Смешанные задачи гидродинамического удара. Методические указания для студентов 3 курса механико-математического факультета

Методические указания к практическим заданиям по с/к «Обратные задачи механики» для студентов механико-математического факультета Ростов-на-Дону

Смешанные задачи гидродинамического удара. Методические указания для студентов 3 курса механико-математического факультета

Министерство образования и наукиРоссийской Федерации

Федеральное агентство пообразованию

Государственное образовательноеучреждение

высшего профессиональногообразования

«РОСТОВСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к практическим заданиям по с/к«Обратные задачи механики»

для студентов механико-математическогофакультета

Ростов-на-Дону

2005

Методические указания разработаныдоктором физико-математических наук,заведующим кафедры теории упругости,профессором А.О. Ватульяном и ассистентомкафедры теории упругости Явруян О.В.

Ответственный редактор

Компьютерный набор и верстка

Печатается в соответствии срешением кафедры теории упругостимеханико-математического факультетаРГУ, протокол № 1 от 14 февраля 2005 г.

СОДЕРЖАНИЕ

С.

Введение………………………………………………………………………………4

  1. ПОНЯТИЕ О КОРРЕКТНЫХ И НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧАХ………….5

  2. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ А.Н.ТИХОНОВА……………………………….10

2.1. Выбор параметрарегуляризации .………………………………………10

2.2.Метод регуляризации А.Н.Тихонова для уравнения Фредгольма1-го рода сгладким ядром ….………………………………………11

3. ОБРАТНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРУГОГОСТЕРЖНЯ………………………………………………………………………..15
3.1. Задача об определении модуля…………………………………….16

    1. Задача об определении плотности ……………………..……………19

    2. Задача об определении формы поперечного сечения F(x)…….………19

4. ЗАДАНИЕ I……………………………………………………………………….20

4.1.Варианты I-ого задания…………………………………………………..20

4.2.Указания к выполнению Iпрактического задания………………..….21

5. ЗАДАНИЕ II……………………………………………………………….…….22

5.1. Варианты II-ого задания………………………………..………………..22

5.2. Указания к выполнению IIпрактического задания……………..……23

ПриложениеА…………………………………………………………………………25

ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………………………27

ВВЕДЕНИЕ

Стремление познавать окружающиймир привело человека к некоторойидеализации окружающих предметов иявлений.

При этом для понимания основныхзакономерностей происходящего процессанеобходимо абстрагироваться от реальногопроцесса, заменяя его идеальным, гдеучитывается одно главное его свойство.

Предположим, что необходимо описатьповедение некоторого физического процесса или явления, которые в дальнейшембудем именовать объектами исследования(ОИ). Основными источниками информации,на основании которых изучается ОИ,являются наблюдение и эксперимент.

Еслипри наблюдении просто фиксируютсянекоторые черты поведения ОИ, то вэксперименте можно активно воздействоватьна ОИ (вход) и регистрировать его откликна это воздействие (выход). Установлениесвязи между входом и выходом ОИ составляетглавную задачу математическогомоделирования.

Все задачи математическогомоделирования с точки зрения соотношенийпричина-следствие можно разбить на двакласса: прямые задачи, известны причины,необходимо определить следствия, иобратные задачи, в которых требуетсянайти причины по некоторой известнойинформации об объекте исследования[1].

Обратныезадачи имеют широкую область приложения,например, задачи сейсморазведки,идентификация композитных материалов,проблемы неразрушающего контроля [2].

Однако следует отметить, что такиезадачи обладают рядом неприятных сточки зрения обработки свойств,практически все обратные задачи являютсянекорректными, т.е. для их решениястандартные методы неприменимы.

Воснове теорий и методов решенийнекорректных задач лежит понятиерегуляризирующего алгоритма как способаприближенного решения некорректнойзадачи [3]-[5].

Настоящеепособие посвящено определенному типуобратных коэффициентных задач, ипредставлен способ преодолениянекорректности для таких задач -применение регуляризирующего методаА.Н. Тихонова. Также методическое пособиесодержит варианты заданий по спецкурсу «Обратные задачи механики».

В первом разделе представленыосновные понятия, определения и вопросы, которые встречаются при решенииобратных задач.

Второй и третийразделы посвящены непосредственнопрактическим заданиям по с/к: решениюинтегрального уравнения Фредгольма I-ого рода с гладким ядром при помощи методаА.Н. Тихонова и обратным коэффициентнымзадачам для упругого стержня. Сформулированысами задания и указания к выполнениюработы.

1. ПОНЯТИЕ О КОРРЕКТНЫХ ИНЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧАХ

С точки зрения современнойматематики все задачи принято условноделить на корректно и некорректнопоставленные.

