Обработка результатов физического эксперимента на примере измерения ускорения свободного падения с помощью математического маятника. Миндолин С.Ф.

Обработка результатов физического эксперимента на примере определения ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Обработка результатов физического эксперимента на примере измерения ускорения свободного падения с помощью математического маятника. Миндолин С.Ф.

Студент_____________________________группа ___________________

Допуск________________________________Выполнение____________________Защита___________________

Цель работы: получение и закрепление навыков обработки результатов прямых, косвенных и совместных

измерений.

Приборы и материалы: математический маятник, измерительная линейка, секундомер.

Упражнение 1.Порядок обработки прямых измерений. Определение периода колебаний математического маятника.

1. Получите у преподавателя значения длины нити математического маятника и проведите 10 замеров периода колебаний маятника. Результаты запишите в черновик.

2. Из 10 полученных замеров, выберите пять наиболее близких друг к другу по величине и запишите их в таблицу 1.

Таблица 1

Nизм

3. Просуммируйте все значения и данную сумму занесите в соответствующую графу . Используя значение этой суммы, по формуле найдите среднее значение периода колебаний математического маятника.

=

4. Зная , заполните окончательно таблицу 1.

5. Используя данные этой таблицы, найдите дисперсию среднего значение периода колебаний маятника по формуле

6. Найдите среднеквадратичное отклонение среднего значения по формуле

7. Результат измерения периода колебаний запишите в виде:

где для вероятности и числа степеней свободы , значение параметра Стьюдента = 2.8

Упражнение 2.Обработка результатов косвенных измерений. Определение ускорения свободного падения

1. Запишите в табл. 2 пять значений периода колебаний маятника из упражнении 1.

Таблица 2

2. По формуле вычислите среднее значение ускорения.

3. Вычислите дисперсию ускорения свободного падения по формуле:

;

В качестве погрешности в определении длины нити математического маятника возьмите квадрат приборной погрешности (в качестве приборной погрешности принимается величина, равная половине цены деления шкалы прибора).

=

В качестве погрешности числа возьмите табличную погрешность (в качестве табличной погрешности принимается величина, равная половине единицы последнего разряда округлённой табличной величины).

=

Величину рассчитайте по формуле , где n – число измерений.

4. Найдите среднеквадратичное отклонение ускорения по формуле:

5. Результат измерения ускорения запишите в виде:

Упражнение 3.Порядок обработки совместных измерений. Определение ускорения свободного падения

В этом упражнении необходимо определить ускорение свободного падения из совместных измерений длины математического маятника и его периода колебаний.

Период колебаний математического маятника вычисляется по формуле .

Для того, чтобы воспользоваться методом обработки совместных измерений для зависимости введем следующие обозначения: ; ; .

Таким образом, зная экспериментальную зависимость , можем вычислить коэффициент .

Затем из соотношения определим ускорение свободного падения.

1. Уменьшая первоначальную длину маятника (из упражнения 1) каждый раз на 5 см, проведите по три замера на каждой длине и среднее из этих трёх значений запишите в табл. 3 (графы 2 и 3). Всего необходимо провести измерения при пяти различных длинах математического маятника.

2. В соответствии с вышеприведенными обозначениями заполните графы 4 и 5.

Таблица 3

3. Проведите соответствующие вычисления и заполните графы 6 и 7 табл. 3. В графу вносится сумма соответствующих колонок.

4. По формуле вычислите значение параметра . А=

5. Проведите соответствующие расчеты и заполните графу 8.

Далее по формуле вычислите дисперсию параметра А .

6. По формуле вычислите среднее значение ускорения свободного падения.

7. По формуле вычислите среднеквадратичное отклонение среднего значения ускорения свободного падения.

8. Окончательный результат запишите в виде .

9. В координатах постройте график зависимости , там же нанесите звездочками экспериментальные данные . (в качестве возьмите , в качестве возьмите ).

Для проверки соответствия зависимости экспериментальным данным примените — критерий (критерий Фишера). Для этом вычислите следующее соотношение

, где — дисперсия опыта (или дисперсия воспроизводимости) с числом степеней свободы равным n — 1, где n — число прямых измерений величины . Значения возьмите из первого упражнения (n = 5),

а — дисперсия адекватности, где — число измерений ( = 5), а — число коэффициентов в уравнении , ( = 1).

Далее проверьте двухстороннее неравенство , где

(В том случае, когда , достаточно производить одностороннюю оценку, т.е. ).

Если окажется, что , то с вероятностью, равной 95 %, можно утверждать, что наше предположение о линейной зависимости между величинами и действительно описывается зависимостью .

10. Сделайте окончательный вывод.

Пример оформления лабораторной работы

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 0-1:

Источник: https://megaobuchalka.ru/9/21690.html

Лабораторная работа «Исследование колебаний математического маятника» (Иванова М.Г.). урок. Физика 9 Класс

Обработка результатов физического эксперимента на примере измерения ускорения свободного падения с помощью математического маятника. Миндолин С.Ф.

Данный урок освещает практическое занятие «Лабораторная работа по теме “Измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника”». На этом уроке в лабораторной работе с помощью математического маятника мы научимся измерять ускорение свободного падения. Это позволит вам на практике закрепить изученный ранее материал по этой теме.

Сегодня мы будем делать лабораторную работу, которая называется «Измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника». Это важная тема в данной главе, речь пойдет о формуле для вычисления периода математического маятника . Из нее можно выразить величину ускорения свободного падения:

Далее, основываясь на экспериментальных данных, можно вычислить величину ускорения свободного падения.

