Распределены заряды с поверхностными плотностями…

Распределение заряда по поверхности проводника

Распределены заряды с поверхностными плотностями...

В случае равновесного распределения заряды проводника распределяются в тонком поверхностном слое. Так, например, если проводнику сообщить отрицательный заряд, то из-за наличия сил отталкивания элементов этого заряда они рассредоточатся по всей поверхности проводника.

Исследование при помощи пробной пластинки

Для того чтобы на опыте исследовать, как распределяются заряды на внешней поверхности проводника используют так называемую пробную пластинку.

Эта пластинка настолько мала, что при соприкосновении с проводником ее можно рассматривать как часть поверхности проводника.

Если эту пластинку приложить к заряженному проводнику, то часть заряда ($\triangle q$) перейдет на нее и величина этого заряда будет равна заряду, который находился на поверхности проводника по площади равной площади пластинки ($\triangle S$).

Тогда величина равная:

\[\sigma=\frac{\triangle q}{\triangle S}(1)\]

называется поверхностной плотностью распределения заряда в данной точке.

Разряжая пробную пластинку через электрометр можно судить о величине поверхностной плотности заряда.

Так, например, если зарядить проводящий шар, то можно увидеть, с помощью вышеприведенного метода, что в состоянии равновесия поверхностная плотность заряда на шаре одна и та же во всех его точках.

То есть заряд по поверхности шара распределяется равномерно. Для проводников более сложной формы распределение заряда сложнее.

Поверхностная плотность проводника

Поверхность любого проводника является эквипотенциальной, но в общем случае плотность распределения заряда может очень сильно отличаться в разных точках.

Поверхностная плотность распределения заряда зависит от кривизны поверхности.

В разделе, который был посвящен описанию состояния проводников в электростатическом поле, мы установили, что напряженность поля около поверхности проводника перпендикулярна поверхности проводника в любой его точке и равна по модулю:

\[E=\frac{\sigma}{\varepsilon {\varepsilon }_0}\ \left(2\right),\]

где ${\varepsilon }_0$ — электрическая постоянная, $\varepsilon $ — диэлектрическая проницаемость среды. Следовательно,

\[\sigma=E\varepsilon {\varepsilon }_0\ \left(3\right).\]

Чем больше кривизна поверхности тем, тем больше напряженность поля. Следовательно, на выступах плотность заряда особенно велика. Вблизи углублений в проводнике эквипотенциальные поверхности расположены реже. Следовательно, напряженность поля и плотность зарядов в этих местах меньше.

Плотность зарядов при заданном потенциале проводника определяется кривизной поверхности. Она растет с увеличением выпуклости и убывает с увеличением вогнутости. Особенно большая плотность заряда на остриях проводников.

Так, напряженность поля на острие может быть настолько велика, что может возникать ионизация молекул газа, который окружает проводник. Ионы газа противоположного знака заряда (относительно заряда проводника) притягиваются к проводнику, нейтрализуют его заряд.

Ионы того же знака отталкиваются от проводника, «тянут» за собой нейтральные молекулы газа. Такое явление называют электрическим ветром. Заряд проводника уменьшается в результате процесса нейтрализации, он как бы стекает с острия. Такое явление называют истечением заряда с острия.

Мы уже говорили, что когда мы вносим проводник в электрическое поле, происходит разделение положительных зарядов (ядер) и отрицательных (электронов). Такое явление носит название электростатической индукции. Заряды, которые появляются в результате, называют индуцированными. Индуцированные заряды создают дополнительное электрическое поле.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Поле индуцированных зарядов направлено в сторону противоположную направлению внешнего поля. Поэтому заряды, которые накапливаются на проводнике, ослабляют внешнее поле.

Перераспределение зарядов идет, пока не выполнены условия равновесия зарядов для проводников. Такие как: равенство нулю напряженности поля везде внутри проводника и перпендикулярность вектора напряженности заряженной поверхности проводника.

Если в проводнике есть полость, то при равновесном распределении индуцированного заряда поле внутри полости равно нулю. На этом явлении основана электростатическая защита. Если какой-либо прибор хотят защитить от воздействия внешних полей, его окружают проводящим экраном.

