Вариационное исчисление. Будылин А.М.

А.М.Будылин — Вариационное исчисление

Вариационное исчисление. Будылин А.М.

Вариационное исчисление

А.М.Будылин

budylin@mph.phys.spbu.ru

21 мая 2001 г.

Постановка некоторых . . .

Введение в вариационный метод

Уравнение Эйлера–Лагранжа Приложения Обобщения

Задачи на условный экстремум Первое необходимое условие . . .

Семейства экстремалей Динамика частиц Проблема минимума . . .

Существование минимума . . .

Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 1 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Часть I

Необходимые условия экстремума

Постановка некоторых вариационных задач

Отыскание геодезических

На плоскости

На произвольной поверхности

Задача о брахистохроне

Задача о наименьшей поверхности

Катеноид

Проблема Плато

Простейшая вариационная задача

Простейшая изопериметрическая задача

Задача навигации

Введение в вариационный метод

Происхождение названия «вариационное исчисление»

Современная терминология

Основная лемма

Основной вариант

Обобщение по гладкости

Постановка некоторых . . .

Введение в вариационный метод Уравнение Эйлера–Лагранжа

Приложения

Обобщения

Задачи на условный экстремум Первое необходимое условие . . .

Семейства экстремалей

Динамика частиц

Проблема минимума . . .

Существование минимума . . .

Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 2 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Обобщение на кратные интеграла

Лемма Дюбуа–Реймона

Уравнение Эйлера–Лагранжа

Постановка вопроса

Вариация интегрального функционала

Экскурс в дифференциальное исчисление

Дифференцирование интеграла по параметру

Цепное правило

Уравнение Эйлера–Лагранжа

Вывод уравнения

Замечания

Анализ уравнения Эйлера–Лагранжа

Fне зависит от y

Fне зависит от x

Случай полной производной F = dxd G(x, y)

Приложения

Геодезические

Уравнение Эйлера

Частный случай, первый вариант

Частный случай, второй вариант

Геодезические на сфере

Постановка некоторых . . .

Введение в вариационный метод

Уравнение Эйлера–Лагранжа

Приложения

Обобщения Задачи на условный экстремум

Первое необходимое условие . . .

Семейства экстремалей

Динамика частиц Проблема минимума . . .

Существование минимума . . .

Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 3 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Геодезические на поверхности вращения

Брахистохрона

Минимальная поверхность вращения

Катеноид

Огибающая

Геометрическая оптика

Обобщения

Случай нескольких искомых функций

Параметрическое представление

Случай производных высших порядков

Свободные концы

Естественные условия

Задача о навигации

Условие трансверсальности

Случай кратных интегралов

Экстремали двойного интеграла

Экстремали тройного интеграла

Задачи на условный экстремум

Изопериметрическая задача

Простейшая изопериметрическая задача

Прямые обобщения

Постановка некоторых . . .

Введение в вариационный метод

Уравнение Эйлера–Лагранжа Приложения

Обобщения

Задачи на условный экстремум

Первое необходимое условие . . .

Семейства экстремалей

Динамика частиц Проблема минимума . . .

Существование минимума . . .

Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 4 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Задача Дидоны

Задача Лагранжа

Простейший случай

Отыскание геодезических

Общий случай

Часть II. Достаточные условия экстремума

Часть III. Приложения

Предметный указатель

Постановка некоторых . . .

Введение в вариационный метод

Уравнение Эйлера–Лагранжа Приложения Обобщения

Задачи на условный экстремум Первое необходимое условие . . .

Семейства экстремалей

Динамика частиц

Проблема минимума . . .

Существование минимума . . .

Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 5 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

1.Постановка некоторых вариационных задач

Чтобы получить представление о вариационных задачах, рассмотрим некоторые из них.

1.1.Отыскание геодезических

1.1.1. На плоскости

Начнем с элементарного вопроса: что представляет собой плоская кривая наименьшей длины, соединяющая две фиксированные точки плоскости?

Для математической формулировки фиксируем две точки P1(x1, y1) и P2(x2, y2) на плоскости xy, считая x1 < x2, и рассмотрим гладкую кривую

y = y(x) ,x [x1, x2] ,
(y2= y(x2) ,(1.1)
y1= y(x1) ,

соединяющей точки P1 и P2. Длина дуги кривой (1.1), как хорошо известно, равна

x2
I = Z
1 + y02dx .(1.2)
x1p

Задача сводится к выбору функции y(x) так, чтобы интеграл (1.2) был наименьшим из возможных.

