Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в момент

Содержание
  1. Ускорение – среднее, мгновенное, тангенциальное, нормальное, полное
  2. Среднее ускорение
  3. Мгновенное ускорение
  4. Тангенциальное ускорение
  5. Нормальное ускорение
  6. Полное ускорение
  7. Примеры решения задач. Определить тангенциальное, нормальное и полное ускорение точки окружности диска для момента времени 10 с от начала движения
  8. Кинематика материальной точки
  9. Радиус-вектор и траектория точки
  10. Скорость материальной точки
  11. Касательная к траектории
  12. Ускорение материальной точки
  13. Тангенциальное (касательное) и нормальное ускорения
  14. Тангенциальное (касательное) ускорение
  15. Радиус кривизны траектории
  16. Основы механики для чайников. Часть 1: Кинематика
  17. Траектория, радиус-вектор, закон движения тела
  18. Перемещение и путь
  19. Скорость и ускорение
  20. Закон равноускоренного движения
  21. Пример решения задачи
  22. Скорость и ускорение материальной точки. Нормальное и тангенциальное ускорения, их величина и направление

Ускорение – среднее, мгновенное, тангенциальное, нормальное, полное

Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в момент

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости.

К примеру, автомобиль, который трогается с места, движется ускоренно, так как наращивает скорость движения. В точке начала движения скорость автомобиля равняется нулю. Начав движение, автомобиль разгоняется до некоторой скорости.

При необходимости затормозить, автомобиль не сможет остановиться мгновенно, а за какое-то время. То есть скорость автомобиля будет стремиться к нулю – автомобиль начнет двигаться замедленно до тех пор, пока не остановится полностью. Но физика не имеет термина «замедление».

Если тело двигается, уменьшая скорость, этот процесс тоже называется ускорением, но со знаком «-».

Среднее ускорение

Средним ускорением называется отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Вычисляют среднее ускорение при помощи формулы:

,

где  — это вектор ускорения. Направление вектора ускорения такое же, как у направления изменения скорости Δ =  — 0

где 0 является начальной скоростью. В момент времени t1 (см. рис. ниже) у тела 0. В момент времени t2 тело имеет скорость . Исходя из правила вычитания векторов, определим вектор изменения скорости Δ =  — 0. Отсюда вычисляем ускорение:

.

В системе СИ единицей ускорения называется 1 метр в секунду за секунду (либо метр на секунду в квадрате):

.

Метр на секунду в квадрате – это ускорение прямолинейно движущейся точки, при котором за 1 с скорость этой точки растет на 1 м/с. Другими словами, ускорение определяет степень изменения скорости тела за 1 с. К примеру, если ускорение составляет 5 м/с2, значит, скорость тела ежесекундно растет на 5 м/с.

Мгновенное ускорение

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, которая равна пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к 0. Другими словами – это ускорение, развиваемое телом за очень маленький отрезок времени:

.

Ускорение имеет такое же направление, как и изменение скорости Δ в крайне маленьких промежутках времени, за которые скорость изменяется. Вектор ускорения можно задать при помощи проекций на соответствующие оси координат в заданной системе отсчета (проекциями аХ, aY, aZ).

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела увеличивается по модулю, т.е. v2 > v1, а вектор ускорения имеет такое же направление, как и у вектора скорости 2.

Если скорость тела по модулю уменьшается (v2 < v1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2. Другими словами, в таком случае наблюдаем замедление движения (ускорение отрицательно, а < 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Если происходит движение по криволинейной траектории, то изменяется модуль и направление скорости. Значит, вектор ускорения изображают в виде 2х составляющих.

Тангенциальное ускорение

Тангенциальным (касательным) ускорением называют ту составляющую вектора ускорения, которая направлена по касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение описывает степень изменения скорости по модулю при совершении криволинейного движения.

 

У вектора тангенциального ускорения τ (см. рис. выше) направление такое же, как и у линейной скорости либо противоположно ему. Т.е. вектор тангенциального ускорения находится в одной оси с касательной окружности, являющейся траекторией движения тела.

Нормальное ускорение

Нормальным ускорением является та часть вектора ускорения, которая направлена по нормали к траектории движения в заданной точке на траектории движения тела. Т.е.

вектор нормального ускорения расположен перпендикулярно к линейной скорости движения (см. рис. выше). Нормальное ускорение описывает степень изменения скорости по направлению и обозначается как n.

Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение

Полное ускорение при криволинейном движении составляется из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и вычисляется при помощи формулы:

(по теореме Пифагора для прямоугольного прямоугольника). При помощи правила сложения векторов вычисляем и направление полного ускорения:

 = τ + n.

