Определение собственного момента инерции тел методом физического маятника. Миндолин С.Ф

Определение осевого момента инерции тела методом физического маятника

Определение собственного момента инерции тел методом физического маятника. Миндолин С.Ф

Цель работы: освоение метода экспериментального определения момента инерции вращающегося тела с помощью дополнительного груза.

1. Краткая теория

Теория данной работы практически совпадает с теорией, изложенной в пункте 1 описания лабораторной работы №1.2.2. Поэтому прежде чем приступить к работе, конспектируйте указанный теоретический материал.

2. Описание методики измерения и лабораторной установки

Приборы и принадлежности: цилиндр или шар с прикрепленным дополнительным грузом, штангенциркуль, секундомер.

На практике часто возникает необходимость в определении осевого момента инерции тела, вращающегося относительно оси, проходящей через его центр инерции. Тело находится в этом случае в уравновешенном состоянии и не способно совершать колебания вокруг оси вращения.

Однако, если к исследуемому телу прикрепить вспомогательный груз mо (вне оси вращения), то состояние безразличного равновесия системы под действием силы тяжести дополнительного груза заменяется состоянием устойчивого равновесия. В этом случае исследуемое тело с дополнительным грузом можно рассматривать как физический маятник.

Период колебаний такого физического маятника можно вычислить по формуле:

T = 2π

J           ,

[(mо  + m)gL]

откуда момент инерции J системы относительно оси вращения:

T 2 (m

+ m )gL

J =      о          ,           (27)

4π 2

где m – масса исследуемого тела, L – расстояние центра инерции системы относительно оси вращения.

20

Для  определения момента инерции  исследуемого тела  J m    из

общего момента инерции системы J  необходимо вычесть момент инерции дополнительного груза относительно общей оси колебания J    :

0

J m  = J − J m

.           (28)

В качестве дополнительного груза обычно берут однородные тела правильной геометрической формы, момент инерции которых относительно оси симметрии можно точно вычислить. Например, цилиндр или шар, моменты инерции, которых приведены в таблице 1 теоретической части работы № 1.2.1.

Момент инерции дополнительного груза можно вычислить по теореме Штейнера (10).

Координата центра инерции нахо — l

дится по формуле:

Чтобы  иметь  возможность  проверить результаты экспериментального определения момента инерции тела, в данной работе применяются тела в виде диска (рис. 6) или шара.

r

Рис. 6. Физический маятник с дополнительным грузом

3. Измерения и обработка результатов измерений

Вид физического маятника для исследования задается преподавателем.

1.   С помощью штангенциркуля измерьте диаметры исследуемого тела D и дополнительного груза d в трех разных сечениях и определите радиусы  R и r.  Вычислите расстояние l между центрами инерции тел.

2.   Измерив время определенного количества колебаний (в пределах 5−10), определите период колебаний системы,. Измерения проводите три раза для разного количества колебаний.

3.   По формуле (29) по среднему значению l вычислите расстояние от оси вращения до центра инерции L. Массы считаются заданными.

21

4.   По формуле (27) вычислите момент инерции системы J для каждого измерения.

5.   По средним значениям r  и l  вычислите момент инерции дополнительного груза

J           по формуле (10).

0

6.   Рассчитайте момент инерции исследуемого тела J m

по формуле (28). Результаты измерений и расчетов занесите в таблицу 4.

Результаты измерений и расчетов

Таблица 4

№опытаR, мr, мl, мL, мТ, сJ,кг⋅м2Jmo,кг⋅м2Jm,кг⋅м2∆J,кг⋅м2
123
Ср.

7.   Вычислите доверительный интервал для момента инерции исследуемого тела:

коэффициент Стьюдента, (строгое определение ∆J m

производится по методу косвенных измерений). Результат занесите в последнюю ячейку тал. 4.

8.   Вычислите момент инерции исследуемого тела, по формуле,

приведенной в табл. 1  и сравните с экспериментальным значением.

Контрольные вопросы

1.   Дайте определение физического маятника.

2.   В чем заключается суть метода определения момента инерции тела методом дополнительного груза?

3.   Что называется моментом инерции? Сформулируйте и запишите теорему Штейнера.

4.   Что называется центром инерции тела?

22

Материал взят из методических указаний Динамика твердого тела (Биктагиров В.В.)

Источник: http://studik.net/opredelenie-osevogo-momenta-inercii-tela-metodom-fizicheskogo-mayatnika/

Определение момента инерции физического маятника

Определение собственного момента инерции тел методом физического маятника. Миндолин С.Ф

РОСЖЕЛДОР

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ростовский государственный университет путей сообщения»

(РГУПС)

, ,

Определение момента инерции физического маятника

Методические указания к лабораторной работе по физике

Ростов-на-Дону

2007

УДК 681.3

Ладакин, Ю. Н.

