Теоретическая механика. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа. Ломакина О.В

Теоретическая механика. Уравнения Лагранжа

Теоретическая механика. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа. Ломакина О.В

В этой статье мы попробуем разобраться с такой темой, как «Уравнения Лагранжа». Вообще, уравнения Лагранжа довольно полезная штука, например, на их основе решаются задачи на малые колебания. В МГТУ им. Баумана в третьем семестре предлагается самостоятельное домашнее задание, в котором нужно записать уравнения Лагранжа для системы с двумя степенями свободы.

Итак, типовое задание выглядит так.

Прежде чем броситься решать эту задачу, посмотрим на задание и проанализируем его. Есть призма 3, которая движется поступательно по горизонтальной плоскости без трения. В призме сделан паз 2, по которому движется шарик 1.

Если вы помните темы прошлого семестра, то легко увидите, что шарик совершает сложное движение — переносное поступательное вместе с призмой 3 и относительное поступательное по пазу 2. Далее есть стержень 4, который соединяет призму и каток 5. Очевидно, что скорость центра катка С равна скорость призмы.

Каток движется без скольжения, это важный момент. Движение системы описывается двумя обобщенными координатами, которые любезно выбрал для нас составитель задания.

Итак, приступим к решению.

Поскольку обобщенных координат две (две степени свободы), система уравнений Лагранжа будет выглядеть так:

Расчет начинаем с записи уравнений связи — выражаем скорости всех ключевых точек и тел, имеющих массу, через обобщенные координаты. Из сказанного ранее понятно, что нам понадобится линейная скорость призмы 3, линейная скорость катка 5, угловая скорость катка 5 и скорость шарика 1. С поступательным движением все просто

С угловой скоростью катка тоже все понятно. Так как проскальзывание отсутствует

Самое трудное — выразить скорость шарика 1. Как мы уже говорили, он совершает сложное движение, значит, его скорость складывается из относительной и переносной. Переносная — это скорость поступательного движения призмы 3. Относительное — скольжение вдоль паза 2, которое описано координатой S. Значит

Векторно складываем эти две скорости

Второе выражение здесь — это теорема косинусов. Если нанести все векторы на рисунок, станет понятно, почему так. 

Определившись со скоростями, записываем выражение для кинетической энергии системы Т. Полная кинетическая энергия складывается из кинетических энергий всех тел, обладающих массой. То есть в нашем случае, тел 1, 3, 5.

Шарик 1 обладает энергией

Призма 3 движется поступательно

Каток 5 совершает плоское движение, так что его кинетическая энергия складывается из энергии поступательного и вращательного движений

Полная кинетическая энергия системы

Для записи уравнений Лагранжа это выражение нужно несколько раз продифференцировать.

Сначала по координате x. Частные производные

Производную по x с точкой дифференцируем по времени

Теперь то же самое по координате S. Частные производные

Производная по времени

Левая часть уравнений Лагранжа готова. Займемся правой частью. Для нее нужно посчитать обобщенные силы по каждой координате. Есть несколько способов это сделать, мы предпочитаем делать это через элементарную работу на малом приращении координаты. В общем случае формула выглядит так

На практике это применяется следующим образом. Сначала нанесем на рисунок все действующие силы. В нашем случае это сила упругости пружины и силы тяжести.

Сначала считаем обобщенную силу по координате x. Для этого мысленно «замораживаем» координату S, и позволяем системе свободно двигаться по координате x. То есть шарик «приклеивается» к пазу 2, и внутри него никуда не движется.

Все перемещение происходит по координате x. Очевидно, что сила упругости работу не совершает, так как ее длина не меняется. Очевидно, что силы тяжести работу не совершают, так как движение происходит горизонтально.

Официальным языком это записывается так

Теперь обобщенная сила по координате S. Мысленно «замораживаем» координату x. Получается, что призма 3 вместе с пазом 2 и катком 5 стоит на месте, а внутри неподвижного паза движется шарик. Сила упругости совершает работу, также как и сила тяжести шарика 1.

Пружина была растянута на величину статической деформации δ и дополнительно растянута на S в произвольный момент времени, то есть сила упругости равна с·(δ+S). Работа силы упругости отрицательна, так как пружина растягивается. Работа силы тяжести шарика 1 положительна, так как шарик движется вниз.

Силы тяжести призмы 3 и катка 5 работу не совершают, так как эти тела покоятся. Получаем

Собственно, все. Собираем все посчитанные величины в уравнения Лагранжа и получаем систему дифференциальных уравнений, описывающих движение системы.

Для проверки можно посмотреть размерности, в обеих частях выражения размерности должны совпадать (обычно это ньютоны).

Конечно, разные задачи немного отличаются в ходе решения, но алгоритм всех задач примерно такой.

Подытожим:

1) Определить число степеней свободы и выбрать обобщенные координаты

2) Записать уравнения связей

3) Записать выражение для кинетической энергии

4) Взять необходимые производные

5) Записать обобщенные силы по каждой координате

6) Записать уравнения Лагранжа

Если что-то не получается, не отчаивайтесь, мы всегда рады помочь.

Всегда ваша, Botva-Project.

Источник: http://botva-project.ru/botva/obrazovanie/teoreticheskaya-mehanika-uravneniya-lagranzha/

Общее уравнение динамики. Пример решения задачи

Теоретическая механика. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа. Ломакина О.В

Пример решения задачи с применением общего уравнения динамики (принцип Даламбера – Лагранжа) для системы с твердыми телами, грузами, шкивами и блоком, соединенных нитями.

Механическая система состоит из однородных ступенчатых шкивов 1 и 2, обмотанных нитями, грузов 3-6, прикрепленных к этим нитям, и невесомого блока.

Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом M = 10 Н·м, приложенной к шкиву 1.

Радиусы ступеней шкива 1 равны: R1 = 0,2 м, r1 = 0,1 м, а шкива 2 – R2 = 0,3 м, r2 = 0,15 м; их радиусы инерции относительно осей вращения равны соответственно ρ1 = 0,1 м и ρ2 = 0,2 м.

Пренебрегая трением, определить ускорение груза 5. Веса шкивов и грузов заданы: P1 = 40 Н, P2 = 0, P3 = 0, P4 = 20 Н, P5 = 30 Н, P6 = 10 Н. Грузы, веса которых равны нулю, на чертеже не изображать.

Указание. При решении задачи использовать общее уравнение динамики (принцип Даламбера – Лагранжа).

Решение задачи

Дано: R1 = 0,2 м, r1 = 0,1 м, R2 = 0,3 м, r2 = 0,15 м, ρ1 = 0,1 м, ρ2 = 0,2 м. P1 = 40 Н, P2 = 0, P3 = 0, P4 = 20 Н, P5 = 30 Н, P6 = 10 Н, M = 10 Н·м.

Найти: a5.

Установление кинематических соотношений

Установим кинематические соотношения. Пусть V4, V5, V6, a4, a5, a6, δS4, δS5, δS6 – скорости, ускорения и малые перемещения грузов 4,5 и 6. Пусть ω1, ω2, ε1, ε2, δφ1, δφ2 – угловые скорости, угловые ускорения и малые углы поворота шкивов 1 и 2.

Скорость движения нити между телами 2, 4 и 5:
. Отсюда . Скорость движения нити между шкивами 1 и 2:

. Отсюда

. Скорость движения нити между телами 1 и 6:

.

Итак, мы нашли связь между скоростями тел.
;
;
.

Поскольку ускорения – это производные скоростей по времени, , то дифференцируя по времени предыдущие формулы, находим связь между ускорениями:

;

;
.

Поскольку скорости – это производные от перемещений по времени, то такая же связь есть между бесконечно малыми перемещениями.
;
;
.

Активные внешние силы

Рассмотрим внешние силы, действующие на систему.
Это силы тяжести тел P1 = 40 Н, P4 = 20 Н, P5 = 30 Н и P6 = 10 Н, направленные вниз;
заданная пара сил с моментом M = 10 Н·м;
силы давления осей N1, N2 и N шкивов 1, 2 и невесомого блока;
силы реакции N4 и N6, действующие на грузы со стороны поверхностей, перпендикулярные этим поверхностям.

Силы инерции

Мы будем решать эту задачу с помощью общего уравнения динамики, применяя принцип Даламбера — Лагранжа. Он заключается в том, что сначала мы вводим силы инерции. После введения сил инерции, задача динамики превращается в задачу статики.

То есть нам нужно найти неизвестные силы инерции, чтобы система находилась в равновесии. Данную задачу статики мы решаем, применяя принцип Даламбера. То есть считаем, что система совершила малое перемещение.

Тогда в равновесии, сумма работ всех сил, при таком перемещении, равна нулю.

Итак, на первом этапе мы вводим силы инерции. Для этого предполагаем, что система движется с некоторым, пока не определенным, ускорением. То есть шкивы 1 и 2 вращаются с угловыми ускорениями ε1 и ε2, соответственно; грузы 4,5 и 6 совершают поступательное движение с ускорениями a4, a5 и a6, соответственно.

Между этими ускорениями имеются связи, которые мы нашли ранее. То есть все эти ускорения можно выразить через одно ускорение a5.

Силы инерции определяются так, что они равны по модулю и противоположны по направлению тем силам (и моментам сил), которые, по законам динамики, создавали бы предполагаемые ускорения (при отсутствии других сил).

Определяем модули (абсолютные значения) сил и моментов инерции и выражаем их через a5.
Пусть – массы тел;
– момент инерции шкива 1. Момент сил инерции, действующий на шкив 1:

.

Силы инерции, действующие на грузы 4, 5 и 6:

;

;
.

Изображаем силы инерции на чертеже учитывая, что их направления противоположны ускорениям.

Применение общего уравнения динамики

Даем системе бесконечно малое перемещение. Пусть груз 5 переместился на малое расстояние δS5. Тогда угол поворота δφ1 шкива 1 и перемещения δS4 и δS6 грузов 4 и 6 определяются с помощью установленных ранее кинематических соотношений.

Поскольку нити нерастяжимые, то они не совершают работу при таком перемещении. Это означает, что система имеет идеальные связи.

Поэтому мы можем применить общее уравнение динамики:
,
согласно которому сумма работ всех активных сил и сил инерции, при таком перемещении, равна нулю.

Определение суммы работ внешних активных сил и сил инерции

Работа, которую совершает сила     при перемещении точки ее приложения на малое смещение     равна скалярному произведению векторов   , то есть произведению модулей векторов F и ds на косинус угла между ними.

Работа, произведенная моментом сил   , вычисляется аналогично:
.

Определяем работы всех активных сил и сил инерции. Поскольку центры осей шкивов 1, 2 и невесомого блока не совершают перемещений, то силы P1, N1, N2 и N не совершают работу. Поскольку силы N4 и N6 перпендикулярны перемещениям грузов 4 и 6, то эти силы также не совершают работу.

Находим сумму работ остальных активных сил и сил инерции.

. Подставляем выражения для сил инерции и применяем кинематические соотношения.
.
Сокращаем на δS5 и преобразовываем.

. Подставляем численные значения.
;
;
м/с2.

Ответ

м/с2.

