Начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности. Метод Фурье. Украинский П.С.

Решение первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности

Начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности. Метод Фурье. Украинский П.С.

Рассмотримоднородную первую начально-краевуюзадачу для уравнения теплопроводности:

Найтирешение уравнения

Ut=Uxx,00,

(16)

иначальному условию

(17)

Решимэту задачу методом Фурье.

Шаг1.Будем искать решения уравнения (15) ввиде U(x,t)= X(x)T(t).

Найдемчастные производные:

Подставимэти производные в уравнение и разделимпеременные:

Поосновной лемме получим

Отсюдаследует

Теперьможно решить каждое из этих обыкновенныхдифференциальных уравнений. Обратимвнимание на то, что используя граничныеусловия (16), можно искать не общее решениеуравнения б), а частные решения,удолетворяющие соответствующим граничнымусловиям:

Шаг2. Решимзадачу Штурма-Лиувилля

Этазадача совпадает с задачей Штурма-Лиувилля,рассмотренной в лекции3. Напомним,что собственные значения и собственныефункции этой задачи существуют толькопри λ>0.

Собственныезначения равны 

Собственныефункции равны (См.решение задачи)

Шаг3. Подставимсобственные значения вуравнение а) и решим его:

Шаг4. Выпишемчастные решения уравнения (15):

(18)

Всилу линейности и однородности уравнения(15) их линейная комбинация

(19)

такжебудет решением этого уравнения, причемфункция U(x,t) удолетворяети граничным условиям (16).

Шаг5. Определимкоэффициенты Anв(19), используя начальное условие (17):

(20)

Приходимк тому, что начальная функция φ(x)разлагаетсяв ряд Фурье по собственным функциямзадачи Штурма-Лиувилля. По теоремеСтеклова такое разложение возможно дляфункций, удовлетворяющих граничнымусловиям и имеющих непрерывные производныевторого порядка. Коэффициенты Фурьенаходятся по формулам

Вычисливэти коэффициенты для конкретной начальнойфункции φ(x)иподставив их значения в формулу (19), мытем самым получим решение задачи (15),(16), (17).

Замечание. Используяформулу (19), можно также, как в лекции3,получить решение первой начально-краевойзадачи для уравнения Ut=a2Uxx.Оно будет иметь вид

                                                         где 

Уравнениераспространения тепла в стержне.Формулировка краевой задачи. Рассмотримоднородный стержень длины ℓ. Будемпредполагать, что боковая поверхностьстержня теплонепроницаема и что во всехточках поперечного сечения стержнятемпература одинакова. Изучим процессраспространения тепла в стержне.

Расположимось Ох так, что один конец стержня будетсовпадать с точкой х = , а другой – сточкой х = ℓ. Пискуновстр252рис.373 Пустьu (x, t) – температура в сечении стержняс абсциссой х в момент t. Опытным путемустановлено, что скорость распространениятепла, т. е.

количество тепла, протекающегочерез сечение с абсциссой х за единицувремени, определяется формулой гдеS – площадь сечения рассматриваемогостержня, k – коэффициенттеплопроводности. Рассмотримэлемент стержня, заключенный междусечениями с абсциссами х1 их2 (х2 –х1 =∆х).

Количество тепла, прошедшего черезсечение с абсциссой х1завремя ∆t, будет равно тоже самое с абсциссой х2: Приток∆Q1 — ∆Q2 вэлемент стержня за время ∆t будетравняться: Этотприток тепла за время ∆t затратился наповышение температуры элемента стержняна величину ∆u: или гдес – теплоемкость вещества стержня, ? –плотность вещества стержня (?∆xS – массаэлемента стержня).

Приравниваявыражения (129) и (130) одного и того жеколичества тепла ∆Q1 -∆Q2,получим:  Этои есть уравнение распространения тепла(уравнение теплопроводности) в однородномстержне. Чтобырешение уравнения (131) было вполнеопределено, функция u (x, t) должнаудовлетворять краевым условиям,соответствующим физическим условиямзадачи. Краевые условия для решенияуравнения (131) могут быть различные.

Условия, которые соответствуют такназываемой первой краевой задаче для0 ? t ? T, следующие: u(x, 0) = ?(x), (132) u(0, t) = ?1(t),(133) u(ℓ, t) = ?2(t).(134) Физическоеусловие (132) (начальное условие)соответствует тому, что при t = 0 в разныхсечениях стержня задана температура,равная ?(x).

Условия (133) и (134) (граничныеусловия) соответствуют тому, что наконцах стержня при х = 0 и при х = ℓподдерживается температура, равная?1(t)и ?2(t)соответственно. Доказывается,что уравнение (131) имеет единственноерешение в области 0 ? х ? ℓ, 0 ? t ? T ,удовлетворяющее условиям (132) –(134).Распространениетепла в пространстве.

Рассмотримпроцесс распространения тепла втрехмерном пространстве. Пусть u(x, y, z,t) – температура в точке с координатами(x, y, z) с момент времени t. Опытным путемустановлено, что скорость прохождениятепла через площадку ∆s, т. е.

