Математическое моделирование электромеханических систем. Аналитические методы. Глазырин А.С.

Математическое моделирование электромеханических систем. Аналитические методы

Математическое моделирование электромеханических систем. Аналитические методы. Глазырин А.С.

Математическое моделирование электромеханических систем. Аналитические методы: учебное пособие / А.С. Глазырин. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2009. – 216 с.

В учебном пособии содержится описание аналитических методов математического моделирования линейных электромеханических систем в режимах пуска, торможения, реверса, наброса и сброса нагрузки. Для анализа динамики предлагаются системы дифференциальных уравнений, представленные в нормальной форме Коши.

Подробно рассмотрены применения для задач математического моделирования классического метода с отысканием собственных значений и собственных векторов матрицы коэффициентов, операционного метода, метода определителей Вандермонда.

В качестве базового программного продукта при решении задач моделирования предлагается использовать MathCAD.

Учебное пособие подготовлено на кафедре электропривода и электрооборудования Томского политехнического университета и предназначено для студентов специальности 140604 «Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов» Института дистанционного образования.

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ ВВЕДЕНИЕ1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИХ ДИНАМИКУ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ1.1. Классификация электромеханических систем1.2. Представление моделей электромеханических систем в пространстве состояний. Общая постановка задачи Коши1.3. Классический метод решения систем дифференциальных уравнений1.3.1.

Алгоритм классического метода решения систем дифференциальных уравнений1.3.2. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений1.4. Операторный метод решения систем дифференциальных уравнений1.4.1. Математическое описание прямого и обратного преобразований Лапласа1.4.2. Свойства (теоремы) преобразования Лапласа1.4.3. Таблица преобразований Лапласа1.4.4.

Изображения по Лапласу стандартных заводок электромеханических систем (ступенька, линейное, гармоническое)1.4.5. Преобразования по Лапласу систем дифференциальных уравнений, описывающих электромеханические системы с ненулевыми начальными условиями1.5. Решение систем дифференциальных уравнений с применением специальных теорем1.5.1. Использование интеграла Дюамеля1.5.2.

Применение теоремы Бореля1.6. Решение систем дифференциальных уравнений с применением определителей Вандермонда2. МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ИХ ЭЛЕМЕНТОВ2.1. Модели, описываемые дифференциальными уравнениями первого порядка2.2. Модели, описываемые дифференциальными уравнениями второго порядка2.2.1. Фильтр низких частот2.2.2. Фильтр высоких частот2.2.3.

Двигатель постоянного тока независимого возбуждения2.3. Модели силовых преобразователей в электромеханических системах. Широтно-импульсный преобразователь2.4. Математические модели регуляторов замкнутых электромеханических систем2.4.1. Математическая модель П-регулятора2.4.2. Математическая модель ПИ-регулятора2.5. Модели замкнутых электромеханических систем2.5.1.

Модель замкнутой электромеханической системы с П-регулятором, двигателем постоянного тока независимого возбуждения и силовым преобразователем, представленным апериодическим звеном 1-го порядка2.5.2. Модель замкнутой электромеханической системы с ПИ-регулятором, двигателем постоянного тока независимого возбуждения и силовым преобразователем, представленным пропорциональным звеном3.

АНАЛИЗ ВЫХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПРИМЕНЕНИЕМ КЛАССИЧЕСКИХ СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ3.1. Решение дифференциальных уравнений классическим способом на примере RL-, RC- и RLC-цепей3.1.1. Нахождение решения дифференциального уравнения на примере RL-цепи3.1.2. Нахождение решения дифференциального уравнения на примере RC-цепи3.1.3.

Нахождение решения системы дифференциальных уравнений на примере RLC-цепи3.2. Решение задачи Коши с нулевыми начальными условиями на примере нагруженного фильтра низких частот второго порядка3.3. Анализ динамики пуска, реверса, останова, наброса и сброса нагрузки ДПТ НВ с применением классических способов решения задачи Коши3.3.1. Пуск ДПТ НВ3.3.2.

Останов ДПТ НВ, работавшего на холостом ходу3.3.3. Реверс ДПТ НВ, работавшего на холостом ходу3.3.4. Динамика процесса наброса нагрузки в ДПТ НВ, работавшего на холостом ходу3.3.5. Анализ динамики процесса сброса нагрузки в ДПТ НВ3.4. Анализ динамики замкнутой электромеханической системы с применением классических способов решения систем дифференциальных уравнений3.4.1.

