Найти момент инерции барабана

Содержание
  1. Глава 11. Раскручиваем объекты: момент инерции – FIZI4KA
  2. Применяем второй закон Ньютона для вращательного движения
  3. Преобразуем тангенциальное ускорение в угловое
  4. Пример: вычисляем момент силы для обеспечения углового ускорения
  5. Вычисляем момент инерции протяженного объекта
  6. Пример: замедление вращения компакт-диска
  7. Еще один пример: поднимаем груз
  8. Вычисляем энергию и работу при вращательном движении
  9. Работа при вращательном движении
  10. Изучаем кинетическую энергию вращательного движения
  11. Измеряем кинетическую энергию бочки, катящейся по наклонной плоскости
  12. Не можем остановиться: момент импульса
  13. Сохраняем момент импульса
  14. Пример закона сохранения момента импульса: вычисляем скорость спутника
  15. Вращательное движение твердых тел
  16. § 7.10. Примеры решения задач
  17. Задачи по теме: «Момент инерции. Закон сохранения момента инерции и момента импульса»

Глава 11. Раскручиваем объекты: момент инерции – FIZI4KA

Найти момент инерции барабана

Физика с формулами ›

В этой главе…

  • Переходим от динамики поступательного движения к динамике вращательного движения
  • Вычисляем момент инерции
  • Определяем работу вращательного движения
  • Находим связь между работой и изменением кинетической энергии
  • Изучаем закон сохранения момента импульса

Эта глава посвящена динамике вращательного движения, т.е. описанию сил и их влияния на характер вращательного движения.

Здесь рассматриваются основные законы динамики вращательного движения по аналогии с законами динамики поступательного движения. Например, описывается аналог второго закона Ньютона (см.

главу 5), представлено новое понятие “момент инерции”, исследуется связь между работой и кинетической энергией и т.п.

Применяем второй закон Ньютона для вращательного движения

Согласно второму закону Ньютона (см. главу 5), ускорение объекта под действием силы пропорционально величине силы и обратно пропорционально массе объекта:

где ​\( \mathbf{a} \)​ — это вектор ускорения, \( \mathbf{F} \) — вектор силы, а ​\( m \)​ — масса объекта. Подробнее о векторах рассказывается в главе 4. Соблюдается ли этот закон для вращательного движения?

В главе 10 мы уже познакомились характеристиками вращательного движения, которые являются эквивалентами (аналогами) некоторых характеристик поступательного движения.

А как будет выглядеть аналог у второго закона Ньютона? Похоже, что во вращательном движении роль ускорения \( \mathbf{a} \) играет угловое ускорение \( \alpha \), а роль силы \( \mathbf{F} \) — момент силы \( \mathbf{M} \)? Не вдаваясь в подробности, скажем лишь, что это действительно так.

А что же с массой? Оказывается, что для этого используется новое понятие — момент инерции ​\( l \)​. Известно, что второй закон Ньютона для вращательного движения принимает следующий вид:

Рассмотрим простой пример. Пусть привязанный нитью мячик для игры в гольф вращается по окружности, как показано на рис. 11.1.

Допустим, что к мячику приложена направленная по касательной к окружности тангенциальная сила, которая приводит к увеличению тангенциальной скорости мячика. (Обратите внимание, что речь идет не о нормальной силе, направленной вдоль радиуса окружности вращения.

Более подробно нормальная и тангенциальная скорости, а также нормальное и тангенциальное ускорения рассматриваются в главе 10.)

Поскольку:

то, умножая обе части этой формулы на радиус окружности ​\( r \)​, получим:

Поскольку ​\( r\mathbf{F}=\mathbf{M} \)​ то

или

Таким образом, частично совершен переход от второго закона Ньютона для поступательного движения к его аналогу для вращательного движения. (Следует отметить, что это выражение справедливо для материальной точки, т.е.

объекта, размерами которого можно пренебречь по сравнению с величиной радиуса окружности ​\( r \)​. Для протяженного объекта следует использовать другие формулы, которые описываются далее в этой главе. — Примеч. ред.

)

Преобразуем тангенциальное ускорение в угловое

Чтобы полностью перейти от описания поступательного движения к описанию вращательного движения, необходимо использовать связь между угловым ускорением ​\( \alpha \)​ и тангенциальным ускорением ​\( \mathbf{a} \)​. Как нам уже известно из главы 10, они связаны следующим соотношением:

Подставляя это выражение в приведенную выше формулу

получим:

Итак, мы получили связь момента силы, действующей на материальную точку, и ее углового ускорения. Коэффициент пропорциональности между ними, ​\( l=mr2 \)​, называется моментом инерции материальной точки. Таким образом, мы получили эквивалент второго закона Ньютона для вращательного движения, где роль силы играет момент силы, роль ускорения — угловое ускорение, а роль массы — момент инерции.