Источник: https://www.calc.ru/Uskoreniye-Sredneye-Mgnovennoye-Tangentsialnoye-Normalnoye-P.html

Примеры решения задач. Определить тангенциальное, нормальное и полное ускорение точки окружности диска для момента времени 10 с от начала движения

Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в момент

Задача 3.

Определить тангенциальное, нормальное и полное ускорение точки окружности диска для момента времени 10 с от начала движения, если радиус окружности 0.2 м, а угол между осью ОХ и радиус-вектором точки изменяется по закону: j=3–t+0.2t3.

Решение

По формулам и находим угловую скорость и угловое ускорение точки: ω= –1+0.2.3t2 , ε=0.6.2t. Из формулы связи углового и линейного тангенциального ускорения найдем: aτ=R. ε=R.(0.6.2t)=1.2Rt=1.2.0.2.10=24 м/с2.

Нормальное ускорение найдем из формулы , где скорость v=R.ω=R.(–1+0.2.3t2)=R.(0.6t2–1). Подставим численные значения: v=0.2.(0.6.102–1)=11.8 м/с;

Теперь находим полное ускорение: .

Ответ: aτ=24 м/с2; аn=696 м/с2; а=697 м/с2.

31. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны 50 м. Длина пути автомобиля выражается уравнением S=10+10t+0.5t2 (путь – в метрах, время – в секундах). Найти скорость автомобиля, его тангенциальное, нормальное и полное ускорения через 5 с после начала движения.

32. Материальная точка движется по окружности радиуса 80 см по закону S=10t–0.1t3 (путь в метрах, время в секундах). Найти скорость, тангенциальное, нормальное и полное ускорения через 2 с после начала движения.

33. По дуге окружности радиуса 10 м движется точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки равно 5 м/с2, а вектор полного ускорения образует в этот момент с вектором нормального ускорения угол 600. Найти скорость и тангенциальное ускорение точки.

34. Зависимость пройденного телом пути от времени дается уравнением S=A+Bt+Ct2+Dt3, где С=0.14 м/с2, D=0.01 м/с3. Через сколько времени после начала движения ускорение тела будет равно 1 м/с2? Чему равно среднее ускорение тела за этот промежуток времени?

35. Тело брошено со скоростью 14.7 м/с под углом 300 к горизонту. Найти нормальное и тангенциальное ускорение тела через 1.25 с после начала движения.

36. Тело брошено горизонтально со скоростью 15 м/с. Найти нормальное и касательное ускорение через 1 с после начала движения.

37. Тело брошено со скоростью 10 м/с под углом 450 к горизонту. Найти радиус кривизны траектории тела через 1 с после начала движения.

38. Тело брошено со скоростью v0 под углом a к горизонту. Найти величины v0 и a, если наибольшая высота подъема тела 3 м и радиус кривизны траектории тела в верхней точке траектории 3 м.

39. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.

40. Маховое колесо спустя 1 минуту после начала вращения приобретает скорость, соответствующую частоте 720 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов колеса за эту минуту. Вращение считать равноускоренным.

41. Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей частоте 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения вентилятора до его остановки?

42. Точка движется по окружности радиусом 10 см с постоянным тангенциальным ускорением. Найти тангенциальное ускорение точки, если к концу пятого оборота после начала движения скорость точки стала 79.2 см/с.

43. Точка движется по окружности с постоянным тангенциальным ускорением. Найти нормальное ускорение точки через 20 с после начала движения, если к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки равна 10 см/с.

44. Колесо радиусом 10 см вращается с постоянным угловым ускорением 3.14 рад/с2. Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения угловую скорость; линейную скорость; тангенциальное ускорение; нормальное ускорение; полное ускорение.

45. Точка движется по окружности радиусом 2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением S=0.1t3 (путь – в метрах, время – в секундах). Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в момент, когда линейная скорость точки равна 0.3 м/с.

46. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением 2 рад/с2. Через 0.5 с после начала движения полное ускорение колеса стало равно 13.6 см/с2. Найти радиус колеса.

47. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением j=A+Bt+Ct2+Dt3, где B=1 рад/с, С=1 рад/с2, D=1 рад/с3. Найти радиус колеса, если известно, что к концу второй секунды движения нормальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса, равно 3.46 м/с2.

48. Маховое колесо, вращающееся с частотой 240 об/мин, останавливается в течение 30 с. Найти число оборотов, сделанных колесом до полной остановки.

49. На цилиндр, который может вращаться около горизонтальной оси, намотана нить, к концу которой привязан грузик. Двигаясь равноускоренно, грузик за 3 с опустился на 1.5 м. Определить угловое ускорение цилиндра, если его радиус равен 4 см.

50. Тело вращалось равноускоренно с начальной частотой 40 об/мин. После того, как совершилось 20 оборотов телом, частота увеличилась до 120 об/мин. Найти угловое ускорение и время, в течение которого изменялась частота.

