Найти коэффициент восстановления при ударе

Приближенные способы оценки коэффициента восстановления при соударении упругих тел — современные наукоемкие технологии (научный журнал)

Найти коэффициент восстановления при ударе
1 Тригуба А.М. 1 Штагер Е.В. 1 1 Дальневосточный федеральный университет 1. Пановко Я.Г. Введение в теорию механического удара. — М.: Наука, 1977.
2. Кильчевский Н.А. Теория соударений твердых тел. – Киев: Наукова думка, 1979.

Теория удара, в своей основе, опирается на представление о коэффициенте восстановления, восходящее к И. Ньютону.

Это понятие применяется в разнообразных инженерных расчетах. Однако эксперименты и теоретические изыскания в пределах теории упругости не совсем точно согласуются с известным представлением И. Ньютона о том, что коэффициент восстановления при соударении упругих тел равен единице.

Настоящая статья носит характер аналитического обобщения различных подходов к обозначенной теме.

Основные проблемы при теоретическом описании явления удара вызваны широтой исследуемых явлений. Могут быть неизвестны как силы, действующие во время удара, так и свойства материалов соударяющихся тел.

В зависимости от цели, поставленной при решении задачи, может потребоваться определить конечные состояния материальных объектов, силы, действующие при ударе или другие характеристики исследуемого процесса. Однако в большинстве случаев инженерных расчетов чаще всего подлежат определению силы, возникающие в процессе удара.

При этом, как правило, рассматриваются одномерные и плоские задачи как наиболее часто встречающиеся в теории удара [1].

Для характеристики удара используют интегральную величину – ударный импульс

Здесь t0 и t1 – время начала и конца удара, P(t) – сила, возникающая во время удара. Применяя часто используемый в теоретической физике предельный переход t и дельта-функцию Дирака получим выражение для так называемой мгновенной ударной силы:

Мгновенный ударный импульс S считается бесконечно большой величиной.

Введение мгновенной ударной силы используется для проведения аналитического исследования проблемы в рамках классической механики. При этом объектом исследования выступает модель абсолютно твердого тела.

Однако «довольно успешное» применение данной модели для описания общих законов движения и равновесия материальных объектов чаще всего дает неверные результаты в теории удара.

Математически неприменимость модели абсолютно твердого тела выражается в том, что система уравнений, записанная, например, по закону сохранения импульса неразрешима – количество неизвестных больше числа уравнений для их определения.

Задача описать соударение упругих тел без введения их пластических свойств требует введения дополнительных предположений. Еще до теоретических представлений И.

Ньютона об эффекте восстановления при соударении упругих тел такие дополнительные гипотезы были предложены Марци, Гюйгенсом и Валлис.

Первое предположение состоит в неизменности кинетической энергии – величина относительной скорости в этом случае не изменяется при ударе. Второе – скорости взаимодействующих тел после удара равны.

Согласно предположению И. Ньютона разности скоростей до удара и после удара прямо пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности R был назван коэффициентом восстановления. Минус введен для того, чтобы коэффициент восстановления имел положительное значение при исследовании упругих деформаций.

Предположение Ньютона включило в себя в качестве предельных случаев оба указанных выше предположения – при R=0 конечные скорости тел A и B ( равны; при R=1 разности скоростей одинаковы. При этом оценка коэффициента восстановления осуществляется опытным путем посредством измерения скоростей тела на высоте отскока h2 при падении с высоты h1.

Для скоростей падающего тела до и после соударения запишем:

Тело, о которое происходит удар, покоится:

Совершенно очевидно, что оригинальная теория Ньютона основана только на кинематическом описании удара. Здесь отличие R от единицы считается вызванным пластическими деформациями на основе предположения локализации деформаций вблизи поверхности взаимодействующих объектов.

Однако энергия может уходить не только в неупругие деформации, но и в упругие – например колебания. В этой связи термин «коэффициент восстановления» не отражает всех возможностей распределения и расходования энергии удара.

Необходим анализ внутренней структуры системы тел, в которой происходит удар, то есть оценка коэффициента восстановления с точки зрения качественного рассмотрения динамики взаимодействия объектов. Данная процедура заключается в следующем.

