Спектральный и временной анализ импульсных и периодических сигналов. Кузнецов Ю.В

Спектральный анализ сигналов

Спектральный и временной анализ импульсных и периодических сигналов. Кузнецов Ю.В

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://allbest.ru

Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет)

Кафедра ТОР

Курсовая работа

по дисциплине «Радиотехнические цепи и сигналы»

Спектральный анализ сигналов

Выполнил: студент 3-го курса,

Руководитель: Исаков В.Н.

Москва 2005

f

Задание на курсовую работу

1. Спектральный анализ непериодического сигнала

2. Спектральный анализ периодического сигнала

3. Спектральный анализ одиночного радиоимпульса

4. Спектральный анализ периодической последовательности радиоимпульсов

5. Корреляционный анализ непериодического сигнала

6. Спектральный анализ линейной цепи

Список литературы

fЗадание на курсовую работу

Рис. 1. Заданный сигнал

Рис.2. Заданная цепь

В курсовой работе требуется:

1.Определить амплитудный спектр видеоимпульса

2.Определить амплитудный спектр периодической последовательности видеоимпульсов со скважностью Q=5.

3. Определить амплитудный спектр радиоимпульса

4.Определить амплитудный спектр периодической последовательности радиоимпульсов.

5. Определить автокорреляционную функцию заданного видеоимпульса

6. Записать выражение для спектра видеосигнала на выходе цепи заданного вида.

f1. Спектральный анализ непериодического сигнала

Аналитическое описание заданного сигнала:

Длительность прямоугольных импульсов, составляющих сигнал:

Представим пачку заданных видеоимпульсов двумя одиночными видеоимпульсами (рис.3 а,б)

а) б)

в)

Рис.3

f,

,

— одиночный видеоимпульс с амплитудой V0=1В и длительностью фи=3мс, относительно которого рассматриваются импульсы, составляющие сигнал (рис.3 в).

Таким образом, в аналитическом виде заданный сигнал (рис.1) будет иметь вид:

Спектральная плотность определяется преобразованием Фурье:

Функция S(щ) в общем случае является комплексной:

S(щ) — амплитудный спектр,

ц(щ) — фазовый спектр

Задачу определения спектральной плотности заданного сигнала можно упростить, воспользовавшись свойствами преобразования Фурье:

f, (1)

V0 — амплитуда.

, (2)

— для прямоугольного видеоимпульса

Согласно (1) и (2) получаем следующие спектральные плотности для видеоимпульсов, составляющих сигнал (фи=t1 ,V0=1):

радиоимпульс спектр сигнал фурье

Таким образом, спектральная плотность заданного сигнала (рис.1):

Определим амплитудный спектр сигнала:

при щ=2рf

Амплитуда видеоимпульсов, составляющих сигнал V0=1В и длительность фи=t1=3мс.

2.Спектральный анализ периодического сигнала

Спектральный анализ периодических сигналов основан на разложении временной функции, описывающей сигнал, с периодом T и частотой щ1=2р/T, по ортогональной системе тригонометрических функций (ряд Фурье для периодической последовательности):

f, (3) ;

Совокупность амплитуд {An} определяет амплитудный спектр, а совокупность начальных фаз {цn} — фазовый спектр сигнала.

При определении амплитудного спектра периодических сигналов полезно использовать следующее равенство

, (4)

которое определяет взаимосвязь между спектрами периодических и непериодических сигналов.

Спектры периодических сигналов являются дискретными и линейчатыми, интервал дискретизации по частоте равен частоте сигнала щ1.

Определим период T заданного сигнала получаемого периодическим повторением прямоугольного видеоимпульса по формуле:

,

где Q=5 — заданная скважность, фсигн.=3фи= 3t1

Аналитическое выражение для полученного сигнала:

f,

где S(t) — заданный сигнал

Преобразуем круговую частоту щ1 в f1 (щ1 [рад/с] => f1[Гц])

f1- интервал дискретизации по частоте.

