Найти нормальное ускорение точки через время

Нормальное ускорение

Найти нормальное ускорение точки через время

Экзамен по физике

  1. Перемещение. Скорость. Ускорение. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения.

Перемеще́ние (в кинематике) —изменение местоположения физическоготела в пространстве относительновыбранной системыотсчёта.Также перемещениемназывают вектор,характеризующий это изменение. Обладаетсвойством аддитивности.

Ско́рость (частообозначается ,от англ. velocity или фр. vitesse) — векторная физическая величина,характеризующая быстротуперемещения инаправления движения материальнойточки впространстве относительно выбранной системыотсчёта (например, угловаяскорость).

Ускоре́ние (обычнообозначается ,в теоретическоймеханике )— производная скорости повремени, векторная величина,показывающая, насколько изменяетсявектор скорости точки(тела) при её движении за единицу времени(т.е. ускорение учитывает не толькоизменение величины скорости, но и еёнаправления).

Тангенциальное(касательное) ускорение –это составляющая вектора ускорения,направленная вдоль касательной ктраектории в данной точке траекториидвижения. Тангенциальное ускорениехарактеризует изменение скорости помодулю при криволинейном движении.

Рис.1.10. Тангенциальное ускорение.

Направление векторатангенциального ускорения τ (см.рис. 1.10) совпадает с направлением линейнойскорости или противоположно ему. Тоесть вектор тангенциального ускорениялежит на одной оси с касательнойокружности, которая является траекториейдвижения тела.

Нормальноеускорение –это составляющая вектора ускорения,направленная вдоль нормали к траекториидвижения в данной точке на траекториидвижения тела.

То есть вектор нормальногоускорения перпендикулярен линейнойскорости движения (см. рис. 1.10). Нормальноеускорение характеризует изменениескорости по направлению и обозначаетсябуквой n.

Вектор нормального ускорения направленпо радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение

Полноеускорение прикриволинейном движении складываетсяиз тангенциального и нормальногоускорений по правилусложения векторов иопределяется формулой:

(согласно теоремеПифагора для прямоугольно прямоугольника).

Направление полногоускорения также определяется правиломсложения векторов:

=τ+ n

  1. Сила. Масса. Законы Ньютона.

Си́ла — векторная физическаявеличина,являющаяся мерой интенсивностивоздействия на данное тело другихтел, а также полей.Приложенная к массивному телусила является причиной измененияего скорости иливозникновения в нём деформаций.[1]

Ма́сса (от греч. μάζα) —скалярная физическаявеличина,одна из важнейших величин в физике.

Первоначально (XVII—XIXвека)она характеризовала «количествовещества» в физическом объекте, откоторого, по представлениям того времени,зависели как способность объектасопротивляться приложенной силе(инертность),так и гравитационные свойства — вес.Тесно связана с понятиями «энергия»и «импульс»(по современным представлениям —масса эквивалентна энергиипокоя).

Первый закон Ньютона

Существуюттакие системыотсчёта,называемые инерциальными,относительно которых материальнаяточка приотсутствии внешних воздействий сохраняетвеличину и направлениесвоей скорости неограниченнодолго.

Второй закон Ньютона

В инерциальнойсистеме отсчёта ускорение, котороеполучает материальная точка, прямопропорционально равнодействующей всехприложенных к ней сил и обратнопропорционально её массе.

Третий закон Ньютона

Материальные точкипопарно действуют друг на друга с силами,имеющими одинаковую природу, направленнымивдоль прямой, соединяющей эти точки,равными по модулю и противоположнымипо направлению:

  1. Импульс. Закон сохранения импульса. Упругие и неупругие удары.

И́мпульс (Количестводвижения) — векторная физическаявеличина,характеризующая меру механическогодвижения тела. В классической механикеимпульс тела равен произведению массы m этоготела на его скорость v,направление импульса совпадает снаправлением вектора скорости:

.

Зако́н сохране́нияи́мпульса (Зако́нсохране́ния количества движения)утверждает, что векторная сумма импульсов всехтел (или частиц) замкнутойсистемы естьвеличина постоянная.

В классическоймеханике законсохранения импульса обычно выводитсякак следствие законов Ньютона. Из законовНьютона можнопоказать, что при движении в пустомпространстве импульс сохраняется вовремени, а при наличии взаимодействияскорость его изменения определяетсясуммой приложенных сил.

Как и любой изфундаментальных законовсохранения,закон сохранения импульса описываетодну из фундаментальныхсимметрий, — однородностьпространства.

