Определение моментов инерции некоторых тел при помощи крутильного маятника. Белых В.В.

Определение момента инерции тела методом крутильных колебаний

Определение моментов инерции некоторых тел при помощи крутильного маятника. Белых В.В.

Цель работы:определение момента инерции диска.

Приборы и принадлежности: кронштейн с закрепленной проволокой,

испытуемое тело, два цилиндра,

секундомер, штангенциркуль.

Краткая теория

Основными характеристиками динамики вращательного движения являются: момент инерции и момент силы.

Момент инерции– есть мера инертности тела, имеющего ось вращения.

Во вращательном движении момент инерции имеет такую же роль, как масса при поступательном движении. Как и масса момент инерции (относительно оси вращения) скалярная величина. Однако величина момента инерции тела зависит от положения оси вращения.

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения, находящейся на расстоянии r, равен произведению массы на квадрат расстояния до оси вращения .

Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции его составных точек . В случае непрерывного тела момент инерции тела относительно заданной оси представится выражением .

Момент инерции относительно произвольной оси, не проходящей через центр масс, можно вычислить по теореме Штейнера.

Момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, параллельно заданной оси и произведению массы на квадрат расстояния между осями (рис.1).

I=Io+ma2. (1)

Момент силы – величина векторная, численно равная произведению силы на плечо

. (2)

Плечом называется кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы (рис.2).

Момент силы и момент инерции связаны соотношением:

,(3)

где ε – угловое ускорение.

Это есть основное уравнение динамики для вращательного движения.

Крутильные колебания – это такие колебания, которые совершает подвешенное твердое тело вокруг вертикальной невесомой упругой нити, верхний конец которой закреплен (рис.3).

Применим к этим колебаниям основное уравнение вращательного движения. При крутильных колебаниях на тело действует возвращающий момент со стороны нити подвеса, обусловленный упругими силами.

и ,

тогда

,

. (4)

Полученное уравнение является дифференциальным уравнением крутильных колебаний, в этом уравнении отношение D/I = w2 – циклическая частота – ω.

. (5)

Вывод рабочей формулы.Воспользуемся методом крутильных колебаний для определения момента инерции диска, подвешенного на упругой нити (рис.4).

Для этого используем формулу периода крутильных колебаний. Однако в этой формуле две неизвестные величины: I – момент инерции диска относительно оси О, проходящей через центр масс диска, и D – модуль упругости нити.

Учитывая аддитивные свойства момента инерции, поставим на диск два груза и запишем второе уравнение

, (6)

где Ia – момент инерции двух грузов относительно оси О. Возведем (5,6) в квадрат и разделим одно уравнение на другое:

, , .

Выразим момент инерции диска

.

Момент инерции двух грузов относительно оси О по теореме Штейнера равен:

,

где I0 – момент инерции цилиндра относительно его оси, проходящей через центр масс. Подставим полученное выражение в предыдущую формулу и получим:

, (7)

где r – радиус цилиндра, a – расстояние между осями диска и цилиндра.

Выражение (7) является рабочей формулой для расчета момента инерции диска.

Выполнение работы

1. Запустите крутильные колебания и дайте им установиться, измерьте время t заданного числа колебаний. Найдите период колебаний диска без грузов , где N – число колебаний.

2. Поставьте на диск одновременно цилиндры, измерьте время t1 и период T1 с грузами.

3. По рабочей формуле рассчитайте момент инерции диска.

t, cT, ct1,cT1,cI, кг м2 D I, кг м2
Среднее значение

Расчет погрешности

Абсолютная ошибка измерения момента инерции вычисляется по формуле:

ΔT=ΔT1=0,01 c

Δа= Δr=1мм

Задачи

1. Определите момент инерции сплошного однородного диска радиусом R=40 см и массой m=1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.

Ответы:1) 0,22 кг.м2; 2) 0,12 кг.м2; 3) 0,32 кг.м2; 4) 0,08 кг.м2; 5) 0,28 кг.м2.

2. Определите момент инерции тонкого однородного стержня длиной ℓ=50 см и массой m=360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через конец стержня.

Ответы:1) 3.10–2 кг.м2; 2) 1,8.10–2 кг.м2; 3) 2,6.10–2 кг.м2; 4) 1,3.10–2 кг; 5) 2,8.10–2 кг.м2.

3. Твердое тело совершает крутильные колебания на упругой нити. Чему равен модуль упругости нити, если момент инерции тела I=1,12.10–2 кг.м2, а период колебаний 4,35 с?

Ответы:1) 2,15.10–1Дж; 2) 3, 85.10–2Дж; 3) 2,33.10–2Дж; 4) 1,23.10–1Дж; 5) 2,95.10–2Дж.

4. К ободу колеса, имеющего форму диска, радиусом 0,5 м и массой m=50 кг приложена касательная сила 98,1 Н. Найти угловое ускорение колеса.

Ответы:1) 5,82 рад/с2;2) 7,8 рад/с2; 3) 4,53 рад/с2; 4) 8,5 рад/с2; 5) 3,52 рад/с2.

5. Определите момент инерции тонкого однородного стержня длиной ℓ=50 см и массой m=360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, отстоящую от конца стержня на 1/6 его длины:

Ответы:1) 2,27.10–2 кг.м2; 2) 2,8.10–2 кг.м2; 3) 2,15.10–2 кг.м2; 4) 1,75.10–2 кг.м2; 5) 3,30.10–2 кг.м2.

6. Однородный диск радиусом R=0,2 м и массой m=5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Зависимость угловой скорости вращения диска от времени дается уравнением ω=А+Вt, где В=8рад/с2. Найти величину касательной силы, приложенной к ободу диска.

Ответы:1) 2,3 Н; 2) 5,3 Н; 3) 4 Н; 4) 4,8 Н; 5) 1,23 Н.

Контрольные вопросы

1. Цель работы.

2. Вывод рабочей формулы.

3. Физический смысл момента инерции твердого тела и материальной точки.

4. Теорема Штейнера.

5. Где при выводе рабочей формулы использовалась теорема Штейнера? Когда применяется эта теорема?

6. Основное уравнение динамики вращательного движения.

7. Вывод дифференциального уравнения крутильных колебаний.

8. Момент силы. Направление момента силы.

Литература

1. Савельев И. В. Курс общей физики, т. 1. М.: Наука, 1989. с.104–108.

2. Трофимова Т. И. Курс физики. М.: Высшая школа, 2002, с.36–38.

3. Бондарев Б. В., Спирин Г. Г., Калашников Н. П. Курс физики. М.: Курс общей физики, 2003, т.1, с.191–194.


Лабораторная работа 1.6

Измерение ускорения силы тяжести с помощью оборотного маятника

Приборы и принадлежности: оборотный маятник, секундомер, линейка,

опорная призма.

Краткая теория

Физический маятник – твердое тело, которое совершает колебания вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр масс (рисунок). В положении равновесия вращающий момент силы тяжести равен нулю, так как плечо этой силы равно нулю. При отклонении от положения равновесия на угол j (рисунок) возникает вращающий момент, равный

. (1)

При малых углах (j »50) sinj »j и тогда

. (2)

Минус означает, что вращающий момент стремится вернуть маятник в положение равновесия. Из основного уравнения динамики вращательного движения вращающий момент , подставив в (2), получим

. (3)

Выражение (3) называют дифференциальным уравнением колебаний физического маятника. В этом уравнении собственная циклическая частота колебаний физического маятника равна . Период колебаний физического маятника

. (4)

Если в формуле (4) вместо выражения подставим , то получим формулу для периода математического маятника

, (5)

где – приведенная длина физического маятника. Эта величина показывает, что при длине математического маятника равной , периоды колебаний математического и физического маятника станут одинаковыми.