По формуле (4) определим амплитудный спектр периодической последовательности заданного сигнала:

— из пункта 1 курсовой работы

f3. Спектральный анализ одиночного радиоимпульса

Несущая частота радиоимпульса (частота заполнения):

, ,

Определим ширину спектра Дf:

fmax- определена по графику амплитудного спектра одиночного прямоугольного видеоимпульса (рис.5), по 10% уровню от |S(f)| max , т.е. по уровню 0.1|S(f)| max .

К узкополосным сигналам (радиосигналам) относятся сигналы, спектры которых сосредоточены в относительно узкой по сравнению со средней частотой полосе.

Узкополосный сигнал описывается выражением:

, (5)

щ0 — частота несущего колебания

V(t), Ц(t) — амплитуда и фаза сигнала

В частном случае, когда , а V(t)=s(t) — непериодический видеосигнал, (5) описывает радиоимпульс:

, (6)

fТаким образом, аналитическое выражение для полученного радиоимпульса:

,

где S(t) — заданный сигнал (см.. п.1)

Спектральная плотность радиоимпульса определяется спектральной плотностью его огибающей:

Спектр радиоимпульса U(щ) получается путём переноса спектра его огибающей S(щ) из окрестности нулевой частоты в окрестность несущей частоты ±щ0 (с коэффициентом 1/2):

S(2р( f-f0 )) и S(2р( f+f0 )) — спектральные плотности видеоимпульса, составляющих заданный сигнал, определённые в п.1.

t1=3мс

Амплитудный спектр радиоимпульса:

График при f0 относительно оси ординат.

f4. Спектральный анализ периодической последовательности радиоимпульсов

Спектральный анализ сигнала в виде периодической последовательности радиоимпульсов основан на его представлении в виде ряда Фурье:

,

коэффициенты которого связаны с коэффициентами ряда Фурье периодического видеосигнала (3) соотношением:

Vn — амплитудный спектр периодической последовательности радиоимпульсов.

Аналитическое выражение для последовательности радиоимпульсов:

U(t) — одиночный радиоимпульс

Или

,

Определим амплитудный спектр периодической последовательности радиоимпульсов по:

5. Корреляционный анализ непериодического сигнала

Автокорреляционная функция определяется следующим интегралом:

, (7)

и характеризует взаимосвязь между значениями сигнала в различные моменты времени.

Для действительного сигнала корреляционная функция является действительной чётной функцией

Максимального значения, равного энергии сигнала корреляционная функция достигает при ф=0:

Непосредственное интегрирование в формуле (7) даёт выражение для правой ветви автокорреляционной функции (рис.)

Замена в полученном выражении ф =| ф | позволяет перейти к аналитическому описанию автокорреляционной функции, как для положительных значений ф>0, так и для отрицательных ф0 => R(ф)=R(ф)

Корреляционная функция пачки импульсов

,

где S(t) — 1-й импульс в пачке,

при условии, что интервал следования в пачке t1 больше или равен ф0 — длительность 1-го импульса в пачке S0(t), взаимосвязана с корреляционной функцией R0(ф) соотношением

, (8)

Воспользуемся выражением (8): N=2 — количество импульсов

6.Спектральный анализ линейной цепи

рис.4. Заданная схема цепи

рис.5. Эквивалентная схема замещения

КЧХ определяется по следующей формуле:

Согласно эквивалентной схеме замещения:

;

fПо формуле делителя напряжения [5]:

— постоянная RC цепи [5].

Определим АЧХ:

Определим ФЧХ:

Определим значения H(щ) и Ш(щ) на частотах щ=0 и щ=,

Аналитическое выражение для спектральной плотности сигнала на выходе цепи при воздействии в виде заданного сигнала S(t)

Амплитудный спектр сигнала на выходе цепи (рис.13), при воздействии в виде заданного сигнала S(t):

fСписок литературы

1. Денисенко А.Н., Стеценко О.А. Теоретическая радиотехника: Справочное пособие ч.1: Детерминированные сигналы (методы анализа). — М.: Издательство стандартов, 1993. — 215с.

