Найти зависимость скорости и ускорения от времени

Основы механики для чайников. Часть 1: Кинематика

Найти зависимость скорости и ускорения от времени

В прошлой статье мы немножко разобрались с тем, что такое механика  и зачем она нужна. Мы уже знаем, что такое система отсчета,  относительность движения и материальная точка. Что ж, пора двигаться дальше!  Здесь мы рассмотрим основные понятия кинематики, соберем вместе самые полезные формулы по основам кинематики  и приведем практический пример решения задачи.

Присоединяйтесь к нам в телеграм и получайте ежедневную рассылку с полезной информацией по актуальным студенческим вопросам.

Траектория, радиус-вектор, закон движения тела

Кинематикой занимался еще Аристотель. Правда, тогда это не называлось кинематикой. Затем очень большой вклад  в развитие механики, и кинематики в частности, внес Галилео Галилей, изучавший свободное падение и инерцию тел.

Итак, кинематика решает вопрос: как тело движется. Причины, по которым оно пришло в движение, ее не интересуют. Кинематике не важно, сама поехала машина, или ее толкнул гигантский динозавр. Абсолютно все равно.

Сейчас мы будем рассматривать самую простую кинематику – кинематику точки. Представим, что тело (материальная точка) движется. Не важно, что это за тело, все равно мы рассматриваем его, как материальную точку. Может быть, это НЛО в небе, а может быть, бумажный самолетик, который мы запустили из окна.

А еще лучше, пусть это будет новая машина, на которой мы едем в путешествие. Перемещаясь из точки А в точку Б, наша точка описывает воображаемую линию, которая называется траекторией движения.

Другое определение траектории – годограф радиус вектора, то есть линия, которую описывает конец радиус-вектора материальной точки при движении.

Радиус-вектор – вектор, задающий положение точки в пространстве.

Для того, чтобы узнать положение тела в пространстве в любой момент времени, нужно знать закон движения тела – зависимость координат  (или радиус-вектора точки) от времени.

Перемещение и путь

Тело переместилось из точки А в точку Б. При этом перемещение тела – отрезок, соединяющий данные точки напрямую – векторная величина. Путь, пройденный телом – длина его траектории. Очевидно, перемещение и путь не стоит путать. Модуль вектора перемещения и длина пути совпадают лишь в случае прямолинейного движения.

 

В системе СИ перемещение и длина пути измеряются в метрах.

Перемещение равно разнице радиус-векторов в начальный и конечный моменты времени. Другими словами, это приращение радиус вектора.

Скорость и ускорение

Средняя скорость – векторная физическая величина, равная отношению вектора перемещения к промежутку времени, за которое оно произошло

А теперь представим, что промежуток времени уменьшается, уменьшается, и становится совсем коротким, стремится к нулю. В таком случае о средней скорости говорить на приходится, скорость становится мгновенной. Те, кто помнит основы математического анализа, тут же поймут, что в дальнейшем нам не обойтись без производной.

Мгновенная скорость – векторная физическая величина, равная производной  от радиус вектора по времени. Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.

В системе СИ скорость измеряется в метрах в секунду

Если тело движется не равномерно и прямолинейно, то у него есть не только скорость, но и ускорение.

Ускорение (или мгновенное ускорение) – векторная физическая величина, вторая производная от радиус-вектора по времени, и, соответственно, первая производная от мгновенной скорости

Ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела. В случае прямолинейного движения, направления векторов скорости и ускорения совпадают. В случае же криволинейного движения, вектор ускорения можно разложить на две составляющие: ускорение тангенциальное, и ускорение нормальное.

Тангенциальное ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела по модулю и направлено по касательной к траектории

Нормальное же ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Векторы нормального и тангенциального ускорения взаимно перпендикулярны, а вектор нормального ускорения направлен к центру окружности, по которой движется точка.

Здесь R – радиус окружности, по которой движется тело.

 

Закон равноускоренного движения

Рассмотрим далее закон равноускоренного движения, то есть движения с постоянным ускорением. Будем рассматривать простейший случай, когда тело движется вдоль оси x.

Здесь  — x нулевое- начальная координата. v нулевое — начальная скорость. Продифференцируем по времени, и получим скорость

Производная по скорости от времени даст значение ускорения a, которое является константой.

Пример решения задачи

Теперь, когда мы рассмотрели физические основы кинематики, пора закрепить знания на практике и решить какую-нибудь задачу. Причем, чем быстрее, тем лучше.

Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Решим такую задачу: точка движется по окружности радиусом 4 метра. Закон ее движения выражается уравнением S=A+Bt2. А=8м, В=-2м/с2. В какой момент времени нормальное ускорение точки равно 9 м/с2? Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение точки для этого момента времени.

Решение: мы знаем, что для того, чтобы найти скорость нужно взять первую производную по времени от закона движения, а нормальное ускорение равняется частному квадрата скорости и радиуса окружности, по которой точка движется. Вооружившись этими знаниями, найдем искомые величины.

Нужна помощь в решении задач? Профессиональный студенческий сервис готов оказать ее.