Олег Одинцов.     : 02-08-2015

Источник: https://1cov-edu.ru/termeh/dinamika_tel/obshchee_uravnenie_dinamiki_primer_resheniya_zadachi/

Лекция 5. Принцип д’Аламбера-Лагранжа. Обобщенные силы. Общее уравнение динамики в обобщенных координатах

Теоретическая механика. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа. Ломакина О.В

Легко показать, что все типы связей, обычно рассматриваемые в задачах механики – гладкая поверхность, идеальная нить, шарниры, подпятник, глухая заделка ‑ являются идеальными. Неидеальность связей часто обусловлена наличием трения скольжения или качения.

В этом случае часть реакции связи, для которой нарушается идеальность, переводится формально в разряд активных сил и задается в условии или определяется в задаче. В дальнейшем мы будем рассматривать именно такие механические системы, то есть системы с идеальными связями или со связями, которые описанным приемом могут быть переведены в разряд идеальных.

Для таких систем имеет смысл сформулировать положение, которое также имеет форму аксиомы, объединяющее II закон Ньютона, принцип независимости действия сил (точнее правило параллелограмма), принцип освобождаемости от связей и принцип идеальности связей.

Это положение называется в литературе по механике по-разному – принцип д’Аламбера-Лагранжа, общее вариационное уравнение механики, общее уравнение динамики и др. Применение этого принципа для вывода других положений и теорем теоретической механики дает существенный выигрыш, и будет использоваться нами постоянно.

Каждая точка механической системы может взаимодействовать с другими точками и телами данной механической системы, с точками и телами, не принадлежащими ей, а также с внутренними и внешними связями.

Объединим все силы реакций указанных связей, действующих на i-ю точку МС, в одну силу , согласно правилу параллелограмма складывая их попарно. То же самое сделаем с активными силами, получим силу .

С помощью 2-го закона Ньютона запишем уравнения движения точек системы

, i=1,2,…,N. (5.1)

Чтобы применить условие идеальности связей, надо разрешить эти уравнения относительно реакций связей и подставить полученные выражения в (4.8). Это дает

.

Для более удобной формулировки этого принципа поменяем местами слагаемые в круглых скобках. Величину

,

имеющую размерность силы, в механике принято называть Д’Аламберова сила инерции точки или просто сила инерции точки. Тогда

в каждый момент времени при движении механической системы с идеальными удерживающими связями сумма виртуальных работ активных сил и сил инерции равна нулю

или (5.2)

Обобщенные силы. Пусть имеется явно или неявно заданное выражение радиус-векторов точек системы через обобщенные координаты и время t

, i=1,2,…,N. (5.3)

Применим операцию изохронного варьирования к выражению (7.1), заключающуюся в том, что надо взять дифференциал от функции нескольких переменных , полагая время фиксированным. Получим

. (5.4)

Подставим это выражение в формулу виртуальной работы i-ой активной силы и просуммируем эти работы по всем точкам системы. Получим

.

Перегруппируем слагаемые в этом выражении и изменим порядок суммирования, получим

. (5.5)

Здесь , k=1,2,…,s (5.6)

и есть обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате с номером k. Таким образом, обобщенную силу можно определить как

коэффициент, стоящий перед вариацией обобщенной координаты в выражении виртуальной работы системы.

Из выражений (5.5) и (5.6) можно получить два способа вычисления обобщенных сил. Один — прямо по определению, второй – по формуле (5.6), если заданы проекции сил и аналитические зависимости координат их точек приложения от обобщенных (5.4).

В дальнейшем мы рассмотрим подробнее способы вычисления обобщенных сил. Для ближайших целей нам достаточно выражения (5.6) и данного определения. Подчеркнем, что обобщенная сила, в отличие от обычной, является скалярной величиной и называется так только потому, что выражение (5.

3) по форме напоминает выражение виртуальной работы силы

.

Из правой части этой формулы видно, что имело бы смысл говорить об обобщенных силах как проекциях сил системы на обобщенные координаты.

Совершенно аналогично, можно записать выражение для обобщенной силы инерции, подставив в (7.4) вместо активной силы силу инерции

, k=1,2,…,s. (5.7)

Общее уравнение механики в обобщенных координатах. На основании (5.5) запишем выражение виртуальных работ активных сил и сил инерции механической системы и приравняем его нулю согласно (5.2)

откуда, благодаря независимости вариаций обобщенных координат друг от друга, что имеет место для голономных систем, следует s уравнений

.

или в другой форме, напоминающей II закон Ньютона (3.10)

(5.8)

Эти уравнения и являются уравнениями, описывающими динамическое поведение механической системы с голономными связями. Их можно применять непосредственно для вывода уравнений движения. Основная трудность здесь состоит в получении выражений приведенных сил инерции, которые можно определить по формулам (5.7).

В дальнейшем будет показано, как можно построить алгоритмы компьютерной алгебры для автоматизации построения уравнений движения достаточно широкого класса механических систем на базе уравнений (5.6)-(5.8). Однако для «ручного» вывода уравнений движения более предпочтительным оказывается применение уравнений Лагранжа II рода, которые получаются из (5.

8) выражением обобщенных сил инерции (5.7) через кинетическую энергию системы.

Лекция 6. Уравнения Лагранжа II рода.

Найдем слагаемое с номером i в правой части (5.7), используя выражения (5.3).

.

Здесь использованы два тождества Лагранжа

, .

После суммирования получим обобщенную силу инерции

.

Здесь величина , где -скорость i-ой точки, есть, очевидно, кинетическая энергия механической системы.

Окончательно получим

, k=1,2,…,s, (6.1)

где s — число степеней свободы, — кинетическая энергия, , , — обобщенная координата, обобщенная скорость и обобщенная активная сила с порядковым номером данной механической системы.

