Механика. Определение плотности твердого тела методом гидростатического взвешивания. Рудин А.В

Гидростатическое взвешивание: принцип действия, определение поддельности золотой короны

Механика. Определение плотности твердого тела методом гидростатического взвешивания. Рудин А.В

Многие свойства твердых тел и жидкостей, с которыми мы имеем дело в повседневной жизни, зависят от их плотности. Одним из точных и в то же время простых методов измерения плотности жидких и твердых тел является гидростатическое взвешивание. Рассмотрим, что это такое, и какой физический принцип лежит в основе его работы.

Закон Архимеда

Именно этот физический закон положен в основу гидростатического взвешивания. Традиционно его открытие приписывается греческому философу Архимеду, который смог определить подделку золотой короны, не разрушая ее и не проводя какой-либо химический анализ.

Можно следующим образом сформулировать закон Архимеда: погруженное в жидкость тело вытесняет ее, причем вес вытесненной жидкости равен действующей на тело вертикально вверх выталкивающей силе.

Многие замечали, что в воде гораздо легче держать какой-либо тяжелый предмет, чем на воздухе. Этот факт является демонстрацией действия выталкивающей силы, которая также называется архимедовой. То есть в жидкостях кажущийся вес тел меньше их реального веса на воздухе.

Гидростатическое давление и архимедова сила

Причиной появления выталкивающей силы, действующей на помещенное в жидкость абсолютно любое твердое тело, является гидростатическое давление. Оно вычисляется по формуле:

P = ρl * g * h

Где h и ρl — глубина и плотность жидкости соответственно.

Когда тело погружают в жидкость, то отмеченное давление действует на него со всех сторон. Суммарное давление на боковую поверхность оказывается равным нулю, а вот давления, приложенные к нижней и верхней поверхностям, будут отличаться, поскольку эти поверхности находятся на разной глубине. Такая разница приводит к появлению выталкивающей силы.

Согласно закону Архимеда погруженное тело в жидкость вытесняет вес последней, который равен выталкивающей силе. Тогда можно записать формулу для этой силы:

FA = ρl * Vl * g

Символом Vl обозначен объем жидкости, вытесненной телом. Очевидно, что он будет равен объему тела, если последнее в жидкость погружено полностью.

Сила Архимеда FA зависит только от двух величин (ρl и Vl ). Она не зависит от формы тела или от его плотности.

Что собой представляют гидростатические весы?

В конце XVI века их изобрел Галилей. Схематическое изображение весов показано на рисунке ниже.

По сути, это обычные весы, принцип работы которых основан на равновесии двух рычагов одинаковой длины. На концах каждого рычага имеется чашечка, где можно размещать грузы известной массы. Снизу одной из чашечек прикреплен крючок. Он применяется для подвешивания грузов. В комплекте с весами также идет стеклянный стакан или цилиндр.

На рисунке буквами A и B отмечены два металлических цилиндра равного объема. Один из них (A) является полым, другой (B) — сплошным. Эти цилиндры используют для демонстрации закона Архимеда.

Описанные весы используют для определения плотности неизвестных твердых тел и жидкостей.

Метод гидростатического взвешивания

Принцип работы весов предельно прост. Опишем его.

Предположим, что нам необходимо определить плотность некоторого неизвестного твердого тела, имеющего произвольную форму. Для этого тело подвешивают к крючку левой чаши весов и измеряют его массу.

Затем в стакан наливают воду и, помещая стакан под подвешенным грузом, погружают его в воду. На тело начинает действовать архимедова сила, направленная вверх. Она приводит к нарушению установленного ранее равновесия весов.

Для восстановления этого равновесия необходимо снять некоторое число гирь со второй чаши.

Зная массу измеряемого тела в воздухе и в воде, а также зная плотность последней, можно вычислить плотность тела.

Гидростатическое взвешивание позволяет также определить плотность неизвестной жидкости. Для этого необходимо произвольный груз, прицепленный к крючку, взвесить в неизвестной жидкости, а затем в жидкости, плотность которой точно определена. Измеренных данных достаточно, чтобы определить плотность неизвестной жидкости. Запишем соответствующую формулу:

ρl2 = ρl1 * m2 / m1

Здесь ρl1 — плотность известной жидкости, m1 — измеренная масса тела в ней, m2 — масса тела в неизвестной жидкости, плотность которой (ρl2) необходимо определить.

