Во сколько раз работа, совершаемая при цикле, меньше работы, совершаемой в цикле Карно

Практическое занятие № 4

Во сколько раз работа, совершаемая при цикле, меньше работы, совершаемой в цикле Карно

Тема. Решение задач по теме «Физические принципы работы тепловых машин. Циклы тепловых машин. К.п.д. тепловых двигателей».

Цели:

    • помочь учащимся сформулировать принципы работы тепловой машины, разобраться в ее принципиальном, с точки зрения физики, устройстве;
    • научить вычислять полезную работу, совершенную тепловой машиной за цикл;
    • освоить методы расчета к.п.д. тепловых двигателей.

Ход занятия

В ходе проведения занятия необходимо рассмотреть ряд качественных задач и далее решить несколько расчетных задач по мере возрастания их сложности.

Прежде чем приступить к выполнению задания, следует сформулировать физические принципы работы тепловой машины, вспомнить, что работа за цикл определяется площадью под кривой цикла, определить понятие к.п.д.

тепловой машины, кратко рассмотреть обратимый цикл Карно и его к.п.д., при этом обратив внимание, что значение к.п.д. обратимого цикла Карно ставит теоретический предел возможному значению к.п.д.

реальной тепловой машины.

Качественные задачи

  1. Восходящий от поверхности земли поток воздуха представляет собой своеобразный тепловой двигатель. Укажите в нем основные части, присущие любому тепловому двигателю.
  2. Что является нагревателем и холодильником в ракетном двигателе?
  3. Станет ли к.п.д. тепловой машины равным 100 %, если трение в частях машины свести к нулю?
  4. Какие пути вы можете указать для повышения к.п.д. тепловых двигателей?
  5. Почему в качестве источников энергии затруднительно использовать внутреннюю энергию вод мирового океана и земной атмосферы?

Примеры решения расчетных задач

Задача 1.

Рабочее вещество, внутренняя энергия которого U связана с давлением P и объемом V соотношением U = kPV, совершает термодинамический цикл, состоящий из изобары, изохоры и адиабаты (рис. 1). Работа, совершенная веществом во время изобарного процесса, в m = 5 раз превышает работу внешних сил по сжатию вещества, совершенную при адиабатическом процессе. К.п.д. цикла η=1/4. Определите k.

Решение:

К.п.д. цикла по определению равен
(1)
Полезная работа, совершенная веществом за цикл
(2)
где A12 — работа, совершаемая веществом на изобаре 1–>2, A31 — работа, совершенная над рабочим веществом на адиабате 3–>1 (A31 < 0).
В данном цикле тепло Q1 подводится к рабочему веществу только на изобарическом участке цикла. Согласно 1-му началу термодинамики
(3)
гдеU12 — изменение внутренней энергии рабочего вещества на участке цикла 1–>2.
Используя заданную в условии задачи связь внутренней энергии рабочего вещества с давлением и объемом на изобаре 1–>2, можно записать
(4)
Тогда
(5)
Учитывая, что, согласно условию задачи,, уравнение (2) можно представить в виде
(6)

Подставляя (5) и (6) в (1) и решая относительно k, находим

.

Ответ:k=2,2.

Задача 2.

Рабочее вещество тепловой машины совершает цикл Карно между изотермами T и T1 (T1>T) (рис. 2).

Холодильником является резервуар, температура которого постоянна и равна T2 = 200 К (T22 и 2–>3, в которых давление P газа линейно зависит от занимаемого им объема V, и изохорического процесса 3–>1 (рис. 3). Величины P0 и V0 считаются известными. Найдите:

  1. температуру и давление газа в точке 3;
  2. работу, совершенную газом за цикл;
  3. к.п.д. машины.

Решение:

Давление, объем и температуру в точках 1, 2 и 3 обозначим через P, V и T с соответствующими индексами.

Поскольку на участке 2–>3 давление линейно, но зависит от занимаемого объема, то можно записать
(1)
Из рисунка видно, что
V3=3V0, P2=P0, V2=7V0.
Подставляя эти значения в (1), находим P3
(2)
Из уравнения состояния идеального газа, используя (2), получаем T3.
(3)
Работа газа за цикл численно равна площади треугольника 123. Эту площадь можно вычислить как сумму площадей двух прямоугольных треугольников
(4)
Для вычисления к.п.д. цикла нужно найти количество теплоты, полученное газом.
Количество тепла, полученное газом на участке 3–>1, равно
(5)
Покажем, что на участке цикла 1–>2 есть точка К с соответствующим объемом VK таким, что газ при VVK отдает тепло.
Найдем аналитическое выражение процесса, соответствующего участку 1–>2. Как видно из рисунка, участку 1–>2 соответствует линейная функция
(6)
Введем обозначенияи найдем параметры k и b, воспользовавшись данными, указанными на рисунке.
При x = 0, следовательно, b = 8;
y = 0 0 = kx + 8, следовательно, k = -1.
Таким образом, (6) представляется в виде
или
(7)
Подставив P в виде (7) в уравнение состояния идеального газа PV = νRT, получаем
(8)
Из уравнения (8) в приращениях
(9)
С учетом полученных соотношений (7) и (9) уравнение 1-го закона термодинамики на участке 1–>2можно представить в виде
(10)
Из полученного уравнения видно, что на участке 1–>2 Q1K > 0 при V< 5V0 и QK2 < 0 при V > 5V0, следовательно,
Воспользовавшись этими значениями, найдем количество теплоты, получаемое газом на участке 1–>К, предварительно определив T1 из уравнения состояния идеального газа
(11)

Итак, совершая полный цикл, газ получает тепло на участках 3–>1 и 1–>К. Количество полученного на этих участках тепла определяется равенствами (5) и (11).

Работа, совершенная газом за цикл, найдена в (4).

Теперь есть все данные для определения к.п.д. цикла.

Ответ: к.п.д. рассмотренного цикла равен 32 %.

Задача 4.

Идеальная холодильная машина имеет в качестве холодильника резервуар с водой при 0°С, а в качестве нагревателя — резервуар с кипящей водой. Какую работу надо совершить, чтобы превратить в лед 1 кг воды? Какое количество воды в нагревателе превратится при этом в пар? Удельная теплота плавления льда λ = 340 кДж/кг, удельная теплота парообразования воды r = 2260 кДж/кг.

Решение:

Холодильная машина работает по такому принципу: за счет внешней механической работы тепло отнимается от более холодного резервуара и передается более горячему резервуару.

Полезный эффект холодильной машины определяется количеством теплоты Qx, отобранным у охлаждаемого тела, а затраченная энергия — это внешняя работа A, совершенная над рабочим телом. Отношение

обычно называют холодильным коэффициентом.

Если холодильная машина работает по так называемому идеальному циклу — обратному циклу Карно (цикл Карно теперь обходится против часовой стрелки), то

Из этой формулы видно, что ε может быть меньше, больше или равен 100 %. Действительно, возможно построить холодильную машину, у которой разность температур нагревателя и холодильника будет больше, меньше или равна температуре холодильника.

Тот факт, что ε может быть больше 100 %, иногда вызывает вопрос — не нарушается ли при этом закон сохранения энергии. На самом деле никакого противоречия с законом сохранения энергии нет.

Тепло, отработанное у охлаждаемого тела, и энергия, затраченная на совершение работы извне, вовсе не переходят друг в друга, а отдаются нагревателю (обычно у холодильных машин им является окружающая среда).

Холодильный коэффициент идеальной машины, работающей в заданном по условию задачи температурном интервале, равен

При замерзании 1 кг воды выделяется количество теплоты

Совершенная при этом работа

Нагреватель получает количество теплоты Qн

Следовательно, в пар превратится масса воды

Задачи для самостоятельной работы

1. Тепловая машина имеет коэффициент полезного действия (к.п.д.) η = 20 %. Каким станет ее к.п.д., если количество теплоты, потребляемое за цикл, увеличится на 40 %, а количество теплоты, отдаваемое холодильнику, уменьшится на 20 %?

Ответ: к.п.д. машины стал, то есть увеличился, и составляет примерно 54 %.

2. Рассчитайте к.п.д. циклов, представленных на рис. 4.

Ответ:

3. На рис. 5 показаны два замкнутых термодинамических цикла, произведенных с идеальным одноатомным газом 1–>2–>3–>4–>1 и 1–>5–>6–>4–>1. У какого из циклов коэффициент полезного действия выше? Во сколько раз?

Ответ: для второго цикла к.п.д. выше, η1=0,74η2 .

4. Найдите к.п.д. цикла, состоящего из двух изохор и двух адиабат (рис. 6). Рабочим веществом является азот. Известно, что в пределах цикла объем газа изменяется в 10 раз, то есть Vmax / Vmin=10 .