Рассмотрим плоское движение двух тел. Разобьем процесс удара на две фазы. Первую назовем фазой нагрузки. В течение фазы нагрузки центры масс тел сближаются, относительная скорость падает до нуля, силы взаимодействия возрастают.

В фазе разгрузки ударная сила спадает до нуля, скорости движения тел меняют знак на противоположный.

На границе этих двух фаз тела находятся в плотном контакте, неподвижны друг относительно друга (их можно рассматривать как механическую систему) и движутся со скоростью центра масс данной системы тел

Импульс нагрузки можно выразить как величину импульса, на который изменится импульс первого тела с момента соприкосновения со вторым до конца фазы нагрузки:

Аналогично можно ввести импульс разгрузки:

Тогда коэффициент восстановления R будет равен отношению импульса разгрузки к импульсу нагрузки:

Вместе с тем, рассматривая соотношение между кинетической энергией частей системы до (T1) и после соударения (T2), так же можно определить коэффициент восстановления:

Используя данный подход к оценке R изменение кинетической энергии системы тел будет определяться так:

Экспериментальные исследования также показали, что R зависит и от относительной скорости соударения тел [2]. Эмпирическая формула зависимости коэффициента восстановления от относительной скорости соударяющихся тел имеет следующий вид:

где a и n — экспериментально определяемые коэффициенты, v – скорость относительного движения тел в момент перед ударом. Использование этой эмпирической формулы сразу же делает исследование удара более сложным, чем в оригинальной теории Ньютона.

Проведенный анализ различных подходов к оценке коэффициента восстановления при соударении упругих тел, на наш взгляд, показал преимущества динамического подхода к его определению.

Кинематическое описание удара не позволяет качественно рассмотреть эффект взаимодействия упругих тел при соударении, что вносит значительную погрешность в величину реального коэффициент восстановления R.

Вместе с тем, совершенно очевидно, что в действительности коэффициент восстановления также зависит и от конкретных свойств веществ соударяющихся тел.

Библиографическая ссылка

Тригуба А.М., Штагер Е.В. ПРИБЛИЖЕННЫЕ СПОСОБЫ ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПРИ СОУДАРЕНИИ УПРУГИХ ТЕЛ // Современные наукоемкие технологии. – 2014. – № 5-1. – С. 91-93;
URL: http://top-technologies.ru/ru/article/view?id=33723 (дата обращения: 02.03.2020).

Источник: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=33723

Определение коэффициента восстановления при ударе твердых тел

Найти коэффициент восстановления при ударе

Сохрани ссылку в одной из сетей:

ОПРЕДЕЛЕНИЕКОЭФФИЦИЕНТА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПРИ УДАРЕТВЕРДЫХ ТЕЛ

Цель: исследовать центральноесоударение тел, проверить выполнениезаконов сохранения импульса и энергии,определить коэффициент восстановления.

Оборудование:планшет с координатной сеткой, ударныймеханизм, набор шайб, весы.

Удартвердых тел –совокупность явлений, возникающих пристолкновении двигающихся твердых тел,а также при некоторых видах взаимодействиятвердого тела с жидкостью или газом.

Под столкновением здесь следует пониматьсамые разнообразные процессы взаимодействиямежду телами при условии, что на бесконечнобольшом расстоянии друг от друга телаявляются свободными. Еслилиния удара проходит через центры массобоих тел, то удар называется центральным.

Если оба тела двигались по линии удара,удар называется прямым,в противном случае – косым.

Физическиеявления при столкновении тел довольносложны и практически единственнымсредством теоретического изучениястолкновений тел является применениезаконов сохранения энергии и импульса,которые не управляют процессами пристолкновениях, а лишь соблюдаются приих осуществлении. Рассмотрим предельныйслучай абсолютноупругого удара, напримере прямого центрального удараупругих шаров (шайб). При таком столкновениител механическая энергия к концу ударавосстанавливается полностью и врезультате удара их внутренняя энергияне изменяется.