Определение момента инерции физического маятника: методические указания к лабораторной работе по физике / , , ; Рост. гос. ун-т путей сообщения. – Ростов н/Д, 2007. – 10 с. : ил. – Библиогр.: 2 назв.

Содержатся краткие теоретические сведения по разделам «Колебания» и «Динамика твердого тела». Дано описание и принцип действия лабораторной установки, порядок выполнения работы и рекомендуемая литература. Сформулированы контрольные вопросы для закрепления полученных знаний.

Методические указания одобрены к изданию кафедрой «Физика» РГУПС. Предназначены для студентов всех специальностей РГУПС.

Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. (РГУПС)

Учебное издание

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Методические указания к лабораторной работе по физике

Редактор

Техническое редактирование и корректура

Подписано к печати 28.12.07. Формат 60´84/16.

Бумага газетная. Ризография. Усл. печ. л. 0.58.

Уч.-изд. л. 0.53. Тираж 50 экз. Изд. № 58. Заказ №

Ростовский государственный университет путей сообщения.

Ризография РГУПС.

Адрес университета: 344038, г. Ростов н/Д, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2.

Ó Ростовский государственный университет путей сообщения, 2007

Теоретические сведения

Устройство и принцип действия установки

Порядок выполнения работы

Контрольные вопросы

Библиографический список

Приборы и принадлежности: маятник Обербека, испытываемое тело (диск), электронный секундомер, штангенциркуль, линейка, отвертка.

Цель работы: определение момента инерции физического маятника экспериментальным и расчетным способами с использованием теоремы Штейнера.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Момент инерции – это физическая величина, количественно характеризующая инерциальные свойства тела при его вращательном движении. Инерция вращения твердого тела зависит не только собственно от массы тела, но и от распределения этой массы в пространстве относительно оси вращения.

Относительно просто рассчитываются моменты инерции геометрически симметричных тел. Аналитический расчет моментов инерции тел произвольной формы представляет собой громоздкую, требующую опыта вычислений задачу.

Рис. 1

Твердое тело произвольной формы, совершающее колебания относительно оси, проходящей через точку подвеса (рис. 1), называется физическим маятником. Требуется определить момент инерции этого маятника.

В положении равновесия центр масс маятника находится на вертикальной линии .

На маятник действуют две силы: сила тяжести и сила реакции подвеса (полагаем, что силы трения и сопротивления движению маятника отсутствуют). Отклоним маятник от вертикали на угол (угловоесмещение). Дальнейшее движение предоставленного самому себе маятника можно рассматривать как вращательное относительно оси, совпадающей с осью , перпендикулярной к плоскости рисунка.

Согласно основному закону динамики вращательного движения угловое ускорение маятника () относительно оси равно отношению результирующего момента всех сил, действующих на маятник, к его моменту инерции относительно той же оси:

. (1)

Момент силы , условно показанной на рис. 1, равен нулю (как видно из рисунка – равно нулю плечо этой силы), и, следовательно, результирующий момент сил равен моменту силы тяжести относительно оси :

, (2)

где: – масса физического маятника, – ускорение свободного падения, – расстояние между точкой подвеса и центром масс . Знак минус в формуле (2) указывает, что момент силы тяжести препятствует увеличению углового смещения .

При малых амплитудах ( ≤ 8°) колебаний маятника и из (1) с учетом (2) приходим к линейному дифференциальному уравнению 2-го порядка:

, где . (3)

Это означает, что малые колебания физического маятника являются гармоническими с круговой частотой и периодом (за период фаза колебаний изменяется на ):

. (4)

С помощью формулы (4) можно экспериментально определять момент инерции любого тела путем измерения величин , и :

. (5)

УСТРОЙСТВО И ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ УСТАНОВКИ

Рис. 2

Физический маятник можно получить с помощью маятника Обербека. Он состоит из крестовины, выполненной из 4-х стержней и прикрепленной к втулке, вращающейся на жестко закрепленной горизонтальной оси.

Если на одном из стержней закрепить тело, например диск, то полученная система будет представлять собой физический маятник (рис. 2). Ось вращения полученного маятника совпадает с центром масс маятника Обербека.

Непосредственное использование формулы (5) для расчета момента инерции данного маятника затруднительно. Это обусловлено сложностью точного нахождения как положения центра масс , так и массы всего маятника.

Рис. 3

Преобразуем уравнение (5) к виду с легко измеряемыми параметрами. Маятник представляет собой систему из двух жестко связанных тел: ненагруженного маятника Обербека с массой и однородногодиска с массой (рис. 3).

