Решебник Трофимова Т.И. (1999) — Задача 2. 52

Трофимова. Курс физики. Задачи и решения

Решебник Трофимова Т.И. (1999) - Задача 2. 52

Высшее профессиональное образование

БАКАЛАВРИАТ

Т. И. ТРОФИМОВА, А. В. ФИРСОВ

КУРС ФИЗИКИ

ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ

Допущено Министерством образования и науки

Российской Федерации

вкачестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся

по техническим направлениям подготовки и специальностям

4 е издание, исправленное

УДК 53(075.8) ББК 22.3я73

T 761

Р е ц е н з е н т ы:

зав. кафедрой физики Южно Российского государственного университета экономики и сервиса, д р техн. наук, проф. С. В. Кирсанов;

д р физ. мат. наук, проф. П. А. Эминов

Трофимова Т. И.

T 761 Курс физики. Задачи и решения : учеб. пособие для учреждений высш. проф. образования / Т. И. Трофимова, А. В. Фирсов. — 4 е изд., испр. — М. : Издатель ский центр «Академия», 2011. — 592 с. — (Сер. Бакалавриат)

ISBN 978 5 7695 8486 2

Учебное пособие создано в соответствии с Федеральным государственным образователь ным стандартом по техническим направлениям подготовки (квалификация «бакалавр»).

Данное учебное пособие совместно с учебными пособиями Т. И. Трофимовой «Физика по техническим направлениям подготовки» (квалификация «бакалавр»), «Курс физики», «Физика в таблицах и формулах» и «Курс физики. Колебания и волны» Т. И. Трофимовой и А. В. Фирсова составляет единый учебно методический комплект по физике для студентов втузов.

Около по ловины задач приведены с подробными решениями и объяснениями, остальные предусмотрены для самостоятельного решения. Это дает возможность использовать данное пособие в каче стве задачника для вузов. Пособие состоит из семи глав, охватывающих все разделы курса физики для инженерно технических специальностей высших учебных заведений.

Для студентов высших технических учебных заведений. Может быть использовано преподава телями для составления опорных конспектов к семинарам. Наличие подробных решений боль шого количества задач, в том числе и не требующих знания высшей математики, позволяет использовать это пособие при подготовке в вузы абитуриентами и на подготовительных курсах.

УДК 53(075.8) ББК 22.3я73

© Трофимова Т. И., Фирсов А. В., 200 4
© Трофимова Т. И., Фирсов А. В., 2009, с исправлениями
ISBN 978 5 7695 8486 2© Образовательно издательский центр «Академия», 2011
© Оформление. Издательский центр «Академия», 2011

ПРЕ ДИСЛОВИЕ

Для глубокого усвоения курса физики важно не только знание теории («впи тывание» информации), но и умение активно применять изученное на практике, самостоятельно работая над решением задач. Формирование навыков грамотного решения задач является основной целью этой книги.

Учебное пособие состоит из семи глав, охватывающих все разделы курса физи ки для инженерно технических специальностей высших учебных заведений: фи зические основы классической механики с элементами специальной теории отно сительности, молекулярная физика и термодинамика, электричество и электро магнетизм, колебания и волны, квантовая природа излучения, элементы кванто вой физики, элементы физики атомного ядра и элементарных частиц. Главы раз делены на подразделы, каждый из которых содержит основные формулы, боль шое количество задач с подробными решениями и задач для самостоятельного решения.

В решениях задач используются как традиционные методики, выработанные российской высшей школой и успешно прошедшие проверку временем, так и соб ственные разработки авторов, основанные на многолетнем преподавании в вузе.

При этом выдержаны единообразие в подаче материала, строгая логичность изло жения и дозированное, обусловленное необходимостью применение математики.

Повышенное внимание уделено вопросам современной физики, к примеру, кван товой механике, включая операторы и некоторые важные конкретные задачи.

Все решения содержат краткую запись условия, перевод данных из внесистем ных единиц в СИ, лаконично сформулированные физические законы, лежащие в основе рассматриваемых явлений, необходимые уравнения, их решения в общем виде, численный ответ. Задачи для самостоятельного решения также снабжены ответами в общем виде и результатами вычислений. Условия и ответы даны с точ ностью до трех значащих цифр, стоящие в конце чисел нули опускаются для упро щения записи.

