Разностные методы решения задач теплопроводности. Кузнецов Г.В

ISSN 1996-3955 ИФ РИНЦ = 0,570

Разностные методы решения задач теплопроводности. Кузнецов Г.В
1 Мусабаев Т.Т. 1 Каюпов Т. 1 Сейлханова Д.К. 1 1 Евразийский технологический институт ЕНУ им. Л.Н.

Гумилева В статье проанализированы аналитические и численные решения линейных и нелинейных одномерных задач теплопроводности для цилиндрических, сферических и пластинчатых неоднородных тел, включая присутствие химически разнородных материалов, разделяющих различные среды, с учетом полного комплекта граничных условий.

Аналитическое решение этих задач сведено к формуле с коэффициентом-указателем типа тел. Рассмотрены известные решения по расчету железобетонных тел и коэффициенты из нормативной литературы. Научная новизна данной работы заключается в учете непрерывной неоднородности коэффициента теплопроводности и внутренних источников тепловыделений.

Получены численные решения нестационарных задач теплопроводности. Сравнение численных и аналитических решений тестовых задач доказывает достоверность полученных результатов.

Эти решения, при наличии соответствующих коэффициентов, справедливы и для решения задач химических реакций с выделением тепла, влагопереноса, диффузии, коррозии трещинообразования и других задач, описываемых уравнением теплопроводности. аналитическое и численное решениелинейные и нелинейные одномерные задачиуравнение теплопроводности 1. Бухмиров В.В.

Теоретические основы теплотехники. Основы тепломассообмена. –  Иваново: ГОУ ВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина», 2009. – 102 с. 2. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел: монография. – М.: Изд-во АСВ. 2002. – С. 288. URL: http://elib.pstu.ru/vufind/Record/RUPSTUbooks56965 (дата обращения: 15.01.

2018).
3. Каюпов Т., Сейлханова Д. Решение одномерных задач теплопроводности неоднородных тел // Бетон и железобетон – взгляд в будущее: научные труды III Всероссийской (II Международной) конференции по бетону и железобетону, Москва, 12–16 мая 2014 года. – С. 166–179.
4. Калиткин Н.Н. Численные методы. 2-е изд., исправленное. – СПб.: БХВ-Петербург, 2011. – 592 с.

5. Кузнецов Г.В. Разностные методы решения задач теплопроводности: учебное пособие / Г.В. Кузнецов, М.А. Шеремет. – Томск: Изд-во ТПУ, 2007. – 172 с.
6. Строительные нормы и правила: СНиП 2.03.04-84. Бетонные и железобетонные конструкции, предназначенные для работы в условиях воздействия повышенных и высоких температур. – М., 1984. – 180 с.

Расчет теплопроводности непрерывно неоднородных тел является новым направлением в физике твердых тел. В большинстве случаев подобные задачи решаются для слоистых тел классическими методами [1].

При решении одномерных задач для неоднородных тел в цилиндрических и сферических координатах уравнения методы решения и результаты во многом подобны [2]. При решении задачи теплопроводности неоднородных тел, эту закономерность можно распространить и на условно бесконечные пластины, разделяющих разные среды. В данной работе эти задачи объединены путем применения к их решению единого подхода.

Дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид

(1)

где r – ось направленная перпендикулярно плоскости рассматриваемого тела; η – указатель системы координат: 0 – декартовая; 1 – цилиндрическая; η = 2 – сферическая; r – объемный вес, кг/м3; с – удельная теплоемкость, Дж/(кг °С); в данной работе в отличие от [3] q(r) зависит от интенсивности внутренних источников тепловыделений, от воздействия химических реакций, от внутреннего трения, от радиационного поля, от прохождения электрического тока и др.; λT(r) – коэффициент теплопроводности, Вт/(м °С). Для различных тел λT(r) может возрастать, так и уменьшаться при увеличении температуры. Твердые тела уменьшают коэффициент теплопроводности. Коэффициент теплопроводности газов также зависит и от давления [1].

Во многих случаях ограждающие конструкции бывают конструктивно неоднородными, слоистыми. Например, в жилых застройках часто встречаются пласты: декоративный, ограждающий, теплоизоляционный, облицовочный и т.д. В данной постановке коэффициент теплопроводности имеет непрерывную неоднородность.

