Применение линейной алгебры в экономике. Васильева Е.Г

Применение методов линейной алгебры в экономике

Применение линейной алгебры в экономике. Васильева Е.Г

Математика и экономика-это самостоятельные области знаний, которые имеют свой объект и предмет исследования.

Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики, который называется, матричная алгебра, имеют большое значение для экономистов, основная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в простой и компактной матричной форме.

Матричной алгеброй называют область математики, которая изучает алгебраические операции над числовыми массивами, записанными в форме строк и столбцов. Матричная алгебра относится к числу наиболее важных для экономистов областей математики.

Объясняется это тем, что записываются в матричной форме: математические модели отражающие взаимосвязи экономических структур, динамику их развития, многообразие действующих факто-ров. Это в свою очередь позволяет использовать современные методы матричной алгебры в экономических исследованиях и расчетах.

Чтобы интерпретировать математически закономерности реальных явлений в экономике, используют математические модели относительно одной или нескольких переменных. Ни одна модель не может полностью отражать все многообразие действительного мира и является лишь некоторым его приближением.

Широкое распространение в экономических исследованиях получили линейные модели, которые нередко с высокой точностью соответствуют описываемым ими явлениям. Многие линейные модели сводятся к системам алгебраических линейных уравнений или неравенств.

Между экономикой и математикой существует как прямая, так и обратная связь: создание нового математического аппарата и его применение позволяет экономике по-новому решать существующие задачи. Экономика ставит перед математикой новые задачи и стимулирует поиск методов их решения.

Применение математики в экономических исследованиях, позволяет объяснить прошлое, увидеть будущее и оценить последствия действий, которые потребует еще огромных усилий, новых фундаментальных знаний. С помощью матриц удобно описывать различные экономические закономерности. Например, различные таблицы, которые содержат в себе разные данные, какого-либо предприятия. Рассмотрим на примере задач экономического содержания.

Производственные показатели

Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели которых приведены в следующей таблице:

вид изделия количество изделий расход сырья, кг/изд. норма времени изготовления, ч/изд. цена изделия, ден.ед./изд.

Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени Т и стоимость Р выпускаемой продукции предприятия.
По приведенным данным составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл:

Тогда искомые величины будут представлять собой соответствующие скалярные произведения вектора ассортимента на три других вектора:

Расход сырья

Предприятие выпускает четыре вида изделий с использованием четырех видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы А:

Требуется найти затраты сырья каждого вида при заданном плане выпуска каждого вида изделия: соответственно, 60, 50, 35 и 40 ед.

Решение: Составим вектор-план выпуска продукции:

=(60, 50, 35, 40).

Тогда решение задачи дается вектором затрат, координаты которого и являются величинами затрат сырья по каждому его виду: этот вектор затрат вычисляется как произведение вектора на матрицу А:

Конечный продукт отрасли

Отрасль состоит из n предприятий, выпускающих по одному виду продукции каждое: обозначим объем продукции i-го предприятия через хi. Каждое из предприятий отрасли для обеспечения своего производства потребляет часть продукции, выпускаемой им самим и другими предприятиями.

Пусть аij — доля продукции i-го предприятия, потребляемая j-м пред-приятием для обеспечения выпуска своей продукции объема хj. Найдем величину уi — количество продукции i-го предприятия, предназначенной для реализации вне данной отрасли (объем конечного продукта).

Эта величина легко может быть подсчитана по формуле

Введем в рассмотрение квадратную матрицу порядка n, описывающую внутреннее потребление отрасли

A=(aij), i, j = 1, 2, …, n

Тогда вектор конечного продукта является решением матричного уравнения

с использованием единичной матрицы Е получаем

Пример. Пусть вектор выпуска продукции отрасли и матрица внутреннего потребления имеют, соответственно, вид

Получим вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли, состоящей из трех предприятий:

Прогноз выпуска продукции

Пусть C=(cij), i=1, 2, …, m, j=1, 2, …, n — матрица затрат сырья m видов при выпуске продукции n видов. Тогда при известных объемах запаса каждого вида сырья, которые образуют соответствующий вектор , вектор-план выпуска продукции определяется из решения системы m уравнений с n неизвестными:

где индекс «т» означает транспонирование вектора-строки в вектор-столбец.

