Основы векторного и тензорного анализа

Основы векторного и тензорного анализа

Основы векторного и тензорного анализа

СОДЕРЖАНИЕ

1. Криволинейныесистемы координат

2. Векторы и тензоры.Их преобразования при поворотах системыкоординат

3. Действия надтензорами

4. Свойства тензороввторого ранга

5. Символ Леви-Чивита

6. Преобразованиетензорных величин при инверсии

7.Элементы тензорного анализа

Литература

1. Криволинейные системы координат

Нередко удобноопределять положение точки в пространствене декартовыми координатами, а тремядругими величинами ,,,более соответствующими характерурешаемой задачи. Эти величины называюткриволинейнымикоординатами.

Еслиналожить должные ограничения на областьизменения криволинейных координат, томожно добиться взаимно однозначногосоответствия между переменными и :или ,.Поверхности, описываемые уравнением,называются координатными.

Линии пересечения двух координатныхповерхностей называются координатнымилиниями.Понятно, что вдоль координатной линииизменяется только одна из трехкриволинейных координат.

Если координатныелинии в каждой точке пространствавзаимно перпендикулярны, криволинейныекоординаты называются ортогональными.Примерами ортогональных криволинейныхкоординат являются сферическая системакоординат и цилиндрическая система координат .

Введем в каждойточке пространства орты ,направленные по касательным к координатнымлиниям в сторону возрастания соответствующихпеременных .В ортогональных координатах эти ортывзаимно перпендикулярны:

Определим частнуюпроизводную радиус-вектора по координате .Приращение вектора при малом изменении переменной направлено вдоль орта :,так что

Положительныевеличины называются коэффициентамиЛаме.

Учтя, что ,получим: .Отсюда .

Квадрат расстояниямежду двумя бесконечно близкими точкамивыражается через квадраты коэффициентовЛаме по формуле:

Если провестичерез две бесконечно близкие точкикоординатные поверхности, то ониограничат бесконечно малый прямоугольныйпараллелепипед с длинами ребер .Грани этого параллелепипеда имеютплощади: ,,,

а объем выражаетсяформулой: .

В ортогональнойкриволинейной системе координатвыражение для градиента скалярногополя имеет следующий вид:

(1.1)

Дивергенциявекторного поля в ортогональной криволинейной системекоординат определяется по формуле:

(1.2)

Ротор векторногополя в ортогональной криволинейной системекоординат можно записать черезопределитель:

(1.3)

Результат действияоператора Лапласа наскалярноеполе определяется, как =divgrad.Из приведенных выше формул для градиентаи дивергенции непосредственно следуетего выражение в криволинейной ортогональнойсистеме координат.

.(1.4)

Задачи

1.1 Для сферическойи цилиндрической систем координат найтиуравнения координатных поверхностейи координатных линий.

1.2 Записать квадратрасстояния между двумя бесконечноблизкими точками в сферической системекоординат. (Для сферической системыкоординат ,,).

Решение задачи1.2 Искомаявеличина равна сумме квадратов полныхдифференциалов декартовых координат.Для их вычисления используем формулу.

В результатеполучим

Раскроем скобкии упростим выражение. Итого:

1.3 Записать квадратрасстояния между двумя бесконечноблизкими точками в цилиндрическойсистеме координат. (Для цилиндрическойсистемы координат ,,).

Решение задачи1.3 Вычислимсумму квадратов полных дифференциаловдекартовых координат:

1.4 Найти коэффициентыЛаме для сферической и цилиндрическойсистем координат. вектортензор ранг инверсия

Решение задачи1.4 Искомыезначения коэффициентов Ламе легконайти, используя их определение и ответы к задачам 1.2 и 1.3.

Для сферическойсистемы координат:

.

Для цилиндрическойсистемы координат:

.

1.5 Записать формулыдля длин ребер, площадей граней и объемабесконечно малого параллелепипеда,ограниченного координатными плоскостями,в сферической и цилиндрической системахкоординат.

1.6 Получить формулыдля градиента скалярного поля в сферической и цилиндрической системахкоординат.

