Найти через время после начала движения угловую скорость

Решение. Скорость прямолинейного движения

Найти через время после начала движения угловую скорость

.

Подставим значение =1с и получим (м/с).

Ускорение прямолинейного движения равно второй производной пути по времени и, следовательно, (м/с2).

2. Тело вращается вокруг неподвижной оси так, что угол его поворота меняется с течением времени по закону , где A, B, C – постоянные коэффициенты. Зная, что момент инерции тела относительно оси вращения равен , найти момент сил М, действующий на тело в любой момент времени.

Решение. Основной закон динамики вращательного движения записывается как

.

Искомый момент сил М получим, подставив в это уравнение угловое ускорение . Угловая скорость , угловое ускорение . Отсюда .

3. Концентрация С некоторого вещества в крови человека вследствие его выведения из организма, изменяется с течением времени по закону Определить скорость изменения концентрации.

Решение. Скорость изменения концентрации определится как первая производная от концентрации по времени, т.е.

.

Решить задачи.

2.162. Прямолинейное движение точки совершается по закону (м). Определить скорость в момент времени с. (Ответ: v=27м/с).

2.163. В какой момент времени скорость точки, движущейся по закону , равна нулю? (Ответ: t=2 с).

2.164. Зависимость пути от времени дается уравнением (м). Найти скорость в конце второй секунды. (Ответ: v=1,75 м/с).

2.165. При прямолинейном движении точки зависимость пути от времени задана уравнением . Найти ускорение точки в конце четвертой секунды. (Ответ: a=-0,03 м/с2).

2.166. Точка движется по оси абсцисс по закону

(м).

В какой момент времени точка остановится? (Ответ: точка остановится при t=3 c).

2.167. Точка движется по закону (м). Найти скорость и ускорение движения через 1 с после начала движения. (Ответ: v=4 м/с, a=6 м/с2).

2.168. Диск вращается так, что угол поворота его радиуса (в радианах) изменяется по закону , где B=2 рад/с2, С=1рад/с3. Найти угловое ускорение диска в любой момент времени, а также момент силы, действующий на диск в любой момент времени, если момент инерции диска равен 0,02 кг×м2. (Ответ: e=(2+3t) c-2; M=0,04(2+3t) н×м).

2.169. Вращающееся колесо задерживается тормозом. Угол, на который колесо поворачивается в течение некоторого времени, определяется выражением . Найти угловую скорость и угловое ускорение движения через 2 с после включения тормоза. Определить, в какой момент времени колесо остановится. (Ответ: с-1, с-2, колесо остановится через t=0,2 c ).

2.170.Уравнение вращательного движения твердого тела имеет вид: j = A + Bt + Ct3, где A = 2 рад, B = 3 рад/с, C = 1 рад/с2.

Найти угол j, угловую скорость w и угловое ускорение e в моменты времени t1=1 c, t2 = 4 c.

(Ответ: ).

2.171. Угловой путь вращающегося тела задан уравнением j = 2t3 + 3t2 + 8 (рад). Получить уравнение для углового ускорения. (Ответ: ).

2.172. Чему равна угловая скорость тела в конце 1-й секунды вращения, если точка, расположенная на расстоянии 5 см от оси вращения, движется по закону S=t2+2t (м)? (Ответ: ).

2.173. Чему равна угловая скорость тела в конце 2-ой секунды вращения, если точка, расположенная на расстоянии R = 5 см от оси вращения, движется по закону S = 4 t2 + 4t (м ) ? (Ответ: ).

2.174. Определить угловые скорость и ускорение тела, если угловой путь задан уравнением j = at2 + b ( рад). (Ответ: ).

2.175. Определить угловое ускорение тела, если линейная скорость точки, движущейся по окружности R=10см, задана уравнением v = 2t + 4 (м/с). (Ответ: ).

2.176. Какую угловую скорость будет иметь тело к концу второй секунды, если вращение задано уравнением j = 2 t2 + 4t (рад). (Ответ: ).

2.177. Определить угловое ускорение тела, если линейная скорость точки, движущейся по окружности R=0,2 см, задана уравнением v = 3t + 4 (м/с). (Ответ: ).

2.178. Материальная точка вращается по окружности радиусом R= 2м по закону S = 3t2 (м). Определить ее угловое ускорение. (Ответ: ).

