Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е

Описательная статистика в MS EXCEL

Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е

Рассмотрим инструмент Описательная статистика, входящий в надстройку Пакет Анализа. Рассчитаем показатели выборки: среднее, медиана, мода, дисперсия, стандартное отклонение и др.

Задача описательной статистики (descriptive statistics) заключается в том, чтобы с использованием математических инструментов свести сотни значений выборки к нескольким итоговым показателям, которые дают представление о выборке .В качестве таких статистических показателей используются: среднее , медиана , мода , дисперсия, стандартное отклонение и др.

Опишем набор числовых данных с помощью определенных показателей. Для чего нужны эти показатели? Эти показатели позволят сделать определенные статистические выводы о распределении , из которого была взята выборка .

Например, если у нас есть выборка значений толщины трубы, которая изготавливается на определенном оборудовании, то на основании анализа этой выборки мы сможем сделать, с некой определенной вероятностью, заключение о состоянии процесса изготовления.

статьи:

Надстройка Пакет анализа

Для вычисления статистических показателей одномерных выборок , используем надстройку Пакет анализа . Затем, все показатели рассчитанные надстройкой, вычислим с помощью встроенных функций MS EXCEL.

СОВЕТ : Подробнее о других инструментах надстройки Пакет анализа и ее подключении – читайте в статье Надстройка Пакет анализа MS EXCEL .

Выборку разместим на листе Пример в файле примера в диапазоне А6:А55 (50 значений).

Примечание : Для удобства написания формул для диапазона А6:А55 создан Именованный диапазон Выборка.

В диалоговом окне Анализ данных выберите инструмент Описательная статистика .

После нажатия кнопки ОК будет выведено другое диалоговое окно,

в котором нужно указать:

  • входной интервал (Input Range) – это диапазон ячеек, в котором содержится массив данных. Если в указанный диапазон входит текстовый заголовок набора данных, то нужно поставить галочку в поле Метки в первой строке ( Labels in first row ). В этом случае заголовок будет выведен в Выходном интервале. Пустые ячейки будут проигнорированы, поэтому нулевые значения необходимо обязательно указывать в ячейках, а не оставлять их пустыми;
  • выходной интервал (Output Range). Здесь укажите адрес верхней левой ячейки диапазона, в который будут выведены статистические показатели;
  • Итоговая статистика ( Summary Statistics ) . Поставьте галочку напротив этого поля – будут выведены основные показатели выборки: среднее, медиана, мода, стандартное отклонение и др.;
  • Также можно поставить галочки напротив полей Уровень надежности ( Confidence Level for Mean ) , К-й наименьший (Kth Largest) и К-й наибольший (Kth Smallest).

В результате будут выведены следующие статистические показатели:

Все показатели выведены в виде значений, а не формул. Если массив данных изменился, то необходимо перезапустить расчет.

Если во входном интервале указать ссылку на несколько столбцов данных, то будет рассчитано соответствующее количество наборов показателей. Такой подход позволяет сравнить несколько наборов данных.

При сравнении нескольких наборов данных используйте заголовки (включите их во Входной интервал и установите галочку в поле Метки в первой строке ).

Если наборы данных разной длины, то это не проблема — пустые ячейки будут проигнорированы.

Зеленым цветом на картинке выше и в файле примера выделены показатели, которые не требуют особого пояснения. Для большинства из них имеется специализированная функция:

  • Интервал (Range) — разница между максимальным и минимальным  значениями;
  • Минимум (Minimum) – минимальное значение в диапазоне ячеек, указанном во Входном интервале (см. статью про функцию МИН() );
  • Максимум (Maximum)– максимальное значение (см. статью про функцию МАКС() );
  • Сумма (Sum) – сумма всех значений (см. статью про функцию СУММ() );
  • Счет (Count) – количество значений во Входном интервале (пустые ячейки игнорируются, см. статью про функцию СЧЁТ() );
  • Наибольший (Kth Largest) – выводится К-й наибольший. Например, 1-й наибольший – это максимальное значение (см. статью про функцию НАИБОЛЬШИЙ() );
  • Наименьший (Kth Smallest) – выводится К-й наименьший. Например, 1-й наименьший – это минимальное значение (см. статью про функцию НАИМЕНЬШИЙ() ).

Ниже даны подробные описания остальных показателей.

Среднее выборки

Среднее (mean, average) или выборочное среднее или среднее выборки (sample average) представляет собой арифметическое среднее всех значений массива.

В MS EXCEL для вычисления среднего выборки используется функция СРЗНАЧ() . Выборочное среднее является «хорошей» (несмещенной и эффективной) оценкой математического ожидания случайной величины (подробнее см.

статью Среднее и Математическое ожидание в MS EXCEL ).

Медиана выборки

Медиана (Median) – это число, которое является серединой множества чисел (в данном случае выборки): половина чисел множества больше, чем медиана , а половина чисел меньше, чем медиана . Для определения медианы необходимо сначала отсортировать множество чисел . Например, медианой для чисел 2, 3, 3, 4 , 5, 7, 10 будет 4.

Если множество содержит четное количество чисел, то вычисляется среднее для двух чисел, находящихся в середине множества. Например, медианой для чисел 2, 3, 3 , 5 , 7, 10 будет 4, т.к. (3+5)/2.