Данное учебное пособие совместно с учебными пособиями Т.И.Трофимовой «Физика по техническим направлениям подготовки» (квалификация «бакалавр»), «Курс физики», «Физика в таблицах и формулах» и «Курс физики. Колебания и волны» Т. И. Трофимовой и А. В. Фирсова составляет единый учебно методиче ский комплект по физике для обучающихся в учреждениях высшего профессио нального образования.

Замечание и предложения будут с благодарностью приняты авторами по адре су trofimova@sumail.ru и firsovav@mail.ru.

Г Л А В А 1

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

1.1. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ

Основные законы и формулы

• Средняя и мгновенная скорости материальной точки

ávñ =Dr,v = dr .
HH
HH
Dtdt

• Модули средней и мгновенной скоростей

ávñ = ávñ =Dr=Dr= Ds , ávñ = Ds ,
HH
H
DtDtDtDt
v = v =limDr= limDr= lim Ds = ds ,v = ds
HH
H
DtDt
Dt®0Dt®0DtDt®0tt
dd

[DrH — элементарное перемещение точки за промежуток времени Dt; rH — радиус вектор точки; Ds — путь, пройденный точкой за промежуток времени Dt].

• Среднее и мгновенное ускорения материальной точки

áañ =Dv,a = dv .
HH
HH
Dtdt

• Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения

at =dv,an = v2
dtr
[r — радиус кривизны траектории в данной точке].
Полное ускорение при криволинейном движении
a= at+ an ,a = at2 + an2 .
HHH
Путь и скорость для равнопеременного движения
s = v0t ± at 2 ,v = v0 ±at
2

[v0 — начальная скорость].

• Длина пути, пройденного материальной точкой за промежуток времени от t1

до t2,

t2

s = ò v(t)dt.

t1

• Угловая скорость

wH = djH dt

[djH — элементарный угол поворота].

• Угловая скорость равномерного вращательного движения w = j = 2p = 2pn

tT

[j — угол поворота произвольного радиуса от начального положения; t — проме жуток времени, за который произошел данный поворот; T — период вращения; n — частота вращения].

• Угловое ускорение

eH = dwH . dt

• Угол поворота и угловая скорость для равнопеременного вращательного дви жения

j = w0t ± et2 , w = w0 ± et

2

[w0 — начальная угловая скорость].

• Связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окруж ности радиусом R, линейная скорость v, тангенциальная составляющая ускоре ния at, нормальная составляющая ускорения an) и угловыми (j — угол поворота, w — угловая скорость, e — угловое ускорение) величинами:

s= Rj, v = Rw, at = Re, an = w2R.

Примеры решения задач

1.1.Зависимость пройденного материальной точкой пути от времени задается уравнением s = A — Bt + Ct2 + Dt3, где C = 0,2 м/с2, D = 0,1 м/с3. Определите:

1)через какой промежуток времени t после начала движения ускорение тела a = = 1 м/с2; 2) среднее ускорение áañ за этот промежуток времени.

Дано: s = A — Bt + Ct2 + Dt3; C = 0,2 м/с2; D = 0,1 м/с3; a = 1 м/с2.

Найти: t; áañ.

Решение. Мгновенное ускорение материальной точки

Мгновенная скорость v = ds или, учитывая условие задачи s = A — Bt + Ct2 + dt

+ Dt3, найдем

Тогда ускорение, согласно (1),

a = 2C + 6Dt, откуда искомый промежуток времени

t = a — 2C . 6D

Среднее ускорение материальной точки

áañ = Dv = vt -v0 ,

Dt t — t0

где начальный момент времени t0 = 0. Тогда искомое среднее ускорение с учетом формулы (2)

áañ = -B + 2Ct + 3Dt2 + B = 2C + 3Dt. t

Ответ: t = 1 с; áañ = 0,7 м/с2.

1.2. Кинематическое уравнение движения материальной точки вдоль прямой (ось x) задается уравнением x = A + Bt + Ct2 + Dt3, где B = 9 м/с; C = -6 м/с2; D = 1 м/с3. Определите среднюю скорость ávñ и среднее ускорение áañ материаль ной точки за промежуток времени, в течение которого точка движется в направ лении, противоположном первоначальному.

Дано: x = A + Bt + Ct2 + Dt3; B = 9 м/с; C = -6 м/с2; D = 1 м/с3.

