Методы оптимизации и расчеты на ЭВМ технико-экономических задач. Ромашова О.Ю.

1 Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета Рецензенты: В. В. Литвак – д.т.н., зам. директора Регионального центра управления

Методы оптимизации и расчеты на ЭВМ технико-экономических задач. Ромашова О.Ю.

Книги по всем темамPages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   …   | 16 | ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский политехнический университет» О. Ю.

Ромашова МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ И РАСЧЕТЫ НА ЭВМ ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Учебное пособие Издательство ТПУ Томск 2009 УДК 621.311.25 Р 69 Ромашова О. Ю.

Р 69 Методы оптимизации и расчеты на ЭВМ технико-экономических задач: учебное пособие.

– Томск : Изд-во ТПУ, 2009. – 210 с.

Целью предлагаемого учебного пособия, как и одноименного курса, является:

– теоретическое освоение методов оптимизации и основ технико-экономической оптимизации теплоэнергетического оборудования;

– приобретение навыков математического моделирования процессов и оборудования ТЭС в оптимизационных задачах.

пособия включает теорию математических методов одномерной и многомерной оптимизации, основы математического моделирования теплоэнергетических установок (ТЭУ) и методики технико-экономического выбора наилучших вариантов при проектировании оборудования и тепловых схем ТЭС и АЭС. В пособии также приведены многочисленные примеры использования математического аппарата в типичных оптимизационных задачах ТЭУ.

Пособие подготовлено на кафедре атомных и тепловых электростанций и предназначено для студентов специальности 140101 «Тепловые электрические станции» Института дистанционного образования.

УДК 621.311.25 Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета Рецензенты:

В. В. Литвак – д.т.н., зам. директора Регионального центра управления энергосбережением (г. Томск);

С. А. Косяков – к.т.н., руководитель Центра комплексных энергосберегающих технологий (г. Северск).

© Томский политехнический университет, 2009 2 ВВЕДЕНИЕ В настоящее время теория оптимизации вносит заметный вклад в ускорение научно-технического прогресса. Успешному применению методов оптимизации способствует современная вычислительная техника.

Трудно назвать такую область инженерной деятельности, где бы ни возникали задачи оптимизационного характера: определение наиболее эффективного режима работы различных технических систем, организация производства, дающего наибольшую возможную прибыль при заданных ограниченных ресурсах, и др.

Оптимизация – это выбор наилучшего решения из всех возможных. Выбор наилучшего варианта технической системы осуществляется путем вариации независимых параметров системы на основании некоторого критерия эффективности.

Независимые параметры системы, влияющие на эффективность работы системы, называются оптимизируемыми (или управляемыми) параметрами.

В процессе оптимизации требуется найти оптимальные значения оптимизируемых параметров.

Оптимальные параметры соответствуют наиболее эффективной работе системы.

Число оптимизируемых параметров характеризует размерность задачи оптимизации.

Выбор оптимальных параметров осуществляется с помощью некоторой функции, связывающей эти параметры и позволяющей судить об эффективности работы системы. Функцию, связывающую оптимизируемые параметры и являющуюся критерием оптимальности (качества) системы, называют целевой функцией.

Целевая функция достигает минимума (максимума) при оптимальных значениях оптимизируемых параметров.

Таким образом, инженерная оптимизационная задача формулируется следующим образом: для технической системы путем вариации независимых параметров найти их оптимальные значения, выбрав в качестве критерия эффективности некоторую функцию, которая достигает минимума (максимума) в оптимальной точке и называется целевой функцией.

Ограничения, накладываемые на оптимизируемые параметры, определяют допустимую область решений.

Схема решения практической оптимизационной задачи включает следующие этапы:

1) создание математической модели объекта (специалист);

2) выбор метода решения (математик);

3) составление программы на ЭВМ, проведение вычислений (программист).

В идеальном случае полученные результаты должны удовлетворять специалиста. Однако, как это часто бывает, идеальная и на первый взгляд безупречная схема в реальных условиях не действует. Дело в том, что все этапы взаимосвязаны.

Специалист, создающий модель, должен смотреть вперед – предвидеть возможные затруднения при программной реализации. Со своей стороны, математик или программист часто вынужден упрощать модель, изменяя ее. Для этого нужны консультации специалиста.

Только после многочисленных корректировок удается добиться от ЭВМ удовлетворительных результатов.

В такой ситуации возрастают требования к математической и компьютерной подготовке специалистов.

В новых условиях инженер должен уметь грамотно переводить на математический язык технические задачи, анализировать зависимость их решений от условий, режимов, параметров реальных процессов и выбирать наилучшие варианты, т. е.

обладать навыками математического моделирования и оптимизации технических систем.

Поэтому курсу методов оптимизации и практическому применению их для технико-экономических расчетов отводится значительная роль в профессиональной подготовке студентов Томского политехнического университета. Поскольку в большинстве случаев аналитическое решение задач оптимизации затруднительно или невозможно, инженер-исследователь должен владеть численными методами, рассчитанными на применение ЭВМ.

