Найти объем газа до расширения

Окончательно

Найти объем газа до расширения

d=(m/(pNА))1/3.

Произведем вычисления

1.1.4. В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением p1=1 МПа и при температуре T=300 К. После того как из баллона было взято m=10 г гелия,температура газа понизилась до Т=290 К Определить давление p гелия оставшегося в баллоне.

Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, применив его дважды к начальному и конечному состояниям газа:

;

,

где m1, m2 – массы гелия в баллоне в начальном и конечном состояниях;

m – молярная масса гелия;

R – универсальная газовая постоянная;

T1 и T2 – температуры газа в начальном и конечном состояниях.

Массы m1 и m2 гелия найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона:

m1=p1mV/(RT1),

m2=mp2V/(RT2).

Тогда масса гелия оставшегося в баллоне будет равна

Для давления p гелия, оставшегося в баллоне, будем иметь:

или

Численно

.

1.1.5. Баллон содержит 80 г кислорода и 320 г аргона. Давление смеси 1МПа, температура 300 К. Принимая данные газы за идеальные, определить объем баллона.

Решение. По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. Парциальные давления кислорода p1 и аргона p2 можно определить, воспользовавшись уравнением Менделеева-Клапейрона

p1=m1RT/(m1V), p2=m2RT/(m2V).

Следовательно, по закону Дальтона, давление смеси газов

или

Откуда объем баллона

Подставив численные значения, будем иметь

1.1.6. Какое количество молекул находится в комнате объемом 80 м3 при температуре 17 oС и давлении 750 мм. рт. ст?

Решение. Количество молекул N, содержащееся в комнате, можно определить, зная массувоздуха m,его молярную массу и число Авогадро NА. Число молекул в одном киломоле газа равно числу Авогадро. А число киломолей содержащихся в массе m, определяется соотношением:

n=m/m.

Следовательно,

N=m/(mNА).

Массу m содержащегося в комнате воздуха определяем из уравнения Менделеева-Клапейрона

где p – давление воздуха;

V – объем;

R – универсальная газовая постоянная;

T – абсолютная температура (T=t+ 273 );

m – масса воздуха.

Следовательно, для числа молекул воздуха имеем:

Подставляя все данные, предварительно выразив их в системе СИ, будем иметь

1.1.7. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре T=350 К, а также кинетическую энергию вращательного движения всех молекул кислорода массой 4 г.

Решение. Согласно теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы, накаждую степень свободы приходится энергия:

,

где k – постоянная Больцмана;

Т – абсолютная температура.

Молекула кислородадвухатомная, поведение такой молекулы описывается 5-ю степенями свободы (три изних приписываются поступательному движению и две- вращательному).

Следовательно, кинетическая энергия вращательного движения молекулы кислорода может быть рассчитана по формуле:

=2 =2×1/2 kТ=kТ.

Энергия вращательного движения всех молекул, содержащихся в 4 г кислорода, может быть определена как произведение числа молекул N на энергию одной молекулы:

Wк=N×=NkТ.

Число молекул определяется соотношением:

где m – молекулярная масса кислорода;

m – его масса;

NА – число Авогадро.

Таким образом

Подставив численные значения, предварительно выразив их в системе СИ, будем иметь:

=1,38×10-23.350=4,83×10-21 Дж;

.

1.1.8. Масса 10 г кислорода находится при давлении 304 кПа и температуре 10 oС. После расширения вследствие нагревания при постоянном давлении кислород занял объем 10 л. Найти объем газа до расширения, температуру газа после расширения, плотности газа до и после расширения.

Решение. Согласно условию задачи, расширение газа вследствие нагревания происходило при постоянном давлении. В этом случае оказывается справедливым соотношение

.

Для определения температуры газа после расширениявоспользуемся уравнениемМенделеева-Клапейрона для конечного состояния газа

,

где p2 – давление газа после расширения;

V2 – его объем после расширения;

m – масса газа;

m – молекулярная масса кислорода;

R – универсальная газовая постоянная;

T2 – абсолютная температура газа.