Пример: вычисляем момент силы для обеспечения углового ускорения

Если на объект действует несколько сил, то второй закон Ньютона имеет следующий вид:

где ​\( \mathbf{\sum\!F} \)​ обозначает векторную сумму всех сил, действующих на объект.

Аналогично, если на объект действует несколько моментов сил, то второй закон Ньютона имеет вид:

где \( \mathbf{\sum\! M} \) обозначает векторную сумму всех моментов сил, действующих на объект. Аналог массы, т.е. момент инерции, измеряется в кг·м2.

Помните, что аналогом второго закона Ньютона при описании вращательного движения является формула ​\( \mathbf{\sum\! M}=l\alpha \)​, т.е. угловое ускорение прямо пропорционально сумме всех моментов сил, действующих на вращающийся точечный объект, и обратно пропорционально моменту инерции.

Пусть мячик из предыдущего примера (см. рис. 11.1) имеет массу 45 г, а длина нити равна 1 м. Какой момент сил необходимо приложить, чтобы обеспечить угловое ускорение — ​\( 2\pi с{-2} \)​? Подставляя значения в уже известную нам формулу

получим:

Как видите, для решения этой задачи достаточно было поступить, как при определении силы, необходимой для обеспечения ускорения поступательного движения (где нужно было бы умножить массу на ускорение), т.е. умножить угловое ускорение на момент инерции.

Вычисляем момент инерции протяженного объекта

Момент инерции легко вычисляется для очень маленького (точечного) объекта, если все точки объекта расположены на одинаковом расстоянии от точки вращения.

Например в предыдущем примере, если считать, что мячик для игры в гольф гораздо меньше длины нити, то все его точки находятся на одинаковом расстоянии от точки вращения, равном радиусу окружности вращения ​\( r \)​.

В таком случае момент инерции имеет знакомый вид:

где \( r \) — это расстояние, на котором сосредоточена вся масса мячика \( m \).

Однако такая идеальная ситуация имеет место далеко не всегда.

А чему равен момент инерции протяженного объекта, например стержня, вращающегося относительно одного из своих концов? Ведь его масса сосредоточена не в одной точке, а распределена по всей длине.

Вообще говоря, для определения момента инерции протяженного объекта нужно просуммировать моменты инерции всех материальных точек объекта:

Например, момент инерции ​\( l \)​ системы из двух “точечных” мячиков для игры в гольф с одинаковой массой ​\( m \)​ на расстояниях ​\( r_1 \)​ и ​\( r_2 \)​ равен сумме их отдельных моментов инерции ​\( l_1=mr_12 \)​ и \( l_2=mr_22 \):

А как определить момент инерции диска, вращающегося относительно своего центра? Нужно мысленно разбить диск на множество материальных точек, вычислить момент инерции каждой такой точки и просуммировать полученные моменты инерции. Физики научились вычислять моменты инерции для многих объектов со стандартной формой. Некоторые из них приведены в табл. 11.1.

Попробуем вычислить моменты инерции нескольких предметов с простой геометрией.

Пример: замедление вращения компакт-диска

Компакт-диски могут вращаться с разными угловыми скоростями. Это необходимо для обеспечения одинаковой линейной скорости считывания информации на участках, находящихся на разных расстояниях от центра вращения.

Пусть диск массой 30 г и диаметром 12 см сначала вращается со скоростью 700 оборотов в секунду, а спустя 50 минут — со скоростью 200 оборотов в секунду.

Какой средний момент сил действует на компакт-диск при таком уменьшении скорости? Связь момента сил и углового ускорения имеет вид:

Момент инерции диска с радиусом ​\( r \)​, вращающегося относительно своего центра в плоскости диска, выражается формулой:

Подставляя значения, получим:

Теперь нужно определить угловое ускорение, которое определяется следующей формулой:

Изменение угловой скорости ​\( \Delta\omega \)​ произошло за промежуток времени:

В данном примере изменение угловой скорости:

где ​\( \omega_1 \)​ — конечная, а \( \omega_0 \) — начальная угловая скорость компакт-диска.

Чему они равны? Начальная скорость 700 оборотов в секунду означает, что диск за секунду 700 раз проходит ​\( 2\pi \)​ радиан:

Аналогично, конечная скорость 200 оборотов в секунду означает, что диск за секунду 200 раз проходит \( 2\pi \) радиан:

Подставляя значения в формулу углового ускорения, получим:

Подставляя значения момента инерции и углового ускорения в итоговую формулу момента силы, получим:

Итак, средний момент равен 10-4 Н·м, а чему будет равна сила для создания такого момента, если она приложена к краю диска? Ее величину легко вычислить по следующей формуле:

Оказывается, для такого замедления компакт-диска нужно приложить не такую уж и большую силу.

Еще один пример: поднимаем груз

Вращательное движение порой внешне выглядит не так очевидно, как вращение ком- пакт-диска. Например подъем груза с помощью блока также является примером вращательного движения.

Хотя канат и груз движутся поступательно, но сам блок вращается (рис. 11.2). Пусть радиус блока равен 10 см, его масса равна 1 кг, масса груза равна 16 кг, а к веревке прилагается сила 200 Н.