Определение поддельности золотой короны

Решим задачу, которую более двух тысяч лет назад решил Архимед. Воспользуемся гидростатическим взвешиванием золота для определения поддельности королевской короны.

С использованием гидростатических весов было установлено, что корона на воздухе имеет массу 1,3 кг, а в дистиллированной воде ее масса составила 1,17 кг. Является ли корона золотой?

Разница весов короны на воздухе и в воде равна выталкивающей силе Архимеда. Запишем это равенство:

FA = m1 * g — m2 * g

Подставим в равенство формулу для FA и выразим объем тела. Получим:

m1 * g — m2 * g = ρl * Vl * g =>

Vs = Vl = (m1 — m2) / ρl

Объем вытесненной жидкости Vl равен объему тела Vs, поскольку оно полностью погружено в воду.

Зная объем короны, можно легко рассчитать ее плотность ρs по следующей формуле:

ρs = m1 / Vs = m1 * ρl / (m1 — m2)

Подставим в это равенство известные данные, получаем:

ρs = 1,3 * 1000 / (1,3 — 1,17) = 10 000 кг/м3

Мы получили плотность металла, из которого сделана корона. Обращаясь к таблице плотностей, видим, что эта величина для золота равна 19320 кг/м3.

Таким образом, корона в эксперименте изготовлена не из чистого золота.

Источник: https://FB.ru/article/446696/gidrostaticheskoe-vzveshivanie-printsip-deystviya-opredelenie-poddelnosti-zolotoy-koronyi

Практикум по механике — Работа №3. Измерения массы. Определение плотности жидкости и твердых тел методом гидростатического взвешивания с помощью торсионных весов

Механика. Определение плотности твердого тела методом гидростатического взвешивания. Рудин А.В

Работа № 3. Измерения массы. Определение плотности жидкости и твердых тел методом гидростатического взвешивания с помощью торсионных весов

Цель работы: Освоение методики измерения массы, плотности жидкостей и твердых тел гидростатическим взвешиванием. Ознакомление с торсионными весами.

Теоретическое введение. 1. Масса тела. Свойство тела, которым определяется значение отношения силы к ускорению F/m=const=m, называется инертностью тела, а само значение этого отношения — инертной массой или просто массой.

Какого-либо иного смысла, кроме характеристики свойства инертности тела, инертная масса в механике Ньютона не имеет. Это понятие массы обобщать на релятивисткой случай нельзя.

Более подходящим для обобщения является соотношение P = mv , в котором масса выступает как коэффициент пропорциональности между импульсом и скоростью материальной точки. Релятивистская масса выражается соотношением

и характеризует так же, как нерелятивистская масса, инертность материальной точки. Здесь m0 – масса покоя, v — скорость точки.

С оотношение Эйнштейна между массой и энергией произвольных видов устанавливает связь между двумя важнейшими характеристиками материи энергией и инертностью:

 E = mc2  ,

где с – скорость электромагнитных волн.

Масса, входящая в закон всемирного тяготения, характеризует силу, с которой тела притягиваются друг к другу и называется гравитационной.

Единица массы – килограмм является единственной основной единицей, связанной с существованием искусственно созданного материального прототипа.

Первоначально предполагалось, что прототип по своей массе должен был совпадать с массой 1 дм3 воды при ее наибольшей плотности (при температуре 3.98°С) и давлении 1 физ. атм.(101325 Па). Однако оказалось, что масса прототипа больше на 28 мкг, чем масса 2 дм3 воды при указанных условиях.

В настоящее время прототип 1 кг массы представляет собой цилиндр из сплава платины (90%) и иридия (10%), диаметром 39 мм и такой же высоты, находящийся в Международном бюро мер и весов в Севре, под Парижем. Установлено, что прототип массы обеспечивает постоянство определения 1 кг с относительной точностью 10-8 на протяжении многих тысяч лет.

2. Плотность тела. Плотностью называется масса, заключенная в единице объема тела, поэтому определение плотности сводится к определению массы тела и его объема.