Если имеется длинный хвост распределения, то Медиана лучше, чем среднее значение , отражает «типичное» или «центральное» значение. Например, рассмотрим несправедливое распределение зарплат в компании, в которой руководство получает существенно больше, чем основная масса сотрудников.

Очевидно, что средняя зарплата (71 тыс. руб.) не отражает тот факт, что 86% сотрудников получает не более 30 тыс. руб. (т.е. 86% сотрудников получает зарплату в более, чем в 2 раза меньше средней!). В то же время медиана (15 тыс. руб.) показывает, что как минимум у 50% сотрудников зарплата меньше или равна 15 тыс. руб.

Для определения медианы в MS EXCEL существует одноименная функция МЕДИАНА() , английский вариант — MEDIAN().

Медиану также можно вычислить с помощью формул

=КВАРТИЛЬ.ВКЛ(Выборка;2) =ПРОЦЕНТИЛЬ.ВКЛ(Выборка;0,5).

Подробнее о медиане см. специальную статью Медиана в MS EXCEL .

СОВЕТ : Подробнее про квартили см. статью, про перцентили (процентили) см. статью.

Мода выборки

Мода (Mode) – это наиболее часто встречающееся (повторяющееся) значение в выборке . Например, в массиве (1; 1; 2 ; 2 ; 2 ; 3; 4; 5) число 2 встречается чаще всего – 3 раза. Значит, число 2 – это мода . Для вычисления моды используется функция МОДА() , английский вариант MODE().

Примечание : Если в массиве нет повторяющихся значений, то функция вернет значение ошибки #Н/Д. Это свойство использовано в статье Есть ли повторы в списке?

Начиная с MS EXCEL 2010 вместо функции МОДА() рекомендуется использовать функцию МОДА.ОДН() , которая является ее полным аналогом. Кроме того, в MS EXCEL 2010 появилась новая функция МОДА.НСК() , которая возвращает несколько наиболее часто повторяющихся значений (если количество их повторов совпадает). НСК – это сокращение от слова НеСКолько.

Например, в массиве (1; 1; 2 ; 2 ; 2 ; 3; 4 ; 4 ; 4 ; 5) числа 2 и 4 встречаются наиболее часто – по 3 раза. Значит, оба числа являются модами . Функции МОДА.ОДН() и МОДА() вернут значение 2, т.к. 2 встречается первым, среди наиболее повторяющихся значений (см. файл примера , лист Мода ).

Чтобы исправить эту несправедливость и была введена функция МОДА.НСК() , которая выводит все моды . Для этого ее нужно ввести как формулу массива .

Как видно из картинки выше, функция МОДА.НСК() вернула все три моды из массива чисел в диапазоне A2:A11 : 1; 3 и 7. Для этого, выделите диапазон C6:C9 , в Строку формул введите формулу =МОДА.НСК(A2:A11) и нажмите CTRL+SHIFT+ENTER .

Диапазон C 6: C 9 охватывает 4 ячейки, т.е. количество выделяемых ячеек должно быть больше или равно количеству мод . Если ячеек больше чем м о д, то избыточные ячейки будут заполнены значениями ошибки #Н/Д.

Если мода только одна, то все выделенные ячейки будут заполнены значением этой моды .

Теперь вспомним, что мы определили моду для выборки, т.е. для конечного множества значений, взятых из генеральной совокупности . Для непрерывных случайных величин вполне может оказаться, что выборка состоит из массива на подобие этого (0,935; 1,211; 2,430; 3,668; 3,874; …), в котором может не оказаться повторов и функция МОДА() вернет ошибку.

Даже в нашем массиве с модой , которая была определена с помощью надстройки Пакет анализа , творится, что-то не то. Действительно, модой нашего массива значений является число 477, т.к.

оно встречается 2 раза, остальные значения не повторяются.

Но, если мы посмотрим на гистограмму распределения , построенную для нашего массива, то увидим, что 477 не принадлежит интервалу наиболее часто встречающихся значений (от 150 до 250).

Проблема в том, что мы определили моду как наиболее часто встречающееся значение, а не как наиболее вероятное.

Поэтому, моду в учебниках статистики часто определяют не для выборки (массива), а для функции распределения.

Например, для логнормального распределения мода (наиболее вероятное значение непрерывной случайной величины х), вычисляется как exp ( m — s 2 ) , где m и s параметры этого распределения.

Понятно, что для нашего массива число 477, хотя и является наиболее часто повторяющимся значением, но все же является плохой оценкой для моды распределения, из которого взята выборка (наиболее вероятного значения или для которого плотность вероятности распределения максимальна).

Для того, чтобы получить оценку моды распределения, из генеральной совокупности которого взята выборка , можно, например, построить гистограмму . Оценкой для моды может служить интервал наиболее часто встречающихся значений (самого высокого столбца). Как было сказано выше, в нашем случае это интервал от 150 до 250.

Вывод : Значение моды для выборки , рассчитанное с помощью функции МОДА() , может ввести в заблуждение, особенно для небольших выборок. Эта функция эффективна, когда случайная величина может принимать лишь несколько дискретных значений, а размер выборки существенно превышает количество этих значений.