Точка, лежащая на прямой, проведенной через точку подвеса В1 и центр тяжести С, на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания В2. Если всю массу физического маятника сосредоточить в центре качания, то период его колебаний останется без изменений.

Точка подвеса В1 и центр качания В2 являются взаимозаменяемыми. Если маятник подвесить за центр качания или за точку подвеса, то периоды колебаний не изменятся.

На этом свойстве основано измерение ускорения силы тяжести с помощью оборотного маятника (рис.1).

Следует отметить, что при небольших смещениях подвижного груза М маятника, можно принять почти линейной зависимость периода колебаний маятника от положения груза.

Порядок выполнения работы

Оборотный маятник представляет собой две параллельные друг другу, закрепленные вблизи его концов, опорные призмы ВВ2, за которые он может поочередно подвешиваться. Вдоль стержня маятника может перемещаться груз М. Для выполнения работы следует:

1. Получить два значения для положения груза М (2–13 см).

2. Пользуясь секундомером, определить периоды колебаний маятника на призмах В1 и В2, когда груз М находится в первом и втором положениях.

По формуле определить периоды колебаний , , , где n– число колебаний маятника (задается преподавателем), – период колебаний, когда груз М маятника находится в первом положении, а маятник висит на призме В1, – период колебаний, когда груз М маятника находится в первом положении, а маятник висит на призме В2, – период колебаний, когда груз М маятника находится во втором положении, а маятник висит на призме В1, – период колебаний, когда груз М маятника находится во втором положении, а маятник висит на призме В2.

3. Полученные значения периодов поставить на графике, по оси ординат отложить период, а по оси абсцисс положение груза М(х). Соединить точки для периодов при первом положении и при втором положении груза М(х).

4. Установить положение груза в точку пересечения прямых.

5. Определить период колебаний, когда маятник висит на призме В1– , и определите период колебаний, когда маятник висит на призме В2–

6. Измерить расстояние между призмами, которое равно приведенной длине маятника

7. Используя периоды колебаний и , из формулы (5) определить значение ускорения свободного падения.

8. Заполнить таблицу.

n t1, c t2, c t0, c , с , с , с , мg, м/c2 Dg, м/c2gист=gср±Dgср
Среднее значение

Расчет погрешности

Относительная погрешность:

абсолютная погрешность:

Задачи

1. Тонкий обруч, повешенный гвоздь, вбитый горизонтально в стену, колеблется в плоскости параллельной стене. Радиус обруча R=30 см. Вычислить период колебаний.

Ответы:1) 1,35 с; 2) 1,55 с; 3) 2,32 с; 4) 1,95 с; 5) 1,21с.

2. Диск радиусом R=24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить приведенную длину такого маятника.

Ответы:1) 53,2 см; 2) 63,5 см; 3) 24,4 см; 4) 36 см; 5) 43,2 см.

3. Однородный стержень длиной 1 м и массой 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением вращается стержень, если вращающий момент равен 9,81.10–2 Н.м?

Ответы:1) 23,5.10–2 рад/с2; 2) 18,3.10–2 рад/с2; 3) 1,2.10–1 рад/с2; 4) 32,5.10–2 рад/с2; 5) 3,12.10–1 рад/с2.

4. Обруч диаметром 56,5 висит на гвозде, вбитом в стену и совершает колебания в плоскости, параллельной стене. Найти период этих колебаний.

Ответы:1) 2,32 с; 2) 1,50 с; 3) 1,85 с; 4) 2,02 с; 5) 1,38 с.

5. Чему равен период колебаний математического маятника на Земле длиной 1м?

Ответы:1) 5,38 с; 2) 3,04 с; 3) 2,88 с; 4) 3,56 с; 5) 4,01 с.

6. Маховик, момент инерции которого I = 63,6 кг/м2, вращается с постоянной угловой скоростью ω=31,4 рад/с. Найти тормозящий момент М, под действием которого маховик останавливается через 20 с.

Ответы:1) 100 Нм; 2) 200 Нм; 3) 150 Нм; 4) 230 Нм; 5) 99,8 Нм.

Контрольные вопросы

1. Что называется физическим маятником ?

2. Что называется осью вращения и осью качения?

3. Что называется математическим маятником?

4. Какой маятник называется оборотным?

5. Что называется приведенной длиной физического маятника?

6. Запишите дифференциальное уравнение физического маятника?

7. Как определить положение подвижного груза, чтобы расстояние между призмами стало равно приведенной длине физического маятника?

8. Ход работы.

Литература

1. Бондарев Б. В., Спирин Г. Г., Калашников Н. П. Курс физики. М.: Курс общей физики, 2003, т.1, с.205.

2. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики, М.: Высшая школа, 1989, с.300–302.


Лабораторная работа 1.7



Источник: https://infopedia.su/2x29de.html

Определение моментов инерции твердого тела с помощью крутильного маятника

Определение моментов инерции некоторых тел при помощи крутильного маятника. Белых В.В.

Цель работы

Определить моменты инерции твердого тела.

Приборы и принадлежности

Крутильный маятник, набор тел различной формы и массы.

Описание экспериментальной установки

К основанию крутильного маятника (рис.18) прикреплены миллисекундомер 2 и колонна 3. На последней с помощью прижимных вин­тов закреплены кронштейны 4-6. Кронштейны 4 и б имеют зажимы, служащие для .

закрепления стальной проволоки, на которой подвешена рамка 7, а на кронштейне 5 находится стальная плита 8. На ней раз­мещены фотоэлектрический датчик 9 и электромагнит 10. Конструкция рамки позволяет закреплять к ней тела различной формы 11.

Эти тела крепятся в рамке подвижной планкой, а планка затягивается гайками на зажимных втулках.

Работа с прибором

1. Включить питающее напряжение нажатием клавиши «Сеть». При этом должны светиться лампочки фотоэлектрического датчика и индикатора секундомера.

2. Нажать клавишу «Сброс». Это вызывает зануление индикато­ра секундомера, генерирование сигнала разрешения на измерение и включение обмотки электромагнита.

3. Повернуть рамку прибора так, чтобы стрелка рамки была фиксирована электромагнитом.

4. Нажать клавишу «Пуск». Нажатие этой клавиши отключает электромагнит, рамка опускается и совершает крутильные колеба­ния. Миллисекундомер при этом отсчитывает число и время колебаний.

5. После совершения рамкой определенного числа колебаний систему остановить нажатием кнопки «Стоп». Показания индикатора времени занести в таблицу. Время измеряется три раза при одном и том же числе колебаний.

6. Изменив момент инерции системы путем установки в рамку цилиндра или исследуемого тела, снова нажимаем клавишу «Сброс» и проводим измерения числа колебаний и времени по пп. 3-5.

С учетом данных (масса цилиндра т и диаметр d) рас­считывают момент инерции цилиндра 10.

