Найти момент сил торможения М

Физика (стр. 4 )

Найти момент сил торможения М

Пример решения задач

Вал в виде сплошного цилиндра массой m1 = 10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой m2 = 2 кг (рис. 3.1). С каким ускорение будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе?

Решение

Линейное ускорение а гири равно тангенциальному ускорению точек вала, лежащих на его цилиндрической поверхности, и связано с угловым ускорением ε вала соотношением

, (1)

где r – радиус вала.

Угловое ускорение вала выражается основным уравнением динамики вращающегося тела:

, (2)

где М – вращающий момент, действующий на вал; J – момент инерции вала. Рассматриваем вал как однородный цилиндр. Тогда его момент инерции относительно геометрической оси равен

.

Вращающий момент М, действующий на вал, равен произведению силы Т натяжения шнура на радиус вала: М = Тr.

Силу натяжения шнура найдем из следующих соображений. На гирю действуют две силы: сила тяжести m2 g, направленная вниз, и сила Т натяжения шнура, направленная вверх. Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение гири. По второму закону Ньютона,

m2 g – Т = m2 а,

откуда

Т = m2 (ga).

Таким образом, вращающий момент

М = m2 (ga) r.

Подставив в формулу (2) полученные выражения М и J, найдем угловое ускорение вала:

.

Для определения линейного ускорения гири подставим это выражене ε в формулу (1). Получим

,

откуда

м/с2.

Ответ: 2,80 м/с2.

3.11. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м приложена касательная сила F = 98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения Мтр = 4,9 Н ∙ м. Найти массу m диска, если известно, что диск вращается с угловым ускорением α = 100 рад/с2. Ответ: 7,36 кг.

3.12.  Однородный стержень длиной l = 1 м и массой m = 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением α вращается стержень, если на него действует момент сил М = 98,1 мН ∙ м?

Ответ: 2,35 рад/с2.

3.13.  Однородный диск радиусом R = 0,2 м и массой m = 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости. Зависимость угловой скорости ω вращения диска от времени t дается уравнением ω = А + Вt, где В = 8 рад/с2. Найти касательную силу F, приложенную к ободу диска. Трением пренебречь.

Ответ: 4 Н.

3.14.  Маховик, момент инерции которого I = 63,6 кг ∙ м2, вращается с угловой скоростью ω = 31,4 рад/с. Найти момент сил торможения М, под действием которого маховик останавливается через время t = 20 с. Маховик считать однородным диском. Ответ: 100 Н ∙ м.

3.15.  К ободу колеса радиусом 0,5 м и массой m = 50 кг приложена касательная сила F = 98,1 Н. Найти угловое ускорение α колеса. Через какое время t после начала действия силы колесо будет иметь частоту вращения n = 100 об/с? Колесо считать однородным диском. Трением пренебречь. Ответ: 7,8 рад/с2; 80 с.

3.16.  Маховое колесо, момент инерции которого I = 245 кг ∙ м2, вращается с частотой n = 20 об/с.

Через время t = 1 мин после того, как на колесо перестал действовать момент сил М, оно остановилось.

Найти момент сил трения Мтр и число оборотов N, которое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил. Колесо считать однородным диском. Ответ: 513 Н ∙ м; 600 об.

3.17.  Две гири с массами m1 = 2 кг и m2 = 1 кг соединены нитью, перекинутой через блок массой m = 1 кг. Найти ускорение а, с которым движутся гири. Блок считать однородным диском. Трением пренебречь. Ответ:2,8 м/с2.

3.18.  На барабан массой m0 = 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2 кг. Найти ускорение а груза. Барабан считать однородным цилиндром. Трением пренебречь. Ответ: 3 м/с2.

3.19.  На барабан радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 10 кг. Найти момент инерции I барабана, если известно, что груз опускается с ускорением а = 2,04 м/с2.

Ответ: 9,5 кг ∙ м2.

3.20.  На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции которого I = = 0,1 кг ∙ м2, намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 0,5 кг.

До начала вращения барабана высота груза над полом h0 = 1 м. Через какое время t груз опустится до пола? Найти кинетическую энергию Ек груза в момент удара о пол и силу натяжения нити Т.

Трением пренебречь. Ответ: 1,1 с; 0,81 Дж; 4,1 Н.

3.21.  Две гири с разными массами соединены нитью, перекинутой через блок, момент инерции которого I = 50 кг ∙ м2 и радиус R = 20 см.

Момент силы трения вращающегося блока Мтр = 98,1 Н ∙ м.

Найти разность сил натяжения нити Т1 – Т2 по обе стороны блока, если известно, что блок вращается с угловым ускорением α = 2,36 рад/с2. Блок считать однородным диском. Ответ: 1,08 кН.