количествотепла, протекающего за единицу времени,определяется формулой (аналогичноформуле (126)) гдеk – коэффициент теплопроводностирассматриваемой среды, которую мысчитаем однородной и изотропной, n –единичный вектор, направленный понормали к площадке ∆s в направлениидвижения тепла.

Таким образом, можемзаписать: гдеcos ?, cos ?, cos ? – направляющие косинусывектора n, или  Подставляявыражение вформулу (135), получаем: ∆Q= -k n grad u ∆s. Количествотепла, протекающего за время ∆t черезплощадку ∆s, будет равно: ∆Q∆t= -k n grad u ∆t ∆s. Вернемсяк поставленной задаче. В рассматриваемойсреде выделим малый объем V, ограниченныйповерхностью S.

Количество тепла,протекающего через поверхность S, будетравно: гдеn – единичный вектор, направленный повнешней нормали к поверхности S. Очевидно,что формула (136) дает количество тепла,поступающего в объем V (или уходящегоиз объема V) за время ∆t. Количествотепла, поступившего в объем V, идет наповышение температуры вещества этогообъема. Рассмотримэлементарный объем ∆?.

Пусть за время∆t его температура поднялась на ∆u.Очевидно, что количество тепла, затраченноена это повышение температуры элемента∆?, будет равно гдес – теплоемкость вещества, ? – плотность.Общее количество тепла, затраченное наповышение температуры в объеме V завремя ∆t, будет Ноэто есть тепло, поступающее в объем V завремя ∆t; оно определено формулой (136) .

Таким образом, имеет месторавенство Сокращаяна ∆t, получаем: Поверхностныйинтеграл, стоящий в левой части этогоравенства, преобразуем по формулеОстроградского (в векторной форме, гдеF – дивергенция векторного поля, ? –замкнутая поверхность) полагаяF = k grad u: Заменяядвойной интеграл, стоящий в левой частиравенства (137), тройным интегралом,получим: Применивтеорему о среднем к тройному интегралу,стоящего слева, получим : гдеP(x, y, z) – некоторая точка объема V. Таккак мы можем выделить произвольныйобъем V в трехмерном пространстве, гдепроисходит распространение тепла, итак как мы предполагаем, что подынтегральнаяфункция в равенстве (138) непрерывна, торавенство (139) будет выполняться в каждойточке пространства. Итак, Но Подставляяв уравнение (140), получаем: Еслиk – постоянное, то иуравнение (140) в этом случае дает: или,положив Короткоуравнение (142) записывается так: где ∆u– оператор Лапласа. Уравнение (142) и естьуравнение теплопроводностив пространстве. Длятого чтобы найти единственное решение,отвечающее поставленной задаче, нужнозадать краевые условия. Пустьимеем тело ?, поверхность которого ?. Вэтом теле рассматривается процессраспространения тепла. В начальныймомент температура тела задана. Этосоответствует тому, что известно значениерешения при t = 0 – начальноеусловие: u(x,y, z, 0) = ? (x, y, z). (143) Крометого, должна быть известна температурав любой точке М поверхности ? тела влюбой момент времени t – граничноеусловие: u(М, t) = ? (М, t). (144) (Возможныи другие граничные условия.) Еслиискомая функция u (x, y, z, t) не зависит отz, что соответствует тому, что температуране зависит от z, то получаем уравнение:

  • уравнение распространения тепла на плоскости. Если рассматривается распространения тепла в плоской области D с границей С, то граничные условия, аналогично (143) и (144), формулируются так:

u(x, y, 0) = ? (x, y), u(М,t) = ? (М, t), где? и ? – заданные функции, М – точка границыС. Еслиже функция u не зависит ни от z, ни от y,то получаем уравнение — уравнениераспространения тепла в стержне.

Источник: https://studfile.net/preview/2789949/page:3/

Метод Фурье решения начально- краевых задач для уравнения теплопроводности в тонком стержне

Начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности. Метод Фурье. Украинский П.С.

В настоящем параграфе метод Фурье применим к решению первой начально-краевой задачи для уравнения (2.31) теплопроводности в тонком стержне.

7.1. Случай однородного уравнения.Рассмотрим задачу:найти функцию непрерывную при , удовлетворяющую уравнению

, (7.1)

граничным условиям

(7.2)

и начальному условию

(7.3)

где — заданная функция, имеющая непрерывную производную и

Ищем решение уравнения (7.1), удовлетворяющее условиям (7.2), в виде

(7.4)

Подставляя (7.4) в уравнение (7.1) и разделяя переменные, получаем

или

(7.5)

(7.6)

Кроме того, из граничных условий (7.2) следует, что

(7.7)

Итак, для определения функции имеем задачу Штурма- Лиувилля (7.6), (7.7). Эта задача изучена нами в пункте 6.1 §6. Ее решение имеет вид:

(7.8)

Подставляя значения из (7.8) в уравнение (7.5), получаем

которое представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение дается формулой

(7.9)

где произвольные постоянные.