Теоретическое введение

Момент силы, который действует на тело, закрепленное в крутильном маятнике,

где К — коэффициент жесткости нити подвеса, зависящий от мате­риала нити и ее геометрических размеров — длины и диаметра. Знак «-» отражает противоположную направленность момента упругой силы нити и угла ее деформации. Записав основное уравнение динамики вращательного движения с учетом (79), получим

где I — момент инерции тела, совершающего крутильные колеба­ния. Решая уравнение (80),найдем период колебаний

Если вращающееся тело — составное (рамка с закрепленным в ней исследуемым телом), то I=Ip+Im, где Ip, Im — момен­ты инерции рамки и исследуемого тела соответственно. Поэтому период колебаний рамки с закрепленным в ней исследуемым телом

Из формулы (82) следует, что для нахождения момента инерции тела Im измеренной величине Т2 необходимо знать момент инерции рамки Ip и коэффициент жесткости нити подвеса к, т.е. нужны два дополнительных измерения:

I) определение периода колебаний 10 рамки прибора (без дополнительных грузов). В соответствии с (81)

II)

2) определение периода колебаний Т1 рамки прибора с за­крепленным в ней талом, момент инерции которого известен. Например, цилиндр с моментом инерции I0=mr2/2, где m и r — масса и радиус цилиндра:

Решая совместно (83) и (84), находим величины — Iр и К по измеренным периодам колебаний T0 и T1. После подстановки значений Ip и К в (84) получаем:

Порядок выполнения работы

1. Определить периоды колебаний рамки T0 и рамки T1 с исследуемым телом. При выполнении работы необходимо измерить моменты инерции тела относительно его трех главных осей.

2. Данные занести в таблицу.

3. По полученным  значениям определить по формуле (85) моменты инерции исследуемого тела относительно трех главных осей.

Контрольные вопросы и задания

1. Что такое момент инерции твердого тела? Какова размерность момента инерции в СИ?

2. Запишите основное уравнение динамики вращательного движения:

а) в дифференциальной форме; б) в проекции на неподвижную ось.

3. Чему равна угловая частота колебаний крутильного маятника?

4. Сформулируйте теорему Штейнера.

5. ИЗУЧЕНИЕ ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ ЕРАЩАТЕПЬНОГО ДВИДЕНИЯ НА КРЕСТООБРАЗНОМ МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА

Цель работы

Изучить основной закон динамики вращательного движения

Приборы и принадлежности

Маятник Обербека, набор грузов.

Описание экспериментальной установки

На вертикальной колонне 1 (рис. 19), установленной на основа­нии 2, укреплены: кронштейны — нижний неподвижный 3 и верхний подвижный 4 и две неподвижные втулки – нижняя 5 и верхняя 6. На верхней втулке 6 закреплен подшипниковый узел диска 7. Через не­го перекидывается нить 8. На одном конце нити крепятся грузы 9, а второй конец фиксируется к двухступенчатому диску 10.

На нижней втулке 5 находится подставка II, к которой при­креплен тормозной электромагнит, удерживающий с пометой фрикци­онной муфты крестовину с грузом в состоянии покоя. Подвижной крон­штейн 4 перемещается вдоль колонны и его можно фиксировать в любом положении, изменяя таким образом длину пути, проходимую грузами 9.

На колонну нанесена миллиметровая шкала 12. На подвижном 4 и неподвижном 3 кронштейнах закреплены фотоэлектрические датчики.

дающие сигналы для измерения времени и включающие тормозной элект­ромагнит, когда грузы достигнут резинового амортизатора 13, ограни­чивающего их движение.

На основании прибора расположен миллисекундомер, фиксирующий время прохождения грузами определенного расстоя­ния.

Работа с прибором

1. Закрепить (или снять) грузы на крестовине при отключен­ной питании прибора. Проверить правильность намотки нити на вращающийся двухступенчатый диск.

2. Поднять грузы 9 массой m (рис.19), вращая крестовину, на определенную высоту так, чтобы основание грузов совпадало с риской на верхнем фотоэлектрическом датчике.

3. Включить клавишу «Сеть». Отжать клавишу «Пуск». При этом включается блокирующее устройство и грузы фиксируются в первона­чальном состоянии.

4. Включить клавишу «Пуск». При этом отключается электромаг­нит, фиксирующий систему грузов, и запускается миллисекундомер. Когда грузы пересекут луч второго фотокатода, отключается милли­секундомер и включается электромагнит, тормозящий движение грузов. Показания миллисекундомера занести в таблицу.

5. Нажать клавишу «Сброс». При этом очищается от показаний миллисекундомер и освобождается блокирующее устройство, позволяю­щее передвигать грузы в исходное положении.

6. Поднять грузы на определенную высоту в соответствии с п. 2, отжать клавишу «Пуск». Состояние грузов снова будет зафик­сировано.

7. Нажать клавишу «Пуск». Повторить измерения времени движе­ния грузов между верхним и нижним датчиками.

Порядок выполнения работы

Определение момента инерции крестовины.

1) Снять грузы с крестовины маятника. Измерить время движе­ния груза массой m01. Повторить опыт три раза. Найти среднее значение времени падения груза. Повторить эксперимент, изменяя массу подвижных грузов (использовать грузы m01 = 54,5 г; m02 = 54,5 + 40 г, m03 = 54,5 + 40 + 239 г).

2) Определить ускорение, с которым двигался подвижный груз:

Высоту падения грузов измерить по шкале, укрепленной на колонне.

3) Найти угловое ускорение двуступенчатого диска

где r = 4,3 см — радиус большой ступени диска; r = 2,4 см — радиус малой ступени.

4) Вычислить момент сил, действующих на диск для трех значений: m01, т02, т03 по формуле:

M=m0(g-a)r2, (88)

5) Все данные измерений и вычислений занести в таблицу.

6) Построить зависимость М от E по полученным данным. По графику определить момент инерции I0 крестовины без грузов на ней.

Определение моментов инерции грузов

1. Установить четыре груза на расстоянии R от оси враще­ния крестовины (расстояние между насечками на крестовине 1 см). Измерения провести для трех значений R.

2. Определить момент инерции системы Ic; путем измерения времени падения грузов m0 при одном значении m0. Повторить опыт три раза, расчет ic выполнить по формуле:

3. Учитывая, что Ic = I0 + 4I2,0 найти Iгр для данного значения m0.

4. Установить грузы на другом расстоянии R от оси враще­ния. Повторить измерения Iс. Вычислить Iгр для нового значения R.

5. Повторить эксперименты, описанные в пп. 2-4, меняя расстояние R, Вычислить для каждого значения R моменты инерции Iгр.

6. Данные занести в таблицу.

7. Начертить график Iгр= f(R2).

8. Объяснить полученные результаты

Контрольные вопросы и задания

1. Что является мерой инертности тела при поступательном и вращательном движении?

2. Что называется моментом инерции тела относительно оси вращения? Назовите единицу измерения момента инерции.

3. Какие способы определения момента инерции тел вы знаете?

4. Сформулируйте теорему Штейнера.

5. Запишите основной закон вращательного движения.

6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТРЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ НАКЛОННОГО МАЯТНИКА

Цель работы

Ознакомиться со сложным механическим движением; определить коэффициенты трения различных пар материалов.

Приборы и принадлежности

Наклонный маятник, набор пар трения — шариков и плоских поверхностей качения.

