Расчет переходных процессов в длинных линиях. Солнышкин Н.И.

Сведение расчета переходных процессов в цепях с распределенными параметрами к нулевым начальным условиям (Лекция №43)

Расчет переходных процессов в длинных линиях. Солнышкин Н.И.

С учетом граничных условий расчет переходных процессов в цепях с распределенными параметрами можно проводить как при нулевых, так и ненулевых начальных условиях.

Однако в первом случае анализ осуществляется в целом проще, что определяет целесообразность сведения расчета к нулевым начальным условиям. Пример такого сведения на основе принципа наложения для задачи на подключение в конце линии нагрузки схематично иллюстрирует рис.

1, где в последней схеме сопротивление имитирует входное сопротивление активного двухполюсника.

Таким образом, если к линии, в общем случае заряженной, подключается некоторый в общем случае активный двухполюсник, то для нахождения возникающих волн необходимо определить напряжение на разомкнутых контактах ключа (рубильника), после чего рассчитать токи и напряжения в схеме с сосредоточенными параметрами, включаемой на это напряжение при нулевых начальных условиях. Полученные напряжения и токи накладываются на соответствующие величины предыдущего режима.

При отключении нагрузки или участков линии для расчета возникающих волн напряжения и тока также можно пользоваться методом сведения задачи к нулевым начальным условиям.

В этом случае, зная ток в ветви с размыкаемым ключом (рубильником), необходимо рассчитать токи и напряжения в линии при подключении источника тока противоположного направления непосредственно к концам отключаемой ветви.

Затем полученные токи и напряжения также накладываются на предыдущий режим.

В качестве примера такого расчета рассмотрим длинную линию без потерь на рис. 2, находящуюся под напряжением , к которой подключается дополнительный приемник с сопротивлением .

В соответствии со сформулированным выше правилом схема для расчета возникающих при коммутации волн будет иметь вид на рис. 3. Здесь

;

и в соответствии с законом Ома для волн

.

Соответствующие полученным выражениям эпюры распределения напряжения и тока вдоль линии представлены на рис. 4.

Отметим, что, поскольку

,

к источнику от места подключения нагрузки пошла волна, увеличивающая ток на этом участке.

Если наоборот приемник с сопротивлением не подключается, а отключается, то расчет возникающих при этом волн тока и напряжения следует осуществлять по схеме рис.5.

Правило удвоения волны

Пусть волна произвольной формы движется по линии с волновым сопротивлением и падает на некоторую нагрузку (см. рис. 6,а).

Для момента прихода волны к нагрузке можно записать

;(1)

или

.(2)

Складывая (1) и (2), получаем

.(3)

Соотношению (3) соответствует расчетная схема замещения с сосредоточенными параметрами, представленная на рис. 6,б. Момент замыкания ключа в этой схеме соответствует моменту падения волны на нагрузку в реальной линии.

При этом, поскольку цепь на рис.

6,б состоит из элементов с сосредоточенными параметрами, то расчет переходного процесса в ней можно проводить любым из рассмотренных ранее методов (классическим, операторным, с использованием интеграла Дюамеля).

Следует отметить, что, если в длинной линии имеет место узел соединения других линий или разветвление, то в соответствии с указанным подходом эту неоднородность следует имитировать резистивным элементом с соответствующим сопротивлением, на который падает удвоенная волна.

Пусть, например, линия с волновым сопротивлением разветвляется на две параллельные линии с волновыми сопротивлениями и (см. рис. 7,а). Узел разветвления в расчетном плане эквивалентен резистивному элементу с сопротивлением

,

при этом расчетная схема замещения для момента прихода волны к стыку линий имеет вид на рис. 7,б.

Так, если падающая волна напряжения имеет прямоугольную форму и величину , то в соответствии со схемой замещения на рис. 7,б напряжение на стыке линий в момент прихода волны

.