Абсолютно неупругимударом называюттакое ударное взаимодействие, прикотором тела соединяются (слипаются)друг с другом и движутся дальше как однотело.

При абсолютнонеупругом ударе механическая энергияне сохраняется. Она частично или полностьюпереходит во внутреннюю энергию тел(нагревание).

Абсолютно упругимударом называетсястолкновение, при котором сохраняетсямеханическая энергия системы тел.

Во многих случаяхстолкновения атомов, молекул и элементарныхчастиц подчиняются законам абсолютноупругого удара.

При абсолютноупругом ударе наряду с законом сохраненияимпульса выполняется закон сохранениямеханической энергии.

4. Виды механическойэнергии. Работа. Мощность. Закон сохраненияэнергии.

В механике различаютдва вида энергии: кинетическую ипотенциальную. 

Кинетическойэнергией называютмеханическую энергию всякого свободнодвижущегося тела и измеряют ее тойработой, которую могло бы совершитьтело при его торможении до полнойостановки.

Итак, кинетическаяэнергия поступательно движущегося теларавна половине произведения массы этоготела на квадрат егоскорости:                                                         

    Потенциальнаяэнергия –это механическая энергия системы тел,определяемая их взаимным расположениеми характером сил взаимодействия междуними.

      Численнопотенциальная энергия системы в данномее положении равна работе, которуюпроизведут действующие на систему силыпри перемещении системы из этогоположения в то, где потенциальная энергияусловно принимается равной нулю (En =0).

Понятие «потенциальная энергия»имеет место только для консервативныхсистем, т.е. систем, у которых работадействующих сил зависит только отначального и конечного положениясистемы. 

Так, для грузавесом P,поднятого на высоту h,потенциальная энергия будет равна En =Ph (En =0 при h =0); для груза, прикрепленного к пружине, En =kΔl2 /2, где Δl -удлинение (сжатие) пружины, k –ее коэффициент жесткости (En =0 при l =0); для двух частиц с массами m1 и m2,притягивающимися по закону всемирноготяготения, ,где γ –гравитационная постоянная, r –расстояние между частицами (En =0 при r →∞).

Термин «работа»в механике имеет два смысла: работа какпроцесс, при котором сила перемещаеттело, действуя под углом, отличном от90°; работа — физическая величина, равнаяпроизведению силы, перемещения и косинусаугла между направлением действия силыи перемещением:

А = Fs cos a.

Работа равна нулю,когда тело движется по инерции (F = 0),когда нет перемещения (s = 0) или когдаугол между перемещением и силой равен90° (cos а= 0).Единицей работы в СИ служит джоуль (Дж).

1 джоуль — это такаяработа, которая совершается силой 1 Нпри перемещении тела на 1 м по линиидействия силы. Для определения быстротысовершения работы вводят величину»мощность».

Мо́щность — физическаявеличина,равная отношению работы,выполняемой за некоторый промежутоквремени, к этому промежутку времени.

Различают среднююмощность за промежуток времени :

и мгновеннуюмощность в данный момент времени:

Так как работаявляется мерой изменения энергии,мощность можно определить также какскорость изменения энергии системы.

Всистеме СИ единицейизмерения мощности является ватт,равный одному джоулю,делённому на секунду.

Зако́нсохране́ния эне́ргии —фундаментальный закон природы,установленный эмпирически изаключающийся в том, чтодля изолированной физическойсистемыможетбыть введена скалярная физическаявеличина,являющаяся функцией параметровсистемы и называемая энергией,которая сохраняется с течением времени.Поскольку закон сохранения энергииотносится не к конкретным величинам иявлениям, а отражает общую, применимуювезде и всегда, закономерность, то егоможно именовать не законом,а принципом сохраненияэнергии.

Источник: https://studfile.net/preview/4404819/

§ 1.28. Угловая скорость и угловое ускорение

Найти нормальное ускорение точки через время

  • При движении точки по окружности радиус R, очевидно, — постоянная величина. Это позволяет ввести новые величины, наилучшим образом описывающие данное движение: положение характеризовать углом, а вместо обычных скоростей и ускорений ввести угловую скорость и угловое ускорение.

Угловая скорость

Проведем координатную ось X через центр окружности (начало координат), вдоль которой движется точка (рис. 1.86). Тогда положение точки А на окружности в любой момент времени однозначно определяется углом φ между осью X и радиусом-вектором , проведенным из центра окружности к движущейся точке. Углы будем выражать в радианах(1).

