Преобразование случайных процессов в линейных и нелинейных цепях.

6. Преобразование случайных сигналов радиотехническими цепями. Радиотехнические цепи и сигналы. Учебное пособие

Преобразование случайных процессов в линейных и нелинейных цепях.

6.1. Общая задача прохождения случайного процесса через линейные радиотехнические цепи

6.2. Определение широкополосного случайного процесса. Шумовая полоса цепи

6.3. Прохождение широкополосного случайного процесса через апериодические цепи

6.4. Прохождение широкополосного случайного процесса через частотно – избирательные цепи

6.5. Преобразование случайных сигналов нелинейными радиотехническими цепями

6.1. Общая задача прохождения случайного процесса через линейные радиотехнические цепи

В общем виде задача изучения прохождения случайных сигналов через линейные цепи состоит в определении закона распределения (функции распределения или плотности вероятности) процесса на выходе цепи при известных законе распределения входного случайного процесса и характеристик цепи.

Как правило, решение задачи в общем виде наталкивается на существенные трудности. Поэтому, обычно указанную задачу сводят к определению вероятностных характеристик (математического ожидания, дисперсии, автокорреляционной функции) выходного случайного процесса.

Объясняется это тем, что для практики построения и анализа радиотехнических устройств вполне достаточно знания этих характеристик.

Наиболее эффективным методом решения задачи прохождения случайного процесса через линейные цепи является спектральный метод. Напомним, что спектральный метод основывается на представлении сигнала в частотной области и знании комплексного коэффициента передачи цепи.

Но если спектральный состав детерминированного сигнала определяется совокупностью комплексных амплитуд, то спектральный состав случайного сигнала определяется совокупностью значений мощности составляющих спектра, распределенных в диапазоне частот.

В этом состоит особенность использования спектрального метода при анализе преобразования случайного сигнала линейной цепью.

Общая задача анализа прохождения случайного процесса через линейную цепь формулируется следующим образом. На вход линейной цепи (рис. 6.1) с комплексным коэффициентом передачи поступает случайный процесс , энергетический спектр которого (спектральная плотность мощности) равен . Необходимо найти характеристики случайного процесса на выходе линейной цепи.

Введем следующие предположения:

– входной случайный процесс является стационарным в широком смысле;

– среднее значение входного СП равно нулю, т.е. ;

– известен энергетический спектр входного процесса.

В соответствии с общим определением спектральной плотности мощности эта характеристика для выходного СП будет равна

. (6.1)

Величину можно представить следующим образом

, (6.2)

где – спектр реализации случайного процесса достаточно большой (теоретически бесконечной) длительности . С другой стороны, в предположении того, что реализация известна можно записать

, (6.3)

.

Подстановка (6.3) в (6.2) дает

. (6.4)

В свою очередь, подставляя (6.4) в (6.1), получим

. (6.5)

Таким образом, энергетический спектр случайного процесса на выходе линейной цепи равен произведению энергетического спектра входного случайного процесса и квадрата амплитудно–частотной характеристики цепи.

Выражение (6.5) определяет закон преобразования СП линейной цепью. Отметим, что фазо–частотная характеристика цепи не оказывает никакого влияния на этот закон.

Автокорреляционная функция выходного СП определяется в соответствии с теоремой Винера–Хинчина

. (6.6)

Так как дисперсия (средняя мощность) численно равна значению АКФ при , то для выходного СП можно записать

. (6.7)

Если входной СП имеет математическое ожидание, отличное от нуля, то математическое ожидание выходного СП определяется следующим выражением

. (6.8)

Поскольку для рассматриваемой задачи (см. предположения), то математическое ожидание .

Как было отмечено выше, в технических расчетах вместо используют энергетический спектр , как функцию циклической частоты. В этом случае энергетический спектр СП на выходе линейной цепи определяется выражением

, (6.9)

а автокорреляционная функция

. (6.10)

Соответственно, дисперсия

. (6.11)

В дальнейшем полученные результаты будут использованы для решения конкретных задач.

6.2. Определение широкополосного случайного процесса. Шумовая полоса цепи

В большинстве практических задач преобразования случайных процессов линейными цепями эффективная ширина энергетического спектра СП существенно превышает полосу пропускания цепи. Такой случайный процесс принято называть широкополосным.

При этом, в пределах полосы пропускания цепи энергетический спектр приблизительно равномерен, что позволяет представить его моделью «белого шума».

Вместе с тем, при определении характера входного СП (широкополосный он или нет) требуется учтение понятия ширины полосы пропускания линейной цепи.

