Определить в каких точках плотность вероятности имеет…

Плотность вероятности и плотность потока вероятности

Определить в каких точках плотность вероятности имеет...

В квантовой механике состояние микрочастиц описывают при помощи волновой функции $\Psi(\overrightarrow{r},t)$. Она является основным носителем информации о свойствах частиц. Вероятность ($dP$) нахождения частицы в элементе, который имеет объем $dV=dxdydz$ около точки с координатами $(x,y,z)$:

где величина равная:

называется плотностью вероятности. Она определяет вероятность того, что частица находится в единичном объеме в окрестности точки ($x,y,z$). Физический смысл имеет не сама волновая функция, квадрат ее модуля (${\left|\Psi\right|}2$).

Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме V по теореме о сложении вероятности равна:

Так как величина ${\left|\Psi\right|}2dV$ определена как вероятность, волновую функцию следует нормировать. Вероятность достоверного события должна быть равна единице, если в качестве объема ($V=\infty )$ принимать все пространство. Это означает, что при данном условии частица находится в пространстве, где — либо. Условие нормировки вероятности записывается как:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Интеграл в выражении (1) вычисляется по всему пространству. Условие (4) отражает факт объективного существования частицы во времени и пространстве.

Так, например, величина ${\left|\Psi(x)\right|}2$ определяет плотность вероятности нахождения частицы в точке $x$ для одномерного движения. Следовательно, среднее значение координаты частицы можно найти как:

Плотность потока вероятности

Найдем производную по времени ($\frac{d}{dt}$) от вероятности нахождения частицы в объеме $V$, то есть:

В классической физике функцией Гамильтона ($H\left(\overrightarrow{r},\overrightarrow{p}\right)$) называют полную энергию, которая выражена через импульсы и координаты частицы. Для одной частицы полная энергия равна:

В квантовой механике функции Гамильтона соответствует оператор. Он получится, если в выражение (7) вместо вектора импульса подставить оператор $\hat{p}$, равный:

То есть имеем:

Используя выражение (9), запишем:

Получаем, применяя (10):

Применим тождество:

Получаем:

где вектор $\overrightarrow{j}$ равен выражению:

По теореме Гаусса имеем:

Из выражения (15) видно, что вектор $\overrightarrow{j}$ может быть назван вектором плотности потока вероятности (плотность потока). Интеграл от данного вектора по поверхности $S$ — вероятность того, что частица за единицу времени пересечет выделенную поверхность. Вектор плотности потока вероятности и плотность вероятности удовлетворяют уравнению:

Уравнение (16) можно назвать аналогом уравнения непрерывности в классической физике.

Пример 1

Задание: Собственная волновая функция частицы, которая находится в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике, равна: $\Psi\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{l}}{\sin \left(\frac{\pi nx}{l}\right)\ }\left(n=1,2,3,\dots \right),$ где $l$ — длина ящика, $x$ — координата ($0

Решение:

Вероятность ($dP$) нахождения частицы в интервале $dx$ определим, используя плотность вероятности ${\left|\Psi\right|}2$ и выражение (для одномерного случая):

\[dP={\left|\Psi\right|}2dx\left(1.1\right).\]

Следовательно, сама вероятность будет найдена как:

\[P=\int\limits{\frac{l}{3}}_0{{\left|\Psi\right|}2dx\left(1.2\right)}.\]

Если частица находится в основном состоянии, то для нее $n=1$. Используем волновую функцию, заданную в условиях, подставим ее в интеграл (1.2), получим:

\[P=\int\limits{\frac{l}{3}}_0{{\left(\sqrt{\frac{2}{l}}{sin \left(\frac{\pi x}{l}\right)\ }\right)}2dx=\frac{2}{l}\int\limits{\frac{l}{3}}_0{{\left({sin \left(\frac{\pi x}{l}\right)\ }\right)}2dx}\left(1.3\right).}\]

Применим тригонометрическую формулу:

\[{sin}2\alpha =\frac{1-{\cos \left(2\alpha \right)\ }}{2}\left(1.4\right).\]

Вычислим интеграл (1.3), получаем:

\[P=\frac{1}{l}\left[\int\limits{\frac{l}{3}}_0{dx}-\int\limits{\frac{l}{3}}_0{{\rm cos}\Psi(\frac{2\pi x}{l})dx}\right]=\frac{1}{l}\left[\frac{l}{3}-\frac{l}{2\pi }{\rm sin}\Psi(\frac{2\pi x}{l})\right]=\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4\pi }\approx 0,195.\]

Ответ: $P=0,195.$

Пример 2

Задание: Частица находится в сферически симметричном потенциальном поле. Волновая функция некоторой частицы имеет вид: $\Psi\left(r\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi a}}\frac{e{-\frac{r}{a}}}{r}$, где $r$ — расстояние от частицы до силового центра, $a=const$. Каково среднее расстояние ($\left\langle r\right\rangle $) от частицы до силового центра.

