Решебник Трофимова Т.И. (1999) — Задача 5. 73

Высшая математика: решебники, руководства к решению задач

Решебник Трофимова Т.И. (1999) - Задача 5. 73

Не справляетесь с задачами? Нужно больше примеров и объяснений по какой-то теме высшей математики (от действия с векторами до решения систем дифференциальных уравнений в матричном виде)?

Вам помогут так называемые решебники по высшей математике. Чаще всего, это именно подробные руководства, содержащие и краткую теорию, и множество разобранных задач по математике самой разной сложности, изучив которые вы наверняка сможете сделать и свои задания.

Помимо лучших книг-руководств, которые учат решать задачи, мы приведем также ссылки на решебники к популярным задачникам (Кузнецов, Рябушко, Чудесенко, Ермаков, Минорский, Шипачев, Лунгу, Данко и т.п.).

Правильно и подробно выполним задачи в Word

Ниже вы найдете ссылки на популярные, понятные, подробные руководства по решению задач и сборники задач, снабженные решенными примерами по высшей математике.

  • Данко П., Попов А., Кожевникова Т. «Высшая математика в упражнениях и задачах», том 1, 1986. Скачать (11.5 Мб, pdf) I части охватывает следующие разделы программы: аналитическую геометрию, основы линейной алгебры, дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных, интегральное исчисление функций одной независимой переменной, элементы линейного программирования. В каждом параграфе приводятся необходимые теоретические сведения. Типовые задачи даются с подробными решениями. Имеется большое количество задач для самостоятельной работы.
  • Данко П., Попов А., Кожевникова Т. «Высшая математика в упражнениях и задачах», том 2, 1999. Скачать (4.0 Мб, Djvu). II части охватывает следующие разделы программы: кратные и криволинейные интегралы, ряды, дифференциальные уравнения, теорию вероятностей, теорию функций комплексного переменного, операционное исчисление, методы вычислений, основы вариационного исчисления.
  • Запорожец Г. И. «Руководство к решению задач по математическому анализу». М., 1966, 464 c. Скачать (7.5 Мб, Djvu). «Руководство» предназначено для студентов высших технических учебных заведении и особенно для тех, кто самостоятельно, без повседневной квалифицированной помощи преподавателя, изучает математический анализ и желает приобрести необходимые навыки в решении задач. В начале каждого раздела помещены определения, теоремы, формулы и другие краткие сведения по теории и методические указания, необходимые для решения последующих задач; затем приводятся подробные примерные решения типичных задач.
  • Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. «Высшая математика. Решебник». 2005, 368 c. Скачать (21.8 Мб, Djvu). Книга содержит примеры решения почти всех типовых задач по высшей математике. Каждой задаче отведен отдельный раздел, содержащий общую постановку задачи, план ее решения с необходимыми теоретическими пояснениями и решение конкретного примера. Кроме того, в каждый раздел включены десять задач для самостоятельного решения и ответы к ним.
  • Афанасьев В.И., Зимина О.В. и др. (под ред. Кириллова А.И.) «Решебник. Высшая математика. Специальные разделы». 2003, 400 c. Скачать (2.2 Мб, Djvu). Книга содержит примеры решения типовых задач по теории функций комплексной переменной, операционному исчислению, рядам Фурье, преобразованию Фурье, уравнениям математической физики, теории вероятностей и математической статистике. Каждой задаче отведен отдельный раздел, содержащий общую постановку задачи, план ее решения с необходимыми теоретическими пояснениями и решение конкретного примера.
  • Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. «Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл» (АнтиДемидович 1). М., 2001, 360 c. Скачать (7.6 Мб, Djvu). В том 1 включен материал по следующим разделам курса математического анализа: введение в анализ, дифференциальное исчисление функций одной переменной, неопределенный и определенный интегралы.
  • Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. «Математический анализ: ряды, функции векторного аргумента» (АнтиДемидович 2). М., 2003, 224 c. Скачать (2.4 Мб, Djvu). Том 2 по содержанию соответствует первой половине второго тома «Справочного пособия по математическому анализу» и включает в себя теорию рядов и дифференциальное исчисление функций векторного аргумента.
  • Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. «Математический анализ: кратные и криволинейные интегралы» (АнтиДемидович 3). М., 2001, 224 c. Скачать (2.6 Мб, Djvu). Том 3 по содержанию соответствует второй половине второго тома «Справочного пособия по математическому анализу». В нем рассматриваются интегралы, зависящие от параметра, кратные и криволинейные интегралы, а также элементы векторного анализа.
  • Боярчук А.К. «Функции комплексного переменного: теория и практика» (АнтиДемидович 4). М., 2001, 352 c. Скачать (4.7 Мб, Djvu). Том 4 является логическим продолжением трех предыдущих ориентированных на практику томов и содержит более четырехсот подробно решенных задач, но при этом отличается более детальным изложением теоретических вопросов и может служить самостоятельным замкнутым курсом теории функций комплексного переменного. Помимо вопросов, обычно включаемых в курсы такого рода, в книге излагается ряд нестандартных — таких, как интеграл Ньютона—Лейбница и производная Ферма—Лагранжа.
  • Лунгу К.Н., Макаров Е.В. «Высшая математика. Руководство к решению задач. Часть 1», 2005, 216 c. Скачать (2.12 Мб, Djvu). Учебник следует рассматривать как некоторое методическое руководство по решению наиболее типичных математических задач. Большое внимание уделяется построению и исследованию графиков функций, вычислению пределов последовательностей и пределов функций. Авторы предлагают разные способы решения задач и используют этот прием для ознакомления читателя с большим количеством действий и выбором простейшего.
  • Лунгу К.Н., Макаров Е.В. «Высшая математика. Руководство к решению задач. Часть 2», 2007, 216 c. Скачать (2.25 Мб, Djvu). Руководство является продолжением одноименного учебного пособия и содержит указания по решению задач основного курса, начиная с неопределенного интеграла и кончая дифференциальными уравнениями, а также задач по теории вероятностей и математической статистике. Наряду с большим числом решенных задач приводятся упражнения для самостоятельного решения, в каждой из восьми глав даны контрольные задания.
  • Марон И.А. «Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах (Функции одной переменной)» М., 1970, 400 c. Скачать (11.0 Мб, Djvu). Большинство параграфов книги содержит краткие теоретические введения, решения типовых примеров и задачи для самостоятельного решения. Кроме задач алгоритмически-вычислительного характера, в ней содержится много задач, иллюстрирующих теорию и способствующих более глубокому ее усвоению, развивающих самостоятельное математическое мышление учащихся. Цель книги — научить студентов самостоятельно решать задачи по курсу математического анализа (изучение теории должно производиться по какому-либо из существующих учебников).