Ответ: к.п.д. цикла равен 60 %.

5. Определите к.п.д. цикла, показанного на рис. 7. Газ идеальный одноатомный. Участки 2–>3 и 4–>5 на чертеже представляют собой дуги окружностей с центрами в точках O1 и O2.

Ответ: к.п.д. цикла равен 19 %.

Рекомендуемая литература

  1. Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. Физика. Т. 3. Строение и свойства вещества. — М.: Физматлит: Лаборатория базовых знаний; СПб.: Невский диалект, 2001. — С. 142-170.
  2. Белолипецкий С.Н., Еркович О.С., Казаковцева В.А. и др. Задачник по физике. — М.: Физматлит, 2005. — С. 88-90.
  3. Готовцев В.В. Лучшие задачи по механике и термодинамике. — М.; Ростов н/Д: Издательский центр «Март», 2004. — С. 254-268.

Источник: https://ido.tsu.ru/schools/physmat/data/res/molek/pract/text/b_s_2.html

Примеры решения задач. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар

Во сколько раз работа, совершаемая при цикле, меньше работы, совершаемой в цикле Карно

Задача 15

Идеальный газ совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. При этом объем газа изменяется от 25 cм3 до 50 cм3, а давление от 100 кПа до 200 кПа.

Найти работу в рассматриваемом цикле, а также работу в цикле Карно, изотермы которого соответствуют наибольшей и наименьшей температурам рассматриваемого цикла, если при изотермическом расширении объем возрастает в 2 раза.

Во сколько раз работа в таком цикле меньше работы в цикле Карно?

Решение

Цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар, изображён на рисунке 2 в осях (P, V). Работа A в этом цикле равна сумме работ изобарического расширения и изобарического сжатия, поскольку при изохорных процессах работа не совершается:

. (1)

Максимальная и минимальная температуры рассматриваемого цикла будут в точках с параметрами (P1, V1) и (P2, V2) соответственно, как следует из уравнения Менделеева-Клапейрона, записанного для этих двух точек:

(2)

. (3)

По условию температуры нагревателя и холодильника в другом цикле – цикле Карно – равны соответственно максимальной и минимальной температуре данного цикла:

, . (4)

Работа же изотермического расширения в цикле Карно равна , а с учётом (3) . Поскольку процесс расширения в цикле Карно – изотермический, то внутренняя энергия при этом процессе не изменяется: , и по первому закону термодинамики количество теплоты, полученной рабочим телом от нагревателя при этом процессе, равно

. (5)

Далее, КПД любого цикла равен , и, в частности, для цикла Карно:

, (6)

где АК – искомая полная работа в цикле Карно. С другой стороны, , а с учётом (4)

. (7)

Из (5), (6) и (7) получим:

. (8)

В (1) и (8) подставим численные значения:

;

.

Найдём отношение работ: .

Ответ: ; ; .

331. Паровая машина мощностью P=14.7 кВт потребляет за время t=1 ч работы массу m=8.1 кг угля с удельной теплотой сгорания q=33 МДж/кг. Температура котла Т1=473 К, температура холодильника Т2=331 К. Найти фактический КПД машины и сравнить его с КПД hК идеальной тепловой машины Карно при тех же температурах.

332. Идеальная тепловая машина Карно совершает за один цикл работу А=73.5 кДж. Температура нагревания Т1=373 К, холодильника Т2=273 К. Найти КПД цикла, количество теплоты Q1, получаемое машиной за один цикл от нагревателя, и количество теплоты Q2, отдаваемое холодильнику за один цикл.

333. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Температура нагревателя 500 К, охладителя 250 К. Определить термический КПД цикла, а также работу, совершенную рабочим веществом, при изотермическом расширении, если при изотермическом сжатии совершена работа 70 Дж.

334. Определить КПД цикла Карно, если температуры нагрева­теля и холодильника соответственно равны 200°С и 11°С. На сколько нужно повысить температуру нагревателя, чтобы КПД повысился вдвое?

335. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. При этом 80% теплоты, получаемой от нагревателя, передается холодиль­нику. Количество теплоты, получаемое от нагревателя, равно 4.19 кДж. Найти КПД цикла и работу, совершенную при полном цикле.

336. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, получает за каждый цикл от нагревателя 2514 Дж теплоты. Температура нагревателя 400 К, температура холодильника 300 К. Найти работу, совершаемую за один цикл, и количество теплоты, отдаваемое холо­дильнику за один цикл.

337. Тепловая машина работает по циклу Карно. Температура наг­ревателя 327°С. Определить КПД цикла и температуру холодильника тепловой машины, если за счет 2 кДж теплоты, полученной от нагревателя, машина совершает работу, равную 400 Дж.

338. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя в 4 раза больше температуры холодильника. Определить КПД цикла. Какую долю количества теплоты, полученной от нагревателя, газ отдает холодильнику?

339. Газ, являясь рабочим веществом в цикле Карно, по­лучил от нагревателя теплоту 4.38 кДж и совершил работу 2.4 кДж. Определить температуру нагревателя, если температу­ра охладителя 273 К.

340. Газ, совершающий цикл Карно, отдал охладителю 67% теплоты, полученной от нагревателя. Определить температуру охладителя, если температура нагревателя 430 К.

341. Определить работу изотермического сжатия газа, со­вершающего цикл Карно, КПД которого равен 0.4, если рабо­та изотермического расширения равна 8 Дж.

342. Газ, совершающий цикл Карно, отдал охладителю теп­лоту 14 кДж. Определить температуру нагревателя, если при температуре охладителя 280 К работа цикла 6 кДж.

343. Во сколько раз увеличится КПД цикла Карно при повышении температуры нагревателя от 380 К до 580 К? Темпе­ратура охладителя 280 К.

344. Газ, совершающий цикл Карно, получает теплоту 84 кДж. Какую работу совершает газ, если температура нагре­вателя в 3 раза выше температуры охладителя?

345. Цикл работы двигателя внутреннего сгорания состоит из двух изохор и двух адиабат. Во сколько раз изменится КПД двига­теля, если коэффициент сжатия увеличить с 5 до 10? Рабочее вещество считать многоатомным идеальным газом.

346. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. При этом объем газа изменяется от 25 cм3 до 50 cм3, а давление от 100 кПа до 200 кПа. Во сколько раз работа в таком цикле меньше работы в цикле Карно, изотермы которого соответствуют наибольшей и наименьшей температурам рассматриваемого цикла, если при изотермическом расширении объем возрастает в 2 раза?

347. Цикл, совершаемый одним киломолем идеального двухатомного газа, состоит из двух изохор и двух изобар. Совершаемая газом за цикл работа равна32 кДж.. Минимальные значения объема и давления равны 0.25 м3 и 170 кПа, максимальный объём 0.85 м3. Определить количество полученной за цикл теплоты.

348. Цикл, совершаемый одним киломолем идеального двухатомного газа, состоит из двух изохор и двух изобар. Минимальные значения объема и давления равны 0.075 м3 и 330 кПа, максимальные – 0.135 м3и 460 кПа. Определить совершаемую газом за цикл работу.

349. Цикл, совершаемый одним киломолем идеального двухатомного газа, состоит из двух изохор и двух изобар. Совершаемая газом за цикл работа равна42 кДж. Минимальные значения объема и давления равны 0.18 м3 и 290 кПа, максимальный объём – 0.39 м3; Определить максимальное давление.

350. Цикл, совершаемый одним киломолем идеального двухатомного газа, состоит из двух изохор и двух изобар. Количество полученной за цикл теплоты равно 2300 кДж. Минимальные значения объема и давления равны 1.3 м3 и 270 кПа, максимальное давление равно 490 кПа. Определить максимальный объём.

351. Цикл, совершаемый одним киломолем идеального двухатомного газа, состоит из двух изохор и двух изобар. Совершаемая газом за цикл работа равна75 кДж. Минимальные значения объема и давления равны 0.92 м3 и 190 кПа, максимальное давление 410 кПа. Определить количество полученной за цикл теплоты.

352. Газ, совершающий цикл Карно, получает теплоту 84 кДж. Какую работу совершает газ, если температура нагревателя в три раза выше температуры охладителя?

353. Газ, совершающий цикл Карно, отдал охладителю теплоту 14 кДж. Определить температуру нагревателя, если при температуре охладителя 280 К работа цикла равна 6 кДж.

354. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 2/3 коли­чества теплоты, полученной от нагревателя, отдает охладите­лю. Температура охладителя 280 К. Определить температуру нагревателя.

355. В каком случае КПД цикла Карно повысится больше: при увеличении температуры нагревателя на ΔT или при уменьшении температуры холодильника на такую же величину?