Роль ЭВМ в решении оптимизационных задач трудно переоценить. Известно, что первый численный метод оптимизации – линейное программирование – был опубликован в 1939 г. в брошюре советского ученого Л. В. Канторовича «Методы организации и планирования производства».

В ней излагались методы, слишком сложные для ручного счета, поэтому работа была практически забыта. И только с появлением ЭВМ линейное программирование возродилось. За применение линейного программирования в экономике Л. В. Канторовичу в 1975 г.

была присуждена Нобелевская премия.

Между потребностью решить задачу оптимизации и ее приведением к однозначной, подходящей для решения на ЭВМ форме существует значительная дистанция. Этот этап называется постановкой задачи.

От постановки задачи значительно зависит качество и достоверность получаемых результатов, а также скорость их получения.

Постановка каждой задачи оптимизации включает два объекта: множество допустимых решений и целевую функцию, которую следует минимизировать или максимизировать на указанном множестве.

Математическая формулировка оптимизационной задачи в общем виде F(X ) min (max), X D где n – размерность задачи;

F(X ) – целевая функция;

X (x1, x2,…, xn) – n-мерный вектор независимых оптимизируемых параметров;

D – допустимая область решений. Множество допустимых решений задается системой ограничений на оптимизируемые параметры в виде равенств и неравенств.

В дальнейшем будем рассматривать лишь задачи и методы минимизации, т. к. любую задачу поиска максимума функции F(X ) max, X D можно свести к задаче минимизации заменой целевой функции на противоположную величину — F(X ) min, X D.

Классификация методов оптимизации В зависимости от числа оптимизируемых параметров задачи и методы оптимизации делятся на одномерные (n = 1) и многомерные (n 2).

В зависимости от характера функции и области определения решать многомерные задачи минимизации можно аналитически (точно) либо одним из численных методов (с заданной погрешностью).

При отсутствии ограничений на оптимизируемые параметры задачи оптимизации и методы их решения называются безусловными (т. е.

без условий, без ограничений).

При наличии ограничений задачи и методы называются условными (иначе – с условиями). Для численного решения задач с ограничениями используются методы математического программирования.

Для решения безусловных задач минимизации аналитическим методом используется классический аппарат, заключающийся в приравнивании нулю частных производных целевой функции по всем оптимизируемым параметрам и решении полученной системы уравнений.

Аналитическое решение условных задач минимизации с ограничениями дает метод неопределенных множителей Лагранжа. Аналитические методы имеют ограниченное применение в инженерных задачах, т. к. требуют дифференцируемости исследуемой функции и накладывают особые условия на ограничения.

Основными методами являются численные, успешному использованию которых способствуют ЭВМ.

Основные понятия и определения хорошо изложены в [1–4].

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЪЕКТОВ ОПТИМИЗАЦИИ Оптимизация – это выбор наилучшего решения из всех возможных. Для того чтобы использовать методы оптимизации на практике, надо прежде всего сформулировать рассматриваемую задачу на математическом языке, т. е. построить математическую модель объекта оптимизации.

Математическое моделирование – это замещение оригинала математической моделью. Математическое моделирование наилучшим образом подходит для целей оптимизации, т. к. позволяет сравнивать между собой большое число вариантов.

Этапы построения математической модели приведены на рис. 1.1.

Общий подход к моделированию теплоэнергетических установок изложен в [5].

1. Постановка задачи оптимизации 1.2. Определение цели 1.1. Формулирование задачи.

и критериев. Качественное Выбор параметров описание задачи 2. Составление математического описания 2.3.

2.2.

2.1.

ЭкспериментальноЭкспериментальные Аналитические аналитические методы методы методы 3. Составление алгоритма и реализация его в виде программы 3.2. Составление 3.1. Выбор численного метода алгоритма программы 3.4.

Отладка программы 3.3. Программирование 4. Установление адекватности модели объекту 5. Использование модели в оптимизационных задачах Рис. 1.1.1. Основы теории погрешностей Общие методические указания изложены в [6].

Обозначим: A – точное число; a – приближенное число.

Абсолютная погрешность = a — A.

Относительная погрешность =.

A Десятичная запись числа a = 1 10m + 2 10m-1 +… + n 10m-n-1 +…, где i – цифры числа (i =1, 2,…, n) ; 1 0 ;

m – старший десятичный разряд.

Значащие цифры Значащими цифрами приближенного числа a называются все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля, и нули, если они содержатся между значащими цифрами или расположены в конце числа и указывают на сохранение разряда точности.

Пример 1.1. В числе 0,001405 значащими являются четыре цифры:

1, 4, 0, 5.