Рассмотрим операторное уравнение

, (1.1)

гдеU,F –метрические пространства.

Определение 1

Задача (1.1) называется корректнопоставленной по Адамару [3], если

  1. (решение существует для любой правой части);

  2. решение единственно;

  3. решение непрерывно зависит от данных задачи.

Непрерывная зависимость отданных задачи означает следующее. Пустьимеется два операторных уравнения смало различающимися правыми частями,такие, что из неравенства вытекает ,причём 0,если 0 ( условие устойчивости).

Перефразируя определение 1, можносказать, что нахождение элемента u=Rfпорождает корректнуюмодель, если отображение Rопределено на всем пространстве Fи непрерывно. Ясно, что понятие корректностиотносится к тройке (F,R,U).

Рассмотрим смысл условий 1-3 вопределении 1

  1. существование решения означает, что данные задачи непротиворечивы;

  2. единственность означает, что данных достаточно для нахождения единственного решения;

3) непрерывная зависимость отданных задачи означает, что малыепогрешности входных данных (которыеприсущи любому эксперименту и наблюдению)приводят к малым отклонениям приближенногорешения от точного.

Условия 1,2 определения 1характеризуют математическуюопределенность, а условие 3 — физическуюдетерминированность задачи.

Отметим, чтодля линейных корректных задач имеетместо соотношение корректности

(1.2)

с= const , причем из соотношения(1.2) вытекают условия корректности 1-3определения 1 (например, если f=0, то иu=0, откуда следует единственность).

Условию единственности решениялинейного операторного уравнения (1.1)соответствует условие существованиятолько тривиального решения однородного уравнения (1.1).

Определение 2

Задача (1.1) называется некорректной,если для нее нарушается хотя бы одно изусловий 1-3 определения 1.

Типичным примером некорректнопоставленной задачи является линейноеоператорное уравнение (1.1) в случае,когда оператор Aвполне непрерывен. В этом случаенарушаются все условия корректностизадачи.

В качестве следующего примеранекорректно поставленной задачи будемрассматривать решение интегральногоуравнения Фредгольма 1-го рода с гладкимядром.

(1.3) Будем считать для определенности,что .

Для этого операторногоуравнения не выполняется первое условиекорректности, поскольку не у каждого элемента из Fбудетсуществовать прообраз из U. Для этогодостаточно взять функцию f, непрерывнуюна [c,d], но недифференцируемую, при этом интеграл в левой части будет представлятьсобой непрерывно дифференцируемуюфункцию. Для уравнения (1.

3) не выполняетсяи третье условие корректности в силуполной непрерывности оператора в левойчасти и неограниченности обратного Ак вполне непрерывному. Наконец заметим,что выполнение второго условиякорректности зависит от конкретногоядра (это условие может как выполняться,так и нарушаться). Особенно выпукло этопроявляется для операторов с вырожденнымядром.

Рассмотрим характерные ситуации.

Пример 1

В качестве ядра интегральногооператорного уравнения (1.3) рассмотримследующее

Покажем, что соответствующееоднородное уравнение имеет тольконулевое решение

, (1.4)

полагая в (1.4) х=0, получим

.

Дифференцируя уравнение (1.4) иполагая x=0, получим последовательно:

В силу того, что системафункций -линейно независима и полна в ,а u(s)ортогональна этой системе, то и, следовательно, имеет место единственностьрешения.

Пример 2

Пусть .Нетрудно видеть, что для оператора стаким ядром решение неединственно.Рассмотрим соответствующее однородноеуравнение с описанным выше вырожденнымядром. Решение представим в виде тогда можно положить .Таким образом, мы нашли решение однородногооператорного уравнения отличное отнулевого, что соответствует условиюнеединственности решения исходногонеоднородного уравнения.

Таким образом, процедура решенияинтегрального уравнения Фредгольма1-го рода с гладким ядром являетсянекорректной задачей. Опишемрегуляризованную процедуру его численногорешения на основе метода А.Н.Тихонова.

2. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ А.Н.ТИХОНОВА

ПустьU,F –гильбертовы пространства; D– замкнутое выпуклое множество априорныхограничений задачи (,).A,- линейные ограниченные операторы, где — аппроксимирующий оператор, — погрешность аппроксимации, т.е. .Построим приближенное решение уравнения(1.3), принадлежащее множеству D,по заданному набору данных ,,где — погрешность задания правой частиуравнения (1.3), т.е. .