Вспомним, что величина ускорения свободного падения зависит от характеристик планеты, на которой мы ведем измерение, и от географической широты местности (рис. 1).

Рис. 1. Ускорение свободного падения на экваторе и на полюсах

Поэтому ее значение варьируется от широты к широте и оно очень важно для различных точных вычислений в технике. Потому что движение любого маятника, даже в часах, будет зависеть от этой величины.

Знания о том, как вычислить ускорение свободного падения при помощи математического маятника, необходимы не только для того, чтобы быть образованным человеком, но и для того, чтобы отлично сдать ЕГЭ.

Цель работы: научиться измерять ускорение свободного падения с помощью математического маятника.

Приборы и материалы: математический маятник, электронный секундомер, линейка, микрокалькулятор.

Главную роль в данной работе играет математический маятник. Это небольшое тело, закрепленное на длинной нити. Чтобы компенсировать небольшую длину, мы будем запускать маятник на небольшую амплитуду от положения равновесия – говорят: на небольшой угол колебаний.

Период колебаний – наименьший промежуток времени, за который тело возвращается в то же состояние, в котором оно находилось в первоначальный момент (рис. 2). Состояние маятника в некоторый момент – это положение груза и его скорость (модуль и направление).

Рис. 2. Колебание маятника

Будем считать период колебаний всегда, когда тело будет занимать крайнее правое положение. Чтобы определить время колебаний, будем использовать электронный секундомер.

В ходе проведения лабораторной работы будем запускать секундомер и считать количество колебаний. Чтобы найти период колебаний, нам необходимо время нескольких колебаний  разделить на число колебаний :

Как мы будем измерять длину маятника? Для этого мы воспользуемся простой сантиметровой лентой с ценой деления в 1 мм. Соответственно, измерение мы будем проводить с точностью до 1 мм. Измеряем длину маятника от середины до точки подвеса: .

Это важное значение, меняться оно в течение опыта не будет. Еще нам необходим микрокалькулятор, поскольку значение периода будет посчитано с точностью до сотых секунд.

Таблица результатов содержит в себе несколько столбцов: номер опыта, число колебаний, время, период, значение ускорения свободного падения.

Nt (c)T (c)g (м/с2)
1
2

Табл. 1. Таблица результатов

В конечную формулу для вычисления ускорения свободного падения  подставим длину маятника, выраженную в метрах (), так как она у нас фиксированная константа:

Запишем результаты первого опыта в таблицу. Маятник выполнил 6 полных колебаний за 7,21 с. Вычислим период: . Теперь вычислим ускорение свободного падения по формуле:

Nt (c)T (c)g (м/с2)
167,211,209,64
2

Табл. 2. Результаты первого опыта

Вы знаете, что ускорение на нашей широте равно 9,8 м/с2. У нас получилось немного меньше. Это связано с неточностью измерений. Есть системные ошибки, есть приборные ошибки.

Поэтому, чтобы повысить точность эксперимента, необходимо сделать несколько вычислений. При округлении полученной величины 9,64 и 9,8 до целого значения мы все равно получаем 10, т. е.

мы всегда используем величину свободного падения, равную 10 м/с2. Для наших экспериментов этого достаточно.

Рассмотрим задачу.

Как изменится ход маятниковых часов, если их:

1) перевезти из Москвы на Северный полюс;

2) перевезти из Москвы на экватор;

3) поднять высоко на гору;

4) перенести из нагретого помещения на мороз?

Маятниковые часы основаны на математическом маятнике. Если период колебаний будет меньше, чем нам нужно, то часы начнут спешить. И наоборот, если период колебаний уменьшится, то часы начнут отставать. Значит, для ответа на вопрос нам нужно выяснить, как изменится период колебаний маятниковых часов в том или ином случае.

Ситуация 1: математический маятник переносят из Москвы на Северный полюс. Земля сплюснута у полюсов, следовательно, ускорение свободного падения на полюсах больше, чем в Москве. Если ускорение свободного падения станет больше, то период уменьшится. Вследствие чего маятниковые часы будут спешить. Здесь мы не учитываем разность температур в Москве и на полюсе.

Ситуация 2: математический маятник переносят из Москвы на экватор. Изменением температуры пренебрегаем. По аналогии с первой ситуацией, на экваторе ускорение свободного падения меньше чем в Москве, следовательно, период колебаний часов увеличится и они начнут отставать.

Ситуация 3: поднимаем часы высоко на гору. В этом случае расстояние от центра Земли увеличивается, следовательно, ускорение свободного падения уменьшается. Как и в случае 2, период будет возрастать, а час начнут отставать.

Ситуация 4: выносим часы из натопленного помещения на мороз. При понижении температуры линейные размеры тел уменьшаются. Это значит, что длина маятника немного сократится. Следовательно, и период колебаний тоже станет меньше. Часы начнут спешить.

Список литературы

  1. Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: справочник с примерами решения задач. – 2-е издание, передел. – X.: Веста: издательство «Ранок», 2005. – 464 с.
  2. Перышкин А.В., Гутник Е.М., Физика. 9 кл.: учебник для общеобразоват. учреждений/А.В. Перышкин, Е.М. Гутник. – 14-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2009. – 300 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

  1. Как определить период колебаний математического маятника? Как из этой формулы выразить ускорение свободного падения?
  2. Что такое погрешность? Какие бывают погрешности?
  3. Определите период колебаний математического маятника, если известно, что за 10 секунд он успевает сделать 20 полных колебаний. Что нужно сделать с длиной нити, чтобы за такое же время он сделал больше колебаний?