Аналитические решения

Пусть , .

Рассматривается стационарная задача теплопроводности, т.е. . Тогда уравнение (1) приобретает вид

(2)

Интегрируя (1) по r, получим

; (3)

, (4)

где С1 и С2 – произвольные постоянные.

Граничные условия 1 рода.

Заданы законы размещения температуры на поверхности тела:

r = a, T = Ta; r = b, T = Tb; (5)

Подставляя в (3), получим

(6)

Коэффициенты С1 и С2 определяются из решений систем уравнений (6):

(7)

Граничные условия 2 рода.

Заданы законы распределения интенсивности теплового потока g на границах:

r = a, ; r = b, ; (8)

Подставляя в (4), получим

; . (9)

Граничные условия 3 рода.

Заданы законы конвективного теплообмена среды с поверхностью тела. Применяются в задачах при обтекании поверхности тела жидкостью или газом [1]:

; (10)

Здесь βа, βb – коэффициенты теплоотдачи внутренних и внешних поверхностей;

– температура окружающей среды вблизи внутренних и внешних поверхностей.

Знак минус ставится, когда направление внешней нормали, рассматриваемой поверхности и оси r не совпадают.

Преобразуем граничные условия (9) в виде

(11)

и подставляем в (11) решение (3) и (4), тогда решение уравнения (1) определяется из решения системы уравнений

(12)

При надобности, для описания различных сложных теплофизических процессов, можно составлять произвольные комбинации сумм граничных условий (5), (8) и (11). Из полученных систем уравнений определяются коэффициенты С1 и С2.

Граничные условия 4 рода.

Применяются в конструкциях, состоящих из различных слоев. В контакте любых двух слоев тел температура и интенсивность тепловых потоков равны:

, (13)

где w1 и w2 – условные обозначения контактируемых двух тел. В данной постановке граничные условия четвертого рода не рассматриваются из-за непрерывной неоднородности рассматриваемого тела.

Полученные решения (12) имеют особые случаи при: m = 1 – η, m = k + 2 и k + η = –1.

Рассмотрим m = 1 – η: η = 0, m = 1, η = 1, m = 0 и η = 2, m = –1.

При η = 0, m = 1 уравнение (2) имеет вид

(14)

Интеграл уравнения (14) для всех случаев m = 1 – η имеет вид:

;

, (15)

где C1 и C2 – произвольные постоянные.

При k + η = –1 имеются следующие альтернативы:

η = 0, k = –1, m = 1, η = 1, k = –2, m = 0, η = 2, k = –3, m = –1.

Для всех случаев k + η = –1 уравнение (14) имеет вид

(16)

Интеграл уравнения (14) имеет вид

;

, (17)

где C1 и C2 – произвольные постоянные.

Рассмотрим m = k + 2. Количество таких вариантов может быть большим. Но частные случаи, когда тело однородное при m = 0, k = –2 и k = 0, m = 2 соответствует случаю (16) и решению (17). При других значениях m и k соответствует случаю (14) и решению (15).

На рис. 1 представлена эпюра распределения температуры в сечений цилиндрического железобетонного радиaционно-теплового экрана АЭС.

Экран устанавливается за корпусом реактора и предназначен для снижения радиационных и тепловых воздействий, генерирующихся при работе атомного реактора, на находящиеся за ним строительные конструкции биологической защиты.

Задача решена при различных вариантах неоднородности железобетона и значений внутренних источников тепла, обусловленных воздействием потока нейтронов при k = 0, q0 = ± 1000 Bт/м3 и следующих исходных данных: a = 1 м, b = 2 м, Ta = –40 °С, Tb = 20 °С, ba = bb = 35 Вт/(м2 °С). Граничные условия 3 рода.

Для решения сформулированной краевой задачи (1) вариационно-разностным методом. Тогда эквивалентный функционал метода Ритца [4] имеет вид

(18)

Cистема алгебраических уравнений решена методом прогонки [5].

В табл. 1 показаны результаты численного и аналитического решений стационарной задачи при граничных условиях 3 рода в неоднородном теле (m = –1) при наличии внутренних источников тепловыделений при k = 0, q0 = 1000 Вт/м3 [2], a = 1 м, b = 2 м, Ta = –40 °С, Tb = 20 °С, βa = βb = 35 Вт/(м2 °С) [4].