Например, в рассмотренном примере о распределении заработных плат (см. раздел статьи выше, о Медиане), модой является число 15 (17 значений из 51, т.е. 33%). В этом случае функция МОДА() дает хорошую оценку «наиболее вероятного» значения зарплаты.

Примечание : Строго говоря, в примере с зарплатой мы имеем дело скорее с генеральной совокупностью , чем с выборкой . Т.к. других зарплат в компании просто нет.

О вычислении моды для распределения непрерывной случайной величины читайте статью Мода в MS EXCEL .

Мода и среднее значение

Не смотря на то, что мода – это наиболее вероятное значение случайной величины (вероятность выбрать это значение из Генеральной совокупности максимальна), не следует ожидать, что среднее значение обязательно будет близко к моде .

Примечание : Мода и среднее симметричных распределений совпадает (имеется ввиду симметричность плотности распределения ).

Представим, что мы бросаем некий «неправильный» кубик, у которого на гранях имеются значения (1; 2; 3; 4; 6; 6), т.е. значения 5 нет, а есть вторая 6. Модой является 6, а среднее значение – 3,6666.

Другой пример. Для Логнормального распределения LnN(0;1) мода равна =EXP(m-s2)= EXP(0-1*1)=0,368, а среднее значение 1,649.

Дисперсия выборки

Дисперсия выборки или выборочная дисперсия ( sample variance ) характеризует разброс значений в массиве, отклонение от среднего .

Из формулы №1 видно, что дисперсия выборки это сумма квадратов отклонений каждого значения в массиве от среднего , деленная на размер выборки минус 1.

В MS EXCEL 2007 и более ранних версиях для вычисления дисперсии выборки используется функция ДИСП() . С версии MS EXCEL 2010 рекомендуется использовать ее аналог — функцию ДИСП.В() .

Дисперсию можно также вычислить непосредственно по нижеуказанным формулам (см. файл примера ): =КВАДРОТКЛ(Выборка)/(СЧЁТ(Выборка)-1) =(СУММКВ(Выборка)-СЧЁТ(Выборка)*СРЗНАЧ(Выборка)2)/ (СЧЁТ(Выборка)-1) – обычная формула =СУММ((Выборка -СРЗНАЧ(Выборка))2)/ (СЧЁТ(Выборка)-1) – формула массива

Дисперсия выборки равна 0, только в том случае, если все значения равны между собой и, соответственно, равны среднему значению .

Чем больше величина дисперсии , тем больше разброс значений в массиве относительно среднего .

Размерность дисперсии соответствует квадрату единицы измерения исходных значений. Например, если значения в выборке представляют собой измерения веса детали (в кг), то размерность дисперсии будет кг 2 . Это бывает сложно интерпретировать, поэтому для характеристики разброса значений чаще используют величину равную квадратному корню из дисперсии – стандартное отклонение .

Подробнее о дисперсии см. статью Дисперсия и стандартное отклонение в MS EXCEL .

Стандартное отклонение выборки

Стандартное отклонение выборки (Standard Deviation), как и дисперсия , — это мера того, насколько широко разбросаны значения в выборке относительно их среднего .

По определению, стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии :

Стандартное отклонение не учитывает величину значений в выборке , а только степень рассеивания значений вокруг их среднего . Чтобы проиллюстрировать это приведем пример.

Вычислим стандартное отклонение для 2-х выборок : (1; 5; 9) и (1001; 1005; 1009). В обоих случаях, s=4. Очевидно, что отношение величины стандартного отклонения к значениям массива у выборок существенно отличается.

В MS EXCEL 2007 и более ранних версиях для вычисления Стандартного отклонения выборки используется функция СТАНДОТКЛОН() . С версии MS EXCEL 2010 рекомендуется использовать ее аналог СТАНДОТКЛОН.В() .

Стандартное отклонение можно также вычислить непосредственно по нижеуказанным формулам (см. файл примера ): =КОРЕНЬ(КВАДРОТКЛ(Выборка)/(СЧЁТ(Выборка)-1)) =КОРЕНЬ((СУММКВ(Выборка)-СЧЁТ(Выборка)*СРЗНАЧ(Выборка)2)/(СЧЁТ(Выборка)-1))

Подробнее о стандартном отклонении см. статью Дисперсия и стандартное отклонение в MS EXCEL .

Стандартная ошибка

В Пакете анализа под термином стандартная ошибка имеется ввиду Стандартная ошибка среднего (Standard Error of the Mean, SEM). Стандартная ошибка среднего — это оценка стандартного отклонения распределения выборочного среднего .

Примечание : Чтобы разобраться с понятием Стандартная ошибка среднего необходимо прочитать о выборочном распределении (см. статью Статистики, их выборочные распределения и точечные оценки параметров распределений в MS EXCEL ) и статью про Центральную предельную теорему .

Стандартное отклонение распределения выборочного среднего вычисляется по формуле σ/√n, где n — объём выборки, σ — стандартное отклонение исходного распределения, из которого взята выборка . Т.к.