При рассмотрении линейных инерционных цепей в качестве полосы пропускания широко используется диапазон частот, в пределах которого модуль амплитудно–частотной характеристики спадает до уровня от ее максимума. Такую полосу, как известно, принято обозначать или . Для решения задач преобразования широкополосного СП линейной цепью вводят понятие шумовой полосы цепи.

На рис. 6.2 показаны спектр входного широкополосного СП, амплитудно–частотная характеристика цепи и спектр выходного случайного процесса. Будем полагать, что входной СП – широкополосный, эффективная ширина спектра которого составляет , причем

.

Рассмотрим идеальный фильтр (для приведенного рисунка — полосовой), амплитудно – частотная характеристика которого имеет вид

6.12)где – максимальное значение АЧХ реальной цепи (рис. 6.2б).

Как следует из рисунка в пределах входной процесс можно заменить моделью «белого шума» со спектральной плотностью . При воздействии на идеальный фильтр случайного процесса со спектральной плотностью случайный процесс на выходе цепи будет иметь энергетический спектр:

.

Мощность процесса на выходе идеального фильтра

. (6.13)

С другой стороны мощность СП на выходе реальной цепи

. (6.14)

Если предъявить требование равенства мощностей на выходе идеальной и реальной цепей

, (6.15)

то полоса пропускания идеальной цепи и будет характеризовать шумовую полосу реальной цепи

. (6.16)

Тогда широкополосным случайным процессом является процесс, эффективная ширина спектра которого гораздо больше шумовой полосы цепи.

Отметим отличие от . Как следует из (6.16) зависит от всей площади под кривой и, следовательно, позволяет рассчитать полную мощность процесса на выходе цепи при равномерном спектре процесса на входе. Величина же определяется по условному критерию и не зависит от поведения АЧХ за пределами полосы пропускания.

6.3. Прохождение широкополосного случайного процесса через апериодические цепи

Рассмотрим задачу преобразования широкополосного случайного процесса вида «белого шума» со спектральной плотностью интегрирующей – цепью (рис. 6.3). Как известно, амплитудно – частотная характеристика цепи описывается выражением

,

где – постоянная времени цепи.

В первую очередь найдем шумовую полосу цепи. Воспользовавшись (6.16) при , получим

. (6.17)

Таким образом, шумовая полоса интегрирующей цепи конечна. Это вполне объяснимо, так как интегрирующая цепь является фильтром нижних частот.

Найдем характеристики процесса на выходе цепи, если на его вход поступает процесс с энергетическим спектром . Тогда, в соответствии с (6.9) энергетический спектр процесса на выходе цепи будет равен

. (6.18)

Автокорреляционная функция выходного процесса вычисляется в соответствии с (6.10)

. (6.19)

На рис. 6.4 изображены автокорреляционные функции и энергетические спектры входного и выходного случайных процессов. Из этих рисунков следует, что интегрирующая цепь вносит

корреляцию значений случайного процесса. Очевидно, дисперсия (средняя мощность) случайного процесса на выходе цепи

. (6.20)

Обратимся теперь к дифференцирующей – цепи (рис. 6.5).

Амплитудно – частотная характеристика цепи описывается выражением

.

При значение . Таким образом, дифференцирующая цепь является фильтром высоких частот и поэтому шумовая полоса цепи неограниченна. Действительно:

.

Энергетический спектр СП на выходе дифференцирующей цепи:

. (6.21)

На рис. 6.6 изображены энергетические спектры входного и выходного случайных процессов. Очевидно, дисперсия

.

Полученные результаты вполне объяснимы, т.к. дифференцирующая цепь по определению не относится к узкополосным цепям, т.к. для этой цепи .

6.4. Прохождение широкополосного случайного процесса через частотно – избирательные цепи

Задачу преобразования широкополосного СП через частотно – избирательную цепь рассмотрим на примере одноконтурного резонансного усилителя (рис. 6.7) в режиме малого сигнала. В этом режиме, как известно, усилитель можно считать линейной частотно – избирательной цепью.

Амплитудно – частотная характеристика усилителя в режиме малого сигнала описывается выражением

, (6.22)

где , .

Переходя от относительной к абсолютной расстройке, запишем

, (6.23)

где – постоянная времени цепи.