Верные знаки в узком смысле Приближенное число a = 1 10m + 2 10m-1 +…+ n 10m-n+1 +…

содержит n верных знаков в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы десятичного разряда, выражаемого n-й значащей цифрой, считая слева направо, т. е. если выполняется неравенство 0,510m-n+1.

Пример 1.2. Приближенное число a = 7,21508 имеет абсолютную погрешность = 0,00007.

= 0,00007 0,510-3; разряд 10-3 указывает позицию последней справа верной значащей цифры, т. е. число a имеет четыре верных знака в узком смысле: 7, 2, 1, 5.

Верные знаки в широком смысле Приближенное число a = 1 10m + 2 10m-1 +…+ n 10m-n+1 +…

содержит n верных знаков в широком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит единицы десятичного разряда, выражаемого n-й значащей цифрой, считая слева направо, т. е.

110m-n+1.

Пример 1.3. a = 7,21508; = 0,00007.

= 0,00007 110-4; разряд 10-4 указывает позицию последней справа верной значащей цифры, т. е. число a имеет пять верных знаков в широком смысле: 7, 2, 1, 5, 0.

Предельная абсолютная погрешность Предельная абсолютная погрешность может быть вычислена по формуле 10m-n+1, где m – верхний разряд;

n – количество верных значащих цифр;

= 0,5, если верные значащие цифры указаны в узком смысле;

=1, если верные значащие цифры указаны в широком смысле.

Предельная относительная погрешность Предельная относительная погрешность может быть вычислена по формуле a =, 1 10n-где 1 – первая значащая цифра числа a ;

n – количество верных значащих цифр;

= 0,5, если верные значащие цифры указаны в узком смысле;

= 1, если верные значащие цифры указаны в широком смысле.

Пример 1.4. Определить, какое равенство точнее: a1 =13/19 0,или a2 = 52 7,21.

Находим предельные абсолютные погрешности чисел a1 и a2.

Для этого берем числа a1 и a2 с большим числом десятичных знаков:

13/19 0,68421; 52 7,2111. Определяем предельные абсолютные погрешности, округляя их с избытком:

a1 = 0,68421 — 0,684 0,00022 ;

a2 = 7,2111 — 7,21 0,0012.

Находим предельные относительные погрешности:

a1 = a1 / a1 = 0,00022 / 0,684 0,00033 = 0,033 % ;

a2 = a2 / a2 = 0,0012 / 7,21 0,00017 = 0,017 %.

Второе равенство является более точным, поскольку a2 < a1.

Пример 1.5. Определить предельные абсолютную и относительную погрешности приближенного числа a = 96,387, если оно содержит только верные цифры в узком смысле.

Так как для числа a = 96,387 последняя верная значащая цифра стоит в разряде тысячных долей (10-3), то a 0,5 10-3, т. е.

a 0,0005, или a = 0,0005. Тогда число a можно записать как 96,387 ± 0,0005.

Предельная относительная погрешность a = = 0,000005 = 5 10-6.

2,9 105-Пример 1.6. Определить предельные абсолютную и относительную погрешности приближенного числа b = 6,32, если оно содержит только верные цифры в широком смысле.

Последняя цифра приближенного числа b = 6,32 стоит в разряде сотых долей (10-2 ). Так как это число содержит верные цифры в широком смысле, то, следовательно, b 110-2, т. е. b 0,01, или a = 0,01. Тогда число b можно записать как 6,32 ± 0,01.

Предельная относительная погрешность b = = = 0,0016667.

1 10n-1 6 103-Погрешности алгебраических действий • cуммы (a + b) = a + b ;

• разности (a -b) = a + b ;

• произведения (a b) = a + b ;

• частного (a / b) = a + b;

• m -й степени am = m a ;

m • корня m -й степени a = a.

m Правила подсчета цифр При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранить столько десятичных знаков, сколько их в приближенном, данном с наименьшим числом десятичных знаков.

Пример 1.7. a = 0,12 ; b = 0,37401; a + b = 0,49401 0,49.

При умножении и делении в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в приближенном, данном с наименьшим числом значащих цифр.

Пример 1.8. a = 0,2; b = 0,41; a b = 0,82 0,8.

При возведении приближенного числа в квадрат или куб в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в основании степени.

Пример 1.9. a = 9,5 ; a2 = 90,25 90.

При извлечении квадратного или кубического корней из приближенного числа в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в подкоренном числе.

Пример 1.10. a = 12,1; a = 3,478505426… 3,48.

При вычислении промежуточных результатов следует сохранить на одну цифру больше, чем требуют правила. В окончательном результате эта «запасная» цифра отбрасывается.

1.2. Определение параметров воды и водяного пара с помощью ПЭВМ Математическое моделирование теплоэнергетических установок (ТЭУ) является составной частью большинства технико-экономических задач.

