Операционное исчисление. Улымжиев М.Д

1 МИНИСТЕРСТВО Рецензия ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКИОЙ ФЕДЕРАЦИИ На методическое пособие по операционному исчислению для студентов 2 курса специальности «ЭСПП», выполненную к.ф-м.н.,

Операционное исчисление. Улымжиев М.Д

Книги по всем темам МИНИСТЕРСТВО Рецензия ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКИОЙ ФЕДЕРАЦИИ На методическое пособие по операционному исчислению для студентов 2 курса специальности «ЭСПП», выполненную к.ф-м.н., и.о.доц. Улымжиевым М.Д., к.фм.н., и.о.доц. Васильева Е.Г., ст. преп. Инхеевой Л.И.

В работе изложен кратко теоретический материал по операционному исчислению: понятия ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ функций-оригиналов и функций-изображений, Методическое пособие свойства изображений, нахождение оригиналов функций-изображений и наоборот, решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом.

Приведены примеры решения задач по всем вышеперечисленным темам, варианты Составители: М.Д.Улымжиев, заданий для самостоятельной работы.

Е.Г.Васильева, работы соответствует ГОСВО ЕН.

Л.И.Инхеева Данная работа удовлетворяет всем требованиям к методическим пособиям и рекомендуется к изданию в РИО ВСГТУ.

Рецензент: к.ф-м.н., доц. Дашиева С.С.

Издательство ВСГТУ Улан-Удэ – 2004 3 4 п.1. Основные понятия Определение. Функцией-оригиналом называется В работе изложен кратко теоретический любая комплексная функция f (t) действительной материал по операционному исчислению: понятия переменной t, определенная на всей числовой прямой и функций-оригиналов и функций-изображений, удовлетворяющая условиям:

свойства изображений, нахождение оригиналов 1. f (t) = 0 при t0, S0R, такие, что дифференциальных уравнений и систем для всех t 0 дифференциальных уравнений операционным f (t) < MeS t, методом.

Приведены примеры решения задач по 3. на любом конечном отрезке [0, T] функция всем вышеперечисленным темам, варианты f (t) может иметь лишь конечное число точек заданий для самостоятельной работы.

разрыва, причем только первого рода.

Замечание. Число S0 называется показателем роста f (t). Для ограниченных оригиналов можно принять S0=0.

Простейшей функцией-оригиналом является функция Хевисайда:

1, t (t) = 0, t < 0.

Ключевые слова: операционное исчисление, Очевидно, что показатель роста функции Хевисайда функция-оригинал, функция-изображение, равен нулю.

свойства изображений, операционные методы, Определение. Изображением функции-оригинала f (t) нахождение оригиналов, дифференциальные называют функцию комплексного переменного p = s + ib, уравнения, системы дифференциальных определяемую равенством:

уравнений.

+ f ( p) = f (t)e- ptdt. (1) Теорема. Для любого оригинала f (t) изображение f ( p) определено в полуплоскости Re p > S0, где S0 – 5 • показатель роста f (t), и является в этой полуплоскости f '(t) p f ( p) — f (0) • аналитической функцией.

• Замечание. Функция f ( p) определенная равенством f ''(t) p2 f ( p) — pf (0) — f '(0) • (1), называется также преобразованием Лапласа функции • f (t).

f '''(t) p3 f ( p) — p2 f (0) — pf '(0) — f ''(0) • Если функция f ( p) является изображением оригинала f (t), то пишут:

• • (n) (n-1) f (t) pn f ( p) — pn-1 f (0) — pn-1 f '(0) — — f (0) f (t) f ( p).

• • (2) (Читается: «Функция f (t) является оригиналом 4. Дифференцирование изображения функции f ( p) », или «Функция f ( p) является • n (n) (-1)n t f (t) f ( p) изображением функции f (t) ».).

• 5. Интегрирование оригинала t п.2 Свойства преобразования Лапласа • f ( p) f (t)dt • p 1. Свойство линейности. Для любых 6. Интегрирование изображения. Если интеграл комплексных постоянных и • f ( p)dp сходится, то он служит f (t) + q(t) f ( p) + f ( p).

• 2. Теорема подобия. Для любой постоянной >f (t) изображением функции :

• 1 p t f ( t) f, • • f (t) f ( p)dp 3. Дифференцирование оригинала. Если функция • t f (t) непрерывна при t>0 и ее производные 7. Теорема запаздывания. Для любого (n) f '(t), f ''(t),…

, f (t) являются оригиналами, положительного то • f (t — ) e- p f ( p) • 7 8. Теорема смещения. Для любого комплексного п. 4.

