Написать уравнение траектории и построить ее…

Траектория движения

Написать уравнение траектории и построить ее...

Во многих задачах интерес представлю не только перемещения материальных точек в пространстве, но и траектории их движения.

Определение

Линию, которую описывает частица при своем движении, называется траекторией движения.

В зависимости от формы траектории механическое движение можно разделить на:

  • прямолинейное движение, траекторией движения точки в этом случае является прямая линия;
  • и криволинейное перемещение (траектория — кривая линия).

Форма траектории зависит от выбора системы отсчета. В разных системах отсчета траектории могут быть представлены разными линиями, могут быть прямыми и кривыми.

При движении точки с постоянным ускорением, которое описывает уравнение:

\[\overline{r}\left(t\right)={\overline{r}}_0+{\overline{v}}_0t+\frac{\overline{a}t2}{2}\left(1\right),\]

(где $\overline{r}\left(t\right)$ — радиус-вектор точки в момент времени $t$; ${\overline{v}}_0$ — начальная скорость движения точки; $\overline{a}$ — ускорение точки,) траектория движения представляет собой плоскую кривую, что означает все точки этой кривой находятся в одной плоскости.

Положение этой плоскости в пространстве задают векторы ускорения и начальной скорости. Ориентацию координатных осей чаще всего выбирают так, чтобы плоскость движения совпадала с одной из координатных плоскостей. В этом случае векторное уравнение (1) можно свести к двум скалярным уравнениям.

Уравнение траектории движения

Рассмотрим свободное движение тела около поверхности Земли. Начало координат разместим в точке бросания тела (рис.1). Оси координат направим так, как изображено на рис.1.

Тогда уравнение движения тела (1) в проекциях на координатные оси декартовой системы координат принимает вид системы из двух уравнений:

\[\left\{ \begin{array}{c}x=v_0t{\cos \alpha \left(2\right),\ } \\y=v_0t{\sin \alpha \ }-\frac{gt2}{2}\left(3\right). \end{array}\right.\]

Для того чтобы получить уравнение траектории движения тела ($y=y(x)$) следует исключить время движения тела из уравнений (2) и (3). Выразим из уравнения (2) $t$ и подставим его в выражение (3), получим:

\[t=\frac{x}{v_0{\cos \alpha \ }};\ y=v_0\frac{x}{v_0{cos \alpha \ }}{\sin \alpha \ }-\frac{g}{2}{\left(\frac{x}{v_0{cos \alpha \ }}\right)}2\to y=x\ tg\ \alpha -\frac{gx2}{2v2_0{cos}2\alpha }\left(4\right).\]

Выражение (4) это уравнение параболы, проходящей через начало координат. Ее верви направлены вниз, так как коэффициент при $x2$ меньше нуля.

Вершина этой параболы находится в точке с координатами:

\[\left\{ \begin{array}{c}x=\frac{v2_0{\sin \alpha {\cos \alpha \ }\ }}{g} \\y=\frac{v2_0{sin}2\alpha }{2g} \end{array}\right.\left(5\right).\]

Найти координаты вершины траектории можно при помощи известных правил исследования функций на экстремум. Так, положение максимума функции $y(x)$ определяют, приравнивая к нулю первую производную ($\frac{dy}{dx}$) от нее по $x$.

Обратимость движения

Из представления о траектории можно конкретизировать смысл обратимости механического движения.

Пусть частица движется в силовом поле таком, что ее ускорение в любой точке обладает определенной величиной, не зависящей от скорости. Как будет двигаться эта частица, если, в какой то точке ее траектории направление скорости заменить противоположным? С точки зрения математики это эквивалентно замене $t\ $ на $-t$ для всех уравнений.

Уравнение траектории время не содержит, получается, что частица будет перемещаться «вспять» по той же самой траектории. При этом отрезки времени между любыми точками траектории будут одинаковы при прямом и обратном движении. Всякой точке траектории ставится в соответствие определенное значение величины скорости независимо от направления движения по данной траектории.

Данные свойства наглядны в колебательных движениях маятника.