обычно стандартное отклонение исходного распределения неизвестно, то в расчетах вместо σ используют ее оценку s — стандартное отклонение выборки . А соответствующая величина s/√n имеет специальное название — Стандартная ошибка среднего.

Именно эта величина вычисляется в Пакете анализа.

В MS EXCEL стандартную ошибку среднего можно также вычислить по формуле =СТАНДОТКЛОН.В(Выборка)/ КОРЕНЬ(СЧЁТ(Выборка))

Асимметричность

Асимметричность или коэффициент асимметрии (skewness) характеризует степень несимметричности распределения ( плотности распределения ) относительно его среднего .

Положительное значение коэффициента асимметрии указывает, что размер правого «хвоста» распределения больше, чем левого (относительно среднего). Отрицательная асимметрия, наоборот, указывает на то, что левый хвост распределения больше правого. Коэффициент асимметрии идеально симметричного распределения или выборки равно 0.

Примечание : Асимметрия выборки может отличаться расчетного значения асимметрии теоретического распределения.

Например, Нормальное распределение является симметричным распределением ( плотность его распределения симметрична относительно среднего ) и, поэтому имеет асимметрию равную 0.

Понятно, что при этом значения в выборке из соответствующей генеральной совокупности не обязательно должны располагаться совершенно симметрично относительно среднего . Поэтому, асимметрия выборки , являющейся оценкой асимметрии распределения , может отличаться от 0.

Функция СКОС() , английский вариант SKEW(), возвращает коэффициент асимметрии выборки , являющейся оценкой асимметрии соответствующего распределения, и определяется следующим образом:

где n – размер выборки , s – стандартное отклонение выборки .

В файле примера на листе СКОС приведен расчет коэффициента асимметрии на примере случайной выборки из распределения Вейбулла , которое имеет значительную положительную асимметрию при параметрах распределения W(1,5; 1).

Эксцесс выборки

Эксцесс показывает относительный вес «хвостов» распределения относительно его центральной части.

Для того чтобы определить, что относится к хвостам распределения, а что к его центральной части, можно использовать границы μ +/- σ .

Примечание : Не смотря на старания профессиональных статистиков, в литературе еще попадается определение Эксцесса как меры «остроконечности» (peakedness) или сглаженности распределения. Но, на самом деле, значение Эксцесса ничего не говорит о форме пика распределения.

Согласно определения, Эксцесс равен четвертому стандартизированному моменту:

Для нормального распределения четвертый момент равен 3*σ 4 , следовательно, Эксцесс равен 3. Многие компьютерные программы используют для расчетов не сам Эксцесс , а так называемый Kurtosis excess, который меньше на 3. Т.е. для нормального распределения Kurtosis excess равен 0. Необходимо быть внимательным, т.к. часто не очевидно, какая формула лежит в основе расчетов.

Примечание : Еще большую путаницу вносит перевод этих терминов на русский язык. Термин Kurtosis происходит от греческого слова «изогнутый», «имеющий арку». Так сложилось, что на русский язык оба термина Kurtosis и Kurtosis excess переводятся как Эксцесс (от англ. excess — «излишек»). Например, функция MS EXCEL ЭКСЦЕСС() на самом деле вычисляет Kurtosis excess.

Функция ЭКСЦЕСС() , английский вариант KURT(), вычисляет на основе значений выборки несмещенную оценку эксцесса распределения случайной величины и определяется следующим образом:

Как видно из формулы MS EXCEL использует именно Kurtosis excess, т.е. для выборки из нормального распределения формула вернет близкое к 0 значение.

Если задано менее четырех точек данных, то функция ЭКСЦЕСС() возвращает значение ошибки #ДЕЛ/0!

Вернемся к распределениям случайной величины . Эксцесс (Kurtosis excess) для нормального распределения всегда равен 0, т.е. не зависит от параметров распределения μ и σ. Для большинства других распределений Эксцесс зависит от параметров распределения: см., например, распределение Вейбулла или распределение Пуассона , для котрого Эксцесс = 1/λ.

Уровень надежности

Уровень надежности — означает вероятность того, что доверительный интервал содержит истинное значение оцениваемого параметра распределения.

Вместо термина Уровень надежности часто используется термин Уровень доверия . Про Уровень надежности (Confidence Level for Mean) читайте статью Уровень значимости и уровень надежности в MS EXCEL .

Задав значение Уровня надежности в окне надстройки Пакет анализа , MS EXCEL вычислит половину ширины доверительного интервала для оценки среднего (дисперсия неизвестна) .

Тот же результат можно получить по формуле (см. файл примера ): =ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(1-0,95;s;n) s — стандартное отклонение выборки , n – объем выборки .

Подробнее см. статью про построение доверительного интервала для оценки среднего (дисперсия неизвестна) .

Источник: https://excel2.ru/articles/opisatelnaya-statistika-v-ms-excel

«Ю.Е. ВОСКОБОЙНИКОВ Т.Т. БАЛАНЧУК ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА (с примерами в Excel) НОВОСИБИРСК 2013 …»

Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е
Pages:     | 1 |   …   | 2 | 3 ||

— [ Страница 4 ] —

7. Если уровень значимости при проверке гипотезы равен 0.05, то каков уровень доверия при этой проверке?