Так как относительно центра масс векторная сумма моментов масс тел системы равна нулю, получаем:

.

Отсюда расстояние между осью вращения и центром масс полученного маятника равно:

. (6)

Подставим (6) в (5) и, учитывая, что , получаем расчетную формулу для экспериментально определения момента инерции испытываемого физического маятника:

. (7)

В формулах (6) и (7) – расстояние между осью вращения и центром масс диска (рис. 3). Диск однородный – его центр масс совпадает с геометрическим центром. Все величины в формуле (7) теперь достаточно легко измерить.

С другой стороны, момент инерции маятника можно рассчитать, если известен (относительно оси ) момент инерции ненагруженного маятника Обербека. Действительно, в силу свойства аддитивности момента инерции имеем:

,

где – момент инерции диска радиуса , рассчитанный по теореме Гюйгенса-Штейнера относительно оси (рис. 3):

.

Таким образом, формула для расчета момента инерции испытываемого нами маятника принимает вид:

. (8)

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1 Диск известной массы закрепить на одном из стержней маятника Обербека. Значение расстояния между осью вращения и центром диска получить у преподавателя.

2 Отклонив маятник на малый угол , возбудить его колебания. Измерить время десяти колебаний. Измерения повторить еще 2 раза и их результаты занести в таблицу.

3 Найти среднее время 10-ти колебаний и определить величину периода .

4 Уменьшить величину расстояния на  = 5 см. Выполнить измерения по пп. 2, 3.

5 По формуле (7) вычислить экспериментальные значения моментов инерции и полученные результаты занести в таблицу.

Таблица

Параметр= , м= , м
, кг
, с1
2
3
ср.
/10, с
, кг×м2

6 Определить разницу между значениями экспериментальных моментов инерции маятников с расстояниями и : .

7 На основе формулы (8) определить разницу между расчетными значениями моментов инерции маятников с и : .

8 Сравнить величины и . Объяснить причины возникающих расхождений.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1 Момент инерции твердого тела, его свойства и методы определения.

2 Расчет моментов инерции тел, обладающих симметрией.

3 Теорема Гюйгенса-Штейнера и её применение.

4 Что представляет собой физический маятник? Зависит ли частота и период колебаний физического маятника от амплитуды? От чего они зависят?

5 Найдите период физического маятника, если дифференциальное уравнение его колебаний имеет вид:

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Савельев, И. В. Курс общей физики, т. 1. Механика. Молекулярная физика: учеб. пособие / . – М.: Наука, 1982. – 432 с.

2 Демехин, В. Ф. Механика. Колебания и волны. Молекулярная физика и тер-модинамика: методические указания для самост. изучения курса физики / , , . – Ростов н/Д: РГУПС, 2001. – 120 с.

Источник: https://pandia.ru/text/80/230/79805.php

Лабораторная работа: Определение момента инерции твёрдых тел 2

Определение собственного момента инерции тел методом физического маятника. Миндолин С.Ф

Томский межвузовский центр дистанционного образованияТомский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)Кафедра промышленной электроники (ПрЭ)Лабораторная работа по курсу «Общая физика»ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЁРДЫХ ТЕЛВыполнилСтудент гр.Специальности 210106.

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью настоящей работы является определение момента инерции твердых тел и экспериментальная проверка справедливости теоремы Штей­нера на примере физического маятника.

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА

Для экспериментальной проверки теоремы Штейнера и определения момента инерции в данной работе используется стандартная установка универсального маятника ФПМО — 4. Это настольный прибор (рис. 4.1), на вертикальной стойке основания 1 которого крепится кронштейн 2, который имеет возможность поворота вокруг стойки на 360° и фиксация в любом выбранном положении. С одной стороны кронштейна 2 подвешен математический маятник, а с другой — физический. Математический маятник представляет собой металлический шарик 3 на бифилярном подвесе 4. Физический маятник — стальной стержень 5, подвешенный на опорной призме 6. Опорная призма 6 может перемещаться по всей длине стержня и фиксироваться в требуемом положении.

Стержень 5 имеет кольцевые проточки, которые служат для надежной фиксации опорных призм.

Установка снабжена фотоэлектрическим датчиком 7, который закреплен на вертикальной стойке с помощью кронштейна 8 и имеет возможность перемещаться как вдоль, так и вокруг стойки и фиксироваться в любом положении.

Датчик предназначен для выдачи сигналов на Миллисекундомер 9. Физический Миллисекундомер выполнен самостоятельным прибором с цифровой индикацией времени и количества полных периодов колебаний маятника.