Все сказанное выше справедливо тогда, когда можно пренебречь любым сопротивлением движению. Обратимость движения существует, когда выполняется закон сохранения механической энергии.

Параметры траектории движения

Положение точек системы отсчета можно определять при помощи разных способов. В соответствии с этими способами описывают и движение точки или тела:

  • Координатная форма описания движения. Выбирается система координат, в ней положение точки характеризуют тремя координатами (в трехмерном пространстве). Это могут быть координаты $x_1=x,x_2=y,x_3=z$, в декартовой системе координат. $x_1=\rho ,x_2=\varphi ,x_3=\ z$ в цилиндрической системе и т.д. При перемещении точки координаты являются функциями времени. Описать движение точки — это значит указать эти функции:
  • \[x_1=x_1\left(t\right);;\ x_2=x_2\left(t\right);;\ x_3=x_3\left(t\right)\left(6\right).\]

  • При описании движения в векторной форме положение материальной точки задает радиус-вектор ($\overline{r}$) по отношению к точке, которую принимают начальной. В этом случае вводят точку (тело) отсчета. При перемещении точки вектор $\overline{r}$ постоянно изменяется. Конец этого вектора описывает траекторию. Движение задает выражение:
  • \[\overline{r}=\overline{r}\left(t\right)\left(7\right).\]

  • Третьим способом описания движения является описание с помощью параметров траектории.

Путь — это скалярная величина, равная длине траектории.

Если траектория задана, то задачу описания движения сводят к определению закона движения вдоль нее. При этом выбирается начальная точка траектории. Любая другая точка характеризуется расстоянием $s$ по траектории от начальной точки. В таком случае движение описывают выражением:

\[s=s\left(t\right)\left(8\right).\]

Пусть по окружности радиуса R равномерно перемещается точка. Закон движения точки по окружности в рассматриваемом методе запишем как:

\[s=At\left(9\right),\]

где $s$ — путь точки по траектории; $t$ — время движения; $A$ — коэффициент пропорциональности. Известными являются окружность и точка начала движения. Отсчет положительных величин $s$ совпадает с направлением перемещения точки по траектории.

Знание траектории движения тела во многих случаях существенно упрощает процесс описания движения тела.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание: Точка движется в плоскости XOY из начала координат со скоростью $\overline{v}=A\overline{i}+Bx\overline{j}\ ,\ $где $\overline{i}$, $\overline{j}$ — орты осей X и Y; $A$,B — постоянные величины. Запишите уравнение траектории движения точки ($y(x)$). Изобразите траекторию. \textit{}

Решение: Рассмотрим уравнение изменения скорости частицы:

\[\overline{v}=A\overline{i}+Bx\overline{j}\ \left(1.1\right).\]

Из этого уравнения следует, что:

\[\left\{ \begin{array}{c}v_x=A, \\v_y=Bx \end{array}\right.\left(1.2\right).\]

Из (1.2) имеем:

\[dx=v_xdt=Adt\to dt=\frac{dx}{A};;dy=v_ydt=Bxdt\to dy=Bx\frac{dx}{A}\ \left(1.3\right).\]

Для получения уравнения траектории следует решить дифференциальное уравнение (1.3):

\[y=\int\limitsx_0{\frac{B}{A}}xdx=\frac{B}{2A}x2.\]

Мы получили уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Эта парабола проходит через начало координат. Минимум этой функции находится в точке с координатами:

\[\left\{ \begin{array}{c}x=0 \\y=0. \end{array}\right.\]     Пример 2

Задание: Движение материальной точки в плоскости описывает система уравнений: $\left\{ \begin{array}{c}x=At. \\y=At(1+Bt) \end{array}\right.$, где $A$ и $B$ — положительные постоянные. Запишите уравнение траектории точки.

Решение: Рассмотрим систему уравнений, которая задана в условии задачи:

\[\left\{ \begin{array}{c}x=At. \\y=At\left(1+Bt\right) \end{array}\right.\left(2.1\right).\]

Исключим время из уравнений системы. Для этого из первого уравнения системы выразим время, получим:

\[t=\frac{x}{A}\left(2.2\right).\]

Подставим вместо $t$ правую (2.2) часть во второе уравнение системы (2.1), имеем:

\[y=At\left(1+Bt\right)=At+ABt2=A\frac{x}{A}+AB{(\frac{x}{A})}2=x+\frac{B}{A}x2.\]

Ответ: $y=x+\frac{B}{A}x2$

   

Читать дальше: ускорение тела.

