Найти показатель политропы

Уравнение политропного процесса

Найти показатель политропы

Продифференцируем уравнение состояния для 1 кг идеального газа:

Принимая теплоемкость не зависящей от температуры, получим уравнение первого закона термодинамики в дифференциальной форме:

Подставляя в это уравнение выражение для , получаем

или

Разделяя переменные и произведя интегрирование, получаем

,

где – показатель политропы, может принимать значения от нуля до бесконечности.

Зависимость между температурой и удельным объёмом определяется путём замены давления в уравнении политропного процесса его значением из уравнения состояния идеального газа:

отсюда

или

Исключая подобным же образом удельный объём, находим зависимость между давлением и температурой:

отсюда или

Деформационная работа, производимая 1 кг газа в политропном процессе, определяется по формуле:

Техническая работа, производимая 1 кг газа в политропном процессе, находится по формуле:

То есть отношение технической и деформационной работ равно показателю политропы:

Изменение внутренней энергии в политропном процессе находится общей формулой:

Теплоёмкость процесса определяется из выражения для показателя политропы:

Количество теплоты в политропном процессе находится по формуле:

1.12. Энтальпия рабочего тела.

В термодинамике важную роль играет сумма внутренней энергии системы и произведения давления системы на её объём , называемая энтальпией или теплосодержанием и обозначаемая I или Н:

Так как входящие в нее величины являются функциями состояния, то и сама энтальпия является функцией состояния.

Так же как внутренняя энергия, работа и теплота, она измеряется в джоулях (Дж).

Энтальпия обладает свойством аддитивности . Величина

i = u + pv, (1.17)

называемая удельной энтальпией ( ), представляет собой энтальпию системы, содержащей 1 кг ве­щества, и измеряется в Дж/кг.

Поскольку энтальпия есть функция состояния, то она может быть представ­лена в виде функции двух любых пара­метров состояния:

, а величина di является полным

диффе­ренциалом.

Изменение энтальпии в любом про­цессе определяется только начальным и конечным состояниями тела и не за­висит от характера процесса.

Физический смысл энтальпии выяс­ним на следующем примере. Рассмотрим расширенную систему, включающую газ в цилиндре и поршень с грузом общим весом G (рис.1.7).

Энергия этой системы складывается из внутренней энергии га­за и потенциальной энергии поршня с грузом в поле внешних сил: . В условиях равновесия (G = pF) эту функцию можно выразить через па­раметры газа: .

Получаем, что , т.е. энтальпию можно трактовать как энергию расширенной системы.

Уравнение в случае, когда единственным видом работы является работа расширения, с уче­том очевидного соотношения может быть записано в виде .

Рис.1.10. К определению физического смысла энтальпии

Из этого соотношения следует, что если давление термодинамической системы сохраняется неизменным, то есть осуществляется изобарный процесс (dp = 0), то и , то теплота, подведенная к системе при постоянном давлении, идет только на изменение энтальпии данной системы.

Это выражение очень часто используется в расчетах, так как огромное

количество процессов подвода теплоты в теплоэнергетике (в паровых котлах, камерах сгорания газовых турбореактивных двигателей, теплообменных аппаратах), а также целый ряд процессов химической технологии и многих других производствах осуществляется при постоянном давлении. Кстати, по этой причине в таблицах термодинамических свойств обычно приводятся значения энтальпии, a не внутренней энергии.

Для идеального газа для вычисления энтальпии используется формула

Так как между энтальпией и внутренней энергией существует связь, выбор начала отсчета одной из них произволен: в точке, принятой за начало отсчета внутренней энергии, Например, для воды при = 0,01 °С ,

р = 610,8 Па, , a .

При расчетах практический интерес представляет изменение энтальпии в конечном процессе:

1.13. Энтропия рабочего тела.

Как уже указывалось, величина не является полным дифференциалом, так как теплота и изменение внутренней энергии зависят от теплоемкости, которая, в свою очередь, является функцией температуры. Кроме того, чтобы проинтегрировать правую часть этого уравнения, нужно знать зависимость давления от удельного объёма, то есть нужно знать процесс, который совершается.