Нахождение изображений функцийоригиналов • et f (t) f ( p -) При нахождении изображений функций-оригиналов • нужно использовать таблицу изображений и свойство 9. Теорема умножения линейности преобразования Лапласа.

t • В качестве примера рассмотрим нахождение f (t)q(t — )d f ( p)q ( p) • 2 изображений функций 7t + 5cos 2t — t et, sin 2t, cos3 t.

1. Для нахождения изображения функции п. 3 Таблица изображений некоторых 7t + 5cos 2t — t3et используем формулы 2, 4, 6 из таблицы оригиналов изображений:

• • 1 n! n t t e • 1 6 2! p 3! • n + p • ( p -) 7 t + 5 cos2t — t3et 7 + 5 — = • • • p3 p2 + 4 (p -1)n! n t et sint 2 • • pn+1 ( p -)2 + 14 5p = + -.

• • p p3 p2 + 4 (p -1)et et cost 3 8 • • p ( p -)2 + 2. Для нахождения изображения функции sin 2t • • p p cos t ch t используем формулу понижения степени:

2 4 • • p2 + p2 • 1 1 1 1 1 1 1 p • • sin t = — cos 2t = 1 — cos 2t — = sin t sh t • 2 p 2 2 2 2 2 5 10 p2 + • • p2 + p2 — 1 p = -.

2 p 2 p + 9 3. Для нахождения изображения функции cos3 t • 7 7 4! 7 4 воспользуемся формулой Эйлера:

2. =. t = t.

p5 4! p5 • 4! eit + e-it cost = • 5 5 3! 5 3! 3. = =. t e-t.

4 4 • 3! 6 (p +1) (p +1) (p — (-1)) (eit + e-it ) e3it + 3eit + 3e-it — e-3it cos3 t = = = 4. Заметим, что дискриминант знаменателя дроби 8 2 p + отрицательный. Поэтому для нахождения 1 e3it + e-3it 3 eit + e-it p2 + p + = + = оригинала выделяем полный квадрат знаменателя 4 2 4 дроби:

• 1 3 1 p 3 p p 3p = cos3t + cost + = +.

1 1 1 • 4 4 4 p2 + 9 4 p2 +1 4 p2 + 36 4 p2 + p2 + p + 3 = p2 + 2 p + 3 = p2 + 2 p + — + 3 = 2 2 4 1 п.5. Нахождение оригинала по изображению.

= p + + 2 Оригинал восстанавливается по изображению с помощью таблицы и свойств преобразования Лапласа.

1 2 p + — + Пример. Найдем оригиналы следующих изображений:

2 p + 3 2 p + 3 2 = = = 7 7 5 2 p + 3 p p 2,,,,, p2 + p + 1 11 1 4 p p5 p2 + p + 3 p2 — 5 p + 6 -1) (p2 +1). p + + p + + (p +1) (p 2 4 2 2 p + — 1 + • 7 = = 1. = 7.7 1 = 7.

• p p 1 p + + 2 11 Используя это правило, найдем оригинал p + p 2 функции.

= 2 + 2 = p2 — 5 p + 2 1 11 1 p + + p + + 2 4 2 p2 — 5 p + 6 = ( p — 2)( p — 3) p + p A\ p-3 B\ p-= + = 2 + ( p — 2)( p — 3) p — 2 p — 1 + p — — 2 p = A( p — 3) + B( p — 2) p = Ap — 3A + Bp — 2B • 1 = A + B A = 1- B p+ 2 • 0 = 1 11 p0 -3A — 2B 0 = -3(1- B) — 2B + p — — 2 0 = -3 + 3B — 2B B = 3, A = 1- 3 = -1 • — t — t 11 4 2 2e cos t + e sin t.

• p 2 • 2 11 = — + — 2e2t + 3e3t • ( p — 2)( p — 3) p — 2 p — 5. Заметим, что знаменатель дроби разлагается на множители. Для нахождения оригиналов дробей p A\( p-1)(p2 +1) B\ p2 +1 Cp + D\( p-1)= + + 2 такого вида необходимо:

p -1 p2 +(p — 2) (p2 +1) (p -1) • разложить знаменатель дроби на множители;

• представить дробь в виде суммы простейших p = A(p -1)(p2 +1)+ B(p2 +1)+ (Cp + D)(p -1) дробей с неопределенными коэффициентами;

• найти неопределенные коэффициенты;

• найти по таблице оригиналы простейших дробей.