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Решебники по высшей математике

Помимо лучших книг-руководств, которые учат решать задачи, мы приведем также ссылки на решебники задач к популярным задачникам. Сами задачники (Кузнецов, Рябушко, Чудесенко, Ермаков, Минорский, Шипачев, Лунгу, и т.п.) вы найдете на странице Учебники по высшей математике.

Учитывайте, что большинство решений на нижеприведенных сайтах присланы и выложены студентами, за их правильность никто не ручается. Проверяйте решение, сверяйте ответы, будьте готовы к ошибочным решениям.

Если риск не для вас — закажите подробное решение в МатБюро.

Сайты с решениями

Лучшие учебники по математике бесплатно

Источник: https://www.MatBuro.ru/st_subject.php?p=resh_vm

Трофимова. Курс физики. Задачи и решения

Решебник Трофимова Т.И. (1999) - Задача 5. 73

Высшее профессиональное образование

БАКАЛАВРИАТ

Т. И. ТРОФИМОВА, А. В. ФИРСОВ

КУРС ФИЗИКИ

ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ

Допущено Министерством образования и науки

Российской Федерации

вкачестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся

по техническим направлениям подготовки и специальностям

4 е издание, исправленное

УДК 53(075.8) ББК 22.3я73

T 761

Р е ц е н з е н т ы:

зав. кафедрой физики Южно Российского государственного университета экономики и сервиса, д р техн. наук, проф. С. В. Кирсанов;

д р физ. мат. наук, проф. П. А. Эминов

Трофимова Т. И.