Найти: ávñ; áañ.

Решение. Мгновенная скорость материальной

точки
v =dx= B + 2Ct + 3Dt2.(1)
dt

График зависимости скорости (1) точки от време ни — парабола с ветвями, направленными вверх, вер

шиной с координатами t = —C= 2 с; v = B — C 2 =
3D
3D
= -3 м/с (см. рисунок) и точками пересечения с

осью: t 1 = 1 с; t 2 = 3 с (получается из условия

dv = 0). В начальный момент времени t = 0 скорость dt

точки согласно (1) равна 9 м/с, далее она убывает и при t1 = 1 с меняет знак, т. е. точка начинает двигаться в противоположном на правлении. В момент времени t2 = 3 с снова происходит смена знака скорости и, соответственно, направления движения на первоначальное.

Искомые средняя скорость и среднее ускорение за промежуток времени от t1 =1 с до t2 = 3 с

ávñ = x(t2 )- x(t1) ; t2 -t1

áañ = v(t2 )-v(t1) . t2 -t1

Определив из заданного уравнения для x, уравнения (1) и из графика соответ ствующие значения координат и скоростей, находим ávñ = 2 м/с; áañ = 0.

Ответ: ávñ = 2 м/с; áañ = 0.

1.3. На рисунке представлена зависимость ускорения a от времени t для мате риальной точки, движущейся прямолинейно. Определите скорость v и координа ту x точки через t = 3 с после начала движения. В какой момент времени t1 точка изменит направление движения?

Дано: t = 3 с.

Найти: v; x; t1.

Решение. Из графика следует, что зависимость ускорения от времени можно представить в виде

где A = 4 м/с2; B = 2 м/с3.

В случае прямолинейного движения скорость мате риальной точки при v0 = 0 (условие задачи):

t
v = ò adt.(2)
0
Подставив в формулу (2) выражение (1) и проинтег
рировав, получим искомую скорость
v = At — Bt2 .
2
Искомая координата
tt æBt2öAt2Bt3
dç÷d.
x = ò v t =ò çAt —÷ t =
è2ø26
00

Точка изменяет направление движения в момент, когда скорость v = 0, т. е.

— Bt2 =

At 0,

2

откуда

t = 2BA .

Ответ: v = 3 м/с; x = 9 м; t1 = 4 с.

1.4. Ускорение движущейся прямолинейно материальной точки изменяется по закону a = A + Bt, где A = 9 м/с2; B = -6 м/с3. Определите скорость v точки через t1 = 4 с после начала движения, а также координату x и путь s, пройденный точкой за этот промежуток времени.

Дано: a = A + Bt; A = 9 м/с2; B = -6 м/с3; t1 = 4 с.

Найти: v(t1); x(t1); s(t1).

Решение. Учитывая, что мгновенное ускорение
a = dv,
H
H
dt
можем записать
dv = a dt.
H H
Проинтегрировав это выражение, получаем
v = v0tt(1)
+ ò adt =ò adt
HHHH
00
(учли, что начальная скорость точки v0 = 0).
Подставив в выражение (1) заданное условием урав
нение a = A + Bt и проинтегрировав, получаем
tBt2
(2)
v = ò (A + Bt)dt = At + 2 .
0
График зависимости скорости (2) точки от времени —
парабола с ветвями, направленными вниз, и с верши
ной в точке с координатами t = — A = 1,5 с; v = — A2 =
B2B
= 6,75 м/с. Точка пересечения графика с осью абсцисс

t = 3 с, в этой точке скорость меняет знак, а материальная точка — направление движения. Для момента времени t = 4 с скорость v = -12 м/с, т. е. точка движется в направлении, противоположном первоначальному (см. рисунок).

Координата материальной точки

tæBt2öAt2
( )dç÷d
v t t = ò çAt +÷t =
è2ø2
0

(учли, что в начальный момент времени x0 = 0), откуда при t1 = 4 с координата

x(t1) = 8 м.

В момент времени t = 3 с точка начинает двигаться в обратную сторону, т. е. ее

координата убывает, а длина пути продолжает возрастать по тому же закону, по которому убывает координата. До поворота путь s1 равен координате x1 в момент времени t = 3 с: согласно (3), s1 = 13,5 м. За промежуток времени от t = 3 с (коор дината x1(t) = 13,5 м) до t1 = 4 с (координата x(t1) = 8 м) точка прошла в обрат ном направлении расстояние

s2 = x1(t) — x(t1).