Решение задачи1.6 для сферической системы координат.Подставим ввыражение (1.1) найденные выше коэффициентыЛаме. Получим:

1.7 Получить формулыдля дивергенции векторного поля в сферической и цилиндрической системахкоординат.

Решение задачи1.7 для сферической системы координат.Подставим ввыражение (1.2) найденные выше коэффициентыЛаме. Получим:

1.8 Получить формулыдля ротора векторного поля в сферической и цилиндрической системахкоординат.

1.9 Получить формулыдля лапласиана скалярного поля в сферической и цилиндрической системахкоординат.

Решение задачи1.9 Подставимв выражение (1.4) соответствующиекоэффициенты Ламе. В итоге получим длясферической системы координат:

Соответственнодля цилиндрической системы координат:

1.10 Найти ,в сферической системе координат дляфункций:

а) ,б) ,в)

1.11 Найти ,,,в цилиндрической системе координат дляфункций:

а) ,б) .

Источник: https://studfile.net/preview/8123363/

Основы векторного и тензорного анализа часть i i

Основы векторного и тензорного анализа

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

А.А. НОВАКОВИЧ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

Часть I I

для студентов бакалавриата

Ростов-на-Дону

2007

Учебно-методическое пособие разработано кандидатом физико-математических наук, доцентом кафедры теоретической и вычислительной физики ЮФУ А.А. Новаковичем.

Ответственный редактор доктор физико-математических наук,

профессор Л. А. Бугаев.

Компьютерный набор и верстка А.А. Новакович.

Печатается в соответствии с решением кафедры теоретической и

вычислительной физики физического факультета ЮФУ,

протокол № 12 от 27 ноября 2007 г.

СОДЕРЖАНИЕ:

1. Криволинейные системы координат .…………………………………стр. 4

2. Векторы и тензоры. Их преобразования при поворотах

системы координат ……………………………………………………..стр. 9

3. Действия над тензорами ………………………………………………стр. 18

4. Свойства тензоров второго ранга ……….…………………………….стр. 25

5. Символ Леви-Чивита ………………………….………………………стр. 33

6. Преобразование тензорных величин при инверсии ………..………..стр. 37

7. Элементы тензорного анализа …………….………………………….стр. 42

Литература………………………………………………………………стр. 47

1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

Нередко удобно определять положение точки в пространстве не декартовыми координатами, а тремя другими величинами , , , более соответствующими характеру решаемой задачи. Эти величины называют криволинейными координатами.

Если наложить должные ограничения на область изменения криволинейных координат, то можно добиться взаимно однозначного соответствия между переменными и : или , . Поверхности, описываемые уравнением , называются координатными.

Линии пересечения двух координатных поверхностей называются координатными линиями. Понятно, что вдоль координатной линии изменяется только одна из трех криволинейных координат.

Если координатные линии в каждой точке пространства взаимно перпендикулярны, криволинейные координаты называются ортогональными. Примерами ортогональных криволинейных координат являются сферическая система координат и цилиндрическая система координат .

Введем в каждой точке пространства орты , направленные по касательным к координатным линиям в сторону возрастания соответствующих переменных . В ортогональных координатах эти орты взаимно перпендикулярны:

Определим частную производную радиус-вектора по координате . Приращение вектора при малом изменении переменной направлено вдоль орта : ,

так что

Положительные величины называются коэффициентами Ламе.

Учтя, что , получим: . Отсюда .

Квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками выражается через квадраты коэффициентов Ламе по формуле:

Если провести через две бесконечно близкие точки координатные поверхности, то они ограничат бесконечно малый прямоугольный параллелепипед с длинами ребер . Грани этого параллелепипеда имеют площади: , , ,

а объем выражается формулой: .

В ортогональной криволинейной системе координат выражение для градиента скалярного поля имеет следующий вид:

(1.1)

Дивергенция векторного поля в ортогональной криволинейной системе координат определяется по формуле:

(1.2)

Ротор векторного поля в ортогональной криволинейной системе координат можно записать через определитель:

(1.3)

Результат действия оператора Лапласа наскалярное поле определяется, как =div grad. Из приведенных выше формул для градиента и дивергенции непосредственно следует его выражение в криволинейной ортогональной системе координат.