Источник: https://interneturok.ru/lesson/physics/9-klass/mehanicheskie-kolebaniya-i-volny/laboratornaya-rabota-issledovanie-kolebaniy-matematicheskogo-mayatnika-ivanova-m-g?konspekt

Измерение ускорения свободного падения на различных высотах при помощи математического маятника

Обработка результатов физического эксперимента на примере измерения ускорения свободного падения с помощью математического маятника. Миндолин С.Ф.

  • Участник: Мингалеев Артур Эдуардович
  • Руководитель: Баскова Мария Аркадьевна

Цель настоящего исследования состояла в получении значения ускорения свободного падения при помощи математического маятника в условиях разного уровня высоты на уровнем моря.

Первым человеком, изучавшим природу падения тел, был греческий ученый Аристотель. Затем Галилео Галилей обобщил и не проанализировал опыт и эксперименты нескольких поколений исследователей. Он предположил, что в среде, свободной от воздуха, все тела будут падать с одинаковой скоростью.

Также Галилей предположил, что во время падения скорость тел постоянно увеличивается. Экспериментировать со свободным падением тел продолжил Исаак Ньютон. В его выводах прослеживается мысль, что на Луне и на других планетах сила тяжести, воздействующая на одно и то же тело, будет неодинакова, зависит она напрямую от массы космического тела.

Например, ускорение g на Луне в несколько раз меньше, чем на Земле. Таким образом, зная массу планеты, можно вычислить ускорение свободного падения тела на этой планете.

Цель настоящего исследования состояла в получении значения ускорения свободного падения при помощи математического маятника в условиях разного уровня высоты на уровнем моря. Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи исследования:

  1. Ознакомиться с историей открытия свободного падения тел;
  2. Изучить методы измерения ускорения свободного падения на поверхности Земли;
  3. Провести самостоятельные измерения ускорения свободного падения при помощи математического маятника;
  4. Провести измерения на различных высотах.

Гипотеза исследования: логично предположить, что ускорение свободного падения, полученные в разных экспериментах, должны быть близки к значению 9,8 м/с2 и отличаться на сотые или тысячные доли на глубине станции метро Кремлевская (–34 м) и на высоте небоскреба «Лазурные небеса» (+120 м). Также результаты измерений и вычислений могут отличаться погрешностью измерений.

Методы изучения: самостоятельная, индивидуальная работа в сочетании с теоретическими исследовательскими, проектными формами работы.

Читая много различной в том числе и технической литературы, я узнал о практическом применении различия ускорения свободного падения в разных точках на поверхности Земли.

Я измерял g различными способами, рассчитывал погрешности измерений, опираясь на общепринятое значение g, учился грамотно проводить эксперимент. Выяснил, что свободное падение – движение равноускоренное. Ускорение свободного падения не зависит от массы тела.

Гипотезу о том, что значения ускорения свободного падения должны быть близки к значению 9,8 м/с2 и отличаться только погрешностью измерений удалось подтвердить разными экспериментами. Наиболее точный результат ускорения свободного падения у меня получился с помощью математического маятника.

Поэтому для исследования изменения значения ускорения свободного падения с высотой я выбрал именно этот способ измерения. Погрешность составила не более 10%.

В дальнейшем я хотел бы самостоятельно исследовать зависимость значения ускорения свободного падения от географического положения.

2.1. Исторические сведения об открытии свободного падения и методах его измерения

Еще тысячелетия назад люди замечали, что большая часть предметов падает все быстрее и быстрее, а некоторые падают равномерно. Но как именно падают эти предметы – этот вопрос первобытных людей не занимал. Тем не менее нашлись люди, которые по мере возможностей начали исследовать это явление. Сначала они проделывали опыты с двумя предметами.

Например, брали два камня, и давали возможность им свободно падать, выпустив их из рук одновременно. Затем снова бросали два камня, но уже в стороны по горизонтали. Потом бросали один камень в сторону, и в тот же момент выпускали из рук второй, но так, чтобы он просто падал по вертикали. Люди извлекли из таких опытов много сведений о природе.

Из опытов с падающими телами люди установили, что маленький и большой камни, выпущенные из рук одновременно, падают с одинаковой скоростью. То же самое можно сказать о кусках свинца, золота, железа, стекла, и т.д. самых разных размеров.

Из подобных опытов выводиться простое общее правило: свободное падение всех тел происходит одинаково независимо от размера и материала, из которого тела сделаны. Между наблюдением за причинной связью явлений и тщательно выполненными экспериментами, вероятно, долго существовал разрыв.

Две тысячи лет назад некоторые древние ученые, по-видимому, проводили вполне разумные опыты с падающими телами. Великий греческий философ и ученый Аристотель, по-видимому придерживался распространенного представления о том, что тяжелые тела падают быстрее, чем легкие.

Аристотель и его последователи стремились объяснить, почему происходят те или иные явления, но не всегда заботились о том, чтобы пронаблюдать, что происходит и как происходит. Он говорил, что тела стремятся найти свое естественное место на поверхности Земли.

В XIV столетии группа философов из Парижа восстала против теории Аристотеля и предложила значительно более разумную схему, которая передавалась из поколения в поколение и распространилась до Италии, оказав двумя столетиями позднее влияние на Галилея.