Составление уравнений движения в форме (6.1) сводится к выполнению ряда формальных действий

· выбрать обобщенные координаты — параметры любой геометрической или физической природы, однозначно определяющие положение системы в любой момент времени;

· записать выражение кинетической энергии системы в виде суммы кинетических энергий точек и тел системы через инерционные параметры (массы точек и тел, моменты инерции тел) и обобщенные координаты и скорости;

· получить выражения производных кинетической энергии, входящие в левую часть (6.1);

· записать выражение виртуальных работ сил системы при варьировании каждой обобщенной координаты, коэффициенты перед вариацией соответствующей обобщенной координаты дают формулу для обобщенной силы, соответствующей этой обобщенной координате.

Для применения полученных уравнений Лагранжа II рода на практике необходимо получить рабочие формулы вычисления виртуальных работ и кинетической энергии системы, что в свою очередь, требует разобраться с инерционными характеристиками механических систем и тел.

Вычисление обобщенных сил. Существует три способа вычисления обобщенных сил.

Первый способ предполагает прямое вычисление коэффициентов при вариациях обобщенных координат в выражении виртуальной работы. Удобнее здесь варьировать не все сразу обобщенные координаты, а по одной.

Записывается выражение работы на виртуальном перемещении системы, отвечающем вариации только одной обобщенной координаты, например, с номером k — , как алгебраическую сумму виртуальных работ активных сил, приложенных к телам и точкам механической системы .

Затем, вынося за скобки общий сомножитель — вариацию обобщенной координаты , получим выражение для обобщенной силы

.

Для системы с несколькими степенями свободы такую операцию следует проделать столько раз, сколько обобщенных координат.

Второй способ основан на зависимостях типа (5.3), заданных в явном виде. Тогда обобщенные силы определятся выражением (5.6)

, k=1,2,…,s.

Третий способ опирается на знание потенциальной энергии системы как функции координат ее точек . Подставляя в нее выражения (5.3), получим зависимость потенциальной энергии от обобщенных координат , а виртуальная работа будет

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых вариациях, найдем

.

Понятно, что лучше сразу по возможности построить функцию потенциальной энергии системы от обобщенных координат .

Пример составления уравнений Лагранжа II рода. Найти ускорение бруса, перемещающегося по каткам на наклонной плоскости, составляющей угол a=300 с горизонтальной плоскостью (рис. 6.1). Масса бруса кг, массы цилиндрических катков одинаковы и составляют кг. Коэффициент трения качения каждого катка составляет м, а радиус см.

Решение. Механическая система, состоящая из бруса и двух катков, имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты перемещение бруса вдоль наклонной плоскости . Тогда ее вариацию (виртуальное перемещение бруса вдоль наклонной плоскости вниз) обозначим .

Найдем кинетическую энергию системы, учитывая, что кинетические энергии катков одинаковы.

.

Здесь — кинетическая энергия поступательно движущегося бруса:

.

Рис. 6.1

— кинетическая энергия катков, которую найдем по формуле для плоскопараллельного движения твердого тела

,

где — скорость центров масс катков, — угловая скорость качения катков, — момент инерции катка относительно собственного центра, где — радиус катка.

Окончательно кинетическая энергия системы будет

.

Получим выражения соответствующих производных в (6.1).

так как в выражение кинетической энергии системы координата явно не входит.

(6.2)

Составим выражение виртуальных работ активных сил системы. Здесь это будут только силы тяжести бруса и катков.

,

,

где — перемещение вдоль наклонной плоскости центров тяжести катков.

Таким образом, виртуальная работа сил системы будет иметь вид

.

Откуда найдем обобщенную силу, как коэффициент перед вариацией обобщенной координаты

. (6.3)

Подставим (8.2) и (8.3) в уравнения (5.1), получим

,

или

м/с2. (6.4)

Таким образом брус будет двигаться вниз равноускоренно с ускорением 4,95 м/с2.

Замечания. Обычно вызывает определенную трудность трактовка знака результата, который получается при изменении направления виртуального перемещения , показанного на рис. 6.1 пунктирной стрелкой. Часто заранее неизвестно направление движения системы.

В этом случае варьировать можно «наугад», так как виртуальное перемещение не обязано привязываться к действительному движению, поэтому мы вправе направить его куда угодно. Допустим, что в предыдущей задаче мы дадим виртуальное перемещение по пунктирной стрелке. В этом случае левая часть уравнений (6.

2) не меняется, а при вычислении правой части, в (6.3) появится знак «-» в работах сил тяжести и знак «+» в работе трения качения. В итоге знак «-» перейдет и в формулу результата ‑ ускорения бруса (6.4). Это, конечно, не будет свидетельствовать о том, что брус двигается замедленно.

На самом деле, при вычислении обобщенной силы через виртуальную работу, мы фактически записываем проекции сил системы на направление виртуального перемещения. Поэтому и результат, даваемый формулой (6.4), надо трактовать, как проекцию вектора обобщенного ускорения бруса на это направление.

Таким образом, сделаем вывод, что брус будет двигаться вниз с постоянным ускорением 4,95 м/с2.

При наличии сил трения их надо направлять в соответствии с направлением действительного движения. Варьирование координат не всегда можно связать с действительным движением.

В этом случае, могут появиться выражения для виртуальных работ сил трения со знаком «+», как в рассмотренном примере при виртуальном перемещении бруса по пунктирной стрелке. С формальной точки зрения это не должно смущать, так как это виртуальные, а не действительные работы.

Другое дело, что, часто, не решив до конца задачу, мы не знаем направления действительных перемещений точек, а, значит, направлений сил трения. В этом случае может понадобиться решить несколько задач, делая различные предположения о направлении этих сил.