. (1.4)

Задачи.

1.1 Для сферической и цилиндрической систем координат найти уравнения координатных поверхностей и координатных линий.

1.2 Записать квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками в сферической системе координат. (Для сферической системы координат , , ).

Решение задачи 1.2 Искомая величина равна сумме квадратов полных дифференциалов декартовых координат . Для их вычисления используем формулу .

В результате получим

. Раскроем скобки и упростим выражение. Итого:

1.3 Записать квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками в цилиндрической системе координат. (Для цилиндрической системы координат , , ).

Решение задачи 1.3 Вычислим сумму квадратов полных дифференциалов декартовых координат:

1.4 Найти коэффициенты Ламе для сферической и цилиндрической систем координат.

Решение задачи 1.4 Искомые значения коэффициентов Ламе легко найти, используя их определение и ответы к задачам 1.2 и 1.3.

Для сферической системы координат:

.

Для цилиндрической системы координат:

.

1.5 Записать формулы для длин ребер, площадей граней и объема бесконечно малого параллелепипеда, ограниченного координатными плоскостями, в сферической и цилиндрической системах координат.

1.6 Получить формулы для градиента скалярного поля в сферической и цилиндрической системах координат.

Решение задачи 1.6 для сферической системы координат. Подставим в выражение (1.1) найденные выше коэффициенты Ламе. Получим:

1.7 Получить формулы для дивергенции векторного поля в сферической и цилиндрической системах координат.

Решение задачи 1.7 для сферической системы координат. Подставим в выражение (1.2) найденные выше коэффициенты Ламе. Получим:

1.8 Получить формулы для ротора векторного поля в сферической и цилиндрической системах координат.

1.9 Получить формулы для лапласиана скалярного поля в сферической и цилиндрической системах координат.

Решение задачи 1.9 Подставим в выражение (1.4) соответствующие коэффициенты Ламе. В итоге получим для сферической системы координат:

Соответственно для цилиндрической системы координат:

1.10 Найти , в сферической системе координат для функций:

а) , б) , в)

1.11 Найти , , , в цилиндрической системе координат для функций:

а) , б) .

2. ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ. ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ПРИ ПОВОРОТАХ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

Пусть и две декартовы системы координат, повернутые друг относительно друга, с базисными векторами (ортами) , , образующими правые ортонормированные тройки. Поскольку системы координат и декартовы, то и .

Здесь — символКронекера.

Произвольный вектор можно разложить подобно радиус-вектору по ортам обеих систем координат:

(Данные выражения записаны с использованием правила Эйнштейна, которое подразумевает суммирование по парам повторяющихся индексов, в то время как знак суммы опускается. Это правило будет использовано в дальнейшем).

Величины и называются компонентами вектора и являются ортогональными проекциями данного вектора на орты и :

, и .

Установим связь между проекциями вектора на различные базисные орты:

(2.1)

где — матричные элементы матрицы поворота . Если объединить компоненты в одностолбцовую матрицу , а компоненты в одностолбцовую матрицу , то закон преобразования компонент вектора можно записать в матричных обозначениях:

Задание. Убедиться в справедливости последнего равенства, раскрыв в явном виде произведение матриц.

Докажем, что матрица ортогональна, т.е. :

При выводе мы воспользовались свойствами скалярного произведения и тем, что , поскольку левая часть равенства представляет собой разложение базисного орта по базисным ортам .

Задание. Докажите, что

С учетом закона преобразования компонент вектора при повороте системы координат можно дать следующее определение вектора:

Вектором называется трехкомпонентная величина, компоненты которой преобразуются при повороте системы координат так же, как компоненты радиус-вектора по правилу (2.1) с помощью матрицы поворота .