13 p = Ap3 — Ap2 + Ap — A + Bp2 + B + + Cp3 — 2Cp + Cp + Dp2 — 2Dp + D п.6 Решение дифференциальных уравнений операционным методом.

0 = A + C p0 = p2 -A + B — 2C + D Нахождение изображения дифференциального 1 = A + C — 2D p1 уравнения.

Чтобы найти изображение линейного 0 = -A + B + D pдифференциального уравнения нужно найти с помощью формулы (1) изображения всех производных, входящих в C = -A уравнение и изображение правой части уравнения с 0 = -A + B — 2(-A) + D помощью таблицы.

Пример. Найти изображения уравнения 1 = A + (-A) — 2D y''-8y'+7 y = 3cos x, y(0) = 1, y'(0) = 2.

0 = -A + B + D Решение. Находим изображения производных с помощью свойства дифференцирования оригинала:

0 = A + B + D 0 = A + B • 1 = -2D D = — + y(t) y( p) • 0 = -A + B + D -A + B 0 = • y'(t) p y( p) — y(0) = p y( p) -• • y''(t) p2 y( p) — p y(0) — y'(0) = p2 y( p) — p — 2.

• 0 = 2B -1 B = +, A = 0, C = Находим изображение правой части уравнения по • p 1 1 1 1 1 1 таблице изображений:

= — tet — sin t.

2 • 2 2 p2 +1 2 (p -1) (p2 +1) (p -1) • 1 3cos x 3 =.

• p2 +1 p2 +Подставляем найденные изображения в уравнение:

15 3 p2 y(p)- p — 2 — 8(py(p)-1)+ 7 y(p) = p2 y( p) — 3py( p) + 2y( p) — p = p2 +1 ( p -1)y( p)( p2 — 3p + 2) = + p Замечание. Изображение дифференциального ( p -1)уравнения называется операторным уравнением.

Чтобы решить дифференциальное уравнение 1+ p( p -1)операторным методом необходимо:

y( p) = ( p -1)2 ( p2 — 3p + 2) 1. Найти изображение уравнения;

2. из полученного операторного уравнения найти изображение решения данного уравнения;

3. по найденному изображению найти оригинал.

p3 — 2 p2 + p +y( p) = Пример 1. Решить уравнение:

( p -1)2 ( p2 — 3p + 2) y»-3y'+2y = xex, y(0) = 1, y'(0) = Находим оригинал функции y( p) Решение. Находим изображение данного уравнения:

( p -1)2 ( p2 — 3p + 2) = ( p -1)2 ( p -1)( p — 2) = ( p -1)3 ( p — 2) • y(t) y( p) • \( p-1)( p-2) p-• p3 — 2 p2 + p +1 A\( p-1)3 B( p-1)2 ( p-2) C D\ = + + + y'(t) py( p) — y(0) = py( p) -• ( p -1)3 ( p — 2) p — 2 p -1 ( p -1)2 -1) (p • y''(t) p2 y( p) — py(0) — y'(0) = p2 y( p) — p — • • 1 p3 — 2 p + p + 1 = A( p — 1)3 + B( p — 1)2 ( p — 2) + xex • (p -1) + C( p — 1)( p — 2) + D( p — 2) p2 y( p) — p — 3( py( p) -1) + 2y( p) = ( p -1)Из полученного уравнения выражаем y( p) 17 • p3 — 2p2 + p +1 3 2 1 p3 — 2p2 + p +1= Ap3 — 3Ap2 + 3Ap- A + Bp3 — 4Bp2 + y(p) = = — — — (p -1)2(p2 -3p + 2) p — 2 p -1 (p -1)2 (p -1)3 • + 5Bp- 2B + Cp2 — 3Cp+ 2C + Dp- 2D • 3e2x — 2ex — xex — x2ex • 1 = A + B A = 1- B pp2 — 2 = -3A — 4B + C Таким образом, решением дифференциального уравнения является функция 1 = 3A + 5B — C + D p1 = p0 -A — 2B + 2C — 2D y = 3e2x — 2ex — xex — x2ex.

