Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В

«И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков Квантовая теория Курс лекций для вузов Часть 1 3-е издание Воронеж 2009 Утверждено научно-методическим советом …»

Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В

Федеральное агентство по образованию

И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков

Квантовая теория

Курс лекций для вузов

Часть 1

3-е издание

Воронеж 2009

Утверждено научно-методическим советом физического факультета

12 января 2009 г., протокол № 3

Рецензент С.Д. Кургалин

Курс лекций подготовлен на кафедре теоретической физики

физического факультета Воронежского государственного

университета.

Рекомендуется для студентов 3, 4 курсов д/о и 4 курса в/о

Для специальностей: 010701 Физика, 010801 Радиофизика и электроника, 010803 Микроэлектроника и полупроводниковые приборы Оглавление Введение 5 Глава 1. Основы квантовой механики 6

1.1. Предпосылки возникновения квантовой теории…… 6

1.2. Квантовые состояния. Волновые функции……… 10

1.3. Принцип суперпозиции состояний………….. 14

1.4. Нормировка волн де Бройля…………….. 16

1.5. Средние значения координаты и импульса…….. 18

1.6. Физические величины в квантовой теории……… 20

1.7. Определенные значения физических величин……. 27

1.8. Свойства собственных функций и собственных значений линейного эрмитова оператора…………… 30

1.9. Оператор с непрерывным спектром собственных значений 33

1.10. Совместная измеримость физических величин…… 36

1.11. Соотношение неопределенностей………….. 38

1.12. Временное уравнение Шредингера…………. 40

1.13. Плотность потока вероятности…………… 44

1.14. Стационарные состояния………………. 46

1.15. Дифференцирование операторов по времени……. 48

1.16. Интегралы состояния………………… 50 Глава 2. Простейшие задачи квантовой механики 55

2.1. Одномерное движение……………….. 55

2.2. Линейный гармонический осциллятор……….. 57

2.3. Одномерное движение в однородном поле……… 62

2.4. Момент количества движения (момент импульса)…. 63

2.5. Общие свойства движения в центральном поле…… 67

2.6. Задача двух тел…………………… 71

2.7. Движение в кулоновском поле притяжения. Атом водорода 72

2.8. Распределение заряда электрона в атоме……… 78

2.9. Токи в атомах. Магнетон………………. 80 Глава 3. Теория представлений

–  –  –

Введение Настоящее учебное пособие представляет собой первую часть курса лекций по дисциплине Квантовая теория, читаемого студентам третьего-четвертого курса всех специальностей физического факультета.

Первая глава знакомит читателя с основными понятиями и математическим аппаратом нерелятивистской квантовой механики.

Вторая глава посвящена простейшим задачам квантовой механики, допускающим решение в замкнутой аналитической форме. Исследуется одномерное движение на примере осциллятора; излагается метод решения задач в центральном поле; рассматривается задача об атоме водорода.

В третьей главе изложены основы теории представлений.

Ниже приведены численные значения фундаментальных физических констант (в системе СИ), встречающихся в настоящем пособии:

постоянная Планка = 1.055 · 1034 Дж·c;

масса электрона m = 9.11 · 1031 кг;

элементарный заряд |e| = 1.602 · 1019 Кл.

Глава 1.

Основы квантовой механики В данной главе читатель знакомится с основными понятиями и математическим аппаратом квантовой механики важнейшего раздела квантовой теории. В нем исследуется механическое движение в микромире, т. е.

в системах с классическим действием S, имеющим величину порядка постоянной Планка. К таким объектам относятся структурные элементы вещества: атомы, молекулы, элементарные ячейки кристаллов, ядра и элементарные частицы.

Они образуют так называемый микромир (или квантовые системы), которому присущи весьма своеобразные законы движения, изучаемые в специальном разделе физики квантовой механике. Эти законы существенно отличаются от законов классической механики, описывающих механическое движение в классической физике.

Ряд эффектов (сверхпроводимость, сверхтекучесть, ферромагнетизм), а также физико-химические свойства веществ можно объяснить количественно только в рамках квантовой механики.

–  –  –

ла (1.1) так называемая ультрафиолетовая катастрофа (УФК) в классической электродинамике.

Вторая проблема возникла после того, как Э. Резерфорд предложил планетарную модель атома. Электрон при всегда ускоренном движении по атомной орбите (центростремительное ускорение!) должен был бы непрерывно излучать электромагнитные волны, т. е. терять свою энергию.