Следовательно, дляконечной температуры имеем

Для определения объема газа до расширения можно вновь воспользоваться уравнением Менделеева-Клапейрона, записанным для первоначального состояния газа:

где p1, V1, T1 – его давление, объем и температура до расширения.

Из данногоуравнения имеем

.

Учитывая то, что плотность газа r1=m/V1, подставляя значения V1 и V2 из уравнений Менделеева-Клапейрона, записанные для соответствующих состояний, для плотности кислорода до и после расширения будем иметь

и

Подставляя численные значения в системе СИ, окончательно имеем:

r1=4,14 кг/м3,

r2=1кг/м3.

1.1.9.Масса газа 12 г занимает объем 4 л при температуре 7 oC. После нагревания газа при постоянном давлении его плотность стала равной 0,6 кг/м3. До какой температуры нагрели газ?

Решение. Воспользовавшись уравнением Менделеева-Клапейрона

можно показать, что между плотностью газа r=m/V и давлением существует связь

Следовательно, в начальномсостоянии давление газа:

В конечном:

Так как нагревание газа производилось при постоянном давлении, то p1=p2

.

Отсюда

Подставляя численные значения, в системе СИ, для конечной температуры будем иметь:

1.1.10. В баллоне находилась масса m1=10 кг газа при давлении p1=10 МПа. Какую массу газа взяли из баллона, если давление стало равным p2=2,5 МПа? Температуру газа считать постоянной.

Решение. Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для двух состояний: начального и конечного

и

Из второгосоотношения определяем объем сосуда и подставляем его значение в первое, имеем:

Из последнего соотношения получаемсвязь между давлением газа в сосуде и его массой для данного случая:

Отсюда масса газа оставшегося в баллоне:

.

Так как масса израсходованного газа Dm=m1-m2,то окончательно, после соответствующих преобразований, имеем

Подставляячисленные значения в системе СИ определяем массу взятого из баллона газа:

1.1.11. В сосуде находится масса m1=14 г азота и масса m2==9 г водорода при температуре 10 oС и давлении 1 МПа. Найти молярную массу смеси и объем сосуда.

Решение. По закону Дальтона давление смеси газов равно сумме парциальных давлений компонентов входящих в смесь

p=p1+p2,

где p – давление смеси;

p1 – парциальное давление азота;

p2 – парциальное давление водорода.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона:

Для каждого из давлений (смеси и парциальных) можно записать:

Следовательно, так как p=p1+p2, имеем

откуда

Из последнего соотношения для молекулярной массы смеси будем иметь

Изуравнения Менделеева-Клапейрона, для смеси газов, объем сосуда равен:

Подставляячисленные значения в системе СИнаходиммолекулярную массу смеси:

и объем сосуда

1.1.12. Для получения хорошего вакуума в стеклянном сосуде необходимо прогревать стенки сосуда при откачке для удаления, адсорбированного газа.

На сколько может повыситься давление в сферическом сосуде радиусом 10 см, если адсорбированные молекулы перейдут со стенок в сосуд? Площадь поперечного сечения молекул So==10-19 м2.

Температура газа в сосуде 300 oС. Слой молекул на стенках считать мономолекулярным.

Решение. Для определения давления воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории в виде

p=nokT,

где no – число молекул в единице объема;

k – постоянная Больцмана;

Т – абсолютная температура газа.

С учетом того, что

no=N/V,

где N – число молекул в объеме V, для давления имеем

Поусловиюзадачи слой молекул в сосуде мономолекулярный, следовательно число молекул в нем можно определить исходя из соображений:

где S=4pr2 – площадь поверхности сосуда;

So – площадь поперечного сечения молекул газа.

Так как сосуд сферический, то его объем V=4/3pr3.

Таким образом, окончательно для давления газа в сосуде будем иметь соотношение:

Подставляячисленные значения в полученноесоотношение в системе СИ определяем давление газа в сосуде

1.1.13. В воздухе содержится 23,6 % кислорода и 76,4 % азота (по массе) при давлении 100 кПа и температуре 13 oС. Найти плотность воздуха и парциальные давления кислорода и азота.