3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Средняя величина периода колебаний маятника:

T = t / n , (3.1)

где,

t — продолжительность колебаний;

n — число колебаний за время t .

Формула для экспериментального расчета момента инерции прямого тонкого стержня:

, (3.2)

где,

T — период колебаний маятника;

l — расстояние от центра масс до точки подвеса маятника;

m — Масса маятника;

g — Ускорение свободного падения.

Истинное значение величины t лежит в интервале tизм — s(t) ≤ t ≤ tизм + s(t) , где tизм – значение величины t , полученное при измерении, а величина s(t) – абсолютная погрешность измерения величины t . Это неравенство принято записывать в следующем виде.

t = tизм ± sсис (t) (3.3)

где,

sсис (t) – систематическая абсолютная погрешность.

Мерой точности результатов измерений является относительная погрешность. Формула для расчета погрешности косвенных измерений:

ε(I) = [ε2 (T2 ) + ε2 (m) + ε2 (l) ] 1/2 (3.4)

ε(T2 )=2 ε(T) (3.5)

ε(T)= ε(t) (3.6)

Класс точности прибора не указан, выбираем значение абсолютной погрешности l как половину цены деления (0,005 м).

ε(l)= ∆l/l (3.6)

m=m* d(m )/100% (3.7)

I=I*ε(I)=I* [ε2 (T2 ) + ε2 (m) + ε2 (l) ] 1/2 (3.8)
Доверительный интервал для момента инерции:

σ(I) = ε(I)*I (3.9)

Формула для теоретического расчета момента инерции прямого тонкого стержня длиной d и массой m относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину:

I0 =ml 2 /12 (3.10)

Выражение теоремы Штейнера:

I = I0 + ml2 (3.11)

где, I0 –момент инерции относительно оси, проходящий через центр масс;

l – расстояние между осями.

∆I=I* [ε2 (m)+ε2 (l2 ) ]1/2 (3.12)

ε(l2 )=2ε(l) (3.13)

Доверительный интервал для l 2 :

σ(l2 ) =ε(l2 )*l2 =2 ε(l)* l2 (3.14)

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.

Результаты прямых и косвенных измерений представлены в таблице.

Таблица № 1

Номер опытаNt , cT , cl2 , м2I, кг×м2Примечание
11519,0871,2720,08410,0417m = 358 гs(t ) = ± 2 мсd(m ) = 2%
21518,5671,2370,06250,0340
31518,1661,2110,04410,0274
41518,0861,2060,02890,0220
51518,5271,2350,01690,0176
61520,1291,3420,00810,0144
71525,0561,6700,00250,0124

На основании полученных опытных данных рассчитаем среднюю величину периода колебаний маятника по формуле (3.1) и результаты занесём в таблицу 1.

Исходя из опытных данных таблицы 1, зная массу маятника m и расстояние от центра масс до точки подвеса маятника l , вычислим по формуле (3.2) значение момента инерции маятника I .

Рассчитаем относительные погрешности оценки точности измерений, учитывая абсолютную погрешность замера времени колебаний σ(t) = ±2мс, относительную погрешность определения массы δ(m) =2% по формулам (3.3) — (3.13):

ε(m) = 7,16/358 = 0,02

ε(l)1 = 0,005/0.29 = 0,017

ε(l)2 = 0,005/0.25 = 0,02

ε(l)3 = 0,005/0.21 = 0,024

ε(l)4 = 0,005/0.17 = 0,029

ε(l)5 = 0,005/0.13 = 0,038

ε(l)6 = 0,005/0.09 = 0,055

ε(l)7 = 0,005/0.05 = 0,1

ε(T2 )1 = 2ε(T)1 = 2* ε(t) = 2*0,002/19,087=2,096 *10-4

ε(T2 )2 = 2ε(T)2 = 2*0,002/18,567 = 2,154 *10-4

ε(T2 )3 = 2ε(T)3 = 2*0,002/18,166 = 2,202 *10-4

ε(T2 )4 = 2ε(T)4 = 2*0,002/18,086 = 2,212 *10-4

ε(T2 )5 = 2ε(T)5 = 2*0,002/18,527 = 2,159 *10-4

ε(T2 )6 = 2ε(T)6 = 2*0,002/20,129 = 1,987 *10-4

ε(T2 )7 = 2ε(T)7 = 2*0,002/25,056 = 1,596 *10-4

Рассчитаем относительную погрешность момента инерции по формуле (3.4)