В таком случае внешнее поле компенсируется внутри экрана возникающими на его поверхности индуцированными зарядами. Такой может быть не обязательно сплошным, но и в виде густой сетки.

Пример 1

Задание: Бесконечно длинная нить, заряженная с линейной плотностью $\tau $, расположена перпендикулярно бесконечно большой проводящей плоскости. Расстояние от нити до плоскости $l$.

Если продолжить нить до пересечения с плоскостью, то в месте пересечения получим некоторую точку А.

Составьте формулу зависимости поверхностной плотности $\sigma \left(r\right)\ $индуцированных зарядов на плоскости от расстояния до точки А.

Рис. 1

Решение:

Рассмотрим некоторую точку В на плоскости. Бесконечно длинная заряженная нить в точке В создает электростатическое поле, в поле находится проводящая плоскость, на плоскости образуются индуцированные заряды, которые в свою очередь создают поле, которое ослабляет внешнее поле нити.

Нормальная составляющая поля плоскости (индуцированных зарядов) в точке В будет равна нормальной составляющей поля нити в этой же точке, если система находится в равновесии.

Выделим на нити элементарный заряд ($dq=\tau dx,\ где\ dx-элементарный\ кусочек\ нити\ $), найдем в точке В напряжённость, создаваемую этим зарядом ($dE$):

\[dE=\frac{\tau dx}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon a2}\left(1.1\right).\]

Найдем нормальную составляющую элемента напряженности поля нити в точке В:

\[dE_n=dEcos\alpha =\frac{\tau dxcos\alpha }{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon a2}\left(1.2\right),\]

где $cos\alpha $ выразим как:

\[cos\alpha =\frac{x}{a}\left(1.3\right).\]

Выразим расстояние $a$ по теореме Пифагора как:

\[a=\sqrt{r2+x2}\ \left(1.4\right).\]

Подставим (1.3) и (1.4) в (1.2), получим:

\[dE_n=\frac{\tau dx}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon a2}\frac{x}{a}=\frac{\tau xdx}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon {\left(r2+x2\right)}{{3}/{2}}}\left(1.5\right).\]

Найдем интеграл от (1.5) где пределы интегрирования от $l\ (расстояние\ до\ ближайшего\ конца\ нити\ от\ плоскости)\ до\ \infty $:

\[E_n=\int\limits{\infty }_l{\frac{\tau xdx}{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon {\left(r2+x2\right)}{{3}/{2}}}}=\frac{\tau }{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\int\limits{\infty }_l{\frac{xdx}{{\left(r2+x2\right)}{{3}/{2}}}}=\frac{\tau }{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\cdot \frac{1}{{\left(r2+x2\right)}{{1}/{2}}}\left(1.6\right).\]

С другой стороны, мы знаем, что поле равномерно заряженной плоскости равно:

\[E=\frac{\sigma}{2\varepsilon {\varepsilon }_0}\ \left(1.7\right).\]

Приравняем (1.6) и (1.7), выразим поверхностную плотность заряда:

\[\frac{1}{2}\cdot \frac{\sigma}{\varepsilon {\varepsilon }_0}=\frac{\tau }{4\pi {\varepsilon }_0\varepsilon }\cdot \frac{1}{{\left(r2+x2\right)}{{1}/{2}}}\to \sigma=\frac{\tau }{2\cdot \pi {\left(r2+x2\right)}{{1}/{2}}}.\]

Ответ: $\sigma=\frac{\tau }{2\cdot \pi {\left(r2+x2\right)}{{1}/{2}}}.$

Пример 2

Задание: Рассчитайте поверхностную плотность заряда, который создается около поверхности Земли, если напряженность поля Земли равна 200$\ \frac{В}{м}$.

Решение:

Будем считать, что диэлектрическая проводимость воздуха $\varepsilon =1$ как у вакуума. За основу решения задачи примем формулу для расчёта напряженности заряженного проводника:

\[E=\frac{\sigma}{\varepsilon {\varepsilon }_0}\left(2.1\right).\]

Выразим поверхностную плотность заряда, получим:

\[\sigma=E{\varepsilon }_0\varepsilon \ \left(2.2\right),\]

где электрическая постоянная нам известна и равна в СИ ${\varepsilon }_0=8,85\cdot {10}{-12}\frac{Ф}{м}.$

Проведем вычисления:

\[\sigma=200\cdot 8,85\cdot {10}{-12}=1,77\cdot {10}{-9}\frac{Кл}{м2}.\]

Ответ: Поверхностная плотность распределения заряда поверхности Земли равна $1,77\cdot {10}{-9}\frac{Кл}{м2}$.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/elektrostatika/raspredelenie_zaryada_po_poverhnosti_provodnika/

Электричество (стр. 2 )

Распределены заряды с поверхностными плотностями...