T 761 Курс физики. Задачи и решения : учеб. пособие для учреждений высш. проф. образования / Т. И. Трофимова, А. В. Фирсов. — 4 е изд., испр. — М. : Издатель ский центр «Академия», 2011. — 592 с. — (Сер. Бакалавриат)

ISBN 978 5 7695 8486 2

Учебное пособие создано в соответствии с Федеральным государственным образователь ным стандартом по техническим направлениям подготовки (квалификация «бакалавр»).

Данное учебное пособие совместно с учебными пособиями Т. И. Трофимовой «Физика по техническим направлениям подготовки» (квалификация «бакалавр»), «Курс физики», «Физика в таблицах и формулах» и «Курс физики. Колебания и волны» Т. И. Трофимовой и А. В. Фирсова составляет единый учебно методический комплект по физике для студентов втузов.

Около по ловины задач приведены с подробными решениями и объяснениями, остальные предусмотрены для самостоятельного решения. Это дает возможность использовать данное пособие в каче стве задачника для вузов. Пособие состоит из семи глав, охватывающих все разделы курса физики для инженерно технических специальностей высших учебных заведений.

Для студентов высших технических учебных заведений. Может быть использовано преподава телями для составления опорных конспектов к семинарам. Наличие подробных решений боль шого количества задач, в том числе и не требующих знания высшей математики, позволяет использовать это пособие при подготовке в вузы абитуриентами и на подготовительных курсах.

УДК 53(075.8) ББК 22.3я73

© Трофимова Т. И., Фирсов А. В., 200 4

© Трофимова Т. И., Фирсов А. В., 2009, с исправлениями

ISBN 978 5 7695 8486 2

© Образовательно издательский центр «Академия», 2011

© Оформление. Издательский центр «Академия», 2011

ПРЕ ДИСЛОВИЕ

Для глубокого усвоения курса физики важно не только знание теории («впи тывание» информации), но и умение активно применять изученное на практике, самостоятельно работая над решением задач. Формирование навыков грамотного решения задач является основной целью этой книги.

Учебное пособие состоит из семи глав, охватывающих все разделы курса физи ки для инженерно технических специальностей высших учебных заведений: фи зические основы классической механики с элементами специальной теории отно сительности, молекулярная физика и термодинамика, электричество и электро магнетизм, колебания и волны, квантовая природа излучения, элементы кванто вой физики, элементы физики атомного ядра и элементарных частиц. Главы раз делены на подразделы, каждый из которых содержит основные формулы, боль шое количество задач с подробными решениями и задач для самостоятельного решения.

В решениях задач используются как традиционные методики, выработанные российской высшей школой и успешно прошедшие проверку временем, так и соб ственные разработки авторов, основанные на многолетнем преподавании в вузе.

При этом выдержаны единообразие в подаче материала, строгая логичность изло жения и дозированное, обусловленное необходимостью применение математики.

Повышенное внимание уделено вопросам современной физики, к примеру, кван товой механике, включая операторы и некоторые важные конкретные задачи.

Все решения содержат краткую запись условия, перевод данных из внесистем ных единиц в СИ, лаконично сформулированные физические законы, лежащие в основе рассматриваемых явлений, необходимые уравнения, их решения в общем виде, численный ответ. Задачи для самостоятельного решения также снабжены ответами в общем виде и результатами вычислений. Условия и ответы даны с точ ностью до трех значащих цифр, стоящие в конце чисел нули опускаются для упро щения записи.

Данное учебное пособие совместно с учебными пособиями Т.И.Трофимовой «Физика по техническим направлениям подготовки» (квалификация «бакалавр»), «Курс физики», «Физика в таблицах и формулах» и «Курс физики. Колебания и волны» Т. И. Трофимовой и А. В. Фирсова составляет единый учебно методиче ский комплект по физике для обучающихся в учреждениях высшего профессио нального образования.

Замечание и предложения будут с благодарностью приняты авторами по адре су trofimova@sumail.ru и firsovav@mail.ru.

Г Л А В А 1

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

1.1. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ

Основные законы и формулы

• Средняя и мгновенная скорости материальной точки

ávñ =

Dr

,

v = dr .