Ответ: Р(Н0 / Н0) = 1 – = = 1 – 0.05 = 0.95.

8. Как называется вероятность принять альтернативную гипо тезу, если она верна?

Ответ: Мощность критерия.

9. Если мощность критерия равна 0.8, то какова вероятность ошибки второго рода?

Ответ: Р(Н0 / Н1) = = 1 – 0.8 = 0.2.

10. Если уровень значимости при проверке гипотезы равен 0.2, то какова вероятность того, что наблюдаемое значение дву стороннего критерия «попадет» в критическую область?

Ответ: = 0.1.

11. Какие альтернативные гипотезы могут быть сформулирова ны при проверке основной гипотезы о равенстве математи ческого ожиданий?

12. Привести виды критериев, используемых в задачах о про верке статистических гипотез.

13. По двум независимым выборкам объемов n = 120, m = найдены значения выборочных дисперсий d вx = 1.2 и d вy = 4.5, а также средние значения xв = 30, yв = 28.3.

При уровне значимости = 0.05 проверить гипотезу H 0 : M ( X ) = M (Y ) при конкурирующей гипотезе H1 : M ( X ) M (Y ).

14. Хронометраж затрат времени на сборку узла машины n = 20 слесарей показал, что среднее время сборки xв = мин, а s 2 = 4. В предположении о нормальности распреде ления затрат времени на сборку решить вопрос о том, мож но ли принять 80 мин нормативом (математическим ожида нием) трудоемкости на уровне значимости = 0.01.

15. Какая основная идея положена в основу критерия согласия Пирсона?

16. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0. проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распре делении генеральной совокупности Х с заданным эмпири ческим распределением выборки.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 xi 2 4 6 10 18 20 16 11 7 5 ni 17. При уровне значимости 0.025 проверить гипотезу о нор мальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты.

Эмпирические 6 15 38 74 108 85 32 частоты Теоретические 5 14 42 80 99 75 37 частоты ЗАКЛЮЧЕНИЕ В математических исследованиях прикладных задач важ ную роль играют методы и подходы, изучаемые в теории веро ятностей и математической статистике.

В данном учебном пособии в разделе «Теория вероятно стей» изложены основные понятия и определения теории веро ятностей, важнейшие числовые (математическое ожидание, дисперсия) характеристики дискретных случайных величин и распределенные (функция распределения, плотность вероятно сти) характеристики непрерывных случайных величин. Большое внимание уделено исследованию корреляционного взаимодей ствия случайных величин. Эти вопросы также рассматриваются в учебниках [1, 3–6].

В разделе «Математическая статистика» рассмотрены: об работка статистических данных, построение выборочного коэф фициента корреляции, получение точечных и интервальных оценок неизвестных параметров, статистическая проверка ста тистических гипотез. Эти вопросы также рассматриваются в учебниках [2–4, 6].

Для более глубокого изучения задач и методов теории ве роятностей и математической статистики рекомендуется обра титься к учебникам [7, 8], приведенным в библиографическом списке.

https://www.youtube.com/watch?v=bHWGV4Ms_yg

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Воскобойников Ю. Е. Теория вероятностей : учеб. пособие / 1.

Ю. Е. Воскобойников, Е. И. Тимошенко ;

Новосибирский гос. архитектур.-строит. ун-т. – Новосибирск, 2003. – 134 с.

Воскобойников Ю. Е. Математическая статистика (c при 2.

мерами в Excel) : учеб. пособие / Ю. Е. Воскобойников, Е. И. Тимошенко ;

Новосибирский гос. архитектур.-строит.

ун-т. – Новосибирск, 2006. – 156 с.

Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая ста 3.

тистика : учеб. пособие для вузов / В. Е. Гмурман. – 10-е изд., стер. – М. : Высшая школа, 2008. – 480 с.

Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории ве 4.

роятностей и математической статистике : учеб. пособие для вузов / В. Е. Гмурман. – 5-е изд., стер. – М. : Высшая школа, 2008. – 405 с.

Вентцель Е. С. Задачи и упражнения по теории вероятно 5.

стей / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. – М. : Высшая школа, 2000. – 325 с.

Смирнов Н. В. Курс теории вероятностей и математической 6.

статистики / Н. В. Смирнов, И. В. Дунин-Барковский. – М. :

Наука, 1969. – 653 с.

Боровков А. А. Теория вероятностей / А. А. Боровков. – 7.

М. : Наука, 1976. – 354 с.

Боровков А. А. Математическая статистика / А. А. Боров 8.

ков. – М. : Наука, 1984. – 472 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ Таблица П x Значения функции ( x) = exp( z 2)dz 2 Ф(х) Ф(х) Ф(х) Ф(х) x x x x 0.00 0.0000 0.33 0.1293 0.66 0.2454 0.99 0. 0.02 0.0080 0.35 0.1368 0.68 0.2517 1.01 0. 0.03 0.0120 0.36 0.1406 0.69 0.2549 1.02 0. 0.04 0.0160 0.37 0.443 0.70 0.2580 1.03 0. 0.05 0.0199 0.38 0.1480 0.71 0.2611 1.04 0. 0.06 0.0239 0.39 0.1517 0.72 0.2642 1.05 0. 0.07 0.0279 0.40 0.