3.22.  Блок массой m = 1 кг укреплен на конце стола. Гири 1 и 2 одинаковой массы m1 = m2 = 1 кг соединены нитью, перекинутой через блок. Коэффициент трения гири 2 о стол k = 0,1. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силы натяжения Т1 и Т2 нитей. Блок считать однородным диском. Трением в блоке пренебречь.

Ответ: 3,53 м/с2; 6,3 Н; 4,5 Н.

3.23.  Колесо, вращаясь равнозамедленно, уменьшило за время t = 1 мин частоту вращения от n1 = 300 об/мин до n2 = 180 об/мин. Момент инерции колеса I = 2 кг ∙ м2. Найти угловое ускорение α колеса, момент сил торможения М, работу А сил торможения и число оборотов N, сделанных колесом за время t = 1 мин.

Ответ: 0,21 рад/с2; 0,42 Н ∙ м; 630 Дж; 240 об.

3.24.  Вентилятор вращается с частотой n = 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N = = 75 об. Работа сил торможения А = 44,4 Дж. Найти момент инерции I вентилятора и момент сил торможения М.

Ответ: 0,01 кг ∙ м2; 94 ∙ 10-3 Н ∙ м.

3.25.  Маховое колесо, момент инерции которого I = 245 кг ∙ м2, вращается с частотой n = 20 об/с. После того как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось, сделав N = 1000 об. Найти момент сил трения Мтр и время t, прошедшее от момента прекращения действия вращающего момента до остановки колеса.

Ответ: 308 Н ∙ м; t = 100 с.

§ 3. Закон сохранения момента импульса. Работа и энергия

Момент импульса материальной точки

,

где – радиус-вектор относительно центра вращения; – импульс материальной точки.

Закон сохранения момента импульса системы тел

,

где – момент импульса тела с номером , входящего в состав системы.

Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел, вращающихся относительно некоторой оси имеет вид:

,

где – соответственно моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия; – те же величины после взаимодействия.

Пример № 1 решения задач

Тонкий стержень массой 300 г и длиной 50 см вращается с угловой скоростью 10 с-1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Продолжая вращаться в той же плоскости, стержень перемещается так что ось вращения теперь проходит через конец стержня. Найти угловую скорость во втором случае.

Решение

Используем закон сохранения момента импульса

,

где Ji – момент инерции стержня относительно оси вращения.

Для нашего случая данный закон сохранения момента импульса

,

где – момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню (1 случай).

Для 2 случая, когда ось вращения проходит через его конец, момент инерции определим, используя теорему Штейнера

,

или

.

Тогда

с-1 = 2,5 с-1.

Ответ: 2,5 с-1.

Пример № 2 решения задач

Полый тонкостенный цилиндр катится вдоль горизонтального участка дороги со скоростью υ = 1,5 м/с. Определить путь, который он пройдет в гору за счет кинетической энергии, если уклон горы равен 5 м на 100 м пути.

Решение

По закону сохранения энергии

,

.

Момент инерции полого —- .

Подставляем значения и

или

.

Из подобия треугольников , получим

м.

Ответ: S = 4,59 м.

3.26.  Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии 0,8 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерции человека и скамьи равен ? Ответ:.

3.27. Однородный тонкий стержень массой 0,2 кг и длиной 1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, проходящей через точку О, перпендикулярной чертежу (рис. 3.3).

В точку А на стержне попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью 10 м/с и прилипает к стержню. Масса шарика равна 10 г. Определить угловую скорость стержня и линейную скорость нижнего конца стержня в начальный момент времени.

Вычисления выполнить для следующих значений расстояния между точками А и О: 1) ; 2) ; 3) .

Ответ:

3.28. Однородный диск массой 0,2 кг и радиусом 20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр тяжести (точка С на рис. 3.4).

В точку А на образующей диска попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью 10 м/с и прилипает к его поверхности. Масса шарика равна 10 г.

Определить угловую скорость диска и линейную скорость точки О на диске в начальный момент времени. Вычисления выполнить для следующих значений a и b:

1) ; 2) ; 3) ;

4) .

Ответ:

3.29.  На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом 2 м, стоит человек массой 80 кг. Масса платформы равна 240 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью 2 м/с относительно платформы.

Ответ: .

3.30. Маховик, имеющий вид диска радиусом 40 см и массой 48 кг, может вращаться вокруг горизонтальной оси.

К его цилиндрической поверхности прикреплен конец нерастяжимой нити, к другому концу которой прикреплен груз массой 0,2 кг (рис. 3.5). Груз был приподнят и затем отпущен.

Упав свободно с высоты 2 м, груз натянул нить и благодаря этому привел маховик во вращение. Какую угловую скорость груз сообщил при этом маховику?

Ответ: .

3.31.  Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой 60 кг. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя его, вернется в исходную точку на платформе? Масса платформы равна 240 кг. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки. Ответ: .