Введем сглаживающийфункционал [3]

(2.1)

(>0– параметр регуляризации) и рассмотримэкстремальную задачу о минимизациифункционала

(2.2)

Имеет место следующийрезультат [3]

Для любыхи линейного ограниченного оператора задача (2.2) разрешима и имеет единственноерешение ,причем .

2.1. Выбор параметрарегуляризации

Выборпараметра регуляризации осуществляетсяв соответствии с принципом обобщеннойневязки [3], т.е. находится из уравнения

, (2.3)

— меранесовместности уравнения (1.3) сприближенными данными.

Приэтом если выполнено условие ,то уравнение (2.3) имеет один положительныйкорень, который выбирается в качествепараметра регуляризации в методе А.Н.Тихонова.

Для отыскания корня уравнения(2.3) можно использовать модификациюметода хорд. Опишем кратко итерационнуюпроцедуру нахождения параметрарегуляризации.

Пусть.Зададим начальное значение параметрарегуляризации и выберем следующее значение (),полагая и вычислим соответствующие значенияфункции .Далее, до тех пор, пока выполняетсяусловие ,строим итерационную последовательностьпо следующей рекуррентной формуле

(2.4)
причем, если ,то

если ,то

Вкачестве подходящего значения параметра регуляризации выбирается .

2.2. Метод регуляризацииА.Н.Тихонова для уравнения Фредгольма1-го рода с гладким ядром

Рассмотрим интегральноеуравнение Фредгольма I-огорода с гладким ядром [3].

(2.5)

.

Пусть вместо нам известно такое ее приближенноезначение ,что .Предположим, что из априорных соображенийизвестно, что — кусочно-гладкая, тогда выберем .Пусть вместо известна такая функция ,что ,тогда ,где — интегральный оператор, соответствующийядру .

Используя схему построениярегуляризирующего алгоритма А.Н.Тихонова, перейдем от (2.5) к минимизациистабилизирующего функционала ,

(2.6)

Строим конечномернуюаппроксимацию функционала ,используя квадратурные формулы, длячего вводим равномерные сетки по xи по sс шагами Обозначая ,,используем квадратурную формулупрямоугольников для вычисления интегралови аппроксимируя производную конечнойразностью .Таким образом, конечномерная аппроксимацияфункционала имеет вид

(2.7)

Используя необходимое условиеминимума функционала

,

приходим к линейнойалгебраической системе с симметричнойматрицей

(2.8)

где

,, , , (2.9)

, (2.10)

Для решения системылинейных уравнений (2.8) можно использоватьразличные численные методы. При этомследует учитывать, что матрица системыявляется симметричной и положительноопределенной. Одним из наиболееэффективных методов решения такихсистем является метод квадратногокорня [6].

В этом методе симметричнаяположительно определенная матрица представляется в виде произведения верхней и нижней треугольных матриц,где :

причем элементы матрицынаходятся по формулам:

(2.11)

Таким образом, от системы(2.8) приходим к решению системы

либо, введя соответствующееобозначение, к решению двух систем стреугольными матрицами

(2.12)

Следует заметить, что привыборе параметра регуляризации попринципу обобщенной невязки, решая(2.3), приходится неоднократно приразличных решать системы (2.12), при этом праваячасть системы F и матрица В не зависят от .Это позволяет строить специальныеэкономичные методы многократногорешения систем (2.12).

Пусть для различных >0необходимо решить систему (2.12) или

, (2.13)

где -матрица, транспонированная к (), .Матрица С определяется согласно (2.10).

При помощи методаквадратного корня (формулы (2.10)) матрицуС представим в виде ,где S– двухдиагональная матрица. Сделавзамену в (2.13) ,получим

. (2.14)

Умножим это уравнениеслева на ,получим

, (2.15)

Представим матрицу Dв виде ,где Q(), R()– ортогональные матрицы, P– правая двухдиагональная матрица[6].

Теперь в уравнении (2.15)сделаем замену переменных ,в результате получим

или

, (2.16)

здесь матрица — трехдиагональная и уравнение (2.16) безтруда решается, например методом прогонки[6]. Исходный неизвестный вектор ,однако, часто нет необходимостивозвращаться к вектору ,поскольку, например, если h=0,то необходимо лишь проверить условие,которое эквивалентно условию .

3. ОБРАТНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТНЫЕЗАДАЧИ ДЛЯ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ

Рассмотрим закрепленный наконце x = 0 упругий стерженьдлины , в котором колебания возбуждаются припомощи силы p(t),приложенной к торцу стержня x= l. Будем считать, что — упругий модуль, — плотность, — площадь поперечного сечения­ — естьфункции координаты x.