Результаты численного расчета при разбиении толщины стенки на 10 интервалов практически совпадают с аналитическим решением (табл. 1).

Для оценки зависимости коэффициента теплопроводности от температуры рассмотрена задача при a = 1 м, b = 2 м, Ta = –40 °С, Tb = 20 °С, βa = βb = 35 Вт м2 °С. Граничные условия 3 рода.

Функция, аппроксимирующая график неоднородности жаростойкого бетона В30 [6] λ(T) = 3 – 0,007 T Вт/(м °С) [3].

Коэффициенты λ0 и m, используемые при аналитических решениях, определяются из граничных условий:

r = a,

r = b,

Откуда

При необходимости аналогично можно получить формулу для определения k:

Решение получено при разбиении толщины стенки на 10 интервалов.

На рис. 2 показаны эпюры стационарного температурного поля в бетонном неоднородном теле для 3 итерации (табл. 2). Например, решения для шара обозначены как «Шар», «Ш-1» и «Ш-2». Решения в последних шагах практически совпадают.

На рис. 3 изображены эпюры нестационарного теплового поля в бетонном неоднородном теле через час, день и месяц (31 дней).

Бетон имеет следующие теплофизические параметры λT(T) = 3 – 0,007 T Вт/(м °С), ρ = 2500 кг/м3, с = 920 Дж/(кг °C) и связаны с внешней средой (βa = 35 Вт/(м2 °С), βb = 35 Вт/(м2 °С), Tb = 20 °С).

В начальный момент времени температура во всем теле равна 20 °С, нестационарный процесс начинается, когда на внутренней части температура среды установлена Ta = –40 °С. Использованы граничные условия третьего рода.

Рис. 1. Распределение температуры в неоднородном теле с внутренним источником тепловыделений q0 = 1000Bт/м3 при различных вариантах неоднородности: m = 0 и m = ± 1

Рис. 2. Решение нелинейной задачи теплопроводности

Рис. 3. Решение нелинейной нестационарной задачи теплопроводности

Таблица 1

Результаты численного и аналитического решений стационарной задачи при граничных условиях 3 рода

R, мПластинаЦилиндрШарПластинаЦилиндрШарПластинаЦилиндрШар
аналитикааналитикааналитикачисленныйчисленныйчисленныйразницаразницаразница
1–22,07–18,11–13,76–22,08–18,15–13,830,01 %0,04 %0,07 %
1,17,4716,7526,57,4216,7226,410,05 %0,03 %0,09 %
1,234,2346,2558,1234,1546,2258,020,08 %0,03 %0,09 %
1,357,2169,8981,5857,1169,8681,470,09 %0,03 %0,10 %
1,475,4587,1997,1975,3587,1797,090,09 %0,02 %0,09 %
1,587,9797,65105,1287,8797,64105,030,09 %0,01 %0,09 %
1,693,8100,81105,4593,71100,8105,380,09 %0,01 %0,07 %
1,791,9596,1598,1991,8896,1598,140,07 %0,00 %0,05 %
1,881,4683,2183,2881,4283,2183,250,04 %0,00 %0,03 %
1,961,3561,4860,6361,3361,4960,630,02 %0,01 %0,00 %
230,6430,4830,1130,6530,530,140,01 %0,02 %0,03 %

Таблица 2

Эпюры температуры для 3 итерации

R, мПластинаЦилиндрШарП-1Ц-1Ш-1П-2Ц-2Ш-2
1–32,61–29,55–26,05–32,21–29,05–25,47–32,21–29,04–25,47
1,1–28,09–23,45–18,32–27,97–23,31–18,17–27,96–23,3–18,16
1,2–23,57–17,89–11,88–23,69–18,01–11,99–23,67–18–11,98
1,3–19,04–12,77–6,42–19,36–13,07–6,69–19,35–13,06–6,68
1,4–14,52–8,04–1,75–14,99–8,45–2,08–14,98–8,44–2,08
1,5–10–3,622,31–10,57–4,11,95–10,56–4,091,95
1,6–5,480,55,86–6,110,015,5–6,10,015,51
1,7–0,964,388,99–1,63,98,67–1,63,98,67
1,83,578,0311,782,957,6111,52,957,6111,51
1,98,0911,4914,277,5611,1414,067,5611,1414,06
212,6114,7716,5112,2114,5216,3712,2114,5216,37

Толщина стенки при a = 1 м, b = 2 м разбита на 10 интервалов. Шаг по времени в каждом рассматриваемом периоде разбит на 100 интервалов: первый час разделен на интервал по 36 сек; оставшиеся 23 часа первого дня по 828 сек; оставшиеся 30 дней месяца по 25920 сек.