ε(I)1 =[(4,393 * 10-8 ) + 0,0004 + 0,000289]1/2 = 0,0262

ε(I)2 =[(4,640 * 10-8 ) + 0,0004 + 0,0004]1/2 = 0,0283

ε(I)3 =[(4,849 * 10-8 ) + 0,0004 + 0,000576]1/2 = 0,0312

ε(I)4 =[(4,893 * 10-8 ) + 0,0004 + 0,000841]1/2 = 0,0352

ε(I)5 =[(4,661 * 10-8 ) + 0,0004 + 0,001444]1/2 = 0,0429

ε(I)6 =[(3,948 * 10-8 ) + 0,0004 + 0,003025]1/2 = 0,0585

ε(I)7 =[(2,547 * 10-8 ) + 0,0004 + 0,01]1/2 = 0,1020

Рассчитаем доверительный интервал σ(I) для каждого значения момента инерции I по формуле (3.9) и результаты занесем в таблицу 2.

Определим t, l2 , I с учетом доверительных интервалов и результаты занесем в таблицу 2 для каждого значения.

Таблица доверительных интервалов.

Таблица № 2

№ измеренияl2 — σ(l2 )l2 + σ(l2 )σ(I)I — σ(I)I + σ(I)
1.0,08120,08700,00110,04060,0428
2.0,06000,06500,00090,03310,0349
3.0,04200,04620,00080,02670,0282
4.0,02730,03050,00080,02120,0228
5.0,01560,01820,00070,01690,0183
6.0,00720,00900,00080,01360,0152
7.0,00200,00300,00120,01120,0136

На основании полученных опытных и расчётных данных построим график зависимости момента инерции твёрдого тела I от квадрата расстояния l 2 , от оси вращения до центра масс. Проведём через экспериментальные точки и доверительные интервалы прямую линию, экспериментальной зависимости I=f (l 2 ).

Используя полученные данные, построим линеаризованный график этой зависимости в координатах I , l 2 , с учетом доверительных интервалов:

Рассчитаем коэффициенты a и b линеаризованного графика

методом наименьших квадратов:

Таблица №3

NXyxyx2Y2
10,08410,04170,0035070,007070,00174
20,06250,03400,0021250,003910,00116
30,04410,02740,0012080,001940,00075
40,02890,02200,0006360,000840,00048
50,01690,01760,00030,000290,00031
60,00810,01440,0001160,000070,00021
70,00250,01243,1E-050,000010,00015
0,24710,16950,0079230,014120,0048

a = (nS3 — S1 S2 )/S5 ,

b = (S2 S4 — S1 S3 )/S5 , где:

S1 = ; S1 =0.2471

S2 = ; S2 = 0,1695

S3 = ; S3 = 0,007923;

S4 = ; S4 = 0,01412;

S5 ; S5 = 0.037757;

S6 = ; S6 =0,0048;

a = (nS3 — S1 S2 )/S5 = 0.3596;

b = (S2 S4 — S1 S3 )/S5 = 0.0115;

Используя график линеаризованной зависимости I=f (l 2 ), изображённой на рис.4.1 определим собственный момент инерции I0 относительно оси проходящей через его центр масс, что составило:

I0 =0,0115 кг×м2 .

Произведём расчёт момента инерции прямого тонкого стержня длиной d относительно оси перпендикулярной стержню и проходящей через его середину по формуле (3.11):

I0 =(1/12)*0,358*0,3844= 0,0115 кг×м2 .

Экспериментальное значение массы стержня определяем по коэффициенту наклона прямой, m=(0,0340 кг×м2 – 0,0144 кг×м2 )/(0,0625 м2 – 0,0081м2 )=0,0196 кг×м2 /0,0544 м2 =0,360 кг.

Анализ графика на рис.4.1. показывает, что через экспериментальные точки и доверительные интервалы можно провести прямую линию. Следовательно, зависимость I=f (l 2 ) является линейной, значит, зависимость момента инерции твёрдого тела от квадрата расстояния от оси вращения до центра масс подтверждена экспериментально.

Найденное значение момента инерции I0 прямого тонкого стержня длиной d на графике и рассчитанное по формуле (3.11) совпадают.

5. ВЫВОДЫ

В результате проделанной лабораторной работы мы определили момент инерции I0 физического маятника относительно оси, проходящей через центр масс, и момент инерции относительно оси, не проходящий через центр его масс и проверили справедливость теоремы Штейнера на примере физического маятника.

6. Контрольные вопросы.

6.1 Как формулируется понятия инерции материальной точки и твёрдого тела?

Внутреннее свойство тел сохранять состояние своего движения в отсутствии сил и реагировать на их действия изменением состояния движения, сопротивляясь этим изменениям, называют, в общем случае, инерционностью.