Пример. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех видов. Необходимые характеристики производства представлены следующими данными:

Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

Задачи такого рода типичны при прогнозах и оценках функционирования предприятий, экспертных оценках проектов освоения месторождений полезных ископаемых, а также в планировании микроэкономики предприятий.
Обозначим неизвестные объемы выпуска продукции через х1, х2 и х3.

Тогда при условии полного расхода запасов каждого вида сырья можно записать балансовые соотношения, которые образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Решая эту систему уравнений любым способом, находим, что при заданных запасах сырья объемы выпуска продукции составят по каждому виду соответственно (в условных единицах): x1=150, x2=250, x3=100.



Источник: https://infopedia.su/15x636e.html

Элементы линейной алгебры и их применение при решении экономических задач — современные наукоемкие технологии (научный журнал)

Применение линейной алгебры в экономике. Васильева Е.Г
1 Цысь Ю.В. 1 Долгополова А.Ф. 1 1 Ставропольский государственный аграрный университет 1. Высшая математика для экономистов: учебник / под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.
2. Сирл С., Госман У. Матричная алгебра в экономике. – М.: Статистика, 1974.
3. Морозова О.В., Долгополова А.Ф., Долгих Е.В.

Экономико-математические методы: теория и практика. – Ставрополь: СтГАУ «АГРУС», 2006.

В современной экономике используется множество математических методов, разработанных ещё в 20 веке. Применение линейной алгебры значительно упростило решение многих экономических задач.

В данной работе рассматриваются основные способы решения задач с помощью элементов линейной алгебры.

Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная алгебра – имеют большое значение для экономистов, основная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в простой и компактной матричной форме. С помощью матриц удобно описывать различные экономические закономерности. Например, дана следующая таблица средних розничных цен на автомобили в зависимости от срока их службы (условных единиц).

Продолжительность службы (годы)Годы
200520062007
1188121202445
2151216761825
3126113971484
4105411441218

Предложенную таблицу можно записать в виде матрицы следующим образом:

где содержательное значение каждого показателя определяется его местом в матрице. К примеру, число 1825 во второй строке третьего столбца представляет собой цену прослужившего 2 года автомобиля в 2007 году.

Аналогичным образом находим, что числа, записанные в строку, характеризуют цены автомобилей, прослуживших один и тот же срок в различные годы, а числа в столбце – цены автомобилей различного срока службы в данном году.

Таким образом, место, занимаемое числом в матрице, характеризует продолжительность использования автомобиля и год, к которому относится цена.

Применение матриц при решении экономических задач рассмотрим на следующем примере. Предприятие выпускает продукцию трех видов P1, P2, P3 и использует сырье двух типов: S1, S2. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей:

где каждый элемент aij (i = 1, 2, 3; j = 1,2) показывает, сколько единиц сырья j-го типа расходуется на производство единицы продукции i-го вида. План выпуска продукции задан матрицей-строкой C = (100 80 130).Стоимость единицы каждого типа сырья (денежных единиц) – матрицей-столбцом . Необходимо найти общую стоимость сырья.

Решение: Затраты первого сырья составляют S1 = 2∙100 + 5∙80 + 1∙130 = 730единиц, а второго S2 = 3∙100 + 2∙80 + 4∙130 = 980 единиц. Значит затраты сырья S могут быть записаны в виде матрицы строки (730 980) и произведения:

Общая стоимость сырья

Q = 730∙30 + 980∙50 = 70900 (денежных единиц)

может быть записана в следующем виде:

Q = S∙B = (CA)B = (70900).

Вывод: общая стоимость сырья составляет 70900.

Также экономические задачи можно решать с помощью систем линейных уравнений.