В конечном итоге, в соответствии с законами механики и электродинамики, электрон упал бы на поверхность ядра (в течение 1010 с). В реальности же атом устойчив и, более того, невозбужденные атомы существуют практически бесконечно долго.

Необъяснимыми в рамках классической физики остаются также связь между электрически нейтральными атомами в молекулах и физико-химические свойства различных веществ.

Наконец, анализ рассеяния электронов на атомах позволил обнаружить загадочную дискретность (квантование) атомных уровней энергии (опыт Франка – Герца, 1914 г.), а позже была установлена и дискретность значений орбитального момента атома (опыт Штерна – Герлаха, 1922 г.).

Для решения проблемы УФК М. Планк в 1900 г. выдвинул гипотезу о квантах, согласно которой обмен энергией между электромагнитным излучением и веществом (стенками сосуда) происходит дискретными порциями, или квантами (позже их назвали фотонами) подобно частицам, а не волнам (дуализм волна-частица для света).

Энергия E фотонов, согласно Планку, связана с частотой излучения прямой пропорциональной зависимостью:

E =.

Коэффициент пропорциональности, названный впоследствии постоянной Планка, имеет размерность действия и явился новой фундаментальной физической константой, специфической для микромира.

Для получения согласующегося с опытом распределения энергии в спектре теплового излучения М.

Планк был вынужден сделать предположение о наличии в стенках сосуда микроскопических осцилляторов, через посредство которых осуществляется взаимодействие фотонов со стенками.

В результате такого предположения им была получена знаменитая формула для спектральной плотности () равновесного (теплового) излучения:

V 1 () = 2 3 3 e kT 1 (1.3) c (формула Планка). Легко увидеть, что при низких частотах ( kT ) она переходит в формулу Рэлея – Джинса (1.2).

Гипотеза Планка получила дальнейшее развитие при объяснении явлений фотоэффекта и эффекта Комптона. В 1905 г. А. Эйнштейн, развивая гипотезу Планка, предположил, что дискретность возникает не только при обмене энергии между излучением и веществом.

По Эйнштейну, всякую электромагнитную волну с волновым вектором k (|k| = 2/, = 2c/ длина волны) во многих явлениях можно рассматривать как совокупность частиц (фотонов) с энергией E = и импульсом p = k.

В частности, это предположение позволило ему объяснить в фотоэффекте наблюдаемую зависимость энергии фотоэлектрона от частоты, а не интенсивности света. В 1922 г. А.

Комптоном было открыто и объяснено с точки зрения гипотезы о фотонах увеличение длины волны рентгеновского излучения при его рассеянии на электронах. (Напомним, что в классической электродинамике частота электромагнитной волны не меняется при взаимодействии с заряженными частицами).

Таким образом, гениальность гипотезы Планка состоит в том, что, как выяснилось, законы взаимодействия света с веществом могут быть объяснены только благодаря дуализму волна–частица для света.

Причиной же ультрафиолетовой катастрофы как раз и являлось игнорирование корпускулярных свойств света.

Чтобы учесть дискретность атомных энергий, Н. Бору в 1913 г. пришлось ввести ряд постулатов. Первый постулат устанавливал существование у атома стационарных состояний, находясь в которых он не излучает свет, несмотря на ускоренное движение электрона по орбите. Второй постулат устанавливал кратность величины орбитального момента электрона в атоме водорода постоянной Планка.

Третий постулат базировался на гипотезе Планка: при внешних воздействиях атом переходит из одного состояния в другое, испуская или поглощая квант света с энергией, равной разности между уровнями энергии атома. Опыты Франка – Герца (1914 г.) и Штерна – Герлаха (1922 г.) в какой-то мере подтвердили данные постулаты.

Последние позволили также верно воспроизвести энергетический спектр атома водорода простейшей атомной системы, однако уже для атома гелия данная техника оказалась совершенно непригодной. Таким образом, проблема существования дискретных уровней энергии атома тоже решается не полностью в рамках механики Ньютона, пусть и дополненной новыми постулатами.

Причиной неудач в решении проблем атомной физики является то, что постулаты Бора вводились ad hoc, т. е. задним числом, для корректировки существующей теории. Отметим, что такой же гипотезой ad hoc было и предположение Планка о наличии микроскопических осцилляторов в нагретом теле при исследовании равновесного излучения.

Требовался переход к новой концепции механического движения применительно к микромиру. Такой переход осуществился в течение первой четверти XX века.