1)  ; ; ; .

2)  В I области ;

Во II области ;

В Ш области

Пример № 3. На двух концентрических сферах радиусом R и 2R равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями
σ = — 4 σ, σ = σ (σ = 50 HКл/). Требуется:

1)  Используя теорему Остроградского – Гаусса, найти зависимость Е(r) от напряженности электрического поля от расстояния для трех областей: I, II и III;

2)  Вычислить напряженность Е в точке, удаленной от центра на расстояние r = 1,5 R;

3)  Построить график Е (r).

Дано:

Решение:

1. В области I проводим гауссову поверхность S радиусом r. Из теоремы Остроградского – Гаусса:

т. к. заряд внутри S равен нулю.

Таким образом, для всех точек, удовлетворяющих условию:

2. В области II гауссова поверхность S имеет радиус r:

,

— заряд первой сферы:

Так как , то можно вынести за знак интеграла:

и

3. Гауссова поверхность в области III имеет радиус .

,

Где и , тогда

и

Таким образом:,

,

,

II. Напряженность в точке, удаленной на :

III. Построим график E(r).

Пример № 4. Две бесконечные пластины расположены под прямым углом и несут равномерно распределенные по площади заряды с поверхностной плотностью и . Определить напряженность электрического поля и начертить картину силовых линий.

Дано:

E — ?

Решение:

Каждая из пластин создает однородное электростатическое поле, напряженность которого:

и ,

напряженность результирующего поля найдем в соответствии с принципом суперпозиции:

Пример № 5. Полый стеклянный шар несет равномерно распределенный по объему заряд с объемной плотностью заряда . Внутренний радиус шара наружный . Вычислить напряженность электрического поля в точках, отстоящих от центра сферы на ; ; Построить график E(r).

Дано:

Решение:

1.) В области I теорема Гаусса для поверхности :

т. к. зарядов внутри нет, тогда

для , и

2.) В области 2:

так как (поле центральное), то

Заряд заключен в шаровом слое, ограниченном сферами радиусами и r:

,

тогда:

3.) В области 3: ()

И заряд весь заряд шара.

, тогда

Пример № 6. Внутренний цилиндрический проводник длинного прямолинейного коаксиального провода радиусом заряжен с линейной плотностью . Внешний цилиндрический проводник этого провода радиусом .

Заряжен с линейной плотностью . Пространство между проводниками заполнено резинкой (). Определить напряженность электростатического поля в точках, лежащих от оси провода на расстояниях: 1. r1 = 1 мм; 2.

r2 = 2 мм; 3. r3 = 5 мм.

Дано:

Решение:

1.  В области I теорема Гаусса для поверхности :

, так как внутри зарядов нет. Поэтому и .

2.  . В области II для поверхности :

;

Проекция вектора напряженности на нормаль к боковой поверхности: и .

Тогда .

Внутри поверхности заряд , тогда

; .

3.  . В области III для поверхности :

,

и . Тогда:

;

;

.

Задачи для самостоятельного решения:

1.  Вывести с помощью теоремы Гаусса формулу для расчета Е бесконечной заряженной плоскости.

2.  Вывести формулу для Е бесконечной заряженной нити.

3.  Вычислить напряженность равномерно заряженного шара при и . Нарисовать график.

4.  Вычислить Е для поверхности заряженной сферы, при и . Нарисовать график.

5.  Нарисовать график для 5-ти или 3-х параллельных плоскостей с поверхностной плотностью заряда . Расстояние между плоскостями d.

6.  Шар, имеющий массу m и заряд q, подвешен ан нити вблизи плоскости с известным значением . Какой угол с вертикалью образует нить подвеса?