Попробуем вычислить угловое ускорение блока.

В данном примере нужно вычислить сумму всех моментов сил ​\( \mathbf{\sum\! M} \)​, которые действуют на веревку:

В данном примере на веревку действует два момента сил: один ​\( M_1 \)​ со стороны груза весом ​\( mg \)​, а другой \( M_2 \) — со стороны горизонтальной силы ​\( F \)​:

Отсюда получаем формулу для углового ускорения:

Эти моменты ​\( M_1 \)​ и \( M_2 \) имеют одинаковое плечо, равное радиусу блока ​\( r \)​, поэтому:

Поскольку блок имеет форму диска, то из табл. 11.1 находим его момент инерции:

Подставляя выражения для ​\( l \)​, ​\( M_1 \)​ и ​\( M_2 \)​ в формулу для углового ускорения, получим:

Подставляя значения, получим:

Вычисляем энергию и работу при вращательном движении

При изучении поступательного движения в главе 8 мы познакомились с понятием работа. Она равна произведению силы на перемещение под действием этой силы.

Можно ли выразить работу при вращательном движении на основе его характеристик? Конечно можно, и для этого потребуется преобразовать силу в момент силы, а перемещение — в угол.

В этом разделе демонстрируется такое преобразование, а также связь работы с изменением энергии.

Работа при вращательном движении

Допустим, что инженеру в области автомобилестроения необходимо рассчитать параметры революционно новой шины колеса. Для начала он решил оценить работу, которую необходимо выполнить для ускоренного раскручивания этой шины.

Как связать работу при поступательном движении и работу при вращательном движении? Инженер предложил простую, как все гениальное, идею: “связать” шину веревкой. Точнее говоря, он предложил намотать веревку на шину, потянуть за веревку с помощью внешней силы и раскрутить шину.

Так, приравнивая работу внешней силы при поступательном движении веревки и работу ускорения вращательного движения шины, можно, образно говоря, “связать” их веревкой.

Пусть шина имеет радиус ​\( r \)​ и для ее вращения используется сила ​\( F \)​, как показано на рис. 11.3.

Чему равна работа этой силы? Применим знакомую нам формулу:

где ​\( s \)​ — это перемещение веревки под действием этой силы. В данном примере перемещение ​\( s \)​ равно произведению радиуса ​\( r \)​ на угол поворота шины ​\( \theta \)​:

Подставляя это выражение в формулу работы, получим:

Поскольку момент ​\( M \)​, создаваемой этой силой, равен:

то получаем для работы:

Таким образом, работа при вращательном движении равна произведению момента силы и угла поворота. Она измеряется в тех же единицах, что и работа при поступательном движении, т.е. в джоулях.

Учтите, что для описания вращательного движения в этих формулах работы угол нужно указывать в радианах.

Вот еще один пример. Пусть пропеллер самолета совершает 100 поворотов с постоянным моментом силы 600 Н·м. Какую работу выполняет двигатель самолета? Для ответа на этот вопрос начнем с уже известной нам формулы:

Полный оборот соответствует повороту на угол ​\( 2\pi \)​. Подставляя значения в формулу, получим:

Что происходит с выполненной таким образом работой? Она преобразуется в кинетическую энергию вращательного движения.

Изучаем кинетическую энергию вращательного движения

Из главы 8 нам уже известно, что объект массы ​\( m \)​, движущийся поступательно со скоростью ​\( v \)​, обладает кинетической энергией:

А как получить формулу кинетической энергии для вращающегося объекта? Нужно применить данную формулу для всех его частичек.

При описании вращательного движения аналогом массы является момент инерции, а аналогом скорости — угловая скорость.

Как известно (см. главу 10), тангенциальная скорость ​\( v \)​ и угловая скорость ​\( \omega \)​ связаны соотношением:

где ​\( r \)​ — это радиус окружности вращения.

Подставляя это соотношение в предыдущую формулу, получим:

Однако эта формула справедлива только для бесконечно малой материальной точки. Чтобы определить кинетическую энергию протяженного объекта, нужно просуммировать кинетические энергии всех его мельчайших материальных точек, т.е. вычислить сумму:

Как можно было бы упростить эту формулу? Предположим, что все составляющие частички протяженного объекта вращаются с одинаковой угловой скоростью. Тогда угловую скорость можно вынести за знак суммирования и получим:

Здесь начинается самое интересное. Ранее в этой главе уже приводилась формула момента инерции:

Теперь совсем нетрудно сделать подстановку в предыдущей формуле кинетической энергии:

Итак, кинетическая энергия вращательного движения вычисляется аналогично кинетической энергии поступательного движения, если вместо массы использовать момент инерции, а вместо тангенциальной скорости — угловую скорость.

Примеры кинетической энергии вращательного движения окружают повсюду. Спутник на космической орбите и бочка пива, которую скатывают по наклонной плоскости, обладают определенной кинетической энергией вращательного движения.