356. Идеальный газ совершает цикл Карно при температурах нагревателя и холодильника 400 и 290 К соответственно. Во сколько раз увеличится КПД цикла, если температура нагревателя возрастет до 550 К? Какой должна была бы быть температура нагревателя при той же температуре холодильника, чтобы КПД возрос до 80%?

357. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя равна 470 К, температура охладителя 280 К. При изотермическом расширении газ совершает работу 100 Дж. Опре­делить термический КПД цикла, а также количество теплоты, которое отдает охладителю при изотермическом сжатии газ.

358. Найти КПД цикла, состоящего из двух изохор и двух адиабат, если в пределах цикла объем идеального газа изменяется в 10 раз. Рабочим веществом является азот.

359. Идеальный двухатомный газ совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Найти КПД такого цикла, если температура газа возрастает в 3 раза как при изохорическом нагреве, так и при изобарическом расширении.

360. Идеальный двухатомный газ, находящийся при температуре 300 К, нагревают при постоянном объеме до давления, вдвое большего первоначального. После этого газ изотермически расширился до начального давления и затем изобарически был сжат до начального объема. Построить график цикла. Определить температуру газа для характерных точек цикла и его термический КПД.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/9_85413_primeri-resheniya-zadach.html

Глава 15. Работа газа в циклическом процессе. Тепловые двигатели. Цикл Карно

Во сколько раз работа, совершаемая при цикле, меньше работы, совершаемой в цикле Карно

В программу школьного курса физики входит ряд вопросов, связанных с тепловыми двигателями. Школьник должен знать основные принципы работы теплового двигателя, понимать определение коэффициента полезного действия (КПД) циклического процесса, уметь находить эту величину в простейших случаях, знать, что такое цикл Карно и его КПД.

Тепловым двигателем (или тепловой машиной) называется процесс, в результате которого внутренняя энергия какого-то тела превращается в механическую работу.

Тело, внутренняя энергия которого превращается двигателем в работу, называется нагревателем двигателя.

Механическая работа в тепловых машинах совершается газом, который принято называть рабочим телом (или рабочим веществом) тепловой машины. При расширении рабочее тело и совершает полезную работу.

Для того чтобы сделать процесс работы двигателя циклическим, необходимо еще одно тело, температура которого меньше температуры нагревателя и которое называется холодильником двигателя.

Действительно, если при расширении газ совершает положительную (полезную) работу (левый рисунок; работа газа численно равна площади «залитой» фигуры), то при сжатии газа он совершает отрицательную («вредную») работу, которая должна быть по абсолютной величине меньше полезной работы.

А для этого сжатие газа необходимо проводить при меньших температурах, чем расширение, и, следовательно, газ перед сжатием необходимо охладить. На среднем рисунком показан процесс сжатия газа 2-1, в котором газ совершает отрицательную работу , абсолютная величина которой показана на среднем рисунке более светлой «заливкой».

Чтобы суммарная работа газа за цикл была положительна, площадь под графиком расширения должна быть больше площади под графиком сжатия. А для этого газ перед сжатием следует охладить. Кроме того, из проведенных рассуждений следует, что работа газа за цикл численно равна площади цикла на графике

зависимости давления от объема, причем со знаком «плюс», если цикл проходится по часовой стрелке, и «минус» — если против.

Таким образом, двигатель превращает в механическую работу не всю энергию, взятую у нагревателя, а только ее часть; остальная часть этой энергии используется не для совершения работы, а передается холодильнику, т.е. фактически теряется для совершения работы. Поэтому величиной, характеризующей эффективность работы двигателя, является отношение

(15.1)

где — работа, совершаемая газом в течение цикла, — количество теплоты, полученное газом от нагревателя за цикл. Отношение (15.1) показывает, какую часть количества теплоты, полученного у нагревателя, двигатель превращает в работу и называется коэффициентом полезного действия (КПД) двигателя.

Если в течение цикла рабочее тело двигателя отдает холодильнику количество теплоты (эта величина по своему смыслу положительна), то для работы газа справедливо соотношение . Поэтому существует ряд других форм записи формулы (15.1) для КПД двигателя

(15.2)

Французский физик и инженер С. Карно доказал, что максимальным КПД среди всех процессов, использующих некоторое тело с температурой в качестве нагревателя, и некоторое другое тело с температурой ( ) в качестве холодильника, обладает процесс, состоящий из двух изотерм (при температурах нагревателя и холодильника ) и двух адиабат (см. рисунок).

Изотермам на графике отвечают участки графика 1-2 (при температуре нагревателя ) и 3-4 (при температуре холодильника ), адиабатам — участки графика 2-3 и 4-1. Этот процесс называется циклом Карно. КПД цикла Карно равен

(15.3)

Теперь рассмотрим задачи. В задаче 15.1.1 необходимо использовать то обстоятельство, что работа газа в циклическом процессе численно равна площади цикла на графике зависимости давления от объема, причем со знаком «плюс», если цикл проходится по часовой стрелке, и «минус» — если против.

Поэтому во втором цикле работа газа положительна, в третьем отрицательна. Первый цикл состоит из двух циклов, один из которых проходится по, второй — против часовой стрелки, причем, как следует из графика 1, площади этих циклов равны.

Поэтому работа газа за цикл в процессе 1 равна нулю (правильный ответ — 2).

Поскольку в результате совершения циклического процесса газ возвращается в первоначальное состояние (задача 15.1.2), то изменение внутренней энергии газа в этом процессе равно нулю (ответ 2).

Применяя в задаче 15.1.3 первый закон термодинамики ко всему циклическому процессу и учитывая, что изменение внутренней энергии газа равно нулю (см. предыдущую задачу), заключаем, что (ответ 3).

Поскольку работа газа численно равна площади цикла на диаграмме «давление-объем», то работа газа в процессе в задаче 15.1.4 равна (ответ 1). Аналогично в задаче 15.1.5 газ за цикл совершает работу (ответ 1).

Работа газа в любом процессе равна сумме работ на отдельных участках процесса. Поскольку процесс 2-3 в задаче 15.1.6 — изохорический, то работа газа в этом процессе равна нулю. Поэтому (ответ 3).

По определению КПД показывает, какую часть количества теплоты, полученного у нагревателя, двигатель превращает в работу (задача 15.1.7 — ответ 4).

Работа двигателя за цикл равна разности количеств теплоты, полученного от нагревателя и отданного холодильнику : . Поэтому КПД цикла есть

(задача 15.1.8 — ответ 3).

По формуле (15.3) находим КПД цикла Карно в задаче 15.1.9

(ответ 2).

Пусть температура нагревателя первоначального цикла Карно равна , температура холодильника (задача 15.1.10). Тогда по формуле (15.3) для КПД первоначального цикла имеем

Отсюда находим . Поэтому для КПД нового цикла Карно получаем

(ответ 2).

В задаче 15.2.1 формулы (2), (3) и (4) представляют собой разные варианты записи определения КПД теплового двигателя (см. формулы (15.1) и (15.2)). Поэтому не определяет КПД двигателя только формула 1. (ответ 1).

Мощностью двигателя называется работа, совершенная двигателем в единицу времени. Поскольку работа двигателя равна разности полученного от нагревателя и отданного холодильнику количеств теплоты, имеем для мощности двигателя в задаче 15.2.2

(ответ 3).

По формуле (15.2) имеем для КПД двигателя в задаче 15.2.3

где — количество теплоты, полученное от нагревателя, — количество теплоты, отданное холодильнику (правильный ответ — 2).

Для нахождения КПД теплового двигателя в задаче 15.2.4 удобно использовать последнюю из формул (15.2). Имеем

где — работа газа, — количество теплоты, отданное холодильнику. Поэтому правильный ответ в задаче — 3.

Пусть газ совершает за цикл работу (задача 15.2.5). Поскольку количество теплоты, полученное от нагревателя равно ( — количество теплоты, отданное холодильнику), и работа составляет 20 % от этой величины, то для работы справедливо соотношение = 0,2 ( + 100). Отсюда находим = 25 Дж (ответ 1).

Поскольку работа теплового двигателя в задаче 15.2.6 равна 100 Дж при КПД двигателя 25 %, то двигатель получает от нагревателя количество теплоты 400 Дж. Поэтому он отдает холодильнику 300 Дж теплоты в течение цикла (ответ 4).