2.179. Уравнение вращения тела имеет вид j= t3 + 4 . Найти угловое ускорение тела в момент времени t = 3 с. (Ответ: ).

2.180. Угловой путь вращающегося тела задан уравнением j= t3 + 2t2 + 4. Найти уравнение для углового ускорения. (Ответ: ).

2.181. Чему равна угловая скорость тела в конце 1-й секунды вращения, если точка, расположенная на расстоянии 10 см от оси вращения, движется по закону S = 2t2 + 4t (м). (Ответ: ).

2.182. Какую угловую скорость будет иметь тело к концу второй секунды, если вращение задано уравнением j= 2t2 + 4t? (Ответ: ).

2.183. Определить угловое ускорение тела, если линейная скорость точки с радиусом-вектором 0,2 см задана уравнением V = 3t + 4 ( м/с). (Ответ: ).

2.184. Момент импульса тела с течением времени изменяется по закону L=4t+2(кг×м/с). Определить момент сил, действующих на тело. (Ответ: ).

2.185. Тело колеблется по закону (м). Найти скорость тела в момент времени .(Ответ: v=0,57 м/с).

2.186. Точка участвует в движении, заданном уравнением (м). Найти скорость и ускорение в момент времени .(Ответ: v=26,4 м/с, a=252 м/с2).

2.187. Тело массой 1 г колеблется по закону (м). Найти силу, действующую на тело в любой момент времени, и ее максимальное значение. Вычислить это значение при =3×104Гц.

(Ответ: Н, Н, Н).

2.188. Тело массой 25 кг движется по закону . Найти кинетическую энергию тела через 2 с после начала движения.

(Ответ ).

2.189. Центр тяжести кисти человека при ходьбе совершает колебания по закону (м). Определить максимальные скорость и ускорение центра тяжести кисти, а также период колебания. (Ответ: ).

2.190.Тело движется по закону . Найти ускорение для любого момента времени. (Ответ: ).

2.191. Гармоническое колебание задано уравнением X=5 cos (2p+p/4) (см). Получить уравнение для расчета скорости. Чему равна амплитуда скорости? (Ответ: ).

2.192. Гармоническое колебание задано уравнением X=5 cos ( p+p/6) (см). Определить амплитуду скорости. Для каких значений X скорость максимальна? (Ответ: ).

2.193. Уравнение для смещения гармонического колебательно движения задано в виде X=5 cos ( 2pt+p/2) ( мм). Найти выражение для ускорения. Результат представить в системе «СИ».

(Ответ: ).

2.194. Уравнение для смещения при гармоническом колебании задано в виде X=2cos(pt+p/4) ( м ). Найти закон изменения ускорения и построить график ускорения для этого движения. (Ответ: ).

2.195. Скорость гармонического колебательного движения задана уравнением V=-sin(2pt+p/4)(м/с). Найти закон изменения ускорения и построить его график. (Ответ: ).

2.196. Точка совершает гармонические колебания по закону синуса с амплитудой 10 см и периодом 0,2 с. Найти максимальное значение ускорения. Как изменится результат, если колебания будут происходить по закону косинуса? (Ответ: . Если колебания будут происходить по закону косинуса, результат не изменится).

2.197. Тело массой 1 г колеблется по закону X=2cos(2pt+p/3) (см). Определить потенциальную и кинетическую энергии тела в конце 1-ой секунды движения. (Ответ ).

2.198. Уравнение колебаний материальной точки массой m=16г имеет вид X=2sin(pt/8+p/4) (см), где X выражается в сантиметрах. Определить кинетическую, потенциальную и полную энергию точки через 2 секунды после начала колебаний.

( Ответ: ).

2.199. Материальная точка массой 0,05 кг колеблется по закону X=0,1sin(pt/5+p/3)(м). Найти максимальную силу, действующую на точку. (Ответ: ).

2.200.В результате значительной потери крови содержание железа в ней уменьшилось на 210 мг. Недостаток железа вследствие его восстановления с течением времени уменьшается по закону (время выражено в сутках). Найти зависимость скорости восстановления железа в крови от времени. Вычислить эту скорость в момент =0 и через 7 суток. (Ответ: ; ).