Решение:

Используем формулу, для вычисления среднего значения величины, через плотность вероятности:

\[\left\langle r\right\rangle =\int{{\left|\Psi\left(r\right)\right|}2rdV\left(2.1\right),}\]

где $dV=4\pi r2dr-\ $сферический слой с радиусами $r$ и $r+dr$.

В интеграл (2.1) подставим ${\left|\Psi\left(r\right)\right|}2$, возьмем интеграл по частям, имеем:

\[\left\langle r\right\rangle =\frac{1}{2\pi a}\int\limits{\infty }_0{\frac{e{-2\frac{r}{a}}}{r2}r4\pi r2dr=\frac{2}{a}\int\limits{\infty }_0{e{-2\frac{r}{a}}\cdot rdr=\frac{a}{2}}(2.2)}.\]

Ответ: $\left\langle r\right\rangle =\frac{a}{2}$.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/predmet_i_zadachi_atomnoy_fiziki/plotnost_veroyatnosti_i_plotnost_potoka_veroyatnosti/

Функция распределения вероятностей. Плотность вероятностей

Определить в каких точках плотность вероятности имеет...

Определение. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Для непрерывной случайной величины вводится понятие функции распределения.

Определение. Функцией распределения вероятностей случайной величины Х называют функцию F(х), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее x, то есть:

F(х) = P(X < x)

Часто вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция распределения».

Свойства функции распределения:

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку:

0 ≤ F(х) ≤ 1.

2. Функция распределения есть неубывающая функция, то есть:

если x > x ,

то F(x ) ≥ F(x ).

3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале [a; b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a).

4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю:

Р(Х = x )=0.

5. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; b), то

F(x) = 0 при х ≤ a;

F(х) = 1 при х ≥ b.

6. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси Ox, то справедливы следующие предельные соотношения:

.

Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения:

f(x) = F'(x).

Часто вместо термина «плотность распределения вероятностей» используют термин «плотность вероятностей» и «дифференциальная функция».

Свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения неотрицательна в любой точке оси Ох:

f(x)≥0 при х (– ∞; +∞).

2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), определяется равенством:

P(a < X < b) = .

3. Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения:

F(x)= .

4. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от –∞ до +∞ равен единице:

dx = 1.

5. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a;b), то

= 1.

Определение. Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством

М(Х)= ,

где f(x) – плотность распределения случайной величины Х.

Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу (a;b), то

М(Х)= .

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

М(С) = С.

2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

.

4. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

.

Определение. Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:

D(x)=

Как и в случае с дискретной случайной величиной, можно показать, что

D(x)=

В частности, если все возможные значения Х принадлежат интервалу (a;b), то

D(X)=

или

D(X)= .

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1. Дисперсия постоянной равна нулю:

D(C) = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

D(CХ)=C D(Х).

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

.

4. Дисперсия произведения независимых случайных величин равна произведению дисперсий сомножителей:

.

5. Дисперсия суммы постоянной и независимой случайной величины равна квадрату постоянной на дисперсию независимой случайной величины:

.

Пример. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х

Требуется найти:

1. График F(x),

2. Плотность f(x),

3. График f(x),

4. Математическое ожидание М(Х),

5. Дисперсию D(Х),

6. Среднее квадратическое отклонение σ,

7. Р(Х < –2), P( ≤ Х < 1) P(Х ≥ ).

Решение.

1. Построим график функции распределения

Рис. 2. График функции распределения.

2. Так как плотность f(x) равна первой производной от функции распределения

f(x)= F′(х),

то найдем производные от каждой из функций, составляющих функцию F(x):

.

Тогда получаем функцию f(x):

f(x)=

3. Построим график плотности f(x)

Рис. 3. График плотности f(x).

Заметим, что при х = 0 производная F′(х) не существует.

4. Найдем математическое ожидание непрерывной случайной величины Х:

М(Х)= = = = = = .

5. Чтобы найти дисперсию непрерывной случайной величины Х, найдём математическое ожидание случайной величины Х :

М(Х )= = = = =2.

Дисперсию найдем по формуле:

D(Х) = M(Х ) – M (Х) = 2- = 2 -1,78 = 0,22.

6. Среднее квадратическое отклонение σ найдем по формуле:

σ(X) = = = 0,47.

7. Найдем вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала (– ;– 2), то есть Р(Х< – 2):

Р(Х< – 2) = F(– 2) = 0,

Вторую вероятность Р( ≤ Х < 1) найдём по формуле Р(a ≤ Х < b)= F(b) – F(a):

Р( ≤Х

Источник: https://studopedia.ru/9_61078_funktsiya-raspredeleniya-veroyatnostey-plotnost-veroyatnostey.html

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Определить в каких точках плотность вероятности имеет...