3.32.  Платформа в виде диска радиусом 1 м вращается по инерции с частотой . На краю платформы стоит человек, масса которого равна 80 кг. С какой частотой будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции платформы равен . Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки. Ответ: .

3.33.  На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень длиной 2,4 м и массой 8 кг, расположенный вертикально по оси вращения скамейки. Скамья с человеком вращается с частотой . С какой частотой будет вращаться скамья с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи равен . Ответ: .

3.34.  Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Стержень служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце стержня.

Скамья неподвижна, колесо вращается с частотой . Радиус колеса равен 20 см, его масса 3 кг. Определить частоту вращения скамьи, если человек повернет стержень на угол ? Суммарный момент инерции человека и скамьи равен .

Массу колеса можно считать равномерно распределенной по ободу.

Ответ: .

3.35.  На скамье Жуковского сидит человек и держит на вытянутых руках гири массой 5 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси скамьи 70 см. Скамья вращается с частотой .

Как изменится частота вращения скамьи и какую работу произведет человек, если он сожмет руки так, что расстояние от каждой гири до оси уменьшится до 20 см? Момент инерции человека и скамьи (вместе) относительно оси . Ответ: 1,55 с-1; 45,4 Дж.

3.36.  На скамье Жуковского стоит человек и держит в руке за ось велосипедное колесо, вращающееся вокруг своей оси с угловой скоростью 25 рад/с.

Ось колеса расположена вертикально и совпадает с осью скамьи Жуковского.

С какой скоростью станет вращаться скамья, если повернуть колесо вокруг горизонтальной оси на угол ? Момент инерции человека и скамьи равен , момент инерции колеса . Ответ: 5 рад.

3.37.  Однородный стержень длиной 1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. В другой конец абсолютно неупруго ударяется пуля массой 7 г, летящая перпендикулярно стержню и его оси. Определить массу стержня, если в результате попадания пули он отклонится на угол . Принять скорость пули 360 м/с. Ответ: 0,46 кг.

3.38.  Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением φ = А + + Вt + Сt2, где А = 2 рад, В = 32 рад/с, С = 4 рад/с2. Найти среднюю мощность , развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, до остановки, если его момент инерции J = 100 кг · м2.

Ответ: 12,8 кВт.

3.39.  Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением φ = А + + Вt + Сt2, где А = 2 рад, В = 16 рад/с, С = 2 рад/с2.

Момент инерции J колеса равен 50 кг·м2. Найти законы, по которым меняется вращающий момент М и мощность N.

Чему равна мощность в момент времени t = 3 с? Ответ: 200 Н ∙ м; 3 3,2 кВт; – 0,8 кВт/с; 0,8 кВт.

3.40.  Якорь мотора вращается с частотой n = 1500 мин-1. Определить вращающий момент М, если мотор развивает мощность N = 500 Вт.

Ответ: 3,18 А∙м.

3.41.  Маховик в виде диска массой m = 80 кг и радиусом R = 30 см находится в состоянии покоя. Какую работу А1 нужно совершить, чтобы сообщить маховику частоту n = 10 с-1? Какую работу А2 пришлось бы совершить, если бы при той же массе диск имел меньшую толщину, но вдвое больший радиус? Ответ: 7,11 кДж; 28,4 Дж.

3.42.  Кинетическая энергия Т вращающегося маховика равна 1 кДж. Под действием постоянного тормозящего момента маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав N = 80 оборотов, остановился. Определить момент М силы торможения. Ответ: 1,99 А∙м.

3.43.  Маховик, момент инерции J которого равен 40 кг·м2, начал вращаться равноускоренно из состояния покоя под действием момента силы М = 20 Н·м. Вращение продолжается в течение t = 10 с. Определить кинетическую энергию Т, приобретенную маховиком.

Ответ: 500 Дж.

3.44.  Пуля массой m = 10 г летит со скоростью υ = 800 м/с, вращаясь около продольной оси с частотой n = 3000 с-1. Принимая пулю за цилиндрик диаметром d = 8 мм, определить полную кинетическую энергию Т пули. Ответ: 3,21 кДж.

3.45.  Сплошной цилиндр массой m = 4 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Линейная скорость υ оси цилиндра равна 1 м/с. Определить полную кинетическую энергию Т цилиндра.

Ответ: 3 Дж.

3.46.  Обруч и сплошной цилиндр, имеющие одинаковую массу m = 2 кг, катятся без скольжения с одинаковой скоростью υ = 5 м/с. Найти кинетические энергии Т1 и Т2 этих тел. Ответ: 50 Дж; 37,5 Дж.

3.47.  Шар катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Полная кинетическая энергия Т шара равна 14 Дж. Определить кинетическую энергию Т1 поступательного и Т2 вращательного движения шара. Ответ: 10 Дж; 4 Дж.