Парижские философы говорили об ускоренном движении и даже о постоянном ускорении, объясняя эти понятия архаичным языком. Великий итальянский ученый Галилео Галилей обобщил имеющиеся сведения и представления и критически их проанализировал, а затем описал и начал распространять то, что считал верным. Галилей понимал, что последователей Аристотеля сбивало с толку сопротивление воздуха. Он указал, что плотные предметы, для которых сопротивление воздуха несущественно, падают почти с одинаковой скоростью.

Предположив, что произошло бы в случае свободного падения тел в вакууме, Галилей вывел следующие законы падения тел для идеального случая: все тела при падении движутся одинаково; начав падать одновременно, они движутся с одинаковой скоростью; движение происходит с «постоянным ускорением»; темп увеличения скорости тела не меняется, т.е.

за каждую последующую секунду скорость тела возрастает на одну и ту же величину.

Существует легенда, будто Галилей проделал большой демонстрационный опыт, бросая легкие и тяжелые предметы с вершины Пизанской падающей башни (одни говорят, что он бросал стальные и деревянные шары, а другие утверждают, будто это были железные шары весом 0,5 и 50 кг).

Описаний такого публичного опыта нет, и Галилей, несомненно, не стал таким способом демонстрировать свое правило. Галилей знал, что деревянный шар намного отстал бы при падении от железного, но считал, что для демонстрации различной скорости падения двух неодинаковых железных шаров потребовалась бы более высокая башня.

Итак, мелкие камни слегка отстают в падении от крупных, и разница становится тем более заметной, чем большее расстояние пролетают камни. И дело тут не просто в размере тел: деревянный и стальной шары одинакового размера падают не строго одинаково. Галилей знал, что простому описанию падения тел мешает сопротивление воздуха.

Но он мог лишь уменьшить его и не мог устранить его полностью. Поэтому ему пришлось вести доказательство, переходя от реальных наблюдений к постоянно уменьшающимся сопротивлением воздуха к идеальному случаю, когда сопротивление воздуха отсутствует. Позже, оглядываясь назад, он смог объяснить различия в реальных экспериментах, приписав их сопротивлению воздуха.

Вскоре после Галилея были созданы воздушные насосы, которые позволили произвести эксперименты со свободным падением в вакууме. С этой целью Ньютон выкачал воздух из длинной стеклянной трубки и бросил сверху одновременно птичье перо и золотую монету.

Даже столь сильно различающиеся по своей плотности тела падали с одинаковой скоростью. Именно этот опыт дал решающую проверку предположения Галилея. Опыты и рассуждения Галилея привели к простому правилу, точно справедливому в случае свободного падения тел в вакууме.

Это правило в случае свободного падения тел в воздухе выполняется с ограниченной точностью. Поэтому верить в него, как в идеальный случай нельзя. Для полного изучения свободного падения тел необходимо знать, какие при падении происходят изменения температуры, давления, и др.

, то есть исследовать и другие стороны этого явления. Так Галилей установил признак равноускоренного движения:

S1 : S2 : S3 : … = 1 : 2 : 3 : … (при V0 = 0)

Таким образом, можно предположить, что свободное падение есть равноускоренное движение. Так как для равноускоренного движения перемещение рассчитывается по формуле, то если взять три некоторые точки 1,2,3 через которые проходит тело при падении и записать: (ускорение при свободном падении для всех тел одинаково), получится, что отношение перемещений при равноускоренном движении равно:

S1 : S2 : S3 = t12 : t22 : t32 (2)

Источник: https://rosuchebnik.ru/material/izmerenie-uskoreniya-svobodnogo-padeniya-na-razlichnykh-vysotakh-pri-pomoshchi-matematicheskogo-maya-5198/

Лабораторная работа 01 обработка результатов физического эксперимента

Обработка результатов физического эксперимента на примере измерения ускорения свободного падения с помощью математического маятника. Миндолин С.Ф.

Подборка по базе: Научная работа краш-синдром О.pdf, Практическая работа ориентирование.docx, Контрольная работа_1семестр.docx, Практическая работа 1.docx, Лабораторная работа №1.pdf, Курсовая работа Строит.материалы_.

docx, КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА (Основные полномочия органов местного самоупр, контрольная работа по информатике Мусихин Стас.docx, Курсовая работа. Бурак Д.А. Ми-ЗМЕ-602.docx, Контрольная работа ТЕМА 1 2.docx.docx.

Если справедливо неравенство , то поставленную гипотезу о том, что средние значения совпадают, не отвергают. При этом вероятность совершить ошибку равна заданному значению .

Если дисперсии генеральных совокупностей не равны, т.е. , то равенство двух средних проверяют с помощью приближенного -критерия, который вычисляют из соотношения

, (0.27)

число степеней свободы при этом определяют из выражения

, где (0.28)

Если выполняется неравенство , то гипотезу с вероятностью совершить ошибку равной заданному значению , не отвергают. В противном случае . И в этом случае вероятность совершить ошибку равна заданному значению .

Рассмотрим применение данного критерия на следующем примере. Пусть в результате проведения измерений получены значения следующие значения импульсов шаров до и после столкновения

— импульс до столкновения.

— импульс после столкновения.

Проверим гипотезу о том, импульсы шаров до и после столкновения равны.

  1. Вычисляем параметр
  1. Определяем число степеней свободы по формуле:

Вначале находим параметр

Затем вычисляем параметр

  1. По табл. 0.4 для заданного значения вероятности совершить ошибку () находим параметр : .
  2. Так как то гипотезу о равенстве средних значений двух генеральных совокупностей () с вероятностью совершить ошибку необходимо отвергнуть. Делаем вывод: в данном эксперименте импульс шаров до и после столкновения не равны.