Cтраница 1

Плотность вероятности нахождения частицы РІ определенном месте, которая определяется квадратом волновой функции, имеет РІРёРґ РіРѕСЂР±Р° ( СЂРёСЃ. 1.5), расположенного РІ центре квадрата.  [2]

Показать, что плотность вероятности нахождения частицы определяется только координатной С„-функцией.  [3]

I Р•2 I2 есть плотность вероятности нахождения частицы РІ данной точке пространства.  [4]

Временная компонента вектора тока равна плотности вероятности нахождения частицы РІ точке аз РІ момент времени С…, Р° его пространственные компоненты являются компонентами трехмерного вектора потока вероятности.  [5]

Рассмотрим далее наряду СЃ понятием плотности вероятности нахождения частицы РІ различных точках пространства Рё такое понятие, как плотность потока вероятности.  [6]

Р’ каких точках интервала 0 С… I плотность вероятности нахождения частицы имеет экстремальные значения.  [7]

Левая часть (23.15) есть производная по времени от плотности вероятности нахождения частицы вблизи некоторой точки пространства. Проинтегрируем (23.

15) РїРѕ всему объему, РІ котором может находиться частица. Если этот объем имеет конечные размеры, то Р·Р° его пределами Рі СЌ Рё — С„ должны обращаться РІ нуль.

 [8]

Это уравнение имеет наглядный физический смысл: Рѕ2 есть плотность вероятности нахождения частицы РІ том или РёРЅРѕРј месте пространства ( ЧМ2 — СЏ3); ySfm — p / m есть классическая скорость v частицы.

Поэтому уравнение ( 17 11) есть РЅРµ что РёРЅРѕРµ, как уравнение непрерывности, показывающее, что плотность вероятности перемещается РїРѕ законам классической механики СЃ клас сической скоростью Сѓ РІ каждой точке.  [9]

Это уравнение имеет наглядный физический смысл: а2 есть плотность вероятности нахождения частицы в том или ином месте пространства ( Ф 2 a2); VS / m р / т есть классическая скорость v частицы.

Поэтому уравнение (17.

11) есть РЅРµ что РёРЅРѕРµ, как уравнение непрерывности, показывающее, что плотность вероятности перемещается РїРѕ законам классической механики СЃ классической скоростью v РІ каждой точке.  [10]

Это уравнение имеет наглядный физический смысл: а2 есть плотность вероятности нахождения частицы в том или ином месте пространства ( Ф 2 a2); VS / m р / га есть классическая скорость v частицы.

Поэтому уравнение (17.

11) есть РЅРµ что РёРЅРѕРµ, как уравнение непрерывности, показывающее, что плотность вероятности перемещается РїРѕ законам классической механики СЃ классической скоростью v РІ каждой точке.  [11]

Определить, РІ каких точках интервала ( 0Р» РЎРћ плотность вероятности нахождения частицы имеет максимальное Рё минимальное значения.  [12]

Р’ этом уравнении — так называемая волновая функция, квадрат которой выражает плотность вероятности нахождения частицы РІ данной точке пространства.  [13]

Р’ этом уравнении ib — так называемая волновая функция, квадрат которой выражает плотность вероятности нахождения частицы РІ данной точке пространства.  [14]

Рћ РЎРґРІРёРі локализации волновой функции Фп ( Р¶) избранного РіРі-РіРѕ состояния ( управление плотностью вероятности нахождения частицы посредством изменения спектрального весового множителя СЃРї): например, можно прижать функцию Рє началу координат, СЃРј. СЂРёСЃ. 2.1. Вместе СЃРѕ сдвигами уровней Еп, изменения СЃРї образуют полный набор произвольных трансформаций потенциалов. Оказывается, можно понять, как преобразуется РїСЂРё этом каждая пучность функции РїРѕРґ действием простейших блоков потенциальных возмущений. РџСЂРё этом РІСЃРµ РґСЂСѓРіРёРµ состояния как Р±С‹ отшатываются РІ противоположную сторону, РїСЂРѕРёСЃС…РѕРґРёС‚ сепарация избранного состояния СЂРёСЃ. 2.1, 2.2. Это представляет СЃРѕР±РѕР№ важный элемент волновой грамоты, долго остававшийся незамеченным СЃРѕ времени создания квантовой механики.  [15]

Страницы:      1    2

Источник: https://www.ngpedia.ru/id263022p1.html

Плотность вероятности - это не сама вероятность

Определить в каких точках плотность вероятности имеет...

Наибольшее значение вероятности — единица. Это общеизвестный факт! Однако для некоторых плотностей вероятности (например, плотности вероятности экспоненциального распределения на графике ниже), когда λ= 1.5 и

Источник: https://nuancesprog.ru/p/5036/

Biz-books
Добавить комментарий