Как видно из эпюр температурного поля (рис. 3), в начальный момент времени во всех рассматриваемых телах законы распределения температурного поля по сечению близки и количественно, и качественно. С течением времени решения стремятся к решению стационарных задач (рис. 2).

Исходя из проведенных расчетов, можно сделать заключение о значительном влиянии на температурное поле внутреннего тепла разогрева и неоднородности материала.

В данной работе q(r) является переменной величиной, которая позволит решать задачи химических реакций, радиационного поля, электрического тока и др. Эти решения, при наличии соответствующих коэффициентов, справедливы и для решения задач влагопереноса, диффузии, коррозии и трещинообразования и других задач, описываемых уравнением теплопроводности.

Библиографическая ссылка

Мусабаев Т.Т., Каюпов Т., Сейлханова Д.К. НОВЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА НЕЛИНЕЙНЫХ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ХИМИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2018. – № 2. – С. 70-75;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=12110 (дата обращения: 02.03.2020).

Источник: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=12110

Разностные методы решения задач теплопроводности — pdf скачать бесплатно

Разностные методы решения задач теплопроводности. Кузнецов Г.В

ПАССИВНЫЙ ПРИВОД САОР. ТЕХНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И РАСЧЕТНОЕ ОБОСНОВАНИЕ А.А. Мамаев, О.А. Ярмоленко (ФГУП НИКИЭТ, Москва, Россия) 1. Введение В 2014 году ФГУП НИКИЭТ завершил разработку документации

Подробнее

Математическое моделирование объектов теплоэнергетики Лекция 3 Обыкновенные дифференциальные уравнения Численное решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей Рассмотрим

Подробнее

. Метод Эйлера Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения ( ) f (6.) может быть приближенно решена численными методами. Для нахождения частного решения уравнения (6.) на отрезке [ a

Подробнее

МОДУЛЬ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Специальность 300 «Техническая физика» Лекция 4 Теплопроводность цилиндрической стенки без внутренних источников тепла Температурное поле с цилиндрической стенке при граничных условиях

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Дисциплина: Математическое моделирование и алгоритмизация

Подробнее

Численное решение смешанной краевой задачи явным методом сеток Методическая разработка по курсу Численные методы. Постановка задачи Г.К. Измайлов Решить методом сеток смешанную краевую задачу для дифференциального

Подробнее

МОДУЛЬ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Специальность 300 «Техническая физика» Лекция Теплопроводность плоской стенки без внутренних источников тепла Температурное поле в плоской стенке при граничных условиях первого

Подробнее

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В НЕСТАЦИОНАРНОМ ПРОЦЕССЕ Расчет температурного поля и тепловых потоков в процессе теплопроводности рассмотрим на примере нагрева или охлаждения твердых тел, поскольку в твердых телах

Подробнее

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ (Лекция ) 44 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ (МЕТОД ФУРЬЕ) Классическим методом решения уравнения (40) является метод разделения переменных (метод Фурье) Идея метода

Подробнее

Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Математическое моделирование Численное решение уравнения теплопроводности Безгодов Петр Александрович

Подробнее

Глава 9. Численные методы. Лекция 4. Разностный метод Эйлера решения задачи Коши для дифференциальных уравнений.. Дифференциальная и разностная задачи Эйлера. Определение. Дифференциальной задачей Эйлера

Подробнее

РЕФЕРАТ Выпускная квалификационная работа по теме «Численная идентификация правой части параболического уравнения» содержит 45 страниц текста 4 приложения 6 использованных источников 4 таблицы ОБРАТНАЯ

Подробнее

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ 4.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Ранее были рассмотрены стационарные режимы теплообмена, т. е. такие, в которых температурное поле по времени не изменяется и в дифференциальном

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» УТВЕРЖДАЮ Декан ТЭФ Кузнецов Г.В. 2008 г. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Явная (схема «крест») и неявная разностные схемы. Рассмотрим несколько вариантов разностной аппроксимации линейного уравнения колебаний:

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Бережной Д.В. Тазюков Б.Ф. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие

Подробнее

УДК 536:5393 Берлов АВ ст препод ДНУ Веселовский ВВ аспирант ДНУ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ СОСТАВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ Приведены решения нелинейных задач нестационарной теплопроводности

Подробнее

Моделирование процесса образования парового сегмента в процессе кипения А.Е. Нурпейис. Национальный исследовательский Томский Политехнический Университет ЭНИН, ТПТ, 6М502 E-mail: Nurpeiis_Atlant@mail.ru

Подробнее

Федеральный портал «Инженерное образование» Инженерное образование Ассоциация технических университетов #3 март 2007 # Гос. регистрации 0420700025 ISSN 1994-0408 Ред. совет Специальности Рецензентам Авторам

Подробнее

Специальность 300 «Техническая физика» Лекция 3. Теплопроводность плоской стенки при наличии внутренних источников тепла Плотность объемного тепловыделения В рассматриваемых ранее задачах внутренние источники

Подробнее

2. Разностные схемы 1 2. Разностные схемы В качестве численных алгоритмов решения уравнений в частных производных наиболее часто используют метод сеток (разностные схемы). Его математический смысл чрезвычайно

Подробнее

Тема 1.. Теплопередача и её виды. 1. Физическая сущность теплопередачи.. Теплопроводность. 3. Конвективная теплопередача. 4. Тепловое излучение. 1. Физическая сущность теплопередачи. Согласно молекулярной

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. 1 Разностная аппроксимация уравнения теплопроводности Рассмотрим различные варианты разностной

Подробнее

Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Понятие явной и неявной схемы. 1 Разностная аппроксимация уравнения теплопроводности Рассмотрим различные варианты разностной

Подробнее

УДК 536.2.01.001.57 + 621.1.002.5 К ВОПРОСУ МИНИМИЗАЦИИ ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ТЕПЛОПЕРЕНОСА ПО МЕТОДУ БАЛАНСОВ ЭНЕРГИИ В.И. Горбенко, А.И. Грибанов, М.А. Юртаев Рассматриваются способы

Подробнее

Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Математическое моделирование Краевые условия в уравнении нестационарной теплопроводности Губский Арсений

Подробнее

УДК 519.624.1 Способы учета граничных условий I рода при решении задач методом конечных элементов Введение Корчагова В.Н., студент Россия, 105005, г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана кафедра «Прикладная математика»

Подробнее

Теплопроводность. Теория Теплопроводность это процесс распространения теплоты между соприкасающимися телами или частями одного тела с различной температурой. Для осуществления теплопроводности необходимы

Подробнее

4 мая 2017 г. Теплопроводность это процесс распространения теплоты между соприкасающимися телами или частями одного тела с различной температурой. Для осуществления теплопроводности необходимы два условия:

Подробнее

Численное решение задач с уравнениями параболического типа. Постановка задачи в общем виде.. Разностные схемы для одномерного линейного параболического уравнения. 3. Схема для уравнения теплопроводности

Подробнее

Тема 4. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ п.. Классификация методов решения УТ Решение УТ аналитическое численное п.. Классификация методов решения УТ п.7. Метод конечных разностей п..

Подробнее

Математическое моделирование объектов теплоэнергетики Лекция 4 Дифференциальные уравнения в частных производных Введение Уравнения в частных производных в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ (6 ЧАСОВ) Тема 7. Расчет теплопроводности теплоизоляционных материалов (2 часа) Единицы измерения, используемые в курсе: 1 кг, 1 с, 1 Вт, 1 Дж, 1 o С, 1

Подробнее

УДК 669.074 ПРИВЕДЕНИЕ МНОГОСЛОЙНЫХ ОГРАЖДАЮЩИХ КОНСТРУКЦИЙ К ОДНОСЛОЙНЫМ ПРИ ТЕПЛОВЫХ РАСЧЕТАХ Ю.С. Васильев, Д.В. Крестьянкин, А.Н. Нагорная, В.И.Панферов Рассмотрен вопрос приведения многослойных ограждений

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

Тема 3. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ КЛАССИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ п.. Стационарное температурное поле в плоской стенке Рассматриваем случай когда Внутренних источников теплоты нет Коэфф.