Особенности вращательного движения бочки пива более подробно описываются в следующем разделе.

Измеряем кинетическую энергию бочки, катящейся по наклонной плоскости

Итак, нам уже известно, что объекты могут двигаться поступательно и вращательно, причем двигаться так, что без знания строгих законов физики порой трудно понять их поведение.

Да ну? Действительно, если бочка скользит вниз по наклонной плоскости, то ее потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию поступательного движения (см. главу 8).

А если бочка скатывается вниз по наклонной плоскости, то ее потенциальная энергия превращается не только в кинетическую энергию поступательного движения, но и в кинетическую энергию вращательного движения.

На рис. 11.4 показан случай, когда с наклонной плоскости высотой ​\( h \)​ скатываются сплошной и полый цилиндры с одинаковой массой ​\( m \)​. Какой цилиндр достигнет нижнего конца наклонной плоскости?

Иначе говоря: какой цилиндр будет обладать большей скоростью в конце наклонной плоскости? Поскольку действующие на цилиндры силы постоянны, то постоянны и их ускорения, а значит, большая скорость в конце пути означает меньшее время его прохождения. В случае только поступательного движения цилиндра и при отсутствии трения уменьшение потенциальной энергии ​\( mgh \)​ преобразуется в увеличение кинетической энергии только поступательного движения ​\( {}1\!/\!_2mv2 \)​, т.е.:

Однако в данном примере эта формула не годится, потому что цилиндры скатываются без проскальзывания.

Это значит, что часть уменьшения потенциальной энергии будет преобразовываться в увеличение кинетической энергии поступательного движения \( {}1\!/\!_2mv2 \), а часть — в кинетическую энергию вращательного движения \( {}1\!/\!_2I\omega 2 \). Тогда предыдущее равенство принимает следующий вид:

Сделаем подстановку ​\( \omega=v/r \)​ и получим:

Путем несложных алгебраических преобразований получим:

откуда легко получить выражение для скорости цилиндра:

Для обоих цилиндров все параметры одинаковы, кроме момента инерции ​\( I \)​. Как это повлияет на скорость цилиндров? Согласно данным из табл. 11.1, полый цилиндр имеет момент инерции ​\( mr2 \)​, а сплошной — ​\( {}1\!/\!_2mr2 \)​.

Итак, для полого цилиндра получим:

а для сплошного цилиндра:

А их отношение равно:

Как видите, скорость сплошного цилиндра в 1,15 раза больше скорости полого цилиндра, а значит, сплошной цилиндр быстрее достигнет конца наклонной плоскости.

Как на пальцах объяснить полученный результат? Все очень просто. В полом цилиндре вся масса сосредоточена на расстоянии радиуса цилиндра, а в сплошном цилиндре значительная часть масса распределена ближе радиуса. Это значит, что при одинаковой угловой скорости в полом цилиндре больше материала будет обладать большей тангенциальной скоростью, а для этого потребуется потратить больше энергии.

Не можем остановиться: момент импульса

Допустим, нам нужно остановить космический корабль с массой 40 т, который находится на околоземной орбите. Для этого потребуется затратить немалые усилия. Почему? Все дело во вращательном импульсе космического корабля.

В главе 9 подробно описывается понятие импульс материальной точки, который выражается следующей формулой:

где ​\( m \)​ — это масса, a ​\( v \)​ — скорость материальной точки.

По аналогии, при описании вращательного движения физики используют понятие вращательный импульс (который в русскоязычной научной литературе чаще называют моментом импульса материальной точки. — Примеч. ред.):

где ​\( l \)​ — это момент инерции, а ​\( \omega \)​ — угловая скорость материальной точки.

Следует помнить, что момент импульса (или вращательный импульс) является вектором, направление которого совпадает с направлением вектора угловой скорости.

Момент импульса в системе СИ измеряется в кг·м2·с-1 (более подробно системы единиц измерения описываются в главе 2). Одним из наиболее важных свойств момента импульса является закон сохранения момента импульса.

Сохраняем момент импульса

Закон сохранения момента импульса гласит: момент импульса сохраняется, если равна нулю сумма всех моментов внешних сил. Этот закон проявляется во многих обыденных ситуациях. Например часто приходится видеть, как мастера фигурного катания на льду вращаются с широко разведенными в стороны руками, а затем резко приближают их к своему телу и сильно ускоряют свое вращение.

Дело в том, что таким образом они уменьшают свой момент инерции и, согласно закону сохранения момента импульса, увеличивают свою угловую скорость.

Зная начальную угловую скорость вращения фигуриста ​\( \omega_0 \)​ и его моменты инерции в позе с разведенными руками ​\( I_0 \)​ и в позе с сомкнутыми руками ​\( I_1 \)​, легко найти конечную угловую скорость ​\( \omega_1 \)​ по формуле:

Однако этот закон удобно использовать не только в таких простых ситуациях.

