Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н.

Содержание
  1. Глава i. линейные операторы в евклидовом и унитарном пространствах
  2. Глава I. Линейные операторы в евклидовом и унитарном пространствах
  3. §1.1. Евклидовы и унитарные пространства
  4. Унитарные пространства и их линейные преобразования – MathHelpPlanet
  5. Линейные преобразования унитарных пространств
  6. Сопряженные преобразования унитарного пространства
  7. Эрмитово преобразование унитарного пространства[/h1] Линейное преобразование [math]\mathcal{A}\colon U\to U[/math] n-мерного унитарного пространства [math]U[/math] называется эрмитовым, если оно является сопряженным самому себе, а именно [math]\mathcal{A}{\ast}= \mathcal{A}[/math], т.е. [math]\bigl\langle \mathcal{A} (\boldsymbol{x}), \boldsymbol{y}\bigr\rangle= \bigl\langle \boldsymbol{x}, \mathcal{A}(\boldsymbol{y}) \bigr\rangle. [/math] для любых векторов [math]\boldsymbol{x}[/math] и [math]\boldsymbol{y}[/math] из пространства [math]U[/math]. Определение эрмитова преобразования аналогично определению самосопряженного преобразования евклидова пространства. Поэтому они имеют аналогичные свойства. 1. Матрица [math]A[/math] эрмитова преобразования в любом ортонормированном базисе является эрмитовой [math]\bigl(A{\ast}=A\bigr)[/math], и наоборот, если в каком-либо ортонормированном базисе матрица преобразования эрмитова, то это преобразование является эрмитовым. 2. Все корни характеристического уравнения эрмитова преобразования действительные. 3. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям эрмитова преобразования, ортогональны. 4. Если [math]L[/math] — подпространство, инвариантное относительно эрмитова преобразования [math]\mathcal{A}\colon U\to U[/math], то его ортогональное дополнение [math]L{\perp}[/math] также инвариантно относительно преобразования [math]\mathcal{A}[/math]. [h2]Унитарное преобразование унитарного пространства
  8. Нормальное преобразование унитарного пространства
  9. Теорема (9.13) о диагонализируемости нормального преобразования

Глава i. линейные операторы в евклидовом и унитарном пространствах

Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н.

УДК 512.8

Д. И. Иванов. Алгебра (часть II): Учебно-методическое пособие по дисциплине «Алгебра» для студентов специальности «Компьютерная безопасность». Тюмень: Печатник, 2009, 125 стр.

Данное пособие разработано в соответствии с государственным образовательным стандартом и учебным планом специальности «Компьютерная безопасность» (II семестр), содержит теоретическую часть и комплекс практических заданий.

Рекомендовано к печати Учебно-методической комиссией института математики и компьютерных наук. Одобрено Учебно-методической секцией Учёного совета Тюменского государственного университета.

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: В. Н. Кутрунов, д. ф.-м. н., профессор.

РЕЦЕНЗЕНТЫ: А. Н. Дёгтев,д. ф.-м. н., профессор кафедры алгебры и математической логики Тюменского государственного университета.

С. Д. Захаров, к. ф.-м. н., зав. каф. математики информатики и естественных наук Тюменского государственного института мировой экономики управления и права.

© ГОУ ВПО Тюменский государственный университет, 2009

© Д. И. Иванов, 2009

Глава i. линейные операторы в евклидовом и унитарном пространствах.

Изоморфизм унитарных пространств.

Два унитарных (или евклидовых) пространства и называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие , для которого

и .

ТЕОРЕМА. (об изоморфизме унитарных пространств). Два унитарных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что если и изоморфны, то они являются изоморфными, как линейные пространства. Однако изоморфные линейные пространства имеют одинаковую размерность [1].

Обратно, пусть размерности и равны, а и , соответственно, их ортонормированные базисы. Зададим отображение следующим образом: если

,

то считаем

.

Это отображение взаимнооднозначно и сохраняет операции сложения и умножения на число. Значит, они изоморфны, как линейные пространства.

Покажем, что сохраняет скалярное произведение. Рассмотрим два произвольных вектора

,

.

Тогда

и

То есть . □

Линейные функции.

Рассмотрим произвольное линейное пространство над полем . Отображение называется линейной функцией, если

Нетрудно проверить, что если и линейные функции, то и , такие что и , так же являются линейными функциями. Поэтому, множество всех линейных функций, заданных в образуют линейное пространство относительно их сложения и умножения числа на функцию.

ЛЕММА. (о существовании и единственности линейной функции). Для любого базиса линейного пространства и любого набора существует единственная линейная функция , такая, что

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть произвольный вектор из . Зададим отображение следующим образом:

,

Очевидно, что .

Проверим, что линейная функция. Пусть . Тогда

.

Докажем единственность. Предположим, что существует другая линейная функция , удовлетворяющая условию леммы, т. е.

. Тогда . □

Пусть унитарное пространство. Положим по определению для любых и фиксированного . Тогда имеет место

ТЕОРЕМА. Функция является линейной и однозначно определяется по . Обратно, для каждой линейной функции существует элемент , такой что .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вначале докажем линейность функции. Действительно

.