Источник: https://www.webmath.ru/poleznoe/fizika/fizika_95_traektorija_dvizhenija.php

Задачи на тему Траектория и уравнения движения точки

Написать уравнение траектории и построить ее...

Нашли ошибку? Сообщите в х (внизу страницы)

Задачи из решебника Мещерского онлайн 1986 г.

Кинематика : Кинематика точки

§ 10. Траектория и уравнения движения точки

Задачи по теме 10.1 По данному уравнению движения точки на произвольно выбранной траектории построить через равные промежутки времени шесть положений точки, определить расстояние s по траектории от начала отсчета до конечного положения точки и пройденный ею путь σ за указанный промежуток времени (s и σ — в сантиметрах, t — в секундах). 1) s = 5 — 4t + t2, 0 ≤ t ≤ 5. 2) s = 1 + 2t — t2, 0 ≤ t ≤ 2,5. 3) s = 4 sin 10t, π/20 ≤ t ≤ Зπ/10.
РЕШЕНИЕ10.2 По данным уравнениям движения точки найти уравнения ее траектории в координатной форме и указать на рисунке направление движения. 1) x = 3t — 5, y = 4 — 2t. 2) x = 2t, y = 8t2. 3) x = 5 sin 10t, y = 3 cos 10t. 4) x = 2 — 3 cos 5t, y = 4 sin 5t — 1. 5) x = ch t = 1/2 (et + e-t), y = sh t = 1/2 (et — e-t).

РЕШЕНИЕ

10.3 Построить траекторию точки, радиус-вектор которой изменяется согласно уравнению (r0 и e — постоянные заданные векторы, i и j — координатные орты). 1) r = r0 + t*e. 2) r = r0 + cos t*e. 3) r = ai cos(π/(1+t2)) + bj sin (π/(1+t2)).

РЕШЕНИЕ

10.4 По заданным уравнениям движения точки найти уравнение ее траектории, а также указать закон движения точки по траектории, отсчитывая расстояние от начального положения точки. 1) x = 3t2, y = 4t2. 2) x = 3 sin t, y = 3 cos t. 3) x = a cos2 t, y = a sin2 t. 4) x = 5 cos 5t2, y = 5 sin 5t2.

РЕШЕНИЕ

10.5 Мостовой кран движется вдоль мастерской согласно уравнению x=t; по крану катится в поперечном направлении тележка согласно уравнению y=1,5t (x и y — в метрах, t — в секундах). Цепь укорачивается со скоростью v=0,5 м/с. Определить траекторию центра тяжести груза; в начальном положении центр тяжести груза находился в горизонтальной плоскости Oxy; ось Oz направлена вертикально вверх.

РЕШЕНИЕ

10.6 Движение точки, описывающей фигуру Лиссажу, задается уравнениями x=3 sin t, y=2 cos 2t (t — в секундах). Найти уравнение траектории, вычертить ее и указать направление движения точки в различные моменты времени. Указать также ближайший после начала движения момент времени t1, когда траектория пересечет ось Ox.

РЕШЕНИЕ

10.7 При соответствующем выборе осей координат уравнения движения электрона в постоянном магнитном поле определяются равенствами x=a sin kt, y=a cos kt, z=vt, где a, k и v — некоторые постоянные, зависящие от напряженности магнитного поля, массы, заряда и скорости электрона. Определить траекторию электрона и закон движения его по траектории.

РЕШЕНИЕ

10.8 Гармонические колебания точки определяются законом x=a sin(kt+ε), где a > 0 — амплитуда колебаний, k > 0 — круговая частота колебаний и ε (-π ≤ ε ≤ π) — начальная фаза. Определить центр колебаний a0, амплитуду, круговую частоту, период T, частоту колебаний f в герцах и начальную фазу по следующим уравнениям движения (x — в сантиметрах, f — в секундах): 1) x = -7 cos 12t. 2) x = 4 sin (πt/20) — 3 cos (πt/20). 3) x = 2 — 4 sin 140t. 4) x = 6 sin2 18t. 5) x = 1 — 4 cos2 (πt/60).