Количественной мерой воздействия на тело в каждый момент времени, изменяющего состояние его поступательного движения, является сила F . Равенство силы нулю означает неизменность состояния тела – движения или покоя. Протяженное во времени воздействие оценивается как произведение силы на время её действия F∆t , называют эту меру действия импульсом силы.

Импульс силы и сила – причинные динамические характеристики по отношению к объекту их приложения. Импульс переменной во времени силы, приходящийся на бесконечно малый интервал времени dt , есть дифференциал импульса силы Fdt .

Равенство нулю дифференциала предполагает постоянство импульса тела: при неизменной массе тела вектор скорости его поступательного движения и сонаправленный с ним вектор импульса будут оставаться неизменными по величине и направлению (F= 0, mv = const ).

История формирования понятий динамики твёрдого тела такова, что между характеристиками поступательного движения материальной точки и вращательного движения твёрдого тела имеет место определённая аналогия, вытекающая из общности материалистических представлений о причинах и следствиях.

Так, центральное понятие динамики материальной точки действие (воздействие, взаимодействие), описываемое силой F и импульсом силы F∆t , в динамике твёрдого тела дополнилось характеристиками: моментом силы M – мерой мгновенного (текущего) действия – и импульсом момента силы M∆t – мерой протяжённого во времени действия. Момент силы, или вращательный момент, определяется как векторное произведение действующей на тело силы и радиус-вектора точки приложения этой силы относительно какой-либо выбранной (выделенной) точки: M = r * F, M = r* F* sin(r, F).

Действуя на тело продолжительное время, вращательный момент обуславливает изменение состояния движения тела.

По аналогии с теорией движения материальной точки, в которой импульс силы, как причинный фактор, обуславливает следствие – приращения импульса тела, равное импульсу силы, — в динамике твёрдого тела импульс момента силы вызывает изменение момента импульса тела L (M*dt = dL ).

6.2 В каких ситуациях применима теорема Штейнера?

Если известен момент инерции тела относительно любой оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера. Суть, которой состоит в применении формулы:

I = I0 + ml2 ,

где l – расстояние между осью симметрии тела и осью вращения,

m – масса тела,

I0 – момент инерции тела относительно оси симметрии.

6.3Как формулируется теорема Штейнера?

Момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела и произведения массы тела m на квадрат расстояния l между осями:

I = I0 +ml2 .

6.4 Под действием какой силы совершается колебательное движение маятника?

Колебательные движения физического маятника совершаются под действием силы тяжести около неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести.

Силу тяжести P = mg можно разложить на две составляющие, одна из которых P2 уравновешивается реакцией подвеса. Под действием другой P1 маятник приходит в движение.

На основании второго закона Ньютона для динамики вращательного движения запишем:

M = I ε = -P1 l ,

где M – момент вращающей силы;

ε – угловое ускорение.

Модуль составляющей силы P1 = P sinφ . Знак «минус» выбран потому, что действующая сила направлена в сторону, противоположную положительному направлению отклонения маятника.

6.5 Является ли момент инерции аддитивной величиной?

Момент импульса твёрдого тела складывается из моментов импульса составляющих его материальных точек, т.е. момент импульса – аддитивная величина. Момент импульса материальной точки относительно произвольной точки пространства называют векторное произведение радиус-вектора материальной точки в системе отсчёта выбранной точки:

Li = [ri * pi ] = mi [ri * vi ] .

6.6 Объяснить метод определения момента инерции с помощью физического маятника.

В основе определения момента инерции тел с помощью физического маятника лежит экспериментальная проверка справедливости теоремы Штейнера.

Зная ускорение свободного падения g , массу m , экспериментально измерив длину l и определив период T можно вычислить момент инерции маятника.

Зависимость I=f(l) , как следует из выражения I = I0 +ml2 нелинейная и график зависимости представляет собой возрастающую кривую, по виду которой нельзя утверждать о проверяемой зависимости.

Единственным графиком по виду, которого можно однозначно судить о характере исследуемой зависимости, является прямая линия, поэтому используем метод линеаризации.

В данном случае такими переменными являются I и l2 , следовательно, для проверки построим график I=f(l2 ) , при этом на него нанесём экспериментальные точки и доверительные интервалы.

Через экспериментальные точки и доверительные интервалы (рис. 4.1) проводим прямую линию, т.е.

экспериментальная зависимость [I=f(l2 ) ] момента инерции твёрдого тела от квадрата расстояния от оси вращения до центра масс является линейной, значит, правильность соотношения I = I0 +ml2 подтверждена экспериментально.

Используя график линеаризованной зависимости I=f(l2 ) можно вычислить массу стержня и собственный момент инерции, а также сравнить результаты расчёта и опыта.