— 2 = -3(1- B) — 4B + C Чтобы убедиться в правильности решения проверим, 1 = 3(1- B) + 5B — 3C + D что найденная функция удовлетворяет и уравнению и 1 = -(1- B) — 2B + 2C — 2D начальным условиям:

y'= 6e2x — 2ex — xex — xex — x2ex = 1 = -B + C B = C — — 2 = 2B — 3C + D = 6e2x — 3ex — 2xex — x2ex.

2 = -B + 2C — 2D — 2 = 2(C -1) — 3C + D y''= 12e2x — 3ex — 2ex — 2xex — xex — x2ex = 2 = -(C -1) + 2C — 2D = 12e2x — 5ex — 3xex — x2ex.

0 = -C + D C = D 1 = C — 2D Подставляя найденные производные и саму функцию в уравнение, получим:

1 = D — 2D D = -1, C = -1, B = -2, A = 19 п.7. Решение систем дифференциальных x x 12e2x — 5e — 3xex — x2e уравнений операционным методом.

1 Чтобы решить систему дифференциальных x x — 36e2x — 3e — 2xex — x2e + уравнений, необходимо:

1. Найти изображение каждого уравнения системы;

+ 23e2x — 2ex — xex — x2ex = 2. из полученной системы операторных уравнений найти изображение решения системы;

x x 3. по найденному изображению найти оригинал = 12e2x — 5e — 3xex — x2e Пример. Решить систему x x — 18e2x + 9e + 6xex + x2e + x'= y + t, x x y'= x + et, + 6e2x — 4e — 2xex — x2e = xex.

x(0) = 1, y(0) = Таким образом, найденная функция удовлетворяет уравнению. Проверим, что она удовлетворяет начальным Решение. Находим изображения уравнений системы:

условиям:

• 1 x(t) x( p), • y(0) = 3 e20 — 2 e0 — 0 e0 — 02 e0 = • x'(t) px( p) — x(0) = px( p) -1, • y'(0) = 6 e20 — 3 e0 — 2 0 e0 — 02 e0 = 3.

• y(t) y( p), • Задача решена правильно. • y'(t) py( p) — y(0) = py( p), • 21 • p + p2 ( p — 1) + p -t, x( p)( p2 -1) = • pp( p — 1) • p3 — p2 + 2 p — et.

x( p) = • p — p( p — 1)( p2 — 1) Подставляя найденные изображения в систему, получим px( p) -1 = y( p) + p py( p) = x( p) + p — Из полученной системы находим y( p), x( p). Из p3 — p2 + 2 p — 1 p2 + = — = первого уравнения системы выразим y( p) через x( p) и ( p — 1)( p2 — 1) pподставим во второе уравнение.

p2 ( p3 — p2 + 2 p — 1) — ( p2 + 1)( p — 1)( p2 — 1) = = 1 px( p) -1 = y( p) + y( p) = px( p) -1p2 ( p — 1)( p2 — 1) p2 p 1 p px( p) -1- = x( p) + p2 p — 1 p2 x( p) — p — = x( p) + p p — 1 p2 x( p) — x( p) = + p + p — 1 p Находим оригиналы изображений x( p), y( p) 23 — 2 = -2(2 — C) + D p3 — p2 + 2 p -1 p3 — p2 + 2 p -1 = 2 — C — C + D x( p) = = = p( p -1)( p2 -1) p( p +1)( p -1)\ p( p+1)( p-1) p( p+1) 2 = 2C + D 1 3 A\( p+1)( p-1)2 B\ p( p-1)2 C D\ D =, C =, B =.

= + + + 2 4 -1 = -2C + D p p +1 p -1 ( p -1)• 1 5 1 3 1 1 p3 — p2 + 2p -1= A(p +1)(p -1)2 + Bp(p -1)2 + x( p) = — + + + p 4 p + 1 4 p — 1 (p — 1)2 • + Cp(p +1)(p -1) + Dp(p +1) • 5 3 p3 — p2 + 2p -1= Ap3 — Ap2 — Ap + A + Bp3 — 2Bp2 + — 1 + e-t + et + tet • 4 4 + Bp + Cp3 — Cp + Dp2 + Dp 1 = A + B + C p2 p3 — p2 + p -1 2 p3 — p2 + p -y(p) = = = p2 -1 = -A — 2B + D p2 ( p -1)( p2 -1) p2 ( p +1)( p -1)2 = p1 -A + B — C + D A B C D E = + + + + -1 = A p p2 p +1 p -1 ( p -1)p2 p3 — p + p — 1 = Ap( p + 1)( p — 1)2 + 1 = -1+ B + C -1 = -(-1) — 2B + D + B( p + 1)( p — 1)2 + Cp ( p — 1)2 + 2 = -(-1) + B — C + D + Dp2 ( p + 1)( p — 1) + Ep ( p + 1).