Пуск электромеханической системы на холостом ходу3.4.2. Останов электромеханической системы, работавшей на холостом ходу3.4.3. Реверс электромеханической системы, работавшей на холостом ходу3.4.4. Наброс нагрузки в электромеханической системе, работавшей на холостом ходу3.4.5. Сброс нагрузки в электромеханической системе3.5.

Моделирование нестационарной электромеханической системы с применением классических способов решения систем дифференциальных уравнений4. АНАЛИЗ ДИНАМИКИ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА4.1. Решение задачи Коши операторным методом на примере RL — и RC-цепей4.1.1. Решение задачи Коши операторным методом на примере RL-цепи4.1.2.

Решение задачи Коши операторным методом на примере RC-цепи4.2 Решение задачи Коши на примере RLC-фильтра низких частотвторого порядка с нулевыми начальными условиями4.3. Анализ динамики двигателя постоянного тока независимого возбуждения на холостом ходу с применением преобразования Лапласа с нулевыми и ненулевыми начальными условиями4.3.1.

Пуск двигателя постоянного тока на холостом ходу4.3.2. Реверс двигателя постоянного тока с независимым возбуждением, работавшего на холостом ходу4.4. Моделирование системы «Двуполярный ШИП – ДПТ НВ» аналитически с применением преобразования Лапласа4.5.

Моделирование нестационарной электромеханической системы с двигателем постоянного тока с применением преобразования Лапласа с ненулевыми начальными условиями5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭМС, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ, С ПРИМЕНЕНИЕМ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ВАНДЕРМОНДА5.1. Анализ динамики RLC-ФНЧ 2-го порядка в нагруженном режиме методом Вандермонда5.2. Анализ динамики пуска ДПТ НВ на холостом ходу с применением определителя ВандермондаЗАКЛЮЧЕНИЕСПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ. Применение методов решения нелинейных уравнений для нахождения показателей качества динамики электромеханических систем

Источник: http://electrichelp.ru/matematicheskoe-modelirovanie-elektromexanicheskix-sistem-analiticheskie-metody/

Глазырин — МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Математическое моделирование электромеханических систем. Аналитические методы. Глазырин А.С.

МИНИСТЕРСТВООБРАЗОВАНИЯИНАУКИРОССИЙСКОЙФЕДЕРАЦИИ

Государственноеобразовательноеучреждениевысшегопрофессиональногообразования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙУНИВЕРСИТЕТ»

А.С. Глазырин

МАТЕМАТИЧЕСКОЕМОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХСИСТЕМ

АНАЛИТИЧЕСКИЕМЕТОДЫ

ДопущеноУМОвузовРоссиипообразованиювобластиэнергетики иэлектротехникивкачествеучебногопособиядлястудентов высшихучебныхзаведений, обучающихсяпонаправлениюподготовки 140600 – «Электротехника, электромеханикаиэлектротехнологии»

Издательство Томскогополитехнического университета

2011

УДК 62-83-52.001.5(075.8) ББК 31.291я73

Г52

Глазырин А.С.

Г52 Математическое моделирование электромеханических систем. Аналитические методы: учебное пособие / А.С. Глазырин; Томский политехнический университет. – Томск: Изд-во Томского политехнического уни-

верситета, 2011. – 206 с.

ISBN 978-5-98298-838-6

В пособии содержится описание аналитических методов математического моделирования линейных электромеханических систем в режимах пуска, торможения, реверса, наброса и сброса нагрузки. Для анализа динамики предлагаются системы дифференциальных уравнений, представленные в нормальной форме Коши.

Подробно рассмотрены применения для задач математического моделирования классического метода с отысканием собственных значений и собственных векторов матрицы коэффициентов, операционного метода, метода определителей Вандермонда.

В качестве базового программного продукта при решении задач моделирования предлагается использовать MathCAD.

Предназначено для студентов, обучающихся по специальности 140604 «Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов» направления 140600 «Электротехника, электромеханика и электротехнологии».

УДК 62-83-52.001.5(075.8) ББК 31.291я73

Рецензенты

Доктор технических наук профессор кафедры КИБЭВС ТУСУРа

В.А. Бейнарович

Кандидат технических наук, доцент заведующий кафедрой электропривода и автоматики СГТА

С.Н. Кладиев

ISBN 978-5-98298-838-6

© ГОУ ВПО НИ ТПУ, 2011

© Глазырин А.С., 2011

© Оформление. Издательство Томского

политехнического университета, 2011

ПРЕДИСЛОВИЕ

Математическое моделирование в настоящее время получило широкое применение при анализе динамики и синтезе электромеханических систем.