1554 0.73 0.2673 1.06 0. 0.08 0.0319 0.41 0.1591 0.74 0.2703 1.07 0. 0.09 0.0359 0.42 0.1628 0.75 0.2734 1.08 0. 0.10 0.0398 0.43 0.1664 0.76 0.2764 1.09 0. 0.11 0.0438 0.44 0.1700 0.77 0.2794 1.10 0. 0.12 0.0478 0.45 0.1736 0.78 0.2823 1.11 0. 0.13 0.0517 0.46 0.1772 0.79 0.2852 1.12 0. 0.14 0.0557 0.47 0.1808 0.80 0.2881 1.13 0. 0.15 0.0596 0.48 0.1844 0.81 0.2910 1.14 0.

0.16 0.0636 0.49 0.1879 0.82 0.2939 1.15 0. 0.17 0.0675 0.50 0.1915 0.83 0.2967 1.16 0. 0.18 0.0714 0.51 0.1950 0.84 0.2995 1.17 0. 0.19 0.0753 0.52 0.1985 0.85 0.3023 1.18 0. 0.20 0.0793 0.53 0.2019 0.86 0.3051 1.19 0. 0.21 0.0832 0.54 0.2054 0.87 0.3078 1.20 0. 0.22 0.0871 0.55 0.2088 0.88 0.3106 1.21 0. 0.23 0.0910 0.56 0.2123 0.89 0.3133 1.22 0. 0.24 0.0948 0.57 0.

2157 0.90 0.3159 1.23 0. 0.26 0.1026 0.59 0.2224 0.92 0.3212 1.25 0. 0.27 0.1064 0.60 0.2257 0.93 0.3238 1.26 0. 0.28 0.1103 0.61 0.2291 0.94 0.3264 1.27 0. 0.29 0.1141 0.62 0.2324 0.95 0.3289 1.28 0. 0.30 0.1179 0.63 0.2357 0.96 0.3315 1.29 0. 0.32 0.1225 0.65 0.2422 0.98 0.3365 1.31 0. Окончание табл. П Ф(х) Ф(х) Ф(х) Ф(х) x x x x 1.32 0.4066 1.69 0.4545 2.12 0.4830 2.86 0.

1.33 0.4082 1.70 0.4554 2.14 0.4838 2.88 0. 1.34 0.4099 1.71 0.4564 2.16 0.4846 2.90 0. 1.35 0.4115 1.72 0.4573 2.18 0.4854 2.92 0. 1.36 0.4131 1.73 0.4582 2.20 0.4861 2.94 0. 1.37 0.4137 1.74 0.4591 2.22 0.4868 2.96 0. 1.38 0.4162 1.75 0.4599 2.24 0.4875 2.98 0. 1.39 0.4177 1.76 0.4608 2.26 0.4881 3.00 0. 1.40 0.4192 1.77 0.4616 2.28 0.4887 3.20 0. 1.41 0.4207 1.78 0.

4625 2.30 0.4893 3.40 0. 1.42 0.4222 1.79 0.4633 2.32 0.4898 3.60 0. 1.43 0.4236 1.80 0.4641 2.34 0.4904 3.80 0. 1.44 0.4251 1.81 0.4649 2.36 0.4909 4.00 0. 1.45 0.4265 1.82 0.4656 2.38 0.4913 4.50 0. 1.46 0.4279 1.83 0.4664 2.40 0.4918 5.00 0. 1.47 0.4292 1.84 0.4671 2.42 0. 1.49 0.4319 1.86 0.4686 2.46 0. 1.50 0.4332 1.87 0.4693 2.48 0. 1.51 0.4345 1.88 0.4699 2.50 0. 1.

52 0.4357 1.89 0.4706 2.52 0. 1.53 0.4370 1.90 0.4713 2.54 0. 1.54 0.4382 1.91 0.4719 2.56 0. 1.55 0.4394 1.92 0.4726 2.58 0. 1.56 0.4406 1.93 0.4732 2.60 0. 1.57 0.4418 1.94 0.4738 2.62 0. 1.58 0.4429 1.95 0.4744 2.64 0. 1.59 0.4441 1.96 0.4750 2.66 0. 1.60 0.4452 1.97 0.4756 2.68 0. 1.62 0.4474 1.99 0.4767 2.72 0. 1.63 0.4484 2.00 0.4772 2.74 0. 1.64 0.4495 2.02 0.4783 2.

76 0. 1.65 0.4505 2.04 0.4793 2.78 0. 1.66 0.4515 2.06 0.4803 2.80 0. 1.68 0.4535 2.10 0.4821 2.84 0. Таблица П Таблица значений t (, k ), определяемых выражением P ( Tk t (, k )) =, где k – число степеней свободы 0.95 0.99 0.999 0.95 0.99 0. k k 4 2.78 4.6 8.61 19 2.093 2.861 3. 5 2.57 4.03 6.86 24 2.064 2.797 3. 6 2.45 3.71 5.96 29 2.045 2.756 3. 7 2.37 3.50 5.41 34 2.