В математике доказывается, что дифференциальный двучлен всегда можно превратить в полный дифференциал путем умножения (или деления) на интегрирующий множитель (или делитель). Таким интегрирующим делителем для элементарного количества теплоты является абсолютная температура Т.

Покажем это на примере изменения состояния идеального газа в равновесных процессах:

Выражение при равновесном изменении состояния газа есть полный дифференциал некоторой функции состояния, которая называется энтропией, обозначается для 1 кг газа через и измеряется в . Термин «энтропия» был введен впервые Рудольфом Юлиусом Эммануэлем Клаузиусом (1822 – 1888), немецким физиком, в 1865 году.

Для произвольного количества газа энтропия, обозначаемая через ,

равна и измеряется в .

Таким образом, аналитически энтропия определяется следующим образом:

Эта формула справедлива как для идеальных, так и для реальных газов.

Подобно любой другой функции состояния энтропия может быть представлена в виде функции любых двух параметров состояния:

Понятием «энтропия» (от греч. Entropia – поворот, превращение) будем называть в термодинамике направление теплообмена между рабочим телом термодинамической системы и внешней средой.

Значение энтропии для заданного состояния газа определяется интегрированием уравнения для энтропии:

, где – константа интегрирования.

При температурах, близких к абсолютному нулю, все известные газы находятся в конденсированном состоянии. Вальтер Нернст (1864 – 1941), немецкий физик и химик, в 1906 году экспериментально установил, а Макс Планк (1858 – 1947), немецкий физик, в 1912 году окончательно сформулировал следующий принцип:

при температуре, стремящейся к абсолютному нулю, энтропия газа, находящегося в конденсированном состоянии с упорядоченной кристаллической структурой, стремится к нулю,то есть при .

Этот закон называют третьим законом термодинамикиили тепловой теоремой В.Нернста. Он позволяет рассчитать абсолютное значение энтропии в отличие от внутренней энергии и энтальпии, которые всегда отсчитываются от произвольного уровня.

Однако в технической термодинамике обычно используется не абсолютное значение энтропии, а ее изменение в каком-либо процессе:

(1.18)

поэтому энтропию тоже отсчитывают от произвольно выбранного уровня.

Получим формулы, позволяющие вычислить изменение энтропии идеального газа. Для этого проинтегрируем уравнение для энтропии, полагая :

Имея в виду уравнение состояния, записанное для состояний «1» и «2», получаем:

После подстановки отношений и получаем следующие формулы для изменения энтропии идеального газа:

;

Поскольку энтропия есть функция со­стояния рабочего тела, написанными уравнениями можно пользоваться вне зависимости от пути перехода рабочего тела между состояниями «1» и «2» и, в частности, от того, равновесный этот переход или нет.

Понятие энтропии позволяет ввести чрезвычайно удобную для термодинамических расчетов -диаграмму, на которой (как и

на -диаграмме) состояние термодинамической системы изображается точкой, а равновесный термодинамический процесс линией (рис.1.11).

Из уравнения для изменения энтропии следует, что в равновесном процессе: . Очевидно, что в – диаграмме элементарная теплота процесса изображается элементарной площадкой с высотой и основанием ds, а площадь, ограниченная

Рис.1.11. Графическое изображение теплоты в – координатах.

линией процесса, крайними ординатами и осью абсцисс, эквивалентна теплоте процесса.

Формула для элементарного изменения энтропии показывает, что и имеют одинаковые знаки, следовательно, по характеру изменения в равновесном процессе можно судить о том, в каком направлении происходит теплообмен. При подводе теплоты ( ) его энтропия возрастает ( ), а при отводе теплоты ( ) убывает (ds

Источник: https://helpiks.org/4-42155.html

Уравнение политропы. Определение показателя политропы

Найти показатель политропы

На рисункев P-Vкоординатах изображенычетыре простейших процесса (изопроцесса), для сравнения проходящие через общую точку А:

1- изобарный 2-изохорный; 3-адиабатный;4-изотермический

р 2

V

Рисунок. Изображение изопроцессов в P-Vкоординатах.