Рисунок 2

Уравнение движения имеетследующий вид

, (3.1)

граничные условия

Будем рассматривать далее задачиоб установившихся колебаниях, считая и полагая , где — частота колебаний. Предположим, чтоимеется дополнительная информация орешении вида

. (3.2)

Тогда имеем следующие постановкиОЗ:

1 постановка. -константа; по известной найти из условия (3.2)

2 постановка. -константа; по известной найти из условия (3.2)

3 постановка. константы, неизвестна и определяется из условия(3.2)

Рассмотрим подробнее обратнуюзадачу в первой постановке, посколькусхема их исследования идентична; воснове анализа лежит метод линеаризации.

3.1. Задача об определении модуля

Рассмотрим случай, когда ,-постоянные. Уравнение колебаний играничные условия имеют вид

(3.3)

Hайдем поинформации

,. (3.4)

Предположим, что , причём .Введем в рассмотрение волновое число и представим

(3.5)

Отметим, что в задаче (3.3), — произвольная кусочно-непрерывнаяфункция, однако строить решение прямойзадачи (3.3) с произвольным закономизменения модуля мы, вообще говоря,аналитически не умеем. Оказывается,метод линеаризации – один из эффективныхметодов исследования коэффициентнойОЗ (3.3). Подставим представление (3.5) висходную задачу и будем отыскивать еерешение в виде .

(3.6)

Далее выпишем множитель приодинаковых степенях ,получим следующие краевые задачи:

(3.7)

(3.8)

Решение задачи (3.7) имеет видпричемиз граничных условий находим , и тогда

. (3.9)

В силу того, что для удовлетворенияусловию (4.2), нам требуется лишь значениеu1(l),возможен следующий приём, который можетоказаться весьма эффективным и в других,более сложных задачах. Применим к краевойзадаче (3.8) конечное интегральноепреобразование Фурье, для чего умножимуравнение на и проинтегрируем по отрезку .Тогда получим следующее равенство

(3.10)

где .Заметим, что для дальнейшего исследованияобратной задачи достаточно исключитьиз рассмотрения трансформанту.Подставляя в (3.10) значения иучитывая граничные условия в задаче(3.8), получим линейную алгебраическуюсистему относительно и ,решая которую, находим

.

Теперь легко сформулироватьоператорное уравнение относительно

, (3.11)

где (3.11) — интегральноеуравнение Фредгольма I-огорода с гладким ядром, следовательно, для его решения необходимо применитьодин из методов регуляризации, напримерметод Тихонова (см. п.2.1.).

Аналогичным образом формулируетсяинтегральное уравнение в задаче обопределении плотности.

3.2. Задача об определенииплотности

Рассмотрим задачу

, (3.12)

.

Постановка обратнойкоэффициентной задачи: найти по информации , .

3.3. Задача об определенииформы поперечного сечения F(x)

Рассмотрим задачу обопределении формы поперечного сеченияF(x)при постоянных плотности и модуле Юнга

(3.13)

. (3.14)

4. ЗАДАНИЕ I

Прирешении некорректных задач обычнонеобходимо аппроксимировать исходную,чаще всего бесконечномерную задачунекоторой конечномерной задачей.Рассмотрим вопрос о переходе кконечномерной задаче на примере уравненияФредгольма Iрода с гладким ядром, приближенноерешение которого будем строить на основеметода регуляризации А.Н. Тихонова.

4.1. Варианты I-огозадания

На основе представленногов п.2.1. регуляризирующего алгоритма дляуравнения Фредгольма Iрода с гладким ядром на основе методаА.Н.Тихонова, найти приближенное решение,удовлетворяющее интегральному уравнению(2.5),выбрав один из вариантов, указанныйпреподавателем:

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)

4.2. Указания к выполнениюIпрактического задания

  1. Ввести ядро K(x,s) и вычислить f(x)по заданным K(x,s)иточному решению .

  2. Произвести разбивку отрезков [c,d] и [a,b], определив соответствующие узлы .

  3. По формулам (2.13)-(2.15) заполнить матрицу и правую часть системы (2.16).

  4. Задать начальное приближение и точность вычисления параметра регуляризации , точность задания правой части и оператора . Осуществить автоматический выбор параметра регуляризации по обобщенной невязке по алгоритму, представленному в п.2.1, предварительно решая для каждого задаваемого систему (2.16), из которой определяется вектор .

  5. Вывести на печать значение параметра регуляризации, графики точного и регуляризованного решений.

5. ЗАДАНИЕ II

5.1. Варианты II-ого задания

Для всех вариантов принимать=1.