Источник: https://Zaochnik-com.ru/blog/osnovy-mehaniki-dlya-chajnikov-chast-1-kinematika/

Ускорение. Равноускоренное движение. Зависимость скорости от времени при равноускоренном движении. урок. Физика 10 Класс

Найти зависимость скорости и ускорения от времени

Для того чтобы ответить на вопрос, что же такое равноускоренное движение, обратимся к следующему эксперименту. Возьмем движение автомобиля по наклонной плоскости.

Автомобиль начинает движение из состояния покоя. Рассмотрим положение автомобиля через одинаковые промежутки времени  (рис. 1).

За равные промежутки времени автомобиль проезжал все большие расстояния , совершал все большие и большие перемещения.

Рис. 1. Положение автомобиля через равные промежутки времени

Повторим этот эксперимент, увеличив угол наклона плоскости к поверхности стола (рис. 2). Опять-таки, рассмотрим положение автомобиля через равные промежутки времени.

Рис. 2. Эксперимент с увеличенным углом наклона плоскости к поверхности стола

Обратите внимание, что расстояние, которое проходит автомобиль за равные промежутки времени  увеличивается быстрее, чем в предыдущий раз. Таким образом, и скорость автомобиля растет быстрее . В физике говорят, что во втором случае было большее ускорение.

Ускорение – это физическая величина, равная отношению изменения скорости тела ко времени, за которое это изменение произошло (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация определения ускорения

где  – текущая или конечная скорость;  – начальная скорость;  – промежуток времени, за который произошло изменение скорости.

Ускорение обозначается буквой , так как этот термин произошел от латинского слова acceleration – «ускоряться, увеличивать скорость». В физике очень много величин обозначаются от первой буквы их латинского наименования или английского аналога (рис. 4).

Рис. 4. Некоторые физические величины

Записав векторное определение ускорения, перейдем к его скалярному определению – проекции ускорения, ведь чаще всего в курсе 10 класса мы будем работать с прямолинейным движением, где нам достаточно одной оси, как правило, оси х.

Определение ускорения в проекции на ось х:

где  – проекция ускорения на ось х,  – проекция текущей скорости на ось х,  – проекция начальной скорости на ось х, или  – промежуток времени, за который произошло изменение проекции скорости.

Рис. 5. Иллюстрация определения проекции ускорения

Формулу ускорения можно записать в виде: – изменения скорости за промежуток времени. Мы приходим еще к одному определению ускорения. Ускорение – это скорость изменения скорости. То есть насколько быстро меняется скорость тела.

Мы ввели новую физическую величину, а значит, необходимо указать, в каких единицах она измеряется, в частности в системе СИ. Изменение скорости  измеряется в , а время  – в секундах. Тогда:

Если мы говорим, что модуль ускорения равен, например,  – это значит, что за каждую секунду скорость тела изменялась (либо увеличивалась, либо уменьшалась) на  (рис. 6).

Рис. 6. Физический смысл ускорения

Обратите внимание, что мы говорили о модуле ускорения, не сказав ни слова о его направлении.

Естественно, вектор ускорения направлен в ту же сторону, что и вектор изменения скорости . Обратите внимание, что именно вектор изменения скорости, а не просто вектор скорости, ведь она непрерывно меняется. Скорость может менять не только свою величину, но и направление, как, например, в случае криволинейного движения (рис. 7).

Рис. 7. Тело, брошенное под углом к горизонту

Ускорение направлено в сторону вектора изменения скорости: .

Разберем несколько примеров, которые помогут разобраться в том, куда и как направлено ускорение по отношению к скорости.

Задача. Пусть тело двигалось прямолинейно по следующим этапам:

    Какой из этих этапов не может следовать сразу за предыдущим?

    Решение. Разобьем прямолинейную траекторию тела на 4 этапа.

    На первом этапе проекция ускорения равна нулю, тело двигалось равномерно с одной и той же скоростью .

    На втором этапе , то есть тело начало разгоняться и к концу второго этапа увеличило свою скорость.

    На третьем этапе проекция скорости меньше нуля, это значит, что тело меняет направление своего движения. То есть, если бы третий этап начался так, как написано в условии, скорость должна была бы быть направлена влево (рис.

    8). Но мы знаем, что к концу этапа скорость тела была направлена вправо. Это значит, что переход между вторым и третьим этапом невозможен. Сначала тело должно остановиться, а только потом начать разгоняться в другую сторону.

    Рис. 8. Иллюстрация решения задачи

    Рассмотрим отдельно переход между третьим и четвертым этапами. На третьем этапе проекция скорости отрицательна, а проекция ускорения положительна. Это значит, что ускорение тела направлено вправо.

    На четвертом этапе скорость будет направлена, как и на третьем этапе, влево, а ускорение будет отсутствовать, что вполне возможно.

    На третьем этапе тело тормозило, а на четвертом оно перестанет менять свою скорость (рис. 9).

    Рис. 9. Переход между третьим и четвертым этапом

    Ответ. Ошибка допущена в переходе между вторым и третьим этапами.

    Если тело движется неравномерно, то оно обладает ускорением. Это ускорение может изменяться в очень широком диапазоне даже за небольшой промежуток времени. Самый простой вид неравномерного движения – движение с неизменным ускорением. Такое движение называется равноускоренным.

    Равноускоренным называют такое движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется на одинаковую величину (рис. 10).