Но в целом ряде случаев реальные процессы, например, изображенный на рисунке, не соответствуют ни одному из изопроцессов.Для выполнения теплотехнических расчётов в таких случаях, пусть даже с какими-то погрешностями, реальный процесс заменяется гипотетическим, имеющим формулу, удобную для математических преобразований.

Рисунок. Пример политропного процесса

Этому требованию удовлетворяет уравнение вида .

Так как это уравнение должно описывать всё многообразие реальных процессов, то в этом уравнении должен присутствовать коэффициент согласования (идентификации). Этим коэффициентом является показатель степениn, называемый показателем политропы.

В отличие от показателя адиабатыk>1в уравнении Пуассона , показатель политропы может иметь любые значения в интервале от (-¥) до (+¥), так как является коэффициентом согласования,.

Показатель политропы определяется путем обработки опытных данных.

Алгоритм определения показателя политропы nпо известной кривой процесса.

1) Разбиваемpv-диаграмму реального процесса на N точек (чем больше точек, тем лучше).

2) Снимаем с pvдиаграммы реального процесса значение абсолютного давленияpi и удельного объёмаvi в каждойi-той точке и заносим в таблицу.

3) Для каждойi-той точкивычисляем значенияlnpi и lnviи заносим в таблицу.

4) Строим все точки процесса в логарифмическихкоординатахlnp -lnv.

5) Аппроксимируем точки в логарифмических координатах одной прямой, используя метод наименьших квадратов или другой аналогичный метод. Если это удаётся, то тангенс угла наклона прямой к оси lnvравен показателю политропы.

Ниже представлен пример определения показателя политропы.

Рис. Пример обработки опытных данных для определения показателя политропы

i-номерточки pi, Па vi, Lnpi Lnvi
p1 v1 lnp1 lnv1
p2 v2 lnp2 lnv2
N pN vN lnpN lnvN
Рис. Пример определения показателя политропы.

Если все точки не укладываются удовлетворительно на одну прямую, то применяется метод линейно-кусочной аппроксимации, когда показатели политропы определяются для отдельных участков процесса.

lnp

. N

.2 . 9

. 4

.1 . 8

. 5

. 6 . 7

lnv

Рис. Пример определения показателей политропы для отдельных участков участков .   участков .

В этом случаереальный процесс рассчитывается также по уравнению pvn = const, но сразными значениями показателя политропы( n1, n2, n3 и т.д.)для отдельных участков. Значения работы А, теплотыQ, внутренней энергии U, найденные на отдельных участках процессов, затем суммируются.

Метод определения показателя политропы по двум точкам.

В тех случаях, когда расчёты выполняются для небольшого участка процесса иликогда из всего процесса известны только две его точки, можно воспользоваться методом определения показателя политропы по двум точкам.

P,Па

Р1

Политропный процесс pvn =const

Р2 2

V1V2V, м3/кг

рис.15. Иллюстрация к методу определения показателя политропы по двум точкам

Уравнение политропы для двух точек реального процессав pv-координатах имеет вид:

p1v1n = p2v2n;

Логарифмируя это уравнение и приводя подобные члены, получим формулу для вычисления

показателя политропы по двум точкам:

В политропном процессе газ считается идеальным.

Так как основное уравнение политропы pvn=constпо форме совпадает с уравнением адиабаты идеального газаp=const (уравнением Пуассона), то можно по аналогии с другими уравнениями Пуассона записать еще два уравнения политропы:

Эти два уравненияможно также использовать для определения показателя политропы обоими методами.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/19_379976_uravnenie-politropi-opredelenie-pokazatelya-politropi.html

Показатель политропы

Найти показатель политропы

Кривая на термодинамических диаграммах, изображающая политропный процесс, называется «политропа». Для идеального газа уравнение политропы может быть записано в виде:

где р — давление, V — объем газа, n — «показатель политропы».