Найдем шумовую полосу резонансного усилителя

,

или в циклических частотах

. (6.24)

Перейдем к рассмотрению статистических характеристик процесса на выходе резонансного усилителя, если на его вход поступает широкополосный СП вида «белого шума» с энергетическим спектром . В соответствии с (6.9) и с учетом того, что

,

получим выражение для энергетического спектра процесса на выходе усилителя

, (6.25)

Автокорреляционная функция находится в соответствии с теоремой Винера–Хинчина

. (6.26)

На рис. 6.8 изображены энергетический спектр и автокорреляционная функция процесса на выходе усилителя. Из рисунка следует, что АКФ выходного процесса имеет колебательный характер, уменьшаясь по закону . При этом, чем больше добротность контура, т.е. чем больше , тем медленнее спадает АКФ.

Теоретически при АКФ выходного процесса преобразуется в АКФ детерминированного радиосигнала с частотой . Объясняется это тем, что при любая реализация СП на выходе представляет собой квазигармоническое колебание, частота которого в среднем равна резонансной частоте контура.

И наконец, дисперсия (средняя мощность) выходного процесса

. (6.27)

6.5. Преобразование случайных сигналов нелинейными радиотехническими цепями

Решение задачи преобразования случайных сигналов линейными радиотехническими цепями осуществлялось спектральным методом.

При этом, определялись характеристики , , при известных и комплексном коэффициенте передачи цепи .

Что касается функции распределения или плотности вероятности значений выходного процесса, то задача их определения является достаточно сложной и поддается решению лишь в отдельных частных случаях.

При решении задачи преобразования случайного процесса нелинейными цепями, наоборот, плотность вероятности определяется сравнительно просто, а определение и сопряжено со значительными трудностями. Поэтому, постановка задачи преобразования СП нелинейными цепями отличается от постановки задачи преобразования СП линейными инерционными цепями.

Напомним, что основной характеристикой нелинейного безынерционного элемента является вольт – амперная характеристика

, (6.28)

где – входной сигнал,

– выходной сигнал нелинейного элемента.

Отметим, что входной и выходной сигналы связаны детерминированной функциональной зависимостью .

Так как в рассмотренном случае входной и выходной сигналы являются случайными процессами, т.е.

, ,

то выражение (6.28) можно записать так

. (6.29)

Сформулируем теперь задачу. На вход безынерционного нелинейного элемента, описываемого характеристикой (6.29) поступает стационарный случайный процесс с известной плотностью вероятности (рис. 6.9). Необходимо определить плотность распределения вероятности выходного процесса . Задачу будем решать при следующих предположениях:

– входной процесс является стационарным эргодическим процессом;

– существует и известна функция

, (6.30)

обратная функции .

https://www.youtube.com/watch?v=fiOVrDkUWBI

Изобразим на рис. 6.10 а) зависимость и реализации входного и выходного случайных процессов.

Поскольку процесс подвергается неслучайному функциональному преобразованию этому же преобразованию подвергается и плотность вероятности . На рис. 6.10б показана характеристика и кривые плотности вероятности и входного и выходного случайных процессов.

Установим соответствие между и . Выберем некоторое значение входного процесса. Этому значению однозначно соответствует значение выходного процесса. Придадим значению элементарное приращение .

Этому приращению будет соответствовать элементарное приращение выходного процесса.

Так как зависимость однозначна, то вероятность того, что значение случайной величину будет находиться в пределах , должна быть равна вероятности того, что случайная величина будет находится в пределах , т.е.

. (6.31)

Но, с другой стороны

,

.

Тогда (6.31) можно представить следующим образом

, (6.32)

откуда следует

. (6.33)

Производная в (6.33) вычисляется по абсолютной величине (по модулю) в силу того, что функция может быть отрицательной, а плотность вероятности всегда положительна.

Так как по условию задачи известна функция обратная , т.е. , то (6.33) можно записать так

. (6.34)

Выражение (6.34) является основным результатом решения задачи нелинейного преобразования.

Если функция неоднозначна (имеет несколько ветвей (рис. 6.10 в)), то (6.34) принимает вид

. (6.35)

Перейдем к определению вероятностных характеристик выходного процесса. Математическое ожидание при известном определяется следующим образом

.

Но с другой стороны, учитывая (6.32), а также , получим

. (6.36)

Аналогично, для дисперсии

. (6.37)

Расчеты по этой формуле достаточно просты, если допускает степенную аппроксимацию.

Выражение (6.34) позволяет найти при конкретном виде зависимости . Так, пусть на вход нелинейного элемента с характеристикой , поступает случайный сигнал с нормальной одномерной плотностью вероятности (рис. 6.11)

. (6.38)

Найдем функцию, обратную функции

.

Модуль первой производной

.