Новая концепция движения действительно оказалась революционной. Л. де Бройль в 1924 г. предположил, что микрочастицы при определенных условиях могут проявлять волновые свойства, так что проблемы адекватного описания движения в микромире есть результат игнорирования волновых свойств частиц (дуализм волна–частица для вещества). Гипотеза Л.

де Бройля для частиц вещества перекликалась с гипотезой М. Планка для частиц света. И эта гипотеза впоследствии подтвердилась в эксперименте (см. ниже). Она была развита позднее М. Борном и приведена им к строгой математической формулировке. Таким образом, идея дуализма волна–частица была распространена на все объекты микромира.

Далее уточнились понятия измеримости и совместной измеримости физических величин. Потребовалось даже отказаться от некоторых привычных понятий классической механики, например, от понятия траектории микрочастицы (поскольку в общем случае волновое движение несовместимо с движением по траектории!), и ввести новые для понимания физические характеристики микрочастиц, например, спин.

В квантовой теории отсутствует лапласов детерминизм, присущий классической механике. Характер движения стал вероятностным, однако вероятностная интерпретация законов микромира принципиально отличается от вероятностной интерпретации законов классической статистической механики. В последней вероятностный подход обусловлен большим числом степеней свободы макросистемы.

В микромире же даже в случае единственной частицы ее движение уже носит вероятностный характер.

Квантовая теория была официально признана в 1926 г. после доклада Н. Бора на Конгрессе в Копенгагене. Самым удивительным для того времени фактом было возникающее в новой теории квантование (дискретизация) энергии микрочастицы в случае ее финитного движения (в ограниченной области пространства).

Поэтому новая наука стала называться квантовой механикой. Из-за волнового характера движения микрочастиц ее также называли и волновой механикой.

На самом же деле наука вышла на новый уровень организации материи микромир и законы движения в нем оказались отличными от законов движения макроскопических тел. Поэтому более правильным было бы название механика микромира, но сохранилось традиционное квантовая механика.

Она внесла гигантский вклад в исследование материи на атомном и субатомном уровне. Квантовая теория дает теоретический базис для создания новых материалов с заданными свойствами.

На основе достижений квантовой механики стало возможным использование ядерной энергии и создание лазеров.

Квантовая механика не отменяет целиком положения классической механики. Она лишь переформулировала их применительно к микромиру. Классическая механика является предельным случаем квантовой для макромира (при формальном предельном переходе 0).

Отметим, что формула Планка (1.3), как и другие законы микромира, тоже может быть получена в строгом квантовомеханическом подходе, не использующем гипотезу об осцилляторах.

Подробный вывод и анализ формулы Планка содержится в курсе Термодинамика, статистическая физика и физическая кинетика.

1.2. Квантовые состояния. Волновые функции Принципиальное различие между классическим и квантовым описанием проявляется уже на начальном этапе построения теории движения микрочастиц.

Как и в классической механике, прежде чем анализировать физические характеристики данной квантовой системы и их изменение с течением времени, необходимо указать способ задания ее состояния в определенный момент времени t.

Механическое состояние классической системы в момент времени t полностью определяется заданием ее обобщенных координат qi (t) и скоростей qi (t) (или импульсов pi (t)) в этот момент. Число этих величин равно удвоенному числу степеней свободы системы.

В квантовой механике задание состояния системы является значительно менее подробным (к тому же, ввиду отсутствия траектории у квантовой частицы ее координата и импульс вообще не могут иметь одновременно определенных значений).

Подобно тому, как начальное состояние классической системы может быть различным (в зависимости от величин qi (0) и pi (0)), квантовая система в начальный момент времени также может быть приготовлена в различных состояниях, отличающихся, например, значениями (или даже числом) физических величин, которые могут быть одновременно измерены для системы в этих состояниях. В данный момент мы пока не можем сказать ничего более определенного о свойствах конкретного квантового состояния и в дальнейшем будем неоднократно уточнять данное понятие. Однако общим для любого квантового состояния является математический способ его задания (изображения): квантовое состояние всегда изображается с помощью волновой функции некоторой комплексной функции координат и времени 1 (, t) ( совокупность всех обобщенных координат; для частицы в трехмерном евВ качестве аргумента (динамической переменной) волновой функции можно выбрать не только координату, но и другие величины: импульс, энергию и т.д. Данные вопросы исследуются в теории представлений (см. гл. 3) специальном разделе квантовой теории. Далее до гл. 3 мы не касаемся этих аспектов и считаем волновую функцию зависящей от координат, т. е. используем так называемое координатное представление волновой функции.