. Здесь — теплоёмкость газа в данном процессе, и — теплоемкости того же газа, соответственно, при постоянном давлении и объеме.

В зависимости от вида процесса, можно определить значение n:

· Изотермический процесс: , так как , значит, по закону Бойля — Мариотта , и уравнение политропы вынуждено выглядеть так: .

· Изобарный процесс: , так как , и уравнение политропы вынуждено выглядеть так: .

· Адиабатный процесс: (здесь — показатель адиабаты), это следует из уравнения Пуассона.

· Изохорный процесс: , так как , и в процессе , а из уравнения политропы следует, что , то есть, что , то есть , а это возможно, только если является бесконечным

· До сих пор рассматривались процессы, у которых имелись вполне определенные признаки: изохорный процесс осуществлял­ся при постоянном объеме; изобарный — при постоянном давле­нии; изотермический — при постоянной температуре; адиабат­ный— при отсутствии теплообмена между рабочим телом и внеш­ней средой. Наряду с этими процессами можно представить еще бесконечное множество процессов, у которых имеются другие постоянные признаки.

· Условились всякий процесс идеального газа, в котором удель­ная теплоемкость является постоянной величиной, называть политропным процессом, а линию процесса — политропой.

· Из определения политропного процесса следует, что основные термодинамические процессы — изохорный, изобарный, изотерми­ческий и адиабатный,— если они протекают при постоянной удель­ной теплоемкости, являются частными случаями политропного процесса. Итак, политропный процесс проходит при постоянной теплоемкости.

·

· Если теплоемкость зависит от температуры, то нужно найти среднюю теплоемкость, чтобы процесс стал политропным.

ПОЛИТРОПНЫЙ ПРОЦЕСС (политропический процесс) – обратимый термодинамич. процесс при пост. теплоёмкости системы. Линия, изображающая П. п. на термодинамич. диаграмме, наз. политропой. При П. п. кол-во подводимого тепла пропорционально вызываемому тем самым повышению темп-ры следовательно, где С – теплоёмкость при П. п.

Для идеального газа внутр. энергия U пропорциональна темп-ре , так что. согласно первому началу термодинамики, С = где P – давление, V – объём, – теплоёмкость при пост. объёме. Интегрируя полученное ур-ние с учётом ур-ния состояния, находим ур-ние для политропы идеального газа: = const или = const, где – теплоёмкость при пост.

давлении.

Изохорический или изохорный процесс — термодинамический процесс, который происходит при постоянном объёме. Для осуществления изохорного процесса в газе или жидкости достаточно нагревать (охлаждать) вещество в сосуде, который не изменяет своего объёма.

При изохорическом процессе давление идеального газа прямо пропорционально его температуре (см. Закон Шарля). В реальных газах закон Шарля не выполняется.

На графиках изображается линиями, которые называются изохоры. Для идеального газа они являются прямыми во всех диаграммах, которые связывают параметры: T (температура), V (объем) и P (давление).

Первый закон термодинамики в изопроцессах

1. В изохорном процессе (V=const). При изохорном процессе объем газа остается постоянным, поэтому газ не совершает работу. Изменение внутренней энергии газа происходит благодаря теплообмену с окружающими телами:

Здесь U1 и U2 – внутренние энергии газа в начальном и конечном состояниях. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры. При изохорном нагревании тепло поглощается газом Q > 0, и его внутренняя энергия увеличивается. При охлаждении тепло отдается внешним телам Q < 0

2. В изобарном процессе (P=const). При изобарном расширении газа подведенное к нему количество теплоты расходуется как на увеличение его внутренней энергии и на совершение работы газом:

При изобарном расширении Q > 0 – тепло поглощается газом, и газ совершает положительную работу. При изобарном сжатии Q < 0 – тепло отдается внешним телам. В этом случае A < 0. Температура газа при изобарном сжатии уменьшается, T2 < T1; внутренняя энергия убывает, ΔU < 0.