— константа; по известной из условия , найти .
1)
2)
3)
4)
5)
6)
— константа; по известной E=1 из условия , найти .
7)
8)
9)
10)
11)
— константы, неизвестна и определяется из условия
12)
13)
14)
15)
16)

5.2. Указания к выполнениюIIпрактического задания

  1. По данным в каждом варианте решить прямую задачу (3.3) ((3.12), (3.13)) (см. Приложение А.) Рассчитать , . — выбираются между резонансными частотами.

  2. Используя полученные значения и указания к выполнению I задания, решить интегральное уравнение (3.11) и найти искомую характеристику.

  3. Вывести на печать значение параметра регуляризации, графики точного и регуляризованного решений.

Приложение А

Прямые задачи (3.3) ((3.12),(3.13)) численно можно решить по следующейсхеме. Продемонстрируем на примерезадачи определения модуля (задачи (3.12), (3.13) решаются аналогично).
(6.1)

Обозначим ,тогда задача (6.1) сведется к системедифференциальных уравнений.

(6.2)

Проинтегрировавдифференциальные уравнения (6.2), получим

(6.3)

Введем функцию

В результате получиминтегральное уравнение Фредгольма IIрода

. (6.4)

Заменив интегралы в (6.4)соответствующими квадратурными формуламитрапеций (), получим систему линейных алгебраическихуравнений относительно узловых значений неизвестной функции

. (6.5)

котораяв операторном виде представима в форме

(6.6)

,

где,

Из системы (6.6) определяютсяузловые значения функции перемещения,в частности, для решения соответствующейобратной задачи нас интересует значение на конце стержня .

ЛИТЕРАТУРА

  1. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач.-М., МГУ, 1994. -206 с.

  2. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики.-М., Наука, 1984.-261с.

  3. Тихонов А.Н. Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач.-М., Наука, 1990.-230 с.

  4. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., Наука, 1986.-287 с.

  5. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач.-М., Наука, 1988.-288 с.

  6. Годунов С.К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П., Костин В.И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах.- Новосибирск, Наука, 1998.-360 с.

Источник: https://gigabaza.ru/doc/144645-pall.html

Учебное пособие: Методические указания для студентов дневного и вечернего отделений механико-математического факультета

Смешанные задачи гидродинамического удара. Методические указания для студентов 3 курса механико-математического факультета

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ростовский государственный университет»

Методические указания

для студентов дневного и вечернего отделений

механико-математического факультета

ЗАДАЧИ К КУРСУ

“МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Ростов — на – Дону

2006

Печатается в соответствии с решением кафедры прикладной математики и программирования механико-математического факультета РГУ, протокол № 6 от «16» февраля 2006 г.

Аннотация

Методические указания предназначены для студентов старших курсов, специализирующихся на математическом моделировании поведения сложных динамических систем.

В настоящих методических указаниях приведены примеры использования различных качественных методов исследования устойчивости динамических систем и их асимптотического анализа.

В конец каждого параграфа вынесены индивидуальные задания для студентов.

А.Б. Усов

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1. Основные понятия математического моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Методы исследования устойчивости динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Исследование устойчивости равновесий, исходя из определений

равновесия по Ляпунову . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Первый метод Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

2.3 Второй метод Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Метод пограничного слоя и его применение для исследования

модели, описываемой уравнением второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.1 Первый итерационный процесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

3.2 Второй итерационный процесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Введение

Предлагаемые методические указания являются дополнением опубликованных ранее по курсу “Моделирование динамических систем” методических указаний [1-3].

В [1] подробно изложены теоретические вопросы, связанные с составлением и исследованием дифференциальных моделей конкретных физических и социальных процессов, приведены основные теоремы Ляпунова, используемые при исследовании устойчивости равновесий динамических систем, в [2] – приведены асимптотические методы исследования динамических систем в случаях регулярного и сингулярного вырождений, подробно изложены теоретические основы метода пограничного слоя, в [3] – уделено больше внимания отдельным теоретическим вопросам, вскользь затронутым в [1,2]. Предлагаемые методические указания посвящены практическим вопросам исследования устойчивости динамических систем и вопросам асимптотического анализа таких систем при наличии малого параметра при старшей производной, в ней приведено большое количество примеров, иллюстрирующих применение изложенных в [1-3] теорем. В начале каждого параграфа приведены необходимые для проведения исследования теоретические положения, в конец вынесены индивидуальные задания, решение которых поможет лучше овладеть рассматриваемыми вопросами.

1 Основные понятия математического моделирования

Исследование любого объекта математическими методами может быть начато лишь с того момента, когда получено описание его существенных свойств на языке математических соотношений, то есть, описана его математическая модель.

