Решение уравнений динамического равновесия. Сердобольский Л.А.

Уравнение динамического равновесия и волновое уравнение скалярный и

Решение уравнений динамического равновесия. Сердобольский Л.А.

УРАВНЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ И ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ. СКАЛЯРНЫЙ И ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ

Уравнение динамического равновесия • Уравнения, получаемые из закона Ньютона, верны для изотропной среды (не обязательно однородной). • Результирующие силы на единицу объема по осям X, Y и Z можно выразить в виде • Полная сила в направлении X:

Уравнение динамического равновесия • Согласно второму закону Ньютона, несбалансированная сила равна массе на ускорение, т. е. уравнение движения по осям имеет вид: (1) Где И. т. д. (2)

Уравнение динамического равновесия • Если подставить выражение (2) в (1), то получим два уравнения динамического равновесия Ламе в векторной форме, которые верны для абсолютно упругих однородных изотропных сред: I.

где ρ – плотность, λ и μ – постоянные Ламе, λ – коэффициент сжатия, μ – коэффициент сдвига, смещение частиц относительно положения равновесия, — изменение объема под действием нагрузок, внешние силы, под действием которой отдельные части тела движутся, возникают силы инерции.

Уравнение динамического равновесия • Т. к. , то подставив это выражение в первое уравнение движения, получим второй вариант написания уравнения: • II. — определяет изменение объема, – обусловлен неравномерным изменением объема, вследствие этого возникают упругие силы, если .

Понятие потенциалов.

Волновые уравнения • Ввиду сложности уравнения Ламе, его упрощают. Вектор смещения определен в каждой точке среды и образует векторное поле смещений. Всякое векторное поле может быть представлено в виде суммы двух векторных полей – потенциального и вихревого (соленоидального) (разложение Гельмгольца)

Понятие потенциалов.

Волновые уравнения • Потенциальное поле обладает скалярным потенциалом φ(x, y, z), а вихревое векторным потенциалом • Условие существования поля: • Аналогично, поле внешних возмущающих сил может быть представлено в виде суммы потенциальной и вихревой составляющих: Если в уравнение I подставить эти соотношения и опуская внешние силы:

Понятие потенциалов.

Волновые уравнения • Применим к левой и правой частям уравнения операцию rot и обозначив Получим уравнение Лапласа Если среда безграничная, то функция гармоническая во всем пространстве и из этого следует равенство , и следует (векторное волновое уравнение).

Понятие потенциалов.

Волновые уравнения • Подставим разложение Гельмгольца в уравнение II. Применим к обеим частям операцию div. Получаем волновое уравнение • При наличии внешних сил получим следующие уравнения для потенциалов поля Это неоднородные волновые уравнения

Понятие потенциалов.

Волновые уравнения • Эти уравнения различаются только постоянными коэффициентами , и переменными величинами, кроме этого, второе уравнение является векторным и может быть представлено в виде совокупности трех скалярных уравнений. • Наличие независимых одно от другого уравнений указывает на существование в безграничной среде двух независимых возмущений. Одно из них — продольные волны P, другое – поперечные волны S.

Понятие потенциалов.

Волновые уравнения • Каждому типу волн соответствуют определенные типы деформации. • Для P волн – это изменение элементарных объемов вещества – его сжатие и растяжение. Они описываются следующим выражением: как известно, • Для S-волн это малые повороты элементарных объемов. Они описываются вектором вращения т. к.

в продольной волне повороты частиц отсутствуют, то При распространении волн эти деформации не зависят одна от другой, и каждая создает характерные движения.

Понятие потенциалов.

Волновые уравнения • В области среды, где отсутствуют внешние источники (ξ 0, ), уравнения становятся однородными и принимают вид: (в однородной изотропной среде эти уравнения независимы) или

Понятие потенциалов.

Волновые уравнения • Упругие процессы определяются тремя характеристиками: , и — независимыми параметрами. Для разных типов тел (сыпучих, кристаллических и пр. ) существует различная весьма сложная зависимость.

Понятие потенциалов.

Волновые уравнения • В прямоугольных координатах

Решение волнового уравнения в случае плоских волн y фронт x • В прямоугольных координатах для безграничной среды (граничные условия вводить не требуется) решение запишется в виде: Примем для простоты, что волна распространяется по направлению Х, подставим в волновое уравнение

Решение волнового уравнения в случае плоских волн • подставим решение в волновое уравнение • Учтем, что это выражение является решением волнового уравнения, если структура аргумента имеет вид где nx, ny, nz – направляющие косинусы нормали к поверхности волнового фронта.