Весь путь за время t1 = 4 с равен сумме расстояний s1 (первые три секунды) и s2 (последняя секунда)

s = x1(t) + x1(t) — x(t1).

Ответ: v = -12 м/с; x = 8 м; s = 19 м.

1.5. На рисунке представлен график зависимости скорости от времени v(t) для прямолинейно движущейся материальной точки в течение пяти секунд. Нари суйте графики зависимостей координаты x и ускорения a точки от времени. Оп ределите среднюю скорость точки; áv1ñ за первые три секунды движения; áv2ñ за первые пять секунд движения.

Дано: v(t); t = 5 с.

Найти: áv1ñ; áv2ñ.

Решение. Согласно заданному рисун ку, движение можно разбить на два этапа:

первый — в течение первых двух секунд и второй — начиная с момента времени

t1 = 2 с.

П е р в ы й э т а п (координата x1, ско рость v1, ускорение a1). Скорость растет ли нейно, движение происходит с постоян ным положительным ускорением.

Скорость
v1 = v01 + a1t(1)

(нaчaльнaя скорость v01 = 1 м/с, рис. а).

Ускорение

a1=v(t1)-v(t0 )= 0, 5 ì/ñ2(2)
t1 -t0
(учли, что t1 = 2 с; t0 = 0).
Координата
x1 = v01t + a1t2(3)
2

(учли, что x01 = 0), т. е. график зависимос ти x1(t) — парабола, ветви которой направ лены вверх (a1 > 0) (координаты верши ны t = -2 с; x = -1 м). По соотношениям

(2) и (3) строим участки графиков a(t) и x(t) от t = 0 с до t = 2 с (рис. б и в).

В т о р о й э т а п (координата x2, ско рость v2, ускорение a2). Скорость убывает линейно, движение происходит с постоян ным отрицательным ускорением, противо положным начальной скорости.

Ускорение

a2 = v(t2 )-v(t1) = -2 ì/ñ2 (4) t2 -t1

(учли, что t2 = 3 с; t1 = 2 с).

Скорость

v2 = v02 + a2(t — t1)

[в данном случае момент времени t1 можно принять за начальный; при t1 = 2 с v02 =

=2 м/с, см. рис. а, формулу (1)].

Координата

x2 = x02 + v()a2(t — t1 )2(5)
02 t — t1
2

[t1 — начальный момент времени; v02 = 2 м/с; x02 = 3 м, см. рис. а, а также формулу (3)]. График зависимости x2(t) — парабола, ветви которой направлены вниз (a2 < 0) (координаты вершины t = 3 с; x = 4 м). Точка пересечения графика с осью абс цисс t3 = 5 с. По соотношениям (4) и (5) строим участки графиков a(t) и x(t) для

t > t1 (t1 = 2 с) (см. рис. б и в).

Искомая средняя скорость для первых трех секунд движения

x(t )- x(t )

áv1ñ = 2 0 = 1, 33 ì/ñ t2 -t0

(t0 = 0 с; t2 = 3 с; x(t0) = 0; x(t2) = 4 м).

Искомая средняя скорость для первых пяти секунд движения

áv2ñ = x(t3 )- x(t0 ) = 0 t3 -t0

(t0 = 0 с; t3 = 5 с; x(t0) = 0; x(t3) = 0).

Ответ: áv1ñ = 1,33 м/с; áv2ñ = 0.

1.6. Ускорение прямолинейно движущейся материальной точки возрастает по закону a = kt (k — постоянная) и через промежуток времени t1 = 8 с достигает значения a1 = 6 м/с2. Определите для момента времени t2 = 5 с: 1) скорость v2

точки; 2) пройденный точкой путь s2.
Дано: a = kt; t1 = 8 с; a1 = 6 м/с2; t2 = 5 с.
Найти: 1) v2; 2) s2.
Решение. Скорость материальной точки
ttkt2
v = ò a(t)dt = ò ktdt =(1)
2
00

(учли, что a = kt).

Согласно условию задачи

Подставив формулу (2) в выражение (1), искомая скорость для момента вре мени t2:

= a t2

v2 1 2 .