Аналитическое моделирование электромеханических систем с использованием точных методов решения дифференциальных уравнений позволяет обеспечить отсутствие погрешности в отличие от численных методов.

Вместе с тем аналитические методы применимы только для линейных и линеаризованных систем.

Автор выражает признательность и благодарит рецензентов доктора технических наук, профессора кафедры КИБЭВС Томского университета систем управления и радиоэлектроники В.А.

Бейнаровича, заведующего кафедрой электропривода и автоматики Северской государственной технологической академии кандидата технических наук, доцента С.Н. Кладиева за полезные замечания по тексту данного пособия.

За большую помощь в подготовке компьютерной версии учебного пособия автор благодарит студента К.С. Афанасьева.

Материалы учебного пособия используются в курсе «Математическое моделирование электромеханических систем» и могут быть полезны для изучения курсов «Математическое моделирование в электротехнике», «Теория автоматического управления», «Теоретические основы электротехники».

Учебное пособие подготовлено на кафедре электропривода и электрооборудования Томского политехнического университета и предназначено для студентов, обучающихся по специальности 140604 «Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов» направления 140600 «Электротехника, электромеханика и электротехнологии».

3

ВВЕДЕНИЕ

Вучебном пособии рассмотрены аналитические методы математического моделирования линейных и линеаризованных электромеханических систем в режимах пуска, торможения, реверса, наброса и сброса нагрузки.

Для анализа динамики предлагаются системы дифференциальных уравнений, представленные в нормальной форме Коши.

Математическое моделирование электромеханических систем состоит из следующих основных этапов:

•составление системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих динамику электромеханических систем;

•выяснение начальных условий, определяемых физическим смыслом задачи (пуск, реверс, торможение, наброс и сброс нагрузки в электромеханической системе);

•составление математического описания входных воздействий электромеханической системы (управляющие и возмущающие воздействия);

•решениезадачи Кошидлясистемыдифференциальных уравнений;

•интерпретация результатов математического моделирования (определение показателей качества динамики электромеханической системы, выдача рекомендаций по настройке регуляторов и защит).

Подробно рассмотрены применения для задач математического моделирования классического метода с отысканием собственных значений

исобственных векторов матрицы коэффициентов, операционного метода, метода определителей Вандермонда.

Вкачестве базового программного продукта при решении задач моделирования предлагается использовать MathCAD.

Вприложении приведены примеры решения нелинейных уравнений численными методами. Решение соответствующих нелинейных уравнений для выходных координат позволяет определить такие показатели качества динамики электромеханических систем, как время переходного процесса, время достижения первого максимума, время нарастания, перерегулирование.

1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИХ ДИНАМИКУ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

1.1. Классификация электромеханических систем

Электромеханическая система (ЭМС) – это система, осуществляющая преобразование электрической энергии в механическую и наоборот. Все электрические привода являются электромеханическими системами.

ЭМС включают в себя электромеханический преобразователь энергии (ЭМПЭ), силовой преобразователь энергии (СПЭ) и систему управления. ЭМПЭ выполняют основную функцию ЭМС – преобразуют электрическую энергию в механическую (двигатели) или механическую в электрическую (генераторы).

ЭМПЭ бывают постоянного и переменного тока. В свою очередь, в зависимости от типа возбуждения ЭМПЭ постоянного тока подразделяют на ЭМПЭ независимого, параллельного, последовательного и смешанного возбуждения.

К ЭМПЭ переменного тока относятся асинхронные, синхронные, вентильно-индукторные. В настоящем пособии будут рассматриваться только ЭМПЭ постоянного тока независимого возбуждения.

СПЭ – это устройства, преобразующие электрическую энергию одного вида либо с одними параметрами в электрическую энергию другого вида либо с другими параметрами.

В элементную базу СПЭ входят резисторы, конденсаторы, индуктивности (дроссели и трансформаторы) и полупроводниковые вентили (диоды, тиристоры, транзисторы и т. д.).