Описание экспериментальной установки

Наклонный маятник (рис.20) собран на платформе I, оснащен­ной регулировочными винтами, позволяющими устанавливать платфор­му в горизонтальном положении. На платформе закреплена поворот­ная штанга 2, положение, которой изменяется ручкой 3, а угол на­клона β контролируется по шкале 4.

Со штангой 2 посредством специального держателя жестко связана плоская полированная плас­тинка 5, являющаяся одним телом трущейся пары. В качестве вто­рого тела в установка используются сменные шарики 6, подвешиваемые с помощью тонкой нити к пилону штанги 2.

Отклонение шарика 6 от положения равновесия (угол α) измеряется по шкале.

Данный прибор допускает измерение коэффициентов трения скольжения для различных твердых трущихся пар. По известным зна­чениям коэффициентов может быть определена сила трения

Fmp = f*N,

где f — коэффициент трения; N — сила нормального давления. Работа с прибором

1. Установить штангу маятника 2 в положение, соответствую­щее нулевое показанию индикатора угла наклона 4.

2. Проверить правильность установки прибора с помощью шарика, используемого в качестве отвеса. При правильном положении прибора угол отклонения шарика (α) должен быть равен нулю и шарик лишь слегка касается поверхности качения.

3. Откорректировать при необходимости положение прибора ре­гулировочными винтами в платформе прибора.

4. Установить угол наклона штанги прибора β в пределах 50…60°.

Теоретическое введение

На шарик выведенный из положения равновесия, действуют следующие силы: тяжести (тg), натяжения нити (Т), реакции опоры (N) и трения (Fтр) (рис. 21).

Под действием скатывающей силы, являющейся геометрической суммой указанных сил (Fck = mg + T + N + Fmp), шарик совершает колебательное движение.

Наличие силы трения между шариком и поверхностью качения приводит к уменьшения амплитуды колебаний шарика во времени. Работа сил трения может быть представлена в виде

где Imp — сила трения, Imp =f*N; S — путь, пройденный шариком , f — коэффициент трения; N — сила реакции опоры; N = mg*sinβ; R — длина нити под­веса; α0 — начальный угол отклонения шарика; αn — конечный угол отклонения шарика; n — число полных колебаний, совершенных шариком при его движении.

Вследствие работы сил трения уменьшается механическая энергия шарика. Убыль механической энергии численно равна работе сил трения:

W0-Wn=Amp, (91)

где W0,Wn — механическая энергия шарика в исходном и конечном состояниях.

В качестве начального и конечного состояний шарика наиболее удобно принимать положения его максимального отклонения, когда скорость движения шарика равна нулю, а механическая энергия численно равна потенциальной энергии шарика. В этом случае

Amp=П0-Пn=mg(h0-hn), (92)

где h0, hn — начальная и конечная высота подъема шарика. Вы­сота подъема шарика может быть выражена через угол наклона штанги β, угол отклонения шарика от положения равновесия в плоскости колебаний α и длину нити подвеса (рис. 21)

h=Rcosβ(1-cosα), (93)

В этом случае выражение (92) принимает вид

Amp=mgRcosβ(cosαn-cosα0)=

=

поскольку для малых углов (α≤5º 0,09 рад) sinα α,

то

Тогда

Сопоставляя соотношения (90) и (95), получаем выражение для коэффициента трения

где α0 и αn выражены в радианах. Поскольку шкала для изме­рения углов @@ про градуирована в градусах, то рабочий вид формулы (96) имеет вид:

где углы α0 и αn  выражены в угловых градусах.

Порядок выполнения работы

1. Установить угол β наклона штанги прибора на 50…60°.

2. Отклонить шарик от положения равновесия на угол α0

Источник: https://studopedia.ru/21_14018_opredelenie-momentov-inertsii-tverdogo-tela-s-pomoshchyu-krutilnogo-mayatnika.html

Определение моментов инерции твердых тел с помощью крутильного маятника

Определение моментов инерции некоторых тел при помощи крутильного маятника. Белых В.В.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ

КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА

Приборы и принадлежности: лабораторная установка ФМ 15 «Унифилярный подвес», используемая в данной работе как крутильный маятник; блок электронный ФМ 1/1; набор исследуемых образцов.

Цель работы: экспериментальное определение моментов инерции твердых тел с помощью крутильного маятника, проверка теоретических формул расчета моментов инерции твердых тел.

Краткая теория

Моментом инерции материальной точки называется величина

, (22.1)

где m – масса точки; r – расстояние от точки до оси вращения.

Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется величина

(22.2)

где n – количество материальных точек в системе; mi – масса i-той материальной точки; ri − расстояние от i-той материальной точки до рассматриваемой оси вращения.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

(22.3)

где r − плотность тела.

Момент инерции тела – мера инертности твердых тел при вращательном движении. Его роль такая же, что и массы при поступательном движении.

Момент инерции – величина аддитивная: момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции частей тела относительно той же оси.

Моменты инерции тел правильной геометрической формы находятся путем интегрирования по (22.3) и являются табличными значениями. Для определения моментов инерции тел сложной формы обычно используют экспериментальные методы, одним из которых является метод крутильных колебаний.

Крутильным маятником называется твердое тело, подвешенное на упругой проволоке и совершающее крутильные колебания относительно положения равновесия.

Крутильный маятник установки ФМ-15 представляет собой металлическую рамку, в которую можно устанавливать исследуемый образец – тело, момент инерции которого нужно найти. На рамку можно также устанавливать (и снимать) массивные грузы m1 (рис. 22.1а).

Вся система подвешена на двух натянутых упругих проволоках. Если маятник повернуть на угол a от положения равновесия (рис. 22.

1б), а затем отпустить, то он под действием упругого момента проволоки начнет совершать крутильные (вращательные) гармонические колебания относительно положения равновесия.

а б

Рис. 22.1

Выведем закон движения крутильного маятника. Используем основной закон динамики вращательного движения:

М = Iм·eм, (22.4)

где M − момент упругих сил, действующих маятник со стороны проволок; Iм – момент инерции маятника относительно оси вращения ОО1; eм – угловое ускорение маятника.

Упругий момент проволоки по закону Гука для деформации кручения пропорционален углу закручивания: М = —Da, где Dмодуль кручения проволоки, а знак минус указывает, что момент действует противоположно направлению увеличения угла закручивания a. Если известен закон изменения угла закручивания a(t), то угловое ускорение и после подстановки в уравнение (22.4) и преобразований будем иметь

Обозначив окончательно получим

, или компактно . (22.5)

Уравнение (22.5) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Из математики известно, что его решение, которое является уравнением гармонических колебаний и уравнением движения крутильного маятника, имеет вид

(22.6)

а его циклическая (круговая) частота связана с периодом колебаний соотношением

(22.7)

Отсюда период колебаний крутильного маятника

(22.8)

Экспериментально определив период колебаний T маятника и модуль кручения D проволоки, по формуле (22.8) можно рассчитать момент инерции твердого тела любой формы относительно данной оси. При этом нужно знать момент инерции рамки, в которую устанавливается твердое тело, который также можно найти экспериментально.

Для определения модуля кручения и собственного момента инерции рамки воспользуемся тем, что легко можно рассчитать момент инерции грузов m1, которые можно устанавливать на рамку или снимать. Рассматривая грузы m1 как материальные точки, получим их момент инерции относительно оси вращения 2m1r2.

Период колебаний крутильного маятника в отсутствие грузов m1 (период колебаний пустой рамки) согласно (22.8) будет

(22.9)

где Iр – момент инерции пустой рамки.