клидовом пространстве r; в общем случае число обобщенных координат равно числу степеней свободы квантовой системы). Для каждой конкретной квантовой системы класс функций (, t), которые могут описывать ее все возможные (т. е.

физически реализуемые) состояния, достаточно широкий и на математическом языке эти функции образуют гильбертово пространство L2.

Ниже мы обсудим более подробно математические условия, налагаемые на функции (, t), но вначале приведем простейший пример квантового состояния и соответствующей волновой функции.

Для описания движения свободной (т. е. не подверженной действию внешних сил) частицы с заданным импульсом p (вот первый пример квантового состояния!) Л.

де Бройль предложил использовать плоскую волну:

pr Et (1.4) p (r, t) = C exp i, где m и E = p2 /2m масса и энергия частицы, а C некоторая постоянная. Функцию (1.4) принято называть волной де Бройля.

Ее частота и длина связаны соответственно с энергией и импульсом частицы такими же, как и у фотона, соотношениями:

(1.5) = E/ ; = 2 /p.

В 1924 г. гипотеза де Бройля являлась постулативной 2. Она перекликалась с гипотезой Планка в смысле дуализма волна–частица, но логически полностью противоположна ей. Если Планк приписывал электромагнитному полю присущие веществу корпускулярные свойства, то де Бройль поступил наоборот: он предположил, что частицы вещества при определенных условиях проявляют волновые свойства, присущие полю.

Типичные значения длины волны де Бройля для электрона, ускоренного электрическим полем с разностью потенциалов в диапазоне (1 104 ) эВ, (0,1 10) (1 = 1010 м). Поэтому для наблюдеA A ния волновых свойств электронов оптические дифракционные решетки непригодны. В кристаллах же ионы расположены упорядоченно на расстояниях d (4 5).

Поэтому кристаллические решетки являA ются и естественными дифракционными решетками в диапазоне длин волн де Бройля (напомним, что для наблюдения типичных волновых явлений (дифракции и интерференции) необходимо выполнение соотношения d, где d постоянная решетки). В 1927 г. Дэвиссон и Джермер поставили такой эксперимент (рис. 1.

1) и впервые обнаружили дифракционную картину в угловом распределении электронов.

2 Хотя ниже мы увидим, что выражение (1.4) для волновой функции свободной частицы с импульсом p следует из точных уравнений квантовой механики.

Рис. 1.1.

В общем случае (т. е. не только для свободного движения) волновая функция находится из решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения (уравнения Шредингера см.

ниже), поэтому она определяется с точностью до произвольного постоянного множителя нормировочной константы.

Если волновые функции отличаются только постоянным множителем, то соответствующие им состояния физически эквивалентны.

Волновая функция сама по себе является ненаблюдаемой величиной. (С ненаблюдаемыми величинами читатель сталкивался и ранее:

например, в электродинамике ненаблюдаемыми величинами являются потенциалы электромагнитного поля.) М. Борн в 1926 г. предложил следующую вероятностную интерпретацию волновой функции (, t):

квадрат ее модуля пропорционален плотности вероятности обнаружения частицы в момент времени t в точке с координатой :

|(, t)|2 (, t)(, t) w(, t) (1.6) (символ (*) означает операцию комплексного сопряжения), т. е. волновую функцию следует толковать статистически.

Для понимания данного утверждения проделаем мысленный эксперимент. Будем пропускать монохроматический пучок электронов сквозь две узкие щели, позади которых располагается фотопластинка (дифракция на двух щелях). При этом на фотопластинке будет наблюдаться дифракционная картина (рис. 1.

2а), т. е. движение электронов подобно волновому. Затем поставим этот же эксперимент с более низкой интенсивностью пучка (пропуская практически по одному электрону с той же самой энергией). На фотопластинке в случайном порядке возникнут отдельные пятна в местах электронных ударов (рис. 1.2б).