Особое место в процессе моделирования ТЭУ занимает расчет термодинамических параметров воды и пара в элементах тепловой схемы с помощью ПЭВМ. Наибольшую трудность представляет определение параметров пара в процессе расширения его в турбине, т. к.

выбор расчетных формул зависит от состояния пара, которое по мере его расширения в турбине может изменяться и поэтому требует контроля.

Определение термодинамических и теплофизических параметров воды и водяного пара в компьютерных расчетах можно вести с помощью функций, разработанных и оформленных на языке ПАСКАЛЬ в виде программного модуля TABL1.TPU сотрудниками кафедры АТЭС: доцентами А. В. Воробьевым и Л. А. Беляевым и аспирантом А. С. Матвеевым.

Подключение модуля TABL1.TPU Программный модуль TABL1.TPU хранится в памяти ПЭВМ в объектных кодах в библиотеке модулей TPU и подключается автоматически, наряду с другими модулями (PRINTER, GRAF и т. д.), после обращения к нему предложением USES… сразу после заголовка программы, например:

Program TURBINA;

Uses TABL1;

Var…;

… 1.2.1. Определение параметров перегретого пара в процессе расширения Известно, что весь процесс расширения пара в турбине лежит в области перегретого пара (см. рис. 1.2).

Заданы:

P0, t0 – давление и температура пара на входе в отсек;

P1 – давление пара за отсеком;

KPD – внутренний относительный КПД отсека.

Найти t1, h1 – температуру и энтальпию пара за отсеком.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   …   | 16 | Книги по всем темам

Источник: http://knigi.dissers.ru/books/1/19561-1.php

О. Ю. Ромашова МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ И РАСЧЕТЫ НА ЭВМ ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ — PDF Скачать Бесплатно

Методы оптимизации и расчеты на ЭВМ технико-экономических задач. Ромашова О.Ю.

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский политехнический университет» О. Ю. Ромашова МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ И РАСЧЕТЫ НА ЭВМ ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Учебное пособие Издательство ТПУ Томск 9

2 УДК Р 69 Р 69 Ромашова О. Ю. Методы оптимизации и расчеты на ЭВМ технико-экономических задач: учебное пособие. Томск : Изд-во ТПУ, 9. с.

Целью предлагаемого учебного пособия, как и одноименного курса, является: теоретическое освоение методов оптимизации и основ технико-экономической оптимизации теплоэнергетического оборудования; приобретение навыков математического моделирования процессов и оборудования ТЭС в оптимизационных задачах.

пособия включает теорию математических методов одномерной и многомерной оптимизации, основы математического моделирования теплоэнергетических установок (ТЭУ и методики технико-экономического выбора наилучших вариантов при проектировании оборудования и тепловых схем ТЭС и АЭС.

В пособии также приведены многочисленные примеры использования математического аппарата в типичных оптимизационных задачах ТЭУ. Пособие подготовлено на кафедре атомных и тепловых электростанций и предназначено для студентов специальности 4 «Тепловые электрические станции» Института дистанционного образования.

УДК Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета Рецензенты: В. В. Литвак д.т.н., зам. директора Регионального центра управления энергосбережением (г. Томск; С. А. Косяков к.т.н., руководитель Центра комплексных энергосберегающих технологий (г. Северск. Томский политехнический университет, 9

3 ВВЕДЕНИЕ В настоящее время теория оптимизации вносит заметный вклад в ускорение научно-технического прогресса. Успешному применению методов оптимизации способствует современная вычислительная техника.

Трудно назвать такую область инженерной деятельности, где бы ни возникали задачи оптимизационного характера: определение наиболее эффективного режима работы различных технических систем, организация производства, дающего наибольшую возможную прибыль при заданных ограниченных ресурсах, и др. Оптимизация это выбор наилучшего решения из всех возможных.

Выбор наилучшего варианта технической системы осуществляется путем вариации независимых параметров системы на основании некоторого критерия эффективности. Независимые параметры системы, влияющие на эффективность работы системы, называются оптимизируемыми (или управляемыми параметрами.

В процессе оптимизации требуется найти оптимальные значения оптимизируемых параметров. Оптимальные параметры соответствуют наиболее эффективной работе системы. Число оптимизируемых параметров характеризует размерность задачи оптимизации.

Выбор оптимальных параметров осуществляется с помощью некоторой функции, связывающей эти параметры и позволяющей судить об эффективности работы системы. Функцию, связывающую оптимизируемые параметры и являющуюся критерием оптимальности (качества системы, называют целевой функцией.

Целевая функция достигает минимума (максимума при оптимальных значениях оптимизируемых параметров.