Этой величине будут равны волны напряжения, которые пойдут далее в линии с волновыми сопротивлениями и . Отраженная же волна, которая пойдет по линии с волновым сопротивлением , будет характеризоваться напряжением

.

Таким образом, по правилу удвоения волны определяются отраженные (появившиеся в результате отражения от неоднородности) и преломленные (прошедшие через неоднородность) волны, расчет которых осуществляется по схемам замещения с сосредоточенными параметрами.

Следовательно, методика расчета переходных процессов в цепях с распределенными параметрами состоит в последовательном составлении схем замещения с сосредоточенными параметрами для каждого момента прихода очередной падающей волны на очередную неоднородность и расчете по ним отраженных и преломленных волн.

В качестве примера рассмотрим падение прямоугольной волны напряжения величиной на включенный в конце линии конденсатор (см. рис. 8,а).

Для расчета напряжения на конденсаторе и тока через него в момент прихода волны к концу линии составим схему замещения с сосредоточенными параметрами (см. рис. 8,б). Для этой схемы можно записать

,

где .

Это напряжение определяется суммой прямой (падающей) и обратной (отраженной) волн, т.е.

,

откуда для отраженной волны имеет место соотношение

или для той же волны в произвольной точке линии с координатой , отсчитываемой от конца линии, с учетом запаздывания на время —

.

Соответственно для отраженной волны тока можно записать

.

Эпюры распределения напряжения и тока вдоль линии для момента времени , когда отраженная волна прошла некоторое расстояние , представлены на рис. 9. В этот момент напряжение на конденсаторе

и ток через него

.

В качестве другого примера рассмотрим падение прямоугольной волны напряжения величиной на включенный в конце линии индуктивный элемент (см. рис. 10,а). В соответствии с расчетной схемой на рис. 10,б для тока через катушку индуктивности и напряжения на ней соответственно можно записать

;

,

где

С учетом этого выражения для отраженных волн напряжения и тока в произвольной точке линии имеют вид

;

.

Эпюры распределения напряжения и тока вдоль линии для момента времени приведены на рис. 11.

Литература

  1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  2. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.:Энергия- 1972. –200с.
  3. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. Как расчет переходных процессов в длинных линиях сводится к нулевым начальным условиям?
  2. В чем смысл правила удвоения волн, для чего оно используется?
  3. Сформулируйте методику расчета переходных процессов в цепях с распределенными параметрами.
  4. Что называется отраженными и преломленными волнами?
  5. В линии на рис. 2 , , . Определить волны тока и напряжения, возникающие при коммутации, если .
  6. Ответ: ; ; .

  7. Рассмотреть падение волны напряжения, возникшей при коммутации в схеме предыдущей задачи, на резистор и определить обратные волны тока и напряжения, образующиеся при этом падении.
  8. Ответ: ; .

  9. К линии, находящейся под напряжением , подключается

    незаряженная линия (см. рис. 12). Определить волны тока и напряжения, возникающие при этой коммутации, если , .

  10. Ответ: ; ; .

  11. Рассмотреть падение волны напряжения при коммутации в схеме предыдущей задачи на резистор и определить возникающие при этом обратные волны напряжения и тока.
  12. Ответ: ; .

  13. Однородная длинная линия с нагружена на емкостный элемент с . Посередине линии параллельно ему включен еще один конденсатор с . От генератора вдоль линии распространяется волна напряжения, которую до падения на конденсатор можно считать прямоугольной с . Записать выражение для напряжения на конденсаторе .
  14. Ответ: .

Источник: https://toehelp.ru/theory/toe/lecture43/lecture43.html

1 Министерство общего и профессионального образования Российской федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Псковский политехнический институт

Расчет переходных процессов в длинных линиях. Солнышкин Н.И.

Книги по всем темам Министерство общего и профессионального образования Российской федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Псковский политехнический институт Солнышкин Н. И.

РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ДЛИННЫХ ЛИНИЯХ Методические указания для самостоятельной работы по курсу «Теоретические основы электротехники».