Модель — это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя в себе некоторые важные для данного исследования типичные его черты.

В настоящее время выработалась технология исследования сложных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. Такой метод исследования называют вычислительным экспериментом.

Схема вычислительного эксперимента состоит в следующем.

Исследование объекта начинается с установления основных законов управления объектом и построения соответствующей математической модели, которая обычно представляет запись этих законов в форме системы уравнений.

При выборе математической модели мы пренебрегаем факторами, не оказывающими существенного влияния на ход изучаемого процесса. После того как задача сформулирована в математической форме, необходимо найти ее решение. На этом этапе требуется привлечение ЭВМ и как следствие развитие численных методов.

Под численным методом здесь понимается такая интерпретация математической модели, которая доступна для реализации на ЭВМ. После написания и отладки программы наступает этап проведения вычислений и анализа результатов.

Полученные результаты изучаются с точки зрения их соответствия исследуемому явлению и при необходимости вносятся исправления в численный метод и уточняется математическая модель.

К сожалению, построить решение дифференциальной модели в явном виде удается очень редко, поэтому особое значение приобретают качественные приемы исследования дифференциальных моделей, приемы, которые позволяют, не решая самих дифференциальных уравнений, все же получать необходимые сведения о тех или иных свойствах решений. Вопросам практического применения таких методов и посвящены следующие параграфы работы.

2 Методы исследования устойчивости динамических систем

За последние годы значительно возрос интерес к теории устойчивости движения. Созданная в 90-х годах прошлого века великим русским ученым А.М. Ляпуновым эта теория нашла широкое применение в различных областях науки и техники. Начало современной теории устойчивости положил трактат А.М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения.» (1892г.).

Дальнейшее развитие идеи Ляпунова получили в работах русских ученых Н.Г. Четаева, И.Г. Малкина, М.Г. Крейн, Е.А. Барбашина, Н.Н. Красовского, Н.Н. Боголюбова, Б.П. Демидовича и многих других, в том числе ростовских ученых И.И. Воровича и В.И. Юдовича. При написании этой главы использовались работы Н.Г. Четаева [6], И.Г. Малкина [5], Б.П. Демидовича [4] и В.И. Юдовича [7].

Ниже приведены примеры использования различных метод Ляпунова.

В этой главе изучаются векторные дифференциальные уравнения вида

рассматриваемые в конечномерном пространстве Rn или в банаховом пространстве X.

Будем предполагать, что f(x,t) є C0,1 t,y , то есть вектор функция f(x,t) в рассматриваемой области непрерывна по t и непрерывно дифференцируема по x и, следовательно, выполнены условия теоремы Коши существования и единственности решений задачи Коши: для каждой пары значений (t0 ,x0 ) существует единственное решение уравнения (1) y=y(t), определенное в некотором интервале t є (t0 -a, t0 +b); a,b>0 и удовлетворяющее начальному условию y(t0 )= y0 . Если b=∞, то говорят, что решение неограниченно (бесконечно) продолжаемо вправо.

2.1 Исследование устойчивости равновесий, исходя из определений равновесия по Ляпунову

Определение. Решение x0 (t) t>0 дифференциального уравнения (1) назовем устойчивым по Ляпунову, если выполнено два условия:

1) Все решения дифференциального уравнения (1), которые мало отличаются от x0 в начальный момент времени, определены для всех t>0, т.е. существует число δ0 >0 такое, что если выполнено неравенство

|| x0 (0) — x(0) || < δ0

то решение x(t) уравнения (1) определено для всех t>0;

2) Для любого числа ε >0 существует число δ >0 такое, что из неравенства

|| x0 (0) — x(0) || < δ0

следует, что для любого момента времени t>0 выполнено неравенство

|| x0 (t) — x(t) || < ε

Определение. Решение назовем неустойчивым по Ляпунову, если нарушено хотя бы одно из требований предыдущего определения.

Разность x0 (0) — x(0) назовем начальным возмущением, x0 (t) — невозмущенным (основным) решением, x(t) – возмущенным решением, x0 (t) — x(t) = y(t) — возмущением в момент времени t.

Вместо того, чтобы исследовать на устойчивость некоторое решение x0 (t) дифференциального уравнения (1), удобно перейти к исследованию на устойчивость нулевого равновесия уравнения возмущений которое имеет вид

Очевидно, что если x0 (t) есть решение уравнения (1), то y0 =0 есть решение уравнения (2). Сформулируем определение устойчивости тривиального решения уравнения (2).

