Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р.

1 Ю.Р. Агачев ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО РОДА Казань — 2006 Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный университет

Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р.

Книги по всем темамPages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   …   | 7 | Ю.Р. Агачев ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО РОДА Казань — 2006 Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный университет Ю.Р.

Агачев Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода Учебное пособие Печатается по решению учебно–методической комиссии механико–математического факультета КГУ Рецензент: д.ф.–м.н., проф. Габдулхаев Б.Г.

Данное пособие написано на основе спецкурса, читаемого в течение ряда лет студентам IV курса механико–математического факультета Казанского университета.

Оно предназначено для студентов старших курсов математических факультетов университетов, специализирующихся в области теории функций и приближений и численных методов решения интегральных уравнений.

В пособии на основе общей теории приближенных методов функционального анализа и теории приближения функций полиномами и сплайнами дается теоретико– функциональное обоснование ряда известных прямых методов решения интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра второго рода.

Пособие будет полезно также аспирантам и специалистам в области методов решения интегральных (одномерных и многомерных, регулярных и сингулярных) уравнений.

Предполагается, что читатель знак с основами функционального анализа, теоом рии приближения функций тригонометрическими полиномами, алгебраическими многочленами и полиномиальными сплайнами в объеме, необходимом для понимания и усвоения изложенного в пособии материала.

© Казанский государственный университет, 2006 г.

С О Д Е Р Ж А Н И Е Введение……………………………………………………………. 5 § 1. Вспомогательные рез ультаты…………………………………….. 5 1.1.

Результаты из общей теории приближенных методов анализа 1.2. Сведения из теории приближения функций многочленами 1.3. Аппроксимативные свойства полиномиальных сплайнов минимальных степеней § 2.

Прямые методы решения интегральных уравнений.

Периодический случай………………………………………….. 2.1. Метод Галеркина 2.2. Метод наименьших квадратов 2.3. Метод подобластей 2.4. Метод коллокации 2.5. Метод механических квадратур § 3. Прямые методы решения интегральных уравнений Фредгольма.

Непериодический случай………………………………………… 3.1. Метод Галеркина 3.2. Метод наименьших квадратов 3.3. Метод подобластей 3.4. Метод коллокации 3.5. Метод механических квадратур § 4. Методы решения интегральных уравнений Вольтерра…………….. 4.1. Метод Галеркина 4.2.

Метод подобластей 4.3. Метод коллокации 4.4. Метод механических квадратур § 5. Сплайн–методы решения интегральных уравнений………………… 5.1. Метод подобластей 5.2. Метод коллокации 5.3. Метод механических квадратур Литература………………………………………………………….

Введение В настоящее время для приближенного решения различных классов интегральных уравнений применяется большое число приближенных методов, основанных на различных идеях (см., напр., в [8, 24, 20, 32]). Среди приближенных методов особое место занимают так называемые прямые методы. По определению С.Л.Соболева (см.

, напр., в [32, 37]), прямыми методами называются такие приближенные методы, которые сводят исходную задачу к конечной системе алгебраических уравнений.

К прямым методам относятся наиболее часто используемые на практике метод механических квадратур и все проекционные методы, в частности, методы Галеркина, наименьших квадратов, подобластей и коллокации.

Для суждения об эффективности и обоснованности применения этих методов необходимо их теоретическое исследование, под которым понимают [22, 23, 9, 11]:

1) установление осуществимости и сходимости алгоритма;

2) исследование быстроты сходимости;

3) получение эффективной оценки погрешности.

Решение этих вопросов до появления общей теории приближенных методов Л.В.

Канторовича [21] (см. также [22]) проводилось для каждого класса уравнений и каждого из методов своим путем и часто представляло значительную трудность.

Следует отметить, что в последнее время к трем приведенным пунктам добавляют еще две (см., напр., в [9, 10, 11]):

4) исследование устойчивости и обусловленности приближенных методов;

5) доказательство оптимальности исследуемого метода в том или ином смысле.

В данном пособии для интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра второго рода дается теоретическое обоснование известных методов Галеркина, наименьших квадратов, подобластей, коллокации и механических квадратур, основанных на аппроксимации функций полиномами и сплайнами.