3. В изотермическом процессе (T=const). При изотермическом процессе температура газа не изменяется, следовательно, не изменяется и внутренняя энергия газа, ΔU = 0.

Количество теплоты Q, полученной газом в процессе изотермического расширения, превращается в работу над внешними телами. При изотермическом сжатии работа внешних сил, произведенная над газом, превращается в тепло, которое передается окружающим телам.

Наряду с изохорным, изобарным и изотермическим процессами в термодинамике часто рассматриваются процессы, протекающие в отсутствие теплообмена с окружающими телами.

4. В адиабатном процессе (Q=0).

При адиабатном процессе первый закон термодинамики выглядит:

То есть газ совершает работу за счет убыли его внутренней энергии. На плоскости (p, V) процесс адиабатического расширения (или сжатия) газа изображается кривой, которая называется адиабатой.

При адиабатическом расширении газ совершает положительную работу (A > 0); поэтому его внутренняя энергия уменьшается (ΔU < 0). Это приводит к понижению температуры газа.

Вследствие этого давление газа при адиабатическом расширении убывает быстрее, чем при изотермическом расширении.

В Формуле мы использовали :

— Изменение внутренней энергии

— Количество теплоты

— Работа внешних сил

— Работа совершаемая системой

— Объем газа

-Давление газа

5) Теплоёмкость тела (обычно обозначается латинской буквой C) — физическая величина, определяемая отношением бесконечно малогоколичества теплоты δQ, полученного телом, к соответствующему приращению его температуры δT[1]:

Единица измерения теплоёмкости в Международной системе единиц (СИ) — Дж/К.

Теплоёмкость тела (обозначается C) — физическая величина, определяющая отношение бесконечно малого количества теплоты ΔQ, полученного телом, к соответствующему приращению его температуры ΔT:

Единица измерения теплоёмкости в системе СИ — Дж/К.

Теплоемкость вещества — теплоемкость единицы массы данного вещества. Единицы измерения — Дж/(кг К) .

Молярная теплоемкость — теплоемкость 1 моля данного вещества. Единицы измерения — Дж/(моль К) .

Если же говорить про теплоемкость произвольной системы, то ее уместно формулировать в терминах термодинамических потенциалов — теплоемкость есть производная термодинамического потенциала Q по температуре:

Понятие теплоёмкости определено как для веществ в различных агрегатных состояниях (твёрдых тел, жидкостей, газов) , так и для ансамблей частиц и квазичастиц (в физике металлов, например, говорят о теплоемкости электронного газа) . Если речь идёт не о каком-либо теле, а о некотором веществе как таковом, то различают удельную теплоёмкость — теплоёмкость единицы массы этого вещества и молярную — теплоёмкость одного моля его

Виды теплоемкости Если ТС – однородное рабочее тело, то в расчетах применяются относительные теплоемкости:

– удельная теплоемкость – теплоемкость, отнесенная к 1 кг вещества с=С/m, Дж/кгК;

– молярная теплоемкость – теплоемкость, отнесенная с 1 молю вещества , Дж/мольК;

– объемная теплоемкость – теплоемкость, отнесенная к 1м3 вещества , Дж/м3К.

Теплоемкость– свойство материала поглощать определенное количество тепла при нагревании и выделять его при охлаждении.

Удельная теплоемкость – количество тепла, необходимое для нагревания единицы количества вещества на один градус.

Формула для расчёта удельной теплоёмкости (или табл.знач.):

,

где — удельная теплоёмкость,

— количество теплоты, полученное веществом при нагреве (или выделившееся при охлаждении),

— масса нагреваемого (охлаждающегося) вещества,

— разность конечной и начальной температур вещества.