2t1

Источник: https://studfile.net/preview/5226872/

1. Курс физики, задачи и решения — Трофимова. Курс физикизадачи и решения

Решебник Трофимова Т.И. (1999) - Задача 2. 52

Подборка по базе: Driving Safety 3 курс .docx, Токпаева А.М. курсовая по теме Кадровое планирование в организац, текст к курсовой.docx, Сибирская язва, доклад. Патологическая анатомия за 4 курс.docx, 2 курс 10 урок знаменитости великобритании.docx, Готовый курсач.doc, Курсовая Зотов Александр 3 курс 3 группа.docx, Курсовая работа архивоведение 3 курс.

docx, 30 % курсовая менеджмент.docx, МП.Введение в курс ОИ.Last.doc.Примеры решения задач Рассматривая атом водорода, запишите выражение для потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром, уравнение Шредингера для стационарных состояний, собственные значения энергии, удовлетворяющие уравнению.
Решение.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром 0( )4eU r r= — где r — расстояние электрона от ядра e — элементарный заряд электрона e0 электрическая постоянная.Графически функция U(r) изображена на рисунке жирной кривой U(r) с уменьшением (при приближении электрона к ядру) неограниченно убывает.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией y, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера, учитывающему значение (1),2 20 20 4m eEræö÷çDy ++y где m — масса электрона E — полная энергия электрона в атоме D — оператор Лапласа.Поле (1), в котором движется электрон, является центрально симметричным, те.

зависит только от Поэтому уравнение (2) целесообразно решать в сферических координатах r, J, j, считая, что y = В сферической системе координат оператор Лапласа записывается в виде u001du001cu001d2 22 22 21 11sin sin sin rr r rr vr r¶y¶ y¶¶¶D =+J+¶¶J ¶¶J ¶j

Решение стационарного уравнения Шредингера для атома водорода в сферических координатах методом разделения переменных (см. последующие задачи)с учетом требований, налагаемых на волновую функцию (непрерывность, однозначность и конечность, приводит к собственным значениям энергии электрона в атоме водорода 22 2 01 8n meEn h= — e(n = 1, 2, 3, в точности совпадающим со значениями модели атома водорода по Бору.Дискретные энергетические уровни E1, E2, …, En

, определяемые формулой (показаны на рисунке в виде горизонтальных прямых Уравнение Шредингера для стационарных состояний электрона, находящегося в водородоподобном атоме, в сферической системе координат имеет вид 2

2 22 22 22 01 11 2sin0.sin sin4mZe rEr rr rr ræöæöæö¶y¶y¶ y¶¶÷÷÷ççç+J+++y =÷÷÷ççç÷÷çç÷÷èøçèø¶¶J ¶J¶JJ ¶j Покажите, что это уравнение можно разделить натри уравнения, каждое из которых зависит только от одной из переменных r, J и Решение Уравнение 22 22 22 22 01 11 2sin0sin sin4mZe rEr rr rr ræöæöæö¶y¶y¶ y¶¶÷÷÷ççç+J+++y =÷÷÷ççç÷÷çç÷÷èøçèø¶¶J ¶J¶JJ ¶j будем решать методом раздельных переменных. Искомую y функцию вначале представим в виде y(r,J,j) = где R(r) — радиальная функция, зависящая только от r; Y(J,j) — угловая функция, зависящая только от J и j. Подставим (2) в (1):2 22 22 22 20 11 2sin0.sin sin4YRRYYmZe rERYr rr rréùæöæöæö¶¶¶¶¶÷ç÷÷çç+J+++=êú÷÷÷ççç÷÷çç÷÷èøçèøêú¶¶J ¶J¶JJ ¶j Умножив выражение (3) на 2rRY и разделив переменные, получим 22 22 22 01 21 11sin4sin sinRmZeYYrErR r rrYæöéùæöæö¶¶¶¶¶÷ç÷÷çç++= -J+êú÷÷÷ççç÷÷çç÷÷çèøèøêú¶¶peJ ¶J¶JJ Поскольку в левой части (4) стоит величина, зависящая только от r, а в правой только от J и j, это равенство может выполняться только тогда, когда его левая и правая части равны одной и той же постоянной l. После преобразования получим 22 22 02 20 4RRmZeERr r r rræö¶¶l ÷ç+++-=÷ç÷÷綶peèøh(5)u001cu001d2 22 21 1sin sin sinYY¶¶J+= -ljJ¶JJ ¶j(6) Для решения (6) угловую функцию Y(J,j) представим в виде) = где q(J) — функция, зависящая только от угла J; F(j) — функция, зависящая только от угла j. Подставив (7) в (6) и перенеся в правую часть равенства переменные,зависящие от j, получим 22 1 1 1sin sin sinéù¶¶q¶ FJ+ lJ = -êúêúqJ ¶J¶JF Равенство (должно выполняться при любых q и j, что возможно только тогда, когда его и левая и правая части равны одной и той же постоянной, которая обычно обозначается m2l (ее физический смысл выяснен ранее. После перегруппировки слагаемых, зависящих от переменных q и j, получаем два уравнения 21sin0sin sin lmæöæö¶¶q÷ç÷çJ+ l -=÷ç÷ç÷÷÷ççèø èøJ ¶J¶JJ(9)2 22 0.l m¶ F + F Таким образом, искомые три уравнения, каждое из которых зависит только от одной из переменных (r, J, j), найдены — это уравнения (5), (9) и (10). Поскольку функции