Рис. 1.86

При движении точки угол φ изменяется. Обозначим изменение угла за время Δt через Δφ. Для нахождения положения точки в любой момент времени надо знать угол φ0 в начальный момент времени t0 и определить, на сколько изменился угол за время движения (рис. 1.87):

φ = φ0 + Δφ.       (1.28.1)

Рис. 1.87

Пусть точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Тогда за любые равные промежутки времени радиус-вектор поворачивается на одинаковые углы.

Быстрота обращения точки определяется углом поворота радиуса-вектора за данный интервал времени.

Например, если радиус-вектор точки за каждую секунду поворачивается на угол 90° = , а другой точки — на угол 45 = , то мы говорим, что первая точка обращается быстрее второй в два раза.

Если при равномерном обращении за время Δt радиус-вектор повернулся на угол Δφ, то быстрота обращения определится углом поворота в единицу времени. Быстроту обращения характеризуют угловой скоростью.

Угловой скоростью при равномерном движении точки по окружности называется отношение угла Δφ поворота радиуса-вектора к промежутку времени Δt, за который этот поворот произошел.

Обозначим угловую скорость греческой буквой ω (омега). Тогда по определению(2)

В СИ(3) угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с).

Радиан в секунду равен угловой скорости равномерно обращающейся точки, при которой за время 1 с радиус-вектор этой точки поворачивается на угол 1 рад.

Например, угловая скорость точки земной поверхности равна 0,0000727 рад/с, а точильного диска более 100 рад/с.

Угловую скорость можно выразить через частоту обращения, т. е. число оборотов за 1с. Если точка делает п оборотов в секунду, то время одного оборота равно .

Это время называют периодом обращенияи обозначают буквой Т. Таким образом, частота и период обращения связаны следующим соотношением:

T = .       (1.28.3)

Полному обороту точки на окружности соответствует угол Δφ = 2π. Поэтому, согласно формуле (1.28.2),

Частота обращения точек рабочих колес мощных гидротурбин составляет 1—10 с-1, винта вертолета — 4—6 с-1, ротора газовой турбины — 200—300 с-1.

Если при равномерном обращении точки угловая скорость известна, то можно найти изменение угла поворота Δφ за время Δt. Оно равно Δφ = ωΔt. С учетом этого формула (1.28.1) примет вид: φ = φ0 + ωΔt. Приняв начальный момент времени t0 равным нулю, получим, что Δt = t — t0 = t. Тогда угол поворота равен

По этой формуле можно найти положение точки на окружности в любой момент времени.

Угловое ускорение

В случае переменной угловой скорости вводится новая физическая величина, характеризующая быстроту ее изменения, — угловое ускорение:

Угловое ускорение равно производной угловой скорости по времени. Если β = const, то ω(t) = ω0 + β(t — t0), где ω0 — угловая скорость в начальный момент времени t0. При t0 = 0

Эта формула подобна формуле проекции скорости vx = v0x + axt при прямолинейном движении точки. Соответственно угол поворота

Эту формулу можно получить точно таким же способом, как и уравнение координаты при прямолинейном движении х =

Связь между линейной и угловой скоростями

Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью, чтобы подчеркнуть ее отличие от угловой скорости. Между линейной скоростью точки, обращающейся по окружности, и ее угловой скоростью существует связь.

При равномерном движении точки по любой траектории модуль скорости равен отношению пути s ко времени Δt, за которое этот путь пройден. Точка А, движущаяся по окружноcти радиусом R, за время Δt проходит путь, равный длине дуги (рис. 1.88): s = = ΔφR.

Модуль линейной скорости движения

Рис. 1.88

Итак, модуль линейной скорости точки, движущейся по окружности, равен произведению угловой скорости на радиус окружности:

Эта формула справедлива как для равномерного, так и для неравномерного движения точки по окружности.

Из выражения (1.28.9) видно, что чем больше радиус окружности, тем больше линейная скорость точки. Для точек земного экватора v = 463 м/с, а на широте Санкт-Петербурга — 233 м/с. На полюсах Земли v = 0.

Модуль ускорения точки, движущейся равномерно по окружности (центростремительное, или нормальное, ускорение) можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности. Так как а = = и v = ωR, то

Чем больше радиус окружности, тем большее по модулю ускорение имеет точка при заданной угловой скорости. Ускорение любой точки поверхности Земли на экваторе составляет 3,4 см/с2.