51. Шкив радиусом 20 см приводится во вращение грузом, подвешенным на нити, постепенно сматывающейся со шкива. В начальный момент груз был неподвижен, а затем стал опускаться с ускорением 20 см/с2. Определить угловую скорость шкива в тот момент, когда груз пройдет путь 1 м.

52. Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило свою частоту за 1 минуту от 300 об/мин до 180 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных им за это время. Через какое время колесо остановится?

53. Вал вращается со скоростью, соответствующей частоте 180 об/мин. С некоторого момента вал тормозится и вращается равнозамедленно с угловым ускорением, численно равным 3 рад/с2. Через сколько времени вал остановится? Сколько оборотов он сделает до остановки?

54. Точка движется по окружности радиусом 20 см с постоянным тангенциальным ускорением 5 см/с2. Через сколько времени после начала движения нормальное ускорение точки будет равно тангенциальному?

55. Найти угловое ускорение колеса, если известно, что через 2 с после начала равноускоренного движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол 600 с направлением линейной скорости этой точки.

56. Колесо радиусом 0.1 м вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением j=A+Bt2+Ct3, где B=2 рад/с2, С=1 рад/с3. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через 2 с после начала движения: угловую скорость; линейную скорость; угловое ускорение; тангенциальное ускорение; нормальное ускорение; полное ускорение.

57. Колесо радиусом 5 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением j=A+Bt+Ct2+Dt3, где D=1 рад/с3. Найти для точек, лежащих на ободе колеса, изменение тангенциального ускорения за каждую секунду движения.

58. Колесо радиусом 30 см вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, от времени движения дается уравнением: v=3t+t2 (скорость – в м/с, время – в секундах). Найти угол, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса в момент времени 5 с после начала движения.

59. Поезд въезжает на закругленный участок пути с начальной скоростью 54 км/ч и проходит равноускоренно путь 600 м за время 30 с. Радиус закругления 1 км. Найти скорость и полное ускорение поезда в конце этого участка пути.

60. Камень брошен горизонтально со скоростью 10 м/с. Найти нормальное и тангенциальное ускорение камня и радиус кривизны траектории через 3 с после начала движения.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/9_85397_primeri-resheniya-zadach.html

Кинематика материальной точки

Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в момент

Даны основные формулы кинематики материальной точки, их вывод и изложение теории.

Приведем основные формулы кинематики материальной точки. После чего дадим их вывод и изложение теории.

Радиус-вектор материальной точки M в прямоугольной системе координат Oxyz:
,
где – единичные векторы (орты) в направлении осей x, y, z.

Скорость точки:
;
;
; Единичный вектор в направлении касательной к траектории точки:

.

Вектор можно выбрать двумя способами во взаимно противоположных направлениях. Обычно его выбирают в направлении увеличения дуговой координаты. Тогда, наряду с модулем скорости , вводят алгебраическую величину скорости . При , вектор скорости сонаправлен с . При – имеет противоположное с направление.

Ускорение точки:
;
;
;
;     ;

Тангенциальное (касательное) ускорение:
;
;
.
Здесь, как и для скорости, – это алгебраическое касательное ускорение, . Если , то вектор касательного ускорения сонаправлен с . При – имеет противоположное с направление.

Нормальное ускорение:
;
;
.

Единичный вектор, направленный к центру кривизны траектории точки (вдоль главной нормали):
.

Радиус кривизны траектории:
.

Далее приводится вывод этих формул и изложение теории кинематики материальной точки.

Радиус-вектор и траектория точки

Рассмотрим движение материальной точки M. Выберем неподвижную прямоугольную систему координат Oxyz с центром в некоторой неподвижной точке O. Тогда положение точки M однозначно определяются ее координатами (x, y, z). Эти координаты являются компонентами радиус-вектора материальной точки.

Радиус-вектор точки M – это вектор , проведенный из начала неподвижной системы координат O в точку M.
,
где – единичные векторы в направлении осей x, y, z.

При движении точки, координаты изменяются со временем . То есть они являются функциями от времени . Тогда систему уравнений
(1)  
можно рассматривать как уравнение кривой, заданной параметрическими уравнениями. Такая кривая является траекторией точки.

Траектория материальной точки – это линия, вдоль которой происходит движение точки.

Если движение точки происходит в плоскости, то можно выбрать оси и системы координат так, чтобы они лежали в этой плоскости.

Тогда траектория определяется двумя уравнениями

В некоторых случаях, из этих уравнений можно исключить время .

Тогда уравнение траектории будет иметь зависимость вида:
,
где – некоторая функция. Эта зависимость содержит только переменные и . Она не содержит параметр .

Скорость материальной точки

Скорость материальной точки – это производная ее радиус-вектора по времени.