удартело восстановление импульс энергия

Еслиизвестны массы шаров и ,их скорости перед ударом и (см. рис. 1), то, поскольку система замкнутаи консервативна, скорости шаров послестолкновения и легко найти из законов сохраненияимпульса и энергии

.(1)

Наблюденияпоказывают, что относительная скоростьпосле удара не достигает своей прежней численнойвеличины .При соударении теладеформируются, возникают упругие силыи силы трения. Все это приводит к тому,что при ударах реальных тел механическаяэнергия к концу удара восстанавливаетсялишь частично. Для учета этих потерьвводится коэффициентвосстановления

.(2)

Поданным опытов, при соударении тел изалюминия = 0,23, бронзы – 0,4, дерева – 0,5, чугуна –0,6, стали различных марок – от 0,55 до 0,7,из слоновой кости – 0,89, из стекла –0,94.

Для случаякосого соударения шайб, изготовленныхиз материала с коэффициентом восстановления,можно получить выражения для скоростейтел поле удара, аналогичные (1). Представимвектор скорости каждого шара в видесуммы двух взаимно перпендикулярныхвекторов – нормальной составляющей к поверхностисоударяющихся тел и – составляющей, касательной к этойповерхности (рис. 2):

,,(3)

,.(4)

В приведенныхформулах значение = 1 соответствует абсолютно упругому, а= 0 – абсолютно неупругому удару. Напрактике мы никогда не имеем дела сидеально упругими телами и идеальногладкими поверхностями. В случаесоударения шаров из реальных материаловзначение будет лежать в пределах от 0 до 1 имеханическая энергия системы сохранятьсяне будет.

Изменение механическойэнергии расходуется на возникновениеупругих возмущений, излучение звуковыхволн, а также внутреннее трение, внутреннеедвижение и остаточные деформации.

Дляоценки потери энергии вводятвеличину, называемую коэффициентомвосстановления энергии ,которую определяют как отношениесуммарной кинетической энергии системыпосле удара к энергии до удара

.(5)

Посколькумассы соударяющихся тел известны(указаны или получены взвешиванием), тоопределение импульсов и кинетическойэнергии тел сводится к определению ихскоростей.

Описание метода измерений

Будемоценивать скорость тела по длине пути,пройденному телом по горизонтальнойповерхности до полной остановки, считаякоэффициент трения независящим отскорости скольжения. Пусть в некоторойточке скорость тела равна (рис. 3), тогда, по теореме об изменениикинетической энергии, работа силы тренияравна изменению кинетической энергиитела

,,

откуда можновыразить скорость тела через расстояниедо точки остановки

.(6)

Пусть передсоударением второе тело покоится, тогдадля прямого центрального удара тел изформул (3) получаем

,,(7)

где ,– расстояния, проходимые телами 1и 2 после соударения, – расстояние, которое прошло бы тело 1до остановки без соударения с телом 2.

Посколькув эксперименте величины и можно измерять с меньшей относительнойпогрешностью, то выразим коэффициентвосстановления через них

.(8)*

Коэффициентвосстановления энергии (5) может бытьрассчитан как

.(9)*

Описаниеустановки

Установка состоит израбочего поля 3(рис. 4) с нанесенной координатной сеткой,по которому перемещаются соударяющиесятела 1 и 2.Начальную скорость телу 1в направлении оси сообщает ударный пружинный механизм4. Передвыстрелом тело 1фиксируется между направляющими 6.Регулировочный винт 5позволяет изменять начальный импульстела 1.

Выполнение работы

Задание1. Прямой центральный удар тел.

1. Выбратьдва тела примерно равной массы. Значениямасс и ,а также систематическую погрешностьвзвешивания записать в таблицу 1.

2. Поместитьпервое тело и второе тело на оси так, чтобы поверхности 1-го и 2-готела соприкасались (положение 1-готела отмечено на планшете окружностью).Начальные координаты тел (рис. 5) занестив таблицу. Оценить систематическуюпогрешность измерения координаты .

3. Взвестипружинный механизм, зафиксировав егов первом пазу. Поместить шайбу 1 внаправляющие. Произвести выстрел изанести в таблицу координаты крайнихточек шайб и после соударения.