2. Денисенко А.Н., Стеценко О.А. Спектральный анализ сигналов: Учеб. пособие / Моск. ин-т радиотехники, электроники и автоматики.- М., 1991. — 76 с.

3. Денисенко А.Н., Стеценко О.А. Линейные радиотехнические цепи: Учеб. пособие / Моск. ин-т радиотехники, электроники и автоматики. — М., 1992. — 78 с.

4. Нефёдов В.И. Основы радиоэлектроники и связи: Учебник для вузов — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш.шк., 2002. — 510 с.: ил.

5. Попов В.П. Основы теории цепей: Учеб. для вузов. — 3-е изд., испр.- М.: Высш. шк., 2000 — 575с.: ил.

6. Конспект лекций и семинарских занятий по курсу РТЦ и С.

7.Конспект лекций и семинарских занятий по курсу ОТЦ (2 курс).

Размещено на Allbest.ru

  • Спектральный анализ непериодического сигнала. Графическое представление модуля и аргумента спектральной плотности. Аналитическое выражение коэффициента передачи цепи. Графическое представление корреляционной функции исходного непериодического сигнала.курсовая работа [924,4 K], добавлен 21.02.2013

Источник: https://revolution.allbest.ru/radio/00838885_0.html

Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Спектральный и временной анализ импульсных и периодических сигналов. Кузнецов Ю.В

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на GitHub.

Жан-Батист Жозеф Фурье
1768–1830 В предыдущих разделах мы рассмотрели разложение периодических сигналов в ряд Фурье, а также изучили некоторые свойства представления периодических сигналов рядом Фурье.

Мы говорили, что периодические сигналы можно представить как ряд комплексных экспонент, отстоящих друг от друга на частоту рад/c, где  — период повторения сигнала. В результате мы можем трактовать представление сигнала в виде ряда комплексных гармоник как комплексный спектр сигнала.

Комплексный спектр, в свою очередь, может быть разделен на амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала.

В данном разделе мы рассмотрим спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, как одного из важнейших сигналов, используемого в практических приложениях.

Пусть входной сигнал представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов амплитуды , длительности секунд следующих с периодом секунд, как это показано на рисунке 1

Рисунок 1. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Единица измерения амплитуды сигнала зависит от физического процесса, который описывает сигнал . Это может быть напряжение, или, сила тока, или любая другая физическая величина со своей единицей измерения, которая меняется во времени как . При этом, единицы измерения амплитуд спектра , , будут совпадать с единицами измерения амплитуды исходного сигнала.

Тогда спектр , , данного сигнала может быть представлен как:

(1)

Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов представляет собой множество гармоник с огибающей вида .

Свойства спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов

Рассмотрим некоторые свойства огибающей спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов.

Гийом Франсуа Лопиталь
1661–1704 Постоянная составляющая огибающей может быть получена как предел:

(2)

Для раскрытия неопределенности воспользуемся правилом Лопиталя [1, стр. 257]:

(3)

где называется скважностью импульсов и задает отношение периода повторения импульсов к длительности одиночного импульса.

Таким образом, значение огибающей на нулевой частоте равно амплитуде импульса деленной на скважность. При увеличении скважности (т.е. при уменьшении длительности импульса при фиксированном периоде повторения) значение огибающей на нулевой частоте уменьшается.

Используя скважность импульсов выражение (1) можно переписать в виде:

(4)

где .

Нули огибающей спектра последовательности прямоугольных импульсов можно получить из уравнения:

(5)

Знаменатель обращается в ноль только при , однако, как мы выяснили выше , тогда решением уравнения будет

(6)

Тогда огибающая обращается в ноль если

(7)

На рисунке 2 показана огибающая спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов (пунктирная линия) и частотные соотношения огибающей и дискретного спектра .

Рисунок 2. Cпектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Также показаны амплитудная огибающая , амплитудный спектр , а также фазовая огибающая и фазовый спектр .