    Рис. 10. Иллюстрация равноускоренного движения

    Обратите внимание на слово «любые» в определении, как и в случае равномерного движения. Таким образом, еще раз подчеркнем, что равноускоренное движение – это движение с постоянным ускорением.

    Примеры равноускоренного движения: движение автомобиля из начала урока (рис. 11), свободное падение (рис. 12) – движение тела в поле силы тяжести, скольжение на льду зимой (рис. 13) и т. д.

    Рис. 11. Пример равноускоренного движения

    Рис. 12. Пример равноускоренного движения

    Рис. 13. Пример равноускоренного движения

    На графике (рис. 14) представлены зависимости проекции ускорения от времени для трех тел. У первого тела проекция ускорения положительна и не изменяется. Можно сказать, что тело движется равноускорено и разгоняется.

    У второго тела проекция ускорения отрицательна, в этом случае тело может не только тормозить, но и разгоняться в сторону, противоположную выбранной оси. Ускорение третьего тела равно нулю. Это совершенно не значит, что тело покоится.

    Это значит, что оно движется равномерно прямолинейно.

    Рис. 14. График зависимости проекции ускорения при равноускоренном движении от времени

    Такой анализ графика позволяет привести еще одно определение для уже изученного ранее движения. Равномерное движение – это равноускоренное движение, если ускорение равно нулю.

    Для второго тела проекция ускорения меньше нуля. Мы предположили, что оно могло бы тормозить. Почему же такое движение называется равноускоренным, ведь тело замедляется? Можно услышать такой термин, как равнозамедленное движение, но в физике принято пользоваться одним термином – равноускоренное, понимая, что для второго тела проекция ускорения отрицательна.

    С решением главной задачи механики мы разберемся на следующем уроке. А оставшуюся часть этого урока мы посвятим закону нахождения зависимости скорости от времени для равноускоренного движения. Он поможет определить не только закон зависимости координаты от времени, но и анализировать и изучать равноускоренное движение.

    Для того чтобы найти закон зависимости , вспомним определение ускорения:

    где  – текущая или конечная скорость;  – начальная скорость;  – промежуток времени.

    Найдем выражение для  из приведенной выше формулы:

     – векторное представление

    В проекции на ось х, закон будет иметь следующий вид:

    Задача. Чему равен модуль ускорения автомобиля при равноускоренном торможении, если при начальной скорости  время торможения составило ?

    Дано:CИ:Решение:
    Ответ: .

    Решение. Так как в задаче речь идет о торможении автомобиля, . Первым пунктом решения является перевод  в СИ.

    Модуль ускорения может быть найден как отношение изменения скорости ко времени, за которое это изменение произошло: .

    Изменение скорости . Так как в задаче спрашивают о модуле ускорения:

    Подставив известные значения, получим:

    Ответ: . Таким образом, за каждую секунду скорость тела уменьшалась на .

    Графики зависимости проекции скорости равноускоренного движения от времени позволяют анализировать и описывать равноускоренное движение. В первую очередь вспомним формулу:

    С точки зрения математики такая зависимость называется линейной, а ее график представляет прямую.

    На рис. 15 представлены зависимости скорости от времени для трех разных тел. Первое тело начинает движение из состояния покоя (начальная скорость равна нулю). Проекция его ускорения положительна, это значит, что тело разгоняется.

    Второе тело имеет начальную скорость , проекция ускорения равна нулю. Таким образом, скорость тела не меняется, тело движется равномерно прямолинейно.

    Третье тело имеет также начальную скорость, проекция ускорения отрицательна, но это совсем не значит, что тело движется в сторону, противоположную движению первого тела.

    Это значит, что до определенного момента времени (точка на оси) тело тормозит (модуль его скорости падает). После этого момента времени модуль скорости начинает расти, а знак проекции скорости меняется. Данная точка называется точкой поворота.

    Рис. 15. Графики зависимости проекции скорости равноускоренного движения от времени

    Рассмотрим, как движется первое, второе и третье тело, на примере с машинками.

    Первое тело начало свое движение из состояния покоя и постепенно увеличивало свою скорость (автомобиль разгоняется) (рис. 16).

    Рис. 16. Моделирование движения первого тела

    Смоделировать движение второго тела абсолютно точно не получится, ведь оно двигалось равномерно с постоянной скоростью .

    Рис. 17. Моделирование движения второго тела

    Сначала модуль скорости движения третьего тела уменьшался, т. е. оно тормозило. После чего в какой-то момент времени модуль скорости начал расти, а знак проекции поменялся. Это значит, что тело начало разгоняться в противоположном направлении.

    Рис. 18. Моделирование движения третьего тела

    Движение тела, брошенного вертикально вверх, – это еще один вариант моделирования движения третьего тела. Например, подбросим ручку. По мере подъема скорость ручки будет уменьшаться, в верхней точке она будет нулевой. После ручка начнет ускоренно падать, то есть изменит свое направление и будет увеличивать скорость движения.

    Рис. 19. Моделирование движения третьего тела. Движение тела, брошенного вертикально вверх

    Задача. По представленному графику зависимости проекции скорости от времени записать уравнение данной зависимости.

    Рис. 20. Задача № 3

    Решение. Для начала вспомним формулу:

    Таким образом, нам необходимо найти значения  и .