В задаче 15.2.7 газ получает или отдает теплоту только в процессах 1-2 и 3-1 (процесс 2-3 по условию адиабатический). Поэтому данное в условии задачи количество теплоты является количеством теплоты, полученным от нагревателя в течение цикла, — количеством теплоты, отданном холодильнику. Поэтому работа газа равна (ответ 1).
Цикл, данный в задаче 15.2.8, состоит из двух изотерм 2-3 и 4-1 и двух изохор 1-2 и 3-4. Работа газа в изохорических процессах равна нулю. Сравним работы газа в изотермических процессах. Для этого удобно построить график зависимости давления от объема в рассматриваемом процессе, поскольку работа газа есть площадь под этим графиком. График зависимости давления от объема для заданного в условии процесса приведен на рисунке. Поскольку изотерме 2-3 соответствует бóльшая температура, чем изотерме 4-1, то она будет расположена выше на графике . Объем газа в процессе 2-3 увеличивается, в процессе 4-1 уменьшается. Таким образом, график процесса на графике проходится по часовой стрелке, и, следовательно, работа газа за цикл положительна (ответ 1).

Для сравнения работ газа на различных участках процесса в задаче 15.2.9 построим график зависимости давления от объема. Этот график представлен на рисунке. Из рисунка следует, что работы газа в процессах 1-2 и 3-4 одинаковы по модулю (этим работам отвечают площади прямоугольников, «залитых» на рисунке светлой и темной «заливкой»).

Работе газа на участке 4-1 отвечает площадь под графиком 4-1, которая меньше площади под графиком 1-2. Работе газа на участке 2-3 отвечает площадь под кривой 2-3 на рисунке, которая заведомо больше площади «залитых» прямоугольников.

Поэтому в процессе 2-3 газ и совершает наибольшую по абсолютной величине (среди рассматриваемых процессов) работу (ответ 2.).

Согласно определению коэффициент полезного действия представляет отношение работы газа за цикл к количеству теплоты , полученному от нагревателя . Как следует из данного в условии задачи 15.2.10 графика, и в процессе 1-2-4-1 и в процессе 1-2-3-1 газ получает теплоту только на участке 1-2.

Поэтому количество теплоты, полученное газом от нагревателя в процессах 1-2-4-1 и 1-2-3-1 одинаково. А вот работа газа в процессе 1-2-4-1 вдвое меньше (так площадь треугольника 1-2-4 как вдвое меньше площади треугольника 1-2-4-1).

Поэтому коэффициент полезного действия процесса 1-2-4-1 вдвое меньше коэффициента полезного действия процесса 1-2-3-1 (ответ 1).

Источник: https://online.mephi.ru/courses/sge/data/reference_book/15/p15.html

Цикл Карно — формула, процессы и принципы работы

Во сколько раз работа, совершаемая при цикле, меньше работы, совершаемой в цикле Карно

Николя Леонард Сади Карно, сын высокопоставленного военачальника Лазаря Николая Маргарита Карно, родился в Париже в 1796 году. Его отец ушёл из армии в 1807 году, чтобы обучить Николаса и его брата Ипполита — оба получили широкое домашнее образование, включающее:

  • науку;
  • искусство;
  • иностранные языки;
  • музыку.

В 1812 году 16-летний Николас Карно был принят в Высшую политехническую школу в Париже. Его учителями были Джозеф Луи Гей-Люссак, Симеон Дени Пуассон и Андре-Мари Ампер, а сокурсниками — будущие учёные Клод-Луи Навье и Гаспар-Гюстав Кориолис.

Во время учёбы в школе Карно проявил особый интерес к теории газов и решению задач промышленной инженерии. После окончания университета он поступил во французскую армию в качестве военного инженера и прослужил до 1814 года.

Освободившись от ограничений военной жизни, Карно начал широкий спектр исследований, которые продолжались, несмотря на многочисленные перерывы, до само́й смерти. В дополнение к частным занятиям он посещал курсы:

  • в Сорбонне;
  • Коллеж де Франс.
  • в Школе шахт;
  • в Консерватории искусств.

В последней он стал другом Николаса Клемента, который преподавал курс прикладной химии, а затем занимался важными исследованиями паровых двигателей и теории газов.

Одним из особых интересов Карно было промышленное развитие, которое он изучал во всех его аспектах. Он часто посещал фабрики и мастерские, читал новейшие теории политической экономии и оставлял в своих заметках подробные предложения по таким актуальным проблемам, как налоговая реформа. Помимо этого, его деятельность и способности охватили математику и изобразительное искусство.

В 1821 году Карно прервал учёбу, чтобы провести несколько недель со своим отцом и братом в Магдебурге. По-видимому, именно после этого визита он снова в Париже начал концентрироваться на проблемах парового двигателя. 12 июня 1824 года была опубликована его книга «Отражение в чистоте и весе».

После публикации Карно продолжил исследования, выводы из которых сохранились в его рукописных заметках.

Однако реорганизация корпуса Генерального штаба вынудила Карно вернуться на службу в 1827 году в звании капитана.

После менее чем годовой работы в качестве военного инженера Карно ушёл в отставку навсегда и вернулся в Париж. Он снова сосредоточил своё внимание на проблемах конструкции двигателя и теории тепла.

В 1831 году Карно начал исследовать физические свойства газов и паров, особенно связь между температурой и давлением. Однако в июне 1832 года он заболел скарлатиной.

За этим последовала «мозговая лихорадка», которая настолько подорвала его хрупкое здоровье, что 24 августа 1832 года он стал жертвой эпидемии холеры и умер в течение дня, в возрасте 36 лет.

Согласно обычаю, его личные вещи, включая почти все его бумаги, были сожжены.

Работы учёного

Самая ранняя из основных рукописей написана, вероятно, в 1823 году и озаглавлена «Поиск формулы для представления движущей силы водяного пара». Как видно из названия, это была попытка найти математическое выражение для движущей силы, производимой паром. Явно стремясь найти общее решение, охватывающее все типы паровых двигателей, Карно сократил их работу до трёх основных этапов:

  • изотермическое расширение при подаче пара в цилиндр;
  • адиабатическое расширение;
  • изотермическое сжатие в конденсаторе.

Эссе как по методам, так и по целям похоже на многие статьи, опубликованные между 1818 и 1824 годами такими учёными, как Хашетт, Навье, Пети и Комбес.

Работа Карно, однако, отличается своим тщательным, чётким анализом используемых единиц и концепций и тем, что он использует как адиабатическую рабочую стадию, так и изотермическую стадию.

Отточенный характер, в отличие от его грубых заметок, делало её предназначенной для публикации, хотя она оставалась неизвестной в рукописи до 1966 года.

«Рефлексионы» (единственное произведение, опубликованное Карно за всю его жизнь) появилось в 1824 году как скромное эссе из 118 страниц. После краткого обзора промышленного, политического и экономического значения парового двигателя Карно поднял две проблемы, которые, по его мнению, помешали дальнейшему развитию как полезности, так и теории паровых двигателей:

  • Существует ли установленный предел для движущей силы тепла и, следовательно, для улучшения паровых двигателей?
  • Есть ли агенты предпочтительнее пара в производстве этой движущей силы?

Обе проблемы были своевременными и, хотя французские инженеры исследовали их в течение десятилетия, не было принято общепринятых решений. В отсутствии чёткой концепции эффективности предлагаемые конструкции паровых двигателей оценивались в основном по практичности, безопасности и экономии топлива.

Некоторые инженеры считали воздух, углекислоту и спирт лучшим рабочим веществом, чем пар.

Обычным подходом к этим проблемам было либо эмпирическое исследование расхода топлива и выходной мощности отдельных двигателей, либо применение математической теории газов к абстрактным операциям конкретного типа двигателя.

В своём выборе проблем Карно был твёрд в этой инженерской традиции, однако его метод был радикально новым и являлся сутью его вклада в науку о тепле.

Предыдущая работа над паровыми машинами, как видел Карно, провалилась из-за отсутствия достаточно общей теории, применимой ко всем тепловым двигателям и основанной на установленных принципах. В качестве основы своего исследования Карно тщательно изложил три предпосылки.

Первой была невозможность вечного движения — принцип, который долгое время предполагался в механике. В своей второй предпосылке Карно использовал калорийную теорию тепла, которая, несмотря на некоторую оппозицию, была принятой и самой развитой, доступной теорией тепла.

Принципы работы цикла Карно

Этот теоретический идеальный круговой термодинамический цикл был предложен французским физиком Сади Карно в 1824 году.

Он обеспечивал максимально возможный предел эффективности для любого классического термодинамического двигателя во время преобразования тепла в работу или, наоборот, эффективность системы охлаждения при создании разницы температур при приложении работы к системе. Фактический термодинамический цикл является теоретической конструкцией.

Каждая термодинамическая система существует в определённом состоянии. Когда система проходит через ряд различных явлений и, наконец, возвращается в исходное состояние, говорят, что произошёл термодинамический цикл. В процессе прохождения этого цикла система может выполнять работу, например, перемещая поршень, тем самым действуя, как тепловой двигатель.