Подробнее

УДК 536. Метод расчета времени установления квазиоднородности дисперсных материалов К.Н. Лещинский В работе предлагается численная схема расчета теплообмена дисперсного материала на основе решения нестационарной

Подробнее

Лекция 1. Введение. Стационарная теплопроводность. Основные понятия теплообмена Основные понятия Тепломассообмен (ТМО) наука о самопроизвольных необратимых процессах распространения теплоты и массы в пространстве

Подробнее

А.П. Солодов Электронный курс 7 Теплопроводность твэла δ He α f U δ Z Рис. 7.. Схематическое изображение твэла Стержень тепловыделяющего элемента ядерного реактора (твэла) собирается из таблеток оксида

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕПЛООБМЕНА План лекции:. Теория теплообмена (основные понятия). Температурное поле. Температурный градиент 3. Дифференциальное уравнение теплообмена 4. Передача тепла через плоскую стенку

Подробнее

УДК 59.8(004) А. Л. Королев КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Рассматриваются вопросы компьютерного численного моделирования процессов с распределенными параметрами. Работа

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования Тихоокеанский Государственный университет Тепловая напряженность деталей ДВС Методические

Подробнее

5. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В настоящем разделе рассматривается метод конечных разностей который является одним из наиболее распространенных численных методов

Подробнее

Разностные схемы для уравнения колебаний в многомерном случае Для многомерных уравнений колебаний можно составить аналог схемы «крест» и неявной схемы. При этом явная схема «крест» так же, как и в одномерном

Подробнее

Уфа : УГАТУ, 3 Т. 7, (54. С. 68 7 В. Ш. Шагапов, Ю. А. Юмагулова УДК 53.58 ДИНАМИКА РОСТА ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ЗАМКНУТОМ ОБЪЕМЕ ПРИ ЕЕ НАГРЕВАНИИ Предложена и исследована модель повышения давления воды

Подробнее

57 Лекция 6 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ План. Численные методы интегрирования уравнений состояния 2. Устойчивость методов численного интегрирования 3. Многошаговые методы

Подробнее

Вопрос 2(5340) Лабораторная работа 3 Вектор градиента температуры направлен по нормали к поверхности тела в сторону уменьшения температуры. Верно ли это утверждение? (да/нет) *нет* Вопрос 3(5341) Единица

Подробнее

Казанский государственный университет Р.Ф. Марданов ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Учебно-методическое пособие Издательство Казанского государственного университета 2007 УДК 517.9

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 9 ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА БЕЗ ИЗМЕНЕНИЯ И ПРИ ИЗМЕНЕНИИ АГРЕГАТНОГО СОСТОЯНИЯ. ЗАКОН ФУРЬЕ Перенос энергии в форме теплоты. Понятие о теплоотдаче и теплопередаче

Подробнее

УДК 6799 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ АВ Геренштейн ЕА Геренштейн Основной целью работы является совершенствование метода расчета температурных полей в детали

Подробнее

УДК 536.2:517.9 АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Канд. техн. наук БОНДАРЕВ В. А. Белорусский национальный технический университет Представленные в настоящей статье решения нестационарных

Подробнее

ГЛАВА: Метод конечных разностей. Лекция 5: Устойчивость разностных схем (10 слайдов, 6 рисунков) Слайд 1: Классификация РС по типам устойчивости. По типам устойчивости выделяют следующие РС: абсолютно

Подробнее

Лекция 4 8 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается проблема решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка связывающих

Подробнее

УДК 54.4 В. С. З а р у б и н, Г. Н. К у в ы р к и н, И. Ю. С а в е л ь е в а ЭФФЕКТИВНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КОМПОЗИТА ПРИ НЕИДЕАЛЬНОМ КОНТАКТЕ ШАРОВЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ И МАТРИЦЫ Построена математическая

Подробнее

5. Метод Эйлера: явные разностные схемы 5. Метод Эйлера: явные разностные схемы Вернемся к модели взаимодействия световых пучков (см. 2) и рассмотрим наиболее универсальный метод решения краевых задач

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

НЕЯВНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СОПРЯЖЁННЫХ ЗАДАЧ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ НА ПЛАСТИНЕ План занятия: 1 Цель работы Дифференциальные уравнения теплового пограничного слоя 3 Описание решаемой задачи 4 Метод решения

Подробнее

УДК 6780153083 Дифференциально-разностный метод исследования процессов диффузии материалов Мартышенко ВА (Военная академия радиационной, химической и бактериологической защиты и инженерных войск) Процессы

Подробнее

Лабораторная работа 3. Определение теплопроводности материалов Цель работы: изучение методов исследования теплопроводности и определение теплофизических характеристик твердых веществ. Задачи работы: 1.