032 2.720 3. 8 2.31 3.36 5.04 39 2.023 2.070 3. 9 2.26 3.25 4.78 44 2.016 2.692 3. 10 2.23 3.17 4.59 49 2.009 2.679 3. 11 2.20 3.11 4.44 59 2.001 2.662 3. 12 2.18 3.06 4.32 69 1.996 2.649 3. 13 2.16 3.01 4.22 79 1.991 2.640 3. 14 2.15 2.98 4.14 89 1.987 2.633 3. 15 2.13 2.95 4.07 99 1.984 2.627 3. 16 2.12 2.92 4.02 119 1.980 2.617 3. 17 2.11 2.90 3.97 1.960 2.576 3. 18 2.

10 2.88 3. Таблица П Таблица значений q (n – объем выборки) n n 0.95 0.99 0.999 0.95 0.99 0. 5 1.37 2.67 5.64 20 0.37 0.58 0. 6 1.09 2.01 3.88 25 0.32 0.49 0. 7 0.92 162 2.98 30 0.28 0.43 0. 8 0.80 1.38 2.42 35 0.26 0.38 0. 9 0.71 1.20 2.06 40 0.24 0.35 0. 10 0.65 1.08 1.80 45 0.22 0.32 0. 11 0.59 0.98 1.60 50 0.21 0.30 0. 12 0.55 0.90 1.45 60 0.188 0.269 0. 13 0.52 0.83 0.

33 70 0.174 0.245 0. 14 0.48 0.78 1.23 80 0.161 0.266 0. 15 0.46 0.73 1.15 90 0.151 0.211 0. 16 0.44 0.70 1.07 100 0.143 0.198 0. 17 0.42 0.66 1.01 150 0.115 0.160 0. 18 0.40 0.63 0.96 200 0.099 0.136 0. 19 0.39 0.60 0.92 250 0.089 0.120 0. Таблица П Таблица значений квантилей k2 -распределения, определяемых соотношением P ( k2,k ) = 0.02 0.05 0.1 0.9 0.95 0. k 1 0.006 0.

004 0.016 2.7 3.8 5. 2 0.040 0.103 0.211 4.6 6.0 7. 3 0.185 0.352 0.584 6.3 7.8 9. 4 0.43 0.71 1.06 7.8 9.5 11. 5 0.75 1.14 1.61 9.2 11.1 13. 6 1.13 1.63 2.20 10.6 12.6 15. 7 1.56 2.17 2.83 12.0 14.1 16. 8 2.03 2.73 3.49 13.4 15.5 18. 9 2.53 3.32 4.17 14.7 16.9 19. 10 3.06 3.94 4.86 16.0 18.3 21. 12 4.2 5.2 6.3 18.5 21.0 24. 14 5.4 6.6 7.8 21.1 23.7 26. 16 6.6 8.0 9.3 23.

5 26.3 29. 18 7.9 9.4 10.9 26.0 28.9 32. 20 9.2 10.9 12.4 28.4 31.4 35. 22 10.6 12.3 14.0 30.8 33.9 37. 24 12.0 138 15.7 33.2 36.4 40. 26 13.4 15.4 17.3 35.6 38.9 42. 28 14.8 16.9 18.9 37.9 41.3 45. 30 16.3 18.5 20.6 40.3 43.8 48.

Учебное издание Воскобойников Юрий Евгеньевич Баланчук Татьяна Тимофеевна ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА (с примерами в Excel) Учебное пособие Темплан 2013 г.

Редактор Э.Е. Полякова Санитарно-эпидемиологическое заключение № 54.НС.05.953.П.006252.06.06 от 26.06.2006 г.

Источник: http://libed.ru/metodihceskie-posobie/1249251-4-yue-voskoboynikov-balanchuk-teoriya-veroyatnostey-matematicheskaya-statistika-s-primerami-excel-novosibirsk-2013-m.php

Воскобойников Ю.Е., Тимошенко Е.И. Математическая статистика с примерами в Excel — файл n1.doc

Математическая статистика с примерами в Excel. Воскобойников Ю.Е
приобрести
Воскобойников Ю.Е., Тимошенко Е.И. Математическая статистика с примерами в Excel
скачать (8164.5 kb.)Доступные файлы (1):

n1.doc8165kb.15.09.2012 03:01скачать

Ю.Е. Воскобойников

Е.И. Тимошенко

математическая статистика

(с примерами в Excel)

НОВОСИБИРСК 2006 Федеральное агентство по ОБРАЗОВАНИю РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)

Ю.Е. Воскобойников, Е.И. Тимошенко

математическая статистика

(с примерами в Excel)

Учебное пособие

2 издание, переработанное и дополненное

НОВОСИБИРСК 2006УДК 519.2 ББК 22.172 В650

Воскобойников Ю. Е.

Математическая статистика (с примерами в Excel) : учеб. пособие / Ю. Е. Воскобойников, Е. И. Тимошенко ; Новосиб. гос. архитектур.-строит. ун-т (Сибстрин). – 2-е изд., перераб. и доп. – Новосибирск : НГАСУ (Сибстрин), 2006. – 152 с.

