Современные информационные технологии. Проекционно-сеточные методы решения уравнений математической физики: конспект лекций для аспирантов и магистрантов БГУИР

Установочная лекция

Современные информационные технологии. Проекционно-сеточные методы решения уравнений математической физики: конспект лекций для аспирантов и магистрантов БГУИР

Курс Основы информационных технологий

Раздел

Проекционно-сеточные методы решения уравнений математической физики

(установочная лекция)

Професcор Синицын

Анатолий Константинович

Кафедра ВМиП (а. 412 – 5к)

Литература

1.Калиткин Н.Н. Численные методы. – М: Наука, 1978.

2.Болсун А.И., Гронский В.К., Бейда А.А. Методы математической физики. – Мн.: Выш. Шк., 1988.

3.Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. – М.: Наука, 1981.

4.Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. – М.: Радио и связь, 1988.

5.Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: — Наука,

1980.

6.Синицын А.К. Современные информационные технологии. Проекционно-сеточные методы решения уравнений математической физики. Конспект лекций для аспирантов и магистрантов Мн.: БГУИР, 2004.

7.Синицын А.К. ,Навроцкий А.А. Алгоритмы вычислительной математики. Учебно-методическое пособие. Мн.: БГУИР, 2007

Метод и его погрешность

•При построении вычислительного алгоритма обычно точное решение некоторой задачи

•представляется в виде бесконечного предела последовательности арифметических и логических действий:

•Mh – метод, h – параметр метода

•При ограничении лишь конечным числом вычислений вносится

контролируемая параметром h метода погрешность

(h)=Y-Yh
Получение зависимости погрешности решения (h) от
параметров вычислительного метода является одной из
основных задач вычислительной математики

Порядок погрешности метода (продолжение)

•Обычно при уменьшении некоторого параметра h

метода погрешность решения h стремится к нулю, т.е.

• В этом случае, если удается получить оценку вида

hC h p
• где С — const ине зависит от h, считается, что

порядок погрешности равен p и обозначается

коротко

h o ( h p )

Из математической физики

•Математической моделью поля является функция нескольких переменных, обычно

( x , y , z , t ) u ( x , y , z , t )

 Операторы дифференцирования:

d iv u ,v r o tu ,
v ,2

Операторы дифференцирования

d iv uu xu yu z
xyz
g ra dx0y 0z
x0
yz
2 d iv ( )222
x 2y 2z 2
u n d S d iv u d VТеорема Остроградского –
Гаусса
SV

Обыкновенные ДУ

•Система ОДУ первого порядка

d u1f1 ( x , u1 , u 2 , …, u m );
или коротко
d x
……………………………………d u
d uf ( x , u ).
mf m ( x , u1 , u 2 , …, u m ).d x
d x

• Система ОДУ второго порядка

( g 1u1) q1u1p1u1 f ( x , u 2 , …, u m ,u2, …,um);
x
xxxx
………………………………………………………………………….
u mu mu1u m 1
( g m) q mp m u m f ( x , u1 , …, u m 1 ,, …,).
xxxxx
05.01.2011u u1 ( x ), …, u m ( x )a x b7

Задача Коши

u1 ( a ) u10 ; … u m ( a ) u m0

x

Краевая задача

Условия заданы на обоих концах отрезка [a,b].

Эта задача обычно ставится для ДУ второго порядка

( gu) qup u f ( x , u )
xxx
 В общем случае
ad u ( a )a u ( a ) a ;п р и x a
d x
bd u ( b )b u ( b ) b ;п р и x b
d x

ДУ в частных производных (ДУЧП)

u2 u2 u2 uf
— параболические
tx2y2z2
2 u2 u2 u2 uf— гиперболические
t 2x 2y 2z 2
2 u2 u2 u— эллиптические
x 2y 2z 2f

Источник: https://studfile.net/preview/1400178/

Проекционно-сеточные методы решения уравнений математической физики — презентация, доклад, проект скачать

Современные информационные технологии. Проекционно-сеточные методы решения уравнений математической физики: конспект лекций для аспирантов и магистрантов БГУИР
Слайд 1
Описание слайда:

Курс Основы информационных технологий Раздел Проекционно-сеточные методы решения уравнений математической физики Професcор Синицын Анатолий Константинович Кафедра ВМиП (а. 412 – 5к)

Слайд 2
Слайд 3
Описание слайда:

Литература Калиткин Н.Н. Численные методы. – М: Наука, 1978. Болсун А.И., Гронский В.К., Бейда А.А. Методы математической физики. – Мн.: Выш. Шк., 1988. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. – М.: Наука, 1981. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. – М.: Радио и связь, 1988. Марчук Г.И.

Методы вычислительной математики. – М.: — Наука, 1980. Синицын А.К. Современные информационные технологии. Проекционно-сеточные методы решения уравнений математической физики. Конспект лекций для аспирантов и магистрантов Мн.: БГУИР, 2004. Синицын А.К. ,Навроцкий А.А. Алгоритмы вычислительной математики. Учебно-методическое пособие. Мн.