Однако с увеличением времени экспозиции эти пятна складываются в сплошные полосы, т. е. возникает та же самая дифракционная картина, что и на рис. 1.2а, подтверждая вероятностный характер движе

Источник: http://pdf.knigi-x.ru/21fizika/304619-1-iv-kopitin-kornev-manakov-kvantovaya-teoriya-kurs-lekciy-dlya-vuzov-chast-3-e-izdanie-voronezh-2009.php

«И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков Квантовая теория Курс лекций для вузов Часть 1 3-е издание Воронеж 2009 Утверждено научно-методическим советом физического факультета 12 января …»

Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В

— [ Страница 1 ] —

Федеральное агентство по образованию

И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков

Квантовая теория

Курс лекций для вузов

Часть 1

3-е издание

Воронеж 2009

Утверждено научно-методическим советом физического факультета

12 января 2009 г., протокол №

Рецензент С.Д. Кургалин

Курс лекций подготовлен на кафедре теоретической физики

физического факультета Воронежского государственного

университета.

Рекомендуется для студентов 3, 4 курсов д/о и 4 курса в/о

Для специальностей: 010701 Физика, 010801 Радиофизика и электроника, 010803 Микроэлектроника и полупроводниковые приборы Оглавление Введение Глава 1. Основы квантовой механики

1.1. Предпосылки возникновения квантовой теории…… 6

1.2. Квантовые состояния. Волновые функции………

1.3. Принцип суперпозиции состояний………….. 14

1.4. Нормировка волн де Бройля…………….. 16

1.5. Средние значения координаты и импульса…….. 18

1.6. Физические величины в квантовой теории……… 20

1.7. Определенные значения физических величин……. 27

1.8. Свойства собственных функций и собственных значений линейного эрмитова оператора…………… 30

1.9. Оператор с непрерывным спектром собственных значений 33

1.10. Совместная измеримость физических величин…… 36

1.11. Соотношение неопределенностей………….. 38

1.12. Временное уравнение Шредингера…………. 40

1.13. Плотность потока вероятности…………… 44

1.14. Стационарные состояния………………. 46

1.15. Дифференцирование операторов по времени……. 48

1.16. Интегралы состояния………………… 50 Глава 2. Простейшие задачи квантовой механики 55

2.1. Одномерное движение……………….. 55

2.2. Линейный гармонический осциллятор……….. 57

2.3. Одномерное движение в однородном поле……… 62

2.4. Момент количества движения (момент импульса)…. 63

2.5. Общие свойства движения в центральном поле…… 67

2.6. Задача двух тел…………………… 71

2.7. Движение в кулоновском поле притяжения. Атом водорода 72

2.8. Распределение заряда электрона в атоме……… 78

2.9. Токи в атомах. Магнетон………………. 80 Глава 3. Теория представлений

3.1. Различные представления волновой функции…….

–  –  –

Введение Настоящее учебное пособие представляет собой первую часть курса лекций по дисциплине Квантовая теория, читаемого студентам третьего-четвертого курса всех специальностей физического факультета.

Первая глава знакомит читателя с основными понятиями и математическим аппаратом нерелятивистской квантовой механики.

Вторая глава посвящена простейшим задачам квантовой механики, допускающим решение в замкнутой аналитической форме. Исследуется одномерное движение на примере осциллятора; излагается метод решения задач в центральном поле; рассматривается задача об атоме водорода.

В третьей главе изложены основы теории представлений.

Ниже приведены численные значения фундаментальных физических констант (в системе СИ), встречающихся в настоящем пособии:

постоянная Планка = 1.055 · 1034 Дж·c;

масса электрона m = 9.11 · 1031 кг;

элементарный заряд |e| = 1.602 · 1019 Кл.

–  –  –

Основы квантовой механики В данной главе читатель знакомится с основными понятиями и математическим аппаратом квантовой механики важнейшего раздела квантовой теории. В нем исследуется механическое движение в микромире, т. е.

в системах с классическим действием S, имеющим величину порядка постоянной Планка. К таким объектам относятся структурные элементы вещества: атомы, молекулы, элементарные ячейки кристаллов, ядра и элементарные частицы.

Они образуют так называемый микромир (или квантовые системы), которому присущи весьма своеобразные законы движения, изучаемые в специальном разделе физики квантовой механике. Эти законы существенно отличаются от законов классической механики, описывающих механическое движение в классической физике.

Ряд эффектов (сверхпроводимость, сверхтекучесть, ферромагнетизм), а также физико-химические свойства веществ можно объяснить количественно только в рамках квантовой механики.

–  –  –

6 ла (1.1) так называемая ультрафиолетовая катастрофа (УФК) в классической электродинамике.

Вторая проблема возникла после того, как Э. Резерфорд предложил планетарную модель атома. Электрон при всегда ускоренном движении по атомной орбите (центростремительное ускорение!) должен был бы непрерывно излучать электромагнитные волны, т. е. терять свою энергию.