Лабораторная работа 0-1(1): Определение ускорение свободного падения с помощью математического маятника.

Упражнение 1. Порядок обработки прямых измерений. Определение периода колебаний математического маятника.

  1. Получите у преподавателя значения длины нити математического маятника и числа измерений периода колебаний.
  2. Проведите измерений периода колебаний маятника, результаты этих измерений внесите в табл.0.4.

Таблица 0.4

Nизм12345
  1. Просуммируйте все значения и данную сумму занесите в соответствующую графу . Используя значение этой суммы, по формуле (0.1) найдите среднее значение периода колебаний математического маятника.
  2. Зная , заполните окончательно табл.0.4, используя данные этой таблицы, найдите дисперсию среднего значение периода колебаний маятника по формуле (0.3).
  3. Найдите среднеквадратичное отклонение среднего значения по формуле
  1. Задаваясь вероятностью и зная число степеней свободы , определите по табл.О.1 значение параметра Стьюдента . Результат измерения периода колебаний запишите в виде

.

Упражнение 2. Обработка результатов косвенных измерений.

Определение ускорения свободного падения

  1. Запишите в табл.0.5 значения периода колебаний маятника. Эти данные возьмите из упражнения 1.

Таблица 0.5

1
2
3
4
5
  1. Затем по формуле вычислите среднее значение ускорения.
  2. Вычислите дисперсию ускорения свободного падения по формуле

В качестве дисперсии длины маятника берется квадрат приборной погрешности. Дисперсия числа находится из таблицы 0.5. (см. Приложение)

  1. Найдите среднеквадратичное отклонение ускорения по формуле
  1. Результат измерения ускорения запишите в виде

Упражнение 3. Порядок обработки совместных измерений. Определение ускорения свободного падения

В этом упражнении необходимо определить ускорение свободного падения из совместных измерений длины математического маятника и его периода колебаний.Период колебаний математического маятника вычисляется по формуле

. Для того, чтобы воспользоваться методом обработки совместных измерений для зависимости введем следующие обозначения:

; ;

Таким образом, зная экспериментальную зависимость или , можем вычислить коэффициент . Затем из соотношения вычислим ускорение свободного падения.

  1. Получите у преподавателя значение пяти различных длины , и для заданных значений длин математического маятника определите период его колебаний.
  2. Полученные данные запишите в табл.0.6 (графы 2,3). В соответствии с вышеприведенными обозначениями заполните графы 4 и 5

Таблица 0.6

12345678
1
2
3
4
5
  1. Проведите соответствующие вычисления и заполните графы 6,7

табл.0.6. В графу вносится сумма соответствующих колонок.

  1. По формуле (0.15) вычислите значения параметра .
  2. Проведите соответствующие расчеты и заполните графу 8.

Далее по формуле (0.16) вычислите дисперсии параметра А .

  1. По формуле вычислите ускорение свободного падения.
  2. По формуле вычислите среднеквадратичное отклонение ускорения свободного падения.
  3. Окончательный результат запишите в виде .
  4. В координатах постройте график зависимости , там же нанесите звездочками экспериментальные точки .
  5. По формуле (0.20) найдите дисперсию адекватности. Дисперсию воспроизводимости найдите по формуле , где . Значения возьмите из первого упражнения. По этим данным найдите критерий Фишера. Сравнивая полученное значение критерия Фишера с табличным, сделайте окончательный вывод о соответствии зависимости полученным экспериментальным данным.

Контрольные вопросы

  1. Дайте определение основным видам погрешностей. Приведите примеры.
  2. Как установить наличие случайных погрешностей при проведении измерений?
  3. Как установить наличие систематических погрешностей при проведении измерений?
  4. Как установить наличие ”промахов” при проведении измерений? Как отбраковываются промахи?
  5. Объясните, что понимается под генеральной совокупностью измеряемой величины , и ее выборки.
  6. Дайте определение среднего значения выборки, дисперсии, дисперсии среднего значения и среднеквадратичного отклонения.
  7. Что такое прямые, косвенные и совместные измерения? Приведите примеры.
  8. Объясните на числовом примере порядок обработки прямых измерений. Для чего используется коэффициент Стьюдента.
  9. Объясните на примере два метода обработки косвенных измерений.
  10. Для совместных измерений на примере линейной зависимости объясните сущность метода наименьших квадратов.
  11. Используя условие наименьших квадратов, выведите формулу для вычисления параметра в линейной зависимости .
  12. Как записывают окончательный результат прямых измерений?
  13. Как проверяют гипотезу о соответствии экспериментальных данных предполагаемой зависимости? Что такое критерий Фишера?
  14. Как находится дисперсия адекватности и дисперсия воспроизводимости?
  15. Как проверяют гипотезу о равенстве средних значений двух выборок?

Приведите несколько примеров использования критерия о проверке равенства средних значений двух выборок.

Источник: https://topuch.ru/laboratornaya-rabota-0-1-obrabotka-rezuletatov-fizicheskogo-ek/index4.html

1 1 доц. Миндолин С.Ф. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 0-1: ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ФИЗИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА (на примере измерения ускорения свободного падения с помощью математического

Обработка результатов физического эксперимента на примере измерения ускорения свободного падения с помощью математического маятника. Миндолин С.Ф.

Книги по всем темам 1 доц. Миндолин С.Ф.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 0-1: ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ФИЗИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА (на примере измерения ускорения свободного падения с помощью математического маятника) Студент группы Допуск Выполнение Защита Цель работы: получение и закрепление навыков обработки результатов прямых, косвенных и совместных измерений.