Определение. Тривиальное решение уравнения (2) назовем устойчивым по

Ляпунову, если:

1) существует число δ0 >0 такое, что если выполнено неравенство

|| y0 (0) || < δ0

то решение y(t) уравнения (2) определено для всех t>0;

2) Для любого числа ε >0 существует число δ >0 такое, что из неравенства

|| y0 (0)|| < δ0

следует, что для любого момента времени t>0 выполнено неравенство

|| y0 (t)|| < ε

Определение. Основное решение уравнения (1) или, что то же самое тривиальное решение уравнения возмущений (2), назовем асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и возмущения затухают с течением времени, то есть ||x(t)|| → 0 при t → ∞.

Рассмотрим несколько примеров исследования устойчивости, исходя из определений.

Пример 1. Исследовать на устойчивость тривиальное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

Общее решение уравнения (3) имеет вид

Следовательно, если k0 (k=0), то нулевое решение неустойчиво (устойчиво, причем δ=ε, но асимптотически устойчивым не является).

Пример 2. Исследовать на устойчивость тривиальное решение дифференциального уравнения вида

Характеристическое уравнение уравнения (4) имеет вид

Если k>0, то λ1 =; λ2 =- и общее решение уравнения (4) имеет вид

Постоянные C1 и C2 определяются начальными условиями уравнения (4), в общем случае они отличны от нуля. Первое слагаемое в (5) неограниченно возрастает при t → ∞, следовательно, нарушено второе условие в определении устойчивости по Ляпунову и нулевое равновесие уравнения (4) в этом случае неустойчиво по Ляпунову (более того, экспоненциально неустойчиво).

Если k=0, то общее уравнение (4) записывается в виде

Первое слагаемое в (6) неограниченно возрастает при t → ∞, следовательно, нарушено второе условие в определении устойчивости по Ляпунову и нулевое равновесие уравнения (4) в этом случае неустойчиво по Ляпунову.

Если k0 существует число δ >0 такое, что из неравенства ||x||0,

То нулевое равновесие уравнения (2) неустойчиво по Ляпунову.

Функция Ляпунова, удовлетворяющая теореме Ляпунова о неустойчивости, называется функцией Ляпунова третьего рода.

Пример 1. Исследовать на устойчивость вторым методом Ляпунова все равновесия системы при различных значениях параметров a, b

Найдем равновесия из решения системы

Отсюда, если a≠0, то имеется равновесие (x=b/a; y=0). Если b0

В этом случае равновесие (x=b/a; y=0) является устойчивым.

На устойчивость по Ляпунову остальные равновесия исследуйте самостоятельно.

Пример 2. Колебание маятника с трением.

Рассмотрим уравнение

где постоянная h играет роль коэффициента силы трения. Уравнение (17) описывает колебания маятника в среде с трением.

Исследуем на устойчивость нулевое равновесие уравнения (17) (очевидно, что оно существует). Найдем полную энергию системы (то есть интеграл системы (17)) и возьмем ее в качестве искомой функции Ляпунова второго рода

Производная функции E в силу дифференциального уравнения (17) имеет вид

Проверить самостоятельно, что функция E является функцией Ляпунова первого рода и, следовательно, нулевое равновесие уравнения (17) устойчиво по Ляпунову.

Попробуем построить функцию Ляпунова второго рода, то есть доказать асимптотическую устойчивость нулевого равновесия уравнения (17). Функцию Ляпунова второго рода будем разыскивать в виде

Здесь α1 , α2 — произвольные постоянные, подлежащие определению.

Потребуем, чтобы функция (18) удовлетворяла всем требованиям второй теоремы Ляпунова. Из этих требований получим систему неравенств, из которой определяются постоянные α1 , α2 .

Если удастся найти хотя бы один набор этих постоянных, позволяющий удовлетворить условия теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости, то нулевое равновесие уравнения (18) будет асимптотически устойчиво, в противном случае надо разыскивать функцию Ляпунова в другом виде.

Проверить самостоятельно, что в данном случае нулевое равновесие асимптотически устойчиво и постоянные α1 , α2 , например, определяются равенствами

α1 = h/2; α2 =h2 /2

Для проверки воспользуйтесь критерием Сильвестра. Выпишите соответствующие определители и найдите одно из решений возникающих неравенств. Постоянные α1 и α2 определяются неединственным образом.

Упражнения для самостоятельной работы

Исследовать на устойчивость вторым методом Ляпунова все равновесия систем

— Исследовать на устойчивость вторым методом Ляпунова все равновесия следующих систем в зависимости от вещественного параметра k

3 Метод пограничного слоя и его применение для исследования

модели, описываемой уравнением второго порядка

Метод пограничного слоя является асимптотическим методом, который применяется в случае сингулярного вырождения для исследования как обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений в частных производных. Изучим метод пограничного слоя на примере обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

рассматриваемого с условиями

u(0)=0; u(1)=0 (20)

Предположим, что функции b(x), c(x), d(x) нужное число раз непрерывно дифференцируемы. Подробно опишем процедуру метода пограничного слоя [8], состоящую из первого и второго итерационных процессов.