H

H

H

H

Dt

dt

• Модули средней и мгновенной скоростей

ávñ = ávñ =

Dr

=

Dr

= Ds , ávñ = Ds ,

H

H

H

Dt

Dt

Dt

Dt

v = v =

lim

Dr

= lim

Dr

= lim Ds = ds ,

v = ds

H

H

H

Dt

Dt

Dt®0

Dt®0

Dt

Dt®0

t

t

d

d

[DrH — элементарное перемещение точки за промежуток времени Dt; rH — радиус вектор точки; Ds — путь, пройденный точкой за промежуток времени Dt].

• Среднее и мгновенное ускорения материальной точки

áañ =

Dv

,

a = dv .

H

H

H

H

Dt

dt

• Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения

at =

dv

,

an = v2

dt

r

[r — радиус кривизны траектории в данной точке].

Полное ускорение при криволинейном движении

a

= at

+ an ,

a = at2 + an2 .

H

H

H

Путь и скорость для равнопеременного движения

s = v0t ± at 2 ,

v = v0 ±at

2

[v0 — начальная скорость].

• Длина пути, пройденного материальной точкой за промежуток времени от t1

до t2,

t2

s = ò v(t)dt.

t1

• Угловая скорость

wH = djH dt

[djH — элементарный угол поворота].

• Угловая скорость равномерного вращательного движения w = j = 2p = 2pn

tT

[j — угол поворота произвольного радиуса от начального положения; t — проме жуток времени, за который произошел данный поворот; T — период вращения; n — частота вращения].

• Угловое ускорение

eH = dwH . dt

• Угол поворота и угловая скорость для равнопеременного вращательного дви жения

j = w0t ± et2 , w = w0 ± et

2

[w0 — начальная угловая скорость].

• Связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окруж ности радиусом R, линейная скорость v, тангенциальная составляющая ускоре ния at, нормальная составляющая ускорения an) и угловыми (j — угол поворота, w — угловая скорость, e — угловое ускорение) величинами:

s= Rj, v = Rw, at = Re, an = w2R.

Примеры решения задач

1.1.Зависимость пройденного материальной точкой пути от времени задается уравнением s = A — Bt + Ct2 + Dt3, где C = 0,2 м/с2, D = 0,1 м/с3. Определите:

1)через какой промежуток времени t после начала движения ускорение тела a = = 1 м/с2; 2) среднее ускорение áañ за этот промежуток времени.

Дано: s = A — Bt + Ct2 + Dt3; C = 0,2 м/с2; D = 0,1 м/с3; a = 1 м/с2.

Найти: t; áañ.

Решение. Мгновенное ускорение материальной точки

Мгновенная скорость v = ds или, учитывая условие задачи s = A — Bt + Ct2 + dt

+ Dt3, найдем

Тогда ускорение, согласно (1),

a = 2C + 6Dt, откуда искомый промежуток времени

t = a — 2C . 6D

Среднее ускорение материальной точки

áañ = Dv = vt -v0 ,

Dt t — t0

где начальный момент времени t0 = 0. Тогда искомое среднее ускорение с учетом формулы (2)

áañ = -B + 2Ct + 3Dt2 + B = 2C + 3Dt. t

Ответ: t = 1 с; áañ = 0,7 м/с2.

1.2. Кинематическое уравнение движения материальной точки вдоль прямой (ось x) задается уравнением x = A + Bt + Ct2 + Dt3, где B = 9 м/с; C = -6 м/с2; D = 1 м/с3. Определите среднюю скорость ávñ и среднее ускорение áañ материаль ной точки за промежуток времени, в течение которого точка движется в направ лении, противоположном первоначальному.

Дано: x = A + Bt + Ct2 + Dt3; B = 9 м/с; C = -6 м/с2; D = 1 м/с3.

Найти: ávñ; áañ.

Решение. Мгновенная скорость материальной

точки

v =

dx

= B + 2Ct + 3Dt2.

(1)

dt

График зависимости скорости (1) точки от време ни — парабола с ветвями, направленными вверх, вер

шиной с координатами t = —

C

= 2 с; v = B — C 2 =

3D

3D

= -3 м/с (см. рисунок) и точками пересечения с

осью: t 1 = 1 с; t 2 = 3 с (получается из условия

dv = 0). В начальный момент времени t = 0 скорость dt

точки согласно (1) равна 9 м/с, далее она убывает и при t1 = 1 с меняет знак, т. е. точка начинает двигаться в противоположном на правлении. В момент времени t2 = 3 с снова происходит смена знака скорости и, соответственно, направления движения на первоначальное.