Решение волнового уравнения в случае плоских волн Таким образом, любая функция с такой структурой и аргументом — 3 числа, являющиеся проекциями единичного вектора нормали к фронту волны на оси координат. является решением волнового уравнения.

Будем считать, что некоторое возмущение распространяется как плоская волна в направлении l со скоростью c если: 1) в фиксированный момент времени эта величина неизменна в пространстве в каждой плоскости, нормальной к l , 2) плоскость, характеризуемая постоянным значением этой величины, перемещается со скоростью c в направлении l.

Решение волнового уравнения в случае плоских волн В другом виде можно записать — на такую величину будут отставать колебания в плоскости. Фронт такой волны — плоскость. В однородной изотропной среде возможно распространение плоской волны. Она представляет собой математическую абстракцию. Однако это понятие полезно, т. к.

вдали от источника реальные волны, рассматриваемые в ограниченных областях пространства, по своим свойствам близки к плоским волнам. Поскольку изучение поведения плоских волн значительно проще сферических, многие задачи о распространении сферических волн решают, исходя из ее представления в виде совокупности плоских волн.

Часто для упрощения полагают A равным 1.

Решение волнового уравнения в случае сферических волн • В сферических координатах волновое уравнение будет иметь вид где — коширота, т. е. дополнение до широты; — долгота. Для перевода в прямоугольные координаты можно использовать x=rsin cos , y=rsin , z=rcos. Напомним, что в выражении в числителе правой части стоит потенциал , а в знаменателе появляется долгота .

Решение волнового уравнения в случае сферических волн • Мы рассмотрим частный случай, когда характер волнового движения независим от потенциала и является функцией только r и t.

Тогда мы получим упрощенный вид уравнения: • Это уравнение имеет решение для потенциала • Очевидно, что также является решением выражение для потенциала общее решение примет вид • • Первый член соответствует волне, которая распространяется наружу от центральной точки, а второй – волне, которая идет по направлению к этой центральной точке.

Если r и t имеют фиксированные значения, то Vt и, следовательно, , постоянны. Таким образом, в момент времени t во всех точках на сферической поверхности радиуса r волна характеризуется одним и тем же значением.

Смещение для продольных волн Рассмотрим смещение для продольных волн Выберем координатные оси так, чтобы присутствовали компоненты смещения X, Z, а Y-компонента отсутствовала Решение волнового уравнения: Учтем, что Где Итак, в продольной волне смещение частиц идет вдоль одной линии, т. е. мы можем ввести понятие о линейно-поляризованных волнах. Смещение частиц идет по нормали к поверхности волнового фронта. Волны, для которых смещение идет вдоль одной линии, называются линейно-поляризованными.

Смещение поперечных волн. Поперечные волны горизонтальной и вертикальной поляризации Рассмотрим поперечные волны. Рассмотрим смещение S волн, . Для них волновое уравнение – векторное, распадается на три скалярных уравнения. Запишем смещение поперечных волн:

Смещение поперечных волн. Поперечные волны горизонтальной и вертикальной поляризации Поперечные волны можно Из ограничения для разделить на два типа: потенциала =0 следует, 1. SV — волны что вертикальной поляризации.

Волны вертикальной поляризации (SV волны). Смещение таких волн происходит в вертикальной плоскости, и имеет компоненты X и Z: исходя из определения.

Если волна поляризована только как SV, то Y – компонента смещения равна нулю и

Смещение поперечных волн. Поперечные волны горизонтальной и вертикальной поляризации В контексте ТФКП, эти оба уравнения являются уравнениями Коши-Римана, и из этого следует, что функция ψz+i ψx – аналитическая функция переменной x+iz. Функция, которая iz повсюду аналитична и ограничена является константой (согласно теореме Лиувилля).

Для плоской волны ψz+iψx – ограничена, более того, если SV волна задается потенциалом rot только в ограниченном диапазоне глубин, то можно распространить это смещение на все глубины, так, что функция ψz+iψx будет аналитична повсюду. Из этого следует, что ψz+iψx – константа. Поскольку физический смысл имеют только градиенты, то константу можно принять за ноль.

Получаем Таким образом векторный потенциал задается только одной компонентой и равны нулю.

Смещение поперечных волн. Поперечные волны горизонтальной и вертикальной поляризации Полное смещение для вертикально поляризованных волн запишется в виде:

Смещение поперечных волн. Поперечные волны горизонтальной и вертикальной поляризации 2. SH – волны горизонтальной поляризации. Смещения поляризации таких волн имеют только Y компоненту. В свою очередь, векторный потенциал имеет две компоненты, X и Z.