ПСКОВ 1999 год Рекомендовано к изданию научно-методическим Советом ППИ СПбГТУ Рецензент — доцент, к. т. н.

Иванов Александр Анатольевич Автор — Солнышкин Николай Иванович Утверждено на заседании кафедры ТОЭ Протокол №4 от 27 мая 1999 УКД 621.3 Расчет переходных процессов в длинных линиях.

Методическое указание для самостоятельной работы по курсу «Теоретические основы электротехники» Псковский политехнический институт СПбГТУ-П. 1999,28с.

В пособии дается общая методика расчета переходных процессов в цепях содержащих однородные длинные линии.

Приведен пример расчета переходных процессов в двух однородных линиях при наличии схем в месте сопряжения линий и на оконечных зажимах второй линии.

2 1. Допущение теории электрических цепей с распределенными параметрами (длинных линий).

Среди цепей с распределенными параметрами одно из главных значений имеют длинные линии (ДЛ): линии электропередачи, линии связи, коаксиальные линии радиотехнических устройств. Здесь рассматривается только этот тип цепей с распределенными параметрами.

Критерием необходимости рассматривать линию как длинную, является соотношение между интервалом времени распространения электромагнитной волны вдоль линии и интервалом времени, в течении которого токи и напряжения изменяются на величину, составляющую заметную долю от полного их изменения в рассматриваемом процессе.

Так как электрическое и магнитное поле распределены между проводами и внутри проводов, то для исследования электромагнитных процессов в линиях необходимо, строго говоря, пользоваться не теорией электрических цепей, а теорией электромагнитного поля.

Однако далеко не во всех случаях необходимо рассматривать всю сложность процессов, происходящих, в длинных линиях. В большинстве случаях можно сделать ряд допущений, существенно упрощающих задачу и вместе с тем не приводящих к заметным отклонениям от действительности.

Для анализа процессов в длинных линиях пользуются упрощенной теорией, которая не затрагивает исследования электромагнитного поля между проводами, а основывается на известных понятиях о напряжениях, токах, сопротивлениях, проводимостях, индуктивностях и емкостях.

Основное допущение теории длинных линий заключается в том, что считается, что в образовании магнитного (электрического) поля в точке практически участвует только ток (электрический заряд) только того участка линии, который расположен вблизи рассматриваемой точки. Это положение точно выполняется для случая, когда источники поля постоянные величины вдоль линии. Во всех остальных случаях это положение является допущением и нужно отдавать себе отчет о границах правомерности принимаемого допущения.

В данном случае применение упрощенной теории длинных линий правомерно, когда расстояние между проводами линии много меньше длины электромагнитной волны, распространявшейся вдоль линии, т. к. при этом в образовании магнитного (электрического ) поля практически участвует только ток (электрический заряд) того участка линии, который лежит вблизи рассматриваемой точки.

Для исследования процессов в линии обычно вводится условие однородности линии, т. е. условие равномерного распределения вдоль линии ее параметров: сопротивления, индуктивности, проводимости, емкости.

С учетом принятых допущений выводится система дифференциальных уравнений длинной линии с потерями:

u i — = r0i + Lx t i u — = g u + C 0 x t и для линии без потерь:

u i — = L x t i u — = Cx t Здесь r0, L0, g0, C0 — соответственно продольное сопротивление, индуктивность и поперечные проводимость и емкость на единицу длины линии.

Для анализа переходных процессов обычно принимается, что линия является неискажающей или линией без потерь.

Рассмотрим условия, при которых линия является неискажающей. В общем случае волны напряжения и тока (сигналы) являются апериодическими функциями. Апериодические сигналы могут быть представлены в виде сплошного частотного спектра с помощью преобразования Фурье. Сигналы не искажаются, если будут одинаковыми затухание (а) и фазовая скорость (v) отдельных гармоник сигналов.