R, q и F зависят только от одной переменной, в уравнениях (5), (9) и) частные производные можно заменить полными. Уравнения (9) и (10) являются соответственно полярными азимутальным волновыми уравнениями Найдите нормированную волновую функцию, удовлетворяющую азимутальному волновому уравнению см. задачу 6.133, формулу (Решение Как показано в задаче 6.133, азимутальное волновое уравнение 2

2 0l m¶ F + F где функция F зависит только от азимутального угла Общим решением уравнения (1) является функция )e limCjF j где C — произвольная постоянная. То, что функция (2) удовлетворяет уравнению, легко проверяется подстановкой (предоставляем это сделать читателю).Функция F(j) должна быть однозначной функцией угла j; следовательно, она не должна изменяться в случае изменения угла j на угол, кратный 2p. Таким образом, должно выполняться условие периодичности) = F(j + или )e el lim imCCj j+ Условие (3) будет выполнено, если ml = 0, ±1, ±2, … ранее показано, что |m l| не может быть больше, чем l). Постоянную C найдем из условия нормировки 20) d1.pF(j j Если подставить решение (2) в уравнение (4) и вычислить интеграл, то получим, что .2C Тогда искомая нормированная волновая функция )e2l im jF j =p

6.135. Электрон находится в атоме водорода в

1s состоянии. Записав стационарное уравнение Шредингера, определите собственное значение энергии, удовлетворяющее этому состоянию.

Решение.

1s состояние электрона в атоме водорода является сферически симметричным, те. не зависит от углов J и j. Волновая функция электрона в этом состоянии определяется только расстоянием r электрона от ядра y = y100(r), где цифры 100 соответственно указывают, что n = 1, l = 0 и m l = 0. Тогда стационарное уравнение Шредингера в сферической системе координат (см. задачу 6.133)2 22 22 22 22 01 11 2sin0sin sin4mZe rEr rr rr ræöæöæö¶y¶ y¶¶¶÷÷ç÷çç+J+++y =÷÷÷ççç÷÷çç÷÷èøçèø¶¶J ¶J¶JJ ¶j peèøh для атома водорода примет вид 22 20 12 04m erEr rr ræöæö¶y¶÷÷çç++y =÷÷çç÷ç÷÷çèø¶¶peèøh или 22 20 22 0.4m eEr r r ræö¶ y¶y÷ç+++y Волновую функцию, описывающую 1s состояние электрона в атоме водорода,будем искать в виде raC

— y где a — постоянная, имеющая размерность длины C — некоторая постоянная,

определяемая из условия нормировки. После подстановки y, è 2 2r r¶y¶ y¶¶ в уравнение, сокращения на er aC- и перегруппировки членов получим 22 20 12 21 0.4mEme ar aæöæö÷ç÷ç ++-=÷÷çç÷ç÷÷çèøpeèøh h Это уравнение должно тождественно удовлетворяться для любых значений поэтому 21 20mEa+=h(3)2 20 10.