2 = B + C B = 2 — C — 2 = -2B + D 1 = B — C + D 25 2 p3 — p2 + p — 1 = Ap4 — Ap3 — Ap2 + A + 5 3 x = -1+ e-t + et + tet + Bp3 — Bp2 — Bp + B + 4 4 5 5 -t — e-t + et + tet y = + Cp4 — 2Cp3 + Cp2 + 4 4 + Dp4 — Dp2 + Ep3 + EpПроверим, что найденные функции действительно являются решением системы, то есть удовлетворяют и 0 = A + C + D pсистеме и начальным условиям:

2 = -A + B — 2C + E p5 3 1 x' = — e-t + et + et + tet = p2 -1 = -A — B + C — D + E 4 4 2 1 = A p1 — B A = 1+ B = 1-1 = 5 5 = — e-t + et + tet -1 = B p4 4 0 = C + D 0 = C + D C = -D 5 5 y + t = -t — e-t + et + tet + t = 2 = -1- 2C + E 3 = -2C + E 4 4 — 2 = C — D + E 5 5 -1 = 1+ C — D + E = — e-t + et + tet 4 4 3 = 2D + E 1 5 5 5 1 E =, D =, C = — y' = -1 + e-t + et + et + tet = 2 4 — 2 = -2D + E 4 4 2 5 7 • 1 5 1 5 1 1 1 = -1 + e-t + et + tet y(p) = — — + + 4 4 • 4 p + 1 4 p — 1 p(p — 1) 5 3 x + et = -1 + e-t + et + tet + et = • 5 5 4 4 — t — e-t + et + tet • 4 4 5 7 = -1 + e-t + et + tet 4 4 Ответ: Решением системы являются функции 27 Таким образом, справедливы равенства:

x'= x — y, x'+4x — y = 0, 1) 2) x'= x + y, y'+2x + y = 0, x' = y + t x(0) = 1, y(0) = 0, x(0) = 2, y(0) = 3, y' = x + et x'+7x — y = 0, 3) y'+2x + 5y = 0, 5 3 x(0) = -1 + e0 — e0 + 0 e0 = 4 4 x(0) = 1, y(0) = 1, 5 5 x'-x + 2y = 3, y(0) = -0 — e20 + e0 + 0 e0 = 4) 3x'+ y'-4x + 2y = 0, 4 4 x(0) = 0, y(0) = 0, Найденное решение верно.

x'+ y'= 0, x'+ y = 0, 5) 6) x'-2y'+x = 0, y'-2x — 2y = 0, Задачи для самостоятельного решения:

Решить дифференциальные уравнения операционным x(0) = 1, y(0) = -1, x(0) = 1, y(0) = 1, методом:

x'= y — z, y'= x + y, 1) x»-x'= tet, x(0) = 0, x'(0) = 7) 2) x»-9x = e-2t, x(0), x'(0) = 0 z'= x + z, 3) x»+x'= t + 2t, x(0) = 4, x'(0) = -x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 3.

4) x»+3x'+2x = t + t +1, x(0) = 0, x'(0) = 5) x»+2x'+x = cost, x(0) = 0, x'(0) = 6) x»+9x = cos3t, x(0) = 1, x'(0) = 7) x'''-2x»+x'= 4, x(0) = 1, x'(0) = 2, x»(0) = -2.

Решить системы дифференциальных уравнений операционным методом:

29 Литература Подписано в печать 13.09.2004 г.

1. Краснов М.Д., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Формат 60х84 1/16.

Функции комплексного переменного. Усл. печ. л. 1,63, уч.изд. л. 0,8.

Операционное исчисление. Теория устойчивости. Тираж 70 экз. Заказ № 129.

– Задачи и упражнения. М.: Наука, 1971, 301с.

2. Сборник задач по математике для втузов. Под.

https://www.youtube.com/watch?v=zAZsJ73Be0c

Издательство ВСГТУ.

Ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П.,т.т. 1,2. М.:

г. Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40, в.

Наука, 1981.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.

© ВСГТУ, 2004 г.

Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.

2., М.: Высшая школа, 1986, 415с.