Подробнее

Введение в курс лекций Под процессом распространения теплоты понимается обмен внутренней энергией между отдельными элементами, областями рассматриваемой среды. Перенос теплоты осуществляется тремя основными

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

УДК 5-7 : 6697 В Н Ткаченко д-р техн наук А А Иванова инженер Ин-т прикладной математики и механики НАН Уаины Уаина 83 Донецк ул Р Люксембург 7 тел 6336 E-ail: ivaova@iaadoetskua Моделирование и анализ

Подробнее

Варианты заданий 0. Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений 0.1. Постановка задачи Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения Lu

Подробнее

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в виде дифференциальных уравнений ДУ или системы дифференциальных

Подробнее

ЯВНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВЕНЕНИЙ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ НА ПЛАСТИНЕ Лабораторная работа 1, План занятия: 1. Цель работы. Методы решения уравнений пограничного слоя (методический материал) 3. Дифференциальные

Подробнее

Введение Пособие посвящено изложению численных методов решения двухточечных задач, которые встречаются во всех областях науки и техники. Для таких задач граничные условия задаются в двух точках, а дифференциальные

Подробнее

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Курсовая работа по дисциплине: «дифференциальные уравнения» ВАРИАНТ 5 Выполнил: студент -го курса, гр. АК3-3 Ягубов Роман Борисович

Подробнее

8. Критерии алгоритмов решения ОДУ 1 8. Критерии алгоритмов решения ОДУ Теперь, когда мы уже чуть больше знаем об алгоритмах решения задач Коши для ОДУ, продолжим разговор об их классификации. Остановимся

Подробнее

Экономичные разностные схемы для многомерных задач математической физики. Схема переменных направлений для начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в прямоугольнике. Как уже было показано

Подробнее

НЕЯВНАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА КВАДРАТНОЙ АДАПТИВНОЙ СЕТКЕ Н.Г. КАРЛЫХАНОВ, А.В. УРАКОВА Российский федеральный ядерный центр Всероссийский НИИ технической физики им. акад.

Подробнее

«МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ ТЕПЛОТЕХНИКА». Выпуск (7), 00 УДК 536.4 Горбунов А.Д. д.т.н., проф., Днепродзержинский государственный технический Университет (ДГТУ) АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЁТ НАГРЕВА (ОХЛАЖДЕНИЯ) ПРОСТЫХ

Подробнее

ТЕПЛОФИЗИКА План лекции:. Теория теплообмена (основные понятия) 2. Температурное поле. Температурный градиент. 3. Дифференциальное уравнение теплообмена 4. Передача тепла через плоскую стенку в стационарных

Подробнее

УДК 541.124 В. С. З а р у б и н, Г. Н. К у в ы р к и н, И. Ю. С а в е л ь е в а ЭФФЕКТИВНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КОМПОЗИТА ПРИ НЕПРЕРЫВНОМ ИЗМЕНЕНИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОГО СЛОЯ МЕЖДУ ШАРОВЫМИ

Подробнее

Современные проблемы науки и техники 55 Подводя итог, отметим, что использование предложенных методов эффективнее применения метода штрафных функций, в том числе с самоадаптацией. Использование разделения

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

УДК 53503 ЗАДАЧА О ПОГРУЖЕНИИ КЛИНА В ИДЕАЛЬНУЮ НЕСЖИМАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ Паршевников ИЕ Научный руководитель профессор, д ф-м н Афанасьев КЕ Кемеровский государственный университет Впервые задача о погружении

Подробнее

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ (Лекция 3) 4.6. РЕГУЛЯРНЫЕ ТЕПЛОВЫЕ РЕЖИМЫ Для того чтобы ввести понятие регулярного теплового режима, рассмотрим процесс охлаждения (нагрева) в среде с постоянной

Подробнее

dx dt ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 1, 2002 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 http://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.stu.neva.ru Прикладные задачи ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД

Подробнее

Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Задача о нагреве стержня, вывод уравнения теплопроводности. Краевые условия. Метод Фурье решения уравнения теплопроводности для бесконечного стержня.