Из каких процессов состоит Цикл Карно при работе в качестве теплового двигателя:

  1. Изотермическое расширение. Тепло передаётся обратимо из высокотемпературного резервуара при постоянной температуре T H (изотермическое добавление или поглощение тепла). На этом этапе газу позволяют расширяться, выполняя работу над окружающей средой, толкая поршень. Хотя давление падает, температура газа не изменяется во время процесса, поскольку он находится в тепловом контакте с горячим резервуаром в момент времени T h и, следовательно, расширение является изотермическим.
  2. Изоэнтропическое (обратимое адиабатическое) расширение газа. На этом этапе газ теплоизолирован как от горячего, так и от холодного резервуаров. Таким образом, они не получают и не теряют тепло. Газ продолжает расширяться за счёт снижения давления, выполнения работы на окружающую среду и потери количества внутренней энергии, равного проделанной работе. Расширение газа без подвода тепла приводит к его охлаждению до «холодной» температуры. Энтропия остаётся неизменной.
  3. Изотермическая компрессия. Тепло передаётся обратимо в низкотемпературный резервуар при постоянной температуре (изотермический отвод тепла). Теперь газ в двигателе находится в тепловом контакте с холодным резервуаром. Окружение работает на газе, толкая поршень вниз, в результате чего количество тепловой энергии Q 2 покидает систему в низкотемпературный резервуар, а энтропия системы уменьшается.
  4. Адиабатическое обратимое сжатие. Ещё раз газ в двигателе теплоизолирован от горячего и холодного резервуаров и предполагается, что двигатель не имеет трения и, следовательно, обратим. На этом этапе окружающая среда воздействует на газ, продвигая поршень вниз, увеличивая его внутреннюю энергию, сжимая и заставляя температуру подниматься обратно, но энтропия остаётся неизменной. В этот момент газ находится в том же состоянии, что и в начале шага 1.

Система, проходящая через этот цикл, называется тепловым двигателем Карно, хотя такой «идеальный» двигатель является лишь теоретической конструкцией и не может быть построен на практике. Тем не менее был разработан и запущен микроскопический тепловой двигатель.

По существу, есть два «тепловых резервуара», образующих часть теплового двигателя при температурах T h и T c (соответственно, горячий и холодный). Они обладают такой большой теплоёмкостью, что их температуры практически не зависят от одного цикла. Поскольку цикл теоретически обратим, энтропия в течение цикла не возникает, но сохраняется.

Во время цикла произвольное количество энтропии S извлекается из горячего резервуара (нагревателя) и осаждается в холодном резервуаре.

Поскольку в обоих резервуарах изменения объёма не происходит, они не работают, и в течение цикла количество энергии T h ΔS извлекается из горячего резервуара, а меньшее количество энергии T c ΔS откладывается в холодном резервуаре. Разница в двух энергиях (T h -T c) ΔS равна работе, проделанной двигателем.

Поведение двигателя или холодильника Карно лучше всего понять с помощью диаграммы, в которой координатами являются температура и энтропия. Термодинамическое состояние определяется точкой на графике с энтропией (S) в качестве горизонтальной оси и температуры (T) в качестве вертикальной оси.

Для простой замкнутой системы любая точка на графике будет представлять конкретное состояние системы. Термодинамический процесс будет состоять из кривой, соединяющей начальное состояние (A) и конечное состояние (B), и представляющей собой количество тепловой энергии, передаваемой в процессе.

Если процесс движется к большей энтропии, площадь под кривой будет количеством тепла, поглощённого системой. Когда процесс движется к меньшей энтропии, это будет количество отводимого тепла.

Для любого циклического процесса есть верхняя часть цикла и нижняя часть.

Для цикла по часовой стрелке область под верхней частью будет тепловой энергией, поглощённой в течение цикла, тогда как область под нижней частью будет тепловой энергией, удалённой во время цикла.

Площадь внутри цикла будет тогда разницей между ними, но поскольку внутренняя энергия системы должна вернуться к своему первоначальному значению, эта разница должна быть объёмом работы, которую должна совершать системой за цикл.

Перевёрнутый цикл

Описанный цикл теплового двигателя является полностью обратным циклом Карно. То есть все процессы, из которых он состоит, могут быть обращены вспять, и в этом случае цикл становится холодильным циклом Карно.

На этот раз цикл остаётся точно таким же, за исключением того, что направления любых тепловых и рабочих взаимодействий меняются местами.

Тепло поглощается из низкотемпературного резервуара, отбрасывается в высокотемпературный резервуар, и для этого требуется работа.

Диаграмма P-V обращённого цикла такая же, как и для цикла Карно, за исключением того, что направления процессов меняются местами.

Если же в цикле возникает передача теплоты при наличии разности температур, а такими являются все технические реализации термодинамических циклов, то цикл становится необратимым. КПД такого цикла будет всегда меньше, чем КПД цикла Карно.

Теорема Карно

Эта теорема является формальным утверждением этого факта: ни один двигатель, работающий между двумя тепловыми резервуарами, не может быть более эффективным, чем двигатель Карно, работающий между этими же резервуарами.

Следствие из теоремы Карно гласит: все реверсивные двигатели, работающие между одними и теми же тепловыми резервуарами, одинаково эффективны. Теоретический максимальный КПД теплового двигателя равён разнице в температуре между горячим и холодным резервуаром, делённой на абсолютную температуру горячего резервуара.

Исходя из этого, становится очевидным интересный факт: понижение температуры холодного резервуара будет иметь большее влияние на потолочную эффективность теплового двигателя, чем повышение температуры горячего резервуара на ту же величину. В реальном мире это труднодостижимо, так как холодный резервуар часто имеет существующую температуру окружающей среды.

Другими словами, максимальная эффективность достигается тогда, когда в цикле не создаётся новая энтропия, что было бы в случае, если, например, трение привело к рассеиванию работы в тепло. В противном случае, поскольку энтропия является функцией состояния, требуемый сброс тепла в окружающую среду для удаления избыточной энтропии приводит к (минимальному) снижению эффективности.

В мезоскопических тепловых двигателях работа за цикл обычно колеблется из-за теплового шума. Если цикл выполняется квазистатически, флуктуации исчезают даже на мезомасштабах.

Но если цикл выполняется быстрее, чем время релаксации рабочего тела, колебания работы неизбежны.

Тем не менее когда учтены рабочие и тепловые колебания, существует точное равенство, которое связывает экспоненциальное среднее значение работы, выполненной любым тепловым двигателем, и теплопередачу от горячей тепловой ёмкости.

Карно понимал, что в действительности невозможно создать термодинамический обратимый двигатель, поэтому реальные тепловые двигатели менее эффективны. Кроме того, реальные двигатели, работающие в этом цикле, встречаются редко. Но хотя прямой цикл французского учёного является идеализацией, его выражение эффективности всё ещё полезно для дальнейших исследований.

Примером обратимого цикла также является идеальный цикл Стирлинга. Существует и другие идеальные циклы, в которых коэффициент полезного действия определяется по той же формуле, что и для циклов Карно и Стирлинга, например, цикл Эрикссона.

Источник: https://nauka.club/fizika/tsikl-karno.html

Раздел 2. Второе начало термодинамики

Во сколько раз работа, совершаемая при цикле, меньше работы, совершаемой в цикле Карно

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Первое начало термодинамики не дает никаких указаний относительно направления, в котором могут происходить процессы в природе. Пусть изолированная система состоит из двух тел, взаимодействующих между собой.

В каком направлении будет переходить тепло от одного тела к другому – на этот вопрос первое начало термодинамики ответить не может. Второе начало термодинамики позволяет судить о направлении процессов, которые могут происходить в действительности.

Основоположником второго начала термодинамики считается французский инженер и физик Сади Карно. В своём сочинении «О движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу», вышедшем в 1834 г. (значительно ранее открытия первого начала Р.

Майером, Джоулем и Гельмгольцем), он исследовал превращения теплоты в работу.

§2.1. Тепловые машины.

Тепловые машины или тепловые двигатели предназначены для получения полезной работы за счет теплоты, выделяемой при сгорании топлива (химических реакций), ядерных превращений или по другим причинам (например, вследствие нагрева солнечными лучами). Все тепловые машины можно разделить на два типа.

Машины первого типа выполняют полезную работу за счет последовательности круговых циклов. К таким машинам относятся: паровые машины, паровые и газовые турбины, компрессоры, двигатели внутреннего сгорания и.т.д.. В итоге каждого цикла машина возвращается в первоначальное состояние.

Машины второго типа совершают некруговые процессы, производя при этом полезную работу. В подобных устройствах машина – некоторая система, находящаяся первоначально в неравновесном состоянии, приходит в состояние равновесия. Переход в равновесное состояние сопровождается совершением полезной работы.