Возвращаясь к примеру с космическим кораблем на околоземной орбите, следует отметить, что его орбита далеко не всегда является строго круглой.

Чаще всего орбиты спутников Земли и других планет имеют эллиптическую форму. Поэтому без закона сохранения момента импульса было бы гораздо сложнее определять параметры их орбитального движения.

Пример закона сохранения момента импульса: вычисляем скорость спутника

Предположим, что космический корабль вращается на эллиптической орбите вокруг Плутона. Причем в самой близкой к Плутону точке орбиты спутник находится на расстоянии 6·106 м от центра Плутона и имеет скорость 9·103 м/с. Вопрос: какой будет скорость спутника в самой далекой точке эллиптической орбиты на расстоянии 2·107 м от центра Плутона?

Для ответа на этот вопрос нужно воспользоваться законом сохранения момента импульса, поскольку на спутник не действуют никакие внешние моменты сил (сила гравитационного притяжения направлена параллельно радиусу и не создает момента). Однако закон сохранения момента импульса нужно преобразовать так, чтобы вместо угловых скоростей в его формулировке фигурировали тангенциальные скорости.

Итак, рассмотрим формулу закона сохранения момента импульса:

где ​\( I_{бл} \)​ — это момент инерции спутника в самой близкой точке, \( I_{дал} \) — это момент инерции спутника в самой далекой точке, \( \omega_{бл} \) — угловая скорость спутника в самой близкой точке, а \( \omega_{дал} \) — угловая скорость спутника в самой далекой точке.

Предположим, что размеры спутника гораздо меньше расстояния до центра Плутона и спутник можно считать материальной точкой. Тогда его моменты инерции равны:

и

где ​\( r_{бл} \)​ — это расстояние от спутника до центра Плутона в самой близкой точке эллиптической орбиты, а \( r_{дал} \) — это расстояние от спутника до центра Плутона в самой далекой точке эллиптической орбиты.

Кроме того:

и

Подставляя все перечисленные соотношения в формулу закона сохранения момента импульса

получим:

Отсюда путем несложных алгебраических преобразований, получим:

Подставляя значения, получим:

Итак, в ближайшей к Плутону точке орбиты спутник будет иметь скорость 9000 м/с, а в самой дальней — 2700 м/с. Этот результат мы легко получили только благодаря знанию закона сохранения момента импульса.

Источник: https://fizi4ka.ru/fizika-s-formulami/glava-11-raskruchivaem-obekty-moment-inercii.html

Вращательное движение твердых тел

Найти момент инерции барабана

3.1. Найти момент инерции Jи момент импульса Lземного шара относительно оси вращения.

Решение:

3.2. Два шара одинакового радиуса R= 5 см закреплены на концах невесомого стержня. Расстояние между шарами r= 0,5 м. Масса каждого шара m = 1 кг.

Найти: а) момент инерции J1системы относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к нему; б) момент инерции J2 системы относительно той же оси, считая шары материальными точками, массы которых сосредоточены в их центрах; в) относительную ошибку   б= (J1 — J2)/ J2, которую   мы   допускаем   при вычислении момента инерции системы, заменяя величину J1величиной J2.

Решение:

3.3. К ободу однородного диска радиусом R= 0,2 м прило касательная сила F= 98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения Mтр=98,1 Н*м. Найти массу m дисков, если известно, что диск вращается с угловым ускоре е = 100 рад/с2.

Решение:

3.4. Однородный стержень длиной l = 1 м и массой m = 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением е вращается стержень, если на него действует момент сил М = 98,1 мН*м?

Решение:

3.5. Однородный диск радиусом R= 0,2 м и массой m = 0,5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости. Зависимость угловой скорости wвращения диска от времени t дается уравнением w = А + Bt, где В = 8 рад/с2. Найти касательную силу F, приложенную к ободу диска. Трением пренебречь.

Решение:

3.6. Маховик, момент инерции которого J= 63,6кгм2 враща с угловой скоростью w= 31,4 рад/с. Найти момент сил тор М, под действием которого маховик останавливается через время t = 20 с. Маховик считать однородным диском.

Решение:

3.7. К ободу колеса радиусом 0,5м и массой m = 50 кг при касательная сила F= 98,1 Н. Найти угловое ускорение sколеса. Через какое время tпосле начала действия силы колесо будет иметь частоту вращения n = 100 об/с? Колесо считать однородным диском. Трением пренебречь.

Решение:

3.8. Маховик радиусом R= 0,2 м и массой m = 10 кг соединен с мотором при помощи приводного ремня. Сила натяжения ремня, идущего без скольжения, T = 14,7Н. Какую частоту вра n будет иметь маховик через время t = 10 с после начала движения? Маховик считать однородным диском. Трением пренебречь.

Решение:

3.9. Маховое колесо, момент инерции которого J= 245 кг л, вращается с частотой n = 20 об/с. Через время t = 1 мин после того, как на колесо перестал действовать момент сил М, оно остановилось. Найти момент сил трения и число оборотов N, которое сделало колесо до полной остановки после прекра действия сил. Колесо считать однородным диском.