2.201. Фабричная труба выбрасывает за единицу времени некоторое количество P газообразного вещества, которое в результате диффузии распространяется в окружающем воздухе. Концентрация этого вещества на расстоянии от отверстия трубы определяется формулой , где — коэффициент диффузии. Найти убывание концентрации на каждую единицу расстояния (градиент концентрации).

(Ответ: ).

2.202. Зависимость барометрического давления от высоты при условии постоянной температуры дается барометрической формулой , где — давление на поверхности Земли (h=0), — масса киломоля воздуха, — универсальная газовая постоянная, Т – абсолютная температура, — ускорение свободного падения.

Получить формулу для определения градиента давления (т.е. изменения атмосферного давления на каждую единицу изменения высоты) для любой высоты, считая Т и постоянными. (Ответ: ).

2.203. Концентрация раствора меняется с течением времени по закону , где и — постоянные для данного процесса величины. Найти скорость растворения. (Ответ: ).

2.204. Величина потенциала, возникающего при возбуждении сетчатки глаза под действием света, равна (В) , где — постоянная величина, — время, отсчитываемое от момента освещения. Определить потенциал и скорость изменения потенциала в момент времени =0. (Ответ: скорость изменения потенциала (В/с)).

2.205. Конденсатор емкостью С и зарядом разряжается через сопротивление R так, что в любой момент времени заряд меняется по закону . Найти скорость изменения заряда конденсатора. Какова величина этой скорости в начале разряда ( =0)? Какой физический смысл имеет скорость изменения заряда? (Ответ: ; ).

2.206 . На бактерии действуют ультрафиолетовым излучением Доля убитых бактерий (в процентах) в зависимости от времени действия излучения описывается приближенной формулой , где — постоянная величина, определяемая видом бактерий и условиями воздействия. Получите формулу для расчета доли бактерий, уничтожаемых излучением при данных условиях за единицу времени. (Ответ: .

Глава 3



Источник: https://infopedia.su/7x134a.html

Кинематика

Найти через время после начала движения угловую скорость

1.41. Найти угловую скорость w: а) суточного вращения Земли; б) часовой стрелки на часах; в) минутной стрелки на часах; г) искусственного спутника Земли, движущегося по круговой орбите с периодом вращения Т = 88 мин. Какова линейная скорость v движения этого искусственного спутника, если известно, что его орбита расположена на расстоянии h = 200 км от поверхности Земли?

Решение:

1.42. Найти линейную скорость v вращения точек земной поверхности на широте Ленинграда (ф = 60°).

Решение:

1.43. С какой линейной скоростью должен двигаться самолет на экваторе с востока на запад, чтобы пассажирам этого самолета Солнце казалось неподвижным?

Решение:

1.44. Ось с двумя дисками, расположенными на расстоянии l = 0,5м друг от друга, вращается с частотой п-1600 об/мин. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба диска; при этом отверстие от пули во втором диске смещено относительно отверстия в первом диске на угол (ф = 12°. Найти скорость v пули.

Решение:

1.45. Найти радиус R вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость v1 точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости v2 точки, лежащей на расстоянии r = 5 см ближе к оси колеса.

Решение:

1.46. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости w-20рад/с через N = 10 об после начала вращения. Найти угловое ускорение е колеса.

Решение:

1.47. Колесо, вращаясь равноускоренно, через время t = 1мин после начала вращения приобретает частоту п = 720 об/мин. Найти угловое ускорение E колеса и число оборотов N колеса за это время.

Решение:

1.48. Колесо, вращаясь равнозамедленно, за время t = 1мин уменьшило свою частоту с n1 =300 об/мин до n2 =180 об/мин. Найти угловое ускорение е колеса и число оборотов N колеса за это время.

Решение:

1.49. Вентилятор вращается с частотой п = 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N = 75 об. Какое время t прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки?

Решение:

1.50. Вал вращается с частотой n = 180об/мин. С некоторого момента вал начинает вращаться равнозамедленно с угловым ускорением E = 3 рад/с2. Через какое время t вал остановится? Найти число оборотов N вала до остановки.

Решение:

1.51. Точка движется по окружности радиусом R = 20 см с постоянным тангенциальным ускорением аr = 5 см/с2. Через какое время t после начала движения нормальное ускорение аn точки будет: а) равно тангенциальному; б) вдвое больше тангенциального?