К таким машинам относятся все устройства однократного действия. Чаше всего в таких устройствах полезная работа производится за счет химических реакций, протекающих в системе (например: гальванические элементы, ракеты). Для работы тепловой машины первого типа обязательно необходимы следующие составляющие: нагреватель, холодильник и рабочее тело.

При этом, если необходимость в наличии нагревателя и рабочего тела обычно не вызывает сомнений, то холодильник как составная часть тепловой машины в её конструкции зачастую отсутствует. В качестве холодильника выступает окружающая среда. Принцип действия тепловых машин заключается в следующем.

Нагреватель передает рабочему телу теплоту, вызывая повышение его температуры Q1. Рабочее тело (газ) совершает работу над каким-либо механическим устройством, например, приводит во вращение турбину, и далее отдает холодильнику теплоту Q2, возвращаясь в исходное состояние.

В соответствии с первым началом термодинамики, при осуществлении кругового процесса, из-за возвращения рабочего тела в исходное состояние, его внутренняя энергия за цикл не изменяется. Поэтому совершенная рабочим телом механическая работа равна разности подведенной и отведенной теплоты:

. (2.1)

Таким образом, тепловая машина совершила круговой процесс, в результате которого нагреватель отдал тепло Q1, холодильник получил тепло Q2, тепло Q=Q2-Q1 пошло на производство работы A1-A2.

Отношение

(2.2)

называется коэффициентом полезного действия тепловой машины.

Рассмотрим схематически цикл, по которому осуществляется работа тепловой машины первого типа. Схематически тепловая машина изображена на рис.5.а. В цилиндре машины помещается вещество, называемое рабочим телом.

Для определенности будем считать, что рабочим телом является газ. Круговой процесс, происходящей в направлении часовой стрелки, представляет собой схему работы любой тепловой машины, трансформирующей тепло в работу.

Рис.5.а Рис.5.б

Если мы теперь рассмотрим цикл, который происходит в обратном направлении против часовой стрелки, то переменятся на обратные и знаки количества тепла и работы. Мы получим схему работы холодильной машины, над которой совершается работа (см. Рис.5.б), но при этом тепло от менее нагретого тела переходит к более нагретому телу.

Из различных круговых процессов особое значение в термодинамике имеет цикл Карно.

Это квазистатический процесс, в котором систему можно приводить в тепловой контакт без теплового обмена с внешней средой (адиабаттически) с двумя тепловыми резервуарами, имеющими постоянные температуры Т1 и Т2.

Тепловой резервуар с более высокой температурой Т1 называется нагревателем, а с более низкой температурой Т2 — холодильником. Цикл Карно заключается в следующем. Сначала система, имея температуру Т1, приводится в тепловой контакт с нагревателем.

Затем, бесконечно медленно уменьшая внешнее давление, система квазистатически расширяется по изотерме 12 (рис.6.). При этом она заимствует тепло Q1 от нагревателя и производит работу А12 против внешнего давления. После этого систему адиабатически

Рис. 6.

изолируют, и она продолжает квазистатически расширяться по адиабате 23, пока её температура не достигнет температуры холодильника Т2. При адиабатическом расширении система также совершает некоторую работу А23 против внешнего давления.

В состоянии 3 систему приводят в тепловой контакт с холодильником и непрерывном увеличении давления изотермически сжимают её до некоторого состояния 4.

При этом над системой производится работа (сама система совершает отрицательную работу A34), и она отдает холодильнику некоторое количество тепла Q2.

Состояние 4 выбирается так, чтобы можно было квазистатическим сжатием по адиабате 41 вернуть систему в исходное состояние. Для этого над системой надо совершить работу (т.е. система должна произвести отрицательную работу А41). Таким образом, суммарная работа равна:

. (2.3)

Сади Карно, изучая работу тепловых машин, сформулировал две теоремы:

1. Коэффициент полезного действия любой обратимой тепловой машины, работающей по циклу Карно, не зависит от природы рабочего тела и устройства машины, а является функцией только температуры нагревателя и холодильника:

. (2.4)

2. Коэффициент полезного действия любой тепловой машины, работающей по необратимому циклу, меньше коэффициента полезного действия машины с обратимым циклом Карно, при условии равенства температур их нагревателей и холодильников.

§2.2. Формулировки второго начала термодинамики.

Формула (2.2) показывает, что к.п.д. не может быть больше единицы, но сама по себе она не исключает возможности равенства h единице. Это может произойти, если теплота, поступившая от нагревателя в машину, полностью превращается в работу.

Принципом Кельвина называется утверждение о том, что: «Невозможен круговой процесс, единственным результатом которого было бы производство работы за счет охлаждения теплового резервуара». Это одно из выражений второго начала термодинамики.

Другая из возможных формулировок второго начала термодинамики принадлежит Клаузиусу: невозможен циклический процесс, единственным результатом которого была бы передача теплоты от менее нагретого тела к более нагретому.

В такой формулировке справедливость второго начала термодинамики почти очевидна: трудно представить себе ситуацию, когда не произошло никаких изменений, а некоторое количество теплоты как бы само собой перешло от тела с меньшей температурой, которое охладилось, к телу с большей температурой, которое еще больше нагрелось.

Предположим, что такой процесс возможен. Взяв простейшую тепловую машину, произведем круговой процесс, в результате которого машина, получив от нагревателя тепло Q1, передаст холодильнику тепло Q2 и, при этом совершит положительную работу A=Q1-Q2. Затем вернем тепло Q2 от холодильника нагревателю.

В результате, реализован круговой процесс, единственным результатом которого является производство работы А за счет охлаждения теплового резервуара. Но такой процесс отрицается принципом Кельвина, следовательно, мы показали, что формулировки второго начала термодинамики Кельвина и Клаузиуса эквивалентны.

Формулировка Клаузиуса не утверждает, что передача тепла от тела менее нагретого к телу более нагретому невозможна вообще. Она невозможна при условии, что во всех остальных телах никаких изменений не происходит. В этом смысл слова «самопроизвольно», употребленного при формулировке второго начала термодинамики.

Если же допустить другие процессы, то передача тепла от тела менее нагретого к телу более нагретому становится возможной. Такие процессы называются компенсирующими процессами или, компенсациями. Так, в холодильных машинах тепло, полученное от менее нагретого тела, передается более нагретому телу.

Это не противоречит формулировке Клаузиуса, так как такой переход сопровождается работой электрического мотора.

Задача 2.1.Доказать, что коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по циклу Карно равен .

Решение. Цикл Карно состоит из двух изотерм 1-2 и 3-4, которым соответствуют температуры Т1 и Т2 и двух адиабат 2-3, 4-1 (рис.1.2.). В этом цикле рабочим веществом является идеальный газ. Передача количества теплоты от нагревателя рабочему веществу происходит при температуре Т1, а от рабочего вещества к холодильнику – при температуре Т2.

Определим к.п.д. цикла Карно.

При температуре Т1 нагреватель передает тепло рабочему телу (см. таблицу)

При температуре Т2 в процессе 3-4 тепло передается холодильнику

Отсюда к.п.д. цикла Карно равен:

Логарифм отношения объемов определим из уравнений адиабатических процессов.

Поделим выражения друг на друга, получим, что

.

Следовательно, логарифмы отношений объемов V2/V1 и V3/V4 равны и к.п.д. цикла Карно определяется только температурами холодильника и нагревателя и не зависит от рабочего вещества и конструкции машины, совершающей цикл.

Задачи для самостоятельного решения:

Задача. 2.2.Идеальный газ (n=1 кмоль) совершает циклический процесс, изображенный двумя изохорами и двумя изобарами.

При этом объем газа изменяется от V1=25 м3 до V2=50 м3, а давления изменяется от p1=100 кПа до p2=200 кПа.

Во сколько раз работа, совершаемая при таком цикле, меньше работы, совершаемой в цикле Карно, изотермы которого соответствуют наибольшей и наименьшей температурам рассматриваемого цикла, если при изотермическом расширении объем увеличился в два раза?

Ответ:

Задача. 2.3.Один киломоль идеального двухатомного газа находился под давлением p1=100кПа при температуре Т1=300К.

После нагревания в изохорном процессе давление газа стало равным p2=200кПа. После этого газ изотермически расширялся до давления Р1, а затем был изобарически сжат до начального объема V1.

Определите температуру изотермического процесса и КПД цикла.

Ответ: Т2=600К, h=0,1.

Задача. 2.4. Определите температуру Т в камере холодильника, если количество сообщенной теплоты в e=5 раз превышает энергию, затраченную на работу. Холодильник работает по циклу Карно. Температура воздуха в комнате T0=293K.

Ответ:

Задача. 2.5. Цикл Карно осуществляется в интервале температур T1=600K и T2=200К. Давление в конце изотермического расширения и в начале адиабатического сжатия одинаково. Рабочим телом является воздух. Определите полезную работу, совершаемую воздухом ( m=1 кг) за цикл.