Для плоской SH волны использование векторного потенциала не требуется, т. к. компонента горизонтального смещения сама является скалярной функцией, с которой можно работать.

Запишем два волновых уравнения, найдем производные по z и по x, соответственно и вычтем одно из другого.

Смещение поперечных волн. Поперечные волны горизонтальной и вертикальной поляризации найдем производную от и вычтем из нее производную получим Т. е. от Имеем: волновое уравнение для SH волн выполняется для самих смещений

Волновое уравнение для жидкостей и газов В случае жидкой или газообразной среды волновое уравнение для потенциалов переходит в волновое уравнение для давления: Покажем это следующим образом: т. к. напряжение нормально площадке исходное волновое уравнение Таким образом, как мы и хотели доказать, волновое уравнение в случае жидкостей и газов выполняется для давления:

• Что такое уравнение динамического равновесия Ламе? • Что такое волновое уравнение? • Как записывается решение волнового уравнения в случае плоских волн? • Как записывается решение волнового уравнения в случае сферических волн? • Что такое SH и SV волны?

Источник: https://present5.com/uravnenie-dinamicheskogo-ravnovesiya-i-volnovoe-uravnenie-skalyarnyj-i/

ПОИСК

Решение уравнений динамического равновесия. Сердобольский Л.А.
Во-вторых, учитывается изменение перемещений, скоростей и ускорений внутри каждого временного интервала Д .

Именно способ учета этих изменений определяет точность, устойчивость и экономичность процедуры решения уравнения динамического равновесия методом конечных элементов на ЭВМ.
[c.

74]

Тогда искомое решение уравнения динамического равновесия может быть найдено сверткой  [c.8]

Общие замечания о существующих методах решения дифференциальных уравнений (I) и (II). Полученные выше уравнение баланса расхода (I) и уравнение динамического равновесия (II) представляют собой систему двух дифференциальных уравнений, которые принято называть уравнениями Сен-Венана.
[c.372]

Для автомобилей, не имеющих вторичного подрессоривания, математическая модель для построения передаточной функции с учетом несвязанности колебаний передней и задней части в общем виде может быть представлена в виде двух уравнений динамического равновесия, аналитическое решение которых известно [12]. Поэтому для автомобилей без вторичного подрессоривания построение амплитудно-частотной характеристики колебаний не вызывает особых затруднений. Дифференциальные уравнения динамического равновесия одномассовой системы можно дополнительно упростить, пренебрегая деформированием шин, поскольку эта деформация при существующих характеристиках шин ввиду ее малости по сравнению с деформацией рессор на колебания подрессоренных масс оказывает незначительное влияние. В этом случае уравнения колебательных процессов будут описываться одним линейным дифференциальным уравнением второго порядка, решение которого несложно.
[c.172]

Используя принцип Д Аламбера, можно прийти к аналогичному решению. Так уравнение динамического равновесия может быть записано в виде
[c.439]

Из уравнений динамического равновесия (14.54) следует, что напряжение есть функция только времени 04(л , О =(УсО)- Используя условие динамической непрерывности (14.58), получаем следующее решение  [c.120]

Таким образом, в уравнениях динамического равновесия (3.11) и в законе Гука (3.5), которые тождественно удовлетворялись решением (35.2) в предположении, что
[c.217]

Решение. Используя принцип Даламбера, запишем уравнение динамического равновесия моментов относительно точки А для всей системы (см. рис. 3.12, а)
[c.214]

При л = о рассматриваемая динамическая система будет линейной консервативной и фазовые траектории на плоскости qq представляют собой вложенные друг в друга концентрические окружности с центром в начале координат, являющимся состоянием равновесия, В этом случае решением уравнения (5.3) служит
[c.120]

Разбирая общий метод уравновешивания произвольного числа масс, расположенных в различных плоскостях, было показано, что это достижимо с помощью двух дополнительных масс, помещенных в двух выбранных плоскостях исправления.

Описанный выше план последовательного устранения статического и динамического дисбалансов вращающегося звена может быть изменен и упрощен при решении задачи одновременного устранения обоих дисбалансов.