Условием неискажающей линии с потерями является выполнение равенства:

r0 g = L0 C При этом условии коэффициент затухания коэффициент фазы и фазовая скорость будут равны:

= r0 g0, = L0C0,v = = L0CВолновое сопротивление такой линии часто активное и не зависит от частоты:

LZc = zc = CЛиния без потерь является неискажающей линией.

2. Общий вид решения уравнений неискажающей линии.

Общий вид решения уравнений неискажающей линии, определяющих характер функциональной зависимости напряжения и тока от времени t и координаты х, отсчитываемой вдоль линии, может быть представлен следующим образом [1, 2]:

— x x u = (x — vt )e + (x + vt )e C i = [(x — vt )e-x — (x + vt )ex ] L где напряжение и ток в линии рассматриваются, как суммы прямой и обратной волн, распространяющихся вдоль линии со скоростью v в противоположных направлениях.

Наличие в выражениях для u и i множителей e-ax и еах показывает, что обе волны по мере продвижения их вдоль линии затухают по показательному закону.

Причиной затухания волн является постепенное превращение начального запаса энергии электрического и магнитного полей, связанных с линией, в тепло, выделяющееся в проводах, и в среде, окружающей провода.

Конкретный вид функций (x — vt) (x + vt) определяется конкретными условиями задачи.

При исследовании волн в линиях без потерь удобно выражать каждую из волн как функцию времени, находя эту функцию в какой-либо точке линии, например с координатой x1 и принимая за начало отсчета времени момент, когда фронт волны дойдет до этой точки.

Зная напряжение в точке с координатой x1 можно определить значение напряжения в любой момент времени в любой точке с координатой x2>x1 (при наличии только одной рассматриваемой волны), так как в точке с координатой x2 = x1 + x напряжение описываетx ся той же функцией, но с запаздыванием во времени на величину, то есть v x2 — x1 x u(x2,t) = u(x1,t — ) = u(x1,t — ) v v Сказанное можно пояснить следующим образом. Пусть имеется в линии без потерь волна напряжения, перемещающаяся вдоль линии, и распределение напряжения вдоль линии в некоторый момент времени t представляется графиком, изображенном на рис.1. Поставим в точке А прибор, записывающий мгновенное значение напряжения. Этот прибор запишет кривую 1, изображенную на рис.2.

Прибор, установленный в точке В, запишет такую же кривую 2, однако она будет смещена в сторону возрастания времени на величину:

x2 — x1 x = v v То есть x2 — xu(x2,t) = u(x1,t — ).

v Значит, если мы найдем закон изменения напряжения и тока волны в функции времени в какой-нибудь точке линии, то сможем определить эти величины в функции времени в любой другой точке линии.

Замечания. В линиях с физической точки зрения могут существовать только прямые и обратные волны. Прямая волна распространяется в сторону возрастания значений х, отсчитываемых вдоль линий; обратная волна распространяется в сторону убывающих значений х.

Можно, наряду с этим, называть волну, набегающую на неоднородность (нагрузку, стык линий, источник напряжения ) — падающей, волну, появившуюся в результате отражения от неоднородности — отраженной, а волну, прошедшую через неоднородность — преломленной.

Удобно для обратных волн отсчитывать координату х в обратном направлении.

3. Возникновение и движение волн Для уяснения физической стороны возникновения и движения волн в линиях рассмотрим незаряженную линию без потерь, которая подключается в момент времени t = 0 к идеальному источнику постоянной э.д.с. (внутреннее сопротивление равно нулю, напряжение на зажимах — U0).

Замечание. Для источника синусоидальной э.д.с. промышленной частоты ( = км) за время прохождения волной расстояния в пределах одной-двух сотен километров его напряжение практически можно считать постоянным и равны напряжению в момент включения.

3.1. Возникновение и движение прямой (падающей) волны прямоугольной формы После подключения источника к линии линия начинает заряжаться до напряжения U0.