Определение массы тела может быть произведено достаточно точно путем взвешивания.

В данной работе для измерения объема V исследуемого тела и вычисления плотности, используется метод гидростатического взвешивания, основанный на законе Архимеда.

Рис.2.3.1. Равновесие сил при взвешивании тела, а)в воздухе, б) в воде или жидкости с известной плотностью, в) в жидкости, плотность которой необходимо определить, г) в ваакуме.

 Обозначения: N – сила реакции действующая на тело массой m и объемом V со стороны опоры или подвеса на весах, численно равная весу тела P, mg –сила тяжести,  FA –Архимедова сила, σ – плотность воздуха, ρв , ρж – плотности воды и жидкости.

Твердое тело. Для определения плотности твердого тела массой m и объемом V, его взвешивают сначала в воздухе (рис. 2.3.1а), затем полностью погрузив его (рис. 2.3.1б) в жидкость с известной плотностью ρв (в данном случае вода). Из условий равновесия для этих случаев :

где σ – плотность воздуха, N1 – сила реакции пружины весов по модулю равная весу тела в воздухе P1, а N2 — сила реакции равная весу тела в воде P2. Из (1) и (2) можно выразить объем тела:

(3)

Для точного определения плотности исследуемого тела, следует учитывать потерю веса тела в воздухе и при расчете плотности брать истинный вес тела в вакууме P0 = N0 = mg (рис. 2.3.1г):

Подставляя сюда (1) с учетом N1 = P1 получаем:

(4)

Подставим  (3) в (4) и получим расчетную формулу для вычисления плотности твердого тела:

(5)

где σ = 0,0012 г/см3 – плотность воздуха при комнатной температуре.  

Плотность воды при других температурах берется из табличных данных. С понятием плотности тела не следует путать понятие об удельном весе. Удельный вес тела d – это вес тела в единице его объема. Плотность ρ тела связана с удельным весом d соотношением: , где g-ускорение силы тяжести.

Жидкость. При полном погружении твердого тела — баллончика в исследуемую жидкость вытесняется объем жидкости равный объему баллончика. Для измерения объема баллончика взвешивают его в воздухе (рис. 2.3.1.

а), определяя его вес P1, затем  баллончик взвешивают, полностью погрузив жидкость (рис. 2.3.1.б) с известной плотностью ρв (в данном случае вода) и определяют вес P2. После этого взвешивают баллончик в исследуемой жидкости и определяют его вес P3 (рис. 2.3.1.в).

Запишем условия равновесия для этих случаев, (рис. 2.3.1.а,б,в): 

mg = N1 + σgV,(6)
mg = N2 + ρвgV,(7)
mg = N3 + ρжgV,(8)

где ρж – плотность исследуемой жидкости.

Выразим объем V сначала из (6) и (7), учитывая равенство по модулю P=N:

(9)

затем  из (6) и (8):

(10)

.                                                                                                                

Приравнивая уравнения (9) и (10), найдем расчетную формулу для вычисления плотности исследуемой жидкости ρж:

(11)

Если вместо (10) использовать объем V, найденный из (7) и (8), то вместо (11) можно использовать для ρж тождественную формулу:

(11а)

3. Взвешивание. Для измерения массы тел взвешиванием применяются два метода:

  1. Взвешивание на пружинных весах.

  2. Сравнение веса тела с весом эталонных гирь на рычажных весах.

Показания пружинных весов верны только для широты местности, в которой они градуировались.

Весы являются весьма точным прибором. Имеются весы, которые 1 кг массы измеряют с абсолютной погрешностью в 0.001 мг, т.е. с точностью до 10-7%. 

Торсионные весы являются пружинными весами (Рис. 2.3.1), и предназначены для быстрого и точного взвешивания грузов малых диапазонов измерений, указанных на щитке, находящемся на весах.

Механизм весов смонтирован на металлической плите и расположен в корпусе. Плита покоится на прикрепленной к ней опоре и на двух регулировочных винтах, предназ­наченных для установки весов. 

Правильная установка весов проверяется по уровнемеру 1 (рис. 2.3.1), находящемуся в передней части корпуса весов. Чашка или взвешиваемый груз подвешивается на крючок 2, находящийся на конце подвижного рычага и защищены стеклянной дверцей 3 на шарнирах, предохраняющей их во время взвешивания от внешних воздействий.