Такое определение вектора допускает обобщение на случай величин с числом компонент, большим трех. Так возможны девятикомпонентные

величины, компоненты которых нумеруются двумя векторными индексами , каждый из которых пробегает независимо значения 1,2,3. Возможны 27-и

компонентные величины, компоненты которых нумеруются тремя векторными индексами. Наконец, возможны — компонентные величины, компоненты которых нумеруются N векторными индексами (векторные индексы независимо пробегают множество значений 1,2,3). Если компоненты этих многокомпонентных величин преобразуются по законам:

то эти многокомпонентные величины называются тензорами соответственно второго, третьего и N-ранга. Ранг тензора определяется числом векторных индексов, нумерующих его компоненты. Максимальное число независимых компонент тензора ранга N равно в случае трехмерного пространства.

Вопрос. Чему равно число независимых компонент тензора ранга N в случае двумерного пространства?

Компоненты тензора второго ранга естественно объединяются в квадратную матрицу со следующим законом преобразования матричных элементов:

или ,

где и квадратные матрицы с матричными элементами и .

Очевидно, что вектор является тензором первого ранга, а скаляр — нулевого. Ранг тензора также называют тензорной размерностью, или валентностью.

Задачи.

2.1 Найти матрицу преобразования системы декартовых координат на плоскости при повороте на угол .

Решение задачи 2.1 Матричные элементы искомой матрицы вычисляются как скалярные произведения , здесь индексы i,j принимают только два значения: 1 или 2.

Так как все орты по определению имеют единичные модули, каждое скалярное произведение равно косинусу угла между соответствующими ортами.

Нарисуйте на листе бумаги пояснительный чертеж и убедитесь, что углы между парами базисных орт и одинаковы и равны углу поворота . Поэтому . Угол между ортами равен , и соответственно . Угол между ортами равен , поэтому .

2.1.1. Убедиться, что определитель матрицы равен 1.

2.1.2 Убедиться, что матрица ортогональна, т.е. , где -транспонированная матрица, а -единичная матрица.

2.1.3 Убедиться, что — матрица поворота на угол совпадает с произведением матриц и , которые являются матрицами поворота на углы и соответственно.

2.1.4. Убедиться, что матрица поворота на угол совпадает с матрицей , где — матрица поворота на угол .

2.2 Найти матрицу поворота в трехмерном пространстве относительно заданной координатной оси на угол .

2.2.1 Вокруг оси Oz

Решение задачи 2.2.1 Очевидно, что базисные орты , повернутой вокруг оси Oz системы координат, лежат в Oxy плоскости исходной координатной системы. Выше (см. задачу 2.1) мы уже вычислили скалярные произведения для i,j=1 и 2.

Фактически мы нашли соответствующие им матричные элементы искомой матрицы повороты в трехмерном пространстве: , . Для нахождения остальных матричных элементов заметим, что базисные орты ортогональны орту , поэтому . После выполнения поворота вокруг оси Oz направление аналогичной оси новой системы координат не изменится, т.е. орт .

Оставшиеся матричные элементы вычисляются тривиально: (j=1,2,3). Выпишем явный вид матрицы поворота вокруг оси Oz:

2.2.2 Вокруг оси Ox

Решение задачи 2.2.2 во многом аналогично решению предыдущей задачи.

Приведем в качестве ответа явный вид искомой матрицы поворота:

2.2.3 Вокруг оси Oy

2.3 Найти матрицу поворота в трехмерном пространстве на углы Эйлера. Углы Эйлера определены следующим образом: вначале проводится поворот на угол вокруг оси , затем производится поворот на угол вокруг новой оси , а после этого производится поворот на угол вокруг новой оси .

2.3.1 Доказать, что матрица может быть записана в виде произведения трех матриц , где матрица соответствует повороту на угол вокруг оси , матрица соответствует повороту на угол вокруг новой оси , матрица соответствует повороту на угол вокруг новой оси .

Решение задачи 2.3.1 Рассмотрим вектор с компонентами , заданными в исходной системе координат . Объединим его компоненты в матрицу, состоящую из одного столбца (в так называемый вектор-столбец).

Компоненты этого вектора в новой системе координат , повернутой вокруг оси на угол , вычислим как матричное произведение . Давайте рассматривать повернутую систему координат как новую исходную, и совершим далее поворот вокруг ее оси на угол .

Компоненты вектора в новой, повернутой системе координат вычислим как матричное произведение .