Связь линейного ускорения с угловым

С изменением угловой скорости точки меняется и ее линейная скорость. Нормальное ускорение связано согласно формуле (1.28.10) с угловой скоростью и не зависит, следовательно, от углового ускорения. Но тангенциальное ускорение, определяемое формулой (1.27.4), выражается через угловое ускорение:

Мы научились полностью описывать движение точки по окружности. При фиксированном радиусе окружности модуль скорости (линейная скорость) пропорционален угловой скорости, а нормальное ускорение пропорционально ее квадрату. Тангенциальное ускорение пропорционально угловому ускорению.

Упражнение 5

  1. Поезд движется по закруглению радиусом 200 м со скоростью 36 км/ч. Найдите модуль нормального ускорения.
  2. Тело брошено с поверхности Земли под углом 60° к горизонту. Модуль начальной скорости равен 20 м/с.

    Чему равен радиус кривизны траектории в точке максимального подъема?

  3. Определите радиус кривизны траектории снаряда в момент вылета из орудия, если модуль скорости снаряда равен 1 км/с, а скорость составляет угол 60° с горизонтом.
  4. Снаряд вылетает из орудия под углом 45° к горизонту.

    Чему равна дальность полета снаряда, если радиус кривизны траектории в точке максимального подъема равен 15 км?

  5. Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет радиус R.

    При какой наименьшей скорости камень, брошенный с поверхности Земли, может перелететь через резервуар, коснувшись его вершины? Под каким углом к горизонту должен быть при этом брошен камень?

  6. Въезд на один из самых высоких в Японии мостов имеет форму винтовой линии, обвивающей цилиндр радиусом r. Полотно дороги составляет угол α с горизонтальной плоскостью.

    Найдите модуль ускорения автомобиля, движущегося по въезду с постоянной по модулю скоростью v.

  7. Точка начинает двигаться равноускоренно по окружности радиусом 1 м и за 10 с проходит путь 50 м.

    Чему равно нормальное ускорение точки через 5 с после начала движения?

  1. Поезд въезжает на закругленный участок пути с начальной скоростью 54 км/ч и проходит путь 600 м за 30 с. Радиус закругления равен 1 км. Определите модуль скорости и полное ускорение поезда в конце этого пути, считая тангенциальное ускорение постоянным по модулю.

  2. Груз Р начинает опускаться с постоянным ускорением а = 2 м/с2 и приводит в движение ступенчатый шкив радиусами г = 0,25 м и R = 0,50 м (рис. 1.89). Какое ускорение а1, будет иметь точка М через t = 0,50 с после начала движения?

    Рис. 1.89

  3. Маховик приобрел начальную угловую скорость ω = 2π рад/с. Сделав 10 оборотов, он вследствие трения в подшипниках остановился.

    Найдите угловое ускорение маховика, считая его постоянным.

  4. Маховое колесо радиусом R = 1 м начинает движение из состояния покоя равноускоренно. Через t1 = 10 с точка, лежащая на его ободе, приобретает скорость v1 = 100 м/с. Найдите скорость, а также нормальное, касательное и полное ускорения этой точки в момент времени t2 = 15 с.
  5. Шкив радиусом R = 20 см начинает вращаться с угловым ускорением β = 3 рад/с2. Через какое время точка, лежащая на его ободе, будет иметь ускорение а = 75 см/с2?
  6. Точка начинает обращаться по окружности с постоянным ускорением β = 0,04 рад/с2. Через какое время вектор ее ускорения будет составлять с вектором скорости угол а = 45°?

(1) Напомним, что радиан равен центральному углу, опирающемуся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. 1 рад приблизительно равен 57°17'48″. В радианной мере угол равен отношению длины дуги окружности к ее радиусу: .

(2) Когда точка движется неравномерно, то мгновенная угловая скорость определяется как предел отношения Δφ к Δt при условии, что Δt —> 0:

(3) СИ — Международная система единиц. В этой системе за единицу длины принят 1 м, за единицу времени — 1с. Подробнее о СИ будет рассказано в дальнейшем.

Источник: http://tepka.ru/fizika_10/37.html

Скорость и ускорение точки

Найти нормальное ускорение точки через время

Механическим движением называют изменение с течением вре­мени положения в пространстве точек и тел относительно какого-либо основного тела, с которым скреплена система отсчета. Кинема­тика изучает механическое движение точек и тел независимо от сил, вызывающих эти движения. Всякое движение, как и покой, относи­тельно и зависит от выбора системы отсчета.

