Найти угловое ускорение колеса и число оборотов N

§ 1.28. Угловая скорость и угловое ускорение

Найти угловое ускорение колеса и число оборотов N

  • При движении точки по окружности радиус R, очевидно, — постоянная величина. Это позволяет ввести новые величины, наилучшим образом описывающие данное движение: положение характеризовать углом, а вместо обычных скоростей и ускорений ввести угловую скорость и угловое ускорение.

Угловая скорость

Проведем координатную ось X через центр окружности (начало координат), вдоль которой движется точка (рис. 1.86). Тогда положение точки А на окружности в любой момент времени однозначно определяется углом φ между осью X и радиусом-вектором , проведенным из центра окружности к движущейся точке. Углы будем выражать в радианах(1).

Рис. 1.86

При движении точки угол φ изменяется. Обозначим изменение угла за время Δt через Δφ. Для нахождения положения точки в любой момент времени надо знать угол φ0 в начальный момент времени t0 и определить, на сколько изменился угол за время движения (рис. 1.87):

φ = φ0 + Δφ.       (1.28.1)

Рис. 1.87

Пусть точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Тогда за любые равные промежутки времени радиус-вектор поворачивается на одинаковые углы.

Быстрота обращения точки определяется углом поворота радиуса-вектора за данный интервал времени.

Например, если радиус-вектор точки за каждую секунду поворачивается на угол 90° = , а другой точки — на угол 45 = , то мы говорим, что первая точка обращается быстрее второй в два раза.

Если при равномерном обращении за время Δt радиус-вектор повернулся на угол Δφ, то быстрота обращения определится углом поворота в единицу времени. Быстроту обращения характеризуют угловой скоростью.

Угловой скоростью при равномерном движении точки по окружности называется отношение угла Δφ поворота радиуса-вектора к промежутку времени Δt, за который этот поворот произошел.

Обозначим угловую скорость греческой буквой ω (омега). Тогда по определению(2)

В СИ(3) угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с).

Радиан в секунду равен угловой скорости равномерно обращающейся точки, при которой за время 1 с радиус-вектор этой точки поворачивается на угол 1 рад.

Например, угловая скорость точки земной поверхности равна 0,0000727 рад/с, а точильного диска более 100 рад/с.

Угловую скорость можно выразить через частоту обращения, т. е. число оборотов за 1с. Если точка делает п оборотов в секунду, то время одного оборота равно .

Это время называют периодом обращенияи обозначают буквой Т. Таким образом, частота и период обращения связаны следующим соотношением:

T = .       (1.28.3)

Полному обороту точки на окружности соответствует угол Δφ = 2π. Поэтому, согласно формуле (1.28.2),

Частота обращения точек рабочих колес мощных гидротурбин составляет 1—10 с-1, винта вертолета — 4—6 с-1, ротора газовой турбины — 200—300 с-1.

Если при равномерном обращении точки угловая скорость известна, то можно найти изменение угла поворота Δφ за время Δt. Оно равно Δφ = ωΔt. С учетом этого формула (1.28.1) примет вид: φ = φ0 + ωΔt. Приняв начальный момент времени t0 равным нулю, получим, что Δt = t — t0 = t. Тогда угол поворота равен

По этой формуле можно найти положение точки на окружности в любой момент времени.

Угловое ускорение

В случае переменной угловой скорости вводится новая физическая величина, характеризующая быстроту ее изменения, — угловое ускорение:

Угловое ускорение равно производной угловой скорости по времени. Если β = const, то ω(t) = ω0 + β(t — t0), где ω0 — угловая скорость в начальный момент времени t0. При t0 = 0

Эта формула подобна формуле проекции скорости vx = v0x + axt при прямолинейном движении точки. Соответственно угол поворота

Эту формулу можно получить точно таким же способом, как и уравнение координаты при прямолинейном движении х =

Связь между линейной и угловой скоростями

Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью, чтобы подчеркнуть ее отличие от угловой скорости. Между линейной скоростью точки, обращающейся по окружности, и ее угловой скоростью существует связь.

При равномерном движении точки по любой траектории модуль скорости равен отношению пути s ко времени Δt, за которое этот путь пройден. Точка А, движущаяся по окружноcти радиусом R, за время Δt проходит путь, равный длине дуги (рис. 1.88): s = = ΔφR.