Далее отметим, что функция двузначна (имеет две ветви) и сигнал при любом принимает неотрицательные значения.

С учетом отмеченных обстоятельств, воспользовавшись (6.35) запишем:

Но для нормального закона (6.38)

,

Тогда окончательно получим

На рис. 6.11 изображена кривая плотности вероятности .

Источник: https://siblec.ru/radiotekhnika-i-elektronika/radiotekhnicheskie-tsepi-i-signaly/6-preobrazovanie-sluchajnykh-signalov-radiotekhnicheskimi-tsepyami

3. Преобразование случайных процессов в нелинейных цепях

Преобразование случайных процессов в линейных и нелинейных цепях.

Нелинейныеинерционные преобразования рассматриваютсяв ходе анализа нелинейных цепей,инерционностью которых при заданныхвоздей­ствиях нельзя пренебрегать.

Поведение таких цепей описываетсянели­нейными дифференциальнымиуравнениями, общих методов решениякоторых не существует.

Поэтому задачи,связанные с исследованием нелинейныхинерционных преобразований случайныхпроцессов, почти всегда решают приближенно,пользуясь различными искусственнымиприемами.

Одиниз таких приемов состоит в представлениинелинейной инерци­онной цепи комбинациейлинейной инерционной и нелинейнойбезынерци­онной цепей. Задачаисследования воздействия случайныхпроцессов на линейную цепь рассматриваласьвыше.

Было показано, что в этом случаедостаточно просто определить спектральнуюплотность (или корреля­ционную функцию)выходного сигнала, но сложно — законраспределения. В нелинейных безынерционныхцепях основная трудность состоит внахождении корреляционной функции.

Приэтом общих методов анализа воз­действияслучайных сигналов на нелинейные цепинет. Ограничиваются решением некоторыхчастных задач, представляющих практическийинте­рес.

3.1. Статистические характеристики случайного процесса на выходе нелинейных цепей

Рассмотримпреобразование случайного процесса содномерной плотностью вероятностинелинейной безынерционной цепью схарактеристикой

y=f(x).

Очевидно,что любая реализация случайного процессаx(t) преобразуется в соответствующуюреализацию нового случайного процессаy(t), то есть

y(t)=f[x(t)].

А.Определение закона распределенияслучайного процесса y(t)

Пустьизвестна плотность вероятности р(х)случайного процесса x(t). Необходимоопределить плотность вероятности p(y)случайного процесса y(t). Рассмотрим трихарактерных случая.

1.Функция y=f(x) нелинейной цепи определяет однозначноесо­ответствие между x(t) и у(t).Полагаем, что существует обратнаяфункция х= (у),которая также определяет однозначноесоответствие между y(t) и x(t).

В этом случае,вероятность нахождения реализациислучайного процесса x(t) в интервале (x0,x0+dx)равна вероятности нахождения реализациислучайного процесса y(t)=f[x(t)] в интервале(y0,y0+dу) при y0=f(x0)и y0+dy=f(x0+dx),то есть

p(x)dx=p(y)dy

Следовательно,

p(y)=.

Производнаявзята по абсолютной величине потомучто плотность вероятности р(у) > 0, в товремя как производная может быть иотрицательной.

2.Обратная функция х= (у)неоднозначна, то есть одному значе­ниюу соответствует несколько значений х.Пусть, например, значе­нию у1=y0соответствуют значения х= x1,x2,…,xn.

Тогдаиз того факта, что у0≤y(t)≤ у0+dy, следует одна из nвзаимно несовместимых возможностей

x1≤x(t)≤ x1+dx,илиx2≤x(t)≤ x2+dx,или… xn≤x(t)≤ xn+dx.

Применяяправило сложения вероятностей получаем

p(y)= + +…+ .

/x=x1 /x=x2 /x=xn

3,Характеристика нелинейного элементау= f(x) имеет один или более горизонтальныхучастков (участки, где y=const.). Тогда выраже­ние

p(y)=

следуетдополнить слагаемым, учитывающимвероятность пребывания у(t)на интервале, где у= const.

Прощевсего этот случай рассмотреть не примере.

Пустьфункция у= f(x) имеет вид, представленныйна рис.1 и формулой

0 при xb;

Рис.1 Воздействие случайного процесса надвусторонний ограничитель.

Прих(t) b,получаем

Pa=P[y(t)-c]= P[x(t)> b]= p(x)dx,

pa(y) =Pa∙δ(y-c).

/y=c

Дляслучая a≤x≤bсправедлива формула

pa(y)=

/0≤yc

Вцелом плотность вероятности выходного процесса определяется выражением

p(y)=P1δ(y)+Paδ(yc)+.