Для этого сравним наше уравнение с уравнением прямой

I = I0 +ml2

y = b = ax ,

где а – угловой коэффициент,

b – отрезок, отсекаемый прямой на оси y .

Угловой коэффициент определяется как

а =y/∆x ,

где x – приращение аргумента,

y – соответствующее приращение функции.

В нашем случае а = m = ∆I/∆(l2 ), b = I0 .

6.7 Какой маятник называется физическим?

Физическим маятником называется любое твёрдое тело, которое под действием силы тяжести совершает колебания около неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс.

Период Т малых колебаний физического маятника равен:

T = 2π (I/(mgl))1/2 ,

где I – момент инерции маятника относительно оси О ,

m – масса маятника,

l – расстояние от точки A до оси О .

6.8 При каких формальных допущениях справедлива формула периода колебаний маятника (3.7)?

Собственные механические колебания возникают в физическом маятнике под действием силы тяжести вокруг неподвижной оси. Эти колебания в первом приближении не подвержены воздействию внешних сил.

Модуль составляющей силы тяжести твёрдого тела определяется как P1 = P*sin φ . При малых углах отклонения sinφ ≈ φ, а период колебаний не зависит от амплитуды колебаний.

Поэтому формула периода колебания маятникаT = 2π (I/(mgl))1/2 справедлива в случаях, когда угол отклонения маятника в положении равновесия мал и не должен превышать 5-10°.

6.9 Как записывается основной закон динамики вращательного движения?

Основное уравнение (закон) динамики вращательного движения: при воздействии момента внешних сил твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси с угловым ускорением, прямо пропорциональным моменту сил и обратно пропорциональным моменту инерции тела относительно данной оси:

M = Iß ,

где М – результирующий момент внешних сил, действующих на тело,

ß – угловое ускорение,

I – момент инерции тела относительно оси вращения.

Источник: https://www.bestreferat.ru/referat-240494.html

Момент инерции маятника: определение, особенности и формула

Определение собственного момента инерции тел методом физического маятника. Миндолин С.Ф

При решении уравнений вращательного или колебательного (осциллирующего) движения необходимо знать момент инерции рассматриваемой системы. Данная статья посвящена изучению различного рода маятников и моменту инерции, которым они характеризуются.

Понятие о маятнике. Виды

Перед тем как приводить определение момента инерции маятника, необходимо рассмотреть, что собой представляет этот прибор.

В физике под ним понимают абсолютно любую систему, которая может совершать колебания или вращение вокруг некоторой точки или оси под действием гравитационного поля, то есть силы тяжести.

Это определение предполагает, что маятник в обязательном порядке должен обладать конечной массой, при этом центр масс системы не должен находиться в точке, через которую проходит ось вращения.

Существуют различные виды маятников. В данной статье рассмотрим только 3 из них:

  • математический, или простой;
  • физический (на примере однородного стержня);
  • маятник Обербека.

Первые два являются маятниками колебательного типа, третий — вращательного.

Вращение и момент инерции

Когда тело с некоторой массой начинает вращаться вокруг оси, то его движение принято описывать следующим уравнением:

M = I*α.

Здесь M — это суммарный, или результирующий, момент всех внешних сил, которые действуют на систему, I — ее момент инерции и α — угловое ускорение.

Момент силы M по определению — это величина, равная произведению действующей силы на плечо, которое равно расстоянию от точки приложенной силы до оси вращения.

Момент инерции — величина, характеризующая инерционные свойства системы, то есть насколько быстро ее можно раскрутить, прилагая некоторый момент M. Также I характеризует запасенную вращающейся системой кинетическую энергию.

Момент инерции I для материальной точки (воображаемый объект, масса которого сосредоточена в бесконечно малом объеме пространства), совершающей круговое движение на расстоянии от оси r, можно вычислить по следующей формуле:

I = m*r2.

В общем же случае при определении I для тела произвольной формы следует пользоваться такими выражениями:

1) I = ∑mi*ri2.

2) I = ∫dm *ri2 = ρ*∫dV *ri2.

Первое равенство применяется при дискретном расположении масс в системе, второе — при непрерывном.

Из этих выражений видно, что I является функцией расстояния до оси вращения и распределения массы в системе относительно этой оси и не зависит ни от прикладываемых моментов сил M, ни от скорости вращения ω.

Математический (простой) маятник

Поскольку этот вид колебательной системы является самым простым, то рассмотрим его подробнее. Маятник математический представляет собой материальную точку, которая подвешена на невесомой и нерастяжимой нити.

Если эту точку отклонить слегка от положения равновесия, а затем отпустить, то она начнет совершать колебания.