РЕШЕНИЕ

10.9 Груз, поднятый на упругом канате, колеблется согласно уравнению x=a sin(kt+Зπ/2), где a — в сантиметрах, k — в рад/с. Определить амплитуду и круговую частоту колебаний груза, если период колебаний равен 0,4 с и в начальный момент x0=-4 см. Построить также кривую расстояний.

РЕШЕНИЕ

10.10 Определить траекторию точки, совершающей одновременно два гармонических колебания равной частоты, но разных амплитуд и фаз, если колебания происходят по двум взаимно перпендикулярным осям: x=a sin(kt+α), y=b sin(kt+β).

РЕШЕНИЕ

10.11 Найти уравнение траектории движения точки, получающегося при сложении взаимно перпендикулярных колебаний разной частоты: 1) x = a sin 2ωt, y = a sin ωt; 2) x = a cos 2ωt, y = a cos ωt.

РЕШЕНИЕ

10.12 Кривошип OA вращается с постоянной угловой скоростью ω=10 рад/с. Длина OA=AB=80 см. Найти уравнения движения и траекторию средней точки M шатуна, а также уравнение движения ползуна B, если в начальный момент ползун находился в крайнем правом положении; оси координат указаны на рисунке.

РЕШЕНИЕ

10.13 Определить уравнения движения и траекторию точки обода колеса радиуса R=1 м автомобиля, если автомобиль движется по прямолинейному пути с постоянной скоростью 20 м/с. Принять, что колесо катится без скольжения; за начало координат взять начальное положение точки на пути, принятом за ось Ox.

РЕШЕНИЕ

10.14 Даны уравнения движения снаряда x = v0 cos α t, y = v0 sin α t — gt2/2, где v0 — начальная скорость снаряда, α — угол между v0 и горизонтальной осью x, g — ускорение силы тяжести. Определить траекторию движения снаряда, высоту H, дальность L и время T полета снаряда.

РЕШЕНИЕ

10.15 В условиях предыдущей задачи определить, при каком угле бросания α дальность полета L будет максимальной. Найти соответствующие высоту и время полета.

РЕШЕНИЕ

10.16 В условиях задачи 10.14 определить угол бросания α, при котором снаряд попадает в точку A с координатами x и y.

РЕШЕНИЕ

10.17 Определить параболу безопасности (все точки, лежащие вне этой параболы, не могут быть достигнуты снарядом при данной начальной скорости v0 и любом угле бросания α).

РЕШЕНИЕ

10.18 Точка движется по винтовой линии x = a cos kt, y = a sin kt, z = vt. Определить уравнения движения точки в цилиндрических координатах.

РЕШЕНИЕ

10.19 Даны уравнения движения точки: x = 2a cos2(kt/2), y = a sin kt, где a и k — положительные постоянные. Определить траекторию и закон движения точки по траектории, отсчитывая расстояние от начального положения точки.

РЕШЕНИЕ

10.20 В условиях предыдущей задачи определить уравнения движения точки в полярных координатах.

РЕШЕНИЕ

10.21 По заданным уравнениям движения точки в декартовых координатах x = R cos2 (kt/2), y = (R/2) sin (kt), z = R sin (kt/2) найти ее траекторию и уравнения движения в сферических координатах.

РЕШЕНИЕ

10.22 Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных затухающих колебаниях, уравнения которых имеют вид x = Ae-ht cos(kt + ε), y = Ae-ht sin(kt + ε), где A > 0, h > 0, k > 0 и ε — некоторые постоянные. Определить уравнения движения в полярных координатах и найти траекторию точки.