В конечном итоге, в соответствии с законами механики и электродинамики, электрон упал бы на поверхность ядра (в течение 1010 с). В реальности же атом устойчив и, более того, невозбужденные атомы существуют практически бесконечно долго.

Необъяснимыми в рамках классической физики остаются также связь между электрически нейтральными атомами в молекулах и физико-химические свойства различных веществ.

Наконец, анализ рассеяния электронов на атомах позволил обнаружить загадочную дискретность (квантование) атомных уровней энергии (опыт Франка – Герца, 1914 г.), а позже была установлена и дискретность значений орбитального момента атома (опыт Штерна – Герлаха, 1922 г.).

Для решения проблемы УФК М. Планк в 1900 г.

выдвинул гипотезу о квантах, согласно которой обмен энергией между электромагнитным излучением и веществом (стенками сосуда) происходит дискретными порциями, или квантами (позже их назвали фотонами) подобно частицам, а не волнам (дуализм волна-частица для света). Энергия E фотонов, согласно Планку, связана с частотой излучения прямой пропорциональной зависимостью:

E =.

Коэффициент пропорциональности, названный впоследствии постоянной Планка, имеет размерность действия и явился новой фундаментальной физической константой, специфической для микромира. Для получения согласующегося с опытом распределения энергии в спектре теплового излучения М.

Планк был вынужден сделать предположение о наличии в стенках сосуда микроскопических осцилляторов, через посредство которых осуществляется взаимодействие фотонов со стенками.

В результате такого предположения им была получена знаменитая формула для спектральной плотности () равновесного (теплового) излучения:

V () = 2 3 3 e kT 1 (1.3) c (формула Планка). Легко увидеть, что при низких частотах ( kT ) она переходит в формулу Рэлея – Джинса (1.2).

Гипотеза Планка получила дальнейшее развитие при объяснении явлений фотоэффекта и эффекта Комптона. В 1905 г. А. Эйнштейн, развивая гипотезу Планка, предположил, что дискретность возникает не только при обмене энергии между излучением и веществом.

По Эйнштейну, всякую электромагнитную волну с волновым вектором k (|k| = 2/, = 2c/ длина волны) во многих явлениях можно рассматривать как совокупность частиц (фотонов) с энергией E = и импульсом p = k.

В частности, это предположение позволило ему объяснить в фотоэффекте наблюдаемую зависимость энергии фотоэлектрона от частоты, а не интенсивности света. В 1922 г. А.

Комптоном было открыто и объяснено с точки зрения гипотезы о фотонах увеличение длины волны рентгеновского излучения при его рассеянии на электронах. (Напомним, что в классической электродинамике частота электромагнитной волны не меняется при взаимодействии с заряженными частицами).

Таким образом, гениальность гипотезы Планка состоит в том, что, как выяснилось, законы взаимодействия света с веществом могут быть объяснены только благодаря дуализму волна–частица для света.

Причиной же ультрафиолетовой катастрофы как раз и являлось игнорирование корпускулярных свойств света.

Чтобы учесть дискретность атомных энергий, Н. Бору в 1913 г. пришлось ввести ряд постулатов. Первый постулат устанавливал существование у атома стационарных состояний, находясь в которых он не излучает свет, несмотря на ускоренное движение электрона по орбите. Второй постулат устанавливал кратность величины орбитального момента электрона в атоме водорода постоянной Планка.

Третий постулат базировался на гипотезе Планка: при внешних воздействиях атом переходит из одного состояния в другое, испуская или поглощая квант света с энергией, равной разности между уровнями энергии атома. Опыты Франка – Герца (1914 г.) и Штерна – Герлаха (1922 г.) в какой-то мере подтвердили данные постулаты.

Последние позволили также верно воспроизвести энергетический спектр атома водорода простейшей атомной системы, однако уже для атома гелия данная техника оказалась совершенно непригодной. Таким образом, проблема существования дискретных уровней энергии атома тоже решается не полностью в рамках механики Ньютона, пусть и дополненной новыми постулатами.

Причиной неудач в решении проблем атомной физики является то, что постулаты Бора вводились ad hoc, т. е. задним числом, для корректировки существующей теории. Отметим, что такой же гипотезой ad hoc было и предположение Планка о наличии микроскопических осцилляторов в нагретом теле при исследовании равновесного излучения.

Требовался переход к новой концепции механического движения применительно к микромиру. Такой переход осуществился в течение первой четверти XX века.

