Квантовая механика. Часть 1. Сербо В.Г

Квантовая механика, квантовая физика

Квантовая механика. Часть 1. Сербо В.Г

Астахов А.В., Широков Ю.М. Курс физики. Том 3. Квантовая физика. М: Наука, 1983 (pdf)

Базь А.И., Зельдович Я.Б., Переломов А.М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике (2-е изд.) М.: Наука, 1971 (pdf)

Бейзер А. Основные представления современной физики. М.: Атомиздат, 1973 (djvu)

Бете Г. Квантовая механика. М.: Мир, 1965 (pdf)

Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (3-е изд.) М.: Высш. школа, 1961 (pdf)

Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики (5-е изд.) М.: Наука, 1976 (pdf)

Блохинцев Д.И. Принципиальные вопросы квантовой механики. М.: Наука, 1966 (pdf)

Боголюбов Н.Н., Медведев Б.В., Поливанов М.К. Вопросы теории дисперсионных соотношений. М.: ГИФМЛ, 1958 (pdf)

Боголюбов Н.Н., Логунов А.А., Тодоров И.Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. М.: Наука, 1969 (pdf)

Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Квантовые поля. М.: Наука, 1980 (pdf)

Бом Д. Квантовая теория. (2-е издание). М.: Наука, 1965 (pdf)

Бонч-Бруевич В.Л., Тябликов С.В. Метод функций Грина в статистической механике. М.: Физматлит, 1961 (pdf)

Бор Н. Избранные научные труды. Том I. Статьи 1909-1925. М.: Наука, 1970 (pdf)

Бор Н. Избранные научные труды. Том II. Статьи 1925 -1961. М.: Наука, 1971 (pdf)

Борн М. Лекции по атомной механике. Харьков-Киев: НТИУ, 1934 (pdf)

Борн M. Атомная физика. М.: Мир, 1965 (pdf)

Бьёркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Т.1. Релятивистская квантовая механика. М.: Наука, 1978 (pdf)

Бьёркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Т.2. Релятивистские квантовые поля. М.: Наука, 1978 (pdf)

Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. Л.: Наука, 1975 (pdf)

Вихман Э. Берклеевский курс физики. Том 4. Квантовая физика. М.: Наука, 1974 (pdf)

Гейзенберг В., Шредингер Э. Дирак П.А.М. Современная квантовая механика. Три нобелевских доклада. Л.-М.: Гостехиздат, 1934 (pdf)

Гельфер Я.М., Любошиц В.Л., Подгорецкий М.И. Парадокс Гиббса и тождественность частиц в квантовой механике. М.: Наука, 1975 (pdf)

Герцберг Г. Спектры и строение двухатомных молекул. М.: ИЛ, 1949 (pdf)

Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике. М.: ГИТТЛ, 1957 (pdf)

Гомбаш П. Проблема многих частиц в квантовой механике. М.: ИЛ, 1952 (pdf)

Грашин А.Ф. Квантовая механика. М.: Просвещение, 1974 (pdf)

Гриб А.А. Проблема неинвариантности вакуума в квантовой теории поля. М.: Атомиздат, 1978 (pdf)

Гриб А.А., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях. М.: Атомиздат, 1980 (pdf)

Давыдов А.С. Квантовая механика (2-е изд.). М.: Наука, 1973 (pdf)

Де Альфаро В., Редже Т. Потенциальное рассеяние. М.: Мир, 1966 (pdf)

Дирак П.А.М. Лекции по квантовой теории поля. М.: Мир, 1971 (pdf)

Дирак П.А.М. Принципы квантовой механики (2-е издание). М.: Наука, 1979 (pdf)

Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика с задачами. М.: Наука, 1976 (pdf)

Ефимов Г.В. Нелокальные взаимодействия квантованных полей. М.: Наука, 1977 (pdf)

Зоммерфельд А. Строение атома и спектры. Том 1. М.: ГИТТЛ, 1956 (pdf)