Согласно определению скорости и определению производной:
Производные по времени, в механике, обозначают точкой над символом. Подставим сюда выражение для радиус-вектора:

,

где мы явно обозначили зависимость координат от времени. Получаем:
, где

,

,
– проекции скорости на оси координат. Они получаются дифференцированием по времени компонент радиус-вектора

.

Таким образом
. Модуль скорости:

.

Касательная к траектории

С математической точки зрения, систему уравнений (1) можно рассматривать как уравнение линии (кривой), заданной параметрическими уравнениями. Время , при таком рассмотрении, играет роль параметра.

Из курса математического анализа известно, что направляющий вектор для касательной к этой кривой имеет компоненты:
.
Но это есть компоненты вектора скорости точки.

То есть скорость материальной точки направлена по касательной к траектории.

Касательная к траектории точки

Все это можно продемонстрировать непосредственно. Пусть в момент времени точка находится в положении с радиус-вектором (см. рисунок). А в момент времени – в положении с радиус-вектором . Через точки и проведем прямую . По определению, касательная – это такая прямая , к которой стремится прямая при . Введем обозначения:

;

;
.
Тогда вектор направлен вдоль прямой .

При стремлении , прямая стремится к касательной , а вектор – к скорости точки в момент времени :
.
Поскольку вектор направлен вдоль прямой , а прямая при , то вектор скорости направлен вдоль касательной .
То есть вектор скорости материальной точки направлен вдоль касательной к траектории.

Введем направляющий вектор касательной единичной длины:
. Покажем, что длина этого вектора равна единице. Действительно, поскольку

, то:

.

Здесь мы направили вектор по направлению к вектору скорости, поскольку это более удобно. Но могут возникнуть случаи, когда точка останавливается и движется по той же траектории в обратном направлении.

Чтобы не вводить для одной и той же точки траектории два единичных касательных вектора, нужно охватить случай, когда направлен противоположно скорости. Для этого вводят алгебраическую величину скорости:
.
Если направления векторов и совпадают, то . Если они противоположны, то .

– это проекция скорости на направление единичного вектора . Она равна скалярному произведению этих векторов:
.

Абсолютную величину (модуль) вектора скорости мы обозначаем символом с прямыми скобками, или символом без стрелки:
; Алгебраическая величина скорости:

.

Тогда вектор скорости точки можно представить в следующем виде:
.

Ускорение материальной точки

Ускорение материальной точки – это производная ее скорости по времени.

Аналогично предыдущему, получаем компоненты ускорения (проекции ускорения на оси координат):
;
;
;
. Модуль ускорения:

.

Тангенциальное (касательное) и нормальное ускорения

Теперь рассмотрим вопрос о направлении вектора ускорения по отношению к траектории. Для этого применим формулу:
. Дифференцируем ее по времени, применяя правило дифференцирования произведения:

.

Вектор направлен по касательной к траектории. В какую сторону направлена его производная по времени ?

Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся тем, что длина вектора постоянна и равна единице. Тогда квадрат его длины тоже равен единице:
. Здесь и далее, два вектора в круглых скобках обозначают их скалярное произведение. Продифференцируем последнее уравнение по времени:

;

;
.
Поскольку скалярное произведение векторов и равно нулю, то эти векторы перпендикулярны друг другу. Так как вектор направлен по касательной к траектории, то вектор перпендикулярен к касательной.

Первую компоненту называют тангенциальным или касательным ускорением:
. Вторую компоненту называют нормальным ускорением:

.

Тогда полное ускорение:

(2)   .

Эта формула представляет собой разложение ускорения на две взаимно перпендикулярные компоненты – касательную к траектории и перпендикулярную к ней.

Поскольку , то
(3)   .

Тангенциальное (касательное) ускорение

Также как и для скорости, введем алгебраическую величину вектора касательного ускорения :
.
Если , то вектор касательного ускорения сонаправлен с . Если , то эти векторы противоположны. Абсолютную величину касательного ускорения будем обозначать прямыми скобками: . Тогда
.

Умножим обе части уравнения (2) скалярно на :
.
Поскольку , то . Тогда
;
.
Здесь мы положили: .
Отсюда видно, что алгебраическая величина тангенциального ускорения равна проекции полного ускорения на направление касательной к траектории. Она также равна производной по времени алгебраической величины скорости точки: .

Подставив , имеем:
.
Здесь мы учли, что .

Найдем производную по времени модуля скорости . Применяем правила дифференцирования:

;
.

Итак,
.
Отсюда следует, что если между векторами ускорения и скорости острый угол: , то движение ускоренное. Абсолютное значение скорости возрастает. Если между ними тупой угол: , то движение замедленное. Абсолютное значение скорости убывает.