Рассмотрим и решим с помощью системы линейных уравнений следующую задачу:

Из определенного листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:

Тип заготовкиСпособ раскроя
123
А321
Б162
В415

Записать в математической форме условия выполнения задания.

Решение: Обозначим через x, y, z количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. Тогда при первом способе раскроя x листов будет получено 3 заготовок типа А, при втором – 2y, при третьем – z. Для полного выполнения задания по заготовкам типа А должно выполняться равенство:

.

Таким же способом получаем уравнения:

Имеем систему:

Данным уравнениям должны удовлетворять неизвестные x, y, z для того, чтобы выполнить задание по заготовкам Б и В. Полученная система линейных уравнений и выражает в математической форме условия выполнения всего задания по заготовкам А, Б и В.

Решим систему методом Гаусса.

1. Запишем систему в виде матрицы.

2. Составим расширенную матрицу системы.

3. Приведём полученную матрицу к треугольному виду.

Исходная система равносильна следующей:

Решая полученную систему, имеем: x = 90, y = 15, z = 60.

Вывод: вектор C (90, 15, 60) есть решение системы.

Также, говоря, о роли линейной алгебры в экономике нельзя не упомянуть о модели многоотраслевой экономики Леонтьева, которая была разработана в виде математической модели в 1936 году. Эта модель основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа.

Рассмотрим задачу:

В таблице приведены коэффициенты прямых затрат и конечная продукция отраслей на плановый период, усл. ден. ед.

ОтрасльПотреблениеКонечный продукт
ПромышленностьСельское хозяйство
ПроизводствоПромышленность0,30,2300
Сельское хозяйство0,150,1100

Найти: плановые объёмы валовой продукции отраслей, межотраслевые поставки, чистую продукцию отраслей.

Решение:

1. Выпишем матрицу коэффициентов прямых затрат A, вектор конечной продукции Y:

Заметим, что матрица A продуктивна, так как её элементы положительны и сумма элементов в каждом столбце меньше единицы.

2. Найдем матрицу

Тогда матрица полных затрат:

3. По формуле X = (E – A)–1⋅Y = SY найдем вектор валового продукта X:

4. Межотраслевые поставки xij найдём по формуле xij = aij∙xj

X11 = a11∙x1 = 0,3·483 = 144,9;

X12 = 0,2·192 = 38,4;

X21 = 0,15·483 = 72,45;

X22 = 0,1·192 = 19,2.

5. Чистая продукция промышленности равна: 483 – 144,9 – 72,45 = 265,65

Чистая продукция сельского хозяйства: 192 – 38,4 – 19,2 = 134,4.

Итак, рассмотрев в данной статье некоторые задачи и их решения, можно сказать, что это лишь небольшая часть математических методов, используемых в экономике. Экономика и математика, очень тесно связаны и постепенно математические методы и модели начинают занимать очень важное место в экономике.

Библиографическая ссылка

Цысь Ю.В., Долгополова А.Ф. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ // Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 6. – С. 91-93;
URL: http://top-technologies.ru/ru/article/view?id=31998 (дата обращения: 02.03.2020).

Источник: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=31998

Применение элементов линейной алгебры в экономике

Применение линейной алгебры в экономике. Васильева Е.Г

Аннотация. Обосновывается практичность использование элементов линейной алгебры для решения различных экономических задач. Определяется способ составления и решения системы линейных алгебраических уравнений при решении задач. Анализируется возможность применения таблиц межотраслевого баланса и моделей.

Annotation. Grounded practicality of the use of elements of linear algebra to solve different economic problems. Determined by the method of setting up and solving a system of linear algebraic equations to solve problems. The possibility of the use of input-output tables and models to analyze them.

Ключевые слова: элементы линейной алгебры, балансовый анализ, таблица межотраслевого баланса, математическая модель Леонтьева.

Keywords: elements of linear algebra, balance analysis, input-output tables, mathematical model of Leontief.

