстремума, если -точка экстремума.

      Если и , то это точка экстремума.

      Если – точка экстремума и существует , то производная =0. Точка, в которой производная, равна нулю, называется критической точкой.

      ,
      теорема Логранжа.

      Первый достаточный признак экстремума

      Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с ”+” на “-“,то в этой точке максимум.

      Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с ”-” на “+“,то в этой точке минимум.

      Второй достаточный признак экстремума

      Если в критической точке 2-ая производная больше нуля, то это точка минимума, а если в критической точке 2-ая производная меньше нуля, то это точка максимума.

      Пример:

      x13
      yMaxMin
      +00+

      2.7. Выпуклость и вогнутость функции

      Если в окрестности точки, график функции ниже касательной, то в окрестности этой точки график функции выпуклый.

      Если в окрестности точки, график функции выше касательной, то в окрестности этой точки график функции вогнутый.

      Теорема. В
      точке выпуклости 2-ая производная меньше 0. В точке вогнутости вторая производная больше 0.

      Доказательство:

      Если прямая проходит через точку

      Применим теорему Логранжа:

      Поставим “-“ в , учитывая, что , тогда должна быть

      Источник: https://siblec.ru/matematika/matematicheskij-analiz

      Основы математического анализа, Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, Хавин В.П., 1998

      Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М

      • Книги и учебники →
      • Книги по математике

      Купить бумажную книгуКупить электронную книгуНайти похожие материалы на других сайтахКак открыть файлКак скачатьПравообладателям (Abuse, DMСA)Основы математического анализа, Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, Хавин В.П., 1998.   В курсе математического анализа нашли отражение принципиальные изменения, происшедшие в преподавании этой дисциплины за последние два десятилетия. Для того чтобы сделать изложение курса более доступным сжато и концентрировано излагаются вопросы теории, что позволяет быстрее подвести студентов к формулам Тейлора и Ньютона – Лейбница – главным результатам теории. Большое внимание уделено приложениям к исследованию функций, задачам на экстремум, приближенному решению уравнений, задачам геометрии и механики (в том числе задаче равновесия гибкой нити, а также связи законов Кеплера с законом всемирного тяготения).Пособие рассчитано на студентов университетов и технических ВУЗов. Две великие формулы (формула Тейлора и формула Ньютона—Лейбница) и фундаментальные понятия производной и интеграла—вот главные темы этой книги. Первой из названных формул посвящена глава 3, второй — глава 4. Очень важна S-я глава (последняя и самая большая). В ней собраны некоторые приложения дифференциального и интегрального исчисления. Обо всех рассказать невозможно — для этого нужна почти вся математика и очень многое из естественных наук и техники. На пути к главам 3-5 читателю придется преодолеть не очень увлекательное введение и довольно утомительные главы 1 и 2, посвященные разработке языка математического анализа.Пособие адресовано студенту, не боящемуся самостоятельной и активной работы. Изложение, поначалу очень подробное, постепенно становится более сжатым. Обороты «легко видеть» встречаются все чаще в расчете на то, что читатель не пойдет дальше, не увидев в самом деле того, что нужно увидеть. Он не станет пропускать и упражнений, тем более, что иногда их результаты используются в последующих доказательствах. Упражнений в книге мало, и они никак не могут заменить задачники.

      ОГЛАВЛЕНИЕ

      Предисловие для студента 5Предисловие для преподавателя 7Введение 10§ 1. Некоторые задачи математического анализа§ 2. Множества 20§ 3. Отображения 30§ 4. Вещественные числа 45§ 5. Расширенная прямая R пространство R и комплексная плоскость С 79§ 6. Некоторые сведения о функциях,  вектор-функциях и комплексных функциях 82§ 7. Многочлены 86

      Глава 1. Непрерывные функции 92

      § 1. е-допуск функции в точке 93§ 2. Определение непрерывности 104§ 3. Некоторые действия с непрерывными функциями 108§ 4. Непрерывность линейной комбинации, произведения и частного непрерывных функций. Первые примеры непрерывных функций 110§ 5. Локальные свойства непрерывных функций 113§ 6. От локальных свойств непрерывных функций к глобальным 116§ 7. Доказательства теорем о глобальных свойствах непрерывных функций 119§ 8. Обращение теоремы о сохранении промежутка для монотонных функции. Непрерывность обратной функции 121§ 9. Непрерывность элементарных функций 122§ 10. Классификация разрывов. Исправление функции в точке 120