К СПЭ относятся выпрямители, инверторы, преобразователи частоты, импульсные преобразователи постоянного тока, регуляторы переменного напряжения, силовые фильтры, компенсаторы реактивной мощности. В зависимости от числа фаз СПЭ делятся на однофазные и многофазные.

Для нормальной работы ЭМС следует поддерживать необходимые значения ее координат, в качестве которых могут выступать скорость или положение вала ЭМПЭ, ток, напряжение. Координаты ЭМС в процессе работы могут отклоняться от заданных значений из-за возмущающих воздействий.

Устранение таких отклонений – задача системы управления ЭМС. Системы управления делятся на аналоговые, цифровые и гибридные. Регулирование координат ЭМС осуществляется за счет специального устройства – регулятора. На рис.

1 представлена система автоматического регулирования скорости двигателя постоянного тока независимого возбуждения.

Рис. 1. Система автоматического регулирования скорости двигателя постоянного тока независимого возбуждения (ДПТ НВ)

Вданной системе на вход регулятора подается ошибка регулирова-

ния UЗАД, определяемая разностью напряжения задания UЗАД и напряжения UОС, поступающего на вход регулятора по каналу обратной связи с выхода системы. При этом регулятор обеспечивает поддержание скорости двигателя на заданном уровне.

Данный принцип регулирования называется регулированием по принципу отклонения регулируемой переменной от заданного значения [5]. Большинство автоматических систем работает по этому принципу.

Преобразование сигнала ошибки регулирования в управляющий сигнал осуществляется регулятором в соответствии с математическими операциями, требуемыми по условиям работы системы регулирования скорости.

В зависимости от вида таких операций регуляторы бывают пропорциональные (П-регуляторы), про- порционально-интегральные (ПИ-регуляторы), пропорционально- интегрально-дифференциальные (ПИД-регуляторы) и т. д.

Вобщем случае ЭМС делятся на линейные и нелинейные.

Линейная ЭМС – такая система, в которой основные характеристики (по управлению и возмущению) описываются линейными функциями, а саму систему можно представить состоящей из типовых динамических звеньев.

В свою очередь, нелинейная ЭМС – это система, содержащая хотя бы один нелинейный элемент, т. е. элемент, в котором связь между входом и выходом описывается нелинейной функцией.

ЭМС могут работать в двух режимах – статике и динамике. Основной интерес для математического моделирования представляет динамика – неустановившееся состояние ЭМС при переходе из одного устойчивого положения в другое под действием внешних вынуждающих сил.

Динамическое состояние любой ЭМС описывается системой дифференциальных уравнений (СДУ). Статика – это такой режим работы ЭМС, когда производные всех координат системы равны нулю, т. е.

координаты системы не меняются по величине со временем (установившийся

6

режим). Для получения уравнений, описывающих статический режим работы ЭМС, достаточно в СДУ для динамического режима приравнять производные координат ЭМС к нулю.

Основной задачей математического моделирования ЭМС является решение описывающей ее СДУ и дальнейший анализ этого решения. Существует два основных вида методов решения СДУ – аналитические и численные. Линейные ЭМС описываются линейными дифференциальными уравнениями, которые могут быть решены как аналитическими, так и численными методами.

Различие этих методов состоит в том, что при использовании численных методов решение СДУ является несколько неточным. Аналитические же методы позволяют получить точное решение, не содержащее погрешность. Нелинейные ЭМС описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, для решения которых применимы только численные методы.

В данном пособии рассматриваются только аналитические методы решения линейных ЭМС.

1.2.Представление моделей электромеханических систем

впространстве состояний. Общая постановка задачи Коши

Пусть ЭМС имеет переменные состояния x1, x2 ,…, xn . Переменные

состояния – это те величины, которые определяют энергетическое состояние ЭМС. В качестве таких величин могут выступать токи через катушки индуктивности, напряжения на конденсаторах, скорости вращения двигателей и т. д. Математическую модель ЭМС можно представить в виде СДУ 1-го порядка, записанной в нормальной форме Коши, т. е. разрешенной относительно производных:

dx1 (t)

= a x (t) +a x (t) + + a x (t) +b (t) 1(t);…

dt

11

1

12

2

1n

n

1

dx2 (t)

= a21 x1 (t) +a22

x2 (t) + + a2n

xn

(t) +b2 (t) 1(t);

(1)

dt

…………………………………………………………………………….

dxn (t)