Решение:

З.10. Две гири с массами m1 =2 кг и m2 =1кг соединены нитью, перекинутой через блок массой m = 1 кг. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силы натяжения T1 и T2нитей, к которым подвешены гири. Блок считать однородным диском. Трением пренебречь.

Решение:

3.11. На барабан массой m0=9кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2 кг. Найти ускорение а гру. Барабан считать однородным цилиндром. Трением прене.

Решение:

3.12. На барабан радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 10 кг. Найти момент инерции Jбарабана, если известно, что груз опускается с ускорением а = 2,04 м/с2.

Решение:

3.13. На барабан радиусом R= 20 см, момент инерции кото J= 0,1 кгм2, намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом hQ= 1 м. Через какое время tгруз опустится до пола? Найти кинетическую энергию WKгруза в момент удара о пол и силу натяжения нити T. Трением пренебречь.

Решение:

3.14. Две гири с разными массами соединены нитью, переки через блок, момент инерции которого J= 50 кгм2 и радиус R= 20 см. Момент сил трения вращающегося блока = 98,1 Нм. Найти разность сил натяжения нити T1 -T2 по обе стороны блока, если известно, что блок вращается с угловым ускорением e= 2,36 рад/с2. Блок считать однородным диском.

Решение:

3.15. Блок массой m = 1 кг укреплен на конце стола ( см. рис. и задачу 2.31). Гири 1 и 2 одинаковой массы m1=m2=1кг соединены нитью, перекинутой через блок. Коэффициент трения гири 2 о стол к = 0,1 . Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силы натяжения T1 и T2 нитей. Блок считать однород диском. Трением в блоке пренебречь.

Решение:

3.16. Диск массой m= 2 кг катится без скольжения по гори плоскости со скоростью v = 4 м/с. Найти кинети энергию Wkдиска.

Решение:

3.17. Шар диаметром D= 6 см и массой m= 0,25 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости с частотой враще n = 4 об/с. Найти кинетическую энергию WKшара.

Решение:

3.18. Обруч и диск одинаковой массы m1 = m2катятся без скольжения с одной и той же скоростью v. Кинетическая энер обруча WKl=4кгсм. Найти кинетическую энергию Wk2диска.

Решение:

3.19. Шар массой m = 1 кг катится без скольжения, ударяется о стенку и откатывается от нее. Скорость шара до удара о стенку v = 10 см/с, после удара u = 8 см/с. Найти количество теплоты Q, выделившееся при ударе шара о стенку.

Решение:

3.20. Найти относительную ошибку б, которая получится при вычислении кинетической энергии WKкатящегося шара, если не учитывать вращения шара.

Решение:

Источник: https://studyport.ru/zadachi/fizika/volkenshtejn/4-vraschatelnoe-dvizhenie-tverdyh-tel

§ 7.10. Примеры решения задач

Найти момент инерции барабана

Задача 1

На краю горизонтальной платформы массой т и радиусом R, которая может свободно вращаться относительно оси О'О», закреплена небольшая пушка (рис. 7.40). Платформа вначале покоится. Затем из пушки производится выстрел. Снаряд летит по касательной к краю платформы со скоростью .

Масса снаряда mс, масса пушки mп. Определите угловую скорость платформы после выстрела. Пушку и снаряд можно рассматривать как материальные точки.

Рис. 7.40

Решение. До выстрела момент внешних сил, действующих на пушку и платформу, равен нулю. Он равен нулю и после выстрела, так как при выстреле между пушкой и снарядом действуют лишь внутренние силы, суммарный момент которых равен нулю.

Вследствие этого суммарный момент импульса снаряда, пушки и платформы остается неизменным. До выстрела он был равен нулю. Следовательно, он будет равняться нулю и после выстрела.

Это означает, что момент импульса, которым обладает снаряд, равен по модулю и противоположен по знаку моменту импульса платформы и пушки.

Момент импульса снаряда равен произведению импульса снаряда mсv на плечо, т. е. mсvR. Момент импульса платформы и пушки состоит из двух частей: момента импульса пушки mnR2ω и момента импульса платформы 1/2mR2ω (здесь учтено, что пушка рассматривается как материальная точка; для момента инерции платформы использована формула (7.7.3)).

Учитывая, что момент импульса снаряда равен по модулю суммарному моменту импульса пушки и платформы, получим равенство:

Отсюда находим угловую скорость вращения:

Задача 2

Через блок, представляющий собой сплошной диск радиусом R, перекинута нить. На нити подвешены грузы массами m1 и m2 (m2 > m1). Масса блока m (рис. 7.41). Определите разность сил натяжения нитей с обеих сторон блока и ускорение грузов. Считать, что нить нерастяжима и не может скользить по блоку.

Рис. 7.41

Решение. Обозначим силы натяжения нитей через 1 и 2, ускорения грузов через 1, 2.