Подробнее

Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» М.А. Шеремет Лекции по курсу Математическое моделирование

Подробнее

МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ И АППРОКСИМАЦИИ Интерполяция Интерполяция способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений Пусть в ходе эксперимента при изменении

Подробнее

4 Сеточные методы. 4.1 Основные понятия. Для решения многих численных задач требуется введение дискретных функций, определенных в точках. Пространством, в котором определены данные функции, будет являться

Подробнее

Понятие разностной схемы. Аппроксимация. Устойчивость. Сходимость. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений

Подробнее

ТЕПЛОПЕРЕДАЧА Список литературы. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике. Под общ. ред. академика В.С.Авдуевского и проф. В.К.Кошкина. Москва Машиностроение 99.. Михеев М.А. Михеева

Подробнее

Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

МЕТОД СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК В ПРОБЛЕМЕ МИНИМИЗАЦИИ ЗАГРЯЗНЕНИЙ АТМОСФЕРЫ ЧАСТИЦАМИ ВРЕДНЫХ ПРИМЕСЕЙ Проф Др Рамиз РАФАТОВ Кыргызско Турецкий Унивеситет Манас Институт Естественных Наук В предположении что

Подробнее

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ» 4 курс, осенний семестр Лабораторная работа 1 Заданы пять функций, описываемых следующей формулой x Acos m x f, и отличающихся

Подробнее

5. Примеры 1 5. Примеры Приведем теперь несколько примеров решения разных дифференциальных уравнений при помощи разностных схем. Начнем с нескольких вариантов нелинейного уравнения диффузии тепла, для

Подробнее

Модификация метода Годунова решения краевых задач теории оболочек 77-48/597785 # 7, июль Беляев А. В., Виноградов Ю. И. УДК 59.7 Введение Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана belaev@bmstu.ru vno.yur@rambler.ru

Подробнее

Теплофизика и аэромеханика 23 том 2 4 УДК 532.58 Повышение давления жидкости в замкнутом объеме при тепловом воздействии через стенки В.Ш. Шагапов Ю.А. Юмагулова 2 Институт механики Уфимского научного

Подробнее

ТЕПЛОПЕРЕДАЧА ЧЕРЕЗ НЕПРОНИЦАЕМЫЕ СТЕНКИ Понятие процесса теплопередачи Термин теплопередача в теории теплообмена используют в широком и узком смысле этого слова. Во-первых, под теплопередачей понимают

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2009. Т. 50, N- 1 95 УДК 532.516.5 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА В УГЛЕВОДОРОДНОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ ИНДУКЦИОННОМ НАГРЕВЕ Л. А. Ковалева, В. Н. Киреев,

Подробнее

УДК 59.63:683.53.9 ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НАПОЛНЕНЫХ ПОЛИМЕРОВ А. В. Никитин, А. Ю. Бачурина Гродненский государственный университет им. Я. Купалы, г. Гродно, Беларусь Предложен

Подробнее

3. Метод конечных разностей Рассмотрим задачу:. Основные понятия L u( x) f ( x), x D, l u( x) ( x), x, () () где L — линейный дифференциальный оператор, l оператор дополнительных (начальных, граничных)

Подробнее

ИЗВЕСТИЯ ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С М КИРОВА Том 89 1957 ПРОГРЕВ ТЕЛ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЛУЧИСТОГО ТЕПЛА (Сообщение первое) ГП БОЙКОВ В работе рассматривается

Подробнее

Методы решения сеточных уравнений 1 Прямые и итерационные методы В результате разностной аппроксимации краевых задач математической физики получаются СЛАУ, матрицы которых обладают следующими свойствами:

Подробнее

Теорема Гаусса Применение теоремы Гаусса к расчету полей Основные формулы Электростатическое поле можно задать, указав для каждой точки величину и направление вектора Совокупность этих векторов образует

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный энергетический университет

Подробнее

Источник: https://docplayer.ru/28167707-Raznostnye-metody-resheniya-zadach-teploprovodnosti.html

Biz-books
Добавить комментарий