Существует несколько не математических предметов, которые могут быть применимы к линейной алгебре. Экономика — это тема, в которой линейная алгебра может использоваться для формального применения, например, в анализе затраты-выпуск данных, эконометрики, теории статистики и анализе точки безубыточности.

В современной экономике характеризуется применение  большого количества математических методов с целью решения различных задач.

Из аналогичных методов выделяется использование элементов алгебры матриц, что особенно популярно при работе с базами данных, где вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.

А также составление и решение системы линейных алгебраических уравнений на основе прогноза выпуска продукции по известным запасам сырья.

Для макроэкономики свойственна проблема: каким обязан оставаться размер изготовления любой из n-отраслей, для того чтобы удовлетворить все потребности в продукции данной отрасли? Целью балансового анализа считается решение этой проблемы. Как правило, таблицы межотраслевого баланса отображают взаимосвязь между отраслями, которые анализируются с поддержкой математической модели, исследованной американским экономистом В. В. Леонтьевым в 1936 г.

Предположим, то что необходимо проанализировать n-отраслей промышленности, которые производят свою продукцию.

Но доля продукта потребляется этой же и другими отраслями в ходе изготовления, а другая доля специализирована для целей конечного личного и социального потребления.

Рассматривая производственный процесс за конкретный период времени (к примеру, год), следует ввести такие обозначения, как:

-общий объем продукции i-ой отрасли (i=1,2….n);

— объем продукции i-ой отрасли, потребляемой j-ой отраслью при производстве (i,j=1,2…n);

— объем конечного продукта i-ой отрасли для непроизводственного потребления.

Значит общий объем продукции  i-ой отрасли равен алгебраической сумме суммарного объема продукции, потребляемой n-отраслями и конечного продукта:  Это уравнение называется соотношением баланса.

А когда все величины  уравнения имеют стоимостное выражение, то рассматривается стоимостный межотраслевой баланс. Здесь надо ввести коэффициенты прямых затрат, которые указывают на затраты продукции i-ой отрасли на производство единицы стоимости j- ой отрасли:

.                                                  (1)

Предположим, что в определенном промежутке времени коэффициенты  постоянные и зависящие от существующей технологии производства, что означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска:, (i,j = 1,2,..,n). Тогда и сама модель будет линейной. Иной вид примут соотношения баланса: , (i = 1,2,…,n).

Обозначим:

;  ; .                             (2)

 где X – вектор валового выпуска;

A – матрица прямых затрат;

Y – вектор конечного продукта.

Перепишем соотношения баланса в соответствующий вид: X = AX+Y. Матричное уравнение можно переписать: (E – A)X = Y. И если матрица (E – A) является невырожденной (определитель отличен от нуля), то уравнение будет выглядеть следующим образом:

.                                                        (3)

Матрица  есть матрица полных затрат, где каждый элемент – это величина валового выпуска продукции i-ой отрасли, требующегося для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-ой.

Рассмотрим пример, в котором приведены данные об исполнении баланса за отчетный период (таблица 1) в условно взятых единицах. Требуется вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое.

Таблица 1.

Данные об исполнении баланса за отчетный период

ОтрасльПотреблениеКонечный продуктВаловой выпуск
ЭнергетикаМашиностроение
ПроизводствоЭнергетика82273100
Машиностроение1315124150

Первоначально, необходимо обозначить соответствующие данные:

.

Используя формулу (1) можно найти коэффициенты прямых затрат и составить матрицу A:

.                                                           (4)

В данном примере матрица, имея неотрицательные элементы, удовлетворяет критерию продуктивности, т.е. максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы.

.       (4)

Запишем матрицу полных затрат:.

E – A =.                                                         (5)

Так как, |E-A|= 0.8085, то

 .                                        (6)

При этом потребление энергетической отрасли увеличится:  .

Подставим полученные данные в формулу (3):

.                               (7)

Исходя из чего, валовой выпуск в энергетической отрасли необходимо увеличить до 179 усл. ед., а в машиностроительной – до 160,5 усл. ед.