В постановке задачи мы наложили дополнительное ограничение (1.1), выражающееся в том, что y является однозначной функцией x. Это ограничение может быть

Постановка некоторых . . .

Введение в вариационный метод

Уравнение Эйлера–Лагранжа

Приложения

Обобщения

Задачи на условный экстремум

Первое необходимое условие . . .

Семейства экстремалей

Динамика частиц Проблема минимума . . .

Существование минимума . . .

Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 6 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

снято переходом к параметрическому заданию кривой в форме

y = y(t) ,t [t1, t2] ,
x = x(t) ,
(x2= x(t2) , y2(1.3)
= y(t2) .
x1= x(t1) , y1= y(t1) ,

1.1.2.На произвольной поверхности

Менее тривиальный случай. Пусть фиксированы две точки некоторой (гладкой) поверхности, заданной, например, уравнением

Что представляет собой кривая наименьшей длины, лежащая на этой поверхности и соединяющая фиксированные точки? Именно такие кривые и называются геодезическими.

Для математической формулировки этой задачи будем считать, что поверх-

ность (1.4) может быть задана параметрически
y = y(u, v) ,(1.5)
x = x(u, v) ,

z = z(u, v) .

Здесь u и v параметры, играющие роль координат на поверхности. Выразим квадрат дифференциала длины дуги в терминах дифференциалов u и v:

(ds)2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 ,(1.6)

Постановка некоторых . . .

Введение в вариационный метод

Уравнение Эйлера–Лагранжа

Приложения

Обобщения Задачи на условный экстремум

Первое необходимое условие . . .

Семейства экстремалей Динамика частиц Проблема минимума . . .

Существование минимума . . .

Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 7 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

в терминах дифференциалов u и v:
dx =∂xdu +∂xdv ,
∂u∂v
∂y∂y(1.7)
dy = ∂u du +∂v dv ,
dz =∂zdu +∂zdv ,
∂u∂v
откуда
(ds)2 = P (u, v)(du)2 + 2Q(u, v)dudv + R(u, v)(dv)2 ,(1.8)
где
∂x2∂y2∂z2
P =++,
∂u∂u∂u
∂x∂x∂y∂y∂z∂z(1.9)
Q = ∂u · ∂v + ∂u · ∂v + ∂u · ∂v ,
∂x2∂y2∂z2
R =++.
∂v∂v∂v
Отметим. что если координаты (u,v) на поверхности ортогональны, то
Q = 0(ортогональность) .(1.10)

Действительно, координатная сетка на поверхности задается кривыми u = Const и v = Const. Кривая u = u0 задается параметрически

x = x(u0, v) ,

y = y(u0, v) ,

z = z(u0, v) ,

Постановка некоторых . . .

Введение в вариационный метод

Уравнение Эйлера–Лагранжа

Приложения

Обобщения

Задачи на условный экстремум Первое необходимое условие . . .

Семейства экстремалей

Динамика частиц

Проблема минимума . . .

Существование минимума . . .

Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 8 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

где роль параметра играет только переменная v. Вектор

t =∂x,∂y,∂z,t = t (v) ,
∂v
→−∂v ∂v→− →−

направлен по касательной к этой кривой. Аналогично, касательным вектором к кри-

вой v = v0 с параметрическим заданием
y = y(u, v0) ,
x = x(u, v0) ,
z = z(u, v0) ,
будет вектор
s =∂x,∂y,∂z,s = s (u) .
→−∂u ∂u ∂us→− →−
→−
В случае ортогональных координат векторы→−и t , приложенные к общей точке
(u0, v0) — точке пересечения кривых u = u0 и v = v0, по определению, перпенди-
Q = s·→−
кулярны друг к другу. Но→−t = 0(скалярное произведение ортогональных

векторов), см. рис.1.

Фиксируем теперь на поверхности точки P1(u1, v1) и P2(u2, v2), считая u1 < u2, и рассмотрим кривую, лежащую на поверхности и соединяющую точки P1 и P2,

задавая ее явно
v = v(u) ,u [u1, u2] ,(1.11)
v1= v(u1) ,
(v2= v(u2) ,
Тогда длина дуги этой кривой дается интегралом
u2
I = Z
P + 2Qv0 + Rv02du .(1.12)
u1p

Постановка некоторых . . .