И остановиться надо на логически оправданном решении. Иногда удается учесть аналитически знаки проекций сил трения, связав их с алгебраическими значениями скоростей соответствующих тел и точек.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/17_119654_kolichestvo-stepeney-svobodi-tel-i-mehanicheskoy-sistemi-obobshchennie-koordinati.html

Читать Теоретическая механика. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа

Теоретическая механика. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа. Ломакина О.В

Общее уравнение динамики (16) даёт возможность составлять дифференциальные уравнения движения, не содержащие реакции идеальных связей.

Для сравнительно простых систем непосредственное применение этого уравнения вполне оправдано, однако в более сложных случаях использование общего уравнения динамики приводит, как правило, к относительно сложным преобразованиям.

Поэтому значительно удобнее пользоваться не общим уравнением динамики, а вытекающими из него уравнениями Лагранжа второго рода, в которых основные трудности преобразования преодолены в общем виде.

Предположим, что механическая система из n материальных точек имеет s степеней свободы. В случае голономных нестационарных

связей  радиус-вектор  ri

любой  точки   M i

этой  системы  является

функцией обобщённых координат q1 , q2 , …, qs  и времени t:

ri          ri  q1 , q2 , …, qs , t

.           (23)

Обобщённые координаты системы

q1 , q2 , …, qs

являются функ 

циями времени. Поэтому радиус-вектор ri  является сложной функцией времени и вектор скорости точки i   определяется по правилу дифференцирования сложной функции:

dri

ri  q

ri  q

ri  q      ri

или

i           dt

&1       &2

1          q2

…         &s

s           t

            s           ri

j  1   q j

q& j

ri  .       (24)

t

В случае стационарных связей

            s           r

i             i   q& j .      (25)

j  1   q j

Производные от обобщённых координат по времени

ются обобщёнными скоростями.

q& j

называ 

Из выражения (24) следует, что частная производная от i  по ка 

кой-либо обобщённой скорости q& j

равна коэффициенту при q& j

в пра-

вой части этого выражения, т.е. равна частной производной от  ri   по координате q j :

            i

q& j

ri   .      (26)

q j

Кинетическая энергия механической системы, как известно, определяется по формуле

n   m   2

1   n                

T            i    i                    mi

i    i .     (27)

i  1       2

2 i  1

Из выражения (24) следует, что вектор скорости точки   i   в случае голономных нестационарных связей является функцией обобщён 

ных координат, содержащихся в выражениях

ri   , обобщённых скоq j

ростей и времени. Поэтому кинетическая энергия механической системы является функцией тех же переменных:

T          T q1, q2 , …, qs , q&1, q&2 , …, q&s , t

.           (28)

Найдём частные производные от кинетической энергии по обоб 

щённой координате  q j

и обобщённой скорости

q& j , дифференцируя

выражение (27) как сложную функцию:

T          n                    

T          n                    

 mi

            i  ;        m

            i 

i

q j        i  1

q j        q& j     i  1

q& j

Преобразуем последнее выражение на основании равенства (26):

T

q& j

n                    

 mi

i  1

    ri     

i

j

Продифференцируем это выражение по времени:

d    T  

d   n              r        n          d

r           n                  d    r  

                    mi    i

i         mi

i           i            mi    i

         .  (29)

dt 

q& j  

dt  i  1

q j     i  1

dt         q j        i  1

dt 

q j  

Рассмотрим две суммы, входящие в правую часть полученного равенства (29), учитывая, что для несвободной материальной точки

mi ai

Fi         Ri .

n          d          r

n                      r           n          r

 mi     i           i          

 mi ai        i   

 Fi

Ri         i           Q j

Q R .

i  1       dt         q j        i  1

q j        i  1       q j

Для установления значения второй суммы рассмотрим выражение

d    r  

       i    .

dt      j 

Частная производная

ri    является функцией тех же переменных,

q j

от которых, согласно (23), зависит радиус-вектор точки ri . Дифферен 

цируем

ri    как сложную функцию времени:

q j

d 

ri   

2 ri

q&1

2ri

q&2

2 ri

q&s

2ri

.           (30)

dt 

q j  

q j   q1

q j   q2

q j   qs

q j   t

Найдём частную производную

ражение (24):

            i  , дифференцируя по  q j

q j

вы 

            i

i     q&1

i     q&2

i     q&s

ri    .     (31)

q j        q j   q1

q j   q2

q j   qs

q j   t

Правые части выражений (30) и (31) отличаются только последовательностью дифференцирования, которая при непрерывных функциях не имеет значения; следовательно,

d 

dt 

ri   

q j  

            i  .

q j

Пользуясь этой зависимостью, преобразуем вторую сумму в правой части равенства (29):

n                               

 mi    i                     i   

n                    

 mi    i            i           .

i  1       dt 

q j     i  1

q j        q j

Подставляем найденные значения обеих сумм в равенство (29) и рассматриваем механическую систему со стационарными идеальными

связями, для которых Q R    0 .

         

d   T           T

j

или

dt 

q& j  q j

         

d   T           T

dt      j 

Q j       j

j

1, 2, …, s

.           (32)

Систему s дифференциальных уравнений (32) называют уравнениями Лагранжа  второго  рода.  Эти уравнения представляют собой дифференциальные  уравнения  второго  порядка  относительно  обоб 

щённых координат системы

q1 , q2 , …, qs . Интегрируя эти дифферен 

циальные уравнения и определяя по начальным условиям постоянные интегрирования, получаем s уравнений движения механической системы в обобщённых координатах, причём число уравнений равно числу степеней свободы:

q j        q j  t

j           1, 2, …, s  .

