Найти кинетическую энергию тела до удара

При неупругом ударе двух тел. теорема карно

Найти кинетическую энергию тела до удара

Из рассуждений, приведенных в § 153, следует, что при неупругом ударе происходит потеря кинетической энергии соударяющихся тел. Наибольшей эта потеря будет при абсолютно неупругом ударе. Подсчитаем, какую кинетическую энергию теряет система при абсолютно неупругом ударе двух тел.

Считая, что соударяющиеся тела движутся поступательно, и обозначая их общую скорость после абсолютно неупругого удара через и, получим для кинетической энергии системы в начале и в конце удара значения:

, (162)

Потерянная при ударе кинетическая энергия равна . Представим эту разность в виде

(163)

Так как из формулы (160) следует, что

То отсюда

(164)

Подставляя в правую часть равенства (163) вместо Т0 и Т1 их значения из формул (162), а вместо 2Т1— правую часть выражения (164), получим:

Или

(165)

Разности ( ) и ( ) показывают, насколько уменьшилась при ударе скорость каждого из соударяющихся тел. Их можно назвать потерянными при ударе скоростями.

Тогда из формулы (165) вытекает следующая теорема Кар но *: кинетическая энергия, потерянная системой тел при абсолютно неупругом ударе, равна той кинетической энергии, которую имела бы система, если бы ее тела двигались с потерянными скоростями.

Если удар не является абсолютно неупругим ( ), то аналогичными преобразованиями можно найти, что кинетическая энергия, потерянная при ударе двух тел, определяется равенством

(165’)

Рассмотрим частный случай абсолютно неупругого удара по первоначально неподзижногау телу. В этом случае и

,

Тогда

Или

(166)

Формула (166) показывает, какая энергия остается у системы после удара. Отметим два интересных предельных случая.

1.Масса ударяющего тела много больше массы ударяемого ( ) В этом случае можно считать М1+М2 M1 и формула (166) дает .

Следовательно, хотя удар и является абсолютно непругим, потеря кинетической энергии при ударе почти не происходит, и система после удара начнет двигаться почти с той же кинетической энергией, которая у нее была в начале удара.

На практике такой результат нужно, очевидно, получать при забивании гвоздей, свай и т п. Следовательно, в этом случае нужно, чтобы масса молотка была намного больше массы гвоздя (рис. 380, а).

2. Масса ударяемого тела много больше массы ударяющего ( ) В этом случае можно считать М1/(М1+М2) 0, и формула (166) дает . Таким образом, здесь при ударе почти вся кинетическая энергия расходуется на деформацию соударяющихся тел, по окончании удара тела можно считать неподвижными.

Практически такой результат нужно, очевидно, получать при ковке, клепке и т. п. Следовательно, в этих случаях нужно, чтобы масса поковки вместе с наковальней (или масса заклепки вместе с поддержкой) была много больше массы молота (рис. 380, б).

§ 157*. УДАР ПО ВРАЩАЮЩЕМУСЯ ТЕЛУ. ЦЕНТР УДАРА

Рассмотрим тело, имеющее ось вращения z (рис. 381).

Пусть в некоторый момент времени к телу будет приложен ударный импульс . Тогда по уравнению (155')

так как моменты относительно оси z импульсивных реакций и возникающих в подшипниках, будут равны нулю.

Условимся обозначать угловую скорость тела в начале удара через , а в конце удара — через . Тогда , , и окончательно получим:

или (167)

Формула (167) определяет изменение угловой скорости тела при ударе. Из нее следует, что угловая скорость тела за время удара изменяется на величину, равную отношению момента ударного импульса к моменту инерции тела относительно оси вращения.

Задача 187. Колесо 1, вращающееся с угловой скоростью , ударяет выступом D1 о выступ D2 первоначально неподвижного колеса 2 (рис. 382).

Радиусы колес и их моменты инерции относительно осей и соответственно равны , , , Определить угловую скорость колеса 2 в конце удара, если коэффициент восстановления при ударе равен k.