При этом для каждого из методов мы в основном исследуем вопросы, касающиеся решения указанных выше задач 1)–3). В связи с этим заметим, что использованный здесь вариант общей теории приближенных методов анализа, разработанный Б.Г. Габдулхаевым (см., напр.

, [9]) применительно к сингулярным уравнениям, позволяет во многих случаях решать и задачу 4).

§1. Вспомогательные результаты В этом параграфе приводятся некоторые необходимые для дальнейшего сведения из функционального анализа и теории функций и приближений.

1.1.

Результаты из общей теории приближенных методов анализа Пусть X и Y – произвольные линейные нормированные пространства с нормами соответственно · и ·, а Xn и Yn – произвольные последовательности их X Y конечномерных подпространств: Xn X и Yn Y (n = 1, 2,…). Рассмотрим уравнения Kx = y ( x X, y Y ), (1.1) Knxn = yn ( xn Xn, yn Yn ), (1.2) где K и Kn (n N) – линейные операторы из X в Y и из Xn в Yn соответственно (всюду ниже этот факт кратко будем обозначать так: K : X — Y, Kn : Xn — Yn).

Для уравнений (1.1) и (1.2) имеют место следующие результаты (см., напр., в [9, 12, 2]).

Лемма 1. Пусть выполнены условия:

а) оператор K : X — Y непрерывно обратим, т.е. существует ограниченный обратный K-1 : Y — X ;

б) n K — Kn 0, n ;

XnY в) dim Xn =dim Yn = m(n) < (n =1, 2,...).

Тогда при всех n, удовлетворяющих неравенству qn K-1 K — Kn < 1, K - Kn : Xn - Y, приближенное уравнение (1.2) имеет единственное решение x Xn при любой n правой части yn Yn, причем -1 - x Kn yn, Kn K-1 · (1 - qn)-1.

n Если, кроме того, выполнено условие г) n y — yn 0, n, то приближенные решения x сходятся к точному решению x X по норме n пространства X. При этом погрешность приближенного решения может быть оценена любым из неравенств K -1 n x — x K-1 n, n = (y — yn) +(Kn — K)x, (1.3) n n K- x — x [ y — yn + qn y ] =O (n + n). (1.

4) n 1 — qn Лемма 2. Пусть Pn : Y — Yn, уравнение (1.1) имеет решение x X при данной правой части y Y и оператор Kn имеет ограниченный обратный. Тогда погрешность приближенного решения x для правой части yn = Pny может быть n представлена в виде -1 -x — x =(E — Kn PnK)(x — xn) +Kn (Knxn — PnKxn), (1.

5) n где xn Xn – произвольный элемент.

Следствие 1. Если Kn совпадает с сужением оператора PnK на подпространство Xn, то для погрешности верно представление -x — x =(E — Kn PnK)(x — xn), xn Xn.

n Следствие 2. Пусть K = E + H, Kn = E + Hn, где H и Hn – линейные операторы в нормированных пространствах X = Y и Xn = Yn соответственно, а E – единичный оператор.

Если Hn — PnH непрерывен в Xn, PnH непрерывен из пространства X — Xn в Xn и Pn = Pn, то в условиях леммы 2 для погрешности справедлива оценка -1 — x — x 1+ Kn PnH · x — Pnx + Kn Hn — PnH · Pnx ; (1.6) n в частности, при Hn = PnH — x — x 1+ Kn PnH · x — Pnx.

n 1.2. Сведения из теории приближения функций тригонометрическими полиномами и алгебраическими многочленами 1.2.1. Начнем с изложения известных результатов для периодического случая.

Пусть C2 L(0, 2) и Lp = Lp(0, 2), 1 p < – пространства соответственно непрерывных и суммируемых по Лебегу со степенью p, 1 p

s 1/p x p x = |x(s)|pds, x Lp, 1 p

Источник: http://knigi.dissers.ru/books/1/11197-1.php

Б. Г. Габдулхаев, “Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений”, Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал., 18, ВИНИТИ, М., 1980, 251–307; J. Soviet Math., 18:4 (1982), 593–627

Прямые методы решения интегральных уравнений второго рода. Агачев Ю.Р.

Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений

Образец цитирования: Б. Г. Габдулхаев, “Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений”, Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал., 18, ВИНИТИ, М., 1980, 251–307; J. Soviet Math., 18:4 (1982), 593–627

\RBibitem{Gab80}\by Б.~Г.~Габдулхаев\paper Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений\serial Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал.