Основные теоретические сведения Прямые измерения Одной из важнейших задач физического эксперимента являются измерения величин. Процесс измерения состоит в том, что измеряемую величину сравнивают с другой величиной, принятой за эталон.

Измерения, в процессе которых искомая величина определяется с помощью специально предназначенного для этого прибора, называются прямыми. Они никогда не бывают абсолютно точными. Всегда возникает разброс результатов измерений, что требует оценки погрешности (ошибки)- обязательного элемента любого эксперимента.

Род и причины погрешностей разнообразны и необходимы многочисленные эксперименты, чтобы их систематизировать.

Среди множества ошибок измерений выделим следующие:

систематические погрешности- это погрешности, являющиеся следствием неправильной калибровки (сбитый ноль прибора, тепловое расширение линейки.), ошибочности метода измерений и т.п.

При наличии такого типа погрешностей измеренное значение отклоняется от истинного значения в одну и ту же сторону и на одну и туже величину.

Повторными измерениями эти ошибки не уменьшаются, однако их можно оценить методом сравнения результатов измерений заданной величины каким-либо прибором с измерениями, полученными исправным прибором (с большей степенью точности).

случайные погрешности вносятся изменчивыми условиями эксперимента, несовершенством органов чувств и трудно учитываемыми условиями эксперимента, ограниченной точностью и т.п.

Случайные ошибки уменьшаются с 1 ростом числа измерений пропорционально, (где n — число измерений в одинаковых условиях) и подчиняются n законам теории вероятности и математической статистики. Чаще всего случайные погрешности проявляются в виде разброса (рассеяния) показаний прибора.

В результате этого разброса измеряемая величина случайным образом отклоняется от истинного значения в произвольную сторону на произвольную величину.

промахи- погрешности, чаще всего возникающие вследствие невнимательности человека или недостаточной его квалификации и опыта.

Их можно наблюдать, например, при неправильном отсчете измеряемого значения (неправильное определение цены деления прибора).

Кроме того, к грубым погрешностям могут привести внезапные сильные внешние влияния на измерительное устройство, повреждения или помехи, которые нельзя считать субъективными.

приборные погрешности- этот тип погрешностей обусловлен тем, что практически любое измерительное устройство обладает ограниченной степенью точности, т.е.

,например, измерительной линейкой с ценой деления 1см нельзя измерить длину стола с точностью до одного миллиметра.

Практически для большинства измерительных устройств (за исключением электроизмерительных приборов) в качестве приборной погрешности принимается половина его цены деления.

погрешности округления — связаны с тем, что в расчетах приходится те или иные величины округлять до определенного десятичного разряда.

В методах математической статистики для обработки результатов измерений, в которых присутствуют только случайные погрешности, используется понятие генеральной совокупности значений измеряемой величины и выборки.

Например, при измерении времени между двумя событиями или длины предмета, мы, в принципе, можем получить значения, заключенные в интервале (0, ).

Множество всех допустимых значений, которые может принимать та или иная величина, называется ее генеральной совокупностью. Производя n измерений, мы получим n значений измеряемой величины: x1, x2,K, xn.

Данная совокупность значений называется выборкой для величины x объемом n.

Очевидно, что выборка переходит в генеральную совокупность, если ее объем, т.е. число измерений n, стремится к бесконечности. Введем понятие среднего значения выборки и ее дисперсии. Средним значением выборки объемом n для величины x называется величина, вычисляемая из соотношения:

n xi x1 + x2 + K + xn i=< x >= =. (0.1) n n Далее введем понятие дисперсии выборки, являющейся мерой отклонений измеренных значений x от их среднего значения < x >.

Дисперсию выборки находят из следующего соотношения n (xi — < x >)(x1- < x >)2 + (x2- < x >)2 +K+ (xn — < x >)i=Sx = =. (0.

2) n -1 n -Величина, которая является мерой отклонения среднего значения выборки от истинного значения измеряемой величины, называется дисперсией среднего значения. Дисперсия среднего значения обозначается S и вычисляется по формуле:

n (xi — < x >)(x1- < x >)2 + (x2 — < x >)2 +K+ (xn — < x >)2 i=S = =. (0.3) n (n -1) n (n -1) Величина S< x>, равная S = S2 называется среднеквадратичным отклонением среднего значения от ис< x> тинного значения x0.

Очевидно, что среднее значение и дисперсия зависят как от измеренных значений xi, так и от объема выборки n. Причем, при увеличении n до бесконечности среднее значение и дисперсия выборки стремятся, соответственно, к среднему значению и дисперсии генеральной совокупности.

Дисперсию генеральной совокупности обычно обозначают.

x Результаты измерений величины x являются случайными числами, поскольку при измерениях присутствуют случайные погрешности измерений. Наиболее часто вероятность получения результата измерений описывается распределением Гаусса.

Плотностью распределения величины x называется функция (x), такая, что вероятность dp получить измеряемую величину в интервале от x до x + dx равна dp = (x) dx, (x-xист )x где (x) = e (0.4) x На рис 0.1 представлен график функции (x).

Важнейшим свойством ее является то, что вероятность получения результата однократного измерения x1 x x2 равна площади под кривой в пределах x1 до x2. Например, в пределах от x0 — до x0 + вероятность равна 0.683, в пределах от x0 — 2 до x0 + 2 она равна 0.954 и в x x x x пределах x0 — 3, до x0 + 3 она будет 0.