      Глава 2. Асимптотические равенства и оценки 130

      § 1. Предел функции в точке —§ 2. Бесконечный предел и предел в бесконечности 130§ 3. Обобщение: предел в R 138§ 4. Единственность предела 141§ 5. Непрерывность и предел композиции 143§ 6. Предел числовой последовательности 140§ 7. Определение суммы ряда 147§ 8. Бесконечно малые и бесконечно большие 151§ 9. Асимптотические оценки. Символы Оно 152§ 10. Асимптотические равенства 158§ 11. Уточнение асимптотических равенств 164§ 12. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших 170

      Глава 3. Дифференциальное исчисление 177

      § 1. Многочлены Тейлора: первое знакомство —§ 2. Простейшие свойства многочленов Тейлора 180§ 3. Первый многочлен Тейлора и касательная 186§ 4. Исследование функции на монотонность и отыскание точек экстремума с помощью многочленов Тейлора 190§ 5. Производная и дифференциал. Классы Сn. Формулировка основного результата 200§ 6. Формула Тейлора (доказательство) 216§ 7. Векторный вариант теории 224§ 8. Правила дифференцирования. Свойства классов Ст 230§ 9. Некоторые дополнения и обобщения, связанные с понятием производной и формулой Тейлора 238

      Глава 4. Интеграл 262

      § 1. Первообразная —§ 2. Римановы суммы и их пределы 265§ 3. Основной результат: формула Ньютона—Лейбница 269§ 4. Интеграл и его основные свойства 272§ 5. Линейность интеграла. Теорема о среднем. Некоторые оценки интеграла 282§ 6. Интегрирование по частям. Интегральная форма остатка формулы Тейлора 289§ 7. Замена переменной в интеграле 294§ 8. Восстановление аддитивной функции промежутка по ее плотности 297§ 9. Некоторые дополнения 305

      Глава 5. Приложения дифференциального и интегрального исчисления к некоторым задачам анализа, геометрии и механики 310

      § 1. Логарифмы —§ 2. Экспонента. Степенная и показательная функции 323§ 3. Экспонента с мнимым показателем. Тригонометрические функция 332§ 4. Выпуклые функции 355§ 5. Исследование функций, построение графиков, отыскание наибольших и наименьших значений 365§ 6. Правило Лопиталя 381§ 7. 0 приближенном решении уравнений 387§ 8. Вычисление площадей н объемов 397§ 9. Длины путей и кривых 401§ 10. Равновесие гибкой нити 410§ 11. Движение по прямой под действием силы, не зависящей от времени. Интеграл энергии 415§ 12. Всемирное тяготение и законы Кеплера 428Заключение 438Указатель литературы 440Предметный указатель 442
      Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
      Скачать книгу Основы математического анализа, Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, Хавин В.П., 1998 – fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

      Скачать djvu

      Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу

      Скачать книгу Основы математического анализа, Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, Хавин В.П., 1998 – Яндекс Народ Диск.

      Скачать книгу Основы математического анализа, Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, Хавин В.П., 1998 – depositfiles.

      09.06.2012 06:08 UTC

      учебник по математике :: математика :: Хавин :: формула Тейлора

      Следующие учебники и книги:

      • Алгебра и начала математического анализа, 10-11 класс, Колмогоров А.Н., Абрамов Ю.П., 2008
      • Элементы высшей математики для школьников, Фадеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский И.Ф., 1987
      • Основные понятия школьной математики, Любецкий В.А., 1987
      • Элементы высшей математики, Виноградов И.М., 1999

      Предыдущие статьи:

      • Математика, 3 класс, Часть 3, Петерсон Л.Г., 2005
      • Краткий курс высшей математики, Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С., 1972
      • Алгебра и начала математического анализа, 10-11 класс, Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П., 2008
      • Абелевы группы и модули, Мишина А.П., Скорняков Л.А., 1969

      >

       

      Источник: https://obuchalka.org/2012060965491/osnovi-matematicheskogo-analiza-differencialnoe-i-integralnoe-ischislenie-funkcii-odnoi-peremennoi-havin-v-p-1998.html

      Biz-books
      Добавить комментарий