3.48.  Определить линейную скорость υ центра шара, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости высотой h = 1 м.

Ответ: 3,74 м/с.

3.49.  Сколько времени t будет скатываться без скольжения обруч с наклонной плоскости длиной l = 2 м и высотой h = 10 см?

Ответ: 4,04 с.

3.50.  Тонкий прямой стержень длиной l = 1 м прикреплен к горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень отклонили на угол φ = 600 от положения равновесия и отпустили. Определить линейную скорость υ нижнего конца стержня в момент прохождения через положение равновесия. Ответ: 3,84 м/с.

Глава 4

ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ

ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

В специальной теории относительности рассматриваются только инерциальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси , и z, сонаправлены, а относительная скорость «штрихованной» системы координат относительно «нештрихованной» K направлена вдоль общей оси (рис. 4.1).

Релятивистское (лоренцево) сокращение длины стержня

,

где – длина стержня в системе координат , относительно которой стержень покоится (собственная длина). Стержень параллелен оси ; – длина стержня, измеренная в системе K, относительно которой он движется со скоростью υ; – скорость распространения электромагнитного излучения.

Релятивистское замедление хода часов

где – промежуток времени между двумя событиями, происходящими в одной точке системы , измеренный по часам этой системы (собственное время движущихся часов); – промежуток времени между двумя событиями, измеренный по часам системы .

Релятивистское сложение скоростей

,

где – относительная скорость (скорость тела относительно системы ); υ0 – переносная скорость (скорость системы относительно K); υ – абсолютная скорость (скорость тела относительно системы K).

В теории относительности абсолютной скоростью называется скорость тела в системе координат, условно принятой за неподвижную.

Релятивистская масса

, или ,

где – масса покоя; – скорость частицы, выраженная в долях скорости света ().

Релятивистский импульс

, или .

Полная энергия релятивистской частицы

,

где Т – кинетическая энергия частицы. Т определяется как разность: , где – энергия покоя частицы. Частица называется релятивистской, если ее скорость сравнима со скоростью света, и классической, если .

Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы

.

Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы

.

Пример № 1 решения задач

Космический корабль движется со скоростью по направлению к центру Земли. Какое расстояние пройдет этот корабль в системе отсчета, связанной с Землей ( – система), за интервал времени =1 с, отсчитанной по часам, находящимся в космическом корабле (– система)? Суточным вращением Земли и ее орбитальным движением вокруг Солнца пренебречь.

Решение

Расстояние l, которое пройдет космический корабль в системе отсчета, связанной с Землей (– система), определим по формуле

(1)

где – интервал времени, отсчитанный в – системе отсчета. Этот интервал времени связан с интервалом времени, отсчитанным в – системе, соотношением

.

Подставив выражение в формулу (1), получим

.

После вычислений найдем = 619 Мм.

Ответ: 619 Мм.

Пример № 2 решения задач

Две релятивистские частицы движутся в лабораторной системе отсчета со скоростями и вдоль одной прямой. Определить их относительную скорость , если частицы движутся в одном направлении.

Решение

Выберем в качестве – системы (неподвижную) лабораторную систему отсчета, а систему свяжем с первой частицей. Таким образом, требуется найти скорость второй частицы относительно системы . Тогда абсолютная скорость второй частицы выражается через относительную скорость и скорость , которая играет роль переносной, согласно формуле релятивистского сложения скоростей

.

Отсюда находим выражение для

,

из которого после вычисления получаем .

Ответ: 0,652с.

Пример № 3 решения задач

Определить релятивистский импульс p и кинетическую энергию T электрона, движущегося со скоростью (где с – скорость света в вакууме).

Решение

Релятивистский импульс

. (1)

После вычисления по формуле (1) получим

кг м/c.

В релятивистской механике кинетическая энергия Т частицы определяется как разность между полной энергией Е и энергией покоя Е0 этой частицы, т. е.

.

Так как и , то, учитывая зависимость массы от скорости, получим

,

или окончательно

. (2)

Сделав вычисления, найдем

Дж = 106 фДж.

Во внесистемных единицах энергия покоя электрона МэВ. Подставив это значение в формулу (2), получим

МэВ.

Ответ: 0,66 МэВ.

Пример № 4 решения задач

Кинетическая энергия электрона равна 1 МэВ. Определить скорость электрона.

Решение

Релятивистская формула кинетической энергии

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Источник: https://pandia.ru/text/78/217/98315-4.php

Динамика вращательного движения. Момент m силы f относительно какой-нибудь оси вращения определяется формулой

Найти момент сил торможения М

гдеl– кратчайшее расстояние от прямой,вдоль которой действует сила, до осивращения.