Таким образом, инженерная оптимизационная задача формулируется следующим образом: для технической системы путем вариации независимых параметров найти их оптимальные значения, выбрав в качестве критерия эффективности некоторую функцию, которая достигает минимума (максимума в оптимальной точке и называется целевой функцией. Ограничения, накладываемые на оптимизируемые параметры, определяют допустимую область решений. Схема решения практической оптимизационной задачи включает следующие этапы: создание математической модели объекта (специалист; выбор метода решения (математик; 3 составление программы на ЭВМ, проведение вычислений (программист. 3

4 В идеальном случае полученные результаты должны удовлетворять специалиста. Однако, как это часто бывает, идеальная и на первый взгляд безупречная схема в реальных условиях не действует. Дело в том, что все этапы взаимосвязаны. Специалист, создающий модель, должен смотреть вперед предвидеть возможные затруднения при программной реализации.

Со своей стороны, математик или программист часто вынужден упрощать модель, изменяя ее. Для этого нужны консультации специалиста. Только после многочисленных корректировок удается добиться от ЭВМ удовлетворительных результатов. В такой ситуации возрастают требования к математической и компьютерной подготовке специалистов.

В новых условиях инженер должен уметь грамотно переводить на математический язык технические задачи, анализировать зависимость их решений от условий, режимов, параметров реальных процессов и выбирать наилучшие варианты, т. е. обладать навыками математического моделирования и оптимизации технических систем.

Поэтому курсу методов оптимизации и практическому применению их для технико-экономических расчетов отводится значительная роль в профессиональной подготовке студентов Томского политехнического университета.

Поскольку в большинстве случаев аналитическое решение задач оптимизации затруднительно или невозможно, инженер-исследователь должен владеть численными методами, рассчитанными на применение ЭВМ. Роль ЭВМ в решении оптимизационных задач трудно переоценить. Известно, что первый численный метод оптимизации линейное программирование был опубликован в 939 г.

в брошюре советского ученого Л. В. Канторовича «Методы организации и планирования производства». В ней излагались методы, слишком сложные для ручного счета, поэтому работа была практически забыта. И только с появлением ЭВМ линейное программирование возродилось. За применение линейного программирования в экономике Л. В. Канторовичу в 975 г.

была присуждена Нобелевская премия. Между потребностью решить задачу оптимизации и ее приведением к однозначной, подходящей для решения на ЭВМ форме существует значительная дистанция. Этот этап называется постановкой задачи. От постановки задачи значительно зависит качество и достоверность получаемых результатов, а также скорость их получения.

Постановка каждой задачи оптимизации включает два объекта: множество допустимых решений и целевую функцию, которую следует минимизировать или максимизировать на указанном множестве. Математическая формулировка оптимизационной задачи в общем виде 4

5 F( min (ma, D где n размерность задачи; F ( целевая функция; (,,…, n n-мерный вектор независимых оптимизируемых параметров; D допустимая область решений. Множество допустимых решений задается системой ограничений на оптимизируемые параметры в виде равенств и неравенств. В дальнейшем будем рассматривать лишь задачи и методы минимизации, т. к.

любую задачу поиска максимума функции F( ma, D можно свести к задаче минимизации заменой целевой функции на противоположную величину F( min, D. Классификация методов оптимизации В зависимости от числа оптимизируемых параметров задачи и методы оптимизации делятся на одномерные (n = и многомерные (n.

В зависимости от характера функции и области определения решать многомерные задачи минимизации можно аналитически (точно либо одним из численных методов (с заданной погрешностью. При отсутствии ограничений на оптимизируемые параметры задачи оптимизации и методы их решения называются безусловными (т. е. без условий, без ограничений.

При наличии ограничений задачи и методы называются условными (иначе с условиями. Для численного решения задач с ограничениями используются методы математического программирования.

Для решения безусловных задач минимизации аналитическим методом используется классический аппарат, заключающийся в приравнивании нулю частных производных целевой функции по всем оптимизируемым параметрам и решении полученной системы уравнений. Аналитическое решение условных задач минимизации с ограничениями дает метод неопределенных множителей Лагранжа.

Аналитические методы имеют ограниченное применение в инженерных задачах, т. к. требуют дифференцируемости исследуемой функции и накладывают особые условия на ограничения. Основными методами являются численные, успешному использованию которых способствуют ЭВМ. Основные понятия и определения хорошо изложены в [ 4]. 5

6 . МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЪЕКТОВ ОПТИМИЗАЦИИ Оптимизация это выбор наилучшего решения из всех возможных. Для того чтобы использовать методы оптимизации на практике, надо прежде всего сформулировать рассматриваемую задачу на математическом языке, т. е.

построить математическую модель объекта оптимизации. Математическое моделирование это замещение оригинала математической моделью. Математическое моделирование наилучшим образом подходит для целей оптимизации, т. к. позволяет сравнивать между собой большое число вариантов.

Этапы построения математической модели приведены на рис… Общий подход к моделированию теплоэнергетических установок изложен в [5].. Постановка задачи оптимизации.. Формулирование задачи. Выбор параметров.. Определение цели и критериев. Качественное описание задачи.