Период колебаний рамки с установленными на ней грузами m1 согласно (22.8) будет

(22.10)

Совместное решение уравнений (22.9) и (22.10) дает следующие выражения для модуля кручения и момента инерции пустой рамки:

(22.11)

. (22.12)

Если в пустую рамку (без грузов m1) установить исследуемый образец, момент инерции которого нужно найти, то период колебаний такого крутильного маятника будет

(22.13)

где Iо – момент инерции исследуемого образца.

Решая совместно уравнения (22.9) и (22.13) получим момент инерции исследуемого образца:

. (22.14)

Экспериментально определив периоды колебаний и по (22.12) можно подсчитать момент инерции Iр пустой рамки, а также (в случае необходимости) по (22.

11) можно рассчитать модуль кручения D проволоки. Тогда, определив экспериментально период колебаний То рамки с исследуемым образцом, можно по (22.

14) найти момент инерции Iо исследуемого образца любой формы.

Согласно определению момент инерции твердого тела зависит от положения оси вращения относительно тела.

Ось, положение которой в пространстве остается неизменным при вращении вокруг нее тела в отсутствие внешних сил, называется свободной осью тела.

Можно доказать, что для тела любой формы и с произвольным распределением массы существуют три взаимно перпендикулярные, проходящие через центр масс тела оси, которые могут служить свободными осями; они называются главными осями инерции тела.

У однородного параллелепипеда (рис. 22.2) главными осями инерции являются оси О1, О2 и О3, проходящие через центры противолежащих граней.

Моменты инерции относительно главных осей I1, I2, I3 называются главными моментами инерции тела. Зная главные моменты инерции, можно рассчитать момент инерции относительно любой оси, проходящей через центр масс по следующей формуле:

, (22.15)

где j1, j2, j3 – углы, которые образует данная ось со свободными осями О1, О2 и О3 соответственно.

В частности, для прямоугольного параллелепипеда момент инерции относительно оси, совпадающей с пространственной диагональю, будет равен

, (22.16)

где a, b, cдлины ребер параллелепипеда, параллельные свободным осям О1, О2 и О3, соответственно (рис. 22.2).

Рис. 22.2

Главные моменты инерции прямоугольного параллелепипеда можно найти с помощью интегрирования по формуле (22.3). Главный момент инерции относительно оси О1, проходящей через центр масс и параллельной ребру длины a (рис. 22.2) равен

. (22.17)

По формуле (22.17) можно рассчитать момент инерции прямоугольного параллелепипеда относительно любой оси, проходящей через его центр масс и параллельной одному из его ребер, т. к. обозначения ребер a, b, c можно выбирать произвольно.

Главный момент инерции относительно оси О2, проходящей через центр масс и параллельной ребру b (рис. 22.2) равен

. (22.18)

Главный момент инерции относительно оси О3, проходящей через центр масс и параллельной ребру c (рис. 22.2) равен

. (22.19)

Описание лабораторной установки

Установка (рис. 22.3) состоит из основания 1, на котором укреплена вертикальная стойка (колонка) 2. На ней неподвижно крепятся нижний 3, средний 4 и верхний 5 кронштейны.

Верхний и нижний кронштейны предназначены для крепления узлов подвески и натяжения торсиона (стальной проволоки) 6 и 7, с которым связана металлическая рамка 8 с грузами 9, предназначенная для установки исследуемых образцов 10 или съемной мишени 11 (последняя устанавливается в рамку 8 при выполнении на данной установке лабораторной работы №5). На среднем кронштейне 4 нанесена шкала отсчета угла закручивания торсиона (шкала угловых перемещений) и расположены: стреляющее устройство 12 (в данной работе не используется); электромагнит 13, предназначенный для удерживания рамки 8 в исходном положении и ее освобождения (при этом возникают крутильные колебания рамки вокруг вертикальной оси); фотодатчик 14, предназначенный для определения периода колебаний рамки 8 с исследуемыми образцами 10 и без них.

Силу электромагнита 13 можно регулировать винтом 15. Электромагнит может перемещаться вдоль шкалы угловых перемещений по специальной направляющей и закрепляться гайкой, расположенной под электромагнитом.

Исследуемый образец 10 устанавливается в заданном положении между острием 16, расположенным на нижней планке рамки 8, и винтом 17 с острым концом, расположенным на средней планке 18, для чего в исследуемом образце имеются отверстия. Средняя планка 18 может перемещаться вверх и вниз вдоль рамки 8 и фиксироваться на рамке с помощью винтов 19.

Рис. 22.3

На передней панели блока электронного 20 располагаются:

счетчик колебаний 21 – световое табло, на котором высвечивается число n полных колебаний;

секундомер 22 — световое табло, на котором высвечивается общее время колебаний в секундах (время совершения n полных колебаний);

кнопка ''ПУСК'' 23 – при нажатии кнопки выключается электромагнит 13 и, после пересечения флажком 24 (установленным на рамке 8) луча фотоэлектрического датчика 14, включаются счетчик колебаний и секундомер;

кнопка ''СТОП'' 25 – при нажатии кнопки останавливаются счетчик колебаний и секундомер и включается электромагнит.

На задней панели блока электронного 20 расположен выключатель ''01'' (''Сеть'') – при включении выключателя на блок электронный подается питание, на табло счетчика колебаний и на табло секундомера высвечиваются «минусы», и включается электромагнит. Далее после пересечения флажком рамки луча фотоэлектрического датчика, включаются счетчик колебаний и секундомер.

Техника безопасности

!!! ПРЕДОСТЕРЕЖЕНИЕ!!! Чтобы не сбить настройку прибора на ноль, запрещается поворачивать рамку 8 на угол больше 40º в любом случае, в том числе и при установке, смене положения и снятии исследуемого образца 10. Не допускать опрокидывание установки (установка имеет всего три опоры).

При установке, смене положения и снятии исследуемого образца 10 запрещается сильно тянуть рамку 8 вниз или вверх во избежание обрыва проволоки или выхода ее из мест креплений.

Поэтому при перемещении средней планки 18 вверх или вниз (после того как откручены винты 19) нужно давить рукой не только на саму среднюю планку, но и одновременно на верхнюю или, соответственно, на нижнюю планку. При установке, смене положения и снятии исследуемого образца следует выключить блок электронный.

Не следует сильно завинчивать винт 17 – в случае заметного проворачивания исследуемого образца 10 относительно рамки 8 для уменьшения проворачивания можно устранить зазор между исследуемым образцом 10 и средней планкой 18. Подключение установки к блоку электронному ФМ-1/1 разрешается только лаборанту в соответствие с паспортом к установке.

Порядок выполнения работы

Упражнение 1. Определение момента инерции пустой рамки

1. Соблюдая требования раздела «Техника безопасности» осторожно удалите мишень 11 или исследуемый образец 10 из рамки 8.

2. Снимите грузы 9 с рамки 8.

3. Установите электромагнит 13 так, чтобы его ближняя к рамке 8 торцевая плоскость показывала угол примерно 35° на шкале угловых перемещений (электромагнит фиксируется гайкой 16 на рис. 5.3 – см.

лабораторную работу №5).

Для уменьшения влияния остаточной намагниченности на колебания рамки сердечник электромагнита должен входить немного вовнутрь электромагнита (положение сердечника регулируется винтом 15).