Траекторией точки называют непрерывную линию, описывае мую движущейся точкой. Если траектория — прямая линия, то движе­ние точки называют прямолинейным, а если — кривая, то — криволиней­ным. Если траектория — плоская, то движение точки называют плоским.

Движение точки или тела, считается заданным или известным, если для каждого момента времени (t) можно указать положение точ­ки или тела относительно выбранной системы координат.

Положение точки в пространстве определяется заданием:

а) траектории точки;

б) начала О1 отсчета расстояния по траектории (Рису­нок 11): s = О1М — криволиней­ная координата точки М;

в) направления положи­ тельного отсчета расстояний s;

г) уравнения или закона движения точки по траектории: S = s(t)

Рис 11.

Скорость точки. Если точ­ка за равные промежутки време­ни проходит равные отрезки пути, то ее движение называют равномерным.

Скорость равно­мерного движения измеряется отношением пути з, пройденно­го точкой за некоторый проме­жуток времени, к величине это­го промежутка времени: v = s/1. Если точка за равные промежут­ки времени проходит неравные пути, то ее движение называют неравномерным.

Скорость в этом случае также переменна и являет­ся функцией времени: v = v(t). Рассмотрим точку А, которая перемещается по заданной тра­ектории по некоторому закону s = s(t) (Рисунок 12):

Рис 12.

За промежуток времени t т. А переместилась в положение А1 по дуге АА. Если промежуток времени Δt мал, то дугу АА1 можно заменить хордой и найти в первом приближении величину средней скорости движения точки vcp = Ds/Dt. Средняя скорость направлена по хорде от т. А к т. А1.

Истинная скорость точки направлена по касательной к траекто­рии, а ее алгебраическая величина определяется первой производной пути по времени:

v = limΔs/Δt = ds/dt

Размерность скорости точки: (v) = длима/время, например, м/с. Если точка движется в сторону увеличения криволинейной координаты s, то ds > 0, и следовательно, v > 0, а в противном случае ds < 0 и v < 0.

Ускорение точки. Изменение скорости в единицу времени опреде­ляется ускорением. Рассмотрим движение точки А по криволинейной траектории за время Δt из положения A в положение A1.

В положении A точка имела скорость v , а в положении A1 — скорость v1 (Рисунок 13). т.е. скорость точки изменилась по величине и направлению.

Геометрическую разность, скоростей Δv найдем, построив из точки A вектор v1.

Рис 13.

Ускорением точки называют вектора «, равный первой производной от вектора скорости точки по времени:

Найденный вектор ускорения а может быть разложен на две взаимно-перпендикулярные составляющие но касательной и нормали к траек­тории движения . Касательное ускорение а1 совпадает по на­правлению со скоростью при ускоренном движении или противополож­но ей при замененном движении. Оно характеризует изменение величи-ны скорости и равно производной от величины скорости по времени

Вектор нормального ускорения а направлен по нормали (пер­пендикуляру ) к кривой в сторону вогнутости траектории, а модуль его равен отношению квадрата величины скорости точки к радиусу кри­визны траектории в рассматриваемой точке.

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по
направлению.

Величина полного ускорения: , м/с2

Виды движения точки в зависимости от ускорения.

Равномерное прямолинейное движение (движение по инерции) характеризуется тем, что скорость движения постоянна, а радиус кри­визны траектории равен бесконечности.

То есть, r = ¥, v = const, тогда ; и поэтому . Итак, при движении точки по инерции ее ускорение равно нулю.

Прямолинейное неравномерное движение. Радиус кривизны траектории r = ¥, аn = 0, поэтому и а = аt и а = аt = dv/dt.

Криволинейное равномерное движение. Поскольку v = const, то аt = dv/dt = 0; = v2/p

Движение точки, при котором величина касательного ускорения постоянна (аt = соnst) называют равнопеременным. Величину ускоре­ния можно также определить через значение скорости в начале и в конце произвольного промежутка времени t: at = (v – v0)/t, откуда v = v0 + at·t. Путь, пройденный точкой при равнопеременном движении, определится по уравнению:

Примером равномерно-ускоренного движения может служить свободное падение тела, при этом ускорение свободного падения тел вблизи поверхности Земли составляет в среднем g = 9,81 м/с2.

Предыдущая12345678910111213141516Следующая

Дата добавления: 2015-08-08; просмотров: 3540; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/4-65709.html

Угловое ускорение

Найти нормальное ускорение точки через время

Система понятий кинематики включает в себя также такую величину как угловое ускорение тела. Дадим ей определение, рассмотрим основные аспекты с использованием примеров.