     – проекция скорости в начальный момент времени.

    Выбираем удобный для решения промежуток времени, тогда:

    Проекция ускорения отрицательна, а значит, ускорение направлено в противоположную сторону выбранной оси.

    Искомое уравнение будет иметь вид:

    Ответ:

    На сегодняшнем уроке мы ввели понятия ускорения и равноускоренного движения. Получили закон изменения скорости от времени для такого движения; научились работать с графиками проекции скорости от времени и анализировать их. На следующих занятиях мы займемся решением главной задачи механики для равноускоренного движения.

    Список литературы

    1. Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10. – М.: Просвещение, 2008.
    2. А.П. Рымкевич. Физика. Задачник 10-11. – М.: Дрофа, 2006.
    3. О.Я. Савченко. Задачи по физике. – М.: Наука, 1988.
    4. А.В. Перышкин, В. В. Крауклис. Курс физики. Т. 1. – М.: Гос. уч.-пед. изд. мин. просвещения РСФСР, 1957.

    Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

    Физика для всех (Источник).

    Домашнее задание

    Решив задачи к данному уроку, вы сможете подготовиться к вопросам 1 ГИА и вопросам А1, А2 ЕГЭ.

    1. Задачи 48, 50, 52, 54 сб. задач А.П. Рымкевич, изд. 10.

    2. Запишите зависимости скорости от времени и нарисуйте графики зависимости скорости тела от времени для случаев, изображенных на рис. 1, случаи б) и г). Отметьте на графиках точки поворота, если такие есть.

    3. Рассмотрите следующие вопросы и ответы на них:

    Вопрос. Является ли ускорение свободного падения ускорением, согласно данному выше определению?

    Ответ. Конечно, является. Ускорение свободного падения – это ускорение тела, которое свободно падает с некоторой высоты (сопротивлением воздуха нужно пренебречь).

    Вопрос. Что произойдет, если ускорение тела будет направлено перпендикулярно скорости движения тела?

    Ответ. Тело будет двигаться равномерно по окружности.

    Вопрос. Можно ли вычислять тангенс угла наклона, воспользовавшись транспортиром и калькулятором?

    Ответ. Нет! Потому что полученное таким образом ускорение будет безразмерным, а размерность ускорения, как мы показали ранее, должно иметь размерность м/с2.

    Вопрос. Что можно сказать о движении, если график зависимости скорости от времени не является прямой?

    Ответ. Можно сказать, что ускорение этого тела меняется со временем. Такое движение не будет являться равноускоренным.

    Источник: https://interneturok.ru/lesson/physics/10-klass/mehanikakinematika/uskorenie-ravnouskorennoe-dvizhenie-zavisimost-skorosti-ot-vremeni-pri-ravnouskorennom-dvizhenii

    Решу егэ

    Найти зависимость скорости и ускорения от времени

    3.2.1. Как правильно понимать условия задачи?

    Скорость тела увеличилась в n раз:

    Скорость уменьшилась в n раз:

    Скорость увеличилась на 2 м/с:

    Во сколько раз увеличилась скорость?

    Во сколько раз уменьшилась скорость?

    Как изменилась скорость?

    На сколько увеличилась скорость?

    На сколько уменьшилась скорость?

    Тело достигло наибольшей высоты:

    Тело прошло половину расстояния:

    Тело бросают с земли: (последнее условие часто ускользает из вида — если у тела скорость равна нулю, например у ручки, лежащей на столе, оно может полететь само вверх?), начальная скорость направлена вверх.

    Тело бросают вниз: начальная скорость направлена вниз.

    Тело бросают вверх: начальная скорость направлена вверх.

    В момент падения на землю:

    Тело выпадает из аэростата (воздушного шара): начальная скорость равна скорости аэростата (воздушного шара) и направлена в ту же самую сторону.

    3.2.2. Как по графику скорости определить ускорение?

    Закон изменения скорости имеет вид:

    Графиком этого уравнения является прямая линия. Так как — коэффициент перед t, то является угловым коэффициентом прямой.

    Для графика 1:

    То, что график 1 «поднимается вверх», означает — проекция ускорения положительна, т. е. вектор направлен в положительном направлении оси Ox. Пересечение графика с осью — изменение направления движения на противоположное.

    Для графика 2:

    То, что график 2 «опускается вниз», означает — проекция ускорения отрицательна, т. е. вектор направлен в отрицательном направлении оси Ox. Пересечение графика с осью — изменение направления движения на противоположное.

    Для определения и выбираем такие точки на графике, в которых можно точно определить значения, как правило, это точки, находящиеся в вершинах клеток.

    3.2.3. Как по графику скорости определить пройденный путь и перемещение?

    Как сказано в пункте 3.1.6 путь можно как площадь под графиком зависимости скорости от ускорения. Простой случай показан в пункте 3.1.6. Рассмотрим более сложный вариант, когда график скорости пересекает ось времени.

    Напомним, что путь может только увеличиваться, поэтому путь, который проехало тело в примере на рисунке 9 равен:

    где и — площади фигур, закрашенных на рисунке.

    Для определения перемещения нужно заметить, что в точках и тело меняет направление движения. Проезжая путь тело движется в положительном направлении оси Ox, так как график лежит над осью времени.