Заметим,что для получения окончательноговыражения необходимо функциональныезависимости р(х) и dy/dx, являющиесяфункциями от х, преобразовать в функцииот у , используя обратную функцию х=(у).Таким образом, задача определенияплотности распределения случай­ногопроцесса на выходе нелинейнойбезынерционной цепи решается аналитическидля достаточно простых характеристику = f(х).

В.Определение энергетического спектраи корреляционной функции случайногопроцесса y(t)

Непосредственноопределить энергетический спектрслучайного про­цесса на выходенелинейной цепи не представляетсявозможным. Сущест­вует единственныйметод — определение корреляционнойфункции сигнала на выходе цепи споследующим применением прямогопреобразования Фурье для определенияспектра.

Еслина вход нелинейной безынерционной цепипоступает стационарный случайныйпроцесс x(t), то корреляционная функцияслучайного про­цесса y(t) на выходеможет быть представлена в виде

Ry()=By()-my2,

гдеBy()- ковариационная функция;

my-математическое ожидание случайногопроцесса y(t). Ковариационная функцияслучайного процесса представляет собойстатистически усредненное произведениезначений случайного процесса y(t) вмоменты t и t+, то есть

By()=M[y(t)y(t+)].

Дляреализаций случайного процесса y(t)произведение y(t)∙y(t+)является числом. Для процесса каксовокупности реализаций это произ­ведениеобразует случайную величину, распределениекоторой характери­зуется двумернойплотностью вероятности р2(у1,у2,),где у1=y(t), ya=y(t+).Заметим, что в последней формулепеременная t не фигу­рирует, так какпроцесс стационарный — результат от tно зависит.

Призаданной функции р2(у1,у2,)операция усреднения по множествуосуществляется по Формуле

By()=у1у2р212,)dy1dy2=f(x1)f(x2)∙p(x1,x2,)dx1dx2.

Математическоеожидание myопределяется следующим выражением:

my=yp(y)dy.

Учитывая,что p(y)dy = p(x)dx , получаем

my=f(x)p(x)dx.

Энергетическийспектр выходного сигнала в соответствиис теоремой Винера- Хинчина находитсякак прямое преобразование Фурье отковариацинной функции, то есть

Wy(w)=By()ejd

Практическоеприменение данного метода затруднено,так как двой­ной интеграл для By()удается вычислить не всегда. Приходитсяиспо­льзовать различные упрощающиеметоды, связанные со спецификой решае­мойзадачи.

Источник: https://studfile.net/preview/1438682/page:3/

В результате преобразования случайного процесса x(n) в безынерционной нелинейной цепи мы получили новый сигнал y(n)

Преобразование случайных процессов в линейных и нелинейных цепях.

КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. А. Н. ТУПОЛЕВА

Радиотехнический факультет

Кафедра теоретической радиотехники и электроники

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу: «Радиотехнические цепи и сигналы».

на тему: «Преобразование случайных сигналов в безынерционных нелинейных и инерционных линейных цепях»

Студент:

Группа:

Проверил: Козлов В.А.

Казань 2011

Задание

Исследовать характеристики и параметры случайного сигнала, их преобразование в процессе передачи сигнала через нелинейные безынерционные и линейные инерционные цепи.

1. Провести генерацию массива отсчетов случайного сигнала с равномерным законом распределения и заданными математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением (см. табл. 1).

ПРИМЕЧАНИЕ: все пункты задания за исключением п.1.4. выполняются на ЭВМ с помощью программ «LNPSFM” или «LNPSS»

2.

Изменяя длину исследуемого участка реализации установить, как зависит от степень соответствия статистических характеристик выборки: , и гистограммы теоретическим характеристикам процесса — , , кривой равномерного распределения. Для определения вероятности , с которой статистическое распределение выборки из значений может считаться соответствующим теоретически равномерному распределению, использовать критерий Пирсона.

Определить длину выборки , для которой величина будет максимальна. В дальнейшей работе использовать этот объем выборки.

3. Определить корреляционную функцию и энергетический спектр процесса , построить их графики, указав реальный масштаб по осям времен и частот соответственно. Указать также на графиках правила определения интервала корреляции процесса и энергетической ширины его спектра. Найти параметры , ..Определить тип случайного процесса — широкополосный или узкополосный.

4. Аппроксимировать (представить приближенным аналитическим выражением) закон распределения случайного процесса . По найденной функции и указанной в задании нелинейной характеристике аналитически определить функцию — закон распределения отклика нелинейного безынерционного элемента на воздействие случайного процесса . Построить график функции .