В зависимости от единиц измерения количества вещества различают:

· массовую теплоемкость С , Дж / (кг К) – это количество теплоты, которое необходимо подвести к единице массы вещества, чтобы нагреть его на единицу температуры;

· объемную теплоемкость С’, Дж / (м3 К) – это количество теплоты, которое необходимо подвести к единице объёма вещества, чтобы нагреть его на единицу температуры;

· мольную теплоемкость СМ , Дж / (кмоль К) – это количество теплоты, которое необходимо подвести к 1 молю вещества, чтобы нагреть его на единицу температуры

5)Для идеального газа справедливо соотношение Майера:

,

где — универсальная газовая постоянная, — молярная теплоёмкость при постоянном давлении, — молярная теплоёмкость при постоянном объёме.

Уравнение Майера вытекает из первого начала термодинамики, примененного к изобарному процессу в идеальном газе:

,

в рассматриваемом случае:

.

Очевидно, уравнение Майера показывает, что различие теплоёмкостей газа равно работе, совершаемой одним молем идеального газа при изменении его температуры на 1 K, и разъясняет смысл универсальной газовой постоянной — механический эквивалент теплоты.

МАЙЕРА УРАВНЕНИЕ – ур-ние, устанавливающее связь между теплоёмкостями при пост, давлении Cp и постоянном объёме СV 1кмоля идеального газа: где R -газовая постоянная .Впервые было получено Ю. P. Майером (J. R. Mayer) в 1842 и ещё до работ Дж. П. Джоуля (J. P.

Joule) использовано им для количеств, определениямеханического эквивалента теплоты. Для произвольной массы т (кг) вещества в состоянииидеального газа M. у. записывается в виде: , где – молекулярная масса газа. M. у. можно получить из общего соотношения (см.

Термодинамика ),если учесть, что для идеального газа справедливо Клапейрона уравнение.

7) Уравнение Клапейрона-Менделеева. Связь между числом молей газа, его температурой, объемом и давлением.

Газы нередко бывают реагентами и продуктами в химических реакциях. Не всегда удается заставить их реагировать между собой при нормальных условиях. Поэтому нужно научиться определять число молей газов в условиях, отличных от нормальных.

Для этого используют уравнение состояния идеального газа (его также называют уравнением Клапейрона-Менделеева):

PV = nRT

где n – число молей газа;

P – давление газа (например, в атм;

V – объем газа (в литрах);

T – температура газа (в кельвинах);

R – газовая постоянная (0,0821 л·атм/моль·K).

Уравнение Клапейрона – Менделеева (уравнение состояния идеального газа) Это уравнение, связывающее макропараметры между собой.

Физика, Билеты по физике за весь школьный курс, Билеты Это уравнение называют уравнением состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) .

Уравнение состояния идеального газа (иногда уравнение Клапейрона или уравнениеМенделеева — Клапейрона) — формула, устанавливающая зависимость между давлением,молярным объёмом и абсолютной температурой идеального газа. Уравнение имеет вид:

,

где

· — давление,

· — молярный объём,

· — универсальная газовая постоянная

· — абсолютная температура, К.

Так как , где — количество вещества, а , где — масса, — молярная масса, уравнение состояния можно записать:

где – концентрация атомов, – постоянная Больцмана.

Эта форма записи носит имя уравнения (закона) Менделеева — Клапейрона.

Уравнение, выведенное Клапейроном, содержало некую неуниверсальную газовую постоянную , значение которой необходимо было измерять для каждого газа:

Менделеев же обнаружил, что прямо пропорциональна , коэффициент пропорциональности он назвал универсальной газовой постоянной.

Источник: https://studopedia.info/5-80205.html

IV.1. Уравнение политропы. Определение показателя политропы

Найти показатель политропы

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Из физики известно четыре простейших процесса (изопроцесса):

1) изобарный;

2) изохорный;

3) адиабатный;

4) изотермический,

Для сравнения изобразим на рис.10 эти процессы, проходящими через общую точку А:

р 2

1

рис.10. Изопроцессы в P-V координатах.
рис.11. Пример политропного процесса.

V

Но в целом ряде случаев реальные процессы, например рис.11, не соответствуют ни одному из изопроцессов.