Пусть теперь , тогда . При имеем , т. е. . Тем самым показано, что каждому соответствует единственная линейная функция .

Наконец, пусть произвольная линейная функция, заданная в пространстве . Докажем, что существует элемент , такой, что для любых . Пусть ортонормированный базис пространства . По лемме, существует единственный набор , такой, что . Рассмотрим вектор

,

тогда . Для произвольного вектора , имеем

. □

Сопряжённые операторы.

Построим по каждому линейному оператору мерного унитарного пространства оператор , сопряжённый данному. Выберем в вектор и рассмотрим функцию переменной . Эта функция является линейной. Действительно

С другой стороны , где по теореме из предыдущего параграфа определяется однозначно по функции , т. е. по и . Таким образом, при фиксированном для каждого имеется единственный вектор . Оператор называется сопряжённым к , т. е.

Покажем, что для каждого сопряжённый оператор определяется однозначно. Предположим, что существует оператор , такой что , тогда

.

Нетрудно убедиться в том, что сопряжённый оператор является линейным. Действительно

.

Значит .

Отметим следующие свойства сопряжённого оператора:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Докажем первое свойство.

. Другие свойства доказываются аналогично.

Если квадратная матрица порядка , то матрица , полученная из заменой всех её элементов на комплексно-сопряжённые и последующим её транспонированием, называется сопряжено транспонированной. Т. е. если , то .

ТЕОРЕМА. Если линейный оператор в ортонормированном базисе имеет матрицу , то сопряжённый оператор будет иметь в этом базисе сопряжено транспонированную матрицу.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть в унитарном пространстве задан ортонормированный базис , а матрицы операторов и в этом базисе будут соответственно , т. е. для любых

;

.

Домножим первое равенство справа на , получим

, следовательно . □

Пример 1. Линейный оператор задан в евклидовом пространстве в базисе из векторов матрицей

.

Найти матрицу сопряжённого оператора в том же базисе, считая, что координаты векторов базиса даны в некотором ортонормированном базисе.

Решение. Координаты векторов заданы в некотором ортонормированном базисе . Матрица перехода от к будет

.

Значит, , где матрица того же оператора в ортонормированном базисе. Откуда .

Находим

.

Тогда

.

Матрица сопряжённого оператора будет по предыдущей теореме сопряжено транспонированной, а так как оператор задан в евклидовом пространстве, то просто транспонированной.

.

Возвращаемся к исходному базису

Нормальные операторы.

Линейный оператор унитарного пространства называется нормальным, если

,

т. е. если он перестановочен со своим сопряжённым.

Если ортонормированный базис пространства и матрица нормального оператора в этом базисе, то по теореме из §1.3 имеем .

Справедливы следующие три теоремы о нормальных операторах.

ТЕОРЕМА 1. Всякий собственный вектор нормального оператора , соответствующий собственному значению будет и собственным вектором оператора , который соответствует комплексно-сопряжённому значению .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если линейный оператор, а тождественный оператор , то также линейный оператор, сопряжённым для которого будет (т. к. ). По условию нормальный оператор, значит . Нетрудно проверить, что

.

Из того, что является собственным вектором оператора следует, что , значит

То есть и . □

ТЕОРЕМА 2. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям нормального оператора будут ортогональны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть .

Тогда

.

Откуда , следовательно , т. к. . □

ТЕОРЕМА 3. (основная о нормальных операторах). Для каждого нормального оператора в унитарном пространстве найдётся ортонормированный базис, составленный из собственных векторов оператора . Матрица имеет в этом базисе диагональный вид.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть характеристический корень линейного оператора (по основной теореме алгебры комплексных чисел [3] такой корень существует). Ему соответствует собственный вектор . Рассмотрим множество , которое является подпространством пространства и называется ортогональным к . Так как , то для любого вектора справедливо

.

Таким образом, как только . Такое подпространство называется инвариантным, относительно оператора .

Рассмотрим оператор , заданный на следующим образом: . Оно называется ограничением на . Заметим, что собственные векторы будут собственными векторами и .

Далее аналогично находим в собственный вектор оператора . Пусть подпространство векторов, ортогональных к и . будет опять инвариантным относительно , т. к. является пересечением двух инвариантных подпространств. В нём снова найдётся собственный вектор оператора . И т. д.

Продолжая указанную процедуру, получим ортогональный базис пространства , составленный из собственных векторов оператора . Остаётся нормировать этот базис.

В этом базисе матрица линейного оператора будет иметь диагональный вид [2]. □

Унитарные операторы.

Линейный оператор унитарного пространства называется унитарным, если он сохраняет скалярное произведение векторов, т. е.

.

Непосредственно из определения унитарного оператора следует:

,

т. е. тождественный оператор. Следовательно, унитарный оператор можно определить как оператор, для которого .

Так как , заключаем, что унитарный оператор является частным случаем нормального оператора.