    Проезжая путь тело движется в обратную сторону, в отрицательном направлении оси Ox так как график лежит под осью времени. Проезжая путь , тело движется в положительном направлении оси Ox, так как график лежит над осью времени.

    Таким образом, перемещение равно:

    Еще раз обратим внимание:

    1) пересечение с осью времени означает поворот в обратную сторону;

    2) площадь графика, лежащего под осью времени положительна и входит со знаком «+» в определение пройденного пути, но со знаком «−» в определении перемещения.

    3.2.4. Как из графика зависимости ускорения от времени определить зависимость скорости от времени и координаты от времени?

    Для того, чтобы определить требуемые зависимости необходимы начальные условия — значения скорости и координаты в момент времени Без начальных условий решить однозначно данную задачу невозможно, поэтому, как правило, в условии задачи они даны.

    В данном примере постараемся привести все рассуждения в буквах, для того, чтобы частном примере (при подстановке цифр) не потерять суть действий.

    Пусть в момент времени скорость тела равна нулю и начальная координата

    1) От 0 до

    Начальные значения скорости и координаты определяем из начальных условий, а ускорение из графика:

    следовательно, движение равноускоренное и закон изменения скорости имеет вид:

    К концу данного промежутка времени () скорость () и координата () будут равны (вместо времени в формулы и нужно подставить ):

    2) От до

    Начальное значение скорости на этом промежутке должно быть равно конечному значению на предыдущем промежутке, начальное значение координаты равно конечному значению координаты на предыдущем промежутке, а ускорение определяем из графика:

    следовательно, движение равноускоренное и закон изменения скорости имеет вид:

    К концу данного промежутка времени () скорость () и координата () будут равны (вместо времени в формулы и нужно подставить ):

    3) От до

    Начальное значение скорости на этом промежутке должно быть равно конечному значению на предыдущем промежутке, начальное значение координаты равно конечному значению координаты на предыдущем промежутке, а ускорение определяем из графика:

    следовательно, движение равноускоренное и закон изменения скорости имеет вид:

    К концу данного промежутка времени () скорость () и координата () будут равны (вместо времени в формулы и нужно подставить ):

    Для лучшего понимания построим полученные результаты на графике (см. рис.)

    На графике скорости:

    1) От 0 до прямая линия, «поднимающаяся вверх» (т. к. );

    2) От до горизонтальная прямая линия (т. к. );

    3) От до : прямая линия, «опускающаяся вниз» (т. к. ).

    На графике координаты:

    1) От 0 до : парабола, ветви которой направлены вверх (т. к. );

    2) От до : прямая линия, поднимающаяся вверх (т. к. );

    3) От до : парабола, ветви которой направлены вниз (т. к. ).

    3.2.5. Как из графика закона движения записать аналитическую формулу закона движения?

    Пусть дан график равнопеременного движения.

    Закон равнопеременного движения имеет вид:

    В этой формуле три неизвестные величины: и

    Для определения достаточно посмотреть на значение функции при Для определения двух других неизвестных выбираем две точки на графике, значения которых мы можем точно определить — вершины клеток. Получим систему:

    При этом считаем, что нам уже известно. Умножим 1-ое уравнение системы на а 2-ое уравнение на :

    Вычтем из 1-го уравнения 2-ое, после чего получаем:

    Полученное из данного выражения значение подставим в любое из уравнений системы (3.67) и решим полученное уравнение относительно :

    3.2.6. Как по известному закону движения определить закон изменения скорости?

    Закон равнопеременного движения имеет вид:

    Это его стандартный вид для данного типа движения и никак иначе он выглядеть не может, поэтому его стоит запомнить.

    В данном законе коэффициент перед t — это значение начальной скорости, коэффициент пред — это ускорение, деленное пополам.

    Например, пусть дан закон:

    Тогда

    И уравнение скорости имеет вид:

    Таким образом, для решения подобных задач, необходимо точно помнить вид закона равнопеременного движения и смысл коэффициентов, входящих в это уравнение.

    Однако можно пойти и иным путем. Вспомним формулу:

    В нашем примере:

    3.2.7. Как определить место и время встречи?

    Пусть даны законы движения двух тел:

    В момент встречи тела оказываются в одной координате, то есть и необходимо решить уравнение:

    Перепишем его в виде:

    Это квадратное уравнение, общее решение которого приводить не будем, в силу его громоздкости. Квадратное уравнение либо не имеет решений, что означает — тела не встретились; либо имеет одно решение — одна единственная встреча; либо имеет два решения — две встречи тел.

    Полученные решения необходимо проверять на физическую реализуемость. Самое главное условие: и то есть время встречи должно быть положительным.

    3.2.8. Как определить путь за -ую секунду?

    Пусть тело начинает движение из состояния покоя и за -ую секунду проходит путь Требуется найти, какой путь проходит тело за n-ую секунду.

    Для решения этой задачи необходимо воспользоваться формулой (3.25):

    Обозначим Тогда

    Поделим уравнение на и получим:

    3.2.9. Как движется тело, брошенное вверх с высоты h?