Основные понятия

Определение 1

Угловое ускорение – величина, характеризующая изменение скорости с течением времени.

Пусть рассматриваемый промежуток времени это: Δt=t1-t, а изменение угловой скорости составит Δω=ω1-ω, тогда числовое значение среднего углового ускорения за тот же интервал времени: ε=∆ω∆t=ε. Перейдем к пределу, когда Δt>0, тогда формула углового ускорения будет иметь вид: ε=lim∆t→0∆ω∆t=dωdt=d2φdt=ω˙=φ¨.

Определение 2

Числовое значение ускорения в заданный момент времени есть первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени.

Размерность углового ускорения 1T2 (т.е. 1время2). Укажем также, в чем измеряется угловое ускорение: за единицу измерения стандартно принимается рад/с2 или иначе: 1с2(с-2).

Определение 3

Ускоренное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) возрастает с течением времени.

Определение 4

Замедленное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) убывает с течением времени.

В общем, довольно просто заметить, что, если ω и ε имеют одинаковые знаки, наблюдается ускоренное вращение, а, когда противоположные знаки – замедленное.

Рисунок 1. Вектор углового ускорения

Если мы представим угловое ускорение как вектор ε→=dω→dt, имеющий направление вдоль оси вращения, то в случае ускоренного вращения ε→ и ω→ совпадут по направлениям (левая часть
рисунка 1) и будут противоположны по направлениям в случае замедленного вращения (правая часть
рисунка 1).

Закон равнопеременного вращения

Определение 5

Равнопеременное вращение – вращение, при котором угловое ускорение во все время движения является постоянным (ε=const).

Выведем формульно закон равнопеременного вращения. Пусть в начальный момент времени t0 угол вращения равен ϕ=ϕ0; угловая скорость — ω=ω0 (т.е. ω0 является начальной угловой скоростью).

Выражение ε=dωdt=ω˙=φ¨ дает нам возможность сделать запись: dω=εdt. Проинтегрируем левую часть крайней записи в пределах от ω0 до ω, а правую – в пределах от 0 до t, тогда:

ω=ω0+εt, dφ=ω0dt+εtdt.

Проинтегрируем вторично и получим формулу, выражающую закон равнопеременного вращения:

Определение 6

Закон равнопеременного вращения: φ=φ0+ωt+εt22.

Вращение является равноускоренным, когда ω и ε имеют одинаковые знаки.

Вращение является равнозамедленным, когда ω и ε противоположны по знаку.

Угловое ускорение имеет связь с полным и тангенциальным ускорениями. Пусть некоторая точка вращается неравномерно по окружности с радиусом R, тогда: αr=εR. Нормальное ускорение имеет также связь с угловым: an=ω2R. Учтем это выражение и для полного ускорения получим: a=ar2+an2=Rε2+ω4 Для равнопеременного движения: ω=εt; an=ω2R=ε2t2R и a=Rε2+ε4t4=Rε1+ε2t4.

Практические примеры

Пример 1

На рисунке 2 заданы различные типы вращения гироскопа (волчка). С учетом соответствующих подписей необходимо указать, какой рисунок верно демонстрирует направление углового ускорения.

Рисунок 2

Решение

Правило буравчика (правого винта) связывает направление вращения и псевдовектор угловой скорости. Рисунки 2.1. и 2.3. показывают направление псевдовектора вверх, а рисунки 2.2. и 2.4. – вниз.

Когда угловая скорость возрастает, ее приращение и вектор ускорения совпадут с вектором угловой скорости (рисунки 2.1. и 2.4.). Когда угловая скорость будет уменьшаться, ее приращение и вектор ускорения окажутся противоположно направлены вектору угловой скорости (рисунки 2.2. и 2.3.). Таким образом, все рисунки демонстрируют верное направление углового ускорения.

Пример 2

Пусть задана некоторая материальная точка, совершающая движение по окружности с радиусом R. При этом выражение ϕ=αt3 отражает зависимость угла поворота от времени. Необходимо найти полное ускорение заданной точки как функцию времени.

Решение

Запишем выражения для угловой скорости и углового ускорения заданной точки:

ω=dφdt=3αt2; ε=6αt.

Полное ускорение запишем как:

a=ar2+an2=Rε2+ω4=R36a2t2+81a4t8=3atR4+9a2t6.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/kinematika/uglovoe-uskorenie/

Biz-books
Добавить комментарий