Если матрица оператора в некотором ортонормированном базисе, то матрица будет сопряжено транспонированной. Условие унитарности оператора в матричной форме будет выглядеть следующим образом: или . Такая матрица тоже называется унитарной.

Если линейный оператор рассматривается в евклидовом пространстве и сохраняет скалярное произведение, то его матрица в некотором базисе будет такой, что , т. е. транспонированная матрица совпадает с обратной. Такой оператор называют ортогональным, а его матрицу ортогональной.

ТЕОРЕМА 1. Линейный оператор унитарного пространства является унитарным тогда и только тогда, когда он сохраняет длину вектора, т. е. .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно,

.

В другую сторону, пусть . Тогда для любого справедливо: . Если сохраняет скалярное произведение, то . Раскрывая скобки и учитывая, что и , получим

(1)

При получаем

(2)

В случае евклидова пространства, т. к. , имеем .

Иначе, положим в (1) , получим

.

Прибавим полученное равенство к (2), тогда . □

ТЕОРЕМА 2. Линейный оператор унитарного пространства является унитарным тогда и только тогда, когда переводит любой ортонормированный базис этого пространства снова в ортонормированный.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ортонормированный базис пространства . По определению унитарного пространства , значит, . А по предыдущей теореме .

Обратно, пусть

, , тогда . Так как по предположению переводит ортонормированный базис в ортонормированный, то

.

Следовательно, унитарный оператор. □

ТЕОРЕМА 3. (основная об унитарных операторах). Матрица унитарного оператора в подходящем ортонормированном базисе является диагональной, с диагональными элементами, равными по модулю единице.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как является частным случаем нормального оператора, то по основной теореме о нормальных операторах, в некотором ортонормированном базисе он задаётся диагональной матрицей. Покажем, что собственные значения по модулю равны 1.

Пусть . тогда

.

Но , т. е. . Значит, , т. е. . □

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I.

1. Выяснить, являются ли ортогональными в евклидовом пространстве следующие системы векторов:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ?

2. Установить, образует ли каждая из указанных систем векторов ортогональный базис в евклидовом пространстве :

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж)

?

3. Является ли нормированным каждый из векторов евклидова пространства :

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж) ?

4. Применяя процесс ортогонализации, по данному базису евклидова пространства , построить ортонормированный:

а) ;

б) ;

в) .

5. Применяя процесс ортогонализации, по данному базису евклидова пространства , построить ортонормированный:

а) ;

б) .

6. Даны векторы евклидова пространства . Найти длины векторов и , их скалярное произведение, косинус угла между ними:

а) ;

б) ;

в) .

7. Выяснить, является ли матрица ортогональной, и если является, то найти обратную ей:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

8. Какому условию должны удовлетворять и , чтобы матрица была ортогональной?

9. Оператор в некотором ортонормированном базисе задан матрицей . Выяснить, является ли оператор ортогональным, если:

а)

б)

в)

10. При каких условиях диагональная матрица будет ортогональной?

11. Оператор имеет в некотором ортонормированном базисе матрицу . Найти матрицу сопряжённого оператора в том же базисе, если:

а)

б)

в)

12. Оператор имеет в некотором ортонормированном базисе матрицу . Выяснить, является ли оператор самосопряжённым, если:

а)

б)

в)

г)

13. При каком значении оператор, заданный матрицей в некотором ортонормированном базисе, является одновременно ортогональным и самосопряжённым, если:

а)

б)

14. Линейный оператор в некотором ортонормированном базисе имеет матрицу . Найти матрицу сопряжённого оператора в ортонормированном базисе , если:

а)

б)

в)

Закон инерции.

Канонический вид, к которому приводится данная квадратичная форма, определяется неоднозначно. Всякая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими различными способами.

Возникает вопрос, что общего у тех различных канонических квадратичных форм, к которым приводится данная форма ? Этот вопрос тесно связан с другим вопросом: при каком условии одна из двух данных квадратичных форм может быть переведена в другую невырожденным линейным преобразованием? Ответ на эти вопросы, оказывается, зависит от того, рассматриваются ли комплексные или действительные квадратичные формы.

Рассмотрим вначале произвольные комплексные квадратичные формы, допуская употребление невырожденных линейных преобразований также с произвольными комплексными коэффициентами. Известно, что всякая квадратичная форма oт неизвестных, имеющая ранг , приводится к каноническому виду

,

где все коэффициенты отличны от нуля. Пользуясь тем, что из всякого комплексного числа извлекается квадратный корень, выполним следующее невырожденное линейное преобразование:

при ; при .

Оно приводит форму к виду

, (1)

называемому нормальным; это просто сумма квадратов неизвестных с коэффициентами, равными единице.

Из равенства видно, что нормальный вид зависит лишь от ранга формы . Тогда, если формы и от неизвестных имеют одинаковый ранг , то можно перевести в (1), а затем (1) в , т. к.

преобразование, обратное невырожденному, также невырожденное. Таким образом, существует невырожденное линейное преобразование, переводящее в .