    Тело, брошено вверх с высоты h со скоростью

    Уравнение координаты y в произвольный момент времени:

    Уравнение проекции скорости в произвольный момент времени:

    Время подъема до наивысшей точки полета определяется из условия :

    Для нахождения максимальной высоты H необходимо в необходимо подставить :

    Время всего полета определяется из условия Получаем уравнение:

    Это квадратное уравнение, которое имеет два решения, но в данной задаче тело может оказаться в координате только один раз. Поэтому среди полученных решений нужно одно «убрать». Главный критерий отсева — время полета не может быть отрицательным:

    Скорость в момент падения:

    3.2.10. Как движется тело, брошенное вниз с высоты h?

    Тело, брошено вверх с высоты h со скоростью

    Уравнение координаты y в произвольный момент времени:

    Уравнение проекции скорости в произвольный момент времени:

    Время всего полета определяется из уравнения:

    Это квадратное уравнение, которое имеет два решения, но в данной задаче тело может оказаться в координате только один раз. Поэтому среди полученных решений нужно одно «убрать». Главный критерий отсева — время полета не может быть отрицательным:

    Скорость в момент падения:

    3.2.11. Как движется тело брошенное вверх с поверхности земли?

    Тело брошено вверх с поверхности земли со скоростью

    Уравнение координаты y в произвольный момент времени:

    Уравнение проекции скорости в произвольный момент времени:

    Время подъема до наивысшей точки полета определяется из условия

    Для нахождения максимальной высоты H необходимо в (3.89) необходимо подставить

    Время всего полета определяется из условия Получаем уравнение:

    Скорость в момент падения:

    Заметьте, что что означает — время подъема равно времени падения на ту же высоту.

    Также получили: то есть — с какой скоростью бросили, с такой же скоростью тело упало. Знак «−» в формуле указывает, что скорость в момент падения направлена вниз, то есть против оси Oy.

    3.2.12. Тело побывало на одной высоте дважды…

    При бросании тела оно может дважды оказаться на одной высоте — первый раз при движении вверх, второй — при падении вниз.

    1) Когда тело оказывается на высоте h?

    Для тела, брошенного вверх с поверхности земли справедлив закон движения:

    Когда тело окажется на высоте h его координата будет равна Получаем уравнение:

    решение которого имеет вид:

    2) Известны времена и когда тело оказалось на высоте h. Когда тело окажется на максимальной высоте?

    Время полета с высоты h назад до высоты h равно Как уже было показано, время подъема равно времени падения до той же высоты, поэтому время полета от высоты h до максимальной высоты равно:

    Тогда время полета от начала движения до максимальной высоты:

    3) Известны времена и когда тело оказалось на высоте h. Чему равно время полета тела?

    Все время полета равно:

    4) Известны времена и когда тело оказалось на высоте h. Чему равна максимальная высота подъема?

    3.2.13. Как движется тело, брошенное горизонтально с высоты h?

    Тело, брошено горизонтально с высоты h со скоростью

    Проекции начальной скорости на оси:

    Проекции ускорения:

    Проекции скорости в произвольный момент времени t:

    Модуль скорости в произвольный момент времени t:

    Координаты тела в произвольный момент времени t:

    Время полета определяется из условия

    Для определения дальности полета необходимо в уравнение для координаты x вместо t подставить

    Для определения скорости тела в момент падения необходимо в уравнение вместо t подставить

    Угол, под которым падает тело на землю:

    3.2.14. Как движется тело, брошенное под углом α к горизонту с высоты h?

    Тело, брошено под углом α к горизонту с высоты h со скоростью

    Проекции начальной скорости на оси:

    Проекции ускорения:

    Проекции скорости в произвольный момент времени t:

    Модуль скорости в произвольный момент времени t:

    Координаты тела в произвольный момент времени t:

    Время полета до наивысшей точки определяется из условия

    Скорость в наивысшей точке полета

    Максимальная высота H определяется при подстановке в закон изменения координаты y времени

    Все время полета находится из условия получаем уравнение:

    Это квадратное уравнение, которое имеет два решения, но в данной задаче тело может оказаться в координате только один раз. Поэтому среди полученных решений нужно одно «убрать». Главный критерий отсева — время полета не может быть отрицательным:

    Если подставим в закон изменения координаты x время то получим дальность полета L:

    Скорость в момент падения

    Угол, который образует вектор скорости с горизонталью в произвольный момент времени:

    Угол падения:

    3.2.15. Как движется тело, брошенное под углом α к горизонту земли?

    Тело, брошено под углом α к горизонту с поверхности земли со скоростью

    Проекции начальной скорости на оси:

    Проекции ускорения:

    Проекции скорости в произвольный момент времени t:

    Модуль скорости в произвольный момент времени t:

    Координаты тела в произвольный момент времени t:

    Время полета до наивысшей точки определяется из условия

    Скорость в наивысшей точке полета

    Максимальная высота H определяется при подстановке в закон изменения координаты y времени

    Все время полета находится из условия получаем уравнение:

    Получаем

    Снова получили, что то есть еще раз показали, что время подъема равно времени падения.

    Если подставим в закон изменения координаты x время то получим дальность полета L:

    Скорость в момент падения

    Угол, который образует вектор скорости с горизонталью в произвольный момент времени:

    Угол падения:

    то есть

    3.2.16. Что такое настильная и навесная траектории?