4me a- =pe Из выражения (4) следует, что 02 4a me те. величина a совпадает с первым боровским радиусом для атома водорода. Подставив) в (3), найдем искомое собственное значение энергии 2 2 08meEh= — что совпадает со значением энергии основного состояния (n = 1) атома водорода.

Ответ:

4 2 2 08meEh= — e

6.136. Учитывая, что функция

u001c u001d2 21e2r ar a- y = — удовлетворяет радиальному уравнению Шредингера для атома водорода, определите энергию E2 соответствующего уровня.

Решение. Радиальное уравнение Шредингера для атома водорода 2

2 20 12 0.4m erEr rr ræöæö¶y¶÷÷çç++y Найдем первую производную 21 2e2 2r ar ra a-¶y = -Тогда 22 22 22 22 23 12e2 21 25e4 8r ar ar rr rr a r ar rr rr ar aa—éùæöæö¶y¶¶÷÷êúçç= — ÷÷çç÷÷ççêúèøèø¶¶¶ ëûæö æö¶y¶÷÷çç= -+-÷÷çç÷÷ççèø Подставив (2) и (1) и сокращая на 2e ra-, получим 23 20 25 21 04 84 2r me rEar aa raæöæö÷ç÷ç-+-++-=÷÷çç÷ç÷÷çèøpeèøh или 22 32 22 00 25 22 10.4 84 42r me me mErEar aa rr a aæö÷ç-+-++—=÷ç÷÷çpe peèøh hh После перегруппировки слагаемых находим 22 32 22 00 21 12 50.4 84 4me mEm erEr aa aa aæöæöæö÷÷çç÷ç- -++-+=÷÷÷ççç÷ç÷÷÷÷ççèøpe peèøèøh Уравнение (3) должно тождественно удовлетворяться для любых r, поэтому,приравнивая друг к другу члены, содержащие r и 1/r, получаем 20 22 4me a- = — pe h(4)3 21 8mEa Из выражения (4) следует, что 02 4a me первый боровский радиус. Подставляя (6) в (5), находим 42 12 2 2 2 2 00 11 18 16 4 8 4me meEEh= -= -= — p e учли, что E1 = 4 2 2 08me h- Ответ 2 11 4EE= -, где E1 — энергия основного состояния (при n = 1).

6.137. Нормированная волновая функция, описывающая

1s состояние электрона в атоме водорода, имеет вид y100(r) = 3 1 e ra a- p, где r — расстояние электрона от ядра a — первый боровский радиус. Определите среднее значение 1r Решение. Согласно определению, среднее значение 0*,2 11 1d dVVr rr¥¥=y где интеграл берется по той области, в которой y(r) отлична от нуля.В силу сферической симметрии функции y100(r) (она зависит только от r) вероятность обнаружить электрон на расстоянии от ядра одинакова по всем направлениям, те. элемент объема, отвечающий одинаковой плотности вероятности, — сферический слой радиусом r и толщиной (см. рисунок = Подставив в формулу (1) |y100(r)|2 = 2 31 e ra a- p

и выражение (2), получим в результате вычислений

542u001c u001d0 02 22 33 32 11 1 44 1!1e4d ed2r ra ar r rr rr aa aa Ответ 1 1 .r a=

6.138. Электрон в атоме водорода находится в

1s состоянии. Определите наиболее вероятное расстояние в электрона от ядра.

Решение.

1s состояние электрона в атоме водорода описывается нормированной волновой функцией y = y100(r) = ,3 1 e ra a- зависящей только от расстояния r до ядра (a — первый боровский радиус).Вероятность нахождения электрона в элементе объема dV равна dW = |y(r)|2dV = |y(r)|

2 где в качестве элемента объема выбран сферический слой радиусом r и толщиной dr (см. задачу 6.137) (1s состояние электрона сферически симметрично, и вероятность обнаружения электрона на расстоянии r одинакова по всем направлениям. Величина d

( )dWw r r= представляет собой плотность вероятности w(r) = Подставив (1) в (2), найдем 23 4( )e ra rw r Функция (3) имеет максимум при некотором r = r в. Чтобы в вычислить, необходимо) продифференцировать пои приравнять производную нулю 23d 4 e0d ra rr или u001d,2 38 1e0r ar ra откуда искомое наиболее вероятное расстояние электрона от ядра в = Ответ в = a.