997. Следовательно, из 1000 измерений 683 наиболее вероятно попаx x дут в интервал x0 ±, 954 -в интервал x0 ± 2, а 997 соответственно в интервал x0 ± 3.

x x x (x) 0,x x + x — x x Рисунок 0.1. График функции распределения Гаусса.

Целью физического эксперимента при проведении прямых измерений является определение интервала, в котором находится истинное значение величины x (доверительного интервала).

Чтобы записать данный интервал по результатам n измерений, в которых присутствуют только случайные погрешности, предварительно введем параметр, определяемый по формуле x- < x > t = (0.

5) S< x> где x — истинное значение измеряемой величины.

Из данного соотношения видно, что параметр t также является величиной случайной, поскольку находится из случайных величин < x > и S. Следовательно, для всевозможных значений параметра t также существует своя функция распределения.

Впервые данная зависимость была найдена Стьюдентом и получила название функции распределения Стьюдента, а параметр t называется параметром Стьюдента.

Аналитическое выражения функции распределения параметра Стьюдента имеет следующий вид:

n n Г t2 x-S(n -1,t) = 1+, где Г (x) = e-u du гамма функция.

u n — n — (n -1) Г График функции распределения параметра Стьюдента представлен на рисунке 0.2. Зная данное распределение и tk используя следующее равенство P(t tk )= -1, x) dx можно вычислить вероятность P(t tk ) того, что S(n -tk параметр t не превосходит значения tk.

0.0.0.S( 15, t) 0.0.0.007 50 7 t Рисунок 0.2. График функции распределения параметра Стьюдента.

Обычно на практике поступают по иному. Зная количество измерений n, и задавая вероятность P(t tk ), находят величину параметра tk. Значения данного параметра tk приведены в табл. 0.1. Данные таблицы 0.1 на практике используют следующим образом.

Зная объем выборки n и задавая значение вероятности p, с помощью табл. 0.находят параметр tp,k, где k -число степеней свободы ( k = n -1). После чего из соотношения (0.5) легко получить искомый интервал x =< x > ±t S< x> (0.

6) при p, равном заданному значению, и соответствующем k.

Данная запись означает то, что истинное значение величины x с вероятностью p, попадает в указанный интервал. В том случае, если при проведении прямых измерений присутствуют кроме случайных погрешностей и другие виды погрешностей необходимо также учитывать их влияние на искажения полученных результатов. В этом случае дисперсию прямых измерений находят по формуле:

2 2 2 S = S1 + S2 + K + Sn, 2 где S1 — дисперсия измерений от случайных погрешностей, S2 — дисперсия измерений от приборных погрешностей и т.д. Следует заметить, что из полученных прямых измерений оценить систематическую погрешность не представляется возможным.

Рассмотрим пример обработки результатов прямых измерений. Допустим, в результате пяти измерений получены значения: 6,7,6,5,6. Порядок обработки полученных измерений заключается в следующем.

1. Находим среднее значение измерений по формуле (0.1) 6 + 7 + 6 + 5 + < x >= = 6.

2. Дисперсию среднего значения находим по формуле (0.3.) (6 — 6)2 + (6 — 7)2 + (6 — 6)2 + (6 — 6)2 + (6 — 6)S< x> = 0,5 (5 -1) Тогда среднеквадратичное отклонение среднего значения равно S = S = 0,1 = 0,3.

3. Для вероятности p = 0,95 и числа измерений n = 5, находим значение параметра t из табл. 0.1:

( t = 2,8.) 4. Окончательный результат записываем в виде x = 6 ± 2,8 0.3 = 6,00 ± 0,83 при p = 0,95.

Таблица 0.Значение параметра Стьюдента в зависимости от вероятности p и числа степеней свободы k = n -1.

Вероятность p k 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,98 0,99 0,1,38 2,0 31 6,3 12,7 31,8 63,7 636,1,06 1,3 1,9 2,9 4,3 7,0 9,9 31,0,98 1,3 1,6 2,4 3,2 4,5 5,8 12,0,94 1,2 1,5 2,1 2,8 3,7 4,6 8,0,92 1,2 1,5 2,0 2,6 3,4 4,0 6,0,90 1,1 1,4 1,9 2,4 3,1 3,7 6,0,90 1,1 1,4 1,9 2,4 3,0 3,5 5,0,90 1,1 1,4 1,9 2,3 2,9 3,4 5,Косвенные измерения.

В процессе проведения физических исследований часто приходится вычислять искомую величину y по результатам прямых измерений, связанных с искомой функциональной зависимостью y = f (x). Такие измерения называются косвенными.

Причем для такого типа измерений можно предложить порядок их обработки такой же, как для прямых из измерений.

Согласно этого методу по результатам прямых измерений x1, x2,K, xn находят по формуле y = f (x) значения косвенных измерений y1, y2,K, yn, затем по формулам (0.1) и (0.3) вычисляют среднее значение < y > дисперсию средних значений косвенных измерений S< y>.

Используя эти величины, записывают доверительный интервал в виде y =< y > ±tp,k S< y> Однако для большого числа измерений данный метод является трудоемким. Поэтому на практике поступают следующим образом.