Моментом инерцииматериальной точки относительнокакой-нибудь оси вращения называетсявеличина

гдеm– масса материальной точки и r– ее расстояние до оси вращения.

Моментом инерциитвердого тела относительно его осивращения

гдеинтегрирование должно быть распределенонавесь объем тела. Производя интегрированиеможно получить момент инерции телалюбой формы.

Момент инерциисплошного однородного цилиндра (диска)относительно оси цилиндра

гдеR– радиус цилиндра и m– его масса.

Моментинерции полого цилиндра (обруча) свнутренним радиусом R1и внешним R2относительно оси цилиндра

длятонкостенного полого цилиндра R1≈R2=R и JmR2.

Моментинерции однородного шара радиусом Rотносительно оси, проходящей через егоцентр,

Моментинерции однородного стержня относительнооси, проходящей через его серединуперпендикулярно к нему,

Еслидля какого-либо тела известен его моментинерции J0относительно оси, проходящей черезцентр масс, то момент инерции относительнолюбой оси, параллельно первой, можетбыть найден по формуле Штейнера

гдеm– масса тела и D– расстояние от центра масс тела до осивращения.

Основной закондинамики вращательного движения (законсохранения момента импульса) выражаетсяуравнением

гдеM– момент сил, приложенных к телу, L– момент импульса тела (J– момент инерции тела, ω – его угловаяскорость). Если J=const,то

гдеε – угловое ускорение, приобретаемоетелом под действием момента сил M.

Кинетическаяэнергия вращающегося тела

гдеJ–момент инерции тела и ω – его угловаяскорость.

  1. Вывести формулу для момента инерции тонкого кольца радиусом R и массой m относительно оси симметрии. Ответ: mR2.

  2. Определить момент инерции сплошного однородного диска радиусом R = 40 см и массой m= 1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Ответ: 0,12 кг·м2.

  3. Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной = 50 см и массой m = 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1) конец стержня; 2) точку, отстоящую от конца стержня на 1/6 его длины. Ответ: 1) 3·10-2 кг·м2; 2) 1,75·10-2 кг·м2.

  4. Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материала, одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра. Ответ: В 1,07 раза.

  5. Полная кинетическая энергия Т диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж. Определить кинетическую энергию Т1 поступательного и Т2 вращательного движения диска. Ответ: Т1 = 16 Дж, Т2 = 8 Дж.

  6. Полый тонкостенный цилиндр массой m = 0,5 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от нее. Скорость цилиндра до удара о стену υ1=1,4 м/с, после удара υ'1=1 м/с. Определить выделявшееся при ударе количество теплоты Q. Ответ: Q=m(υ12- υ'12) = 0,48 Дж.

  7. Однородный стержень длиной = 1 м и массой = 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением ε вращается стержень, если на него действует момент сил М=98,1 мН·м? Ответ: 2,35 рад/с2.

  8. К ободу однородного сплошного диска массой m = 10 кг, насажанного на ось, приложена постоянная касательная сила = 30 H. Определить кинетическую энергию диска через время = 4 с после начала действия силы. Ответ: 1,44 кДж.

  9. Маховое колесо, момент инерции которого = 245 кг·м2, вращается с частотой n=20 об/с.

    Через время = 1 мин после того, как на колесо перестал действовать момент сил М, оно остановилось.

    Найти момент сил трения Мтр и число оборотов N, которое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил. Колесо считать однородным диском. Ответ: 513 Н·м; 600.

  10. Шар радиусом R= 10 см и массой m= 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению φ = А + Вt2 + Сt3 (В = 2 рад/с2, С = –0,5 рад/с3). Определить момент сил М для t= 3 с. Ответ:  –0,1 Н·м.

  11. Вентилятор вращается с частотой n = 600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав N= 50 оборотов, остановился. Работа А сил торможения равна 31,4 Дж. Определить: момент М сил торможения; 2) момент инерции J вентилятора. Ответ: 1) 0,1 Н·м; 2) 15,9 мН·м.

  12. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J=150 кг·м2, вращается с частотой n = 240 об/мин. Через время t=1 мин, как на маховик стал действовать момент сил торможения, он остановился. Определить: 1) момент М сил торможения; 2) число оборотов маховика от начала торможения до полной остановки. Ответ: 1) 62,8 Н·м; 2) 120.

  13. Сплошной однородный диск скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. Определить линейное ускорение а центра диска. Ответ: = 2/3gsinα.

  14. К ободу однородного сплошного диска радиусом = 0,5 м приложена постоянная касательная сила = 400 H. При вращении диска на него действует момент сил трения Мтр= 2 Н·м. Определить массу m диска, если известно, что его угловое ускорение ε постоянно и равно 16 рад/с2. Ответ: 24 кг.