4. Убедитесь, что флажок 24 рамки пересекает оптическую ось (луч) фотодатчика 14. Если средний кронштейн 4 находится так низко, что флажок 24 не закрывает окошко фотодатчика, поднимите средний кронштейн, отвернув предварительно зажим для его фиксации на вертикальной стойке 2.

5. Убедитесь, что флажок красного цвета на рамке показывает на ноль шкалы угловых перемещений (рамка находится в исходном положении). Небольшое несовпадение красного флажка на рамке с нулем шкалы можно устранить малым поворотом среднего кронштейна 4 вокруг вертикальной стойки 2.

6. Включите установку в сеть, нажав кнопку ''01'' (''Сеть'') на задней панели блока электронного 20. При этом на табло секундомера и счетчика колебаний появятся «минусы».

7. Отклоните рамку на угол 30° и зафиксируйте ее с помощью электромагнита.

8. Нажмите кнопку «ПУСК» блока электронного.

9. По показаниям секундомера и счетчика колебаний блока определите значение времени tр десяти колебаний (nр=10) рамки (пустой рамки − без грузов 9 и без исследуемого образца 10), нажав на кнопку «СТОП», когда на табло счетчика колебаний появится число 10. Результат измерения занесите в табл. 22.1.

10. Повторите 5 раз измерения по пп. 7-9. После нажатия кнопки «СТОП» электромагнит включается.

11. Установите грузы 9 (m1) на рамку и повторите 5 раз пп. 7-9, занося результаты измерения времени tг десяти колебаний (nг=10) рамки с грузами в табл. 22.1.

12. Для одного из замеров определите период колебаний пустой рамки и период колебаний рамки с грузами. По формуле (22.12) сделайте оценочный расчет момента инерции пустой рамки. В формуле (22.

12) m1 – масса груза 9, кг (выбита на нем в граммах); r=(0,0525±0,0005) м – расстояние от оси вращения рамки до центра масс груза m1 (см. рис. 22.1).

Подойдите к преподавателю на проверку.

Упражнение 2. Определение главных моментов инерции прямоугольного параллелепипеда

1. Снимите грузы 9 (m1) с рамки.

2. Соблюдая требования раздела «Техника безопасности» осторожно установите исследуемый образец 10 в рамку 8 так, чтобы ось вращения проходила через центры симметрии двух противоположных граней параллельно ребру a (ось О1 на рис. 22.2).

3. Повторите 5 раз пп. 7-9 упражнения 1, занося результаты измерения времени tо1 десяти колебаний (nо1=10) рамки с исследуемым образцом (ось вращения параллельна ребру a) в табл. 22.1.

4. Соблюдая требования раздела «Техника безопасности» осторожно переустановите исследуемый образец 10 в рамке 8 так, чтобы ось вращения проходила через центры симметрии двух противоположных граней параллельно ребру b (ось О2 на рис. 22.2).

5. Повторите 5 раз пп. 7-9 упражнения 1, занося результаты измерения времени tо2 десяти колебаний (nо2=10) рамки с исследуемым образцом (ось вращения параллельна ребру b) в табл. 22.1.

6. Соблюдая требования раздела «Техника безопасности» осторожно переустановите исследуемый образец 10 в рамке 8 так, чтобы ось вращения проходила через центры симметрии двух противоположных граней параллельно ребру c (ось О3 на рис. 22.2).

7. Повторите 5 раз пп. 7-9 упражнения 1, занося результаты измерения времени tо3 десяти колебаний (nо3=10) рамки с исследуемым образцом (ось вращения параллельна ребру c) в табл. 22.1.

8. Для одного из замеров определите период колебаний рамки с исследуемым образцом (ось вращения параллельна ребру a). По формуле (22.14) сделайте оценочный расчет главного момента инерции образца относительно свободной оси О1. Подойдите к преподавателю на проверку.

9. Измерьте штангенциркулем размеры a, b, c ребер параллелепипеда. Для упрощения расчетов рекомендуется расположить образец так же как на рис. 22.2, и ребра обозначить так же как на этом рисунке (в соответствии с их длиной). Результаты измерения занесите в табл. 22.1.

10. Определите массу m исследуемого образца 10 путем взвешивания. Результат измерения занесите в табл. 22.1.

11. По формуле (22.17) рассчитайте теоретическое значение момента инерции параллелепипеда относительно свободной оси О1 и сравните это значение с экспериментальным. Подойдите к преподавателю на проверку.

Упражнение 3. Определение момента инерции прямоугольного параллелепипеда

относительно оси, совпадающей с пространственной диагональю

1. Соблюдая требования раздела «Техника безопасности» осторожно переустановите исследуемый образец 10 в рамке 8, так, чтобы ось вращения совпадала с его пространственной диагональю (рис. 22.3; на рис. 22.2 пространственная диагональ показана жирным пунктиром).

2. Повторите 5 раз пп. 7-9 упражнения 1, занося результаты измерения времени tо4 десяти колебаний (nо4=10) рамки с исследуемым образцом (ось вращения совпадает с пространственной диагональю) в табл. 22.1.

3. Для одного из замеров определите период колебаний рамки с исследуемым образцом. По формуле (22.14) сделайте оценочный расчет момента инерции образца относительно пространственной диагонали параллелепипеда. Подойдите к преподавателю на проверку.

Таблица 22.1

№ замераБез m1m1=…Iрa=…, b=…, c=…, m=…
tрtгtо1tо2tо3tо4
12345

Отчет о работе

1. При оформлении отчета для каждого эксперимента вычислите средние значения времени По формуле определите для каждого эксперимента средние значения периодов Результаты вычислений занесите в табл. 22.1.

2. Используя средние значения периодов и по формуле (22.12) сделайте расчет среднего значения момента инерции пустой рамки. Результат вычислений занесите в табл. 22.1.

3. Используя найденное значение и средние значения периодов по формуле (22.14) сделайте расчет средних значений главных моментов инерции образца относительно свободных осей О1, О2, О3 и момента инерции образца относительно пространственной диагонали параллелепипеда. Результаты вычислений занесите в табл. 22.1.

4. По формулам (22.17), (22.18), (22.19) рассчитайте теоретические значения главных моментов инерции Результаты вычислений занесите в табл. 22.1.

5. Используя рассчитанные в п. 4 теоретические значения главных моментов инерции , по формуле (22.16) рассчитайте теоретическое значение момента инерции исследуемого образца относительно пространственной диагонали. Результат вычислений занесите в табл. 22.1.

6. Зная теоретическое и экспериментальное значения момента инерции исследуемого образца относительно пространственной диагонали, определите относительную погрешность измерения по формуле

Контрольные вопросы

1.  Что называется моментом инерции материальной точки?

2.  Что называется моментом инерции твердого тела?

3.  В чем физический смысл момента инерции?

4.  Что называется крутильным маятником?

5.  Запишите основной закон динамики вращательного движения.

6.  Запишите закон Гука для деформации кручения.

7.  Какие колебания называются гармоническими? Приведите уравнение гармонических колебаний.

8.  Дайте определения величин, входящих в уравнение гармонических колебаний.

9.  Дайте определение периода гармонических колебаний.

10.  Приведите формулу, связывающую период и круговую частоту гармонических колебаний.

11.  Запишите формулу для периода колебаний крутильного маятника.

12.  Чему равен момент инерции грузов m1?

13.  Что называется свободной осью тела?