Так, выбирая противовесы Шд и пгд в выбранных плоскостях исправления О и V, составляем два векторных уравнения динамического уравновешивания вращающихся масс. Первое уравнение равновесия действующих сил имеет вид
[c.419]

Система уравнений для решения задачи включает условия динамического равновесия, уравнения совместности и уравнения обобщенного закона Гука
[c.110]

Движение механизма с упругими связями описывается уравнениями с периодическими коэффициентами. Приближенное решение позволяет построить частотные характеристики и найти положение динамического равновесия механизма. Разность положений статического и динамического равновесия характеризует динамическую ошибку.
[c.8]

Размыв механизма представляет собой удвоенную амплитуду вынужденных колебаний, которые механизм совершает относительно положения динамического равновесия. Зная характер решения уравнений движения, легко определить также и эту составляющую полной динамической ошибки механизма.
[c.147]

Отыскание положения динамического равновесия связано с определением постоянного члена частного решения уравнения (4.50). Для удобства анализа запишем это уравнение в виде
[c.155]

Теперь перейдем к изложению двух возможных методов определения положения динамического равновесия, для чего представим общее решение неоднородного уравнения Матье в виде
[c.157]

Из второго равенства, учитывая периодический характер частного решения, получим уравнение для определения положения динамического равновесия в виде
[c.158]

С этой целью, а также для облегчения решения поставленной задачи воспользуемся двухмассовой гидромеханической моделью исследуемой системы (без учета упругой податливости валов), динамическое равновесие которой описывается дифференциальными уравнениями (54).
[c.73]

Приводятся расчеты условий динамического равновесия пузырей пара и воздуха в перегретой воде, показывающие, что радиусы пузырей, находящихся в неустойчивом равновесии, ограничиваются определенной областью значений, которые зависят от температуры воды и начального содержания воздуха в пузыре.

Рассматриваются два аналитических решения задачи о скорости роста этих пузырей, находящихся в неустойчивом равновесии а) решение уравнения роста радиуса пузыря в предположении, что диффузия тепла через стенки пузыря отсутствует б) решение с учетом диффузии тепла через его стенки.

Эти решения сильно отличаются друг от друга.

Сопоставление обоих решений с результатами экспериментального исследования скорости роста пузырей в перегретой воде показывает, что второе решение, учитывающее диффузию тепла через стенки пузыря, ближе совпадает с результатами экспериментального исследования.
[c.226]

Поскольку макроскопическое поведение пузырей, образующихся в кипящей жидкости, можно полностью уподобить поведению кавитационных пузырей, постольку эксперименты и расчеты, излагаемые в настоящей работе, касаются скорости роста пузырей пара в перегретой воде.

В случае жидкостей, доведенных до кипения нагреванием, большой интерес представляет влияние паровой фазы на величину теплопереноса. Экспериментальная часть настоящей работы состоит в анализе высокоскоростных фотографий роста пузырей пара при различных степенях перегрева.

Теоретическая часть работы посвящена расчетам динамического равновесия пузырей пара и воздуха с целью определения критического радиуса пузырей.

Чтобы подчеркнуть важность влияния охлаждения стенок пузыря на процесс его роста, рассматриваются решения уравнения роста пузыря как с учетом, так и без учета теплопередачи через его стенку.
[c.228]

Исходное состояние оболочки определяется, как правило, в результате решения задачи о статическом или динамическом равновесии на основе принятой кинематической модели системы уравнений, дополненной соответствующими граничными и начальными условиями.
[c.111]

Решение уравнения (12.4) состоит из двух слагаемых. Первое представляет собой решение уравнения без правой части и определяет так называемые собственные динамические погрешности. Это погрешности, проявляющиеся в системе при отсутствии входного воздействия, если система в какой-то момент выведена из состояния равновесия.
[c.236]

Построение плана течений ведется последовательными приближениями. При построении сетки движения в первом приближении в (19.20) подкоренное выражение принимается равным единице, а отметки свободной поверхности принимаются по уравнению поперечного равновесия (19.

21), в котором известно значение для крайних граничных элементарных струй. Во втором приближении условие продольного динамического равновесия (19.17) рассчитывается по полной формуле (19.20), а каждое последующее приближение уточняет решение.
[c.

304]

При решении задач с учетом сил инерции пользуются принципом д Аламбера, который состоит в том, что уравнениям движения точки (или системы точек) можно придать вид уравнений равновесия, если к действующим заданным силам и динамическим реакциям связей присоединить силы инерции.
[c.134]

Рассмотрим теперь точку и = О, и = 0. В этой точке уравнения (5.65) теряют смысл, так как значения и я v не определены, а следовательно, не имеют смысла и правые части этих уравнений.