: БГУИР, 2007

Слайд 4
Описание слайда:

Введение: система – средство достижения цели человеком В качестве средства достижения цели человек создает (или приспосабливает имеющуюся) некую систему – т.е. набор связанных элементов, образующих целостный объект.

Например, машина, телевизор, система производства, система нагрева, экономическая, общественная, мировоззренческая,… Первые системы – рука-палка, колесо-телега, катапульта,.. Чтобы создать нужную систему он должен: Предугадывать результаты действий системы.

Придумывать, как она должна быть устроена.

Слайд 5
Описание слайда:

Введение: Задачи анализа и синтеза Для достижения своих целей, в частности при создании полезных систем, человеку приходится постоянно решать две задачи – Экспертную и конструктивную. Э.З.

ставится следующим образом — «Что будет, если…». Как ведет себя система(объект) в тех или иных условиях? Это задача анализа. К.З. ставится следующим образом – «Как сделать, чтобы…».

Как сконструировать систему (объект) с заданными свойствами? Это задача синтеза.

Слайд 6
Описание слайда:

Примеры технических систем Движение планет и космических объектов Динамика атмосферы и океана Техника генерации, усиления, передачи и приема электромагнитных волн Элементы компьютерной техники- элементы памяти, записи, преобразования сигналов Технологические установки выращивания кристаллов с заданными свойствами Установки сушки, термообработки и охлаждения материалов Устройства автоматического управления Все эти и многие другие системы объединяет то, что они описываются дифференциальными уравнениями. Поэтому, чтобы их спроектировать, необходимо решить ДУ и найти оптимальные условия работы. Большая доля современных пакетов программ и систем программирования для этого предназначена.

Слайд 7
Описание слайда:

Тема 1 Математические модели и численные методы Как исследуются физические явления и решаются задачи Как оценивается погрешность вычислений? Откуда возникают погрешности расчетов? Итерационные методы решения задач

Слайд 8
Описание слайда:

Как исследуются физические явления и решаются задачи Имеется два способа решения инженерных и физических задач: экспериментальный и теоретический.

Экспериментальный метод, как правило, связан с большими материальными затратами, а иногда в принципе невозможен.

Теоретический метод, или математическое моделирование, опирается на знание фундаментальных законов природы, используя которые строят математическую модель исследуемой системы.

Слайд 9
Описание слайда:

Математическая модель — это описание исследуемого объекта (системы) с помощью математических символов и операций над ними Требования к модели: Адекватность. — В модели реализуется отображение существенных свойств объекта при его изучении. Экономичность.

Бритва Оккама- отбрасываются незначительные факторы. Принцип дополнительности. Использовать несколько моделей по возможности. Математическая постановка задачи -предполагает описание математической модели и указание цели ее исследования.

найти max f(x); найти x, при котором f(x)=0, и др.

Слайд 10
Описание слайда:

Пример: Модель конденсатора

Слайд 11
Описание слайда:

Методы (алгоритмы) решения математических задач Решить задачу — это значит указать алгоритм (т.е. строгую последовательность действий) для получения требуемого результата из исходных данных К точным методам относятся алгоритмы, позволяющие за конечное число действий получить в принципе (если нет ошибок округления) точное решение.

Обычно оно получается в виде формулы или конечного вычислительного алгоритма. Приближенные — это методы, позволяющие за счет некоторых допущений свести решение исходной задачи к задаче, имеющей точное решение. Численные методы предполагают разработку вычислительного алгоритма, т.е.

конечной, строгой последовательности арифметических и логических действий, обеспечивающих получение решения с заданной контролируемой погрешностью.

Слайд 12
Описание слайда:

Как оценивается погрешность вычислений? Погрешность обычно оценивают одним числом , характеризующим близость между точным и приближенным значениями некоторой величины. Близость мы привыкли оценивать расстоянием между объектами.

Слайд 13
Описание слайда:

Нормированное пространство Множество элементов в котором каждому элементу поставлено в соответствие число ║X║ (норма X), удовлетворяющее следующим аксиомам: 1. — норма (положительное число). 2.

только при X =  (- нулевой элемент). 3. ,  — число 4. — неравенство треугольника. В качестве элементов рассматриваются функции, векторы или матрицы.

Введены обычные операции + — и умножение * на число  Расстояние между элементами

Слайд 14
Описание слайда:

Пространство непрерывных функций С[ab] Множество непрерывных функций {f(x), g(x), h(x), …}, определенных на интервале [a, b]. Норма и расстояние в C[a, b] определяются по формулам:

Слайд 15
Описание слайда:

Например

Слайд 16
Описание слайда:

Пространство Лебега L2[a, b] интегрируемых с квадратом функций Множество функций, для которых В L2[a, b] имеются и разрывные функции, т.е. C[a, b] L2[a, b]. Норма и расстояние:

Слайд 17
Слайд 18
Слайд 19
Описание слайда:

Скалярное произведение в L2[a,b] Ортогональными называются две функции из L2, если (f, g)=0.