Так как, с другой стороны, никакое невырожденное линейное преобразование не изменяет ранга формы, то мы приходим к следующему результату:

ТЕОРЕМА 1. Две комплексные квадратичные формы от неизвестных тогда и только тогда переводятся друг в друга невырожденными линейными преобразованиями с комплексными коэффициентами, если эти формы имеют один и тот же ранг.

Из этой теоремы без труда вытекает

СЛЕДСТВИЕ. Каноническим видом комплексной квадратичной формы ранга может служить всякая сумма квадратов неизвестных с любыми отличными от нуля комплексными коэффициентами. □

Иная ситуация в том случае, когда рассматриваются действительные квадратичные формы и допускаются лишь линейные преобразования с действительными коэффициентами.

В этом случае уже не всякую форму можно привести к виду (1), так как это могло бы потребовать извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Если, однако, мы назовем теперь нормальным видом квадратичной формы сумму квадратов нескольких неизвестных с коэффициентами или , то легко показать, что всякую действительную квадратичную форму можно привести невырожденным линейным преобразованием с действительными, коэффициентами к нормальному виду.

В самом деле, форма ранга от неизвестных приводится к каноническому виду, который можно записать следующим образом (меняя, если нужно, нумерацию неизвестных):

, ,

где все числа отличны от нуля и положительны. Тогда невырожденное линейное преобразование с действительными коэффициентами:



Источник: https://infopedia.su/12xcda6.html

Глава I. Линейные операторы в евклидовом и унитарном пространствах

Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н.

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВООБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕАГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственноеобразовательное учреждение

высшегопрофессионального образования

ТЮМЕНСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИИ КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК

КАФЕДРА АЛГЕБРЫИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Д. И. ИВАНОВ

АЛГЕБРА

(ЧАСТЬ II)

Учебно-методическоепособие

Тюмень

2009

УДК 512.8

Д. И. Иванов. Алгебра (часть II): Учебно-методическое пособие по дисциплине «Алгебра» для студентов специальности «Компьютерная безопасность». Тюмень: Печатник, 2009, 125 стр.

Данное пособие разработано в соответствии с государственным образовательным стандартом и учебным планом специальности «Компьютерная безопасность» (II семестр), содержит теоретическую часть и комплекс практических заданий.

Рекомендовано к печати Учебно-методической комиссией института математики и компьютерных наук. Одобрено Учебно-методической секцией Учёного совета Тюменского государственного университета.

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: В. Н. Кутрунов, д. ф.-м. н., профессор.

РЕЦЕНЗЕНТЫ: А. Н. Дёгтев, д. ф.-м. н., профессор кафедры алгебры и математической логики Тюменского государственного университета.

С. Д. Захаров, к. ф.-м. н., зав. каф. математики информатики и естественных наук Тюменского государственного института мировой экономики управления и права.

© ГОУ ВПО Тюменский государственный университет, 2009

© Д. И. Иванов, 2009

§1.1. Евклидовы и унитарные пространства

Понятие мерноголинейного пространства,данное в § 3.1 [1], далеко не в полной мереобобщает понятия плоскости или трехмерногоевклидова пространства: вне определены ни длина вектора, ни уголмежду векторами. Поэтому невозможноразвитие богатой геометрической теории.

Оказывается, что положение может бытьисправлено путем введения понятияскалярного умножения векторов.

В курсеаналитической геометрии оно определяетсяпри помощи длин векторов и угла междуними, но, как оказывается, и длина вектора,и угол между векторами в свою очередьмогут быть выражены через скалярныепроизведения.

Определим поэтому в любоммерномлинейном пространстве понятие скалярногоумножения, причем определим аксиоматически,при помощи некоторых свойств, которыми,как хорошо известно, скалярное умножениевекторов плоскости или трехмерногопространства на самом деле обладает.

Будемговорить, что в мерномдействительном линейном пространствеопределеноскалярноеумножение,если всякойпаре векторов поставлено в соответствие действительноечисло, обозначаемое символоми называемоескалярнымпроизведением векторови,причемвыполняются следующие условия (здесь любыевекторыпространства ,любоедействительноечисло):

I.

II.

III.

IV. Если,то скалярный квадрат векторастрого положителен,

Отметим, что изIIIпри следует равенство

(1)

т. е. скалярноепроизведение нулевого вектора на любойвектор равно нулю;равеннулю, в частности, скалярный квадратнулевого вектора.

Из IIи IIIнемедленно вытекает следующая формуладля скалярного произведения и линейныхкомбинаций двух систем векторов:

Если в мерномдействительном линейном пространствеопределено скалярноеумножение,то это пространство называется мернымевклидовымпространством.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1.При любом вмерномлинейном пространстве можно определить скалярное умножение,т. е. можно превратить это пространствов евклидово.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.В самом деле, возьмем в пространстве любой базис.Если

то положим

(2)

Легко проверяется,что условия IIVбудут выполнены, т. е. равенство (1)определяет в пространстве скалярное умножение. □

Мы видим, что вмерномлинейном пространстве скалярноеумножение можно задать, вообще говоря,многими различными способамиопределение (2) зависит, понятно, отвыбора базиса, а мы пока не знаем, крометого, нельзя ли ввести скалярное умножениеи каким-либо принципиально иным способом.Нашей ближайшей целью является обозрениевсех возможных способов превращениямерногодействительного линейного пространствав евклидово пространство и установлениетого, что в некотором смысле для всякогосуществует одно-единственноемерноеевклидово пространство.