\yr 1980\vol 18\pages 251—307\publ ВИНИТИ\publaddr М.\mathnet{http://mi.mathnet.ru/intm56}\mathscinet{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=597906}\zmath{https://zbmath.org/?q=an:0444.65085|0476.65093}\transl\jour J. Soviet Math.

\yr 1982\vol 18\issue 4\pages 593—627\crossref{https://doi.org/10.1007/BF01084870}

  • http://mi.mathnet.ru/rus/intm/v18/p251
    ОТПРАВИТЬ:

    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations

    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles

    Эта публикация цитируется в следующих статьяx:

    1. В. С. Рябенький, “Граничные уравнения с проекторами”,

      УМН

      ,

      40

      :2(242) (1985), 121–149        ; V. S. Ryaben'kii, “Boundary equations with projections”,

      Russian Math. Surveys

      ,

      40

      :2 (1985), 147–183    

    2. Б. Г. Габдулхаев, Р. Н. Шарипов, “Оптимизация квадратурных формул для сингулярных интегралов Коши и Адамара”, Констр. теор. функц. и функц. анал.,

      6

      , Изд-во Казанского ун-та, Казань, 1987, 3–48      

    3. А. Ф. Галимянов, “Об одной модификации метода механических квадратур для сингулярных интегральных уравнений”, Констр. теор. функц. и функц. анал.,

      6

      , Изд-во Казанского ун-та, Казань, 1987, 62–67      

    4. Б. Г. Габдулхаев, М. И. Закиев, И. П. Семенов, “Оптимальные проекционные методы решения одного класса интегродифференциальных уравнений”,

      Изв. вузов. Матем.

      , 2001, № 1, 24–35      ; B. G. Gabdulkhaev, M. I. Zakiev, I. P. Semenov, “Optimal projection methods for solving a class of integrodifferential equations”,

      Russian Math. (Iz. VUZ)

      ,

      45

      :1 (2001), 21–32

    5. Б. Г. Габдулхаев, И. К. Рахимов, “Методы решения нелинейных сингулярных интегральных уравнений с монотонными операторами”,

      Изв. вузов. Матем.

      , 2001, № 7, 15–27      ; B. G. Gabdulkhaev, I. K. Rakhimov, “Methods for solving nonlinear singular integral equations with monotone operators”,

      Russian Math. (Iz. VUZ)

      ,

      45

      :7 (2001), 13–25

    6. Б. Г. Габдулхаев, И. К. Рахимов, “Об одном оптимальном сплайн-методе решения операторныхуравнений”,

      Изв. вузов. Матем.

      , 2002, № 2, 23–36      ; B. G. Gabdulkhaev, I. K. Rakhimov, “On an optimal spline method for solving operator equations”,

      Russian Math. (Iz. VUZ)

      ,

      46

      :2 (2002), 21–34

    7. А. Ф. Галимянов, “К прямым методам решения интегральных уравнений с логарифмически ослабленными ядрами Коши на разомкнутых контурах”,

      Изв. вузов. Матем.

      , 2002, № 3, 73–77      ; A. F. Galimyanov, “On direct methods for solving integral equations with logarithmically weakened Cauchy kernels on open curves”,

      Russian Math. (Iz. VUZ)

      ,

      46

      :3 (2002), 69–73

    8. Э. Н. Самойлова, “Проекционные методы решения одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений”,

      Изв. вузов. Матем.

      , 2003, № 7, 48–53      ; È. N. Samoilova, “Projection methods for solving a class of singular integrodifferential equations”,

      Russian Math. (Iz. VUZ)

      ,

      47

      :7 (2003), 48–54

    9. Р. Т. Валеева, Б. Г. Габдулхаев, “Об обращении многомерных сингулярных интегральных уравнений I рода”,

      Изв. вузов. Матем.

      , 2003, № 10, 13–25      ; R. T. Valeeva, B. G. Gabdulkhaev, “On the inversion of multidimensional singular integral equations of the first kind”,

      Russian Math. (Iz. VUZ)

      ,

      47

      :10 (2003), 11–23

    10. И. К. Рахимов, “Квадратурные методы решения сингулярного интегрального уравнения Теодорсена”,

      Изв. вузов. Матем.