ISBN 5-7795-0292-7Данное учебное пособие содержит наиболее важные разделы математической статистики: точечное и интервальное оценивание параметров распределений, проверку различных статистических гипотез. Приведено большое количество примеров, которые позволят студентам лучше усвоить не только общетеоретические положения, но и возможные области приложения математической статистики. Учебное пособие написано в соответствии с программой курса «Математическая статистика» для студентов специальности 080502 «Экономика и управление на предприятии (в строительстве)». Также оно будет полезно студентам других специальностей строительных вузов. Печатается по решению издательско-библиотечного совета НГАСУ (Сибстрин)

Рецензенты:
  • С.М. Зеркаль, д-р техн. наук, профессор, вед. науч. сотр. (Институт математики СО РАН);
  • А.В. Федоров, д-р физ.-мат. наук, профессор, завлабораторией (Институт теоретической и прикладной механики СО РАН)
ISBN 5-7795-0292-7   Воскобойников Ю.Е., Тимошенко Е.И., 2006 Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин), 2006

Оглавление

Введение 5 ВВЕДЕНИЕ 8 1. Математическая статистика и ее задачи 10 1.1. Задачи математической статистики 10 1.2. Решение задач математической статистики в табличном процессоре Excel 12 2. Генеральная и выборочная совокупности. Выборочные характеристики 14 2.1. Генеральная и выборочная совокупности 14 2.2. Свойства выборочной совокупности 15 2.3. Вариационные ряды 17 2.4. Выборочная функция распределения. Гистограмма 20 2.5. Выборочное среднее и выборочная дисперсия 25 2.6. Вычисление выборочных характеристик в Excel 29 3. Точечные оценки неизвестных параметров 42 3.1. Определение и свойства точечной оценки 42 3.2. Точечная оценка математического ожидания 47 3.3. Точечные оценки дисперсии 49 3.4. Точечная оценка вероятности события 52 3.5. Метод максимального правдоподобия 54 3.6. Вычисление точечных оценок в Excel 62 4. Интервальные оценки неизвестных параметров 74 4.1. Некоторые распределения выборочных характеристик 74 4.2. Понятие интервальной оценки параметра случайной величины 80 4.3. Интервальные оценки математического ожидания нормального распределения 81 4.4. Интервальные оценки дисперсии нормального распределения 86 4.5. Интервальная оценка вероятности события 88 4.6. Вычисление границ доверительных интервалов в Excel 91 5. Проверка статистических гипотез 94 5.1. Понятие статистической гипотезы. Основные этапы проверки гипотезы 94 5.2. Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания нормального распределения 103 5.3. Проверка гипотезы о числовом значении дисперсии нормального распределения 109 5.4. Проверка гипотезы о числовом значении вероятности события 111 5.5. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений 115 5.6. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух произвольных распределений по выборкам большого объема 118 5.7. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений с неизвестными, но равными дисперсиями 119 5.8. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных распределений 123 5.9. Проверка гипотезы о законе распределения с применением критерия согласия Пирсона 127 5.10. Проверка гипотезы о независимости двух генеральных совокупностей с применением критерия 2 136 5.11. Проверка статистических гипотез в Excel 140 6. Вопросы для самоконтроля 150 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 153 Библиографический список 154 Приложение 155
Цель науки – описание, объяснение и предсказание явлений действительности на основе установленных законов, что позволяет находить решения в типичных ситуациях. Многие явления окружающего мира взаимно связаны и влияют одно на другое. Проследить все связи и определить влияние каждой из них на явление не всегда представляется возможным. Поэтому ограничиваются изучением влияния лишь основных факторов, определяющих изучаемое явление. В основе выявления этих связей лежит наблюдение. При этом для обнаружения общих закономерностей, которым подчиняется явление, необходимо многократно его наблюдать в одинаковых условиях, т.е. соблюдать во всех наблюдениях практически одинаковые значения основных факторов. После накопления полученных таким образом данных возникает главный вопрос: как обработать результаты наблюдений и сделать обоснованные выводы об изучаемых закономерностях? Ответы на этот вопрос и другие вопросы, связанные с обработкой данных, дает математическая статистика.

Математическая статистика – наука, изучающая методы обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений, обладающих статистической устойчивостью, закономерностью, с целью выявления этой закономерности. Выводы о закономерностях, которым подчиняются явления, изучаемые методами математической статистики, всегда основываются на ограниченном числе наблюдений.

Для вынесения обоснованного заключения о закономерностях изучаемого явления математическая статистика опирается на теорию вероятностей, которая имеет дело с математическими моделями случайных явлений.

Обработав результаты наблюдений, исследователь выдвигает ряд гипотез (предположений) о том, что рассматриваемое явление можно описать той или иной вероятностной теоретической моделью.

Далее, используя математико-статистические методы, можно дать ответ на вопрос, какую из гипотез или моделей следует принять, которая и будет считаться искомой закономерностью изучаемого явления. Правомерен такой вывод или нет, покажет практика использования выбранной модели. Таково типичное содержание математико-статистического исследования.

Источник: https://nashaucheba.ru/v48920/%D0%B2%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B9%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2_%D1%8E.%D0%B5.,_%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%BE_%D0%B5.%D0%B8._%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%81_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8_%D0%B2_excel

Biz-books
Добавить комментарий