Теперь, если (7.8), (7.9) подставить в (7.4), то получим частные решения уравнения (7.1), удовлетворяющие граничным условиям (7.2), следующего вида

Чтобы удовлетворить начальному условию (7.3), составим ряд из этих частных решений:

(7.10)

Подставляя (7.10) в условие (7.3), будем иметь:

(7.11)

(7.11) есть разложение функции в ряд Фурье по синусам. Поступая как и в §6, приходим к тому, что соотношение (7.11) будет удовлетворено, если коэффициенты разложения (7.11) определены по формулам

(7.12)

Подставляя (7.12) в (7.10), получаем решение задачи (7.1)- (7.3).

По поводу обоснования полученного решения в виде (7.10) необходимо сказать то же самое, что и в §6: ряд (7.10) и ряды, получаемые формальным почленным дифференцированием этого ряда дважды по , один раз по , сходятся равномерно в области . Можно показать, что при условиях, наложенных выше на функцию , эти условия выполняются.

7.2. Случай неоднородного уравнения.Требуетсянайти функцию непрерывную при , удовлетворяющую уравнению

, (7.13)

граничным условиям

(7.14)

и начальному условию

(7.15)

где — заданная функция, имеющая непрерывную производную и

Решение задачи (7.13)- (7.15) будем искать в виде

(7.16)

где есть решение задачи

(7.17)

(7.18)

(7.19)

а есть решение задачи

(7.20)

(7.21)

(7.22)

Задача (7.17)- (7.19) для функции рассмотрена нами в пункте 7.1; ее решение дается рядом (7.10). Решение задачи (7.20)- (7.22) будем искать в виде

(7.23)

где неизвестные функции.

Пусть ряд (7.23) равномерно сходится в области и допускает почленное дифференцирование дважды по и один раз по . Тогда, подставляя (7.23) в (7.20), получаем

откуда

(7.24)

где

(7.25)

С учетом (7.23) из условий (7.22) получим

(7.26)

Следовательно, для определения функций имеем задачу (7.24), (7.26), представляющую задачу Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения первого порядка (7.24) с начальным условием (7.26). Ее решение дается формулой

(7.27)

Подставляя в (7.27) вместо выражение (7.25), а затем полученный результат в (7.23), получаем решение задачи (7.20)- (7.22). Решение исходной задачи (7.13)- (7.15) найдем по формуле (7.16).

Решение задачи для уравнения теплопроводности (7.13) в случае неоднородных граничных условий совершенно аналогично соответствующему случаю для уравнения колебаний струны (см. пункт 6.3).

В заключение параграфа отметим, что для уравнения теплопроводности может быть поставлена задача Коши:найти функцию , непрерывную при , удовлетворяющую уравнению

и начальному условию

где непрерывная и ограниченная функция.

Решение этой задачи Коши дается формулой Пуассона

где

Функция называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности.

Пример 7.1. Решить методом Фурье начально-краевую задачу для однородного уравнения теплопроводности:

Решение.Решение этой задачи дается формулой (7.10), в которой коэффициенты определены соотношениями (7.12). В нашем случае

Внося эти данные в (7.12), получаем

Вычислим интегралы:

если

при

Подставив эти значения коэффициентов в (7.10), получим решение задачи в следующем виде

Второй способ нахождения коэффициентов Функцию заданную соотношением (7.10), подставим в начальное условие:

Правая часть этого равенства представляет собой разложение в ряд Фурье по синусам. Поэтому, приравнивая коэффициенты при одинаковых , будем иметь: остальные равны нулю.

Пример 7.2.Решить методом Фурье начально-краевую задачу для неоднородного уравнения теплопроводности

Решение. В соответствии с изложенным в разделе 7.2 §7 решение этой задачи ищется в виде

(7.28)

где есть решение задачи

а есть решение задачи

Сначала решаем задачу относительно функции решение которой дается формулой (7.10), в которой коэффициенты определены соотношениями (7.12). В нашем случае Внося эти данные в (7.12), получаем

Вычислим эти интегралы с помощью двукратного интегрирования по частям:

Отсюда видно, что коэффициенты с четными номерами равны нулю. Подставив эти значения коэффициентов в (7.10), получим решение первой задачи относительно в следующем виде

(7.29)

Перейдем к решению задачи относительно функции Ее ищем в виде (7.23), где и функции определяются формулой (7.27), которая в нашем случае примет вид:

, (7.30)

где для в силу (7.25) с учетом получаем интеграл

который вычисляется по частям:

Внося это выражение в (7.30), для получаем

Теперь, если это значение подставить в (7.23), то получим решение второй задачи , которое вместе с (7.29) по формуле (7.28) дает решение исходной задачи.

Задачи

Методом Фурье найти решения следующих начально-краевых задач для уравнения теплопроводности:

7.1. 7.2.

7.3. 7.4.

7.5. 7.6.

Дата добавления: 2017-03-29; просмотров: 6264; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ПОСМОТРЕТЬ ЁЩЕ:

Источник: https://helpiks.org/9-9428.html

Biz-books
Добавить комментарий