Для выполнения теплотехнических расчётов в таких случаях, пусть даже с какими-то погрешностями, реальный процесс заменяется гипотетическим, имеющим формулу, удобную с точки зрения математических преобразований. Этому требованию удовлетворяет уравнение вида .

Так как это уравнение должно описывать всё многообразие реальных процессов, то в этом уравнении должен присутствовать коэффициент согласования (идентификации). Этим коэффициентом является показатель степени n, называемый показателем политропы.

Так как n – коэффициент согласования, то, в отличие от показателя адиабаты k в уравнении Пуассона , где k>1, показатель политропы может иметь любые значения в интервале (-¥,+¥). Показатель политропы определяется только путем обработки опытных данных.

Алгоритм определения показателя политропы n.

1) Разбиваем pv-диаграмму реального процесса на N точек (чем больше точек, тем точнее n).

2) Снимаем с pv-диаграммы реального процесса значение давления pi удельного объёма vi в каждой i-той точке и заносим в таблицу.

3) Для каждой i-той точки вычисляем значения lnpi и lnvi и заносим в таблицу.

4) Перестраиваем pv-диаграмму в координатах: lnp – lnv.

5) Аппроксимируем точки на графике в логарифмических координатах одной прямой, используя метод наименьших квадратов или другой аналогичный метод. Если это удаётся без значительных погрешностей, то тангенс угла наклона прямой к оси lnv равен показателю политропы.

На рис. 12 и 13 представлен пример определения показателя политропы.

рис.12. Пример обработки опытных данных для определения показателя политропы

i – номер точки pi, Па vi, lnp lnv
p1 v1 lnp1 lnv1
p2 v2 lnp2 lnv2
N pN vN lnpN lnvN
рис.13. Пример определения показателя политропы.

Если все точки не укладываются удовлетворительно на одной прямой, то используется метод линейно-кусочной аппроксимации, по которому показатели политропы определяются для отдельных участков процесса.

lnp

.3 . N

. 9

. 4

. 2

. 8

.1 . 5

. 6 . 7

рис.14. Пример определения показателей политропы для отдельных участков .

lnv

В этом случае реальный процесс рассчитывается по уравнению pvn = const при последовательно изменяющемся значении показателя политропы n: n1, n2, n3 и т.д. Значения А,Q,U, найденные на отдельных участках процессов затем суммируются.

В тех случаях, когда расчёты выполняются для небольшого участка процесса или для всего процесса известны только две точки, можно использовать метод определения показателя политропы n по двум точкам.

1

Р1

Р2

V1 V2 V, м3/кг

рис.15. Иллюстрация к методу определения n по двум точкам

Если реальный процесс задан pv-координатах, то используется уравнение политропы в виде

pvn = p1v1n = p2v2n =const

После логарифмирования и приведения подобных, получим искомое значение n:

ln p1 + n ln v1 = ln p2 + n ln v2

ln p1 – ln p2 = n (ln v2 – ln v1)

(139)

В политропном процессе газ считается идеальным. Так как основное уравнение политропы pvn =const по форме совпадает с уравнением адиабаты идеального газа p =const (уравнение Пуассона), то без вывода запишем еще два уравнения политропы:

(140)

(141)

Для определения показателя политропы может использоваться любое из трех уравнений политропы.

Так как теплоёмкость является функцией процесса, то получим формулу для теплоёмкости в политропном процессе сn:

Из общей формулы теплоёмкостей однородных систем (74) для политропного процесса имеем:

(формула(76))

Так как в политропном процессе газ считается идеальным, то

(формула(77))

Требуется найти . Для этого воспользуемся уравнением политропы (140):

.

Логарифмируя и дифференцируя это уравнение, приводя подобные получим:

Откуда

Подставим найденное значение в уравнение (76):

Окончательно

(142)

В (142) показатель адиабаты k>1, в то время как nÎ(-¥, +¥).

При 1

Источник: https://lektsii.org/6-59538.html

Biz-books
Добавить комментарий