Пусть данопроизвольное мерноеевклидово пространство,т. е. в мерномлинейном пространстве произвольнымспособом введено скалярное умножение.Векторыи называютсяортогональными,если ихскалярное произведение равно нулю,

Из (1) следует, чтонулевой вектор ортогонален к любомувектору; могут существовать, однако, иненулевые ортогональные векторы.

Система векторовназывается ортогональнойсистемой, есливсе векторы этой системы попарноортогональны между собой.

ТЕОРЕМА 1. Всякаяортогональная система ненулевых векторовлинейно независима.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Пусть, в самом деле, в дана системавекторов причеми

(3)

Если

то, скалярно умножаяобе части этого равенства на вектор получаем:

Отсюда, так как поIV,вытекает что и требовалось доказать. □

Опишемдалее так называемый процессортогонализации,т. е. некоторыйспособ перехода от любой линейнонезависимой системы из векторов евклидова пространствак ортогональной системе, также состоящейизненулевых лекторов; эти векторы будутобозначены через.

Положим ,т. е. первый вектор системы ()войдёт и в строящуюся нами ортогональнуюсистему. Положим, далее,

Так как а векторыи линейно независимы, то векторотличен от нуля при любом числе.Подберем эточисло из условии, что вектор должен быть ортогонален к вектору:

откуда, ввиду IV,

Пусть уже построенаортогональная система ненулевых векторов;дополнительно предположим, что длявсякоговекторявляется линейной комбинацией векторовЭто предположение будет выполнятьсятогда и для вектораесли он будет выбран в виде

Вектор будет при этом отличен от нуля, так каксистема ()линейно независимая, а векторне входит в записи векторов.Коэффициентыподберем из условия, что вектордолжен быть ортогонален ко всем векторам

отсюда, так каквекторы ортогональны между собой,

т. е.

Продолжая этотпроцесс, мы построим искомую ортогональнуюсистему .

Применяя процессортогонализации кпроизвольномубазису пространства ,мы получим ортогональную систему изненулевых векторов, т. е., так как этасистема по доказанному линейно независима,ортогональныйбазис.

Приэтом, используя замечание, сделанное всвязи с первым шагом процессаортогонализации, а, также учитывая, чтовсякий, ненулевой вектор можно включитьв некоторый базис пространства, можносформулировать даже следующее:

УТВЕРЖДЕНИЕ 2.Всякоеевклидово пространство обладаетортогональными базисами, причем любойненулевой вектор этого пространствавходит в состав некоторого ортогональногобазиса.

В дальнейшем важнуюроль будет играть один специальный видортогональных базисов; базисы этоговида соответствуют прямоугольнымдекартовым системам координат,используемым в аналитической геометрии.

Назовем вектор нормированным,если егоскалярный квадрат равен единице, т. е.

Если ,откуда ,тонормированиемвектора называется переход к вектору

Вектор будет нормированным, так как

Базис евклидова пространстваназываетсяортонормированным,если онортогонален, а все его векторы нормированы,т. е.

(4)

Пример 1.Привести систему векторов

к ортонормированномувиду.

Решение.Применим к указанным векторам процессортогонализации. Векторищем в виде

Подставляя значения,получим Далее ищемЗдесьПосле подстановки, имеем:

Осталось нормироватьсистему .

Итак, искомая ортонормированная система.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3.Всякоеевклидово пространство обладаетортонормированными базисами.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Достаточно взять любой ортогональныйбазис и нормировать все его векторы.Базис останется при этом ортогональным,так как при любых иизследует

ТЕОРЕМА 2. Базисевклидова пространства тогда и только тогда будет ортонормированным,если скалярное произведение любых двухвекторов пространства равно суммепроизведений соответственных координатэтих векторов в указанном базисе, т. е.из

(5)

следует

(6)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Действительно, если для нашего базисавыполняются равенства (4), то

Обратно, если нашбазис таков, что для любых векторов и ,записанныхв этом базисе в виде (5), справедливоравенство (6), то, беря и качестве илюбые два вектора этого базисаи,различные или одинаковые, мы из (6) выведемравенства (4). □

Сопоставляяполученный сейчас результат с изложеннымранее доказательством существованиямерныхевклидовых пространств для любого,можно высказать следующее:

УТВЕРЖДЕНИЕ 4.Если в мерномлинейном пространстве выбран произвольный базис, то вможно так задать скалярное умножение,что в полученном евклидовом пространствевыбранный базис будет одним изортонормированных.