С правой стороны корпуса находится ручка 4, служащая для установки неподвижной стрелки на нулевое значение шкалы. Ручка 5, находящаяся с левой стороны корпуса, используется собственно при взвешивании. Эта ручка перемещает барабан со шкалой, по которой отсчитывается масса взвешиваемого груза.

Ручка 6, расположенная внизу с правой стороны корпуса, арретирует (приводит в нерабочее состояние) весы, т.е. механически фиксирует подвижный рычаг для транспортировки весов.

Здесь буква «Z» означает позицию «арретирование» («весы закрыты»), а буква «О» – «весы открыты». Перед взвешиванием, весы необ­хо­димо уравновесить («ус­тановить нуль»).

Для этого при незаарретированных («открытых») весах левой ручкой поворачивают подвижную шкалу весов до тех пор, пока их подвижная стрелка не установится на красной риске, означающей равновесие весов.

Затем правой ручкой устанавливают неподвижную стрелку весов на нулевое значение подвижной шкалы.

Взвешивание на торсионных весах: Приступая к взвешиванию следует открыть дверцу. Груз, приготовленный к взвешиванию, осторожно кладут на чашку или подвешивают на крючок. Затем закрывают дверцу и освобождают весы от арретирования. 

Левую ручку вращают до тех пор, пока подвижная стрелка не установится на красной риске. Массу взвешиваемого груза отсчитывают по подвижной шкале. После измерения шкалу следует привести в исходное (нулевое) положение, вращая ее левой ручкой по часовой стрелке и заарретировать весы. Затем осторожно снять взвешиваемый груз и закрыть дверцу.

Упражнение 1: Измерение плотности твердого тела гидростатическим взвешиванием.

Принадлежности: весы торсионные, твердое тело, стеклянный стакан.

Измерения:

1. Подвешивают исследуемое тело массой до 1г на крючок заарретированных и предварительно установленных на «0» весов. Ручкой с левой стороны весов переместить шкалу весов до примерного значения массы измеряемого тела. Снять арретирование, уравновесить весы по красной риске и отсчитать массу тела m1 в воздухе.

2. Погружают подвешенное на крючке весов тело в стаканчик с дистиллированной водой, так чтобы:

  • тело не касалось дна и стенок стакана, а через поверхность воды проходила только одна незакрученная проволока (для уменьшения капиллярных сил).
  • на поверхности тела не было заметных пузырьков воздуха. Затем приводят весы в равновесие и производят отсчет массы тела в воде m2 .

Находят плотность по формуле (5), переписав ее с учетом градуировки весов P1= m1g и P2= m2g:

(12)

ρв = 0.998 г/см3 — плотность воды при 20˚С, ρв = 1 г/см3

σ = 0.0012г/см3– плотность воздуха при комнатной температуре.

Относительную ошибку измерения вычисляют по алгоритму указанному во введении в практикум по механике: 

  • прологарифмируем расчетную формулу [12]:
  • от полученного выражения найдем производную:
  • значок дифференциала d заменяем значком ошибки Δ и знаки «-» перед Δ заменяем на «+», так как ошибки при измерениях складываются: 

Учитывая, что Δm1 ≈ Δm2 ≅ Δm и точность табличных данных ρв и σ таковы, что практически не вносят погрешностей в результат измерений и можно положить Δσ=Δρв=0 получим

отсюда абсолютную погрешность равна:

,

Для данных торсионных весов абсолютная погрешность по половине наименьшего деления равна Δm = 1мг.

Упражнение 2: Определение плотности жидкости гидростатическим взвешиванием.

Принадлежности: Торсионные весы, стаканчик, сосуды с дистиллированной водой и исследуемой жидкостью, баллончик на проволоке (в качестве баллончика используйте твердое тело из упражнения 1).

Измерения:

1) Подвешиваем баллончик на крючок заарретированных и подготовленных к работе торсионных весов. Открыв весы и уравновесив их, отсчитывают по шкале массу баллончика в воздухе  m1.