Направим ось координат по вертикали снизу вверх. Запишем уравнения движения грузов:

Нить нерастяжима, поэтому ускорения 1 и 2 равны по модулю: а1 = а2.

Исключая с помощью этого условия ускорение а1 из второго уравнения движения, получим:

Чтобы получить уравнение, содержащее разность сил натяжения нитей, сложим уравнения (7.10.2):

Теперь рассмотрим уравнение вращательного движения блока. Учитывая, что моменты, создаваемые силами 1 и 2, имеют противоположные знаки, получим уравнение:

где J — момент инерции блока; β — его угловое ускорение.

Угловое и линейное ускорения связаны соотношением а1 = βR, поэтому уравнение (7.10.4) можно записать так:

Из уравнений (7.10.3) и (7.10.5) находим искомые величины:

Так как по условию m2 > m1 то a1 > 0, т. е. ускорение первого груза направлено вверх, а второго — вниз. Из выражения (7.10.7) следует, что Т1 > T1. Это понятно, так как диск поворачивается по часовой стрелке.

Если момент инерции блока настолько мал, что выполняется условие

то, как это следует из формулы (7.10.7),

т. е. разность сил натяжения нитей много меньше силы (m1 — m1)g.

Если пренебречь моментом инерции блока (J = 0; невесомый блок), то из выражений (7.10.6) и (7.10.7) следует:

Таким образом, в случае невесомого блока натяжение нитей оказывается равным (см. задачу 5 § 2.14).

Упражнение 14

  1. Докажите, что кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна:

    где J — момент инерции, а ω — угловая скорость.

  2. Сплошной цилиндр радиусом R и массой m. скатывается с наклонной плоскости с углом α. Определите ускорение центра масс цилиндра и силу трения.
  3. Горизонтальная платформа массой m и радиусом R вращается с угловой скоростью ω. На краю платформы стоит человек массой m1. С какой скоростью ω1 будет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Человека можно рассматривать как материальную точку.
  4. На барабан с горизонтальной осью вращения радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 10 кг. Найдите момент инерции барабана, если известно, что угловое ускорение β = 2 рад/с2. Трением пренебречь.
  5. Через блок массой m = 10 г перекинута нить, к концам которой привязаны грузы массами m1 = 10 г и m2 = 15 г. С каким ускорением движутся грузы? Блок считать сплошным диском.

Источник: http://tepka.ru/fizika_10/104.html

Задачи по теме: «Момент инерции. Закон сохранения момента инерции и момента импульса»

Найти момент инерции барабана

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Приложение 1

Задачи по теме:«Момент инерции. Закон сохранениямомента инерции и момента импульса».

  1. На барабан радиусом R=0,5 м и с горизонтальной осью вращения намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 10 кг. Найдите момент инерции барабана, если известно, что его угловое ускорение равно . Тернием пренебречь.

Дано: Решение:

m = 10 кг

R = 0, 5 м

J = ?

Вращение барабана происходитпод

действием силы F.Из второго закона Ньютона

ох: ma = mg –F

F= m (g — a)

=∆ω/∆t = ∆υ/R∆t = a/R → a = εR

F = m (g – ε r)

M = Jε– момент силы через момент инерции длявращающегося тела.

M = Fd= FR– момент силы вращающей барабан.

По закону сохранения моментасил

Jε= FR

Jε= m(g– εR)R

J= (m( g– εR)R)/ε= 22,5 (кг м²)

Ответ:22, 5 кг м2

  1. К ободу однородного диска радиусом R=0,2м массой m=1,2 кг приложена постоянная сила 100 Н, при вращении на диск действует момент силы трения, равный 5 нм. Чему равно угловое ускорение диска?

Дано: Решение:

R= 0, 2 м Из оснавного управления динамикивращательного

m= 1, 2 кг движения M=Jε

F= 100 Н Сила действующая наобод F`=F -Fтр.Из M= 5 нм момента силы тренияFтр= M\R= 25 Н

ε = ? Момент силыF`-M=F`R по закону сохранения

момента сил.

Jε= F`R

J= mR²–момент инерции обруча

mR²ε= (F- Fтр.)R

Ответ:ε= 312, 5 с-2.

  1. Шарик, диаметр которого равен 6 см, катится по полу и останавливается через t = 2с, пройдя расстояние S = 70 см. Определите коэффициент трения качения, считая его постоянным.

Дано: Решение:

d = 0, 06м М=εJ- основное уравнение вращательногодвижения.

t =2c J=0,4mr2- момент инерции шара.

S= 0,7м.

μ= ?

M= 0,4 m r2a/ r= 0,4 a m r

Момент силы трения M= Fтрr

Fтр= μN=μmg

M = μmgr

По закону сохранения моментасил

μmgr=0,4amr

μ = 0,4a/g

S= at2/2 a=2S/t2= 1,4/4 = 0,35м/с2

Ответ:0,014.