Евклидовыпространства и называютсяизоморфными,если междувекторами этих пространств можноустановить такое взаимно однозначноесоответствие, что выполняются следующиетребования:

  1. это соответствие является изоморфным соответствием между и, рассматриваемыми как линейные пространства;

  2. при этом соответствии сохраняется скалярное произведение; иными словами, если образами векторов иизслужат соответственно векторыииз, то

(7)

Из условия 1) сразуследует, что изоморфныеевклидовы пространства имеют одну и туже размерность. Докажемобратное утверждение:

ТЕОРЕМА 3. Любыеевклидовы пространства и ,имеющиеодну и ту же размерность ,изоморфны между собой.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.В самом деле, выберем в пространствахиортонормированныебазисы и, соответственно,.

Ставя в соответствиевсякому вектору извекториз,имеющий в базисете же координаты, что и векторв базисе,мы получим, очевидно, изоморфноесоответствие между линейными пространствамии.Покажем, что выполняется и равенство(7): если

то, в силу (6):

.□

Естественноизоморфные евклидовы пространства несчитать различными. Поэтому для всякогосуществуетединственное мерноеевклидово пространство в том же смысле,в каком для всякогосуществует единственноемерноедействительное линейное пространство.

На случай комплексныхлинейных пространств понятия и результатынастоящего параграфа переносятсяследующим образом. Комплексное линейноепространство называетсяунитарнымпространством, еслив нем задано скалярное умножение, причем будет комплекснымчислом; при этом должны выполнятьсяаксиомы IIIV,а аксиома Iзаменяется следующей аксиомой:

I'.

где черта надскалярным произведением обозначает,как обычно, переход к сопряженномукомплексному числу. Следовательно,скалярное произведение в унитарномпространстве не будет коммутативным.Тем не менее, равенство, симметричноеаксиоме II,остается справедливым.

II'.

так как

III'.

так как

IV'. Скалярныйквадрат ненулевого вектора комплексного линейного пространствадействителен и строго положителен,

Понятия ортогональностии ортонормированной системы векторовпереносятся на случай унитарныхпространств без всяких изменений. Каки выше, доказывается существованиеортонормированных базисов во всякомконечномерном унитарном пространстве.При этом, однако, если ортонормированный базис и векторыимеют в этом базисе разложение,то

Пустьэлемент унитарного пространства.Числоназываетсядлинойвектора вэтом пространстве.Только нулевой вектор имеет длину,равную нулю.

ТЕОРЕМА 4.Для любыхдвух векторов мерногоунитарногопространства имеет место неравенство Коши Буняковского

причем равенстводостигается лишь в случае, когда векторыилинейно зависимые.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Достаточно доказать это неравенстводля векторов, отличных от нуля. Рассмотрим.Преобразовывая левую часть, получим

.

Положим ,после подстановки в неравенство идомножения на,получим

.

Учитывая, что ,имеем

.

Если ,т. е.и линейно зависимые, то имеет месторавенство. Равенство достигается и втом случае, когда один из векторовнулевой (в этом случае система так желинейно зависима).□

Изнеравенства Коши Буняковского легко вытекает такназываемое«неравенство треугольника для векторов»,а именно:

.

Действительно,

,

где целая часть комплексного числа.Так как

,то

.□

Величинойугла между двумя отличнымиотнуля векторамии вмерномевклидовомпространственазываетсячисло ,,определенное условием

Изнеравенства Коши Буняковского следует, что угол (в пределах)однозначноопределен. При этом (т. е. векторыиперпендикулярны или ортогональны междусобой) тогда и только тогда, когда.

Источник: https://studfile.net/preview/3250540/

Унитарные пространства и их линейные преобразования – MathHelpPlanet

Лекции по алгебре. Выпуск III. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Тронин С.Н.

Оглавление — Линейная алгебра

Комплексное линейное пространство [math]\mathbb{U}[/math] называется унитарным (или эрмитовым), если каждой паре элементов [math]\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}[/math] этого пространства поставлено в соответствие комплексное число [math]\langle \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle[/math], называемое скалярным произведением, причем это соответствие удовлетворяет следующим условиям:

[math]\begin{aligned}&\bold{1.}\quad \langle \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle= \overline{\langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{u} \rangle}\quad \forall \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in \mathbb{U}\,;\\[5pt] &\bold{2.

}\quad \langle \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\rangle= \langle \boldsymbol{u}, \boldsymbol{w} \rangle+\langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \rangle \quad \forall \boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in \mathbb{U}\,;\\[5pt] &\bold{3.

}\quad \langle \lambda\cdot\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle= \lambda\cdot \langle \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \rangle\quad \forall \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in \mathbb{U},\quad \forall \lambda\in \mathbb{C}\,;\\[5pt] &\bold{4.

}\quad \langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{v}\rangle>0\quad \forall\boldsymbol{v}e \boldsymbol{o}~\land\, \langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{v} \rangle=0~ \Rightarrow~ \boldsymbol{v}=\boldsymbol{o}\,.\end{aligned}[/math]

Условия 1-4 называются аксиомами скалярного произведения (в комплексном линейном пространстве).