    Решим следующую задачу: под каким углом нужно бросить тело с поверхности земли, чтобы тело упало на расстоянии L от точки броска?

    Дальность полета определяется формулой:

    Отсюда

    Из физических соображений ясно, что угол α не может быть больше 90°, поэтому, из серии решений уравнения подходят два корня:

    Траектория движения, для которой называется настильной траекторией. Траектория движения, для которой называется навесной траекторией.

    3.2.17. Как пользоваться треугольником скоростей?

    Как было сказано в 3.6.1 треугольник скоростей в каждой задаче будет иметь свой вид. Рассмотрим на конкретном примере.

    Тело бросили с вершины башни со скорость так, что дальность полета максимальна. К моменту падения на землю скорость тела равна Сколько длился полет?

    Построим треугольник скоростей (см. рис.). Проведем в ней высоту, которая, очевидно, равна Тогда площадь треугольника скоростей равна:

    Здесь мы воспользовались формулой (3.121).

    Найдем площадь этого же треугольника по другой формуле:

    Так как это площади одного и того же треугольника, то приравняем формулы и :

    Откуда получаем

    Как видно из формул для конечной скорости, полученных в предыдущих пунктах, конечная скорость не зависит от угла, под которым бросили тело, а зависит только значения начальной скорости и начальной высоты.

    Поэтому дальность полета по формуле зависит только от угла между начальной и конечной скоростью β.

    Тогда дальность полета L будет максимальной, если примет максимально возможное значение, то есть

    Таким образом, если дальность полета максимальна, то треугольник скоростей будет прямоугольным, следовательно, выполняется теорема Пифагора:

    Откуда получаем

    Свойством треугольника скоростей, который только что был доказан, можно пользоваться при решении других задач: треугольник скоростей является прямоугольным в задаче на максимальную дальность полета.

    3.2.18. Как пользоваться треугольником перемещений?

    Как было сказано в 3.6.2, треугольник перемещений в каждой задаче будет иметь свой вид. Рассмотрим на конкретном примере.

    Тело бросают под углом β к поверхности горы, имеющей угол наклона α. С какой скоростью нужно бросить тело, чтобы оно упало ровно на расстоянии L от точки бросания?

    Построим треугольник перемещений — это треугольник ABC (см. рис. 19). Проведем в нем высоту BD. Очевидно, что угол DBC равен α.

    Выразим сторону BD из треугольника BCD:

    Выразим сторону BD из треугольника ABD:

    Приравняем и :

    Откуда находим время полета:

    Выразим AD из треугольника ABD:

    Выразим сторону DC из треугольника BCD:

    Но Получаем

    Подставим в это уравнение, полученное выражение для времени полета :

    Окончательно получаем

    3.2.19. Как решать задачи с помощью закона движения? (по горизонтали)

    Как правило, в школе при решении задач на равнопеременное движение применяются формулы

    Однако такой подход к решению трудно применить к решению многих задач. Рассмотрим конкретный пример.

    Опоздавший пассажир подошёл к последнему вагону поезда в тот момент, когда поезд тронулся, начав движение с постоянным ускорением Единственная открытая дверь в одном из вагонов оказалась от пассажира на расстоянии Какую наименьшую постоянную скорость он должен развить, чтобы успеть сесть в поезд?

    Введем ось Ox, направленную вдоль движения человека и поезда. За нулевое положение примем начальное положение человека («2»). Тогда начальная координата открытой двери («1») L:

    Дверь («1»), как и весь поезд, имеют начальную скорость равную нулю. Человек («2») начинает движение со скоростью

    Дверь («1»), как и весь поезд, движется с ускорением a. Человек («2») движется с постоянной скоростью:

    Закон движения и двери и человека имеет вид:

    Подставим условия и в уравнение для каждого из движущихся тел:

    Мы составили уравнение движения для каждого из тел. Теперь воспользуемся уже известным алгоритмом для нахождения места и времени встречи двух тел — нам нужно приравнять и :

    Откуда получаем квадратное уравнение для определения времени встречи:

    Это квадратное уравнение.

    Оба его решения имеют физический смысл — наименьший корень, это первая встреча человека и двери (человек с места может побежать быстро, а поезд не сразу наберет большую скорость, так что человек может обогнать дверь), второй корень — вторая встреча (когда уже поезд разогнался и догнал человека). Но наличие обоих корней означает — человек может бежать и медленнее. Скорость будет минимальна, когда уравнение будет иметь один единственный корень, то есть

    Откуда находим минимальную скорость:

    В таких задачах важно разобрать в условиях задачи: чему равны начальная координата, начальная скорость и ускорение. После этого составляем уравнение движения и думаем как дальше решать задачу. 

    3.2.20. Как решать задачи с помощью закона движения? (по вертикали)

    Рассмотрим пример.

    Свободно падающее тело прошло последние 10 м за 0,5 с. Найти время падения и высоту, с которой упало тело. Сопротивлением воздуха пренебречь.

    Для свободного падения тела справедлив закон движения:

    В нашем случае:

    начальная координата:

    начальная скорость:

    Подставим условия в закон движения:

    Подставляя в уравнение движения нужные значения времени, будем получать координаты тела в эти моменты.