Составление математического описания.. Аналитические методы.. Экспериментальные методы.3. Экспериментальноаналитические методы 3. Составление алгоритма и реализация его в виде программы 3.. Выбор численного метода 3.. Составление алгоритма программы 3.3. Программирование 3.4. Отладка программы 4.

Установление адекватности модели объекту 5. Использование модели в оптимизационных задачах Рис.. 6

7 .. Основы теории погрешностей Общие методические указания изложены в [6]. Обозначим: A точное число; a приближенное число. Абсолютная погрешность Δ = a A. Относительная погрешность Δ δ =. A где Десятичная запись числа m m m n a = α + α αn +…, α i цифры числа ( i =,,…, n ; α ; m старший десятичный разряд.

Значащие цифры Значащими цифрами приближенного числа a называются все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля, и нули, если они содержатся между значащими цифрами или расположены в конце числа и указывают на сохранение разряда точности. Пример.. В числе,45 значащими являются четыре цифры:, 4,, 5. Верные знаки в узком смысле m n+ Приближенное число a = α + α αn +…

содержит n верных знаков в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы десятичного разряда, выражаемого n-й значащей цифрой, считая слева направо, т. е. если выполняется неравенство m m n+ m Δ,5. Пример..

Приближенное число a = 7, 58 имеет абсолютную погрешность Δ =, Δ =,7,5 ; разряд указывает позицию последней справа верной значащей цифры, т. е. число a имеет четыре верных знака в узком смысле: 7,,, 5. 7

8 Верные знаки в широком смысле m n+ Приближенное число a = α + α αn +… содержит n верных знаков в широком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит единицы десятичного разряда, выражаемого n-й значащей цифрой, считая слева направо, т. е. m n+ Δ. Пример.3.

a = 7, 58; Δ =, Δ =,7 ; разряд указывает позицию последней справа верной значащей цифры, т. е. число a имеет пять верных знаков в широком смысле: 7,,, 5,.

Предельная абсолютная погрешность m m Предельная абсолютная погрешность может быть вычислена по формуле m n+ Δ ω, где m верхний разряд; n количество верных значащих цифр; ω =,5, если верные значащие цифры указаны в узком смысле; ω =, если верные значащие цифры указаны в широком смысле.

Предельная относительная погрешность Предельная относительная погрешность может быть вычислена по формуле ω δ a = n α, где α первая значащая цифра числа a ; n количество верных значащих цифр; ω =,5, если верные значащие цифры указаны в узком смысле; ω =, если верные значащие цифры указаны в широком смысле. Пример.4.

Определить, какое равенство точнее: a = 3/9, 684 или a = 5 7,. Находим предельные абсолютные погрешности чисел a и a. Для этого берем числа a и a с большим числом десятичных знаков: 3/9,684; 5 7,. Определяем предельные абсолютные погрешности, округляя их с избытком: Δ a =,684,684, ; Δ a = 7, 7,,. 8

9 Находим предельные относительные погрешности: δ a = Δ a / a =, /,684,33 =,33 % ; δ a = Δ a / a =, / 7,,7 =,7 %. Второе равенство является более точным, поскольку δ a < δ a. Пример.5.

Определить предельные абсолютную и относительную погрешности приближенного числа a = 96,387, если оно содержит только верные цифры в узком смысле. Так как для числа a = 96,387 последняя верная значащая цифра 7 3 стоит в разряде тысячных долей ( 3, то Δa,5, т. е. Δa,5, или Δ =,5.

Тогда число a можно записать как 96,387 ±,5. Предельная относительная погрешность 6 δ a = =,5 = 5. 5,9 Пример.6. Определить предельные абсолютную и относительную погрешности приближенного числа b = 6,3, если оно содержит только верные цифры в широком смысле.

Последняя цифра приближенного числа b = 6,3 стоит в разряде сотых долей (. Так как это число содержит верные цифры в широком смысле, то, следовательно, Δb, т. е. Δb,, или Δ a =,. Тогда число b можно записать как 6,3 ±,. Предельная относительная погрешность δ b = = =,6667.

n 3 α 6 a Погрешности алгебраических действий cуммы разности произведения частного m -й степени корня m -й степени Δ ( a + b = Δ a + Δb ; Δ ( a b = Δa + Δb ; δ ( a b = δ a + δb ; δ ( a / b = δ a + δb; δ = m δ a ; m δ a = δ a. m a m 9

10 Правила подсчета цифр При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранить столько десятичных знаков, сколько их в приближенном, данном с наименьшим числом десятичных знаков. Пример.7. a =, ; b =,374; a+ b =,494,49.

При умножении и делении в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в приближенном, данном с наименьшим числом значащих цифр. Пример.8. a =,; b =,4; a b =,8,8. При возведении приближенного числа в квадрат или куб в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в основании степени. Пример.9. a = 9,5 ; a = 9,5 9.