По аксиоме 1 комплексные числа [math]\langle \boldsymbol{u},\boldsymbol{v} \rangle[/math] и [math]\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{u} \rangle[/math] сопряженные, а скалярный квадрат [math]\langle \boldsymbol{v},\boldsymbol{v} \rangle=\overline{\langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{v} \rangle}[/math] — действительное число, причем неотрицательное (по аксиоме 4).

Из аксиом 1 и 3 следует правило вынесения числового множителя от второго сомножителя скалярного произведения:

[math]\langle \boldsymbol{u},\lambda\cdot \boldsymbol{v} \rangle = \overline{\lambda}\cdot \langle \boldsymbol{u},\boldsymbol{v} \rangle.[/math]

Из аксиом 1-3 следует общая формула

[math]\left\langle \sum_{i=1}{m}\alpha_i \boldsymbol{u}_i,\, \sum_{j=1}{n}\beta_j \boldsymbol{v}_j, \right\rangle= \sum_{i=1}{m}\sum_{j=1}{n} \alpha_i\overline{\beta}_j \langle \boldsymbol{u}_i,\boldsymbol{v}_j\rangle[/math]

для любых векторов [math]\boldsymbol{u}_i,\,\boldsymbol{v}_j[/math] и комплексных чисел [math]\alpha_1,\,\beta_j,~ i=1,\ldots,n;\, j=1,\ldots,m[/math].

Для унитарных пространств также, как для евклидовых, вводятся понятия длины (нормы, модуля) вектора, ортогональности векторов, ортогонального и ортонормированного базисов, процесса ортогонализации, ортогонального дополнения, изоморфизма. В частности, любое n-мерное унитарное пространство изоморфно комплексному арифметическому пространству [math]\mathbb{C}n[/math] со стандартным скалярным произведением

[math]\langle x,y\rangle= xT\cdot \overline{y}= x_1\cdot \overline{y}_1+ x_2\cdot \overline{y}_2+\ldots+ x_n\cdot \overline{y}_n,[/math]

где [math]x=\begin{pmatrix}x_1&x_2& \cdots&x_n \end{pmatrix}T[/math] и [math]y=\begin{pmatrix} y_1&y_2&\cdots&y_n \end{pmatrix}T[/math].

Линейные преобразования унитарных пространств

Рассмотрим линейные преобразования конечномерных унитарных пространств, т.е. комплексных линейных пространств со скалярным произведением.

Заметим, что в отличие от линейных преобразований вещественных пространств любое линейное преобразование комплексного пространства всегда имеет собственные значения и собственные векторы, которые совпадают с собственными значениями и собственными векторами матрицы этого преобразования, определенной относительно любого базиса.

Сопряженные преобразования унитарного пространства

Пусть [math]\mathcal{A}\colon U\to U[/math] — линейное преобразование n-мерного унитарного пространства [math]U[/math]. Преобразование [math]\mathcal{A}{\ast}\colon U\to U[/math] называется сопряженным преобразованию [math]\mathcal{A}[/math], если для любых векторов [math]\boldsymbol{x}[/math] и [math]\boldsymbol{y}[/math] из пространства [math]U[/math] выполняется равенство

[math]\bigl\langle \mathcal{A}(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{y}\bigr\rangle= \bigl\langle \boldsymbol{x}, \mathcal{A}{\ast}(\boldsymbol{y})\bigr\rangle.[/math]

Определения сопряженных преобразований унитарных и евклидовых пространств совпадают. Поэтому они имеют аналогичные свойства.

1. Сопряженное преобразование унитарного пространства — линейное.

2. Для каждого линейного преобразования существует единственное сопряженное преобразование, причем матрица сопряженного преобразования является сопряженной по отношению к матрице данного преобразования.

Другими словами, если [math]A[/math] — матрица преобразования [math]\mathcal{A}[/math] (определенная относительно ортонормированного базиса), то сопряженная матрица [math]A{\ast}[/math] является матрицей сопряженного преобразования [math]\mathcal{A}{\ast}[/math] (определенной относительно того же базиса).

3. Если [math]L[/math] — подпространство, инвариантное относительно линейного преобразования [math]\mathcal{A}\colon U\to U[/math], то его ортогональное дополнение [math]L{\ast}[/math] является инвариантным подпространством относительно сопряженного преобразования [math]\mathcal{A}{\ast}[/math].

Эрмитово преобразование унитарного пространства[/h1]

Линейное преобразование [math]\mathcal{A}\colon U\to U[/math] n-мерного унитарного пространства [math]U[/math] называется эрмитовым, если оно является сопряженным самому себе, а именно [math]\mathcal{A}{\ast}= \mathcal{A}[/math], т.е.

[math]\bigl\langle \mathcal{A} (\boldsymbol{x}), \boldsymbol{y}\bigr\rangle= \bigl\langle \boldsymbol{x}, \mathcal{A}(\boldsymbol{y}) \bigr\rangle.

[/math] для любых векторов [math]\boldsymbol{x}[/math] и [math]\boldsymbol{y}[/math] из пространства [math]U[/math].