5. Провести преобразование случайного процесса в безынерционной нелинейной цепи с указанной в индивидуальном задании нелинейной характеристикой .

Для выборки из значений случайного процесса определить параметры , , построить гистограмму, графики корреляционной функции и энергетического спектра , аналогично указаниям п.3. Сопоставить гистограмму с графиком функции .

Указать, какие характеристики случайного процесса существенно изменились в результате его передачи через безынерционную нелинейную цепь.

6. Провести фильтрацию случайного процесса цифровой моделью линейной цепи с указанными в индивидуальном задании характеристиками.

Для выборки из значений случайного процесса определить параметры , , построить гистограмму, графики корреляционной функции и энергетического спектра аналогично указаниям п.3.

Используя критерий Пирсона, определить, произошла ли нормализация случайного процесса в результате его фильтрации в линейной цепи. Указать, какие характеристики случайного процесса существенно изменились в результате его передачи через линейную цепь.

Параметры исходного сигнала X(n)

Вариант 11

mXN0 = -1.75 sXN0 = 0.75 Т = 0.0002 с

Вариант нелинейности 1.2

Нелинейности

Параметры линейной цепи

Тип – ФНЧ = 500 Гц Q = 0.707

1) Случайными называют сигналы (процессы), значения которых не могут быть предсказаны с полной достоверностью (вероятностью ).

Наибольшее распространение при описании случайных сигналов имеют математическое ожидание (начальный момент 1-го порядка, в нашем случае = -1,5), – дисперсия (центральный момент 2-го порядка), среднеквадратичное отклонение sX0 = (sX0 =1,5).

Если реализация случайного процесса X(t) задана в виде выборочной последовательности значений Xi, где i = 1,2,3, … N, то

Математическое ожидание можно рассматривать как постоянную составляющую в спектре случайного сигнала, дисперсию — как среднюю мощность флуктуационной (переменной) составляющей, а среднеквадратичное отклонение – как среднюю амплитуду флуктуаций.

2) Одной из важнейших характеристик случайного процесса является одномерная плотность вероятности — функция, которая показывает, насколько часто повторяется (во времени) то или иное значение .

Для точного определения одномерной плотности случайного процесса необходимо исследовать реализацию бесконечной длительности, что на практике нереально.

Поэтому реально берут реализацию конечной длительности Тс и при ее изучении берут выборки с конечным шагом Т (в данной работе Т = 0.

0004 с), число отсчетов случайного сигнала , подвергаемых обработке, всегда конечно, следовательно, вместо P(х) получают ее оценку в виде ее гистограммы.

Изменяя длину участка реализации N (100 £ N £ 1000) определим с помощью критерия c2 такую длину участка реализации N0, для которой вероятность Р, с которой статистическое распределение выборки из N значений может считаться соответствующим теоретическому (равномерному) распределению, будет достаточно близка к единице, а величины и достаточно близки к заданным и .

Используя известные параметры статистического распределения (гистограммы) — число отсчетов сигнала, попавших в к-ый интервал, — общее число исследуемых отсчетов и результаты расчетов по предыдущему пункту определяем меру расхождения теоретического и статистического распределений

— число столбцов гистограммы ( ).

Если теоретическое распределение равномерное, ширина всех столбцов гистограммы одинакова, а число столбцов равно , то , . Если же теоретическое распределение нормальное, то

— границы к-го столбца гистограммы,

, — параметры случайного сигнала.

-1.7410 0.7499
-1.7029 0.7225 7.4
-1.7246 0.7337 6.2667
-1.7431 0.7372 2.25
-1.7511 0.7283 4.64
-1.7441 0.7270 3.6
-1.75 0.7275 5.2286
-1.7509 0.7301 3.85
-1.7584 0.7332 4.4667
-1.7637 0.7327 4.7

В дальнейшей работе будем использовать объем выработки N = 400, т. к. критерий Пирсона имеет наименьшее значение.

Определяем вероятность согласованности теоретического и статистического распределений. При этом используем найденное ранее значение и число степеней свободы распределения.

Последнее равно разности числа столбцов гистограммы (10) и числа наложенных условий.

Оно равно трем: условие нормировки, условие совпадения у теоретического и статистического распределений математического ожидания и дисперсии . В итоге . Вероятность определяем по таблице.

Значения в зависимости от при .