Решение. При ударе на колеса действуют численно равные ударные импульсы и , ( ). Тогда, составив уравнение (167) для каждого из колес и учтя, что , получим:

,

Исключив из этих уравнений S, придем к равенству

(а)

Так как скорости точек D1, и D2 в начале и в конце удара равгы соответственно , , , , то формула (156'), определяющая коэффициент восстановления при прямом ударе, даст

(б)

Исключив из уравнений (а) и (б) найдем окончательно

Импульсивные реакции. Найдем, чему равны при ударе импульсивные реакции подпятника А и подшипника В. Проведем оси Ахуz так, чтобы центр масс С тела лежал в плоскости Ауz (рис. 383, а). Изобразим искомые импульсивные реакции их составляющими вдоль этих осей. Пусть АВ=b, а расстояние точки С от оси Az равно а.

Составим уравнения (154') в проекциях на все три оси, а уравнения (155') в проекциях на оси Ах и Ау (уравнение в проекции на ось Az уже использовано при получении равенства 167). Поскольку тело за время удара не перемещается, векторы и будут параллельны оси Ах; следовательно, , , .

Используя одновременно при составлении уравнений (155') формулы (34) из § 115, получим

(168)

Уравнения (168) и служат для определения неизвестных импульсивных реакций , , , , . Входящая сюда разность — находится из равенства (167).

Центр удара. Появление при ударе импульсивных реакций нежелательно, так как может привести к ускорению износа или даже к разрушению частей конструкции (подшипников, вала и т. п.). Найдем, можно ли произвести удар по телу, закрепленному на оси, так, чтобы импульсивные реакции в подшипниках А и В вообще не возникли.

Для этого найдем, при каких условиях можно удовлетворить уравнениям (168), положив в них . Если , то 2-е и 3-е из уравнений (168) примут вид: Sy=0, Sz=0. Чтобы удовлетворить этим уравнениям, надо направить импульс S перпендикулярно плоскости Ауz, т. е. (по принятому условию) плоскости, проходящей через ось вращения и центр масс тела.

Допустим, что импульс S имеет такое направление (рис. 383, б). Поскольку при

вид системы (168) не зависит от выбора на оси Az начала координат, проведем для упрощения дальнейших расчетов плоскость Оху так, чтобы импульс S лежал в этой плоскости. Тогда и последние два уравнения системы (168) при дадут . Это означает (см.

§ 104), что плоскость Оху, п которой лежит импульс S, должна проходить через такую точку О, для которой ось г является главной осью инерции тела; в частности, как показано в § 104, условия будут выполняться, если плоскость Оху является для тела плоскостью симметрии. Обратимся, наконец, к 1-му из уравнении (168). Поскольку и (см. рис 383, б), оно принимает_вид Ma( )=S.

Одновременно уравнение (167), так как в нашем случае , дает . Исключая из двух полученных равенств разность , находим.

(169)

Формула (169) определяет, па каком расстоянии h от оси г должен быть приложен ударный импульс.

Итак, для того чтобы при ударе по телу, закрепленному на оси z, в точках закрепления этой оси не возникло импульсивных реакций, надо:

1)чтобы ударный импульс был расположен в плоскости Оху, перпендикулярной

оси г и проходящей через такую точку О тела, для которой ось г является главной

осью инерции (в частности, плоскость Оzу может быть плоскостью симметрии чела);

2)чтобы удар был направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через

ось вращения г и центр месс С тела;

3)чтобы ударный импульс был приложен на расстоянии от оси (поту сторону от оси, где находится центр масс).

Точка К, через которую при этом будет проходить ударный импульс, не вызывающий ударных реакций в точках закрепления оси, называется центром удара.