Если силы, действующие на материальную систему, потенциальные, то в соответствии с формулой (13) уравнения (32) можно переписать в виде

         

d   T           T

П         j           1, 2, …, s  .

dt 

q& j              q j        q j

Если теперь ввести в рассмотрение функцию Лагранжа L = T – П

и учесть, что  П

q j

0 , то получим

d    L          L

                 

«)//—>

Источник: http://vuzmen.com/book/1978-teoreticheskaya-mexanika-obshhee-uravnenie-dinamiki-uravneniya-lagranzha-lomakina-ov/7-4-uravneniya-lagranzhanbsp-kineticheskij-potencial.html

Применение общего уравнения динамики

Теоретическая механика. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа. Ломакина О.В

Применение общего уравнения динамики

И УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Учебно-методическое пособие

к расчетно-графической работе по теоретической механике

ПРИМЕНЕНИЕ ОБЩЕГО (ОБОБЩЕННОГО) УРАВНЕНИЯ

ДИНАМИКИ И УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА

ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЫ

Краткие сведения из теории

Общее (обобщенное) уравнение динамики

Общее уравнение динамики является аналогом принципа возможных перемещений для случая движения системы материальных точек.

При движении механической системы, на которую наложены двусторонние, стационарные, голономные и идеальные связи, сумма возможных (элементарных) работ всех активных сил, приложенных к механической системе, и сумма возможных (элементарных) работ сил инерции всех материальных точек или тел, входящих в эту механическую систему, на любом возможном ее перемещении равна нулю:

.

Возможными (или виртуальными) перемещениями несвободной механической системы называются воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями.

Число степеней свободы механической системы – это число ее независимых возможных перемещений, которые можно сообщить точкам системы в фиксированный момент времени.

Приведение сил инерции механической системы

Главный вектор сил инерции любой механической системы направлен в сторону, обратную направлению ускорения её центра масс. Величина главного вектора сил инерции равна произведению массы механической системы на ускорение её центра масс.

.

Главный момент сил инерции симметричного твердого тела относительно его центральной оси равен произведению осевого момента инерции этого тела относительно центральной оси на угловое ускорение тела и направлен в сторону, обратную направлению ускорения этого тела.

.

Возможная (элементарная) работа силы – бесконечно малая скалярная величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектор возможного перемещения точки её приложения:

.

Связи и их классификация

Связи – любые ограничения в виде тел или каких-либо кинематических условий, накладываемые на движения точек механической системы. Эти ограничения могут быть записаны в виде уравнений или неравенств.

Нестационарные связи – связи, изменяющиеся с течением времени, т. е. в уравнения которых явно входит время .

Стационарные связи – связи, в уравнения которых не входит явно время.

Геометрические связи – связи, уравнения которых содержат только координаты материальных точек, т. е. ограничения накладываются только на координаты точек. Это связи в виде тел, поверхностей, линий и т. п. Например, связь в виде некоторой поверхности описывается уравнением .

Кинематические связи – связи, уравнения которых содержат не только координаты материальных точек, но и проекции скоростей этих точек.

Дифференциальные связи – связи, накладывающие ограничения не только на координаты точек, но и на их скорости, описываются уравнением .

Связи называются голономными, если их уравнения могут быть записаны в виде, не содержащем производных от координат по времени или дифференциалов координат.

Неголономными связями называются дифференциальные связи, уравнения которых не могут быть проинтегрированы.

Двусторонние (удерживающие) связи – связи, ограничивающие движение точки в двух противоположных направлениях, уравнение связи дается в форме равенства.

Односторонние (неудерживающие) связи – связи, ограничивающие движение только в одном направлении, уравнение связи дается в форме неравенства.

Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой систему уравнений динамики в обобщенных координатах. Их использование является универсальным методом получения системы дифференциальных уравнений, описывающих движение любой механической системы.

Обобщенными координатами системы называется совокупность независимых параметров, которые однозначно определяют положение механической системы.

Обобщенные координаты обозначаются q1, q1,…, qN или qj(j=1,2,…,N). Производные по времени от обобщенных координат называются обобщенными скоростями . Число N независимых обобщенных координат голономной системы равно числу ее степеней свободы.

Уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

где Т – кинетическая энергия системы;

Qj – обобщенная сила, соответствующая j-й обобщенной координате.

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех объектов, образующих систему (T = T1+T2+……+Tn).

Кинетическая энергия твердого тела определяется по формулам:

– при поступательном движении:

– скорость центра масс тела;

– при вращательном движении:

Jz – момент инерции тела относительно оси вращения;

w – угловая скорость вращения;

– при плоскопараллельном движении:

, Jzc – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения.

Величина называется j-й обобщенной силой.

Если вычислить сумму элементарных работ активных сил, действующих на точки системы на возможном перемещении системы, то соответствующая формула может быть представлена в виде:

.

Для определения обобщенной силы, соответствующей j-й обобщенной координате, необходимо:

1 Этой координате сообщить приращение , оставляя все остальные обобщенные координаты без изменений.

2 Вычислить сумму элементарных работ всех сил, действующих на систему, на этом перемещении.

3 Полученную работу разделить на приращение обобщенной координаты:

.

При вычислении работы сил используются следующие формулы:

работа сил тяжести:

,

h – изменение высоты между начальным и конечным положениями;

работа силы трения:

;

работа постоянной силы на прямолинейном перемещении:

,

a – угол между направлением силы и направлением перемещения;

работа сил, приложенных к вращающемуся телу:

,

Mz(F) – момент силы относительно оси вращения;

j – угол поворота тела.