Решение. Для определения плотности воздуха воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона

откуда

а .

Для определения парциальных давлений также воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, записанным для каждого из компонентов, входящих в смесь воздуха:

где V – объем воздуха.

Откуда

Так как r=m/V, то V=m/r, следовательно

Подставляячисленные значения в системе СИ для плотности воздуха и парциальных давлений кислорода иазота будем иметь:

1.1.14. В сосуде находится количество n=10-7 моль кислорода и масса m2==10-6 г азота. Температура смеси 100 oС, давление в сосуде p=133 мПа. Найти объем сосуда, парциальные давления кислорода и азота и число молекул в единице объема.

Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, записанным для смеси газов в виде

где nсм=n1+n1=(n1+m2/m2) – число молей или киломолей газов составляющих смесь.

Имеем

pV=(n1+m2/m2) RT.

Отсюда

V=(n1+m2/m2) (RT/p).

Парциальные давления компонентов образующих смесь определяем так же из уравнения Менделеева-Клапейрона, записанным для каждого из газов

p1V=n1RT и p2V =(m2/m2)RT.

Откуда для парциальных давлений кислорода и азота соответственно имеем

p1=n1RT/V;

p2=m2RT/m2V.

Для определения числа молекул в единице объема необходимо воспользоваться основным уравнением молекулярно-кинетической теории для давления

p=nokT.

Предыдущая12345678910111213141516Следующая

Дата добавления: 2014-12-30; просмотров: 1729; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/1-131345.html

План решения задач на газовые законы

Найти объем газа до расширения

  1. Если в задаче рассматривается одно состояние газа и требуется найти какой-либо параметр этого состояния, нужно воспользоваться уравнением Менделеева – Клапейрона.

  2. Если значения давления и объема явно не заданы, их нужно выразить через заданные величины, подставить в записанное уравнение и, решив его, найти неизвестный параметр.

  3. В том случае, когда в задаче рассматриваются два различных состояния газа, нужно установить, изменяется ли масса газа при переходе из одного состояния в другое.

    Если масса остается постоянной, можно применить уравнение Клапейрона.

    Если же при постоянной массе в данном процессе не изменяется какой-либо из параметров ( р,V или Т), применяются уравнение соответствующего закона (Гей-Люссака, Шарля или Бойля-Мариотта).

  4. Если в двух состояниях масса газа разная, то для каждого состояния записывают уравнение Менделеева-Клапейрона. Затем систему уравнений решают относительно искомой величины.

Примеры решения задач

Пример 3.1. Определитечисло молекул воды в бутылке вместимостью0,33л. Молярная масса воды М=18∙10-3кг/моль, плотность воды ρ=1г/см3.

Дано:V=0,33л=0,33∙10-3м3; М=18∙10-3кг/моль; ρ=1г/см3=1∙103кг/м3;

Найти:N.

Решение:Массаводы, занимающей объём V,

m=ρV, (1)

гдеρ – плотность воды.

Массамолекулы

, (2)

гдеМ – молярная масса; NA=6,02∙1023моль-1–постоянная Авогадро.

Числомолекул в бутылке

(3)

Подставляяв выражение (3) формулы (1) и (2), получимискомое число молекул:

.

Ответ:N=1,1∙1025.

Пример 3.1. Узкаяцилиндрическая трубка, закрытая с одногоконца, содержит воздух, отделённый отнаружного воздуха столбиком ртути.Когда трубка обращена закрытым концомкверху, воздух внутри неё занимает длинуℓ, когда же трубка обращена кверхуоткрытым концом, то воздух внутри неёзанимает длину ℓ' < ℓ. Длина ртутногостолбика h мм. Определить атмосферноедавление.

Дано:ℓ; ℓ' < ℓ; h.

Найти:Р.