Искомые средняя скорость и среднее ускорение за промежуток времени от t1 =1 с до t2 = 3 с

ávñ = x(t2 )- x(t1) ; t2 -t1

áañ = v(t2 )-v(t1) . t2 -t1

Определив из заданного уравнения для x, уравнения (1) и из графика соответ ствующие значения координат и скоростей, находим ávñ = 2 м/с; áañ = 0.

Ответ: ávñ = 2 м/с; áañ = 0.

1.3. На рисунке представлена зависимость ускорения a от времени t для мате риальной точки, движущейся прямолинейно. Определите скорость v и координа ту x точки через t = 3 с после начала движения. В какой момент времени t1 точка изменит направление движения?

Дано: t = 3 с.

Найти: v; x; t1.

Решение. Из графика следует, что зависимость ускорения от времени можно представить в виде

где A = 4 м/с2; B = 2 м/с3.

В случае прямолинейного движения скорость мате риальной точки при v0 = 0 (условие задачи):

t

v = ò adt.

(2)

0

Подставив в формулу (2) выражение (1) и проинтег

рировав, получим искомую скорость

v = At — Bt2 .

2

Искомая координата

t

t æ

Bt

2

ö

At

2

Bt

3

d

ç

÷d

.

x = ò v t =

ò çAt —

÷ t =

è

2

ø

2

6

0

0

Точка изменяет направление движения в момент, когда скорость v = 0, т. е.

— Bt2 =

At 0,

2

откуда

t = 2BA .

Ответ: v = 3 м/с; x = 9 м; t1 = 4 с.

1.4. Ускорение движущейся прямолинейно материальной точки изменяется по закону a = A + Bt, где A = 9 м/с2; B = -6 м/с3. Определите скорость v точки через t1 = 4 с после начала движения, а также координату x и путь s, пройденный точкой за этот промежуток времени.

Дано: a = A + Bt; A = 9 м/с2; B = -6 м/с3; t1 = 4 с.

Найти: v(t1); x(t1); s(t1).

Решение. Учитывая, что мгновенное ускорение

a = dv

,

H

H

dt

можем записать

dv = a dt.

H H

Проинтегрировав это выражение, получаем

v = v0

t

t

(1)

+ ò adt =

ò adt

H

H

H

H

0

0

(учли, что начальная скорость точки v0 = 0).

Подставив в выражение (1) заданное условием урав

нение a = A + Bt и проинтегрировав, получаем

t

Bt2

(2)

v = ò (A + Bt)dt = At + 2 .

0

График зависимости скорости (2) точки от времени —

парабола с ветвями, направленными вниз, и с верши

ной в точке с координатами t = — A = 1,5 с; v = — A2 =

B

2B

= 6,75 м/с. Точка пересечения графика с осью абсцисс

t = 3 с, в этой точке скорость меняет знак, а материальная точка — направление движения. Для момента времени t = 4 с скорость v = -12 м/с, т. е. точка движется в направлении, противоположном первоначальному (см. рисунок).

Координата материальной точки

t

æ

Bt

2

ö

At

2

( )d

ç

÷d

v t t = ò çAt +

÷

t =

è

2

ø

2

0

(учли, что в начальный момент времени x0 = 0), откуда при t1 = 4 с координата

x(t1) = 8 м.

В момент времени t = 3 с точка начинает двигаться в обратную сторону, т. е. ее

координата убывает, а длина пути продолжает возрастать по тому же закону, по которому убывает координата. До поворота путь s1 равен координате x1 в момент времени t = 3 с: согласно (3), s1 = 13,5 м. За промежуток времени от t = 3 с (коор дината x1(t) = 13,5 м) до t1 = 4 с (координата x(t1) = 8 м) точка прошла в обрат ном направлении расстояние

s2 = x1(t) — x(t1).