Накопление зарядов на проводах сопровождается токами электрического смещения между проводами, а, следовательно, переменным электрическим полем, которое вызывает появление переменного магнитного поля. Волна электромагнитного поля, а соответственно, этому волны напряжения между проводами и тока проводимости в проводах линии начинают распространяться вдоль линии.

Пусть в момент времени t волна достигла сечения ab (рис.3). Тогда во всех точках левее сечения ab напряжение между проводами равно U0, а правее этого сечения напряжение равно нулю.

На поверхности верхнего провода происходит накопление положительного заряда и левее сечения ab заряд на единицу длины равен q = С U0, а правее равен нулю.

Процесс распространения зарядов можно представить себе, таким образом, что по мере перемещения волны слева направо элементы верхнего провода один за другим приобретают некоторый положительный заряд и такой же положительный заряд отнимается от элементов нижнего провода. Противоположные заряды образуют электрическое поле между проводами на всей длине участка линии, по которому уже прошла волна. При возникновении электрического поля у фронта волны между вновь заряжаемыми элементами проводов (ас и bd) протекает ток (рис. 3) смещения:

dg dx i = = g0 = C0U0v = Idt dt Получается замкнутая цепь тока. От положительного полюса источника ток идет по верхнему проводу, замыкается у фронта волны током смешения и затем идет по нижнему проводу к отрицательному полюсу источника.

По мере движения цепь удлиняется, но ток остается в цепи неизменным I0 = Со Uo v.

В контуре, образуемом этой цепью, возникает магнитный поток, линии которого лежат в плоскостях, перпендикулярных к осям проводов. При перемещении волны на расстояние dx = vdt магнитный поток увеличивается на величину dФ = L0Iodx = L0Iovdt. При возникновении потока в контуре abcd наводится э.д.с. самоиндукции — dФ dx = -L0I0 = -L0I0v, dt dt действующая против движения стрелки часов.

Таким образом, э.д.с. самоиндукции у фронта волны, направленная по линии dx, равна и противоположна напряжению:

u=L0I0v = Uo.

3.2. Возникновение отраженной и преломленной волны прямоугольной формы.

Пусть волна, бегущая от источника э.д.с. по однородной линии без потерь, имеющей волновое сопротивление zcl, достигла в момент времени t1 конца этой линии, где последняя соединена с другой однородной незаряженной линией без потерь, имеющей волновое сопротивление zc2> zc2.

Непосредственно после прихода волны к месту сопряжения линий во второй линии возникает преломленная волна, бегущая в том же направлении, что и волна падающая, в то время как в первой линии возникает отраженная волна, так как иначе не могут быть удовлетворены условия равенства напряжений и токов в узле сопряжения линий.

Рассмотрим физическую сторону этого процесса.

В момент времени, когда падающая волна достигает стыка линий имеем:

u1 uu =u =U и i1 = > i2 =.

1 2 zc zc 1 Так как i, = I0>i2, то происходит накопление заряда в месте стыка линий, увеличение напряжения между проводами линии и в соответствии с этим увеличению тока ь и уменьшению по мере увеличения заряда первой линии тока i2. Практически мгновенно устанавливается состояние, когда выполняются условия на стыке линий:

u = u =u 2 и i = i =i 2.

1 2 1 При этом устанавливается режим, когда во второй линии движется преломленная волна, приводящая к накоплению заряда на единицу длины g2 = C02u 2 (рис.4), а в первой линии возникает отраженная волна, приводящая к дополнительному заряду, который теперь q1 = C01(U0 +u1).

будет на единицу длины линии равен Пусть в момент времени t отраженная волна: достигла сечения cd, a преломленная волна — сечения mn.

Тогда во всех точках первой линии левее сечения cd заряд на единицу длины линии будет прежним g0 = C01U0 = C01u1, a правее увеличится и будет g1 = C01(u1 + u 1).

Во всех точках второй линии левее сечения mn заряд на единицу длины линии будет g2 = C02u 2, а правее сечения mn нулю.