3aметим, что согласно формуле (169) центр удара совпадает с центром качаний физического маятника. Следовательно, как было показано в § 129, h>а, т. е. расстояние ст оси до центра удара больше, чем до центра масс. Если ось вращения

проходит через центр масс тела, то а=0. и \;ы получаем h= В этом случае центра удара на конечном расстоянии не существует, и любой удар по телу будет пере-

даваться на ось.

Приложения полученных результатов иллюстрируются следующими примерами.

1. При конструировании вращающегося курка (см задачу 189) или маятникового копра (прибор в виде маятника для испытания материалов на удар) и т. п. надо

ось вращения располагать так, чтобы точка тела, производящая }дар, была по от-

ношению к этой оси центром удара.

2.При работе ручным молотом его надо брать за рукоятку в таком месте, чтобы точка, которой производится удар, была относительно руки центром удара. В противном случае руку будет «обжигать».

3.При ударе палкой, чтобы не «обжечь» руку (рис. 384), надо ударять тем местом, которое по отношению к руке будет центром удара. Если палку считать однородным длиной l а ось вращения совпадающей с его концом, то тогда , и .

Следовательно, (рис. 384) удар надо производить тем местом стержня, которое находится на расстоянии 2l/3 от руки или l/3 от другого конца стержня.

Задача 188. Мишень представляет собой тонкую однородную пластину, которая может вращаться вокруг оси Аz (рис. 385).

Форма мишени — прямоугольный треугольник ABD с катетами AB=l1 AD=l2. Определить, где у мишени находится центр удара, если известно, что для пластины ABD осевой момент инерции , а центробежный — (M —масса пластины, оси Ауz в плоскости пластины).

Решение. Так как у треугольной пластины ABD центр тяжести С находится на расстоянии от оси Аz, то по формуле (169) расстояние центра удара К от той же оси будет .

Остается определить, на каком расстоянии Ь находится центр удара от оси Ау. Для этого надо найти на оси Аz точку О, для которой эта ось будет главной. Если через точку О провести оси Ох'у'z', параллельные осям Ахуz, то точка О будет главной, когда и

Первое условие, очевидно, всегда выполняется, так как для пластины все =0. Чтобы найти, когда выполняется второе условие, воспользуемся тем, что нам известно значение и что ,а .Тогда = = , где . Следовательно если .

Итак, центр удара находится в точке К с координатами , .

Задача 189. Вращающийся курок AD в момент начала удара по ударнику В (рис. 386) имеет угловую скорость .

Определить скорость ударника в конце удара и импульсивное давление на ось А. Массы М и m курка и ударника, момент инерции курка относительно оси А, коэффициент восстановления k и расстояния а и b известны (точка С — центр масс курка).

Решение. Обозначим ударные импульсы, действующие на курок и ударник при ударе через S1 и S2. Тогда для курка [по уравнению (167)] и для ударника [по уравнению (154')], учитывая, что S1=S2=S, a =0, получим:

, (a)

У момента Sb взят знак минус, так как момент направлен противоположно направлению вращения курка. Кроме того, поскольку для точки D курка , a ( —скорость в начале удара, — в конце), то формула (158'), определяющая коэффициент восстановления при прямом ударе двух тел, дает:

или .

Подставляя сюда и S т уравнений (а), найдем скорость ударника в конце удара;

Для определения — импульсивной реакции, действующей со стороны оси на курок, составляем для курка уравнение (154) в проекциях на оси Ах и Ау. Учитывая, что , , найдем:

, (б)

Но из уравнений) (a) , . Подставляя эти величины

в равенство (б) и заменяя из его значением, получим окончательно

При точка D является центром удара и .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/11_105448_poterya-kineticheskoy-energii.html

Абсолютно упругий и неупругий центральный удар

Найти кинетическую энергию тела до удара

Проиллюстрируем применение законов сохранения импульса и энергии на примере удара тел.

Удар (или соударение) – это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время.

При ударе в телах возникают значительные внутренние силы, поэтому внешними силами, действующими на них, можно пренебречь и рассматривать соударяющиеся тела как замкнутую систему, применяя к ней законы сохранения.