2) Под баллончик подвести стакан с дистиллированной водой и погрузить его полностью в воду, наблюдая, чтобы он не касался ни дна, ни краев стакана. Уравновесив весы, отсчитывают массу баллончика в воде m2. Затем весы арретируют.

3) Удалив стакан с водой, осушить баллончик. Поднести стакан с исследуемой жидкостью, погрузить в него баллончик, открыть весы и уравновесить их. Отсчитать массу баллончика в исследуемой жидкости m3.

Вычисления:

1) Находят плотность по формуле (11), переписав ее с учетом градуировки весов P1= m1g, P2= m2g и P3= m3g:

2) Рассчитывают абсолютную и относительную погрешности самостоятельно по аналогии с упр.1. 

ρв — плотность воды при температуре опыта = 0.998 гр/см3.

σ- плотность воздуха = 0.0012 гр/см3.

При грубом расчете Δρж можно положитьΔσ = Δ ρв = 0

Контрольные вопросы.

  1. Понятие массы и методы ее измерения.

  2. Плотность. Гидростатический метод определения плотности.

  3. Что такое поправленная (истинная) плотность?

  4. Удельный вес тела и его связь с плотностью.

  5. В чем заключается закон Архимеда?

  6. Отличается ли вес тела в пустоте от веса тела в воздухе и жидкости.

  7. Как выводятся формулы (12) и (13).

  8. Приведите вывод формул погрешностей для жидкости.

  9. Докажите тождественность выражений(11) и (11а)

Источник: http://of.bsu.ru/e-book/mechanics/23.html

Определение плотности твёрдых тел методом гидростатического взвешивания

Механика. Определение плотности твердого тела методом гидростатического взвешивания. Рудин А.В

Если тело имеет неправильную форму и его объём нельзя найти с помощью простой математической формулы через линейные размеры, то воспользоваться определением плотности нельзя. В этом случае используется другой метод определения плотности – метод гидростатического взвешивания.

Суть этого метода состоит в следующем.

Сначала взвешивают тело в воздухе и находят его массу. Это значение массы, вообще говоря, приближённое, поскольку взвешивание выполняется в воздухе,  а  не  в  пустоте.  Сила  Архимеда,  действующая на  тело  в  воздухе, уменьшает  показания  весов,  и  масса  тела  определяется  в  этом  случае  по недостатку. Пока мы  будем пренебрегать этой ошибкой, учтём ей  позднее.

Обозначим приближённую массу тела, определённую в воздухе, через m1 .

Затем тело взвешивают в дистиллированной воде, плотность которой при

4-х градусах Цельсия равна точно 1000 кг/м3. Для определения её плотности при другой температуре используется таблица зависимости плотности воды от температуры. Обозначим  приближённую массу  тела,  определённую в  воде, через m2 .

Зная  эти  две  величины и  пользуясь законом  Архимеда, можно  найти

объём тела. А именно, согласно закону Архимеда, на тело в воде действует выталкивающая сила:

где

FA  = ρ0 gV ,            (1.2)

FA  – величина силы Архимеда, которая направлена вверх;

g  – ускорение свободного падения;

V – объём тела;

ρ0 – плотность воды при данной температуре.

Наличие   силы   Архимеда   приводит   к   уменьшению   силы,   которая действует на коромысло весов со стороны тела. Поэтому условие равновесия равноплечих весов можно записать следующим образом:

ρ1 gV − ρ0 gV = m2 g ,    (1.3)

где

ρ1  – плотность тела.

Но       первое            слагаемое       здесь   есть     масса   тела,    найденная      в          воздухе,

умноженная на ускорение свободного падения, так что:

m1 g − ρ0 gV = m2 g .        (1.4)

Из этого равенства и можно найти объём тела:

V = m1 − m2  .          (1.5)

ρ0

Определив объём тела, можно найти и его плотность. Для этого массу тела, найденную в воздухе, нужно разделить на этот объём:

m1

ρ1 = ρ0

m1

− m2

.           (1.6)

Это и есть формула определения плотности тела произвольной формы методом гидростатического взвешивания. Однако в этой формуле не учитывается тот факт, что воздух так же, как и вода, выталкивает погружённые в него тела с силой Архимеда.