Из рисунка 2 можно заметить, что фазовый спектр принимает значения когда огибающая имеет отрицательные значения. Заметим, что и соответствуют одной и той же точке комплексной плоскости равной .

Пример спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов

Пусть входной сигнал представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов амплитуды , следующих с периодом секунды и различной скважностью . На рисунке 3а показаны временные осциллограммы указанных сигналов, их амплитудные спектры (рисунок 3б), а также непрерывные огибающие спектров (пунктирная линия).

Рисунок 3. Cпектр периодической последовательности прямоугольных импульсов при различном значении скважности
а — временные осциллограммы; б — амплитудный спектр

Как можно видеть из рисунка 3, при увеличении скважности сигнала, длительность импульсов уменьшается, огибающая спектра расширяется и уменьшается по амплитуде (пунктирная линия). В результате, в пределах главного лепестка увеличивается количество гармоник спектра .

Спектр смещенной во времени периодической последовательности прямоугольных импульсов

Выше мы подробно изучили спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов для случая, когда исходный сигнал являлся симметричным относительно . В результате спектр такого сигнала является вещественным и задается выражением (1). Теперь мы рассмотрим, что произойдет со спектром сигнала если мы сместим сигнал во времени,как это показано на рисунке 4 .

Рисунок 4. Сдвинутая во времени периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Смещенный сигнал можно представить как сигнал , задержанный на половину длительности импульса . Спектр смещенного сигнала можно представить согласно свойству циклического временного сдвига как:

(8)

Таким образом, спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, смещенной относительно нуля, не является чисто вещественной функцией, а приобретает дополнительный фазовый множитель . Амплитудный и фазовый спектры показаны на рисунке 5.

Рисунок 5. Амплитудный и фазовый спектры сдвинутой во времени периодической последовательности прямоугольных импульсов

Из рисунка 5 следует, что сдвиг периодического сигнала во времени не изменяет амплитудный спектр сигнала, но добавляет линейную составляющую к фазовому спектру сигнала.

Выводы

В данном разделе мы получили аналитическое выражение для спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов.

Мы рассмотрели свойства огибающей спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов и привели примеры спектров при различном значении скважности.

Также был рассмотрен спектр при смещении во времени последовательности прямоугольных импульсов и показано, что смещение во времени изменяет фазовый спектр и не влияет на амплитудный спектр сигнала.

Программная реализация в библиотеке DSPL

Данные для построения рисунков данного раздела были просчитаны при использовании библиотеки DSPL-2.0

Ниже приведён исходный код программы расчета данных для построения рисунка 3: fourier_series_pimp_q.c #include #include #include «dspl.h» /* Размер векторов входных сигналов и огибающей спетра */ #define N 1000 /* Период повторения импульса. Для изменения скважности мы будем менять * длительность импульса при фиксированном периоде повторения */ #define T 4.

0 /* Амплитуда */ #define A 2.