0,99 0,98 0,95 0,9 0,8 0,7 0,5 0,3 0,1 0,01
c2 1,239 1,564 2,17 2,83 3,82 4,67 6,35 8,38 12,02 18,48

P>0.9, значит, гипотезу о равномерном распределении сигнала принимаем.

3) Энергетический спектр случайного сигнала Wx(w) показывает, как средняя мощность сигнала распределена по диапазону частот. Для большинства случайных сигналов ширина спектра теоретически бесконечно велика.

Для оценки реальной ширины спектра вводят понятие эффективной ширины спектр Dwэ, которую можно определить как полосу частот, в пределах которой спектральная плотность средней мощности падает не более чем в 2 раза по сравнению с максимумом.

Корреляционная функция случайного процесса Rх(t) является внутренней мерой связанности процесса в различные моменты времени, отстоящие на t, его свойства (помнить) предшествующие состояния следует интервал корреляции – это величина временного сдвига t, начиная с которого значения сигнала X(t) и X(t+t) могут считаться несвязанными.

Оценку величин интервала корреляции процесса Dtк при известной корреляционной функции Rх(t) можно следующим образом: если процесс широкополосный, то Dtк равен координате первого нуля функции Rх(t); если процесс узкополосный, то Dtк определяют по координате первого нуля огибающей функции Rх(t). Корреляционная функция Rх(t) и энергетический спектр случайного сигнала Wx(w) связана между собой преобразованиями Фурье. Связаны между собой также интервал корреляции процесса и эффективная ширина его энергетического спектра

Поэтому при уменьшении эффективной ширины спектра интервал корреляции процесса увеличивается, и наоборот.

Если реализация случайного процесса X(t) задана в виде выборочной последовательности значений Xi, где i = 1,2,3, … N, то вначале можно определить корреляционную функцию

,

а затем энергетический спектр

,

где N1 – число отсчетов корреляционной функции и энергетического спектра (на 1 ¸ 2 порядка меньше числа отсчетов сигнала N, N1≈26);

Т – интервал дискретизации сигнала.

-шаг отсчета по частоте

По графику корреляционной функции можно установить, что это широкополосный сигнал.

Т = 0.0002с; N1 = 20;

4) Найдем P(x) для равномерного закона распределения

Xmin = -3.04 Xmax = -0.46

Если во всей области изменения переменной Х связь отклика Y с воздействием Х, обусловленная видом характеристики y = f(x) нелинейного элемента, однозначна, то плотность вероятности распределения мгновенных значений p(y) по известной p(x) можно найти по выражению:

, где преобразованная зависимость y = f(x).

Если нелинейность такова, что какому-то значению y = y1 отвечает конечное множество значений то

Если линейность такова, что есть значения y, которым в силу характеристики y = f(x) отвечает бесконечное число значений x (как в нашем варианте), то применяют следующее правило

[-3.04; -0.46] Ymax = Y(Xmax)=2·(-0.46)+3=2.08 [0, 2.08] P(x) = 0.388

В нашем случае

В результате преобразования случайного процесса x(n) в безынерционной нелинейной цепи мы получили новый сигнал y(n).

Для него m1YN0 = 0.4154 s1YN0 = 0.6227. Огибающая гистограммы схожа с графиком теоретически построенной функции P(y), следовательно, теоретические расчеты совпадают с практическим преобразованием. Найдем интервал корреляции и ширину энергетического спектра сигнала после нелинейного преобразования.

6) В общем случае точно установить взаимосвязь закона распределения воздействия с законом распределения отклика линейной цепи и ее частотной характеристикой очень сложно.

Но если протяженность во времени импульсной характеристики цепи такова, что хотя бы в несколько раз превышает входного случайного процесса, или полоса пропускания цепи в частотной области хотя бы в несколько раз меньше ширины энергетического спектра входного процесса, то при любом законе распределения P(x) входного процесса, случайный процесс на выходе линейной цепи будет иметь распределение, близкое к нормальному.

В результате фильтрации случайного процесса Y(n) в инерционной цепи (ФНЧ, , , τд=2∙10-4 с) мы получили новый сигнал Z(n) (Рисунок 9). Для него m1ZN0 = 0.4154 s1ZN0 = 0.2962. Гистограмма изображена на графике 10. Корреляционная функция Rz(τ) и энергетический спектр случайного сигнала Wz(ω) представлены на графиках 11 и 12.

Определим с помощью критерия c2 , произошла ли нормализация случайного процесса Y(n) в результате его фильтрации в линейной цепи.

где – число отсчетов сигнала, попавших в – интервал.