7.  В плоском горизонтально расположенном конденсаторе заряженная капелька ртути находится в равновесии при E = 600 B/см. Заряд капли 10-7 Кл Найти радиус капли, если ρ = 13,6·103 кг/м3.

8.  Электрон, имеющий горизонтальную скорость влетает в электрическое поле горизонтальной пластины с известным значением . Длина пластины Насколько отклонится электрон от вертикали?

9.  Найти напряженность на оси, перпендикулярную к плоскости заряженного круга. Радиус круга R, заряд q, расстояние от круга до точки h.

Дополнительные вопросы:

1.  Сформулировать теорему Гаусса.

2.  Что такое поток вектора ?

3.  В каких случаях удобно использовать теорему Гаусса?

4.  Учитываются ли в теореме Гаусса заряды, находящиеся за пределами поверхности интегрирования? Почему?

5.  Что такое линии напряженности (силовые линии)?

Практическое занятие № 3.

Тема: Потенциал. Работа перемещения заряда в электрическом поле.

Цель занятия: Ознакомить студентов с методикой расчета перемещения заряда.

Время, отведенное на проведение занятия: 2 часа.

Порядок проведения занятия:

1.  Повторить теоретический материал;

2.  Решить типовые задачи;

3.  Самостоятельное решение задач.

Основные теоретические положения:

1.  Определение потенциала:

2.  Энергия взаимодействия точечных зарядов:

3.  Потенциал точечного заряда:

4.  Связь напряженности и потенциала: ,

5.  Принцип суперпозиции:

6.  Работа перемещения зарядов:

Решение типовых задач.

Пример № 1.Вычислить для заряженного кольца радиусом на оси кольца. Высота .

Пример № 2. Вычислить для объемно заряженного шара, считая известным выражение:

Пример № 3. Вычислить для равномерно заряженного круга на оси круга на расстоянии .

Пример № 4. Электрическое поле создано тонким стержнем, несущим равномерно распределенный по длине заряд Определить потенциал поля в точке, удаленной от концов стержня на расстояние, равное длине стержня.

Т. к. заряд стержня не является точечным, а распределен по его длине, то разбиваем стержень на элементарные отрезки , которые имеют заряд . Заряд можно считать точечным и его потенциал:

.

Т. к. , то .

Пример № 5. Электрон со скоростью влетел в однородное электрическое поле в направлении, противоположном напряженности поля. Какую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы обладать энергией ?

Электрон должен пройти такую разность потенциалов , чтобы ,

где — приобретенная в поле энергия.

Т. к. и

.

.

Пример № 6. С поверхности бесконечно равномерно заряженного () прямого цилиндра вылетает частица (). Определить кинетическую энергию частицы (кэВ) в точке 2 на расстоянии от поверхности цилиндра.

Используем закон сохранения энергии:

Учитываем, что

;

где

Найти :

Т. к. цилиндр бесконечный, то:

,

Тогда:

Пример № 7. Найти работу перемещения заряда из точки 1 в точку 2, находящиеся между двумя разноименно заряженными с поверхностной плотностью бесконечными параллельными плоскостями.

.

Пример № 8. Две параллельные заряженные плоскости, поверхностные плотности заряда которых и , находятся на расстоянии друг от друга. Определить разность потенциалов между плоскостями.

Дано:

Решение:

Согласно принципу суперпозиции:

Между плоскостями и сонаправлены, поэтому:

Т. к. поле между пластинами является однородным, то:

Пример № 9. Электрон с энергией (в бесконечности) движется вдоль силовой линии по направлению к поверхности металлической заряженной сферы радиусом . Определить минимальное расстояние , на которое приблизится электрон к поверхности сферы, если заряд ее .

Дано:

Решение:

Изменение кинетической энергии электрона равно работе сил электрического поля:

Т. к. , то

Пример № 10. Электрическое поле создано зарядами и , находящимися на расстоянии друг от

Дано:

Решение:

Работа сил поля по перемещению заряда из точки 1 в точку 2:

,

Работа сил поля по перемещению заряда из точки 1 в точку 2:

,

зарядов и в точке 1:

— потенциал зарядов и в точке 2:

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3

Источник: https://pandia.ru/text/78/588/95361-2.php

Biz-books
Добавить комментарий