Новая концепция движения действительно оказалась революционной. Л. де Бройль в 1924 г. предположил, что микрочастицы при определенных условиях могут проявлять волновые свойства, так что проблемы адекватного описания движения в микромире есть результат игнорирования волновых свойств частиц (дуализм волна–частица для вещества). Гипотеза Л.

де Бройля для частиц вещества перекликалась с гипотезой М. Планка для частиц света. И эта гипотеза впоследствии подтвердилась в эксперименте (см. ниже). Она была развита позднее М. Борном и приведена им к строгой математической формулировке. Таким образом, идея дуализма волна–частица была распространена на все объекты микромира.

Далее уточнились понятия измеримости и совместной измеримости физических величин. Потребовалось даже отказаться от некоторых привычных понятий классической механики, например, от понятия траектории микрочастицы (поскольку в общем случае волновое движение несовместимо с движением по траектории!), и ввести новые для понимания физические характеристики микрочастиц, например, спин.

В квантовой теории отсутствует лапласов детерминизм, присущий классической механике. Характер движения стал вероятностным, однако вероятностная интерпретация законов микромира принципиально отличается от вероятностной интерпретации законов классической статистической механики. В последней вероятностный подход обусловлен большим числом степеней свободы макросистемы.

В микромире же даже в случае единственной частицы ее движение уже носит вероятностный характер.

Квантовая теория была официально признана в 1926 г. после доклада Н. Бора на Конгрессе в Копенгагене. Самым удивительным для того времени фактом было возникающее в новой теории квантование (дискретизация) энергии микрочастицы в случае ее финитного движения (в ограниченной области пространства).

Поэтому новая наука стала называться квантовой механикой. Из-за волнового характера движения микрочастиц ее также называли и волновой механикой.

На самом же деле наука вышла на новый уровень организации материи микромир и законы движения в нем оказались отличными от законов движения макроскопических тел. Поэтому более правильным было бы название механика микромира, но сохранилось традиционное квантовая механика.

Она внесла гигантский вклад в исследование материи на атомном и субатомном уровне. Квантовая теория дает теоретический базис для создания новых материалов с заданными свойствами.

На основе достижений квантовой механики стало возможным использование ядерной энергии и создание лазеров.

Квантовая механика не отменяет целиком положения классической механики. Она лишь переформулировала их применительно к микромиру. Классическая механика является предельным случаем квантовой для макромира (при формальном предельном переходе 0).

Отметим, что формула Планка (1.3), как и другие законы микромира, тоже может быть получена в строгом квантовомеханическом подходе, не использующем гипотезу об осцилляторах.

Подробный вывод и анализ формулы Планка содержится в курсе Термодинамика, статистическая физика и физическая кинетика.

1.2. Квантовые состояния. Волновые функции Принципиальное различие между классическим и квантовым описанием проявляется уже на начальном этапе построения теории движения микрочастиц.

Как и в классической механике, прежде чем анализировать физические характеристики данной квантовой системы и их изменение с течением времени, необходимо указать способ задания ее состояния в определенный момент времени t.

Механическое состояние классической системы в момент времени t полностью определяется заданием ее обобщенных координат qi (t) и скоростей qi (t) (или импульсов pi (t)) в этот момент. Число этих величин равно удвоенному числу степеней свободы системы.

В квантовой механике задание состояния системы является значительно менее подробным (к тому же, ввиду отсутствия траектории у квантовой частицы ее координата и импульс вообще не могут иметь одновременно определенных значений).

Подобно тому, как начальное состояние классической системы может быть различным (в зависимости от величин qi (0) и pi (0)), квантовая система в начальный момент времени также может быть приготовлена в различных состояниях, отличающихся, например, значениями (или даже числом) физических величин, которые могут быть одновременно измерены для системы в этих состояниях. В данный момент мы пока не можем сказать ничего более определенного о свойствах конкретного квантового состояния и в дальнейшем будем неоднократно уточнять данное понятие. Однако общим для любого квантового состояния является математический способ его задания (изображения): квантовое состояние всегда изображается с помощью волновой функции некоторой комплексной функции координат и времени 1 (, t) ( совокупность всех обобщенных координат; для частицы в трехмерном евВ качестве аргумента (динамической переменной) волновой функции можно выбрать не только координату, но и другие величины: импульс, энергию и т.д. Данные вопросы исследуются в теории представлений (см. гл. 3) специальном разделе квантовой теории. Далее до гл. 3 мы не касаемся этих аспектов и считаем волновую функцию зависящей от координат, т. е. используем так называемое координатное представление волновой функции.