Выразим ускорение через тангенциальное и нормальное: , и учтем, что . Получим:
.
Тогда предыдущую формулировку можно выразить посредством тангенциального ускорения. Если векторы касательного ускорения и скорости направлены в одну сторону, то движение ускоренное. Если их направления противоположны, то движение замедленное.

Радиус кривизны траектории

Теперь исследуем вектор .

Радиус кривизны траектории

Рассмотрим вектор в два момента времени – в момент времени t и в момент t1. Введем обозначения: . По определению производной:
.
Пусть в момент времени t, точка находится в положении M, а в момент t1 – в положении M1 (см. рисунок).

Рассмотрим случай, когда алгебраическая скорость положительна: . То есть направления векторов и совпадают. Тогда точка M1 находится справа от M. Через точки и проведем плоскости, перпендикулярные векторам и . Пересечение этих плоскостей образует прямую. Она проходит через точку C перпендикулярно плоскости рисунка. MC – это перпендикуляр, опущенный из точки M на эту прямую.

При , точка стремится к точке , а длина отрезка CM стремится к радиусу кривизны траектории ρ. Поскольку и , то угол между отрезками и равен углу между векторами и . Отложим их для наглядности из одного центра.

Абсолютное значение производной:
.
Здесь мы учли, что .

Вектор , как указывалось выше, перпендикулярен . В данном случае он направлен вдоль единичного вектора главной нормали , направленной к центру кривизны C траектории. Поэтому при имеем:
.

Теперь рассмотрим случай, когда алгебраическое значение скорости отрицательно: . В этом случае, вектор скорости противоположен . Получается тот же рисунок, только точка располагается слева от M. В результате абсолютное значение производной остается прежней:
. Но ее направление меняется на противоположное:

.

Поскольку , то формула сохраняет прежний вид и в этом случае:
.

Основы механики для чайников. Часть 1: Кинематика

Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в момент

В прошлой статье мы немножко разобрались с тем, что такое механика  и зачем она нужна. Мы уже знаем, что такое система отсчета,  относительность движения и материальная точка. Что ж, пора двигаться дальше!  Здесь мы рассмотрим основные понятия кинематики, соберем вместе самые полезные формулы по основам кинематики  и приведем практический пример решения задачи.

Присоединяйтесь к нам в телеграм и получайте ежедневную рассылку с полезной информацией по актуальным студенческим вопросам.

Траектория, радиус-вектор, закон движения тела

Кинематикой занимался еще Аристотель. Правда, тогда это не называлось кинематикой. Затем очень большой вклад  в развитие механики, и кинематики в частности, внес Галилео Галилей, изучавший свободное падение и инерцию тел.

Итак, кинематика решает вопрос: как тело движется. Причины, по которым оно пришло в движение, ее не интересуют. Кинематике не важно, сама поехала машина, или ее толкнул гигантский динозавр. Абсолютно все равно.

Сейчас мы будем рассматривать самую простую кинематику – кинематику точки. Представим, что тело (материальная точка) движется. Не важно, что это за тело, все равно мы рассматриваем его, как материальную точку. Может быть, это НЛО в небе, а может быть, бумажный самолетик, который мы запустили из окна.

А еще лучше, пусть это будет новая машина, на которой мы едем в путешествие. Перемещаясь из точки А в точку Б, наша точка описывает воображаемую линию, которая называется траекторией движения.

Другое определение траектории – годограф радиус вектора, то есть линия, которую описывает конец радиус-вектора материальной точки при движении.

Радиус-вектор – вектор, задающий положение точки в пространстве.

Для того, чтобы узнать положение тела в пространстве в любой момент времени, нужно знать закон движения тела – зависимость координат  (или радиус-вектора точки) от времени.

Перемещение и путь

Тело переместилось из точки А в точку Б. При этом перемещение тела – отрезок, соединяющий данные точки напрямую – векторная величина. Путь, пройденный телом – длина его траектории. Очевидно, перемещение и путь не стоит путать. Модуль вектора перемещения и длина пути совпадают лишь в случае прямолинейного движения.

 

В системе СИ перемещение и длина пути измеряются в метрах.

Перемещение равно разнице радиус-векторов в начальный и конечный моменты времени. Другими словами, это приращение радиус вектора.

Скорость и ускорение

Средняя скорость – векторная физическая величина, равная отношению вектора перемещения к промежутку времени, за которое оно произошло

А теперь представим, что промежуток времени уменьшается, уменьшается, и становится совсем коротким, стремится к нулю. В таком случае о средней скорости говорить на приходится, скорость становится мгновенной. Те, кто помнит основы математического анализа, тут же поймут, что в дальнейшем нам не обойтись без производной.

Мгновенная скорость – векторная физическая величина, равная производной  от радиус вектора по времени. Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.