Слайд 20
Слайд 21
Описание слайда:

Пространство Соболева Множество функций, имеющих интегрируемые с квадратом производные до s порядка. Норма определяется как Расстояние В этом пространстве близость между функциями характеризует также близость их производных. Функции f и h на рис. 1.1 будут «близкими» по норме и «далекими» по норме , причем

Слайд 22
Описание слайда:

Виды погрешностей Абсолютная погрешность X между точным X и приближенным значениями некоторого элемента определяется через норму разности Относительная погрешность X определяется как отношение абсолютной погрешности к норме элемента

Слайд 23
Слайд 24
Описание слайда:

Откуда возникают погрешности расчетов? Есть четыре источника погрешности результата, о которых следует помнить при выполнении расчетов 1. Неточность математической модели 2. Погрешность исходных данных 3. Погрешность метода 4. Ошибки округлений

Слайд 25
Описание слайда:

Неточность математической модели Любая модель является определенной идеализацией рассматриваемого физического явления и описывает лишь основные факторы, существенные при решении конкретной технической задачи.

Уточнение модели за счет введения описания дополнительных факторов обычно приводит к ее усложнению и, как следствие, к трудности использования, поэтому необходим определенный компромисс (Бритва Оккама).

Выбор удачного компромисса — это творческий процесс, требующий большого опыта и инженерной интуиции.

Слайд 26
Описание слайда:

Погрешность исходных данных Исходные данные обычно получаются из измерений либо — наоборот, по этим данным затем делается устройство. В каждом случае имеется так называемая неустранимая погрешность между исходными данными, участвующими в расчетах, и теми, которые реализуются.

В результате этого получаемое решение также будет отличаться от реализуемого в устройстве. В зависимости от того, как ошибки исходных данных отражаются на результате, задачи разделяют на два класса: корректные и некорректные.

Задача называется корректной, если малые ошибки исходных данных приводят к пропорционально малым ошибкам решения. Задача называется некорректной, если малые ошибки исходных данных приводят к большим ошибкам в результатах,.

Для решения некорректных, но правильных с физической точки зрения задач разрабатываются специальные методы

Слайд 27
Описание слайда:

Погрешность метода При построении вычислительного алгоритма обычно точное решение представляется в виде бесконечного предела последовательности арифметических и логических действий. При ограничении лишь конечным числом вычислений вносится погрешность, контролируемая некоторыми параметрами метода.

Получение зависимости погрешности решения от параметров вычислительного метода является одной из основных задач вычислительной математики Обычно при уменьшении некоторого параметра h метода погрешность решения h стремится к нулю, т.е. при . .

В этом случае, если выполняется оценка , где С — const и не зависит от h, считается, что порядок погрешности равен p и обозначается коротко

Слайд 28
Описание слайда:

Например, метод вычисления y=e-x при x>0 Метод – несколько первых членов ряда Погрешность:

Слайд 29
Описание слайда:

Ошибки округлений Все расчеты на ЭВМ производятся с конечным числом значащих цифр, определяемым объемом ячеек памяти. Поэтому при вычислении, например, 1/3 = 0,3333…3…, и если округление производится на седьмом знаке, то вносится ошибка   10-8.

Когда вычислений много, то такие ошибки могут накапливаться и, наоборот, компенсироваться (положительные и отрицательные). В зависимости от реакции на погрешность округлений вычислительные методы разделяются на устойчивые и неустойчивые.

Метод устойчив, если в процессе вычислений ошибки округлений не накапливаются, в противном случае метод неустойчив. При увеличении количества вычислений по неустойчивому методу ошибки быстро нарастают, что приводит к переполнению ЭВМ.

Одной из задач вычислительной математики является установление условий устойчивости и разработка рекомендаций по созданию устойчивых методов.

Слайд 30
Описание слайда:

Итерационные методы решения задач Задача: Итерационные методы основаны на построении сходящейся к точному решению x* бесконечной рекуррентной последовательности элементов той же природы, что и x*.

Последовательность называется рекуррентной порядка m, если каждый следующий ее член выражается через m предыдущих по некоторому правилу Для реализации m-шагового метода требуется задать m первых членов, называемых начальным приближением

Слайд 31
Описание слайда:

Процесс вычислений Задают начальное приближение и по формуле xm=(xm-1) последовательно находят Процесс получения следующего k-го члена через предыдущие называется k-й итерацией.

Итерации выполняются до тех пор, пока очередной член xk не будет удовлетворять заданной точности, т.е. Ввиду того, что точное решение x* заранее неизвестно, обычно сходимость метода определяют по близости двух последних членов, т.е.

расчеты производят до тех пор, пока не выполнится условие или более точно Получаем x*xk

Слайд 32
Описание слайда:

Пример простого итерационного метода Приводим уравнение к виду Можно так Рекуррентная последовательность Задаем начальное условие x0 и находим x1, x2, … xk Условие сходимости

Слайд 33
Описание слайда:

Конец темы 1 Задавайте Ваши вопросы

Источник: https://mypresentation.ru/presentation/proekcionnosetochnye-metody-resheniya-uravnenij-matematicheskoj-fiziki

Biz-books
Добавить комментарий