14.  Что называется главными осями инерции тела?

15.  Что называется главными моментами инерции тела?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Курс физики: учеб. пособие для вузов. – М.: Издательский центр «Академия», 2007, § 16, с. 34-36; § 18, с. 37-38; § 20, с. 40-42; § 140-142, с. 253-258.

2. , Курс физики: Учеб. пособие для втузов. – М.: Высш. шк., 2000, § 4.2, пп. 1-4, с. 50-52; § 4.3, пп. 1-4, с. 53-56; § 27.1-27.2, с. 358-363.

3. Курс общей физики: в 4 т. Т. 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика: учебное пособие / ; под общ. ред. . – М.: КНОРУС, 2009. § 5.3-5.5, с. 154-172; § 8.1, с. 258-259; § 8.4-8.5, с. 267-275.

4. Общая физика: руководство по лабораторному практикуму: Учеб. пособие / Под ред. и . – М.: ИНФРА-М, 2010. Задача № 10, с. 86-91.

Составил преп. ,

Источник: https://pandia.ru/text/78/385/1344.php

Лабораторная работа м 6 определение моментов инерции твёрдых тел с помощью крутильного маятника

Определение моментов инерции некоторых тел при помощи крутильного маятника. Белых В.В.

Цельработы:

– определениемоментов инерции твёрдых тел относительноразличных осей;

– экспериментальноеподтверждение основных соотношений.

Приборыи принадлежности:

– крутильныймаятник ГРМ-05;

– набор тел.

Описаниеустановки

Рисунок1 – Общий вид установки ГРМ-05

Установкапозволяет проводить прямыеизмерения периода крутильных колебаний(Т)рамки с закрепленными в ней телами приразличных угловых амплитудах колебаний.

Определениепериода осуществляется следующимобразом. При выключенной установкеотверните стопорный винт под электромагнитоми, передвигая по шкале углов электромагнит,установите желаемую начальную угловуюамплитуду колебаний, после чегозафиксируйте положение электромагнита.

Нажмите кнопку «СЕТЬ», повернитерамку до касания выступом рамкиэлектромагнита. Кнопка«ПУСК» при этом должна быть отжата.Нажмите кнопку «СБРОС», а затемутопите кнопку «ПУСК». Электромагнитпри этом перестает удерживать рамку иначинаются крутильные колебания.

Количество полных колебаний фиксируетсяна счётчике «ПЕРИОДЫ», а время — насоответствующем счетчике справа. Обычноизмеряется время 10 полных колебаний. В этом случае после появления цифры «9»на счётчике периодов нажимается кнопка«СТОП» и отсчёт времени прекращаетсяпосле завершения 10 колебаний.

Период(Т), очевидно, равен Т= t/10,где t– показания правого счётчика. Дляпоследующих измерений кнопка «пуск»отжимается и показания счётчиковобнуляются нажатием кнопки «сброс».

Основные положениятеоретической модели.

Описаниелюбой экспериментальной ситуации даётсятеоретической моделью. Тольков рамках принятой модели возможнокосвенное определение тех или иныхфизических величин. Вданной работе, в частности, косвенноопределяется момент инерции различныхтел (I).

Любаятеоретическая модель даёт лишьприближенное описание экспериментальнойситуации, поскольку пренебрегаетвлиянием многих реально имеющих местоэффектов.Сложность модели и определяется, главнымобразом, числом учитываемых эффектов.

Нижекратко даётся информация по используемойв работе модели, необходимая длявыполнения работы и обработки результатовизмерений.

I.Диссипативными силами, т. е. силамитрения, сопротивления воздуха и т. д.,можно пренебречь в том смысле, чтопериод крутильных колебаний системы втом случае, если бы они отсутствовали,пренебрежимо мало отличался бы от того,который наблюдается реально.

Нижеприводится оценка влияния диссипативныхсил на период крутильных колебаний.

2.В работе изучаются крутильные колебаниярамки с закреплёнными в ней различнымителами: стержнем, цилиндром, параллелепипедоми т. д. Закрепление цилиндра, параллелепипеда,шара, конуса в рамке, а также их креплениек стержню осуществляется с помощьюнебольших штырьков.

Втеоретической модели, во-первых,предполагается, что оси, на которыхлежат эти штырьки, проходят через центрымасс соответствующих тел, во-вторых,что крепление обеспечивает параллельностьэтих осей и оси, вокруг которой совершаютсяколебания (оси, на которой расположеныпроволоки, крепящие рамку.)

3.Считается, что вся конструкция, участвующаяв крутильных колебаниях, симметричнаотносительно оси колебаний. Например,при закреплении в рамке стержня сприкреплёнными к нему телами, теладолжны быть одинаковыми и располагатьсясимметрично относительно центра стержня.

Задание1. Определениемомента инерции рамки (Iр)и коэффициентаупругих сил кручения (C).

        1. Определите период колебаний рамки без закреплённых в ней тел (Т1) по методике, описанной выше.

Теория даётследующее выражение для периода:

, (1)

гдеIр– моментинерции рамки без закреплённых в нейтел;

С– коэффициент упругих сил кручения;

2.Измерьте период колебаний рамки с кубом(Т2).

Закрепитев рамке эталонный куб в центрахпротивоположных граней и найдите периодТ21колебаний системы (рисунок 2). Повторитеизмерения для остальных двух парпротивоположных граней, найдя Т22;Т23.Усредняя найденные значения, найдитепериод Т2колебаний рамки с закрепленным в нейэталонным кубом: Рисунок 2

Теориядаёт следующее выражение для периодаколебаний рамки с закреплённым в нейкубом:

, (2)

гдеm– масса куба; а – сторона куба (указанына рабочем месте), С – постоянная упругихсил кручения.

3.Из системы уравнений (1) и (2) найдите Iри С.

4.Рассчитайте относительную погрешностьопределения момента инерции рамки ()и коэффициентаупругих сил кручения ()как сумму относительных погрешностейпрямым образом измеренных величин.

Относительныепогрешности прямым образом определяемыхвеличин (m,T,a)принять равными: ;;.

Задание2. Определениемомента инерции груза (Iгр)

1.Измерьте период колебанийрамкисо стержнем (Т3).Для этогозакрепите в рамке длинный стержень так,чтобы ось колебаний проходила черезего центр (рисунок 3) и измерьте периодТ3колебаний рамки со стержнем.

Убедитесь,что период Т3практически не зависит от угла междуплоскостью рамки и стержнем.

Если эта зависимость присутствует,следует более аккуратно крепить стерженьв рамке, соблюдаяперпендикулярность стержня к осиколебанийи повторить

измерениеТ3. Рисунок3

Вследствиеаддитивности момента инерции согласнотеории имеем:

, (3)

гдеIст– момент инерции стержня;

2. Из формулы (3), знаяIpиз предыдущего задания, найдите моментинерции Iст.

3.Прикрепите к стержню, закрепленному врамке, симметрично два одинаковых телас помощью штырьков, име­ющихся на этихтелах, на расстоянии dот стержня (рис. 4). Рисунок4

4.Найдите период колебаний конструкциииз стержня и двух тел (Т4) Рисунок 4

(4)

5.Из формулы (4) найдите момент инерциигруза (Iгр)и сравните его с теоретическимизначениями, найденными по формулам (5)и (6). По теореме Гюйгенса-Штейнера (см.Приложение):

, (5)

гдеR– радиус груза.