Во время удара тела деформируются и кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел преобразуется в энергию упругой деформации.

Во время удара происходит перераспределение энергии между соударяющимися телами, но относительная скорость тел после удара не достигает своего прежнего значения (нет идеально упругих тел и идеально гладких поверхностей).

Отношение нормальных составляющих относительной скорости тел после и до удара называется коэффициентом восстановления :

. (3.4.1)

Если , то тела называют абсолютно неупругими, если – абсолютно упругими. Для большинства реальных тел . Например, для шаров из слоновой кости , для медных шаров , для свинцовых .

Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел перпендикулярно к поверхности их соприкосновения, называется линией удара.

Удар называют центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс.

Абсолютно упругий центральный удар – столкновение двух тел, в результате которого во взаимодействующих телах не остается деформаций, а вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию.

В этом случае выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии. Пусть шары массами и имели до удара скорости и соответственно. После удара их скорости стали и . Направления скоростей до удара показаны на рис. 3.4.1, после удара – на рис. 3.4.2. Запишем закон сохранения импульса (в проекции на ось Ох) и закон сохранения кинетической энергии:

Произведем преобразование

Откуда: , и .

Проанализируем эти формулы.

1. Пусть . Тогда и . Следовательно, при ударе шаров с равной массой они «обмениваются» скоростями.

2. Пусть (второй шар покоится). Тогда .

а) Если , то и . Следовательно, первый шар после удара остановится, а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался до удара первый шар.

б) Если , то и . Следовательно, первый шар будет двигаться после удара в прежнем направлении, но с меньшей скоростью. Скорость второго шара после удара будет больше, чем первого шара, и он будет двигаться в том же направлении, в котором двигался до удара первый шар.

в) Если , то по модулю и проекция на направление оси отрицательна. Следовательно, направление движения первого шара изменится – он отскакивает обратно. Скорость второго шара после удара будет меньше, чем первого, и он будет двигаться в том же направлении, в котором двигался до удара первый шар.

г) Если (столкновение шара со стеной), то и .

Следовательно, первый шар упруго отскакивает от стены и меняет направление своего движения на противоположное.

Абсолютно неупругий центральный удар – столкновение двух тел, в результате которого тела начинают двигаться как единое целое.

Пусть шары массами и имели до неупругого удара скорости и соответственно. После удара они стали двигаться как одно целое со скоростью . Направления скоростей до удара показаны на рис. 3.4.3, после удара – на рис. 3.4.4. При

абсолютно неупругом ударе выполняется только закон сохранения импульса:

.

Спроецируем это векторное уравнение на ось : , откуда

.

Если шары двигались навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар с большим импульсом.

В частном случае, если , то .

Закон сохранения кинетической энергии не выполняется, т.к. в процессе взаимодействия шаров между ними действуют силы, зависящие от скорости движения (этим они похожи на силы сопротивления), являющиеся диссипативными. Часть кинетической энергии переходит во внутреннюю. «Потеря» кинетической энергии

вследствие деформации равна: . Подставляя найденное значение , получим .

Проанализируем полученные формулы.

1. Если второе тело покоилось , то скорость шаров после удара . Во внутреннюю энергию переходит энергия .

2. Если (молот и наковальня), то , поэтому вся кинетическая энергия молота переходит в энергию деформаций куска металла (поковки), лежащей между молотом и наковальней.

3. Если (молоток и гвоздь), то и практически вся кинетическая энергия молотка затрачивается на перемещение гвоздя, а не на его деформацию.

Пример 3.4.1. Шар массой , движущийся горизонтально с некоторой скоростью , столкнулся с неподвижным шаром массы . Шары абсолютно упругие, удар прямой. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Дано: Решение:

Сделаем чертеж. Укажем направление скорости первого шара до удара (рис. 3.4.5) и возможные направления скоростей шаров после удара (рис. 3.4.6) (если направление выбрано неверно, то скорость получится со знаком « – »).