Решение:В данном процессеизменяются давление и объём воздуха, атемпература остаётся постоянной.Следовательно, если начальные параметрывоздуха обозначить Р1и V1,а конечные как Р2и V2 получаемследующее соотношение:

Р1V1= Р2V2

Когдатрубка обращена закрытым концом кверху,воздух в ней находится под давлением Р1=Ратм– h ( здесь и далее измеряем в мм.рт. ст.).Если же трубку перевернуть, давлениевоздуха в ней будет равно Р2= Ратм+ h .

Учитывая,что V1 =Sℓ1,V2 =Sℓ2,где S — площадь сечения трубки, получаем:

(Ратм– h) Sℓ =(Ратм+ h) Sℓ',

Отсюданаходим атмосферное давление

Ответ.

Пример3.2. В сосуде находитсясмесь m = 7 г азота и m = 11г углекислогогаза при температуре Т = 290 К и давленииР = 1 атм. Найти плотность этой смеси,считая газа идеальными.

Дано:m1=7г=7∙10-3кг;m2=11г=11∙10-3кг;Т=290К; Р=1атм=105Па.

Найти:ρ.

Решение:Давление газов в сосудеизвестно. Если через Р1 обозначить давлениеазота, если бы углекислого газа не было,а через Р2 давлениеуглекислого газа, если бы не было азота(так называемые парциальными давления),то давление смеси газов Р будет согласнозакону Дальтона Р =Р1 +Р2.Учитывая, что температура каждого газаТ запишем для азота и кислорода уравнениеМенделеева-Клапейрона:

Складываяэти выражения, получаем:

Отсюданаходим объём, занимаемый смесью газов

Плотностьсмеси газов вычисляется по формуле

Ответ:

Пример3.3. Кислород массойm=10гнаходится под давлением 200кПа притемпературе 280К. В результате изобарногорасширения газ занял объём 9л. Определите:1) объём газа V1до расширения; 2) температуру газа T2после расширения; 3) плотность газа ρ2после расширения.

Дано:M=32∙10-3кг/моль; m=10г=10∙10-3кг; р=200кПа=2∙105Па=const;Т1=280К;V2=9г=9∙10-3м3.

Найти:1) V1;2) Т2;3) ρ2.

Решение: Объём газа до расширения найдём, согласноуравнению Клапейрона-Менделеева,

,

откуда

Записав уравнение Клапейрона-Менделеевадля конечного состояния газа:

,

найдём искомую температуру

Плотность газа после расширения газа

.

Ответ:1) V1=3,64л; 2) Т2=693К; 3) ρ2=1,11кг/м3.

Пример 3.3. Вцилиндре с площадью основания 100 см2находится воздух. Поршень расположенна высоте 50 см от дна цилиндра. На поршенькладут груз массой 50 кг, при этом онопускается на 10 см. Найти температурувоздуха после опускания поршня, еслидо его опускания давление было равно101 кПа, а температура 12С.

Дано:S=100см2=1∙10-2м2;h1=50см=0,5м;m=50кг; Δh=10см=0,1мt;P1=101∙103Па; Т1=12С=285К.

Найти:Т2.

Решение:Рассмотрим два состояния воздуха подпоршнем: до опускания поршня и послеего опускания. До опускания поршнясостояние воздуха характеризуетсяпараметрами Р1,V1,T1,после опускания поршня – параметрами Р2,V2,T2,где V1=Sh1, Р2=Р0+Р, ,V2=Sh2,или, поскольку h2=h1-Δh,

V2=S(h1-Δh).

Применимк этим двум состояниям формулу Клапейрона:

,

откуда

(1)

Подставимв формулу (1) выражения для Р1,V1,Р2и V2:

;

Ответ:Т2=338К

Пример 3.3. Имеютсядва сосуда с газом: один вместимостью3 л, другой 4 л. В первом сосуде газнаходится под давлением 202 кПа, а вовтором 101 кПа. Под каким давлением будетнаходиться газ, если эти cосуды соединитьмежду собой? Считать, что температурав сосудах одинакова и постоянна.

Дано:V1=3л=3∙10-3м3;V2=4л=4∙10-3м3;Р1=202кПа=202∙103Па; Р2=101кПа=101∙103Па.