  15. Частота вращения no маховика, момент инерции J которого равен 120 кг·м2, составляет 240 об/мин. После прекращения действия на него вращающего момента маховик под действием сил трения в подшипниках остановился за время t = π мин. Считая трение в подшипниках постоянным, определить момент М сил трения. Ответ: 16 Н·м.

  16. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J=1,5 кг·м2, вращаясь при торможении равнозамедленно, за время t= 1 мин уменьшил частоту своего вращения с n0 = 240 об/мин до n1 = 120 об/мин. Определить: 1) угловое ускорение ε маховика; 2) момент М силы торможения; 3) работу торможения А. Ответ: 1) 0,21 рад/с2,  2) 0,047 Н·м; 3) 355 Дж.

  17. Колесо радиусом R = 30 см и массой m = 3 кг скатывается по наклонной плоскости длиной 1 = 5 м и углом наклона α = 25°. Определить момент инерции колеса, если его скорость υ в конце движения составляла 4,6 м/с. Ответ: 0,259 кг·м2.

  18. С наклонной плоскости, составляющей угол α = 30° к горизонту, скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определить время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на 30 см. Ответ: 0,585 с.

  19. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом = 50 cм намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 6,4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением а = 2 м/с2. Определить: 1) момент инерции J вала; 2) массу М вала. Ответ: 1) 6,25 кг·м2; 2) 50 кг.

  20. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом = 20 см, момент инерции которого J = 0,15 кг·м2, намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой = 0,5кг.

    До начала вращения барабана высота h груза над полом составляла 2,3 м. Определить: 1) время опускания груза до пола; 2) силу натяжения нити; 3) кинетическую энергию груза в момент удара о пол.

    Ответ: 1) 2 с; 2) 4,31 Н; 3) 1,32 Дж.

  21. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой m = 0,2 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами m1= 0,35 кг и m2 = 0,55 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определить: 1) ускорение грузов; 2) отношение T2/T1 сил натяжения нити. Ответ: 1) 1,96 м/с2; 2) 1,05.

  22. Кинетическая энергия вала, вращающегося с частотой = 5 об/с, Wк = 60 Дж. Найти момент импульса L вала. Ответ: 3,8 кг·м2/с.

  23. Карандаш длиной l=15 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую скорость ω и линейную скорость υ будут иметь в конце падения середина и верхний конец карандаша? Ответ: ωс= ωк=14 рад/с; υс=1,05 м/с, υк=2,1 м/с.

  24. Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением ε = 0,4 рад/с2. Определить кинетическую энергию маховика через время t2 = 25 с после начала движения, если через t1 = 10 с после начала движения момент импульса L1 маховика составлял 60кг·м2/с. Ответ: 1) Ек = 75 Дж.

  25. Горизонтальная платформа массой m = 25 кг и радиусом R= 0,8 м вращается с частотой n1 = 18 мин-1. В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определить частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от J1 = 3,5 кг·м2 до J2 = 1 кг·м2. Ответ: 23 мин-1.

  26. Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной l= 2,5 м и массой m = 8 кг, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки.

    Эта система (скамья и человек) обладает моментом инерции = 10 кг·м2 и вращается с частотой n1 = 12 мин-1.

    Определить частоту n2 вращения системы, если стержень повернуть в горизонтальное положение. Ответ: 8,5 мин-1.

  27. Человек массой T = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой М = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n1=10 мин-1, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека — точечной массой, определить, с какой частотой будет тогда вращаться платформа. Ответ: 20 мин-1.

  28. Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы.

    Определять, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы. Ответ: Возрастет в 1,43 раза.

  29. Человек массой m = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы радиусом R = 1 м массой М = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n1 = 10 мин-1, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека — точечной массой, определить работу, совершаемую человеком при переходе от края платформы к ее центру. Ответ: 65,8 Дж.

  30. Однородный стержень длиной = 0,5 м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Найти период колебаний Т стержня. Ответ: 1,16 с.

  31. Обруч диаметром = 56,5 см висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найти период колебаний Т обруча. Ответ: 1,5 с.

Источник: https://studfile.net/preview/7163686/page:4/

Момент силы: определения, единица измерения, примеры, относительно оси и точки

Найти момент сил торможения М

В статье мы расскажем про момент силы относительно точки и оси, определения, рисунки и графики, какая единица измерения момента силы, работа и сила во вращательном движении, а также примеры и задачи.

Момент силы представляет собой вектор физической величины, равный произведению векторов плеча силы (радиус-вектор частицы) и силы, действующей на точку. Силовой рычаг представляет собой вектор, соединяющий точку, через которую проходит ось вращения твердого тела с точкой, к которой приложена сила.

где: r — плечо силы, F — сила приложенная на тело. 

Направление вектора силы момента всегда перпендикулярно плоскости, определяемой векторами r и F.