В системе СИ скорость измеряется в метрах в секунду

Если тело движется не равномерно и прямолинейно, то у него есть не только скорость, но и ускорение.

Ускорение (или мгновенное ускорение) – векторная физическая величина, вторая производная от радиус-вектора по времени, и, соответственно, первая производная от мгновенной скорости

Ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела. В случае прямолинейного движения, направления векторов скорости и ускорения совпадают. В случае же криволинейного движения, вектор ускорения можно разложить на две составляющие: ускорение тангенциальное, и ускорение нормальное.

Тангенциальное ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела по модулю и направлено по касательной к траектории

Нормальное же ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Векторы нормального и тангенциального ускорения взаимно перпендикулярны, а вектор нормального ускорения направлен к центру окружности, по которой движется точка.

Здесь R – радиус окружности, по которой движется тело.

 

Закон равноускоренного движения

Рассмотрим далее закон равноускоренного движения, то есть движения с постоянным ускорением. Будем рассматривать простейший случай, когда тело движется вдоль оси x.

Здесь  — x нулевое- начальная координата. v нулевое — начальная скорость. Продифференцируем по времени, и получим скорость

Производная по скорости от времени даст значение ускорения a, которое является константой.

Пример решения задачи

Теперь, когда мы рассмотрели физические основы кинематики, пора закрепить знания на практике и решить какую-нибудь задачу. Причем, чем быстрее, тем лучше.

Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Решим такую задачу: точка движется по окружности радиусом 4 метра. Закон ее движения выражается уравнением S=A+Bt2. А=8м, В=-2м/с2. В какой момент времени нормальное ускорение точки равно 9 м/с2? Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение точки для этого момента времени.

Решение: мы знаем, что для того, чтобы найти скорость нужно взять первую производную по времени от закона движения, а нормальное ускорение равняется частному квадрата скорости и радиуса окружности, по которой точка движется. Вооружившись этими знаниями, найдем искомые величины.

Нужна помощь в решении задач? Профессиональный студенческий сервис готов оказать ее.

Источник: https://Zaochnik-com.ru/blog/osnovy-mehaniki-dlya-chajnikov-chast-1-kinematika/

Скорость и ускорение материальной точки. Нормальное и тангенциальное ускорения, их величина и направление

Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в момент

Механика

Скорость и ускорение материальной точки. Нормальное и тангенциальное ускорения, их величина и направление.

При прямолинейном движении с постоянной скоростью, скорость определяется как

.

Если скорость меняет величину или направление, ее можно считать постоянной только на малом промежутке времени . Поэтому в каждой точке траектории скорость определяется как отношение пути , пройденного за малое время , к этому временному интервалу (т.е. как производная от пути по времени ),

. (1)

Соответственно путь , пройденный за время , равен интегралу от скорости по времени

. (2)

Скорость — вектор, направленный по касательной к траекториидвижения.

Расстояние и величина перемещения , пройденные за малое время, совпадают, = . При вектор , секущий траекторию, становится касательным к ней вектором , т.е. направлен по скорости . Поэтому в векторном виде скорость записывают как

. (3)

Средней скоростью движения за время называется величина

. (4)

Движение материальной точки также описывают с помощью ее координат . В этом случае, чтобы определить скорость , сначала вычисляют проекции скорости на оси x,y,z , которые равны производным от соответствующих координат по времени

, , . (5)

Тогда величина скорости

. (6)

Ускорение точки.

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости

, (7)

— изменение вектора скорости за малый промежуток времени .

Ускорение можно разложить на тангенциальное (его еще называют касательным) ускорение и нормальное (центростремительное) ускорение ,

. (8)

Тангенциальное ускорение возникает, если скорость меняет величину, оно равно производной от скорости по времени ,

. (9)

При движении с постоянной по величине скоростью .

Нормальное ускорение

, (10)

— радиус кривизны траектории в данной ее точке. Радиус кривизны равен радиусу окружности, дуга которой совпадает с участком траектории.

Для траектории, представляющей собой прямую линию, и . Т.е. нормальное ускорение возникает только при искривлении траектории движения, когда вектор скорости меняет свое направление.

Если траектория точки – окружность, то радиус кривизны равен радиусу окружности, , и .

Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории; направление совпадает с направлением вектора скорости при ускоренном движении и противоположно ему при замедленном. Нормальное ускорение перпендикулярно и направлено в сторону вогнутости траектории (рис.2). Т.к. векторы и перпендикулярны, то величина полного ускорения

. (11)

При координатном способе задания движения, чтобы определить ускорение, сначала вычисляют его проекции на оси x,y,z

, , . (12)

Величина ускорения в этом случае

. (13)

Вращательное движение, угловая скорость, угловое ускорение (их величина и направление). Связь линейных и угловых характеристик.