= a

x (t) +a

x …(t) + +a

nn

x (t) +b (t) 1(t),

dt

n1

1

n2

2

n

n

где a11, a12 , …, ann – постоянные коэффициенты, образующие матрицу коэффициентов

a11

a12

a1n

a

a

a

;

A =

21

22

2n

.… …

an2

an1

ann

b1 (t), b2 (t), …, bn (t) – независимые свободные члены дифференциальных уравнений (ДУ), образующие вектор-функцию членов ДУ

b1 (t)

B(t) = b2 (t)

…bn (t)

где 1(t) – функция Хэвисайда, или единичное ступенчатое воздействие. ДУ 1-го порядка, связывающее некоторую функцию x(t) и ее про-

изводную

dxn (t) = an xn (t) +bn (t) 1(t), dt

является неоднородным, так как включает в себя свободный член bn (t ) 1(t ). При равенстве bn (t) = 0 данное ДУ становится однородным.

То же самое можно сказать о СДУ (1). Если данная система содер-

жит вектор свободных членов B(t) ,

то СДУ является неоднородной.

При условии B(t) = 0 СДУ становится однородной.

Модель ЭМС можно записать в векторно-матричной форме:

dx(t) = A x(t)

+ B(t) 1(t),

dt

x1 (t)

x

(t)

где x(t) =

2

– вектор переменных состояния ЭМС.

xn

(t)

Вышеприведенную модель ЭМС можно представить несколько подробнее:

x (t)

a

a

1

11

12

d

x2 (t)

= a21

a22

dt

.… …

an2

xn (t)

an1

x1 (t)

b1 (t)

x (t)

b (t)

2

+

2

xn (t)

bn (t)

Модели ЭМС в пространстве состояний пригодны для анализа всех динамических режимов работы: пуска, торможения, реверса, наброса и сброса нагрузки. В результате математического моделирования можно получить статические и динамические характеристики ЭМС. Анализ таких характеристик можно проводить, используя показатели качества

(рис. 2) [4]:

1) время переходного процесса (время регулирования) tпп ;

2) перерегулирование σ = (hmax −hуст ) 100 %;

hуст

3) время достижения первого максимума tmax ;

4) время нарастания переходного процесса tн ;

5) период колебаний T0 = 2π ;

ω0

6) число колебаний за время переходного процесса.

Рис. 2. Показатели качества переходного процесса

Дополнив СДУ в нормальной форме Коши вектором начальных условий

можно решить задачу Коши. Задача Коши заключается в нахождении такого решения СДУ, которое удовлетворяет заданным начальным условиям x(0).

1.3. Классический методрешения системдифференциальных уравнений

1.3.1. Алгоритмклассическогометодарешения системдифференциальныхуравнений

Пусть ЭМС описывается некоторой неоднородной СДУ и, в зависимости от режима работы ЭМС, заданы начальные условия x(0) для

переменных состояния x1, x2 ,…, xn . Тогда для этой СДУ решение задачи

Коши классическим способом может быть найдено по следующему алгоритму:

1.Выписать однородную систему, соответствующую заданной неоднородной, и найти ее общее решение xО(t) .

2.Найти частное решение xЧ (t) неоднородной системы.

3.Записать общее решение в виде суммы: x(t) = xЧ (t) + xО(t) .

4.Найти частное решение неоднородной СДУ, удовлетворяющее заданным начальным условиям x(0). Другими словами, этот этап со-

стоит в нахождении постоянных интегрирования. Несмотря на то, что в классическом курсе математики постоянные интегрирования обозначают через букву C, в данном учебном пособии будем обозначать постоянные интегрирования буквой N для того, чтобы не перепутать их с емкостью конденсатора или коэффициентом связи двигателя постоянного тока.

При решении однородных СДУ классическим способом наиболее удобным является метод сведения решения системы к задаче отыскания собственных значений и собственных векторов матрицы коэффициентов СДУ. Его алгоритм следующий:

1.Записать матрицу A коэффициентов перед неизвестными СДУ.

2.Найти собственные значения и собственные вектора матрицы A. При этом число полученных линейно независимых соб-

ственных векторов матрицы A должно равняться порядку СДУ. В противном случае система должна решаться другим методом (например, методом исключения неизвестных или методом неопределенных коэффициентов) [8].

3. Выписать все компоненты решения СДУ в зависимости от типа корней.

Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы A:

Источник: https://studfile.net/preview/4329432/

Biz-books
Добавить комментарий