Введение в вариационный метод Уравнение Эйлера–Лагранжа

Приложения

Обобщения Задачи на условный экстремум

Первое необходимое условие . . .

Семейства экстремалей

Динамика частиц

Проблема минимума . . .

Существование минимума . . .

Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 9 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

→− s

v = v0

u = u0

y

x

Рис. 1: Криволинейные координаты на поверхности

Постановка некоторых . . .

Введение в вариационный метод

Уравнение Эйлера–Лагранжа Приложения Обобщения

Задачи на условный экстремум Первое необходимое условие . . .

Семейства экстремалей

Динамика частиц

Проблема минимума . . .

Существование минимума . . .

Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница

Титульный лист

JJ II

J I

Страница 10 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход

Источник: https://studfile.net/preview/375833/

Поиск материала «Вариационное исчисление, Будылин А.М., 2001» для чтения, скачивания и покупки

Вариационное исчисление. Будылин А.М.

  1. Вариационноеисчисление

    — Вариационное исчисление. А.М.Будылин. budylin@mph.phys.spbu.ru.

    Это та задача, которой вариационное исчисление обязано своим появлением на свет. Считается, что в июне 1696 года Йоган Бернулли перед своими учениками по-ставил следующую задачу: “Даны две…

    math.nw.ru

  2. Вариационноеисчисление | Будылин А.М. | digital library Bookfi

    Вариационное исчисление. Будылин А.М. Скачать (djvu, 5.77 Mb) Читать.

    bookfi.net

  3. Вариационноеисчисление | Будылин А.М. | digital library Bookfi

    Download books for free.

    * Конвертация файла может нарушить форматирование оригинала. По-возможности скачивайте файл в оригинальном формате.

    bookfi.net

  4. Вариационноеисчисление | Будылин А.М. | digital library Bookfi

    Download books for free.

    * Конвертация файла может нарушить форматирование оригинала. По-возможности скачивайте файл в оригинальном формате.

    bookfi.net

  5. Вариационноеисчисление | Будылин А.М. | download

    Вариационное исчисление А.М.Будылин budylin@mph.phys.spbu.ru 21 мая 2001 г. ш Постановка некоторых… Введение в вариационный метод Уравнение Эйлера-Лагранжа Приложения Обобщения Задачи на условный экстремум Первое необходимое условие…

    pl.b-ok.cc

  6. Вариационноеисчисление А.М. Будылин …. | digital library Bookfi

    Вариационное исчисление А.М. Будылин .pdf. Скачать (pdf, 1.90 Mb) Читать.

    * Конвертация файла может нарушить форматирование оригинала. По-возможности скачивайте файл в оригинальном формате.

    bookfi.net

  7. Вариационноеисчисление | Будылин А.М. | download

    Вариационное исчисление. Постановка некоторых . . . Введение в вариационный метод Уравнение Эйлера–Лагранжа Приложения. А.М.Будылин budylin@mph.phys.spbu.ru. Обобщения Задачи на условный экстремум Первое необходимое условие . . .

    ru.b-ok.xyz

  8. СкачатьБудылин А.М. — Варационное исчисление

    Учебное пособие по вариационному исчислению, оформленное автором в виде электронной книги с продуманной системой навигации., по видимому, не издавалась. Необходимые условия экстремума. Пос… Скачать Варационное исчисление.

    mexalib.com

  9. Скачать Варационное исчислениеБудылин А.М.

    Варационное исчисление. Автор. Будылин А.М. Издательство. Интернет-издание.

    Учебное пособие по вариационному исчислению, оформленное автором в виде электронной книги с продуманной системой навигации., по видимому, не издавалась.

    padabum.com

  10. Вариационноеисчисление | Будылин А.М. | download

    Вариационное исчисление. Вариационное исчисление.

    ru.b-ok.cc

  11. BookReader — Вариационноеисчисление (Будылин А.М.)

    Вариационное исчисление (Будылин А.М.)

    bookre.org

  12. Вариационноеисчисление | Будылин А.М. | download

    Вариационное исчисление. Вариационное исчисление.

    ru.b-ok.cc

  13. Вариационноеисчисление | Будылин А.М. | download

    Вариационное исчисление. Вариационное исчисление. Будылин А.М. Categories: Mathematics.