Матрица поворота составлена из косинусов углов между ортами новой исходной, и новой повернутой координатных систем. Для ее вычисления мы фактически должны повторить решение задачи 2.2.2 и получить в результате ту же матрицу с заменой угла на . Давайте примем систему координат

за новую исходную, и выполним последний поворот вокруг оси на угол . Компоненты вектора в системе координат теперь вычисляются как .

Матрица составлена их косинусов углов между соответствующими ортами. Она совпадает с матрицей поворота вокруг оси Oz, найденной в ходе решения задачи 2.2.1, с заменой угла на . Итого: . Приведем для справки явный вид матрицы поворота на углы Эйлера , , .

2.3.2 Доказать, что .

2.3.3 Выразить матрицу обратного преобразования через произведение матриц поворотов вокруг осей Ox и Oz.

2.4 Найти матрицу для следующих углов Эйлера:

2.4.1

2.4.2

2.4.3

2.4.4

2.4.5

2.4.6

2.5 В случае двумерного пространства вычислить компоненты вектора в системе координат повернутой на угол по сравнению с исходной. Компоненты вектора и угол следующие:

2.5.1

2.5.2

2.5.3

2.5.4

2.5.5

2.5.6

2.6 В случае двумерного пространства вычислить компоненты тензора второго ранга в системе координат, повернутой на угол по сравнению с исходной. Компоненты тензора и угол следующие:

2.6.1

2.6.2

2.6.3

2.6.4

2.6.5

2.6.6

2.7 В трехмерном пространстве заданы компоненты вектора. Найти

компоненты вектора в системе координат, повернутой на угол вокруг оси Ox

по сравнению с исходной. Компоненты вектора и угол следующие:

2.7.1

2.7.2

Решение задачи 2.7 дается общей формулой:

Для конкретного варианта, указанного в пункте 2.7.1 получаем

2.8 В трехмерном пространстве заданы компоненты вектора. Найти компоненты вектора в системе координат, повернутой на угол вокруг оси Oy по сравнению с исходной. Компоненты вектора и угол следующие:

2.8.1

2.8.2

2.9 В трехмерном пространстве заданы компоненты вектора. Найти компоненты вектора в системе координат, повернутой на угол вокруг оси Oz по сравнению с исходной. Компоненты вектора и угол следующие:

2.9.1

2.9.2

2.10 В случае двумерного пространства найти компоненты тензора в системе координат, повернутой относительно исходной на угол .

3. ДЕЙСТВИЯ НАД ТЕНЗОРАМИ.

Перечислим возможные действия над тензорами, в результате которых возникают также тензорные величины.

1. Если все компоненты некоторого тензора умножить на одинаковую скалярную величину, в результате получится новая многокомпонентная величина, являющаяся тензором того же ранга, что и исходный тензор.

2. Покомпонентное сложение двух тензоров одинакового ранга дает компоненты тензора, называемого суммой исходных тензоров и имеющего тот же ранг. Складывать тензоры различных рангов недопустимо.

3. Если каждая компонента одного тензора ранга N умножается на всевозможные компоненты второго тензора ранга M, возникает многокомпонентная величина, являющаяся тензором ранга N+M. Данная операция называется операцией внешнего произведения тензоров.

4. Если из компонент тензора ранга N выбрать такие компоненты, у которых нумерующие индексы в двух позициях (скажем k и p) одинаковы , и равны некоторой величине i, после чего сложить выбранные компоненты, отвечающие возможным значениям индекса i, т.е. i=1,2,3, при неизменных нумерующих индексах в других позициях, то полученная многокомпонентная величина:

является тензором ранга N-2. Такая операция называется сверткой тензора по индексам, занимающими позиции k и p. Например

Задание. Показать, что число различных вариантов сверток тензора ранга N равно .

5. Многокомпонентная величина, полученная из исходного тензора ранга N путем перестановки его индексов, является тензором того же ранга. Например, из компонент тензора второго ранга можно составить новый тензора второго ранга . Симметричным называется тензор, компоненты которого не изменяются при перестановке индексов.

Аналогично, если при перестановке любой пары индексов у любой компоненты тензора возникает компонента, равная исходной по величине и противоположной по знаку, тензор называется антисимметричным.