При извлечении квадратного или кубического корней из приближенного числа в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в подкоренном числе. Пример.. a =, ; a = 3, ,48. При вычислении промежуточных результатов следует сохранить на одну цифру больше, чем требуют правила. В окончательном результате эта «запасная» цифра отбрасывается…

Определение параметров воды и водяного пара с помощью ПЭВМ Математическое моделирование теплоэнергетических установок (ТЭУ является составной частью большинства технико-экономических задач. Особое место в процессе моделирования ТЭУ занимает расчет термодинамических параметров воды и пара в элементах тепловой схемы с помощью ПЭВМ.

Наибольшую трудность представляет определение параметров пара в процессе расширения его в турбине, т. к. выбор расчетных формул зависит от состояния пара, которое по мере его расширения в турбине может изменяться и поэтому требует контроля.

Определение термодинамических и теплофизических параметров воды и водяного пара в компьютерных расчетах можно вести с помощью функций, разработанных и оформленных на языке ПАСКАЛЬ в виде программного модуля TABL.TPU сотрудниками кафедры АТЭС: доцентами А. В. Воробьевым и Л. А. Беляевым и аспирантом А. С. Матвеевым.

11 Подключение модуля TABL.TPU Программный модуль TABL.TPU хранится в памяти ПЭВМ в объектных кодах в библиотеке модулей TPU и подключается автоматически, наряду с другими модулями (PRINTER, GRAF и т. д., после обращения к нему предложением USES сразу после заголовка программы, например: Program TURBINA; Uses TABL; Var ;…

Определение параметров перегретого пара в процессе расширения Известно, что весь процесс расширения пара в турбине лежит в области перегретого пара (см. рис… Заданы: P, t давление и температура пара на входе в отсек; P давление пара за отсеком; KPD внутренний относительный КПД отсека. Найти t, h температуру и энтальпию пара за отсеком.

Учитывая тот факт, что для теоретического процесса расширения пара в турбине выполняется S = const, алгоритм расчета может быть следующим. Алгоритм расчета параметров перегретого пара h = f ( P, t ; S = f ( P, t ; h t = f P, ; ( S = h ( h h KPD ; f ( P, h h t t =…

Определение параметров мокрого пара в процессе расширения Обращение в программе к функциям из TABL h:=h_pt(p, t; S:=S_PT(P, t; h:=h_ps(p, S; t:=t_ph(p, h; Известно, что весь процесс расширения пара в турбине лежит в области мокрого пара (см. рис..3.

Заданы: P, давление и степень сухости пара на входе в отсек; P давление пара за отсеком; KPD внутренний относительный КПД отсека. Найти h, энтальпию и степень сухости пара за отсеком.

12 Алгоритм расчета параметров мокрого пара Обращение в программе к функциям из TABL h = f P, h:= H_P(P, ( S = f ( P, S:= S_P(P, h = f ( P hi:= HSW_P(P h = f ( P hii:= HSP_P(P S = f ( P SI:= SSW_P(P S = f ( P SII:= SSP_P(P = S S /( S S t ( h t = f ( P, t h = h ( h h t KPD = h h /( h h ( h P t h P h h = P t h P h h t = h t S S t S S Рис… Процесс расширения перегретого пара Рис..3. Процесс расширения мокрого пара Здесь и в дальнейшем в идентификаторах, обозначающих параметры кипящей жидкости (h, S, V и сухого насыщенного пара (h, S, V, для одного штриха принято обозначение «I», а для двух штрихов «II».

13 ..3. Проверка состояния пара в конце теоретического расширения Пар на входе в отсек перегретый. Если пар на входе в отсек мокрый, то контролировать его состояние в конце расширения не требуется, т. к. в этом случае весь процесс лежит в области мокрого пара.

Оценить состояние пара в конце теоретического расширения от параметров на входе в отсек ( P, t до давления на выходе P (рис..4 можно, сравнивая энтропию теоретического процесса S с энтропией сухого насыщенного пара S при давлении P. Если S > S (рис..4, а, то конец теоретического расширения (точка t лежит в области перегретого пара.

В этом случае для определения энтальпии h t необходимо воспользоваться функциями перегретого пара из модуля TABL []. h P P t h t P h t '' t t = h t t '' P = S '' S S S S '' S а Рис..4 б Если S < S (рис..

4, б, то конец теоретического расширения лежит в области мокрого пара и расчет параметров в этой точке надо выполнять с помощью функций насыщения из модуля TABL [] и формул мокрого пара. Блок-схема алгоритма проверки состояния пара в конце теоретического расширения приведена на рис..5. 3

14 S = f ( P, t S '' = f ( P Да S > S '' Перегретый пар (рис.4, а Мокрый пар (рис..4, б h t = f ( P, S S ' = f( P = ( S — S ' / ( S '' — S ' t h ' = f ( P h '' = f ( P h = h ' + *( h '' — h ' t t 4 Рис..5 Приведем пример программы, работающей по этому алгоритму.