Вращательным называется движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой – оси вращения.

а) Угловая скорость .

Быстрота вращения характеризуется угловой скоростью «омега», которая равна производной от угла поворота тела по времени

, (16)

Частота оборотов равна числу оборотов, сделанных за единицу времени,

, (17)

— число оборотов за время . Т.к. за один оборот тело поворачивается на угол, равный 2 , то и

. (18)

Период вращения — это время, за которое тело совершает один оборот. Т.к.

,

то , . (19)

рад/с , об/с , с .

б) Угловое ускорение .

Угловое ускорение «эпсилон» равно производной от угловой скорости по времени ,

, (20)

— изменение угловой скорости за время . .

Векторы и направлены по оси вращения тела; вектор угловой скорости направлен в сторону хода правого винта при вращении винта в направлении вращения тела (рис.3). При ускоренном вращении тела направления векторов и совпадают, при замедленном – противоположны.

Связь линейных и угловых характеристик.

Если точка тела отстоит от оси вращения на расстоянии , то за время она проходит путь

.

Скорость точки , или

. (21)

При вращении тела тангенциальное ускорение его точки

. (22)

Нормальное ускорение точки тела , или

. (23)

Полное ускорение, как указывалось ранее, определяют по формуле

Гравитационная сила.

Две точечные массы и , расположенные на расстоянии друг от друга, притягиваются с силой

, (27)

=6,67·10-11 м3/(кг·с2) – гравитационная постоянная.

2. Сила тяжести.

Силой тяжести тела массой называется сила притяжения его к Земле

, (28)

– ускорение свободного падения.

Вследствие суточного вращения Земли и несферичности ее формы величина различается от 9,78 м/с2 на экваторе до 9,83 м/с2 на полюсах. В среднем на поверхности Земли

=9,8 м/с2 ,

и — масса и радиус Земли.

На высоте над поверхностью Земли

. (29)

Вес тела.

Вес представляет собой силу, с которой тело действует на горизонтальную опору или на подвес.

По величине вес и сила тяжести совпадают только в том случае, если опора неподвижна. Например, вес тела, находящегося в движущемся вверх с ускорением лифте, превышает его силу тяжести.

Сила трения.

При скольжении тела действующая на него сила трения

, (30)

— коэффициент трения, — сила реакции опоры (рис. 4 ).

Сила упругости.

Сила упругости, действующая на тело со стороны деформированной (сжатой или растянутой) пружины, равна по величине

, (31)

— коэффициент упругости (жесткость) пружины, — величина деформации пружины.

Работа силы.

Работа , выполняемая силой при малом перемещении тела, определяется следующим образом

, (52)

или

,

— угол между направлениями силы и перемещения. Если сила перпендикулярна перемещению , т.е. , то работа силой не совершается, т.к. .

Полная работа на пути

. (53)

Если тело движется прямолинейно и действующая на тело сила постоянна, то есть и не меняются, то работа силы на пути равна

. (54)

Единица измерения работы Дж (Джоуль).

  • Работу силы тяжести можно подсчитать по упрощенной формуле

, (55)

— величина перемещения тела вдоль действия силы тяжести, « » выбирается при движении тела вниз, «-» — при движении тела вверх.

· Работа силы упругости равна

, (56)

— коэффициент упругости пружины, и — ее начальная и конечная деформации.

Силы, работа которых не зависит от траектории движения тела, а определяется его начальным и конечным положением, называются консервативными.В механике к таким силам относятся сила тяжести и сила упругости .

Мощность представляет собой работу, произведенную в единицу времени, т.е.

, (57)

где — работа, совершенная за время . Единицей измерения мощности является Ватт (Вт).

7. Кинетическая энергия для материальной точки (поступательно движущегося тела). Потенциальная энергия. Потенциальная энергия тела под действием силы тяжести, силы упругости. Теорема о кинетической энергии. Закон сохранения механической энергии.

Механическая энергия.

Энергия является мерой способности тел совершать работу. Механическая энергия складывается изкинетической и потенциальной. Первая обусловлена движением тела, вторая — видом сил, действующих на тело и положением тела в пространстве.

Для материальной точки и поступательно движущегося тела кинетическая энергияравна

, (60)

Потенциальной энергией обладают тела, находящиеся под действием консервативных сил. Если тело перемещается консервативными силами из точки 1 в точку 2, то изменение потенциальной энергии тела определяется как работа этих сил

. (62)

Из (62) можно найти только изменение потенциальной энергии, ее величина может быть определена лишь с точностью до постоянного слагаемого. Поэтому начало отсчета потенциальной энергии может быть выбрано произвольно.