Модуль линейной скорости движения

Рис. 1.88

Итак, модуль линейной скорости точки, движущейся по окружности, равен произведению угловой скорости на радиус окружности:

Эта формула справедлива как для равномерного, так и для неравномерного движения точки по окружности.

Из выражения (1.28.9) видно, что чем больше радиус окружности, тем больше линейная скорость точки. Для точек земного экватора v = 463 м/с, а на широте Санкт-Петербурга — 233 м/с. На полюсах Земли v = 0.

Модуль ускорения точки, движущейся равномерно по окружности (центростремительное, или нормальное, ускорение) можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности. Так как а = = и v = ωR, то

Чем больше радиус окружности, тем большее по модулю ускорение имеет точка при заданной угловой скорости. Ускорение любой точки поверхности Земли на экваторе составляет 3,4 см/с2.

Связь линейного ускорения с угловым

С изменением угловой скорости точки меняется и ее линейная скорость. Нормальное ускорение связано согласно формуле (1.28.10) с угловой скоростью и не зависит, следовательно, от углового ускорения. Но тангенциальное ускорение, определяемое формулой (1.27.4), выражается через угловое ускорение:

Мы научились полностью описывать движение точки по окружности. При фиксированном радиусе окружности модуль скорости (линейная скорость) пропорционален угловой скорости, а нормальное ускорение пропорционально ее квадрату. Тангенциальное ускорение пропорционально угловому ускорению.

Упражнение 5

  1. Поезд движется по закруглению радиусом 200 м со скоростью 36 км/ч. Найдите модуль нормального ускорения.
  2. Тело брошено с поверхности Земли под углом 60° к горизонту. Модуль начальной скорости равен 20 м/с.

    Чему равен радиус кривизны траектории в точке максимального подъема?

  3. Определите радиус кривизны траектории снаряда в момент вылета из орудия, если модуль скорости снаряда равен 1 км/с, а скорость составляет угол 60° с горизонтом.
  4. Снаряд вылетает из орудия под углом 45° к горизонту.

    Чему равна дальность полета снаряда, если радиус кривизны траектории в точке максимального подъема равен 15 км?

  5. Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет радиус R.

    При какой наименьшей скорости камень, брошенный с поверхности Земли, может перелететь через резервуар, коснувшись его вершины? Под каким углом к горизонту должен быть при этом брошен камень?

  6. Въезд на один из самых высоких в Японии мостов имеет форму винтовой линии, обвивающей цилиндр радиусом r. Полотно дороги составляет угол α с горизонтальной плоскостью.

    Найдите модуль ускорения автомобиля, движущегося по въезду с постоянной по модулю скоростью v.

  7. Точка начинает двигаться равноускоренно по окружности радиусом 1 м и за 10 с проходит путь 50 м.

    Чему равно нормальное ускорение точки через 5 с после начала движения?

  1. Поезд въезжает на закругленный участок пути с начальной скоростью 54 км/ч и проходит путь 600 м за 30 с. Радиус закругления равен 1 км. Определите модуль скорости и полное ускорение поезда в конце этого пути, считая тангенциальное ускорение постоянным по модулю.

  2. Груз Р начинает опускаться с постоянным ускорением а = 2 м/с2 и приводит в движение ступенчатый шкив радиусами г = 0,25 м и R = 0,50 м (рис. 1.89). Какое ускорение а1, будет иметь точка М через t = 0,50 с после начала движения?

    Рис. 1.89

  3. Маховик приобрел начальную угловую скорость ω = 2π рад/с. Сделав 10 оборотов, он вследствие трения в подшипниках остановился.

    Найдите угловое ускорение маховика, считая его постоянным.

  4. Маховое колесо радиусом R = 1 м начинает движение из состояния покоя равноускоренно. Через t1 = 10 с точка, лежащая на его ободе, приобретает скорость v1 = 100 м/с. Найдите скорость, а также нормальное, касательное и полное ускорения этой точки в момент времени t2 = 15 с.
  5. Шкив радиусом R = 20 см начинает вращаться с угловым ускорением β = 3 рад/с2. Через какое время точка, лежащая на его ободе, будет иметь ускорение а = 75 см/с2?
  6. Точка начинает обращаться по окружности с постоянным ускорением β = 0,04 рад/с2. Через какое время вектор ее ускорения будет составлять с вектором скорости угол а = 45°?

(1) Напомним, что радиан равен центральному углу, опирающемуся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. 1 рад приблизительно равен 57°17'48″. В радианной мере угол равен отношению длины дуги окружности к ее радиусу: .