Книги по всем темам

Источник: http://knigi.dissers.ru/books/1/14875-1.php

Интегральные преобразования и операционное исчисление, Диткин В.А., Прудников А.П., 1961

Операционное исчисление. Улымжиев М.Д

  • Словари, энциклопедии, справочники →
  • Математика

Купить бумажную книгуКупить электронную книгуНайти похожие материалы на других сайтахКак открыть файлКак скачатьПравообладателям (Abuse, DMСA)Интегральные преобразования и операционное исчисление, Диткин В.А., Прудников А.П., 1961.  Настоящий выпуск серии «Справочная математическая библиотека» посвящен интегральным преобразованиям и операционному исчислению. В первой части изложены основы теории интегральных преобразований Фурье, Лапласа, Меллина, Бесселя, Ханкеля, Мейера, Канторовича — Лебедева и др. Особое внимание уделено преобразованию Лапласа и его применению к математическому анализу. Операционное исчисление излагается на основе теории Микусинского с некоторым ее видоизменением. Указывается, как оно связано с преобразованием Лапласа, и приводятся примеры реализации конкретных операторов.Вторую часть составляют таблицы интегральных преобразований (косинус- и синус-преобразования Фурье, преобразования Лапласа, Меллина, Ханкеля, Канторовича-Лебедева и Мелера-Фока). При составлении таблиц были использованы справочные руководства и работы, опубликованные в периодической литературе.Книга предназначена для математиков, физиков, инженеров, интересующихся вопросами прикладной математики.     За последние десятилетия в математическом анализе широкое распространение получили методы, связанные с использованием интегральных преобразований. Эти методы были успешно применены к решению дифференциальных и интегральных уравнений, изучению специальных функций, вычислению интегралов. Существенным преимуществом метода интегральных преобразований является возможность подготовки таблиц прямых и обратных преобразований различных функций, часто встречающихся в приложениях.В настоящем выпуске серии «Справочная математическая библиотека» (СМБ) рассматриваются наиболее распространенные интегральные преобразования. Первая часть посвящена основам теории и состоит из пяти глав. В первой главе излагаются элементы теории преобразований Фурье и некоторые их приложения. Центральной и наиболее обширной является глава вторая, посвященная преобразованию Лапласа. Здесь же рассматривается преобразование Меллина.

Оглавление

Предисловие

Основы теории

Глава I. Преобразования ФурьеГлава II. Преобразование ЛапласаГлава III. Преобразование БесселяГлава IV. Другие интегральные преобразованияГлава V. Операционное исчисление

ТАБЛИЦЫ ФОРМУЛ

Глава VI. Перечень обозначений специальных функций и некоторых постоянныхГлава VII. Косинус-преобразование ФурьеГлава VIII. Синус-преобразование ФурьеГлава IX. Преобразование Лапласа—КарсонаГлава X. Преобразование МеллинаГлава XI. Преобразование БесселяГлава XII.

Другие интегральные преобразованияБиблиографияАлфавитный указатель
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Интегральные преобразования и операционное исчисление, Диткин В.А., Прудников А.П., 1961 — fileskachat.

com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu

Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу

Скачать книгу Интегральные преобразования и операционное исчисление, Диткин В.А., Прудников А.П., 1961 — Яндекс Народ Диск.

Скачать книгу Интегральные преобразования и операционное исчисление, Диткин В.А., Прудников А.П., 1961 — depositfiles.

03.03.2012 09:00 UTC

справочник по математике :: математика :: Диткин :: Прудников

Следующие учебники и книги:

  • Функции математической физики, Справочное руководство, Кампе Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т., 1963
  • Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Камке Э., 1971
  • Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка, Камке Э., 1966
  • Специальные функции, Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф., 1964

Предыдущие статьи:

  • Высшие трансцендентные функции, Часть 3, Бейтмен Г., Эрдейи А., 1967
  • Справочная книга по математической логике, Часть 4, Теория доказательств и конструктивная математика, Барвайс Д., 1982
  • Справочная книга по математической логике, Часть 3, Теория рекурсии, Барвайс Д., 1982
  • Справочная книга по математической логике, Часть 2, Теория множеств, Барвайс Д., 1982

>

 

Источник: https://obuchalka.org/2012030363814/integralnie-preobrazovaniya-i-operacionnoe-ischislenie-ditkin-v-a-prudnikov-a-p-1961.html

Biz-books
Добавить комментарий