Определение эрмитова преобразования аналогично определению самосопряженного преобразования евклидова пространства. Поэтому они имеют аналогичные свойства.

1. Матрица [math]A[/math] эрмитова преобразования в любом ортонормированном базисе является эрмитовой [math]\bigl(A{\ast}=A\bigr)[/math], и наоборот, если в каком-либо ортонормированном базисе матрица преобразования эрмитова, то это преобразование является эрмитовым.

2. Все корни характеристического уравнения эрмитова преобразования действительные.

3. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям эрмитова преобразования, ортогональны.

4. Если [math]L[/math] — подпространство, инвариантное относительно эрмитова преобразования [math]\mathcal{A}\colon U\to U[/math], то его ортогональное дополнение [math]L{\perp}[/math] также инвариантно относительно преобразования [math]\mathcal{A}[/math].

[h2]Унитарное преобразование унитарного пространства

Преобразование [math]\mathcal{A}\colon U\to U[/math] n-мерного унитарного пространства [math]V[/math] называется унитарным (изометрическим), если оно сохраняет скалярное произведение векторов, т.е.

[math]\bigl\langle \mathcal{A}(\boldsymbol{v}), \mathcal{A}(\boldsymbol{w}) \bigr\rangle= \bigl\langle \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\bigr\rangle\quad \forall \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\in U.[/math]

Унитарное преобразование аналогично ортогональному преобразованию евклидова пространства и обладает соответствующими свойствами (см. свойства ортогонального преобразования).

1. Унитарное преобразование — линейное.

2. Линейное преобразование унитарно тогда и только тогда, когда оно отображает ортонормированный базис в ортонормированный.

3. Линейное преобразование [math]\mathcal{A}\colon U\to U[/math] унитарно тогда и только тогда, когда его матрица [math]A[/math] в любом ортонормированном базисе является унитарной, т.е. [math]A{\ast}=A{-1}[/math].

4. Унитарное преобразование обратимо.

5. Все собственные значения унитарного преобразования по модулю равны единице.

6. Определитель матрицы унитарного преобразования по модулю равен единице.

7. Пусть [math]L[/math] — инвариантное относительно унитарного преобразования [math]\mathcal{A}\colon U\to U[/math] подпространство [math]U[/math]. Тогда его ортогональное дополнение [math]L{\perp}[/math] также инвариантно по отношению к преобразованию [math]\mathcal{A}[/math].

Нормальное преобразование унитарного пространства

Линейное преобразование [math]\mathcal{A}\colon U\to U[/math] n-мерного унитарного пространства [math]U[/math] называется нормальным, если оно перестановочно со своим сопряженным, т.е. [math]\mathcal{A} \mathcal{A}{\ast}= \mathcal{A}{\ast}\mathcal{A}[/math].

Эрмитовы и унитарные преобразования являются нормальными, так как из равенства [math]\mathcal{A}= \mathcal{A}{\ast}[/math] следует, что

[math]\mathcal{A} \mathcal{A}{ast}= \mathcal{A}\mathcal{A}= \mathcal{A}{\ast} \mathcal{A}[/math], а из равенства [math]\mathcal{A}{-1}= \mathcal{A}{\ast}[/math] следует, что [math]\mathcal{A}\mathcal{A}{\ast}= \mathcal{A}\mathcal{A}{-1}= \mathcal{E}= \mathcal{A}{-1} \mathcal{A}= \mathcal{A}{\ast} \mathcal{A}.[/math].

Нормальное преобразование унитарного пространства обладает следующими свойствами.

1. Каждый собственный вектор нормального преобразования [math]\mathcal{A}\colon U\to U[/math] является также собственным вектором сопряженного преобразования [math]\mathcal{A}{\ast}[/math].

2. Пусть [math]L[/math] — подпространство, инвариантное относительно нормального преобразования [math]\mathcal{A}\colon U\to U[/math]. Тогда его ортогональное дополнение [math]L{\perp}[/math] также инвариантно по отношению к преобразованию [math]\mathcal{A}[/math].

Теорема (9.13) о диагонализируемости нормального преобразования

Для всякого нормального преобразования [math]\mathcal{A}\colon U\to U[/math] n-мерного унитарного пространства [math]U[/math] существует ортонормированный базис (из собственных векторов), в котором матрица преобразования имеет диагональный вид

[math]\Lambda= \operatorname{diag} (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n),[/math]

(9.25)

где [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n[/math] — собственные значения преобразования of, повторенные в соответствии с их кратностью.

Следствие 1. Унитарное преобразование приводится к диагональному виду (9.25) с собственными значениями [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n[/math], по модулю равными единице.

Следствие 2. Эрмитово преобразование приводится к диагональному виду (9.25) с вещественными собственными значениями [math]\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n[/math].

Методика приведения нормального преобразования к диагональному виду аналогична методике приведения самосопряженного преобразования к диагональному виду.

Источник: http://MathHelpPlanet.com/static.php?p=unitarnye-prostranstva-i-ih-linyeinye-pryeobrazovaniya

Biz-books
Добавить комментарий