Ответ: =4.41·105 Дж.

Задача 2.6.Идеальный газ совершает цикл, состоящий из изотермы, политропы и адиабаты, причем изотермический процесс происходит при максимально температуре цикла. Найти к.п.д. такого цикла, если температура Т в его пределах изменяется в n раз.

Ответ: h=1-(n-1)/(n·ln n)

Энтропия.

Разделив обе части равенства, выражающего первое начало термодинамики на Т, получим:

, (2.5)

где dQ/T – приведенная теплота. Подставляя в (2.5) p/T=R/V и учитывая, что dT/T=d lnT, dV/V= d lnV, находим:

. (2.6)

Правая часть равенства представляет собой полный дифференциал. Следовательно, левая часть dQ/T также полный дифференциал. Функция состояния, дифференциалом которой является dQ/T, называется энтропией и обозначается S. Таким образом:

. (2.7)

Для термодинамической системы, совершающей квазистатический циклический процесс, в котором система получает малое количество теплоты dQ при соответствующих значениях абсолютной температуры Т, интеграл от приведенного количества теплоты по всему замкнутому циклу равен нулю (т.н. равенство Клаузиуса ).

Совместное применение первой и второй теорем Карно позволяет получить следующее неравенство:

. (2.8)

Знак равенства в этой формуле соответствует случаю описания обратимой тепловой машины, а знак меньше — описанию необратимой тепловой машины.

Формулу (2.8) можно преобразовать к виду:

. (2.9)

Тогда,

. (2.10)

или

. (2.11)

Если полученное выражение записать через количество теплоты, подводимой к рабочему телу от нагревателя и холодильника Q2=-Q2’, то оно примет вид:

. (2.12)

Формула (2.12) представляет собой частный случай неравенства Клаузиуса.

Для необратимых процессов интеграл от приведенной теплоты dQ/T по замкнутому пути всегда отрицателен , энтропия возрастает (т.н. неравенство Клаузиуса). Неравенство Клаузиуса (2.12) позволяет отличать обратимые и необратимые круговые термодинамические процессы.

В случае, если термодинамический цикл состоит только из обратимых процессов, неравенство переходит в равенство Клаузиуса. Случай строгого неравенства в формуле (2.12) соответствует описанию необратимых круговых термодинамических процессов, и это выражение применяется в неравновесной термодинамике.

Необходимо также заметить, что формула (2.7) дает определение разности энтропий, но не ее абсолютное значение. С помощью этой формулы можно вычислить, чему равно изменение энтропии при переходе из одного состояния в другое, но нельзя сказать, чему равна энтропия в каждом из состояний, т.е.

энтропия определена с точностью до произвольной аддитивной постоянной.

Применим формулу (2.7) для вычисления изменения энтропии в изотермическом процессе, где температура газа остается неизменной, а всевозможные изменения термодинамических характеристик обусловлены лишь изменением объема. Для этого случая dS=R·dlnV. И, следовательно, после интегрирования S2-S1=R(lnV2-lnV1).

Для дальнейшего преобразования выражения, стоящего в правой части, необходимо принять во внимание связь объема, который занимает газ в равновесном состоянии, с числом пространственных микросостояний частиц газа. Число частиц в моле газа равно постоянной Авогадро NA.

Равновесное состояние осуществляется наибольшим числом способов реализации этого состояния.

Термодинамическую вероятностью G или статистическую сумму можно определить как число микросостояний, реализующих данное макросостояние.

Для изотермического процесса число микросостояний определяется количеством способов размещений частиц в объеме системы. Таким образом, можно записать, что и . С использованием формулы Стирлинга (при больших n выполняется равенство ) получаем: .

Исследуя не слишком сжатый газ, когда N1 и N2 много больше, чем NA, тогда получаем:

. Логарифмируя выражение, находим, что . Подставляя это выражение в S2-S1=R(lnV2-lnV1), приводим его к виду S2-S1=k(lnG02-lnG01). Вид формулы наводит на мысль, что энтропия определяется логарифмом числа микросостояний, посредством которых реализуется рассматриваемое макросостояние:

Это равенство называется формулой Больцмана. Вышеприведенные рассуждения не являются доказательством формулы Больцмана. Формула (2.8) позволяет дать энтропии очень наглядное толкование. Чем сильнее упорядочена система, тем меньше число микросостояний, которым осуществляется макросостояние. Энтропия – мера упорядоченности системы.

Будучи предоставлена самой себе, система стремится к равновесному состоянию, а поскольку равновесное состояние – наиболее вероятное, т.е. соответствует максимуму термодинамической вероятности, то стремление системы к равновесию тождественно означает возрастание энтропии S к своему максимальному значению при заданных внешних условиях.

Применим неравенство Клаузиуса для описания необратимого кругового термодинамического процесса. Пусть процесс 1→2 будет необратимым, а процесс 2→1 — обратимым. Тогда неравенство Клаузиуса для этого случая примет вид

. (2.13)

Так как процесс является обратимым, для него можно воспользоваться соотношением , подставляя его в (2.13), получаем:

. (2.14)

Для обратимых и необратимых процессов можно записать закон возрастания энтропии:

, (2.14)

в котором знак равенства имеет место в случае, если процесс 1→2 является обратимым, а знак больше, если процесс 1→2 — необратимый.

Полученные неравенства выражают собой закон возрастания энтропии, который можно сформулировать следующим образом:

В адиабатически изолированной термодинамической системе энтропия не может убывать: она или сохраняется, если в системе происходят только обратимые процессы, или возрастает, если в системе протекает хотя бы один необратимый процесс.

Записанное утверждение является ещё одной формулировкой второго начала термодинамики. Таким образом, изолированная термодинамическая система стремится к максимальному значению энтропии, при котором наступает состояние термодинамического равновесия.

В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример. Пусть один моль идеального газа заключен в цилиндр с твердыми адиабатическими стенками. Цилиндр разделен на две части твердой перегородкой AB. Сначала газ занимает одну из этих частей с объемом V1. Во второй части — вакуум. Затем перегородка убирается.

Газ начинает перетекать во вторую часть цилиндра, пока не выровняются давление и температура в обеих частях. Вычислим изменение энтропии газа. В результате описанного процесса внутренняя энергия газа не меняется, так как он заключен в жесткую адиабатическую оболочку. Не меняется и температура газа, поскольку она однозначно определяется его внутренней энергией.

Обозначим через V2 – конечные объемы газа. Чтобы вычислить изменение энтропии газа, надо перевести его из начального состояния в конечное квазистатически. Это можно сделать, приведя газ в тепловой контакт с нагревателем, имеющим температуру Т. Бесконечно медленно уменьшая давление на газ, можно его изотермически перевести в конечное состояние с объемом V2.

При этом газ будет заимствовать тепло от нагревателя и превращать его в эквивалентную работу. Для изотермического процесса: . А . Отсюда .

Энтропия возросла. Поэтому адиабатическое расширение газа в пустоту – необратимый процесс.

Обратим внимание на довольно распространенную ошибку. Говорят, что если теплота не подводится, т.е. dQ=0, то и dS=dQ/T=0. Отсюда заключают, что S=const.

Ошибка заключается в том, что равенством dS=dQ/T можно пользоваться в случае только квазиравновесных процессов. Для неравновесных процессов это равенство не имеет места.

Для определения разности энтропий интеграл должен быть взят для произвольного, но обязательно квазистатического процесса, переводящего систему из начального состояния в конечное.

Необходимо отметить, что если система не является изолированной, то в ней возможно уменьшение энтропии. Примером такой системы может служить, например, обычный холодильник, внутри которого возможно уменьшение энтропии. Но для таких открытых систем это локальное понижение энтропии всегда компенсируется возрастанием энтропии в окружающей среде, которое превосходит её локальное уменьшение.

Задача 2.7. При нагревании двухатомного газа (n=1 кмоль) его абсолютная температура увеличивается в х=1,5 раза. Найти изменение энтропии, если нагревание происходит: а) изохорно; б) изобарно.

Решение. Изменение энтропии можно определить, используя уравнение (3.3). При изохорном процессе, объем не изменяется, работа не совершается.

dQ=dU

Тогда изменение энтропии в процессе а) можно сосчитать по формуле:

Постоянную адиабаты g можно определить из (1.5), зная, что для двухатомного газа количество степеней свободы равно i=5, g=1.4.

Для изобарического процесса, изменение энтропии можно сосчитать, выразив давление из уравнения Менделеева – Клапейрона .

Так как при изобарическом процессе отношение давлений равно отношению температур, то при изобарическом процессе изменение энтропии определяется выражением:

.