Так как исходные уравнения движения динамической системы удовлетворяются решениями А = О, Ь = О, или, что то же, м = О, о = О, то целесообразно доопределить правые части системы (5.65) таким образом, чтобы точка W = О, 0 = 0 была состоянием равновесия.

Однако следует иметь в виду, что в окрестности точки ы = О, и = О становится сомнительной возможность использования уравнений (5.65) для приближенного анализа системы (5.60), так как для колебаний с достаточно малой амплитудой момент М ([c.164]

Вектор / называют силой инерции, а уравнение (6.

1) является уравнением равновесия статики и выражает принцип Даламбера если в каждый данный момент к действующим на тело силам прибавить силу инерции, то полученная система сил будет находиться в равновесии, и для нее справедливы все уравнения статики.

Принцип Даламбера позволяет при решении динамических задач составлять уравнения движения в форме уравнений равновесия и решать задачи динамики с помощью более простых законов статики. При этом нужно иметь в виду, что фактически на данное тело действует только сила Р, а сила инерции Д, приложена к другому (ускоряющему) телу, которое воздействует силой Р на ускоряемое тело.
[c.59]

При проведении динамических расчетов механизмов всегда следует помнить, что силы инерции и их моменты только условно считаются приложенными к рассматриваемому звену, чтобы сделать систему равновесной и получить возможность использовать уравнения статики. Поэтому уравнения равновесия с включением сил инерции лишены физической сущности н дают только математическое решение задачи.
[c.244]

Следует помнить, что равновесие, о котором идет речь в формулировке принципа Даламбера, условное. Силы инерции не приложены к материальной точке, на которую действуют силы Р и Я. Поэтому это равновесие следует рассматривать как фиктивное. Этим и объясняется, почему при формулировке принципа Даламбера слово уравновешивается взято в кавычки.

Само понятие о таком равновесии есть лишь способ для введения особой методики решения задач динамики, заключающейся в применении в динамических задачах уравнений равновесия статики. Собственно в этом и заключается практическое значение принципа Даламбера. Принцип Даламбера дает возможность формально сводить решение задач динамики к решению задач статики.

[c.421]

Из принципа Даламбера вытекает, что, для того чтобы при решении динамических задач составить уравнения движения точки в форме уравнений равновесия, нужно к активной силе и силе реакции связи, фактически действующим на точку, присовокупить силу инерции этой точки.

Из того что мы с помощью принципа Даламбера уравнениям динамики можем придать форму уравнений статики , вовсе не следует, что мы этим самым сводим динамическое явление к статическому. Последнее невозможно осуществить никакими приемами или методами.
[c.

493]

Принцип Даламбера представляет собой удобный методический прием решения динамических задач, так как позволяет уравнения движения записать в форме уравнений равновесия. Этим, конечно, задача динамики не сводится к задаче статики, так как при этом лишь упрощается составление уравнений движения, задача же их интегрирования, вообще говоря, сохраняется.
[c.361]

Подчеркнем, что добавление силы инерции к действующим на точку силам производится условно, мысленно, что реально на точку действуют лишь активные силы и силы реакций связей.

Принцип Даламбера представляет собой формальный математический прием, удобный для решения задач динамики, так как позволяет динамические уравнения движения записывать в форме уравнений равновесия ).

[c.138]

В сл учае решения за,а,ачи о динамическом воздействии на стержень можно обратиться к известному принципу Даламбера, согласно которому к внешним силам присоединяются силы инерции, что вновь сводит задачу к уравнениям равновесия. Следовательно, процедура метода сечений остается неизменной.
[c.22]

Прикладывая силу инерции к движущейся точке, мы можем говорить лишь об условном равновесии приложенных к ней сил. Однако такая трактовка динамического уравнения движения в некоторых случаях обеспечивает наиболее простое и удобное решение задач динамики (особенно первой), и поэтому принцип Даламбера широко применяется во многих прикладных дисциплинах.
[c.279]

Значение принципа Даламбера состоит в том, что при его применении уравнения движения точки и системы составляются в форме уравнений равновесия. Метод решения динамических задач с помощью принципа Даламбера называют методом кинетостатики.
[c.281]

Применение начала д Аламбера позволяет при решении динамических задач использовать уравнения равновесия. Такой прием решения задач динамики носит название метода кинетостатики.
[c.152]

Группы второго класса. В основу метода определения давлений положен принцип Даламбера , согласно которому динамическая система условно сводится к статической путем приложения сил инерции и для решения задачи используются уравнения равновесия статики.
[c.66]

ЛА.СЕРДОБОЛЬСКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по части 4 курса Техническая механика и теория упругости РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ
[c.1]

Л.А.Сердобольский. Конспект лекций по части 4 курса Техническая механика и теория упругости . Решение уравнений динамического равновесия. М.. РГУ нефти и газа, 2002. —
[c.2]

Рассмотрены спе1Ггральное решение уравнения динамического равновесия упругой среды и механизм распространения упругой волны.
[c.2]

Четвертая часть конспекта лекций посвящена решению уравнения динамического равновесия упругой среды и исследованию механизма распространения упругой волиы.
[c.3]

Решение уравнения динамического равновесия должно установить связь между функцией источника и излучаемым им сигналом 2 Задача является типичной для теории линейных систем — зиая сигнал на входе системы и характеристики ее, найти сигнал иа выходе системы.
[c.5]

Основной особениостью полученного решения уравнения динамического равновесия яаляется связанность временной и
[c.9]

В области небесной механики много великолепных работ дали два француза — Алексис Клеро (1713—1765) и Жан ле Рои Д Аламбер (1717—1783), издавший в 1743 г, свой знаменитый Трактат по динамике . В этом трактате Д Аламбер показал, между прочим, как привести уравнение движения точек, связанных между собой, к задаче динамического равновесия. В течение XVIII в.

были решены многие вопросы теоретической механики и перед механикой встала задача — дать общий метод, при помощи которого возможно было бы решение всех механических проблем чисто аналитически. Такой метод нашел Луи Лагранж (1736—1813). Его знаменитая Аналитическая механика изложена без единого чертежа, на основе общего метода.
[c.

15]

Для того чтобы определить положение динамического равновесия, согласно методу, изложенному в [96], необходимо сначала решить однородное уравнение, в котором параметры а и представляют собой известные функции постоянной, но неизвестной величины дин- В результате решения, произведенного с учетом конечного числа членов, можно получить приближенное выражение для характеристического показателя ц и коэффициентов Сзг в виде некоторых функций Один. Затем подставив полученныефункции в выражение (5.3), можно получить уравнение для смещения Но в функции йдин. Чтобы определить затем Один, требуется положить Я = О и решить полученное трансцендентное уравнение. Определив дин, можно вычислить численные значения и найти полное решение уравнения движения.
[c.158]

Все входящие в уравнение (1.5) величины соответствуют полным значениям обобщенных координат в рассматриваемый момент времени.

Однако при решении нелинейных динамических задач часто приходится проводить расчеты в приращениях (например, при использовании теории пластического течения для физически нелинейных систем). Задача в таких случаях ставится следующим образш.

Предполагается, что некоторое тело в момент времени I находится в состоянии динамического равновесия I. Этому состоянию соответствуют обобщенные перемещения. Затем под воздействием каких-либо причин тело переходит в состояние равновесия
[c.22]

Неединственность решения статической линейной задачи может быть обусловлена тем, что равновесие тела нейтрально (неустойчиво). Это может случиться, например, при действии цепных сил (напряжений, входящих в качестве параметров в уравнения (3.2), которые оказываются линейными относительно дополнительных перемещений и напряжений, если цепные силы не зависят от искомых функций).

При этом решение соответствующих динамических задач единственно. Действительно, если равновесие неустойчиво, то в отношении некоторых (низших) форм отклонения однородные уравнения допускают решения вида % (х, у, z) ехр (ant), Rea O или tVfi (х, у, г) (нейтральное равновесие).

Предположим теперь, что уравнениям задачи с определенными начальными и граничными условиями удовлетворяют два решения, и рассмотрим их разность и (/, х, у, г), которая в силу линейности задачи удовлетворяет нулевым начальным и однородным граничным условиям. Предположим, кроме того, что степень неустойчивости (Rean) равномерно ограничена, т. е. Rea М, где М не зависит от п.

Например, при изгибе стержня, свободно опертого в точках л = О, л и сжатого силой Q, уравнение
[c.158]

Суммируя все сказанное, можно сделать два важных вывода относительно свойств решения уравнения (11).

Во-первых, из-за нарушения динамического равновесия в двухфазном потоке над искривленной поверхностью происходит усиление первоначальных возмущений.

Во-вторых, из-за пелпиейных свойств оператора переноса происходит опрокидывание первоначально гладких возмущений, что ведет к образованию изломов на эродируемом контуре.
[c.194]

Источник: https://mash-xxl.info/info/764008/

Biz-books
Добавить комментарий