Еслигрузы одеть иначе (рисунок 5), то моментинерции груза относительно оси вращениябудет равен

(6)

Внимание:все измерения проводить по 3 раза и длярасчётов брать среднее значение.

  1. Рассчитайте относительную погрешность определения момента инерции груза () как сумму относительных погрешностей момента инерции рамки и коэффициента упругих сил кручения.

Относительнойпогрешностью определения периода всилу малости можно пренебречь .Относительные погрешности моментаинерции рамки и коэффициента упругихсил кручения взять из предыдущегозадания.

Приложение.Момент инерции и его вычисление.

Пустьтвёрдое тело вращается вокруг оси Z(рисунок 6). Его можно представить какнеизменную с течением времени системуразных материальных точек mi,каждая из которых движется по окружностирадиусом ri,лежащей в плоскости, перпендикулярнойоси Z.Угловые скорости всех материальныхточек одинаковы. Моментом инерции телаотносительно оси Zназывается величина:

,

где– момент инерции отдельной материальнойточки относительно оси ОZ.Из определения вытекает, что моментинерции – аддитивнаявеличина,т. е. момент инерции тела, состоящего изотдельных частей, равен сумме моментовинерции частей.

Рисунок 6

Очевидно,[I]= кгм2.Важность понятия момента инерциивыражается в трёх формулах:

; ;.

Перваяиз них выражает момент импульса тела,которое вращается вокруг неподвижнойоси Z(полезно эту формулу сравнить с выражениемдля импульса тела P= mVc,где Vc– скорость центра масс). Вторая формуланосит название основного уравнениядинамики вращательного движения телавокруг неподвижной оси, т.е.

, иначеговоря, второго закона Ньютона длявращательного движения (сравним сзаконом движения центра масс: ).Третья формула выражает кинетическуюэнергию тела, вращающегося вокругнеподвижной оси (сравним с выражениемдля кинетической энергии частицы).

Сравнение формул позволяет сделатьвывод о том, что момент инерции вовращательном движении играет роль,аналогичную массе в том смысле, что чембольше момент инерции тела, тем меньшеугловое ускорение при прочих равныхусловиях оно приобретает (тело, образноговоря, труднее раскрутить).

Реальновычисление моментов инерции сводитсяк вычислению тройного интеграла и можетбыть произведено лишь для ограниченногочисла симметричных тел и лишь для осейсимметрии. Количество осей, вокругкоторых может вращаться тело, бесконечновелико.

Среди всех осей выделяется та,которая проходит через замечательнуюточку тела –центрмасс(точку, для описания движения которойдостаточно представить, что вся массасистемы сосредоточена в центре масс ик этой точке приложена сила, равнаясумме всех сил). Но осей, проходящихчерез центр масс, также бесконечномного.

Оказывается, что для любоготвёрдого тела произвольной формысуществуют три взаимно перпендикулярныхоси Сх,Су, Сz,называемые осямисвободного вращения,обладающие замечательным свойством:если тело закрутить вокруг любой изэтих осей и подбросить вверх, то припоследующем движении тела ось останетсяпараллельной самой себе, т.е.

не будеткувыркаться. Закручивание вокруг любойдругой оси этим свойством не обладает.Значение моментов инерции типичных телотносительно указанных осей приведенониже. Если ось проходит через центрмасс, но составляет углы ,,с осями Сх,Су, Сzсоответственно, то момент инерцииотносительно такой оси равен

Ic= Icxcos2+ Icycos2+ Iczcos2 (*)

Рассмотрим кратковычисление момента инерции для простейшихтел.

1.Момент инерции длинного тонкогооднородного стержня относительно оси,проходящей через центр масс стержня иему перпендикулярной.

Пустьт – массастержня, lего длина.

,

Индекс«с» у момента инерцииIc означает,что это момент инерции относительнооси, проходящий через точку центра масс(центр симметрии тела), C(0,0,0).

2.Момент инерции тонкой прямоугольнойпластинки.

; ;

3.Момент инерции прямоугольногопараллелепипеда.

,т. С(0,0,0)

4.Моментинерции тонкого кольца.

;

,т. С(0,0,0)

5.Момент инерции тонкого диска.

В силу симметрии

; ;

6.Момент инерциисплошного цилиндра.

;

В силу симметрии:

7.Момент инерциисплошного шара.

,т. С(0,0,0)

8.Момент инерциисплошного конуса.

,т. С(0,0,0)

гдеR– радиус основания, h– высота конуса.

Напомним,что cos2+ cos2+ cos2= 1. Наконец, если ось О не проходит черезцентр масс, то момент инерции тела можетбыть вычислен с помощью теоремы ГюйгенсаШтейнера

Iо= Iс+ md2, (**)

гдеIо– момент инерции тела относительнопроизвольной оси, Iс– моментинерции относительно параллельной ейоси, проходящей через центр масс,m– массатела, d– расстояниемежду осями.

Процедуравычисления моментов инерции для телстандартной формы относительнопроизвольной оси сводится к следующему:

  1. Проведите ось, параллельную данной оси О и проходящую через центр масс.

  2. Находите углы , ,  между осями Сх, Су, Сz, совпадающими с осями вращения и показанными на рисунках, и осью С и по формуле (*) находите Ic.

  3. По формуле (**) находите искомый момент инерции.

Вкачестве примера определим моментинерции цилиндра в ситуации, показаннойна рисунке (см. ниже).

Здесьось О лежит в плоскостиYСZ,ось OXперпендикулярна этой плоскости, поэтому

; ;;

,

тогда:

Заметим,наконец, что в реальной практикеприходится определять момент инерциител достаточно сложной формы.

Это связанов частности с тем, например, что напряжения,возникающие в упругом теле при изгибеи кручении, зависят от моментов инерции,а значения этих напряжений необходимыво многих задачах.

Вычисление моментовинерции в таких случаях достаточнозатруднительно, поэтому разумноиспользовать экспериментальные методы.Один из таких методов и рассмотрен вданной работе.

Контрольныевопросы.

1. Сформулируйтеосновное уравнение динамики твёрдоготела для вращательного движенияотносительно неподвижной оси.

2. Запишитемомент инерции материальной точки,системы материальных точек и однородноготела.

3. Приведитеаналогии между кинематическимихарактеристиками вращательного ипоступательного движений абсолютнотвёрдого тела; то же для динамическиххарактеристик.

4. Вчём причины возникновения ошибок в ходеэксперимента?

5. Прямыеизмерения каких физических величинпозволяет проводить данная установка?

6. Какиефизические величины возможно косвенноопределить в данной работе в рамкахпредложенной модели?

7. Назовитеосновные положения предложеннойтеоретической модели для даннойустановки.

8. Какиеоси называются «Осями свободноговращения»?

9. Какзаписать момент инерции твёрдого телаотносительно центра масс тела, выраженныйчерез проекции на оси свободноговращения?

10. Получитевыражение для момента инерции стержняотносительно оси, проходящей черезцентр масс стержня и перпендикулярнойему.

11. Получитевыражение для момента инерции стержняотносительно оси, проходящей черезконец стержня и перпендикулярной ему.

12. Получитевыражение для момента инерции дискаотносительно оси, проходящей через егоцентр масс и перпендикулярной плоскостидиска.

Источник: https://studfile.net/preview/5630607/page:6/

Biz-books
Добавить комментарий