Главный момент — любая система сил на плоскости относительно принятого полюса называется алгебраическим моментом момента всех сил этой системы относительно этого полюса.

Во вращательных движениях важны не только сами физические величины, но и то, как они расположены относительно оси вращения, то есть их моменты. Мы уже знаем, что во вращательном движении важна не только масса, но и момент инерции. В случае силы, ее эффективность для запуска ускорения определяется способом приложения этой силы к оси вращения.

Взаимосвязь между силой и способом ее применения описывает МОМЕНТ СИЛЫ. Момент силы — это векторное произведение силового плеча R на вектор силы F:

Как в каждом векторном произведении, так и здесь

Следовательно, сила не будет влиять на вращение, когда угол между векторами силы F и рычагом R равен 0o или 180o. Каков эффект применения момента силы М?

Мы используем второй Закон движения Ньютона и связь между канатом и угловой скоростью v = Rω в скалярной форме, действительны, когда векторы R и ω перпендикулярны друг другу

Умножив обе части уравнения на R, получим

Поскольку mR 2 = I, мы заключаем, что

Вышеуказанная зависимость справедлива и для случая материального тела. Обратите внимание, что в то время как внешняя сила дает линейное ускорение a, момент внешней силы дает угловое ускорение ε.

Единица измерения момента силы

Основной мерой измерения момента силы в системной координате СИ является: [M]=Н•м

В СГС: [M]=дин•см

Работа и сила во вращательном движении

Работа в линейном движении определяется общим выражением,

но во вращательном движении,

а следовательно

Исходя из свойств смешанного произведения трех векторов, можно записать

Поэтому мы получили выражение для работы во вращательном движении:

Мощность во вращательном движении:

Момент силы пример и решение задач относительно точки

Найдите момент силы, действующей на тело в ситуациях, показанных на рисунках ниже. Предположим, что r = 1m и F = 2N.

а) поскольку угол между векторами r и F равен 90°, то sin(a)=1: M = r • F = 1м • 2N = 2Н • м 

б) потому что угол между векторами r и F равен 0°, поэтому sin(a)=0: 

M = 0 

да направленная сила не может дать точке вращательное движение

c)    поскольку угол между векторами r и F равен 30°, то sin(a)=0.5: 

M = 0,5 r • F = 1Н • м. 

Таким образом, направленная сила вызовет вращение тела, однако ее эффект будет меньше, чем в случае a).

Момент силы относительно оси

Предположим, что данные являются точкой O (полюс) и мощность P. В точке O мы принимаем начало прямоугольной системы координат. Момент силы Р по отношению к полюсным O представляет собой вектор М из (Р), (рисунок ниже).

Любая точка A на линии P имеет координаты (xo , yo , zo ). 
Вектор силы P имеет координаты Px , Py, Pz. Комбинируя точку A (xo, yo, zo ) с началом системы, мы получаем вектор p.

 Координаты вектора силы P относительно полюса O обозначены символами Mx, My, Mz.

Эти координаты могут быть вычислены как минимумы данного определителя, где ( i, j, k) — единичные векторы на осях координат (варианты): i, j, k

После решения определителя координаты момента будут равны:

Координаты вектора моментов Mo (P) называются моментами силы относительно соответствующей оси. Например, момент силы P относительно оси Oz окружает шаблон:

Mz = Pyxo — Pxyo

Этот паттерн интерпретируется геометрически так, как показано на рисунке ниже. 

На основании этой интерпретации момент силы относительно оси Oz можно определить, как момент проекции силы P на перпендикуляр оси Oz относительно точки проникновения этой плоскости осью.

 Проекция силы P на перпендикуляр оси обозначена Pxy, а точка проникновения плоскости Oxy — осью Oс  символом O.

Из приведенного выше определения момента силы относительно оси следует, что момент силы относительно оси равен нулю, когда сила и ось равны, в одной плоскости (когда сила параллельна оси или когда сила пересекает ось). 

Используя формулы на Mx, My, Mz, мы можем рассчитать значение момента силы P относительно точки O и определить углы, содержащиеся между вектором M и осями системы:

Если сила лежит в плоскости Oxy, то zo = 0 и Pz = 0 (см. Рисунок ниже).

Момент силы P по отношению к точке (полюсу) O составляет: 
Mx = 0, 
My = 0, 
Mo (P) = Mz = Pyxo — Pxyo.

Метка крутящего момента: плюс (+) — вращение силы вокруг оси O по часовой стрелке, 

минус (-) — вращение силы вокруг оси O против часовой стрелки.

by HyperComments

Источник: https://meanders.ru/moment-sily.shtml

Задание 2. Определение момента инерции тела с учетом момента тормозящей силы

Найти момент сил торможения М

Вывод расчетной формулы

Рассмотрим тело вращения, у которого на шкив может наматываться нить с грузом массой m на конце (рис. 11). Груз под действием силы тяжести может опускаться, приводя во вращение тело. После того, как груз от отметки h0 опустится на полную длину нити до отметки h1, тело, вращаясь по инерции, поднимет груз снова на некоторую высоту до отметки h2.