Задача 2.8. Два баллона емкостью V1 и V2соединены трубкой с краном, и оба заполнены кислородом. Давление в сосудах соответственно p1 и p2.

Найти изменение энтропии системы в результате перемешивания газов после открытия крана. Вся система изолирована. Начальная температура в баллонах одинакова и равна Т0.

При данных давлениях и температуре газ близок по своим свойствам к идеальному.

Решение. В случае равенства давлений p1=p2 при открытии крана молекулы газа из первого баллона могут переместиться во второй и наоборот, но так как молекулы неразличимы между собой, мы этого не заметим. Закрыв кран, мы будем иметь ту же картину, что и в начале задачи. Энтропия системы остается постоянной.

Теперь рассмотрим случай, когда давления в баллонах разные. Смешивание происходит адиабатически, но необратимым образом, поэтому энтропия системы должна возрастать. Что произойдет, если мы откроем кран? Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры. Так как система изолирована, внутренняя энергия газа остается постоянной.

В конечном состоянии мы будем иметь газ при температуре Т0и некотором давлении р.

Так как молекулы газа в первом и во втором баллонах неразличимы между собой мы можем кран заменить поршнем, который будет перемещаться обратимым образом при Т0=const, пока не выровняется давление.

Первое начало термодинамики можно записать в следующем виде

.

Постоянство внутренней энергии дает соотношение:

В силу аддитивности энтропии, ее общее изменение представится суммой изменений для каждого баллона

где и — объемы после выравнивания давлений. Записав очевидные соотношения

имеем

Таким образом,

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Дата добавления: 2015-11-05; просмотров: 2088 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов

Источник: https://lektsii.org/3-107903.html

XIV. КПД ЦИКЛА И ДВИГАТЕЛЯ

Во сколько раз работа, совершаемая при цикле, меньше работы, совершаемой в цикле Карно

1) Многоатомный идеальный газ совершает цикл Карно, при этом в процессе адиабатического расширения объем газа увеличился в n=4 раза. Определить термический КПД цикла.

2) Рабочее тело теплового двигателя — идеальный двухатомный газ — совершает цикл, состоящий из следующих процессов: изобарного, адиабатического и изотермического. В результате изобарного процесса газ нагревается от 300К до 600К. Определить термический КПД теплового двигателя.

3) Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества n=1 моль, совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Наименьший объем Vmin=10л, наибольший Vmax=20л, наименьшее давление pmin=246кПа, наибольшее pmax=410кПа. Построить график цикла. Определить температуру газа для характерных точек цикла и его термический КПД.

4) Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества n=1 моль и находящийся под давлением p1=0,1МПа при температуре T1=300K, нагревают при постоянном объеме до давления p2=0,2МПа.

После этого газ изотермически расширился до начального давления и затем изобарно был сжат до начального объема V1. Построить график цикла.

Определить температуру T газа для характерных точек цикла и его термический КПД h.

5) Идеальный многоатомный газ совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар, причем наибольшее давление газа в два раза больше наименьшего, а наибольший объем в четыре раза больше наименьшего. Определить термический КПД h цикла.

6) Найти расход горючего на 100км для автомобиля «Волга» при скорости 90км/час, если КПД двигателя равен 35,8%, а развиваемая им мощность равна в среднем 0,4 максимальной мощности, составляющей 72кВт.

7) Автомобиль движется со скоростью 72км/час. Мощность двигателя 60кВт, КПД 30%. Каков расход бензина на 1км пути?

8) Реактивный самолет имеет 4 двигателя, каждый из которых развивает силу тяги 30кН. КПД двигателей 25%. Найти расход керосина на перелет длиной 4000км.

9) Газовая нагревательная колонка потребляет 1,2м3 метана в час. Найти температуру подогретой воды, если вытекающая струя имеет скорость 0,5м/с. Диаметр струи 1см, начальная температура воды и газа 11оС. КПД нагревателя 0,6.

10) Найти КПД цикла. Рабочее тело – одноатомный идеальный газ.

11) Найти КПД цикла. Рабочее тело – одноатомный идеальный газ.

12) Один кмоль идеального газа совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. При этом объем газа изменяется от 25м3 до 50м3 и давление изменяется от 100кПа до 200кПа.

Во сколько раз работа, совершаемая при таком цикле, меньше работы, совершаемой в цикле Карно, изотермы которого соответствуют наибольшей и наименьшей температурам рассматриваемого цикла, если при изотермическом расширении объем увеличивается в 2 раза?

13) Найти работу паровой машины, совершаемую за каждый цикл, если V0=0,5л, V1=1,5л, V2=3л, р0=0,1МПа, р1=1,2МПа, коэффициент Пуассона g=1,33. CD – адиабата.

14) Паровая машина мощностью 14,7кВт потребляет за 1 час работы 8,1кг угля. Температура котла 200оС, температура холодильника 58оС. Найти фактический КПД машины и сравнить его с КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно с теми же температурами нагревателя и холодильника.

15) Найти КПД цикла, если V1/V2=5 и коэффициент Пуассона g=1,33. ВС и AD – адиабаты.

16) В цилиндрах карбюраторного двигателя газ сжимается адиабатически до V2=V1/6. Начальное давление 90кПа, начальная температура 127оС. Найти давление и температуру газа в цилиндрах после сжатия. Коэффициент Пуассона 1,3.

17) В цилиндрах карбюраторного двигателя газ сжимается адиабатически так, что после сжатия температура газа становится равной 427оС. Начальная температура 140оС. Степень сжатия V2/V1=5,8. Найти показатель адиабаты.

18) Диаметр цилиндра карбюраторного двигателя 10см, ход поршня 11см.

Какой объем должна иметь камера сжатия, если известно, что начальное давление газа 0,1МПа, начальная температура 127оС и давление в камере после сжатия 1МПа.

Процесс, происходящий в камере сгорания, считать адиабатическим. Найти работу, совершенную при сжатии. Воздух считать идеальным двухатомным газом.

19) Найти КПД карбюраторного двигателя, если V1/V2=4 и коэффициент Пуассона g=1,33. ВС и AD – адиабаты.

20) Найти КПД карбюраторного двигателя, если V1/V2=6 и коэффициент Пуассона g=1,33. ВС и AD – адиабаты.

21) Найти КПД карбюраторного двигателя, если V1/V2=8 и коэффициент Пуассона g=1,33. ВС и AD – адиабаты.

22) Карбюраторный двигатель мощностью 735,5Вт потребляет за 1 час 265г бензина. Найти фактический КПД машины и сравнить его с КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно. Степень сжатия в цикле Карно V2/V1=6,2. Показатель адиабаты 1,2.

23) Двигатель Дизеля имеет степень адиабатического сжатия 16 и степень адиабатического расширения 6,4. Какую минимальную массу нефти потребляет двигатель мощностью 36,8кВт за 1 час? Коэффициент Пуассона для адиабат CD и AB g=1,3.

24) Идеальный двухатомный газ, занимающий объем , подвергли адиабатическому расширению. При этом его объем возрос в 5 раз. Затем газ подвергли изобарному сжатию до начального объема. В результате изохорного нагревания он был возвращен в первоначальное состояние. Постройте график цикла и определите термический КПД цикла.

25) Идеальный двухатомный газ (ν=3моль), занимающий объем и находящийся под давлением 1МПа, подвергли изохорному нагреванию до 500К. Затем газ подвергли изотермическому расширению до начального давления, а затем он в результате изобарного сжатия возвращен в первоначальное состояние. Постройте график цикла и определите термический КПД цикла.

26) Азот массой 500г, находящийся под давлением 1МПа при температуре 127оС, подвергли изотермическому расширению, в результате которого давление газа уменьшилось в 3 раза. После этого газ подвергли адиабатному сжатию до начального давления, а затем он был изобарно сжат до начального объема. Постройте график цикла и определите работу, совершенную газом за цикл.

27) Вычислить КПД двигателя для случая идеального одноатомного газа, если температуры в точках цикла равны ТА=524К, ТВ=786К, ТС=450К, ТD=300К. Кривые ВС и DА – адиабаты.

28) Реактивный самолет пролетает с постоянной скоростью 900км/час путь 1800км, затрачивая при этом горючее массой 4 тонны. Мощность двигателя самолета 5990кВт, КПД=23%. Какова удельная теплота сгорания топлива, применяемого самолетом?

29) Какое количество керосина потребовалось бы сжечь, чтобы вывести спутник массой 1 тонна на круговую орбиту вблизи поверхности Земли, если бы сопротивления воздуха не было, и вся теплота целиком превращалась бы в работу? Удельная теплота сгорания керосина 46МДж/кг.

30) Найти КПД цикла. Рабочее тело – одноатомный идеальный газ.

Источник: https://poisk-ru.ru/s9489t13.html

Biz-books
Добавить комментарий