Найти:Р.

Решение:По закону Дальтона,

Р= Р3+ Р4 (1)

Таккак процесс изотермический, то парциальноедавление газа в каждом сосуде можнонайти по закону Бойля-Мариотта:

Р1V1=Р3V, Р2V2=Р4V,

гдеV=V1+V2.Тогда парциальное давление газа в каждомиз сосудов после их соединения

, , (2)

Подставляемвыражения (2) в (1):

Ответ:Р=141 Па

Пример 3.3. Вбаллоне содержатся сжатый газ притемпературе t1= 27Си давлении p1= 4 МПа. Каково будет давление, если избаллона выпустить

Δm= 0,4m массы газа, а температуру понизить доt2= 17С?

Дано:Т1=27С=300 К;Р1=4МПа=4∙106 Па;Δm= 0,4m;Т2=17С=290 КНайти:Р.

Решение: Рассмотримдва состояния газа: до разрежения ипосле, когда осталось1-n массы m газа.Параметры каждого из этих состоянийсвязаны уравнением Менделеева-Клапейрона:

,

гдеР1,Т1,Р2,Т2– соответственно давление и температурагаза до и после выпуска; m — масса газа;М – молярная масса; V — объем.

Разделивпочленно первое равенство на второе,получим:

,

oткуда

(1)

Ответ:Р2= 2,3106Па = 2,3 МПа.

Пример3.3. Найти максимальновозможную температуру идеального газав процессе P = P0– αV2,где P0,α — положительные постоянные.

Дано:P = P0– αV2;P0, α- const

Найти:Tmax.

Решение: Для нахождения максимальной температурынеобходимо получить явную зависимостьпоследней от параметров и исследоватьэту зависимость на экстремум. Так какгаз является идеальным, выразим давлениеиз уравнения Менделеева-Клапейрона иподставим его в уравнение процесса

Отсюдавыражаем температуру

Условие экстремума ,которое сводится к выражению.

Решаяданное уравнение, получаем значениеобъёма, при котором температура принимаетэкстремальное значение .Исследуя знак второй производной, приходим к выводу, что при данномзначении объёма температура газа будетидеальной. Подставляя выражение дляобъёма в выражение для температуры приданном процессе, получаем:

Ответ:

Пример3.3. В сосудевместимостью V=5лнаходится кислород массой m=15г.определите: 1) концентрацию молекулкислорода в сосуде; 2) число N молекул газа в сосуде.

Дано:V=5л=5∙10-3м3; M=32∙10-3кг/моль;m=15г=1,5∙10-2кг.

Найти:1) n; 2) N.

Решение:Записавуравнение Клапейрона-Менделеева

(1)

Иуравнение состояния идеального газа

Р=nkT (2)

Иподелив (1) на (2), найдём искомую концентрациюмолекул кислорода в сосуде

.

Концентрациямолекул

,

Откудаискомое число молекул газа в сосуде

N=nV.

Ответ:1)n=5,64∙1025м-3; 2) N=2,82∙1023.

Источник: https://studfile.net/preview/6214960/page:4/

Реальные газы

Найти объем газа до расширения

6.1. В каких единицах системы СИ выражаются постоянные а и b, входящие в уравнение Ван-дер-Ваальса?

6.2. Пользуясь данными о критических величинах Тк и для некоторых газов (смотри таблицу), найти для них постоянные а и b , входящие в уравнение Ван-дер-Ваальса.

6.3. Какую температуру Т имеет масса m = 2 г азота, занимающего объем V = 820cm3 при давлении p = 0,2 МПа? Газ рассматривать как: а) идеальный; б) реальный.

6.4. Какую температуру Т имеет масса m = 3,5 г кислорода занимающего объем F=90cm3 при давлении p = 2,8МПа? Газ рассматривать как: а) идеальный; б) реальный.

6.5. Масса m = 10 г гелия занимает объем V = 100 см3 при давлении p = 100 МПа. Найти температуру Т газа, считая его: а) идеальным; б) реальным.