Среднее значение косвенного измерения < y > находят путем подстановки соответствующих средних значений прямых измерений в следующее равенство < y >= f (< x >). Т.к. при малых значениях x приращение y проdf порционально производной y = x, то существует следующая связь среднеквадратичных отклонений Sx и dx S :

y df 2 Sy = Sx (0.7) dx Нередко оказывается, что искомая величина является функцией нескольких переменных x, z,t,K:

y = f (x, z,t,K) (0.8) В этом случае дисперсия величины y определяется по формуле 2 2 f f f 2 2 Sy = Sx + Sz + St2 +K (0.9) x z t f f f где,, — частные производные от функции y = f (x, z,t,K).

x z t Рассмотрим на следующем примере порядок обработки косвенных измерений. Для некоторого бегуна на 100метровке пятью наблюдателями получены следующие значения времени пробега в секундах ti {13,2;13,4;13,5;13,1;13,6 }. Необходимо найти доверительный интервал для величины скорости бегуна.

Первый способ.

1. Предполагая движение бегуна равномерным, находим его скорость S1 100 S2 V1 = = = 7,5757 м/с, V2 = = = 7,4627 м/с, t1 13,2 t2 13,100 V3 = = 7,4074 м/с, V4 = = 7,6359 м/с, 13,5 13,V5 = = 7,3529 м/с 13,2.

Находим среднее значение скорости 7,5757 + 7,4627 + 7,4074 + 7,6359 + 7,< V >= = 7,4869 м / с Находим дисперсию среднего значения скорости (7,5757 — 7,4859)2 + (7,5757 — 7,4627)2 + K м S = = 2,74 10-5 (5 -1) сНаходим среднеквадратичное отклонение м S = 2,74 10-3 = 0,с 3.

Записываем доверительный интервал величины скорости движения бегуна V = 7,4859 ± 0.052 = (7,49 ± 0.05) м/с Второй способ.

1. Находит среднее значение времени 13,2 + 13,4 + 13,5,+13,1 + 13,< t >= = 13,36 с 2. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение времени S = 0.086 S = 0,093 с3. Находим среднее значение скорости < S > 100 м < V >= = = 7.< t > 13,36 с 4.

Находим формулу для дисперсии скорости Определяем частные производные S S V t 1 V t S = = = = — S S t t t tПолучаем формулу для дисперсии скорости 2 1 < S > 1 < S > 2 2 S = SS + — St2 = SS + St < t >< t >2 < t >2 < t > Полагая, что дистанция измерялась лентой с ценой деления 1см, задаем погрешность измерений расстояния S = 0,005 м и вычисляем дисперсию и среднеквадратичное отклонение 1 1002 мS = 0,0052 + 0,0932 = 0,13,362 13,364 см S = 0,00718 = 0,с 5. Записываем доверительный интервал V = (7,48 ± 0,09) м/с.

Следует обратить внимание на то, что данный доверительный интервал записан без учета параметра Стьюдента, поэтому второй способ обработки результатов косвенных измерений является менее строгим по сравнению с первым.

Данный способ обработки результатов косвенных измерений, по сути, является оценочным способом для доверительного интервала.

Совместные измерения. Метод наименьших квадратов.

Рассмотрим совместные измерения и порядок их обработки на следующем примере. Допустим, величина y и величина x связаны линейной зависимостью, т.е.:

y = A x (0.10) Если величины x, y связанные функционально, измеряются одновременно, то такие измерения называются совместными. Задачей совместных измерений является определение коэффициента A.

Для этого проведем n измерений величин x, y, последовательно измеряя их в процессе эксперимента, в результате получим n пар значений (x1, y1), (x2, y2 ),…, (x2, y2 ). Отметим на плоскости XOY экспериментальные точки, соответствующие полученным данным (рис. 0.3).

Вследствие случайных погрешностей полученные экспериментально точки не лежат на одной прямой. Но можно сформулировать критерий для выбора углового коэффициента прямой, в соответствии с которым ошибка измерения этого коэффициента будет минимальной. Этот критерий в математической статистике получил название критерия наименьших квадратов.

Пусть для некоторого определенного значения A прямая y = A x пройдет так, как это показано на рис 0.3. Для x = xi ордината y при этом равна A xi, экспериментальное значение y для x = xi равно yi, т.е. существует отклонение экспериментального значения y от вычисленного значения A xi.

Эти отклонения для каждого измеренного значения величины y могут отличаться как по величине, так и по знаку i = yi — A xi (0.11) Согласно критерию наименьших квадратов, угловой коэффициент прямой y = A x должен быть таким, чтобы сумма квадратов отклонений ординат прямой y = A x при тех же значениях аргумента была минимальной.

Это условие метода наименьших квадратов математически записывается так:

n 2` Q = — A xi ) min (0.12) (yi i=Y i Y i YX X X i Рисунок 0.В выражении (0.12) остаточная сумма квадратов Q является функцией неизвестного параметра A. Минимальное значение этой функции достигается тогда, когда ее производная при некотором значении A равна нулю, т.е.:

dQ = 0 (0.13) dA Следовательно, взяв от суммы (0.12) производную по параметру A и приравняв ее к нулю, получим уравнение:

n n d = (0.14) ( yi — A xi )2 2( yi — A xi ) (-xi ) = dA i=1 i=Это уравнение линейное относительно А, и из него легко можно получить формулу для нахождения неизвестного параметра A :

n x yi i i=A = (0.15) n xi i =Параметр A является случайной величиной. С помощью методов математической статистики можно найти формулу для дисперсии этого параметра n ( yi — A xi )i=SA = (0.

16) n n -xi i=Таким образом, метод наименьших квадратов позволяет определить по результатам n совместных измерений, как величину неизвестного параметра A, так и его дисперсию SA.

В ряде случаев функциональная зависимость между величинами y и x может отличаться от простейшей линейной зависимости (0.10).

Книги по всем темам

Источник: http://knigi.dissers.ru/books/1/5957-1.php

Biz-books
Добавить комментарий