Program PROCESS; Uses TABL; Var P,t,h,S,S,ht,SI,SII,hI,hII,t : real; Begin Writeln ( Введите P [МПа], t [C], P[МПа] ; Readln (P, t, P; h:=h_pt(p, t; S:=S_PT(P, t; SII:=SSP_P(P; If S>SII then begin {перегретый пар в конце теор. расширения} ht:=h_ps(p,s end else begin {мокрый пар в конце теор.

расширения} SI:=SSW_P(P; t:=(s-si/(sii-si; hi:=hsw_p(p; hii:=hsp_p(p; ht:= hi+t*(hii-hi end; Writeln ( ht=, ht:7:; Readln; End.

15 ..4. Проверка состояния пара в конце действительного расширения Такая проблема может возникнуть, если процесс теоретического расширения заканчивается в области мокрого пара.

Если же теоретический процесс заканчивается в области перегретого пара, то конец действительного процесса также лежит в области перегретого пара и контролировать состояние пара в конце действительного расширения не надо. Для точки, характеризующей состояние пара в конце действительного процесса, как правило, бывают известны давление P и энтальпия h.

Поэтому определять состояние пара (перегретый или мокрый в этой точке удобно, сравнивая энтальпию пара в конце действительного расширения h с энтальпией сухого насыщенного пара h'' при давлении P (рис..6. Если h > h'' (рис..6, а, то конец действительного расширения (точка лежит в области перегретого пара.

Для определения параметров пара в точке необходимо воспользоваться функциями перегретого пара из модуля TABL [, c. 4]. Если h < h'' (рис..6, б, то конец действительного расширения лежит в области мокрого пара и для расчета параметров пара в этой точке надо воспользоваться функциями насыщения из модуля TABL и формулами мокрого пара.

Блок-схема алгоритма определения состояния пара в конце действительного процесса расширения в турбине приведена на рис..7. Обозначения параметров в алгоритме соответствуют процессам на рис..6. h P t h P t P t h '' h '' P = = а S S Рис..6 S б S 5

16 P h Да h'' = f ( P h > h' Нет Перегретый пар (рис.6, а Мокрый пар (рис..6, б t = f ( P, h t h ' = f( P = ( h — h ' / ( h '' — h ' Рис..7 Приведем фрагмент программы, соответствующий этому алгоритму: hii:=hsp_p(p; If h>hii then begin {перегретый пар в конце действ.

расширения} t:=t_ph(p,h end else begin {мокрый пар в конце действ. расширения} hi:= HSW_P( C, P,P; := (h hi / (hii-hi end; Численные методы решения нелинейных уравнений при моделировании теплового оборудования ТЭС.3..

Численные методы решения нелинейного уравнения с одним неизвестным Способы решения нелинейных уравнений численными методами изложены в [6 8]. 6

17 Любое уравнение с одним неизвестным можно представить в виде f ( =. (. Решением уравнения (. называется совокупность значений, при которых уравнение (. обращается в тождество. Каждое значение из этой совокупности называется корнем ξ уравнения.

Решить уравнение численным методом означает: установить, имеет ли оно корни, сколько корней; найти значения корней с заданной точностью. Задача численного решения уравнения (.

состоит из двух этапов: отделения корней (нахождения достаточно малых окрестностей, содержащих одно значение корня; уточнения корня (вычисления корня с заданной точностью.

К наиболее популярным численным методам решения нелинейного уравнения с одним неизвестным относятся: метод половинного деления; метод простой итерации; метод хорд; метод Ньютона Графическое решение нелинейного уравнения Способ Решить уравнение (.

означает найти точки пересечения графика функции y = f ( с осью абсцисс (корень ξ на рис..8. Способ Уравнение вида f ( = путем преобразований заменяется на уравнение f ( = f (. (. Графически решить уравнение (. означает найти точки пересечения графиков функций y = f ( и y = f ( (корень ξ на рис..9. Графический способ удобно использовать для приближенной оценки значения корня с дальнейшим его уточнением одним из перечисленных выше численных методов. 7

18 y y=f( y y=f( ξ y=f( ξ Рис..8 Рис..9 Пример.. Отделить корни уравнения sin( ln( = и найти их приближенные значения графическим способом. Решение Преобразуем заданное уравнение к виду (.

sin( = ln( и найдем точку пересечения графиков y = sin( и y = ln( (рис… Единственный корень ξ лежит на отрезке [ ; π / ].

y y= ln( ξ π/ π e y= cos( — Рис Метод половинного деления Известно, что функция f ( непрерывна на [ a, b] и имеет единственный корень. Это означает, что выполняется f ( a f ( b

Источник: https://docplayer.ru/46854065-O-yu-romashova-metody-optimizacii-i-raschety-na-evm-tehniko-ekonomicheskih-zadach.html

Biz-books
Добавить комментарий