клидовом пространстве r; в общем случае число обобщенных координат равно числу степеней свободы квантовой системы). Для каждой конкретной квантовой системы класс функций (, t), которые могут описывать ее все возможные (т. е.

физически реализуемые) состояния, достаточно широкий и на математическом языке эти функции образуют гильбертово пространство L2.

Ниже мы обсудим более подробно математические условия, налагаемые на функции (, t), но вначале приведем простейший пример квантового состояния и соответствующей волновой функции.

Для описания движения свободной (т. е. не подверженной действию внешних сил) частицы с заданным импульсом p (вот первый пример квантового состояния!) Л. де Бройль предложил использовать плоскую волну:

pr Et (1.4) p (r, t) = C exp i, где m и E = p2 /2m масса и энергия частицы, а C некоторая постоянная. Функцию (1.4) принято называть волной де Бройля. Ее частота и длина связаны соответственно с энергией и импульсом частицы такими же, как и у фотона, соотношениями:

(1.5) = E/ ; = 2 /p.

В 1924 г. гипотеза де Бройля являлась постулативной 2. Она перекликалась с гипотезой Планка в смысле дуализма волна–частица, но логически полностью противоположна ей. Если Планк приписывал электромагнитному полю присущие веществу корпускулярные свойства, то де Бройль поступил наоборот: он предположил, что частицы вещества при определенных условиях проявляют волновые свойства, присущие полю.

Типичные значения длины волны де Бройля для электрона, ускоренного электрическим полем с разностью потенциалов в диапазоне (1 104 ) эВ, (0,1 10) (1 = 1010 м). Поэтому для наблюдеA A ния волновых свойств электронов оптические дифракционные решетки непригодны. В кристаллах же ионы расположены упорядоченно на расстояниях d (4 5).

Поэтому кристаллические решетки являA ются и естественными дифракционными решетками в диапазоне длин волн де Бройля (напомним, что для наблюдения типичных волновых явлений (дифракции и интерференции) необходимо выполнение соотношения d, где d постоянная решетки). В 1927 г. Дэвиссон и Джермер поставили такой эксперимент (рис. 1.

1) и впервые обнаружили дифракционную картину в угловом распределении электронов.

2 Хотя ниже мы увидим, что выражение (1.4) для волновой функции свободной частицы с импульсом p следует из точных уравнений квантовой механики.

Рис. 1.1.

В общем случае (т. е. не только для свободного движения) волновая функция находится из решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения (уравнения Шредингера см.

ниже), поэтому она определяется с точностью до произвольного постоянного множителя нормировочной константы.

Если волновые функции отличаются только постоянным множителем, то соответствующие им состояния физически эквивалентны.

Волновая функция сама по себе является ненаблюдаемой величиной. (С ненаблюдаемыми величинами читатель сталкивался и ранее:

например, в электродинамике ненаблюдаемыми величинами являются потенциалы электромагнитного поля.) М. Борн в 1926 г. предложил следующую вероятностную интерпретацию волновой функции (, t):

квадрат ее модуля пропорционален плотности вероятности обнаружения частицы в момент времени t в точке с координатой :

|(, t)|2 (, t)(, t) w(, t) (1.6) (символ (*) означает операцию комплексного сопряжения), т. е. волновую функцию следует толковать статистически.

Для понимания данного утверждения проделаем мысленный эксперимент. Будем пропускать монохроматический пучок электронов сквозь две узкие щели, позади которых располагается фотопластинка (дифракция на двух щелях). При этом на фотопластинке будет наблюдаться дифракционная картина (рис. 1.

2а), т. е. движение электронов подобно волновому. Затем поставим этот же эксперимент с более низкой интенсивностью пучка (пропуская практически по одному электрону с той же самой энергией). На фотопластинке в случайном порядке возникнут отдельные пятна в местах электронных ударов (рис. 1.2б).

Однако с увеличением времени экспозиции эти пятна складываются в сплошные полосы, т. е. возникает та же самая дифракционная картина, что и на рис. 1.2а, подтверждая вероятностный характер движе

Источник: http://nauka.x-pdf.ru/17mehanika/498420-1-iv-kopitin-kornev-manakov-kvantovaya-teoriya-kurs-lekciy-dlya-vuzov-chast-3-e-izdanie-voronezh-2009-utverzhdeno-nau.php

Biz-books
Добавить комментарий