3.1 Первый итерационный процесс

Пусть выполняется условие

c(x) ≠ 0; x є [0,1]

Тогда решение задачи (19),(20) ищется в виде ряда Тейлора по степеням малого параметра ε

Подставим разложение (21) в уравнение (19). Группируя члены при одинаковых степенях ε и приравнивая нулю коэффициенты при соответствующих степенях, получим уравнения

. . .

из которых последовательно находятся функции u0 , u1 , . . .

(22)

. . .

Функции b(x), c(x), d(x) нужное число раз непрерывно дифференцируемы, поэтому формулы (22) имеют смысл. Таким образом, разыскивая решение задачи (19),(20) в виде ряда (21), удается удовлетворить уравнение (19) с любой степенью точности. Если бы оказались удовлетворены оба граничных условия (20), то ряд (21) являлся бы решением задачи (19),(20), то есть, если бы

f(0) = f(1) = 0,

то решение задачи (19),(20) было бы построено в виде ряда (21).

Если же хотя бы одно из граничных условий (20) не выполняется, то ряд (21) не может служить хорошим приближением к решению задачи, по крайней мере, вблизи того конца отрезка, на котором не выполняется граничное условие (20).

Решение везде внутри отрезка (x є [0,1]) близко к решению вырожденной задачи (задачи при ε=0), а вблизи концов отрезка претерпевает резкие изменения, описываемые функциями пограничного слоя, которые строятся в ходе второго итерационного процесса.

3.2 Второй итерационный процесс

Построим пограничный слой вначале вблизи левого конца отрезка. Решение задачи (19),(20) разыскивается в виде ряда

где ui (i = 0, 1, 2, …) — функции первого итерационного процесса, определяемые формулами (22); (k = 0, 1, 2, …) — функции второго итерационного процесса (функции пограничного слоя), подлежащие определению.

Подставим ряд (23) в (19) и учтем результаты первого итерационного процесса (формулы (22), по которым мы определили функции первого итерационного процесса). Ограничиваясь конечным отрезком ряда (23), получим уравнение

Выполним основную процедуру метода пограничного слоя — растяжение пограничного слоя, то есть сделаем замену переменных

x =ε t ; x € [0,1]; t € [0,∞)

В результате замены мы растянули отрезок x € [0,1], благодаря чему можно описать резкие изменения функции u, которые она претерпевает вблизи левого конца отрезка. Функции пограничного слоя зависят от растянутой переменной t.

При рассмотрении левого конца отрезка все функции, зависящие от переменной x в уравнении (24), разложим в ряды Тейлора по x в окрестности точки x=0, а затем в этих разложениях перейдем от переменной x к переменной t. В результате получим

Перейдем в (24) от производных по переменной x у функций пограничного слоя к производным по переменной t, используя формулы

Подставим разложения (25) в уравнение (24), и приравняем слагаемые при одинаковых степенях ε. В результате получим уравнения

. . .

Уравнение (26) — есть однородное уравнение с постоянными коэффициентами, в следующих приближениях получаются неоднородные уравнения с известной правой частью. Для вывода граничных условий при t=0 подставим ряд (25) в первое из условий (20) и приравняем слагаемые при одинаковых степенях ε. Получим

. . .

Условие при t → ∞ получаем из требования убывания функций пограничного слоя внутри отрезка [0,1] (функции пограничного слоя не должны портить решения внутри отрезка). Таким образом, имеем условия

. . .

Алгоритм нахождения функций пограничного слоя вблизи левого конца отрезка состоит в следующем:

1) По формулам (22) находится функция ui i=0.

2) Из решения задачи (26),(28),(29) (при i=0) определяется функция vi i=0.

3) Переход на первый пункт алгоритма с увеличением значения переменной i (i=i+1).

Для явного решения задачи (26),(28),(29) в главном приближении (при i=0) положим b0 =0. В результате получим задачу

В случае c0 >0 общее решение последнего уравнения выражается тригонометрическими функциями и удовлетворить оба граничных условия не удается. Следовательно, в этом случае построить пограничный слой на левом конце отрезка нельзя и для решения задачи надо использовать другие асимптотические методы. Если же c0

Источник: https://www.bestreferat.ru/referat-411723.html

Biz-books
Добавить комментарий