Доля энергии, переданной первым шаром второму: , где кинетическая энергия первого шара до удара; , скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

Для нахождения воспользуемся тем, что при абсолютно упругом ударе одновременно выполняются законы сохранения импульса (закон сохранения импульса записан в проекции на ось Ох) и

кинетической энергии: .

Решая совместно эти уравнения, найдем , следовательно, .

Таким образом, доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров и не изменится, если шары поменяются местами.

Ответ: .

Пример 3.4.2. Два шара массами и движутся навстречу друг другу со скоростями и . Удар неупругий. Определить: 1) скорость шаров после удара; 2) долю кинетической энергии шаров, превратившуюся во внутреннюю энергию.

Дано: Решение:

Сделаем чертеж. Укажем направление скоростей шаров до удара (рис. 3.4.7) и после удара (рис. 3.4.8). Выполняется только закон сохранения импульса . Спроецируем векторное уравнение на ось Ох: . Следовательно, скорость шаров после неупругого удара равна . Кинетическая энергия шаров до удара , после удара .

В результате неупругого удара шаров их кинетическая энергия уменьшается, за счет чего увеличивается их внутренняя энергия.

Долю кинетической энергии, пошедшей на увеличение их внутренней энергии, определим из соотношения .

Ответ: , .

Пример 3.4.3. Молот массой падает на поковку, масса которой вместе с наковальней . Скорость молота в момент удара равна . Найти: а) кинетическую энергию молота в момент удара ; б) энергию, переданную фундаменту ; в) энергию, затраченную на деформацию поковки ; г) к.п.д. удара молота о поковку. Удар молота рассматривать как неупругий.

Дано: Решение:

а) Кинетическую энергию молота в момент удара найдем по формуле .

б) Чтобы найти энергию, переданную фундаменту, найдем скорость системы молот – поковка (с наковальней) непосредственно после удара.

Запишем закон сохранения импульса, который выполняется при неупругом ударе, в проекции на ось (положительное направление оси совпадает с направлением движения молота) , где скорость поковки (с наковальней) перед ударом, скорость молота и поковки (вместе с наковальней) после удара. Учитывая, что до удара поковка покоилась , находим, что .

В результате сопротивления фундамента скорость быстро гасится, а кинетическая энергия, которой обладает система молот – поковка (с наковальней), передается фундаменту. Следовательно, энергия, переданная фундаменту . Поскольку , запишем .

в) Молот до удара обладал энергией . Энергия, переданная фундаменту . Следовательно, на деформацию поковки использовалась энергия .

г) Назначение молота – вызвать деформацию поковки. Следовательно, энергию следует считать полезной. Таким образом, , т.е. .

Ответ: , , , .

Пример 3.4.4. Молотком, масса которого , забивают в стену гвоздь массой . Определить к.п.д. удара молотка.

Решение:

Определим энергию, затраченную на углубление гвоздя в стену. Предварительно найдем скорость системы молоток – гвоздь непосредственно после удара. Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось Ох (положительное направление оси совпадает с направлением движения молотка): , где скорость молотка до удара, скорость гвоздя до удара, скорость молотка и гвоздя после удара.

Гвоздь перед ударом покоился . Поэтому .

В результате сопротивления стены скорость молотка и гвоздя после удара быстро гасится, а кинетическая энергия, которой обладает система молоток – гвоздь, затрачивается на углубление гвоздя в стену.

Эту энергию находим по формуле .

Т.к. молоток служит для забивания гвоздя в стену, то энергию следует считать полезной. Учитывая, что энергия молотка в момент удара , то .

Искомый к.п.д. , т.е. .

Ответ: .

Источник: https://studopedia.su/10_124968_absolyutno-uprugiy-i-neuprugiy-tsentralniy-udar.html

Biz-books
Добавить комментарий