Задание. Убедиться в том, что в трехмерном пространстве возможны антисимметричные тензоры только 2-го и 3-го рангов.

Для доказательства того, что в результате перечисленных выше действий над тензорами вновь возникают тензоры, необходимо убедиться в том, что компоненты последних преобразуются при преобразовании координат по тензорному закону. Докажем, например, что при свертке тензора 3-го ранга возникает тензор ранга (3-2)=1, т.е. вектор.

Свернем тензор , например, по первому и второму индексам. Для этого отберем из 27 компонент те, у которых два первых индекса одинаковы и просуммируем по ним при фиксированном значении индекса k. Мы получим три компоненты . (k=1,2,3).

Чтобы доказать, что эти компоненты являются компонентами вектора, необходимо проверить, что они преобразуются по

векторному закону. Выполним свертку тензора в другой системе

координат, которая повернута относительно исходной, и получим:

В силу ортогональности матрицы преобразования имеем:

С учетом этого получаем:

Отсюда следует, что данная свертка при повороте системы координат преобразуется по закону преобразования компонент вектора, что и требовалось доказать.

Задачи.

3.1 Даны скаляр и тензор третьего ранга . Доказать ,что — тензор третьего ранга.

3.2 Даны тензоры второго ранга и . Доказать, что — тензор второго ранга.

Решение задачи 3.2 Выполним покомпонентное сложение этих тензоров в повернутой системе координат. . Или, . Отсюда следует, что сумма данных тензоров при повороте системы координат преобразуется по закону преобразования компонент тензора второго ранга, что и требовалось доказать.

3.3 Даны векторы и . Доказать, что множество величинобразуют тензор второго ранга. Такой тензор иногда называют диадой.

Решение задачи 3.3 Составим множество аналогичных величин из компонент векторов и в повернутой системе координат . Отсюда следует, что внешнее произведение двух векторных величин при повороте системы координат преобразуется по закону преобразования компонент тензора второго ранга, что и требовалось доказать.

3.4 Даны вектор и тензор второго ранга . Доказать, что множество величин образуют тензор третьего ранга.

3.5 Дан вектор . Показать, что сумма не является скалярной величиной. (Т.е. не имеет тензорную природу).

Решение задачи 5.5. Рассмотрим конкретный пример, и убедимся, что указанная сумма изменится при повороте системы координат. Пусть в исходной системе координат компонента вектора .

Модуль данного вектора . Повернем систему координат так, чтобы новая ось OX была параллельна данному вектору. Очевидно, что в такой системе координат его компоненты .

В исходной системе координат сумма , а в новой, соответственно: .

3.6 Дан тензор второго ранга . Доказать, что множество величин, задаваемых равенствами , образует тензор второго ранга.

3.7 Дан тензор третьего ранга . Доказать, что множество величин образуют тензор третьего ранга.

3.8 Даны скаляр и вектор . Доказать, что трехкомпонентная величина не является величиной тензорной природы.

3.9 Доказать, что свертка тензора второго ранга является скаляром: . Такая свертка часто называется следом тензора .

Замечание. Здесь и в дальнейшем знаки сумм будут зачастую опускаться, и использоваться правило суммирования Эйнштейна.

3.10 Даны тензоры второго ранга и . Доказать, что множество величин образуют тензор четвертого ранга.

3.11 Найти вектор и вектор , где векторы и равны:

3.11.1

3.11.2

3.11.3

3.11.4

3.12 Найти тензор и тензор , где и являются тензорами в двумерном пространстве и их компоненты равны:

3.12.1

3.12.2

3.12.3

3.13 Вычислить след тензоров и , где тензоры и определены в задании 3.12

3.14 В двумерном пространстве заданы векторы и , а так же тензоры второго ранга и . Найти тензорную размерность приведенных ниже величин и вычислить все их компоненты:

3.14.1 3.14.2

3.14.3 3.14.4

3.14.5 3.14.5

3.17.6 3.14.7

Источник: https://textarchive.ru/c-1043625-pall.html

Biz-books
Добавить комментарий