Методика составления уравнений Лагранжа второго рода

Составление уравнений Лагранжа второго рода производится в следующем порядке:

1)  определяется число степеней свободы заданной механической системы;

2)  выбираются независимые обобщенные координаты, число которых равно числу степеней свободы;

3)  вычисляется кинетическая энергия Т рассматриваемой системы, которая выражается через обобщенные скорости;

4)  находятся частные производные кинетической энергии по обобщенным скоростям, т. е.

5) вычисляются их производные по времени

;

6)  определяются частные производные кинетической энергии по обобщенным координатам

;

7)  находятся обобщенные силы Q1, Q2,…QN , соответствующие выбранным обобщенным координатам;

8)  полученные в п. п. 4-6 результаты подставляются в уравнения Лагранжа.

Пример выполнения задания

УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ:

Механическая система состоит из грузов 1 и 4 и ступенчатых шкивов 2 и 3 с радиусами ступеней R2 = 0,3 м; r2 = 0,15 м и R3=0,2 м; r3= 0,1м (или однородных дисков с радиусами R2 и R3).

Если груз 4 на рисунке отсутствует, его массу не использовать). Радиусы инерции ступенчатых шкивов относительно их осей, проходящих через их центры масс, соответственно равны: r2= 0,3 м и r3= 0,1 м. Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям.

Механическая система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести, силы F, направленной под углом к линии движения груза 1 и пары сил с моментом M, приложенной к шкиву 2 (момент действует против часовой стрелки). Исходные данные представлены в таблице 1 (стр. 15), а схемы механизмов – в таблице 2 (стр. 16– 20) .

Определить ускорение тела, имеющего больший вес.

Рис. 1

Рассмотрим задачу со следующими исходными данными:

m1(кг)

m2(кг)

m3(кг)

m4(кг)

M(Нм)

F(Н)

f1

f3

k3

40

30

20

80

25

0,2

0,1

0,01

300

600

450

Где mk ,Rk,rk, – массы, радиусы блоков и радиусы инерции соответствующих тел,

fk и kk – коэффициенты трения и трения качения тел.

Указания к решению задачи

При определении кинематических характеристик механической системы можно воспользоваться общим уравнением динамики или уравнением Лагранжа второго рода.

I Рассмотрим 1-й способ:

Механизм в рассматриваемой задаче имеет одну степень свободы, т. е. одно независимое возможное перемещение.

Для решения задачи с помощью общего уравнения динамики нужно сообщить механизму возможное перемещение, вычислить сумму элементарных работ всех действующих активных сил и пар сил на этом перемещении, сложить с суммой элементарных работ всех сил инерции и моментов сил инерции на этом же перемещении и приравнять эту сумму к нулю. Все вошедшие в полученное уравнение возможные перемещения следует выразить через какое-нибудь одно (через возможное перемещение тела, ускорение которого нужно найти).

Решение:

На данную механическую систему с одной степенью свободы действует следующая система сил:

1) Активные силы:

=m1 – вес первого тела, движущегося поступательно;

=m2 – вес второго тела, совершающего вращательное движение;

=m3 – вес третьего тела, движущегося плоско-параллельно;

F – заданная внешняя сила, действующая на первое тело под углом к поверхности, по которой движется это тело;

М = 80 Нм — заданный момент пары сил, действующий на тело 2.

2) Силы реакций связей:

N1 =P1+ F1 нормальная составляющая реакции наклонной поверхности (ее определяем, проецируя основное уравнение динамики для первого тела на направление нормали: m =N1P1F1, учитываем, что =0).

Fтр1 =f1N1=f1(P1+ F1 ) – касательная составляющая реакции наклонной поверхности, направленная в сторону, противоположную движению;

реакция цилиндрического шарнира, с помощью которого крепится блок 2.

N3=P3 – нормальная составляющая реакции наклонной поверхности на каток;

F3 =f3N3=f3P3 – касательная составляющая реакции наклонной поверхности на каток, направленная в сторону, противоположную движению;

Mтр. кач. = N3 = P3момент трения качения, действующего со стороны наклонной поверхности на каток и направленного в сторону, противоположную качению катка.

3) Добавим к рассматриваемой системе Даламберовы силы инерции:

а) Так как 1-ое тело движется поступательно, сила приложена в его центре масс:

= —m1 ;

б) силы инерции вращающегося тела 2 приводятся к моменту относительно неподвижной оси:

= J2 , где J2 = m2 – момент инерции блока 2, а

= — угловое ускорение блока 2;

в) так как третье тело движется плоскопараллельно, его силы инерции приводятся к силе= — m3 в центре масс катка 3 и моменту относительно центра масс = J3 , причем

а3= , =; J3 =m3.

Выразим через возможное перемещение груза 1 перемещения остальных тел:

, (аналогично, )

, (аналогично, а3= ),

, (аналогично, =).

Составим общее уравнение динамики для механической системы с одной степенью свободы:

(1)

Работа сил и равна нулю, т. к. их направления перпендикулярны перемещению.

Работа сил , равна нулю, т. к. все эти силы приложены к неподвижной точке.

Работа силы равна нулю, потому что она приложена в мгновенном центре скоростей катка (скорость точки приложения силы в данный момент равна нулю).

Учитывая связи между возможными перемещениями, выражения для сил и моментов инерции и подставляя их в (1), получаем:

или

Так как , подставляя исходные данные, придем к уравнению относительно а1 :

442,62 = 204,44 а1 ,

решая которое, окончательно получим: a1 =2,165 м/с2

II Рассмотрим 2-й способ.

Решим эту же задачу, используя уравнение Лагранжа второго рода. Во всех вариантах система имеет одну степень свободы, и еe положение определяется одной обобщенной координатой q. Уравнение Лагранжа – это дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно обобщенной координаты.