(2) Когда точка движется неравномерно, то мгновенная угловая скорость определяется как предел отношения Δφ к Δt при условии, что Δt —> 0:

(3) СИ — Международная система единиц. В этой системе за единицу длины принят 1 м, за единицу времени — 1с. Подробнее о СИ будет рассказано в дальнейшем.

Источник: http://tepka.ru/fizika_10/37.html

Задачи для самостоятельного решения

Найти угловое ускорение колеса и число оборотов N

2.1. Точка движется по окружности радиусом R = 30 см равнозамедленно с постоянным угловым ускорением . Определить тангенциальное ускорение точки, если известно, что за время t = 4 с она совершила три оборота, и в конце третьего оборота её нормальное ускорение равно 2,7 м/с2. Ответ: аt = 0,25 м/с2.

2.2. Точка движется по окружности радиусом R = 10 см с постоянным тангенциальным ускорением. Определить тангенциальное ускорение точки, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки V = 79,2 см/с. Ответ: аt = 0,1 м/с2.

2.3. Диск вращается с частотой n = 600 об/мин. С некоторого момента времени его движение становится равнозамедленным. До полной остановки диск делает N = 50 оборотов. Определить время торможения и тангенциальное ускорение точек на его поверхности. Радиус диска 0,2 м.
Ответ: аt = 1,24 м/с2; t = 10 c.

2.4. Вал вращается с частотой n = 180 об/мин. С некоторого момента вал начал вращаться равнозамедленно с угловым ускорением = 3 рад/с2. Через какое время t вал остановится? Найти число оборотов вала до остановки. Ответ: N = 9,4; t = 6,28 c.

2.5. Колесо, вращаясь равнозамедленно, за время t = 1 мин уменьшило свою частоту от 300 об/мин до 180 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов колеса за это время. Ответ: N = 239;
e = 0,21 рад/c2.

2.6. Точка движется по окружности радиусом R = 20 см с постоянным тангенциальным ускорением = 5,0 м/с2. Через сколько времени после начала движения нормальное ускорение будет равно тангенциальному. Ответ: t = 0,2 с.

2.7. Вентилятор вращается с частотой n = 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N = 75 оборотов. Какое время t прошло с момента выключения вентилятора до его полной остановки? Ответ: t = 10 с.

2.8. Вал начинает вращение из состояния покоя и за первые t = 10 с совершает N = 50 оборотов. Считая вращение вала равноускоренным, определить угловое ускорение. Ответ: e = 6,28 рад/c2.

2.9. Точка движется по окружности радиусом R = 10 см с постоянным тангенциальным ускорением. Определить нормальное ускорение точки через время t = 20 с после начала движения, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки u = 10 см/с. Ответ: аn = 10-2 м/с2.

2.10. Некоторое тело начинает вращаться с постоянным угловым ускорением 0,04 рад/с2 . Через сколько времени после начала вращения полное ускорение какой-либо точки тела будет направлено под углом =76° к направлению скорости этой точки. Ответ: t = 10 с.

2.11. Колесо радиусом R = 10 см вращается с угловым ускорением 3,14 рад/с2 . Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения: нормальное ускорение, тангенциальное ускорение. Ответ: аn = 0,99 м/с2; аt = 0,31 м/с2.

2.12. Диск начинает движение из состояния покоя и вращается равноускоренно. Каким будет угол между вектором скорости и вектором ускорения произвольной точки диска, когда он сделает один оборот. Ответ: j = 85° 30¢.

2.13. Колесо, вращаясь равноускоренно, через время t = 1 мин после начала своего вращения приобретает частоту n = 300 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов колеса за это время. Ответ: N = 149, e = 0,52 рад/c2.

2.14. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости =20 рад/с через N = 20 оборотов после начала своего вращения. Найти угловое ускорение колеса и время вращения колеса. Ответ: t =12,6 с; e = 1,59 рад/c2.

2.15. Колесо вращается с угловым ускорением 2 рад/с2. Через время t = 0,5 с после начала движения полное ускорение колеса а = 13,6 см/c2. Найти радиус колеса. Ответ: R = 6 м.

2.16. Найти угловое ускорение колеса, если известно, что через время t = 2 с после начала движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол 30° с вектором её линейной скорости.
Ответ: e = 0,14 рад/c2.

2.17. Колесо, радиусом R = 0,1 м, вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением j = A+Bt+Ct3, где B = 2 рад/с и C = 1 рад/с3.

Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через время t = 2 с после начала движения: а) угловую скорость; б) линейную скорость; в) угловое ускорение; г) нормальное ускорение, тангенциальное ускорение.

Ответ: w = 14 рад/с; e = 12 рад/c2; u=1,4 м/с; а n = 19,6 м/с2; аt = 1,2м/с2.

2.18. Колесо, радиусом R = 5см, вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением j = A+Bt+Ct2+Дt3, где Д = 1 рад/с3. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти изменение тангенциального ускорения за единицу времени. Ответ:D а t = 0,3 м/с2.

2.19. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением j = A+Bt+Ct2+Дt3, где В = 2 рад/с, С = 1 рад/с2, Д = 1 рад/с3. Найти радиус колеса, если известно, что к концу второй секунды движения для точек, лежащих на ободе колеса, нормальное ускорение м/с2. Ответ: R = 0,1 м.

2.20. Колесо, радиусом R = 10 см, вращается так, что зависимость линейных скоростей точек, лежащих на ободе колеса, дается уравнением u = Аt+Вt2, где А = 0,5 см/с2 и В = 1 см/с3. Найти угол , составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса в момент времени t = 2,4 с после начала движения. Ответ: = 48°.

2.21. Точка движется по окружности радиусом R = 1,2 м. Уравнение движения точки j = Аt+Вt3, где А = 0,5 рад/с и В = 0,2 рад/с3. Определить тангенциальное, нормальное и полное ускорения точки в момент времени t = 4 с. Ответ: а n = 85,0 м/с2; а t = 5,76 м/с2; а = 85,2 м/с2.

2.22. Определить полное ускорение в момент времени t = 3 с точки, находящейся на ободе колеса радиусом 0,5 м , вращающегося согласно уравнению j = Аt+Вt3, где А = 2 рад/с и В = 0,2 рад/с3. Ответ: а = 27,4 м/с2.

2.23. Точка движется по окружности радиусом R = 8 м. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки 4 м/с2, вектор полного ускорения образует в этот момент с вектором нормального уско­рения угол 60°. Найти угловое ускорение и время. Ответ: t = 0,81 с, e = 0,87 рад/c2.

2.24. Диск, радиусом R = 0,2 м, вращается согласно уравнению j = A+Bt+Ct3, где B = -1 рад/с и C = 0,1 рад/с3, А = 3 рад. Определить тангенциальное и полное ускорения точек на окружности диска для момента времени t = 10 с. Ответ: а t = 1,2 м/с2; а = 168,2 м/с2.

2.25. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону j = A+Bt+Ct2, где А = 10 рад; В = 20 рад/с; С = -2 рад/с2. Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии R = 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 с. Ответ: а = 1,65 м/с2.

2.26. Во сколько раз нормальное ускорение точки, лежащей на ободе вращающегося колеса, больше её тангенциального ускорения для того момента, когда вектор полного ускорения точки составляет угол 30° с вектором её линейной скорости? Чему равна угловая скорость точки, если угловое ускорение 2,32 рад/с2. Ответ: а t / а n= 0,58; w = 1,2 рад/с.

2.27. Маховик, вращающийся с постоянной частотой n0 = 10 об/с, при торможении начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение маховика снова стало равномерным, но уже с частотой n = 6 об/с. Определить угловое ускорение маховика и продолжительность торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал 50 оборотов. Ответ: t = 6,28 с; e = 4 рад/c2.

2.28. Маховик, вращаясь равноускоренно, за время t = 5 мин увеличил свою частоту от 120 об/мин до 480 об/мин. Найти число оборотов маховика за это время. Ответ: N = 1500.

2.29. Точка движется по окружности радиусом R = 3 м с постоянным тангенциальным ускорением 0,5 м/с2. Определить угловое ускорение точки и число оборотов N за 1 мин движения, если w0 = 45 рад/с. Ответ: N = 478; e = 0,17 рад/c2.

2.30. В первом приближении можно считать, что электрон в атоме водорода движется по круговой орбите. Найти угловую скорость вращения электрона вокруг ядра и его нормальное ускорение. Считать радиус орбиты м и линейную скорость электрона на этой орбите м/с. Ответ: а n = 9,7.1022 м/с2; w = 4,4.1016 рад/с.

3. КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ ЗЕМЛИ

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/17_120178_zadachi-dlya-samostoyatelnogo-resheniya.html

Biz-books
Добавить комментарий