    ru.b-ok.cc

  14. Вариационноеисчисление | Будылин А.М | download

    Вариационное исчисление | Будылин А.М | download | B–OK. Download books for free. Find books…

    ru.b-ok.cc

  15. Вариационноеисчисление | Будылин А.М. | digital library Bookfi

    Вариационное исчисление | Будылин А.М. | digital library Bookfi | BookFi — BookFinder. Download books for free. Find books…

    en.bookfi.net

  16. Вариационноеисчисление | Будылин А.М. | digital library Bookfi

    Вариационное исчисление | Будылин А.М. | digital library Bookfi | BookFi — BookFinder. Download books for free. Find books…

    en.bookfi.net

  17. Вариационноеисчисление | Будылин А.М. | download

    Вариационное исчисление | Будылин А.М. | download | B–OK. Download books for free. Find books…

    zh.b-ok.cc

  18. Вариационноеисчисление | Будылин А.М. | download

    Вариационное исчисление | Будылин А.М. | download | B–OK. Download books for free. Find books…

    pl.b-ok.cc

  19. Вариационноеисчисление — EqWorld

    Вариационное исчисление. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек.

    Будылин А.М. Вариационное исчисление.

    eqworld.ipmnet.ru

  20. [ Будылин ] Вариационноеисчисление

    Вариационное исчисление. А.М.Будылин. budylin@mph.phys.spbu.ru. 21 мая 2001 г. Постановка некоторых . . . Введение в вариационный метод. Уравнение Эйлера–Лагранжа Приложения Обобщения. Задачи на условный экстремум Первое необходимое условие . . .

    studfile.net

  21. Вариационноеисчисление | Будылин А.М. | download

    Вариационное исчисление | Будылин А.М. | download | B–OK. Download books for free. Find books…

    pl.b-ok.cc

  22. Вариационноеисчисление | Будылин А.М. | download

    Вариационное исчисление | Будылин А.М. | download | B–OK. Download books for free. Find books…

    b-ok2.org

  23. Вариационноеисчисление | Будылин А.М | download

    Вариационное исчисление | Будылин А.М | download | B–OK. Download books for free. Find books…

    pl.b-ok.cc

  24. Вариационноеисчисление | Будылин А.М. | download

    Вариационное исчисление | Будылин А.М. | download | B–OK. Download books for free. Find books…

    b-ok.xyz

  25. «вариационноеисчисление» скачать бесплатно. Электронная…

    Электронная библиотека. Поиск книг BookFi | BookFi — BookFinder. Download books for free.

    Вариационное исчисление. Будылин А.М.

    bookfi.net

  26. Вариационноеисчисление | Будылин А.М. | download

    Вариационное исчисление. Вариационное исчисление.

    ru.b-ok.xyz

  27. Вариационноеисчисление | Будылин А.М. | download

    Вариационное исчисление | Будылин А.М. | download | B–OK. Download books for free. Find books…

    b-ok.xyz

  28. Студентам и школьникам — книги, математика, вариационное

    Будылин. Вариционное исчисление.

    Книга представляет собой переиздание классической книги по теории Морса и вариационной теории геодезических, давно ставшей библиографической редкостью.

    www.ph4s.ru

  29. Вариационноеисчисление | Будылин А.М | download

    Вариационное исчисление | Будылин А.М | download | B–OK. Download books for free. Find books…

    b-ok2.org

  30. Вариационноеисчисление | Будылин А.М. | download

    Вариационное исчисление | Будылин А.М. | download | B–OK. Download books for free. Find books…

    b-ok2.org

  31. ВариационноеИсчисление | Mexalib — скачать книги бесплатно

    Скачать книги раздела Вариационное Исчисление | Mexalib — скачать книги бесплатно бесплатно.

    mexalib.com

  32. Скачать Варационное исчислениеБудылин А.М.

    Варационное исчисление. Автор. Будылин А.М. Издательство. Интернет-издание.

    Учебное пособие по вариационному исчислению, оформленное автором в виде электронной книги с продуманной системой навигации., по видимому, не издавалась.

    padaread.com

На данной странице Вы можете найти лучшие результаты поиска для чтения, скачивания и покупки на интернет сайтах материалов, документов, бумажных и электронных книг и файлов похожих на материал «Вариационное исчисление, Будылин А.М., 2001»

Для формирования результатов поиска документов использован сервис Яндекс.XML.

Нашлось 12 млн ответов. Показаны первые 32 результата(ов).

Дата генерации страницы: пятница, 14 февраля 2020 г., 15:39:10 GMT

Источник: https://nashol.biz/searchdoc/72720

Biz-books
Добавить комментарий