6.139. Нормированная волновая функция, описывающая

1s состояние электрона в атоме водорода, имеет вид y100(r) = 3 1 e ra a- p, где r — расстояние электрона от ядра a — первый боровский радиус. Определите вероятность обнаружения электрона в атоме внутри сферы радиусом r = 0,01a. Дано y100(r) = 3 1 e ra a- p; r = Найти Решение Вероятность обнаружить электрон в элементе объема dVdW = |y100(r)|2dV = 2 31 e ra a- необходимость выбора элемента объема dV= 4pr2dr обоснована в задаче Вероятность W найдем, интегрируя dW в пределах от r1 = 0 до r2 = 0,01a:0 0,01 22 34e d .a raWr По условию задачи, r мало (r max = 0,01a; a = 52,8 пм), поэтому сомножитель 2e ra- можно разложить вряд -Подставив (2) в (1), пренебрегая в (2) членами второго порядка малости, получим rr rWr rr r r r aa aa Ответ W = 1,31 · 10-6

6.140. Применяя правила отбора, представьте на энергетической диаграмме спектральные линии в спектре атома водорода, соответствующие сериям Лаймана и Бальмера.

Решение. В квантовой механике вводятся правила отбора, ограничивающие число возможных переходов электронов в атоме,связанных с испусканием и поглощением света. Осуществляются только такие переходы,для которых) изменение орбитального квантового числа Dl удовлетворяет условию = ±1;2) изменение магнитного квантового числа удовлетворяет условию l = 0, Учитывая число возможных состояний,соответствующих данному n, и правило отбора, рассмотрим спектральные линии атома водорода (см. рисунок серииЛаймана соответствуют переходы np ® 1s (n = 2, 3, серии Бальмера —np ® 2s, ns ® 2p, nd ® 2p (n = 3, 4, и т. д.Переход электрона из основного состояния в возбужденное связан с увеличением энергии атома и может происходить только при сообщении атому энергии извне, например за счет поглощения атомом фотона. Так как поглощающий атом при нормальных условиях находится в основном состоянии, то спектр атома водорода должен состоять из линий, соответствующих переходам 1s ® np (n = 2, 3,…), что находится в полном согласии с опытом Электрон в атоме находится в f состоянии. Определите 1) момент импульса электрона 2) максимальное значение проекции момента импульса на направление внешнего магнитного поля.

Дано: f состояние.

Найти: 1) Ll; 2) Решение f Состояние электрона характеризуется орбитальным квантовым числом l = 3, а момент импульса (механический орбитальный момент) электрона l=+h где h — постоянная Планка.Проекция момента импульса на направление z внешнего магнитного поля = hm где ml = 0, ±1, ±2, …, ±l — магнитное квантовое число. Выражение (1) максимально при ml = (m l)max:(Llz)max = h(m где, по условию задачи, (m l)max = Ответ Ll = 3,46h; (Llz)max = 3h.

6.142. Определите возможные значения орбитального момента импульса

Ll электрона в возбужденном атоме водорода, если энергия возбуждения Eвозб = 12,75 эВ.

Дано:

Z = 1; Eвозб = 12,75 эВ.

Найти: Решение Момент импульса (механический орбитальный) электрона квантуется, те. не может быть произвольным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой l

=+h где h — постоянная Планка l — орбитальное квантовое число, которое при заданном принимает значения l = 0, 1, 2, …, n-1, те. всего n значений (ряд возможных значений ограничен значением Чтобы найти главное квантовое число n, запишем выражение для энергии электрона в атоме водорода ýÂ4 22 2 20 13,6 18e nm eEn h n= -= — учли, что при n = 1 E1 = 4 2 2 08e m e h- e = -13,6 эВ).Энергия возбуждения Eвозб — энергия, которую надо сообщить атому, чтобы электрон из основного состояния (n = 1) совершил переход в возбужденное состояние, т.е.Eвозб = En — E1 или 2 13,6n- + 13,6 = откуда n = Возможные значения при l = 0 Ll = при l = 2 Ll = при l = 1 Ll = при l = 3 Ll = Ответ Ll = 0; ; ; 2 612.h hh1   …   49   50   51   52   53   54   55   56   57

Источник: https://topuch.ru/kurs-fizikizadachi-i-resheniya/index52.html

Biz-books
Добавить комментарий