      , 2003, № 8, 82–85      ; I. K. Rakhimov, “Quadrature methods for solving the singular integral Theodorsen equation”,

      Russian Math. (Iz. VUZ)

      ,

      47

      :8 (2003), 79–82

    11. Л. А. Апайчева, “Оптимальные квадратурные и кубатурные формулы для сингулярныхинтегралов с ядрами Гильберта”,

      Изв. вузов. Матем.

      , 2004, № 4, 16–27        ; L. A. Apaicheva, “Optimal quadrature and cubature formulas for singular integrals with Hilbert kernels”,

      Russian Math. (Iz. VUZ)

      ,

      48

      :4 (2004), 14–25

    12. Б. Г. Габдулхаев, “Проекционные методы решения сингулярных интегральных уравнений”,

      Изв. вузов. Матем.

      , 2004, № 7, 12–24      ; B. G. Gabdulkhaev, “Projection methods for solving singular integral equations”,

      Russian Math. (Iz. VUZ)

      ,

      48

      :7 (2004), 10–21

    13. Б. Г. Габдулхаев, “Методы решения бисингулярных интегральных уравнений с внутренними коэффициентами”,

      Изв. вузов. Матем.

      , 2004, № 8, 11–25      ; B. G. Gabdulkhaev, “Methods for solving bisingular integral equations with inner coefficients”,

      Russian Math. (Iz. VUZ)

      ,

      48

      :8 (2004), 9–23

    14. Б. Г. Габдулхаев, “Полисингулярные интегральные уравнения с положительными операторами”,

      Изв. вузов. Матем.

      , 2005, № 11, 7–15    ; B. G. Gabdulkhaev, “Polysingular integral equations with positive operators”,

      Russian Math. (Iz. VUZ)

      ,

      49

      :11 (2005), 5–13

    15. Б. Г. Габдулхаев, Р. К. Губайдуллина, “Методы решения одного класса многомерных сингулярных интегральных уравнений”,

      Изв. вузов. Матем.

      , 2006, № 11, 11–16    ; B. G. Gabdulkhaev, R. K. Gubaidullina, “Methods for solving a class of multidimensional singular integral equations”,

      Russian Math. (Iz. VUZ)

      ,

      50

      :11 (2006), 9–14

    16. Ю. Р. Агачев, Р. К. Губайдуллина, “Об одном многомерном слабо сингулярном интегральном уравнении”,

      Изв. вузов. Матем.

      , 2007, № 4, 3–9      ; Yu. R. Agachev, R. K. Gubaidullina, “One multidimensional weakly singular integral equation”,

      Russian Math. (Iz. VUZ)

      ,

      51

      :4 (2007), 1–7  

    17. М. Ю. Першагин, “Проекционные методы решения одного класса сингулярных интегродифференциальных уравнений”,

      Изв. вузов. Матем.

      , 2008, № 8, 35–42      ; M. Yu. Pershagin, “Projection methods for solving a class of singular integrodifferential equations”,

      Russian Math. (Iz. VUZ)

      ,

      52

      :8 (2008), 28–34  

    18. В. И. Касьянов, “Прямые методы решения сингулярных интегральных уравненийс неотрицательными индексами”,

      Изв. вузов. Матем.

      , 2008, № 9, 27–39      ; V. I. Kas'yanov, “Direct methods for solving singular integral equations with nonnegative indices”,

      Russian Math. (Iz. VUZ)

      ,

      52

      :8 (2008), 23–34  

    19. Ш. С. Хубежты, “Квадратурные формулы для сингулярных интегралов с ядром Коши”,

      Владикавк. матем. журн.

      ,

      10

      :4 (2008), 61–75    

    20. А. И. Федотов, “Аппроксимация решений сингулярных интегродифференциальных уравнений полиномами Эрмита–Фейера”,

      Уфимск. матем. журн.

      ,

      10

      :2 (2018), 109–117  ; A. I. Fedotov, “Approximation of solutions to singular integro-differential equations by Hermite–Fejer polynomials”,

      Ufa Math. J.

      ,

      10

      :2 (2018), 109–117    

  • Источник: http://www.mathnet.ru/intm56

    Biz-books
    Добавить комментарий