    В момент падения координата тела

    За с до момента падения, то есть при координата тела

    Уравнения и составляют систему уравнений, в которой неизвестны H и Решая эту систему, получим:

    Итак, зная вид закона движения (3.30), и используя условия задачи для нахождения и получаем закон движения для данной конкретной задачи. После чего, подставляя нужные значения времени, получаем соответствующие значения координаты. И решаем задачу!

    Источник: https://phys-ege.sdamgia.ru/handbook?id=161

    Физика 9: задачи на прямолинейное равноускоренное движение. решения

    Найти зависимость скорости и ускорения от времени

    Формулы, используемые в 9 классе на уроках
    «ЗАДАЧИ на Прямолинейное равноускоренное движение».

    Времяс
    Проекция начальной скоростим/с
    Проекция мгновенной скоростим/с
    Проекция ускорениям/с2
    Проекция перемещениям
    Координатам

    1 мин = 60 с;   1 ч = 3600 с;   1 км = 1000 м;   1 м/с = 3,6 км/ч.

    В 7 классе используйте другой конспект — «Задачи на движение с решениями»

    Для подготовки к ЕГЭ пользуйтесь «ТЕМАТИЧЕСКИМ ТРЕНИНГОМ»

    ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

    Задача № 1.  Автомобиль, двигаясь с ускорением -0,5 м/с2, уменьшил свою скорость от 54 до 18 км/ч. Сколько времени ему для этого понадобилось?

    Задача № 2.  При подходе к станции поезд начал торможение, имея начальную скорость 90 км/ч и ускорение 0,1 м/с2. Определите тормозной путь поезда, если торможение длилось 1 мин.

    Задача № 3.  По графику проекции скорости определите: 1) начальную скорость тела; 2) время движения тела до остановки; 3) ускорение тела; 4) вид движения (разгоняется тело или тормозит);  5) запишите уравнение проекции скорости; 6) запишите уравнение координаты (начальную координату считайте равной нулю).

    Решение:

    Задача № 4.  Движение двух тел задано уравнениями проекции скорости:
    v1x(t) = 2 + 2t
    v2x(t) = 6 – 2t
    В одной координатной плоскости постройте график проекции скорости каждого тела. Что означает точка пересечения графиков?

    Задача № 5.  Движение тела задано уравнением x(t) = 5 + 10t — 0,5t2.

      Определите:  1) начальную координату тела;  2) проекцию скорости тела;  3) проекцию ускорения;  4) вид движения (разгоняется тело или тормозит);  5) запишите уравнение проекции скорости;  6) определите значение координаты и скорости в момент времени t = 4 с.  Сравним уравнение координаты в общем виде с данным уравнением и найдем искомые величины.

    Решение:

    Задача № 6.  Вагон движется равноускоренно с ускорением -0,5 м/с2. Начальная скорость вагона равна 54 км/ч. Через сколько времени вагон остановится? Постройте график зависимости скорости от времени.

    Задача № 7.  Самолет, летевший прямолинейно с постоянной скоростью 360 км/ч, стал двигаться с постоянным ускорением 9 м/с2 в течение 10 с в том же направлении. Какой скорости достиг самолет и какое расстояние он пролетел за это время? Чему равна средняя скорость за время 10 с при ускоренном движении?

    Задача № 8.  Трамвай двигался равномерно прямолинейно со скоростью 6 м/с, а в процессе торможения — равноускоренно с ускорением 0,6 м/с2. Определите время торможения и тормозной путь трамвая. Постройте графики скорости v(t) и ускорения a(t).

    Задача № 9.  Тело, имея некоторую начальную скорость, движется равноускоренно. За время t = 2 с тело прошло путь S = 18 м, причём его скорость увеличилась в 5 раз. Найти ускорение и начальную скорость тела.

    Задача № 10. (повышенной сложности)  Прямолинейное движение описывается формулой х = –4 + 2t – t2. Опишите движение, постройте для него графики vx(t), sx(t), l(t).

    Задача № 11.   ОГЭ  Поезд, идущий со скоростью v0 = 36 км/ч, начинает двигаться равноускоренно и проходит путь S = 600 м, имея в конце этого участка скорость v = 45 км/ч. Определить ускорение поезда а и время t его ускоренного движения.

    Краткое пояснение для решения
    ЗАДАЧИ на Прямолинейное равноускоренное движение.

    Равноускоренным движением называется такое движение, при котором тело за равные промежутки времени изменяет свою скорость на одну и ту же величину. Движение, при котором скорость равномерно уменьшается, тоже считают равноускоренным (иногда его называют равнозамедленным).

    Величины, участвующие в описании равноускоренного движения, почти все векторные. При решении задач формулы записывают обычно через проекции векторов на координатные оси. Если тело движется по горизонтали, ось обозначают буквой х, если по вертикали — буквой у.

    Если векторы скорости и ускорения сонаправлены (их проекции имеют одинаковые знаки), тело разгоняется, т. е. его скорость увеличивается. Если же векторы скорости и ускорения противоположно направлены, тело тормозит.

    Это конспект по теме «ЗАДАЧИ на Прямолинейное равноускоренное движение с решениями». Выберите дальнейшие действия:

    Источник: https://uchitel.pro/%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8-%D0%BD%D0%B0-%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B5-%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%83%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B5/

    Biz-books
    Добавить комментарий