Рис.11.

К выводу расчетной формулы

В процессе движения часть механической энергии системы тело-груз расходуется на работу против тормозящей силы и, следовательно, превращается во внутреннюю энергию системы и окружающего воздуха, которые нагреваются.

Из этого следует, что тело поднимет груз на высоту меньшую начальной, то есть отметка h2 всегда будет расположена ниже отметки h0.

Тормозящая сила складывается из силы трения в подшипниках и из силы трения о воздух при движении тела и груза.

Для оценки момента тормозящей силы воспользуемся энергетическими соотношениями. Поскольку силы трения являются диссипативными, то работа тормозящей силы АТ при переходе системы тело-груз из начального состояния в конечное равна

(33)

где механическая энергия системы «тело-груз» в начальном состоянии; механическая энергия системы «тело-груз» в конечном состоянии.

Механическая энергия системы складывается из кинетической и потенциальной энергий. В те моменты времени, когда система покоится, кинетическая энергия равна нулю и, следовательно, механическая энергия становится равной только потенциальной энергии системы.

Такие состояния системы возникают в начальный момент времени, когда груз находится на отметке h0, и в тот момент, когда, спустившись вниз, груз за счет вращения тела поднимается до отметки h2.

Если принять, что на высоте потенциальная энергия груза равна нулю, то приращение механической энергии для выбранных начального и конечного состояний системы равно

, (34)

где h01 расстояние между отметками h0 и h1;

h21 расстояние между отметками h2 и h1.

Будем считать, что момент тормозящей силы в основном связан с вращательным движением тела, т. е. тормозящей силой, действующей на груз, пренебрежем.

Тогда элементарная работа момента тормозящей силы равна скалярному произведению где вектор момента тормозящей силы; — вектор бесконечно малого углового перемещения тела.

Оба вектора и направлены вдоль оси вращения, но в противоположные стороны.

Следовательно, .

Полная работа момента тормозящей силы, если предположить, что он постоянен, тогда равна

(35)

где φ02 — угол поворота тела вокруг оси при переходе системы из начального состояния в конечное (груз при этом перемещается от отметки h0 до отметки h2.

При движении груза вниз от отметки h0 до h1 отметки со шкива сматывается нить длиной . Учитывая, что длина окружности шкива равна 2πr и каждый оборот шкива соответствует углу радиан, найдем угол поворота шкива при движении груза вниз:

радиан (36)

Очевидно, что при дальнейшем вращении тела до момента, когда груз остановится на отметке h0, оно повернется на угол радиан.

Тогда общий угол поворота тела, соответствующий переходу груза от отметки h0 до отметки h2, равен

радиан. (37)

Подставляя (34) и (35) в (33) найдем

= .

Отсюда, используя (37), получаем формулу для оценки модуля вектора момента тормозящей силы:

(38)

Рассмотрим систему «тело-груз» в начальный момент времени, когда груз находится на отметке h0, а в качестве конечного выберем тот момент времени, когда груз опустился до нижней отметки h1, соответствующей полной длине нити. Опять будем исходить из энергетического соотношения (33).

Для выбранных начального и конечного состояний получим

(39)

где — момент тормозящей силы (38); — угол поворота тела, соответствующий перемещению груза ототметки h0 до h1 (36).

Начальная механическая энергия системы «тело-груз» равна

(40)

Конечная механическая энергия системы складывается из кинетической энергии вращательного движения тела и кинетической энергии поступательного движения груза в момент прохождения им отметки h1:

(41)

где I — момент инерции тела; ω1 – угловая скорость вращения тела в момент времени t1; υ1 – скорость поступательного движения груза в момент времени t1.

Строго говоря, в процессе движения груз за счет упругого растяжения нити опускается чуть ниже отметки h1, тормозится нитью, а затем за счет упругого сжатия нити возвращается на эту отметку.

Предполагая, что движение системы является равноускоренным, для скорости груза на отметке h1 получаем

(42)

где t1 — время, за которое груз опустится от отметки h0 до h1.

Угловая скорость вращения тела в тот же момент времени равна

(43)

где r — радиус шкива, на который намотана нить.

Подставляя (39), (40), (41) в (33), получим

Из этой формулы, учитывая (4), (10) и (11), выражаем момент инерции I:

(44)

где — момент тормозящей силы, который вычисляется по формуле (38).

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/9_28248_zadanie--opredelenie-momenta-inertsii-tela-s-uchetom-momenta-tormozyashchey-sili.html

Biz-books
Добавить комментарий