— теоретическая вероятность пребывания случайного сигнала в приделах каждого из интервалов ΔX, N – общее число исследуемых отсчетов сигнала Ni=8. В девятом и десятом столбцах гистограммы менее 10 отсчетов, поэтому объединяем их с восьмым столбцом. В таком случае суммируются числа отсчетов в этих интервалах и и вероятности пребывания в них сигнала и .

P = Ф(-0,51) — Ф(-0,73) = — 0,195 + 0,2673 = 0,0723

Р = Ф(-0,28) — Ф(-0,51) = — 0,1103 + 0,195= 0,0847

Р = Ф(-0,06) — Ф(-0,28) = -0,0239 + 0,1103 = 0,0864

Р = Ф(0,17) — Ф(-0,06) = 0,0675 + 0,0239 = 0,0914

Р = Ф(0,39) — Ф(0,17) = 0,1517 – 0,0675 = 0,0842

Р = Ф(0,62) — Ф(0,39) = 0,2324 – 0,1517 = 0,0807

Р = Ф(0,84) — Ф(0,62) = 0,3023 – 0,2324 = 0,0699

Р = Ф(1,52) — Ф(0,84) = 0,4357 – 0,3023 = 0,1334

k Pk nk (nk-NPk)2 / (NPk)
0,0723 52,81
0,0847 18,62
0,0864 25,08
0,0914 28,78
0,0842 19,04
0,0807 2,36
0,0699 0,29
0,1334 19,62

c2 = 166,6 . Нормализация Р случайного процесса Y(n) в результате его фильтрации в линейной цепи не происходит.

В результате фильтрации случайного процесса Y(n) в инерционной линейной цепи случайный сигнал не стал близким к нормальному. К этому заключению приходим из того, что полоса пропускания цепи в частотной области в 5 раз меньше ширины энергетического спектра входного процесса. Математическое ожидание осталось равно 0.4154, а среднеквадратическое отклонение уменьшилось до 0.2962.

Сигнал перестал быть широкополосным, что произошло из-за частотной характеристики К(w) линейной цепи – ФHЧ. Полоса пропускания равна:

Выводы

1. При взятой длине реализации N0 = 400, c2 является наименьшим из всех рассмотренных N0. Математическое ожидание отличается от заданного на 0,396%, а среднеквадратическое отклонение на 1,74%

2.

По виду корреляционной функции и энергетическому спектру заключаем, что сигнал широкополосный.

3. В результате преобразования случайного процесса X(n) в безынерционной нелинейной цепи, случайный сигнал перестал быть равномерным. Мат. ожидание увеличилось и стало больше нуля (m1YN0 = 0,4154), среднеквадратичное отклонение уменьшилось (s1YN0 = 0,6227). Сигнал остался широкополосным, Dtк – уменьшился: , Dfэ остался прежним: .

4. В результате фильтрации случайного процесса Y(n) в инерционной цепи нормализация не произошла. Математическое ожидание стало равным 0,4104, а среднеквадратическое отклонение 0,2962. Сигнал перестал быть широкополосным, полоса пропускания стала равна: .

Список литературы:

1. Баскаков С.И.: «Радиотехнические цепи и сигналы», М.:ВШ, 1983, 536 с.

2.

Козлов В.А.: «Преобразование случайных сигналов в безынерционных нелинейных и инерционных линейных цепях», Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева, 2001, 18 с.

(Рисунок 1)

Гистограмма исходного сигнала

(Рисунок 2)

Корреляционная функция исходного сигнала
Δτк=2·10-4 с × 1,6=3,2·10-3 c

(Рисунок 3)

Энергетический спектр исходного сигнала

(Рисунок 4)

Сигнал после нелинейного преобразования

(Рисунок 5)

Гистограмма сигнала после нелинейного преобразования

(Рисунок 6)

Корреляционная функция сигнала после нелинейного преобразования
Δτк=2·10-4 с × 1,6=3·10-3 c

(Рисунок 7)

Энергетический спектр сигнала после нелинейного преобразования

(Рисунок 8)

Сигнал после линейной фильтрации
Гистограмма сигнала после линейной фильтрации

(Рисунок 9)

(Рисунок 10)

Корреляционная функция сигнала после линейной фильтрации
Δτк=2·10-4 с × 5,5=1,1·10-3 c

(Рисунок 11)

Энергетический спектр сигнала после линейной фильтрации

(Рисунок 12)

Просмотров 301

Эта страница нарушает авторские права

Источник: https://allrefrs.ru/3-41238.html

Biz-books
Добавить комментарий