Поскольку сила Архимеда в воздухе не учитывается в формуле (1.5), эта формула является лишь приближённой. По этой причине она называется формулой неисправленной плотности.

Чтобы исключить ошибку, связанную с наличием силы Архимеда в воздухе, нужно учесть эту силу в балансе сил (1.3).

На  тело  при  взвешивании  его  в  воздухе  действует  сила  Архимеда,

направленная            вверх. Так      что      при      взвешивании в          воздухе           силы уравновешиваются следующим образом:

ρ1 gV − ρ2 gV = m1 g ,    (1.7)

где

ρ2  – плотность воздуха при данной температуре.

При взвешивании тела в воде оно должно быть полностью погружено в воду. Поэтому непосредственно на него воздух не действует, и равенство (1.3) сохраняет  силу.  Только  теперь  из  (1.7)  мы  должны  подставить  вместо

ρ1 gV величину:

ρ1 gV = m1 g + ρ2 gV .      (1.8)

Тогда получаем новое равенство баланса сил:

m1 g + ρ2 gV − ρ0 gV = m2 g ,    (1.9)

где

m1   и m2

– по-прежнему есть показания весов в первом и во втором случае

соответственно.

Из уравнения (1.9) снова находим объём тела:

V  =  m 1

ρ 0

− m 2

− ρ 2

.           (1.10)

Однако для нахождения плотности тела теперь нельзя просто поделить m1

на  этот  объём, поскольку

m1     это  лишь  приближённая масса  тела.  Поэтому

плотность тела найдём из формулы (1.7):

ρ = ρ

+ m1  = ρ +

ρ0 − ρ2

.           (1.11)

1          2          V

2          m1

1

− m2

Если  привести  к  общему  знаменателю  в  правой  части  равенства,  то получим несколько более простую формулу:

ρ = m1 ρ0 − m2 ρ2 .        (1.12)

m1 − m2

Эта формула и носит название формулы исправленной плотности. Если в ней положить плотность воздуха равной нулю, она переходит в формулу неисправленной плотности.

1.2. Определение плотности жидкостей методом гидростатического взвешивания

Для определения плотности жидкостей методом гидростатического взвешивания нужно взвесить тело в воздухе, в дистиллированной воде и неизвестной жидкости. В  результате этих  трёх  экспериментов получим три

уравнения. После взвешивания в воздухе:

ρ1 gV − ρ2 gV = m1 g .    (1.13)

После взвешивания в воде:

ρ1 gV − ρ0 gV = m2 g .    (1.14)

И после взвешивания в неизвестной жидкости:

ρ1 gV − ρ3 gV = m3 g ,    (1.15)

где ρ3

– плотность неизвестной жидкости,

m3 – показания весов в третьем случае.

В результате получили три уравнения с тремя неизвестными:

ρ1 ,

ρ3 , V .

Исключим из этих уравнений первое неизвестное. Для этого вычтем из первого уравнения второе, а из второго – третье:

ρ0 gV − ρ2 gV = (m1 − m2 ) g;

ρ3 gV − ρ0 gV = (m2 − m3 ) g.

(1.16)

Теперь из первого уравнения сразу же можно найти объём тела:

V  =

а из второго – плотность жидкости:

m 1   −  m 2

ρ 0   − ρ 2

,           (1.17)

ρ = ρ

+ m2  − m3  = ρ

+ ( m2  − m3 )( ρ0 − ρ2 ) .           (1.18)

3          0          V         0

m1 − m2

Если    снова  привести        к          общему           знаменателю, формула         несколько упростится:

ρ = ρ0 ( m1 − m3 ) + ρ2 ( m3 − m2 ) .   (1.19)

m1 − m2

Данная формула исправлена и учитывает силу Архимеда в воздухе. Если пренебречь плотностью воздуха, получим упрощённую формулу неисправленной плотности:

ρ = ρ0 ( m1 − m3 ) .          (1.20)

m1 − m2

Материал взят из Методические указания к выполнению лабораторных работ по механике для студентов направления 010000 «Физико-математические науки» (А.С. Парахин)

Источник: http://studik.net/opredelenie-plotnosti-tvyordyx-tel-metodom-gidrostaticheskogo-vzveshivaniya/

Biz-books
Добавить комментарий