Созданная американским экономистом Василием Васильевичем Леонтьевым математическая модель необходима для решения проблемы баланса между отдельными отраслями мирового хозяйства. Несомненно, экономика и математика тесно взаимосвязаны и данной статье был представлен только один из используемых экономико-математических методов.

Математическое моделирование находит свое применение на всех уровнях управления: как в экономике целой страны, так и в экономике какой-либо фирмы, предприятия, небольшой компании или отдельного хозяйства.

На наш взгляд, математические методы и модели могут послужить сильным средством прогнозирования, научного анализа, аналитического планирования разнообразных социально-экономических процессов.

Список литературы:

  1. Цысь Ю.В., Долгополова А.Ф. Элементы линейной алгебры и их применение при решении экономических задач //Современные наукоемкие технологии. – 2013. – № 6. – С. 91-93.
  2. Васильева Е.Г., Инхеева Л.И., Улымжиев М.Д. Применение линейной алгебры в экономике. – Издательство ВСГТУ. – 2004. – С. 3-17. 612 Электронный вестник Ростовского социально-экономического института. Выпуск № 3 — 4 (июль – декабрь) 2015
  3. Высшая математика для экономистов: учебник /Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. – 479 с. 4. Некрасов В.Н., Шарников А.В. Динамическая модель конкурентного преимущества // Государственное и муниципальное управление. Ученые записки СКАГС. –2013. – № 1. –С. 78-85.
  4. Кисилев В.В. Экономико-математическое моделирование процессов устойчивого развития региона // Государственное и муниципальное управление. Ученые записки СКАГС. 2009. № 3. С. 73-77.
  5. Игнатов В.Г. Дифференциация российских регионов по социально-экономическому положению населения и пути ее смягчения // Государственное и муниципальное управление. Ученые записки СКАГС. 2009. № 4. С. 6-19.

Источник: https://sibac.info/studconf/science/xlviii/114676

16.1. ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ЭКОНОМИКЕ. Использование алгебры матриц. Матричные вычисления

Применение линейной алгебры в экономике. Васильева Е.Г

Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Особенно этот вопрос стал актуальным при разработке и ис­пользовании баз данных: при работе с ними почти вся инфор­мация хранится и обрабатывается в матричной форме.

Рассмотрим типичные задачи, использующие понятие век­тора и его свойства.

1. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изде­лий, основные производственно-экономические показатели ко­торых приведены в табл. 16.1.

Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени Т и стоимость Р Выпускаемой продуции предприятия.

Решение. По данным табл. 16.1 составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл:

= (20, 50, 30,40) — вектор ассортимента,

= (5, 2, 7, 4) — вектор расхода сырья,

= (10, 5, 15, 8) — вектор затраты рабочего времени,

= (30, 15, 45, 20) — ценовой вектор.

Тогда искомые величины будут представлять собой соот­ветствующие скалярные произведения вектора ассортимента На три других вектора, т. е.

2. Предприятие выпускает 4 вида изделий с использовани­ем 4-х видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы А:

Требуется найти затраты сырья на каждый вид изделия при заданном плане их выпуска: соответственно 60, 50, 35 и 40 ед.

Решение. Составим вектор-план выпуска продукции

Тогда решение задачи дается вектором затрат, координаты которого и являются величинами затрат сырья по каждому его виду; этот вектор затрат вычисляется как произведение вектора на матрицу А:

3. Пусть затраты 4-х видов сырья на выпуск 4-х видов про­дукции характеризуются матрицей А, приведенной в предыду­щей задаче.

Требуется найти: а) общие затраты на сырье для каждого вида продукции и его перевозку; б) общие затраты на сырье и его транспортировку при условии заданного вектора-плана предыдущей задачи, если известны себестоимости каж­дого вида сырья и его доставки (соответственно 4, 6, 5, 8 и 2, 1, 3, 2 ден. ед.).