Процессы при распространении волн аналогичны предыдущему, то есть по мере перемещения волн элементы верхних проводов линий один за другим приобретают положительный заряд и такой же отрицательный заряд отнимается от нижнего провода. Изменяется электрическое поле между проводами и при этом у фронтов волн между вновь заряженными элементами проводов (ac-bd) и (mp-ng) протекают токи электрического смещения:

dgв первой линии: = C01u 1v1 = i 1;

dt dgво второй линии: = C02u 2v2 = i 2.

dt Получается замкнутая цепь тока. От положительного полюса источника ток In идет по верхнему проводу, частично замыкается у фронта отраженной волны цепь током смещения, затем ток (I0 -i 1 ) идет по верхнему проводу первой и второй линии и замыкается у фронта преломленной волны током электрического смещения. По нижнему проводу токи протекают к отрицательному полюсу источника.

При движении волн изменяется магнитный поток, сцепляющийся с контуром тока.

При изменении потока фронта отраженной волны наводится э.д.с. самоиндукции, направленная по линии bа, равная и противоположная напряжению:

u 1 = L01i 1vПри изменении потока у фронта преломленной волны возникает э.д.с. самоиндукции, направленная по линии gp, равная и противоположная напряжению:

u 2 = L02i 2vАналогично, можно рассмотреть случай, когда zc1zc2. При этом процесс качественно изменится. Преломленная волна напряжения будет меньше падающей, а преломленная волна тока будет больше падающей волны тока. Вид графиков для q и и (рис.4) примут графики соответственно для Ф и i и наоборот.

Процесс образования и движения прямоугольной отраженной волны в конце второй линии при активном характере нагрузки аналогичный рассмотренному.

При наличии в месте сопряжения линий электрических цепей, содержащих реактивные элементы с сосредоточенными параметрами, а также нагрузки с реактивными элементами, формирование фронта волны происходит в результате переходного процесса.

Для определения закона изменения напряжений и токов в переходном процессе составляются эквивалентные схемы с сосредоточенными параметрами и рассчитывается переходный процесс.

Волны будут иметь апериодический характер. Явления в линиях будут более сложными, но иметь то же физическое содержание, что и при прямоугольных волнах.

4. Методика расчета переходных процессов в цепях, содержащих длинные линии Напряжение и ток в длинных линиях при переходных процессах определяются совокупностью прямых и обратных волн, возникших к заданному моменту времени. Поэтому возникает необходимость рассчитывать волны, возникающие при коммутации или падении движущейся волны на место соединения линии с другими участками цепи.

4.1. Общий метод расчета волн, возникающих при переключениях Подключение к незаряженной линии активного двухполюсника При подключении к линии активного двухполюсника (рис.5) в линии возникает прямая волна, напряжение и ток которой связаны через волновое сопротивление u1 = u1 = zci1 = zci1.

Поэтому расчет прямой волны в начале линии сводится к расчету расчетной схемы с сосредоточенными параметрами (рис.5б).

Пример. Найти волну, возникающую в линии без потерь с волновым сопротивлением Zc= zc при подключении к ней источника с постоянной э.д.с. Е0, внутренним сопротивлением г и индуктивностью L.

Составив расчетную схему с сосредоточенными параметрами (рис.6а), находим выражение для тока волны в начале линии r + z c — t E L i1 = i ( t ) = (1 — e ) r + z c График тока в начале линии изображен на рис.66.

x В любой точке линии для t, введя запаздывание, имеем v r + zc x — (t — ) x x E L v i ( x, t ) = i (0, t — ) = i 1 (t — ) = (1 — e );

v v r + z c u (x,t) = zci (x,t).

На рис. бв изображено распределение тока вдоль линии в определенный момент времени t>0.

Книги по всем темам

Источник: http://knigi.dissers.ru/books/1/5480-1.php

Biz-books
Добавить комментарий