4. Поместитьшайбу 2 в исходное положение.

5. Повторитьопыт (п. 3 и п. 4) еще 6 раз при тех жеусловиях.

6. Определитьскорость тела 1 при свободномдвижении. Для этого необходимо убратьс поля шайбу 2. Поместить в направляющиешайбу 1 и произвести выстрел. Записатьв таблицу координату точки остановки шайбы. Повторить опытеще 5 раз, записывая результаты в таблицу.

Таблица 1

массы тел :

= , г = , г = , г

начальные координаты:

= , мм = , мм = , мм

после прямого удара

свободное движение

, мм

, мм

, мм

1

2

=

=

=

=

=

=

7. Рассчитатьсредние значения конечных координат,и .Рассчитать средние расстояния, проходимыешайбами после удара и ,а также среднюю длину пути свободногодвижения .Результаты занести в табл. 1.

8. Вычислитьзначения коэффициентов и записать втабл. 2.

9. Оценитьпогрешность измерения величин. Посколькусистематическая погрешность измерениякоординаты в проводимых экспериментахнамного меньше случайного отклоненияот среднего значения, то ей можнопренебречь. Полагая, что измерения длинпробега проведены в одинаковых условиях,оценить погрешность определения этойвеличины только для случая свободногодвижения

,

где – координаты точки остановки тела присвободном движении (см. табл. 1).

Используяполученное значение, вычислить абсолютныепогрешности коэффициентов восстановленияи занести их в табл. 2.

Таблица 2

величина

значения коэффициентов

погрешность

импульс

= …

Кинетическая энергия

= …

Относительная скорость

= …

10. По среднимзначениям коэффициентов восстановленияимпульса, кинетической энергии иотносительной скорости сделать выводо справедливости законов сохраненияимпульса и энергии, для данного случая.Если коэффициент, характеризующийпотери энергии отличен от нуля, то ввыводе укажите основные причины изменениямеханической энергии рассматриваемойсистемы.

Задание2. Косой центральный удар тел.

10. Взять дляопыта шайбы, используемые при экспериментес прямым ударом. Значения масс и записать в табл. 3.

11. Установитьтела 1 и 2 в исходные положения,которые обозначены на поле окружностями.Записать начальные координаты крайнихточек тел (см. рис. 6) в табл. 3.

12. Взвестипружинный механизм, зафиксировав егов первом пазу. Шайбу 1 вставить внаправляющие до упора и произвестивыстрел. Занести в таблицу 3 координатыкрайних точек тел ,,,после остановки.

13. Поместитьшайбу 2 в исходное положение скоординатами и .

14. Повторяядействия пунктов 12 и 13, повторить опытеще 6 раз.

15. Определитьскорость тела 1 при свободномдвижении. Для этого необходимо убратьс поля шайбу 2. Поместить в направляющиешайбу 1 и произвести выстрел. Записатьв таблицу координату точки остановки шайбы. Повторить опытеще 5 раз, записывая результаты в табл.3.

Таблица 3

= , г

= , г

= ,мм

= ,мм

= ,мм

= ,мм

после удара

свободное

движение

, мм

, мм

, мм

, мм

, мм

1

2

3

4

5

6

=

=

=

=

=

Обработкарезультатов

16. Рассчитатьсредние значения конечных координат,,,и .Вычислить средние расстояния, проходимыешайбами после удара и ,а также среднюю длину пути свободногодвижения по формулам

= … мм,

= … мм,

= … мм.

17. Вычислитьзначение коэффициента восстановленияэнергии при косом центральном ударе

,

18. Сделатьвывод по проделанной работе. По значениямкоэффициентов восстановленияклассифицировать удар (упругий,неупругий). Высказать предположения опричинах диссипации энергии в конкретномслучае. Объяснить различие (или равенство)экспериментальных значений коэффициентавосстановления при прямом и косомцентральном ударе.

Источник: https://works.doklad.ru/view/2LKLKedR5MA.html

Biz-books
Добавить комментарий