Также предполагается, что не существует сил трения в точке закрепления нити, и пренебрегают сопротивлением воздуха.

Как понятно из описания выше, математический маятник представляет собой идеальный случай, который не реализуется на практике. Тем не менее его изучение позволяет получить некоторые важные выводы для рассматриваемого типа движения.

Ниже на рисунке представлен этот маятник, а также обозначены действующие в системе силы при его колебании.

Применяя к нему уравнение движения, получаем следующее равенство:

M = -m*g*sin(θ)*L; I = m*L2; α = d2θ/dt2 =>

=> -m*g*sin(θ)*L = m*L2*d2θ/dt2, откуда:

L *d2θ/dt2 + g*sin(θ) = 0.

Поясним некоторые моменты: момент силы от натяжения нити T (см. рис.

) равен нулю, поскольку она действует непосредственно на ось; момент от силы тяжести взят со знаком минус, поскольку он направлен по часовой стрелке; L — длина нити; угловое ускорение α по определению является второй производной от угла поворота по времени либо первой производной по времени от угловой скорости ω; формула момента инерции маятника этого типа совпадает с таковой для материальной точки с массой m, находящейся от оси вращения на расстоянии L.

Полученное выше выражение можно упростить, если принять приближение: sin(θ)≈θ. Оно справедливо, когда углы колебания являются небольшими (до θ=10o ошибка не превышает 0,5 %). В этом случае получаем:

L*d2θ/dt2 + g*θ = 0.

Мы получили классическое дифференциальное уравнение (диф. ур.) второго порядка. Его решением является функция синуса:

θ = A*sin(ω*t+θ0).

Здесь A и θ0 — амплитуда колебаний и начальный угол отклонения от равновесия, соответственно. Если это решение подставить в диф. ур. выше, то можно получить угловую скорость и период колебаний:

ω = √(g/L) и T = 2*pi/ω = 2*pi*√(L/g).

Мы получили удивительный результат: период колебаний математического маятника не зависит от начальных условий (A и θ0), а также от массы m.

Поведение математического маятника впервые начал изучать Галилей. Впоследствии Гюйгенс показал возможность использования полученной формулы для определения ускорения свободного падения Земли.

Физический маятник общего типа

Этот прибор представляет собой твердое тело произвольной формы (его масса может быть неравномерно распределена по его объему), которое совершает колебания относительно горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела.

При решении уравнения движения этого прибора рассматривают идеальный объект, масса которого сосредоточена в его центре тяжести. Такое предположение приводит к следующей формуле для периода его колебания:

T = 2*pi*√(Io/(m*g*h)).

Здесь h — расстояние от центра тяжести до оси вращения O, Io — момент инерции физического маятника.

Заметим, что если для расчета момента силы тяжести можно воспользоваться свойством аддитивности этой величины и свести сумму всех моментов к одному, приложенному к центру тяжести, то для вычисления момента инерции Io так поступать нельзя, его следует рассчитывать с использованием общих формул, которые были приведены ранее.

Колеблющийся стержень и его момент инерции

Представим себе, что имеется твердый стержень массой m и длиной L, который подвешен к одному из концов вертикально. Эта конструкция способна совершать колебания под действием земного притяжения.

Если применить интегрирование относительно оси к такому стержню, то можно получить, что момент инерции маятника физического указанной конструкции будет равен:

Io = m*L2/3.

Тогда его период колебаний будет равен:

T = 2*pi*√(2*L /(3*g)).

Маятник Обербека

На рисунке ниже приведен этот вид маятника.

Из рисунка видно, если подвесить груз к нити, то 4 стержня с грузами начинают вращаться с некоторым угловым ускорением.

Маятник Обербека используется для проведения лабораторных работ по физике с целью проверки уравнения вращательного движения.

Определение момента инерции маятника Обербека

Для решения этой задачи необходимо сделать важное приближение: вес стержней и дисков, к которым подвешивается на нити перегрузок, является пренебрежимо малым по сравнению с весом одного груза m.

Учитывая, что размер грузов намного меньше их расстояния до оси вращения, можно воспользоваться формулой для момента инерции материальной точки.

Поскольку грузов 4 и все они имеют одинаковую массу, но расположены на разных расстояниях от оси, то получаем следующую формулу для момента инерции маятника Обербека:

I = I1+I2+I3+I4 = m*(R12+R22+R32+R42 ).

Поскольку этот маятник позволяет регулировать положение каждого груза на стержне, то его момент инерции может изменяться.

Источник: https://FB.ru/article/428687/moment-inertsii-mayatnika-opredelenie-osobennosti-i-formula

Biz-books
Добавить комментарий