Консервативная сила по величине равна скорости изменения потенциальной энергии в направлении действия силы,

. (63)

Знак минус в уравнении (63) отражает тот факт, что консервативная сила всегда направлена в сторону убыли потенциальной энергии.

Если тело находится под действием силы тяжести, его потенциальная энергия

, (64)

— высота расположения тела над уровнем отсчета.

Если на тело действует сила упругости, его потенциальная энергия

, (65)

— величина деформации пружины.

Работа момента силы.

При вращении, когда тело поворачивается на малый угол , момент силы совершает работу

. (58)

При повороте на угол работа равна

.

Если момент силы не зависит от угла поворота, то

.

Условия равновесия тел.

Из 2-го закона Ньютона и основного уравнения динамики вращательного движения следуют условия равновесия тел: для покоящегося тела

1) сумма действующих на тело сил должна быть равной нулю,

,

или, если использовать проекции сил, то

и ; (46)

2) сумма моментов сил относительно любой точки тела должна быть равна нулю

. (47)

Давление

, Па (Паскаль). (69)

сила, действующая перпендикулярно площадке .

Законы гидростатики.

1. Закон Паскаля. Давление, оказываемое на жидкость, передается во все ее точки, по всем направлениям, без изменения.

2. Гидростатическое давление. Гидростатическим называется давление, обусловленное весом жидкости. Величина гидростатического давления

,(70)

плотность жидкости, — ускорение свободного падения, — высота столба жидкости. Уровни равного давления в жидкости всегда горизонтальны.

3. Закон Архимеда. На тело, погруженное в жидкость (газ), действует выталкивающая сила Архимеда

, (71)

плотность жидкости, — ускорение свободного падения, объем тела, погруженного в жидкость.

Уравнение Бернулли.

Жидкость называется идеальной (невязкой), если можно пренебречь силами трения между ее слоями.

Для идеальной жидкости при ламинарном течении выполняется уравнение Бернулли

= , (73)

и — статическое давление (давление жидкости на площадку, расположенную вдоль линии тока) в сечениях 1 и 2 трубки тока (рис. 8);

и — динамическое давление в этих сечениях, обусловленное движением жидкости (кинетическая энергия единицы объема жидкости в сечениях 1 и 2);

и — высоты, на которых расположены сечения; плотность жидкости;

и — потенциальная энергия единицы объема жидкости в сечениях 1 и 2.

Механика

Скорость и ускорение материальной точки. Нормальное и тангенциальное ускорения, их величина и направление.

При прямолинейном движении с постоянной скоростью, скорость определяется как

.

Если скорость меняет величину или направление, ее можно считать постоянной только на малом промежутке времени . Поэтому в каждой точке траектории скорость определяется как отношение пути , пройденного за малое время , к этому временному интервалу (т.е. как производная от пути по времени ),

. (1)

Соответственно путь , пройденный за время , равен интегралу от скорости по времени

. (2)

Скорость — вектор, направленный по касательной к траекториидвижения.

Расстояние и величина перемещения , пройденные за малое время, совпадают, = . При вектор , секущий траекторию, становится касательным к ней вектором , т.е. направлен по скорости . Поэтому в векторном виде скорость записывают как

. (3)

Средней скоростью движения за время называется величина

. (4)

Движение материальной точки также описывают с помощью ее координат . В этом случае, чтобы определить скорость , сначала вычисляют проекции скорости на оси x,y,z , которые равны производным от соответствующих координат по времени

, , . (5)

Тогда величина скорости

. (6)

Ускорение точки.

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости

, (7)

— изменение вектора скорости за малый промежуток времени .

Ускорение можно разложить на тангенциальное (его еще называют касательным) ускорение и нормальное (центростремительное) ускорение ,

. (8)

Тангенциальное ускорение возникает, если скорость меняет величину, оно равно производной от скорости по времени ,

. (9)

При движении с постоянной по величине скоростью .

Нормальное ускорение

, (10)

— радиус кривизны траектории в данной ее точке. Радиус кривизны равен радиусу окружности, дуга которой совпадает с участком траектории.

Для траектории, представляющей собой прямую линию, и . Т.е. нормальное ускорение возникает только при искривлении траектории движения, когда вектор скорости меняет свое направление.

Если траектория точки – окружность, то радиус кривизны равен радиусу окружности, , и .

Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории; направление совпадает с направлением вектора скорости при ускоренном движении и противоположно ему при замедленном. Нормальное ускорение перпендикулярно и направлено в сторону вогнутости траектории (рис.2). Т.к. векторы и перпендикулярны, то величина полного ускорения

. (11)

При координатном способе задания движения, чтобы определить ускорение, сначала вычисляют его проекции на оси x,y,z

, , . (12)

Величина ускорения в этом случае

. (13)



Источник: https://infopedia.su/9x96ee.html

Biz-books
Добавить комментарий