6.6. Количество v = 1 кмоль углекислого газа находится при температуре t = 100° С. Найти давление p газа, считая его:

а) реальным; б) идеальным. Задачу решить для объемов V1 = 1 м3

и V2= 0,05 м3.

6.7. В закрытом сосуде объемом V = 0,5 м3 находятся коли-

чество v = 0.6 кмоль углекислого газа при давлении p = 3 МПа.

Пользуясь уравнением Ван-дер-Ваальса, найти, во сколько раз надо увеличить температуру газа, чтобы давление увеличилось вдвое.

6.8. Количество v = 1 кмоль кислорода находится при температуре t=21°C и давлении p = 10МПа. Найти объем V газа,

считая, что кислород при данных условиях ведет себя как реальный газ.

6.9. Количество v = 1 кмоль азота находится при температуре t = 27°C и давлении p = 5МПа. Найти объем V газа, считая, что азот при данных условиях ведет себя как реальный газ.

6.10. Найти эффективный диаметр а молекулы кислорода, считая известными для кислорода критические значения Тк и pк.

6.11. Найти эффективный диаметр а молекулы азота двумя способами: а) по данному значению средней длины свободного пробега молекул при нормальных условиях ?= 95 нм; б) по известному значению постоянной bв уравнении Ван-дер-Ваальса.

6.12. Найти среднюю длину свободного пробега ?молекул углекислого газа при нормальных условиях. Эффективный диаметр бмолекулы вычислить, считая известными для углекислого газа критические значения Tk и pk.

6.1З. Найти коэффициент диффузии D гелия при температуре t = 17° С и давлении p = 150 КПа. Эффективный диаметр атома б вычислить, считая известными для гелия критические значения Тk и pk.

6.14. Построить изотермы p = f(v) для количества v = 1 кмоль углекислого газа при температуре t = 0° С. Газ рассматривать как: а) идеальный; б) реальный. Значения V (в л/моль) для реального газа взять следующие: 0,07, 0,08, 0,10, 0,12, 0,14, 0,16, 0,18, 0,20, 0,25, 0,30, 0,35 и 0,40; для идеального газа — в интервале 0,2 < V < 0,4 л/моль.

6.15. Найти давление p1, обусловленное силами взаимодействия молекул, заключенных в количестве v = 1 кмоль газа при нормальных условиях. Критическая температура и критическое давление этого газа равны Тk = 417 К и pk = 7,7 МПа.

6.16. Для водорода силы взаимодействия между молекулами незначительны; преимущественную роль играют собственные размеры молекул. Написать уравнение состояния такого полуидеального газа. Какую ошибку мы допустим при нахождении количества водорода v, находящегося в некотором объеме при температуре t = 0° С и давлении p = 280 МПа, не учитывая собственного объема молекул?

6.17. В сосуде объемом V = 10 л находится масса m = 0,25 кг азота при температуре t = 27° С. Какую часть давления газа составляет давление, обусловленное силами взаимодействия молекул? Какую часть объема сосуда составляет собственный объем молекул?

6.18. Количество v = 0.5 кмоль некоторого газа занимает объ-ем V1=1m3. При расширении газа до объема V2 = 1.2 м3 была

совершена работа против сил взаимодействия молекул A =5,684 кДж. Найти постоянную а, входящую в уравнение Ван-дер-Ваал ьса.

6.19. Масса m = 20 кг азота адиабатически расширяется в вакуум от объема V1 = 1 м3 до объема V2 = 1 м3. Найти понижение

температуры dT при этом расширении, считая известной для азота постоянную а, входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса (смотри ответ 6.2).

6.20. Количества v = 0,5 кмоль трехатомного газа адиабатически расширяется в вакуум от объема V1= 0,5 м3 до объема V2 = 3 м3. Температура газа при этом понижается на dT = 122 К. Найти постоянную а. входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса.

Источник: https://studyport.ru/zadachi/fizika/volkenshtejn/7-realnye-gazy

Biz-books
Добавить комментарий