. (1)

Если требуется определить ускорение a1, то за обобщенную координату целесообразно принять перемещение х этого тела, тогда – обобщенная скорость и уравнение (1) примет вид:

. (2)

При определении углового ускорения e2 за обобщенную координату нужно принять угол поворота шкива, т. е. и уравнение (1) будет иметь вид:

. (3)

Для составления уравнения (2) или (3) необходимо:

1)  вычислить кинетическую энергию Т системы, выразив её через обобщенную скорость ( или ) и обобщенную координату q (x или j);

2)  вычислить обобщенную силу Qx или Qj, для определения которой сообщим системе возможное (малое) перемещение ( или );

3)  вычислить сумму элементарных работ всех сил на этом перемещении, выразив эти перемещения через dx или dj .

Получим: или . Коэффициенты при dx или dj в выражении dА и будут обобщенными силами.

Решение

1 Запишем уравнение Лагранжа второго рода для механической системы с одной степенью свободы:

,

где и q1обобщенные координаты и скорость соответственно. В качестве обобщенной координаты целесообразно выбрать перемещение первого тела:

q1 = x1 =x.

Тогда уравнение Лагранжа второго рода для рассматриваемой системы примет вид:

.

2 Учитывая вид движения каждого тела системы, вычислим ее кинетискую энергию: T = T1 + T2 + T3 .

Тело 1 движется поступательно, значит: T1= .

Шкив 2 вращается, следовательно: T2 =.

Каток 3 движется плоскопараллельно: T3 =.

Известно, что , , а ,

и .

Используя эти соотношения, получим, T2= ;

T3 =.

Тогда T = ++= 0,5,

где с = = 204,44.

3 Определим обобщенную силу Qx . При движении системы совершать работу будут следующие силы: заданная сила , силы тяжести , сила трения, пара сил с заданным моментом М и момент трения качения Mтр. кач .

Сообщим системе возможное перемещение груза 1 в направлении его движения и покажем перемещения остальных тел:

тела 2 – угол поворота ;

катка 3 – центра масс и угол поворота относительно центра масс . Вычислим сумму элементарных работ всех сил на этих перемещениях:

Учтем соотношения между возможными перемещениями:

, , .

В результате получим:

откуда .

Подставляя все полученные выражения в уравнение (1), запишем:

м/с2.

Таблица 1
Исходные данные

m1(кг)

m2(кг)

m3(кг)

m4(кг)

M(Нм)

F(Н)

f1

f3

k3

1

42

36

24

15

80

25

0.2

0.1

0.01

300

600

450

2

20

18

12

10

40

20

0.15

0.3

0.02

450

300

300

3

35

25

15

8

60

40

0.1

0.2

0.01

600

300

450

4

45

28

30

12

50

30

0.3

0.2

0.03

450

600

450

5

28

32

25

16

40

35

0.11

0.12

0.02

600

450

450

Таблица 2
Расчетные схемы механизмов

Рис. Д5–1

Рис. Д5–2

Рис. Д5–3

Рис. Д5–4

Рис. Д5–5

Рис. Д –6

Продолжение табл. 2

Рис. Д5–7

Рис. Д5–8

Рис. Д5–9

Рис. Д5–10

Рис. Д5–11

Рис. Д5–12

Продолжение табл. 2

Рис. Д5–13

Рис. Д5–14

Рис. Д5–15

Рис. Д5–16

Рис. Д5–17

Рис. Д5–18

Продолжение табл.2

Рис. Д5–19

Рис. Д5–20

Рис. Д5–21

Рис. Д5–22

Рис. Д5–23

Рис. Д5–24

Окончание табл.2

Рис. Д5–25

Рис. Д5–26

Рис. Д5–27

Рис. Д5–28

Рис. Д5–29

Рис. Д5–30

Библиографический список

1 Никитин, Н. Н. Курс теоретической механики: учебник для машиностроит. и приборостроит. спец. вузов / Н. Н. Никитин. – М. : Высш. шк., 2010. – 607 с.

2 Бать, М. И. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.2. Динамика: учеб. пособие / М. И. Бать, Г. Ю. Джанелидзе, А. С. Кельзон. – 9-е изд., стер. – СПб : Издательство «Лань», 2010. – 640 с.

3 Яблонский, А. А. Курс теоретической механики: учебник /А. А. Яблонский, В. М. Никифорова. – 9-е изд., стер. – СПб., Издательство «Лань», 2004. – 768 с.

4 Бутенин, Н. В. Курс теоретической механики. В 2-х томах / Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р. Меркин. – 11-е изд., стер. – СПб. : Издательство «Лань», 2009. – 736 с.

Оглавление

Краткие сведения из теории……………………………………………. 3

Пример выполнения задания…………………………………………… 7

Таблица 1– Исходные данные………………………………………… . 15

Таблица 2 – Расчетные схемы механизмов……………………… 16

Библиографический список…………………………………………… 21

Учебное издание

Сидашов Андрей Вячеславович

Василькова Елена Андреевна

Жукова Юлия Викторовна

Применение общего уравнения динамики

И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Учебно-методическое пособие

к расчетно-графической работе по теоретической механике

Редактор Н. С. Федорова

Корректор Н. С. Федорова

Подписано в печать 28.12.2011. Формат 60×84/16.

Бумага газетная. Ризография. Усл. печ. л. 1,27.

Уч.-изд. л. 1,16. Тираж 101 экз. Изд. № 103. Заказ №6192

Ростовский государственный университет путей сообщения.

Ризография РГУПС.

Адрес университета: 344038, Ростов н/Д, пл. Ростовского Стрелкового

Полка Народного Ополчения, 2.

Источник: http://fiziku5.ru/uchebnye-materialy-po-fizike/d5_d7_primenenie_obschego_uravnenia_dinamiki_2011

Biz-books
Добавить комментарий