Решение. Составим матрицу себестоимостей сырья и его доставки (соответственно 1-я и 2-я строки):

Тогда ответ на первый вопрос задачи дается в виде произве­дения матрицы А на транспонированную матрицу CT:

Суммарные затраты на сырье и его доставку (в денежных еди­ницах) при векторе-плане выпуска продукции = (60, 50, 35, 40) определяются произведением вектора на матрицу АСT:

4. В табл. 16.2 приведены данные о дневной производительности 5 предприятий, выпускающих 4 вида продукции с по­треблением 3-х видов сырья, а также продолжительность работы каждого предприятия в году и цена каждого вида сырья.

Требуется определить:

1) годовую производительность каждого предприятия по каждому виду изделий;

2) годовую потребность каждого предприятия по каждому виду сырья;

3) годовую сумму кредитования каждого предприятия для закупки сырья, необходимого для выпуска продукции указан­ных видов и количеств.

Решение. Нужно составить матрицы, характеризующие весь интересующий нас экономический спектр производства, а затем при помощи соответствующих операций над ними полу­чить решение данной задачи. Прежде всего приведем матрицу производительности предприятий по всем видам продукции:

Каждый столбец этой матрицы соответствует дневной про­изводительности отдельного предприятия по каждому виду продукции.

Следовательно, годовая производительность J-Го предприятия по каждому виду продукции получается умноже­нием JГo столбца матрицы А на количество рабочих дней в году для этого предприятия (J = 1, 2, 3, 4, 5). Таким образом, годовая производительность каждого предприятия по каждому из изделий описывается матрицей

Матрица затрат сырья на единицу изделия (эти показатели по условию одинаковы для всех предприятий) имеет вид

Дневной расход по типам сырья на предприятиях описывается произведением матрицы В на матрицу А:

Где I-я строка соответствует номеру типа сырья, а J-Й стол­бец — номеру предприятия согласно табл. 16.2 (I = 1, 2, 3; J = 1, 2, 3, 4, 5).

Ответ на второй вопрос задачи получим по аналогии с матрицей АГод умножением столбцов матрицы ВА На соответствующие количества рабочих дней в году для предприятий — это годовая потребность каждого предприятия в каждом виде сырья:

Введем вектор стоимости сырья

Тогда стоимость общего годового запаса сырья для каждого предприятия получается умножением вектора на матри­цу ВAГод:

Следовательно, суммы кредитования предприятий для закупки сырья определяются соответствующими компонентами векто­ра .

5. Отрасль состоит из П предприятий, выпускающих по од­ному виду продуции каждое; обозначим объем продукции I-го предприятия через Xi. Каждое из предприятий отрасли для обеспечения своего производства потребляет часть продукции, выпускаемой им самим и другими предприятиями.

Например, в отрасли электротехнического оборудования часть продукции предприятий, выпускающих электродвигатели, силовые кабе­ли, электрокары и т. д., употребляется практически всей от­раслью.

Пусть Aij доля продукции I-го предприятия, потреб­ляемая J-М предприятием для обеспечения выпуска своей про­дукции объема Xj.

Возникает естественный вопрос о величине Yi количестве продукции I-го предприятия, предназначенной для реализации вне данной отрасли (объем конечного продук­та). Эта величина легко может быть подсчитана по формуле

Введем в рассмотрение матрицу порядка N, описывающую вну­треннее потребление отрасли:

Тогда вектор конечного продукта является решением матрич­ного уравнения

Или с использованием единичной матрицы Е получаем

Рассмотрим конкретный пример при П = 3. Пусть вектор выпуска продукции отрасли и матрица внутреннего потребле­ния имеют соответственно вид

Используя формулу (16.1) и правило сложения матриц, получа­ем вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли, состоящей из 3-х предприятий:

Источник: http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/osnovy-matematiki-i-ee-prilozheniia-v-ekonomicheskom-obrazovanii-krass-m-s-chuprynov-b-p/16-1-primenenie-elementov-lineinoi-algebry-v-ekonomike-ispolzovanie-algebry-matritc-matrichnye-vychisleniia

Biz-books
Добавить комментарий