0 /* Количество спектральных гармоник разложения в ряд Фурье */ #define M 41 /* длина команды Gnuplot */ #define PLOTCMD_LEN 256 int main(int argc, char* argv[]) { double t1[N]; /* время (сек) на одном периоде повторения */ double t4[N]; /* время (сек) на четырех периодах повторения */ double s[N]; /* входной сигнал */ complex_t S[M]; /* комплексный спектр периодического сигнала */ double Smag[M]; /* амплитудный спектр периодического сигнала */ double w[M]; /* частота (рад/c) дискретного спектра */ double wc[N]; /* частота (рад/с) огибающей спектра */ double Sc[N]; /* огибающая спектра */ double tau; /* длительность импульса */ /* скважность */ double Q[3] = {5.0, 2.0, 1.25}; int q, m, n; char fname[64]; /* имя файла данных */ char plotcmd[PLOTCMD_LEN]; /* Команда Gnuplot */ void* hdspl; /* DSPL handle */ void* hplot; /* GNUPLOT handle */ hdspl = dspl_load(); if(!hdspl) { printf(«Cannot to load libdspl!»); return 0; } /* Вектор частот непрерывной огибаюхей вида sin(w/2*tau) / (w/2*T) */ linspace(-M_PI*(double)M/(double)T, M_PI*(double)M/(double)T, N, DSPL_SYMMETRIC, wc); /* заполнение массива временных отсчетов */ /* на одном периоде повторения сигнала */ linspace(-T/2.0, T/2.0, N, DSPL_PERIODIC, t1); /* заполнение массива временных отсчетов * на 4-x периодах повторения сигнала * для отображения на осциллограмме */ linspace(-T*2.0, T*2.0, N, DSPL_PERIODIC, t4); /* Построение графиков пакетом GNUPLOT */ gnuplot_create(argc, argv, 800, 640, «img/fourier_series_rec.png», &hplot); gnuplot_cmd(hplot, «unset key»); gnuplot_cmd(hplot, «set multiplot layout 3,2 rowsfirst»); gnuplot_cmd(hplot, «set yrange [0:2.2]»); for(q = 0; q < 3; q++) { tau = T/Q[q]; /* 4 периода повторения п-импульса скважности Q[q] */ signal_pimp(t4, N, A, tau, 0.0, T, s); /* сохранение в текстовый файл временных осциллограмм */ sprintf(fname, "dat/pimp_time_%.2lf.csv", Q[q]); writetxt(t4, s, N, fname); /* Построение временнОй осциллограммы */ sprintf(plotcmd, "plot '%s' with lines", fname); gnuplot_cmd(hplot, plotcmd); /* один период повторения п-импульса скважности Q[q] */ signal_pimp(t1, N, A, tau, 0.0, T, s); /* разложение в ряд Фурье */ fourier_series_dec(t1, s, N, T, M, w, S); /* Рассчет амплитудного спектра */ for(m = 0; m < M; m++) { /*printf("S[%d] = %f %f", m, RE(S[m]), IM(S[m]));*/ Smag[m] = ABS(S[m]); } /* Сохранение в файл амплитудного спетра для скважности Q[q] */ sprintf(fname, "dat/pimp_freq_discrete_%.2lf.csv", Q[q]); writetxt(w, Smag, M, fname); /* Построение на график амплитудного спектра для заданной скважности */ sprintf(plotcmd, "plot '%s' with impulses lt 1 ,\\", fname); printf("%s", plotcmd); gnuplot_cmd(hplot, plotcmd); sprintf(plotcmd, "'%s' with points pt 7 ps 0.5 lt 1 ,\\", fname); printf("%s", plotcmd); gnuplot_cmd(hplot, plotcmd); /* Расчет огибающей */ for(n = 0; n < N; n++) Sc[n] = (wc[n] == 0.0) ? A/Q[q] : fabs( A * sin(0.5*wc[n]*tau) / (0.5*wc[n] * T)); /* сохранение огибающей в файл для скважности Q[q] */ sprintf(fname, "dat/pimp_freq_cont_%.2lf.csv", Q[q]); writetxt(wc, Sc, N, fname); /* Построение на график непрерывной огибающей амплитудного спектра для заданной скважности */ sprintf(plotcmd, "'%s' with lines", fname); printf("%s", plotcmd); gnuplot_cmd(hplot, plotcmd); } gnuplot_cmd(hplot, "unset multiplot"); gnuplot_close(hplot); /* remember to free the resource */ dspl_free(hdspl); return 0; }

Смотри также

Представление периодических сигналов рядом Фурье
Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье
Преобразование Фурье непериодических сигналов
Свойства преобразования Фурье

Список литературы

[1] Ильин, В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Москва, Наука, 1965, 572 c.

[2] Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

[3] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

[4] Дёч, Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа. Москва, Наука, 1965, 288 c.

[5] Bracewell, R. The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

© Бахурин Сергей 2015 — 2020. Все права защищены. Любое копирование материалов сайте без разрешения автора запрещено.

Источник: http://ru.dsplib.org/content/fourier_series_pimp/fourier_series_pimp.html

Biz-books
Добавить комментарий