Решение:

1.52. Точка движется по окружности радиусом R = 10 см с постоянным тангенциальным ускорением а.. Найти тангенци ускорение ar точки, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки у = 79,2 см/с.

Решение:

1.53. Точка движется по окружности радиусом R = 10 см с постоянным тангенциальным ускорением аr. Найти нормальное ускорение аn точки через время t = 20 с после начала движения, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки v = 10 см/с.

Решение:

1.54. В первом приближении можно считать, что электрон в атоме водорода движется по круговой орбите с линейной скоростью v. Найти угловую скорость w вращения электрона вокруг ядра и его нормальное ускорение аn. Считать радиус орбиты r = 0,5 *10-10m и линейную скорость электрона на этой орбите v = 2,2*106 м/с.

Решение:

1.55. Колесо радиусом R = 10 см вращается с угловым ускорением E = 3,14 рад/с2. Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения: а) угловую скорость w ; б) линейную скорость v; в) тангенциальное уско аi; г) нормальное ускорение ап; д) полное ускорение а; е) угол а, составляемый вектором полного ускорения с ради колеса.

Решение:

1.56. Точка движется по окружности радиусом R = 2см. Зависимость пути от времени дается уравнением s = Сt3, где С = 0,1 см/с3. Найти нормальное an и тангенциальное аi ускоре точки в момент, когда линейная скорость точки v = 0,3 м/с.

Решение:

1.57. Точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени дается уравнением s = A-Bt + Ct2, где В = 2 м/с и С = 1 м/с2. Найти линейную скорость v точки, ее тангенциальное aг, нормальное ап и полное а ускорения через время t = 3с после начала движения, если известно, что при t' = 2 с нормальное ускорение точки а'п = 0,5 м/с2.

Решение:

1.58. Найти угловое ускорение s колеса, если известно, что через время t = 2 с после начала движения вектор полного уско точки, лежащей на ободе, составляет угол а = 60° с вектором ее линейной скорости.

Решение:

1.59. Колесо вращается с угловым ускорением E = 2рад/с2. Через время t = 0,5 с после начала движения полное ускорение колеса а-13,6 см/с2. Найти радиус R колеса.

Решение:

1.60. Колесо радиусом R = 0,.1м вращается так, что зави угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением ф = А + Bt + Ct2, где В = 2 рад/с и С = 1 рад/с\ Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через время / = 2 с после начала движения: а) угловую скорость со; б) линейную скорость v; в) угловое ускорение с; г) тангенциальное ат и нормальное аи ускорения.

Решение:

Источник: https://studyport.ru/zadachi/fizika/volkenshtejn/2-kinematika?start=2

Урок 19. решение задач с помощью производной — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс — Российская электронная школа

Найти через время после начала движения угловую скорость

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №19. Решение задач с помощью производной.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  1. механический смысл первой производной;
  2. механический смысл второй производных;
  3. скорость и ускорение.

Глоссарий по теме

Производная y’(x) функции y=f(x) – это мгновенная скорость изменения этой функции.

 В частности, если зависимость между пройденным путём S и временем t при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением S=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени t нужно найти производную S’=f’(x) и подставить в неё соответствующее значение t, то есть v(t)=S’(t).

Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную.

Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается fили

Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается или f'''(x). Производную n-го порядка обозначают f(n) (x) или y(n).

Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть

Первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение. (v= S'; a=v')

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте вспомним механический смысл производной:

Производная y’(x) функции y=f(x) – это мгновенная скорость изменения этой функции.

 В частности, если зависимость между пройденным путём S и временем t при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением S=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени t нужно найти производную S’=f’(x) и подставить в неё соответствующее значение t, то есть v(t)=S'(t).

Пример 1. Точка движется прямолинейно по закону   (S выражается в метрах, t – в секундах). Найти скорость движения через 3 секунды после начала движения.

Решение: 

скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени, то есть .

Подставив в уравнение скорости t=3 с, получим v(3)=32+4∙3-1= 20 (м/с).

Ответ: 20 м/c.

Пример 2. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол

Найдите:

а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 6 с;

б) в какой момент времени маховик остановится?

Решение: а) Угловая скорость вращения маховика определяется по формуле ω=φ'. Тогда ω=(4t-0,2t2)=4-0,4t.

Подставляя t = 6 с, получим ω=4-0,4∙6=1,6 (рад/с). 