  1. Во сколько раз уменьшится угловая скорость вращения человека, если момент инерции изменится от 1 кг м² до 1,25 кг м²?

Дано: Решение:

L1= J1ω1- момент импульса в первомсостоянии.

L2= J2ω2- момент импульса во второмсостоянии.

L1= L2 — закон сохранения момента импульса.

Ответ:

  1. Найти момент импульса Земного шара М3 = 6·1024 кг, R3 = 6,4·10³ км, если точки поверхности Земли вращаются со скоростью 36 км/ ч.

Дано: Решение:

M3= 6·1024 кг L= Jω J=0,4 M3R3²-момент инерции шара.

R3= 6,4·10 6 м ω= υ/R

υ= 10 м\с L= 0,4 M3υ R3=15,36·10³º кг м²/с.

L = ?

Ответ: L= 15, 36·10³º кг м²/с

  1. Комета Галлея движется вокруг солнца по вытянутому эллипсу. Наибольшее удаление от солнца равно 35,2 а. е., а наименьшее удаление — 0,6 а.е.. Найти отношение максимальной скорости кометы к минимальной.

Дано: Решение:

R1= 35, 2 а. е. моментимпульса при наибольшем

R2= 0, 6 а. е. удалении.

моментинерции кометы при наибольшем

удалении.

моментимпульса кометы при

минимальном удалении.

L1= L2– закон сохранения момента импульса.

Ответ:

  1. Человек стоит на вращающейся с некоторой угловой скоростью платформе. В вытянутых в сторону руках он держит по гире, массой каждой из них m = 5 кг. Расстояние от гирь до оси вращения R1=0,71м.

    Во сколько раз изменится частота вращения человека, если он прижмет к себе руки так, что расстояние от оси вращения до гири станет R2= 0,2 м.

    Момент инерции человека считайте в обоих случаях равным J0 = 1 кг м.²

Дано: Решение:

m = 5кг Момент импульса в первом случае

R1=0,71м

R2=0,2 м моментинерции в первом случае.

J0= 1 кг м²

моментинерции во втором случае.

законсохранения момента импульса.

Ответ:

  1. Человек массой m1 = 60 кг находится на неподвижной круглой платформе радиусом R2= 10м и массой m2 = 120 кг, которая может вращаться вокруг своей вертикальной оси. С какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек станет двигаться по окружности радиусом R1= 5м с линейной скоростью υ1= 2 м/с относительно платформы.

Дано: Решение:

m1 =60 кг моментимпульса человека;

R2=10м моментинерции человека.

m2 =120 кг

R1=5м

υ1=2 м/с моментимпульса платформы

ω = ? и человека.

законсохранения импульса.

Ответ:0, 08 с-1

  1. Считая Солнце однородным шаром, оцените минимальный радиус и период вращения вокруг своей оси пульсара, который мог бы образоваться после сжатия Солнца под действием силы тяготения при исчерпании внутренних источников энергии, поддерживающих высокую температуру газа. Радиус Солнца Rc = 7·108 м, период вращения вокруг оси Тс = 2,2·106 с. Масса Солнца Мс = 2·10³º кг.

Дано: Решение:

Rc= 7·108м Момент импульса Солнца

Тс =2,2·106 с

Мс =2·10³º кг моментинерции Солнца

Rп =? Тп = ?

Момент импульса образовавшегосяпульсара

По закону сохранения импульса

Вращение пульсара происходитпод действием силы тяготения.

Для удобства расчета (*) возведемв квадрат

Ответ: Rп=

Tп= 10-3 с

  1. Пояснительная записка

    … решение задач 1 уровня, т.е. учащийся указывает наличие момента … тест № 3 по физике в 9 классе потеме: «Импульс тела. Законсохраненияимпульса» 2 вариант. … такого движения? а) инерция б) диффузия в) сохранениеимпульса г) инертность 3. Допустим …

  2. Документ

    … равнозамедленно. Задачу решить графически. 12. В момент, когда … с-1? Самостоятельная работа №22 потемеИМПУЛЬС ТЕЛА. ЗАКОНСОХРАНЕНИЯИМПУЛЬСА. ВАРИАНТ «А» 1. Движение материальной … Конькобежец проезжает по гладкой поверхности льда поинерции 80 м. …

  3. Документ

    … решать  простейшие задачипотеме. Продуктивный уровень … анализ условия задачи.. Опыты, иллюстрирующие законинерции и … законсохраненияимпульса для решения типичных задач. Продуктивный уровень. Должны знать: законсохраненияимпульса, законсохранения

  4. Программа

    … 3 Законы механики Ньютона 4 Силы в механике 3 Законсохраненияимпульса 3 Законсохранения энергии 4 Равновесие абсолютно твердых тел. Момент силы …

  5. Документ

    … . Моментинерции. Законсохранениямоментаимпульса. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. К зан.7. Решение задач (дома …

Другие похожие документы..

Источник: https://gigabaza.ru/doc/11883.html

Biz-books
Добавить комментарий