РЕШЕНИЕ

10.23 Плоский механизм манипулятора переносит груз из одного положения в другое по траектории, определяемой полярными координатами центра схвата rC=rC(t), φC=φC(t). Найти: 1) законы изменения углов ψ1 и ψ2, отрабатываемых соответствующими приводами, обеспечивающие выполнение заданной программы; 2) законы изменения этих углов, если груз перемещается по прямой, параллельной оси y, отстоящей от нее на расстоянии a по закону y=s(t), где s — заданная функция времени t.

РЕШЕНИЕ

Источник: https://bambookes.ru/index/traektorija_i_uravnenija_dvizhenija_tochki/0-130

точка участвует одновременно двух взаимно перпендикулярных

Написать уравнение траектории и построить ее...

точка участвует одновременно двух взаимно перпендикулярных

Задача 10072

Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых х=A1sinω1t и у=А2cosω2t, где A1=8 см, A2=4 см, ω1=ω2=2 с–1. Написать уравнение траектории и построить ее. Показать направление движения точки.

Задача 10573

Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, происходящих согласно уравнениям: x = A1cos ω1t; y = A2sin ω2t, где A1 = 3 см; ω1 = l с , A2 = 2 см; ω2 = 1 с–1. Определить траекторию точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба, указать направление движения точки.

Задача 10576

Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых: x = A1 sin ω1t и y = A2 cos ω2t, где A1 = 2 см; A2 = 1 см; ω1 = ω2 = 1 с–1. Написать уравнение траектории и построить ее на чертеже; показать направление движения точки.

Задача 40132

Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях: x = 2cos(πt/4) и y = 2sin (πt/4). Найти траекторию движения точки, построить ее с соблюдением масштаба.

Задача 40605

Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых имеют вид х = sin(t/2), y = сost. Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.

Задача 40666

Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях х = sinπt, y = 4sin(πt + π). Найти траекторию движения точки, построить ее с соблюдением масштаба.

Задача 40664

Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых x = 3cos t, y = 2sin t. Найти траекторию точки, построить ее и указать направление движения точки.

Задача 40768

Точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнение которых имеет вид x = A1cos(ω1t) и y = A2cos(ω2t), где А1 = 100 мм, А2 = 50,0 мм, ω1 = ω2 = 2,00 с–1. Написать уравнение траектории движения точки и построить ее с соблюдением масштаба. Показать направление движения точки.

Задача 11323

Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями x = A1cosωt и y = A2sinωt, где A1 = 2 см, A2 = 1 см. Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения.

Задача 12655

Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых в единицах СИ имеют вид x = 0,4 cos πt и у = 0,2 cos π(t–0,5).

Определить траекторию движения точки и начертить её с соблюдением масштаба. Рассчитать и указать на чертеже скорость и ускорение точки в начальный момент времени и указать направление её движения по кривой.

Если траектория не замкнутая, то указать пределы движения.

Задача 16449

Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях х = 2 cos t/2, у = –cos t. Определить уравнение траектории и начертить ее с соблюдением масштаба.

Задача 17805

Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых имеют вид: Х = 2 Sin ωt, см; Y = Cos 2ωt, см. Найти уравнение траектории движения точки и построить траекторию на чертеже, соблюдая масштаб. Определить начальное положение точки и указать направление движения (вектор скорости) в этот момент времени.

Задача 18113

Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями х = A1 cos(ωt), y = A2 sin(0,5ωt), где A1 = 2 см, A2 = 3 см. Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения.

Задача 18114

Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями х = A1 cos(ωt), y = A2 sin(0,5ωt), где A1 = 2 см, A2 = 4 см. Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения.

Задача 19948

Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями x = 3cosωt и y = –6cosωt. Получить уравнение траектории точки, нарисовать ее и показать направление движения точки.

Задача 20820

Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями: x = 2sinπt см и y = –cosπt см. Запишите уравнение траектории результирующего движения точки и постройте ее, указав направление движения.

Задача 20825

Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями: x = 2cosπt см и y = 4sinπt см. Запишите уравнение траектории результирующего движения точки и постройте ее, указав направление движения.

Источник: http://reshenie-zadach.com.ua/fizika/1/tochka_uchastvuet_odnovremenno_dvuh_vzaimno_perpendikulyarnyh.php

Biz-books
Добавить комментарий