б) В тот момент, когда маховик остановится, его скорость будет равна нулю (ω=0) . Поэтому 4-0,4t=0.. Отсюда t=10 c.

Ответ: угловая скорость маховика равна (рад/с); t=10 c.

Пример 3. Тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону S=3t2+2t-5. Найти кинетическую энергию тела через 3 с после начала движения.

Решение: найдём скорость движения тела в любой момент времени t.

v= S'=(3t2+2t-5)’=6t+2

Вычислим скорость тела в момент времени t=3. v(3)=6∙3+2=20 (м/с)..

Определим кинетическую энергию тела в момент времени t=3. 

Ответ: Е=1200 Дж

Производная второго порядка. Производная n-го порядка.

Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную.

Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается .

Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается y''' или f'''(x) Производную n-го порядка обозначают f(n) (x) или y(n).

Примеры. Найдем производные четвёртого порядка для заданных функций:

1) f(x)= sin 2x

f'(x)=cos 2x∙(2x)’= 2cos 2x

f (x)=-2sin2x∙(2x)’=-4sin 2x

f'''(x)= -4 cos 2x∙(2x)= -8 cos 2x

f(4)(x)= 8 sin2x∙(2x)’= 16 sin 2x

2) f(x)=23x

f’(x)=3∙ 23x ∙ln2

f (x)= 9∙ 23x ∙ln22

f'''(x)= 27∙ 23x ∙ln32

f(4)(x)= 81∙ 23x ∙ln42

Механический смысл второй производной.

Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть 

Итак, первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение. (v= S’; a=v’)

Пример 4. Точка движется прямолинейно по закону S(t)= 3t2-3t+8. Найти скорость и ускорение точки в момент t=4 c.

Решение:

найдём скорость точки в любой момент времени t.

v=S’=(3t2-3t+8)’=6t-3.

Вычислим скорость в момент времени t=4 c.

v(4)=6∙4-3=21(м/с)

Найдём ускорение точки в любой момент времени t.

a= v’= (6t-3)’=6 и a(4)= 6 (м/с2) , то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.

Ответ: v=21(м/с); a= v’= 6 (м/с2).

Пример 5. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону S(t)=t3-3t2+5. Найти силу, действующую на тело в момент времени t=4 c.

Решение: сила, действующая на тело, находится по формуле F=ma. 

Найдём скорость движения точки в любой момент времени t.

v=S’=(t3-3t2+5)’=3t2-6t.

Тогда v(4)=3∙42-6∙4=24 (м/с). 

Найдём ускорение: a(t)=v’=(3t2-6t)’=6t-6.

Тогда a(4)= 6∙4-6= 18 (м/с2).

F=ma=3∙18= 54 Н

Ответ: F= 54 Н

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Напишите производную третьего порядка для функции:

f(x)= 3cos4x-5×3+3×2-8

_____________________

Решим данную задачу:

f’’’(x)=( 3cos4x-5×3+3×2-8)’’’=(((3cos4x-5×3+3×2-8)’)’)’=((-12sin4x-15×2+6x)’)’=(-48cos4x-30x)’=192sin4x-30.

Ответ: 192sin4x-30

№ 2. Тип задания: выделение цветом

Точка движется прямолинейно по закону S(t)= 3t2+2t-7. Найти скорость и ускорение точки в момент t=6 c.

  1. v=38 м/с; a=6 м/с2
  2. v=38 м/с; a=5 м/с2
  3. v=32 м/с; a=6 м/с2
  4. v=32 м/с; a=5 м/с2

Решим данную задачу:

Воспользуемся механическим смыслом второй производной:

v= S’(t)=( 3t2+2t-7)’=6t+2.

Вычислим скорость в момент времени t=6 c.

v(6)=6∙6+2=38 (м/с)

Найдём ускорение точки в любой момент времени t.

a= v’= (6t+2)’=6 и a(6)= 6 (м/с2) , то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.

Ответ: v=38(м/с); a= v’= 6 (м/с2).

Верный ответ:

  1. v=38 м/с; a=6 м/с2
  2. v=38 м/с; a=5 м/с2
  3. v=32 м/с; a=6 м/с2
  4. v=32 м/с; a=5 м/с2

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6195/conspect/

Biz-books
Добавить комментарий