Весь путь за время t1 = 4 с равен сумме расстояний s1 (первые три секунды) и s2 (последняя секунда)

s = x1(t) + x1(t) — x(t1).

Ответ: v = -12 м/с; x = 8 м; s = 19 м.

1.5. На рисунке представлен график зависимости скорости от времени v(t) для прямолинейно движущейся материальной точки в течение пяти секунд. Нари суйте графики зависимостей координаты x и ускорения a точки от времени. Оп ределите среднюю скорость точки; áv1ñ за первые три секунды движения; áv2ñ за первые пять секунд движения.

Дано: v(t); t = 5 с.

Найти: áv1ñ; áv2ñ.

Решение. Согласно заданному рисун ку, движение можно разбить на два этапа:

первый — в течение первых двух секунд и второй — начиная с момента времени

t1 = 2 с.

П е р в ы й э т а п (координата x1, ско рость v1, ускорение a1). Скорость растет ли нейно, движение происходит с постоян ным положительным ускорением.

Скорость

v1 = v01 + a1t

(1)

(нaчaльнaя скорость v01 = 1 м/с, рис. а).

Ускорение

a1

=

v(t1)-v(t0 )

= 0, 5 ì/ñ2

(2)

t1 -t0

(учли, что t1 = 2 с; t0 = 0).

Координата

x1 = v01t + a1t2

(3)

2

(учли, что x01 = 0), т. е. график зависимос ти x1(t) — парабола, ветви которой направ лены вверх (a1 > 0) (координаты верши ны t = -2 с; x = -1 м). По соотношениям

(2) и (3) строим участки графиков a(t) и x(t) от t = 0 с до t = 2 с (рис. б и в).

В т о р о й э т а п (координата x2, ско рость v2, ускорение a2). Скорость убывает линейно, движение происходит с постоян ным отрицательным ускорением, противо положным начальной скорости.

Ускорение

a2 = v(t2 )-v(t1) = -2 ì/ñ2 (4) t2 -t1

(учли, что t2 = 3 с; t1 = 2 с).

Скорость

v2 = v02 + a2(t — t1)

[в данном случае момент времени t1 можно принять за начальный; при t1 = 2 с v02 =

=2 м/с, см. рис. а, формулу (1)].

Координата

x

2 = x

02 + v

(

)

a

2(t — t1 )2

(5)

02 t — t1

2

[t1 — начальный момент времени; v02 = 2 м/с; x02 = 3 м, см. рис. а, а также формулу (3)]. График зависимости x2(t) — парабола, ветви которой направлены вниз (a2 < 0) (координаты вершины t = 3 с; x = 4 м). Точка пересечения графика с осью абс цисс t3 = 5 с. По соотношениям (4) и (5) строим участки графиков a(t) и x(t) для

t > t1 (t1 = 2 с) (см. рис. б и в).

Искомая средняя скорость для первых трех секунд движения

x(t )- x(t )

áv1ñ = 2 0 = 1, 33 ì/ñ t2 -t0

(t0 = 0 с; t2 = 3 с; x(t0) = 0; x(t2) = 4 м).

Искомая средняя скорость для первых пяти секунд движения

áv2ñ = x(t3 )- x(t0 ) = 0 t3 -t0

(t0 = 0 с; t3 = 5 с; x(t0) = 0; x(t3) = 0).

Ответ: áv1ñ = 1,33 м/с; áv2ñ = 0.

1.6. Ускорение прямолинейно движущейся материальной точки возрастает по закону a = kt (k — постоянная) и через промежуток времени t1 = 8 с достигает значения a1 = 6 м/с2. Определите для момента времени t2 = 5 с: 1) скорость v2

точки; 2) пройденный точкой путь s2.

Дано: a = kt; t1 = 8 с; a1 = 6 м/с2; t2 = 5 с.

Найти: 1) v2; 2) s2.

Решение. Скорость материальной точки

t

t

kt2

v = ò a(t)dt = ò ktdt =

(1)

2

0

0

(учли, что a = kt).

Согласно условию задачи

Подставив формулу (2) в выражение (1), искомая скорость для момента вре мени t2:

= a t2

v2 1 2 .

2t1

Источник: https://studfile.net/preview/5226872/

Biz-books
Добавить комментарий