Зоммерфельд А. Строение атома и спектры. Том 2. М.: ГИТТЛ, 1956 (pdf)

Иваненко Д.Д. (ред.) Новейшее развитие квантовой электродинамики. Сборник переводов. М.: Ин. лит., 1954 (pdf)

Иваненко Д. (ред.) Квантовая гравитация и топология. Сборник переводов. М.: Мир, 1973 (pdf)

Иос Г. Курс теоретической физики. Часть 2. Термодинамика. Статистическая физика. Квантовая теория. Ядерная физика. М.: Просвещение, 1964 (pdf)

Йост Р. Общая теория квантованных полей. М.: Мир, 1967 (pdf)

Каданов Л., Бейм Г. Квантовая статистическая механика. Методы функций Грина в теории равновесных и неравновесных процессов. М.: Мир, 1964 (pdf)

Каплан И.Г. Симметрия многоэлектронных систем. М.: Наука, 1969 (pdf)

Кемпфер Ф. Основные положения квантовой механики. М.: Мир, 1967 (pdf)

Клаудер Д., Сударшан Э. Основы квантовой оптики. М.: Мир, 1970 (pdf)

Коноплева Н.П., Попов В.Н. Калибровочные поля. М.: Атомиздат, 1972 (pdf)

Коноплева Н.П. Квантовая теория калибровочных полей. Сборник переводов. М.: Мир, 1977 (pdf)

Кушниренко А.Н. Введение в квантовую теорию поля. М.: Высш. школа, 1971 (pdf)

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Краткий курс теоретической физики, том 2: Квантовая механика. М.: Наука, 1972 (pdf)

Ландау Л., Лифшиц Е. Теоретическая физика. Том 5. Часть 1. Квантовая механика. Часть I. Нерелятивистская теория. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948 (pdf)

Липкин Г. Квантовая механика. Новый подход к некоторым проблемам. М.: Мир, 1977 (pdf)

Лоудон Р. Квантовая теория света. М.: Мир, 1976 (pdf)

Люиселл У. Излучение и шумы в квантовой электронике. М.: Наука, 1972 (pdf)

Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике. М.: Наука, 1972 (pdf)

Макки Дж. Лекции по математическим основам квантовой механики. М.: Мир, 1965 (pdf)

Манько В.И. (ред.) Когерентные состояния в квантовой теории. Сборник переводов. Серия Новости фундаментальной науки, вып. 1. М.: Мир, 1972 (pdf)

Марч Н., Янг У., Сампантхар С. Проблема многих тел в квантовой механике. М.: Мир, 1969 (pdf)

Матвеев А.Н. Квантовая механика и строение атома. М.: Высш. школа, 1965 (pdf)

Медведев Б.В. Начала теоретической физики. Механика. Теория поля. Элементы квантовой механики. М.: Наука, 1977 (pdf)

Мессиа А. Квантовая механика. Том 1. М.: Наука, 1978 (pdf)

Мессиа А. Квантовая механика. Том 2. М.: Наука, 1979 (pdf)

Мигдал А.Б., Крайнов В.П. Приближенные методы квантовой механики. М.: Наука, 1966 (pdf)

Мигдал А.Б. Качественные методы в квантовой теории. М.: Наука, 1975 (pdf)

Надь К. Пространства состояний с индефинитной метрикой в квантовой теории поля. М.: Мир, 1969 (pdf)

Нейман И. Математические основы квантовой механики. М.: Наука, 1964 (pdf)

Пантел Р., Путхоф Г. Основы квантовой электроники. М.: Мир, 1972 (pdf)

Паули В. Общие принципы волновой механики. М.-Л.: ГИТТЛ, 1947 (pdf)

Паули В. Труды по квантовой теории. Квантовая теория. Общие принципы волновой механики. Статьи 1920-1928. М.: Наука, 1975 (pdf)

Паули В. Труды по квантовой теории. Статьи 1928-1958. М.: Наука, 1977 (pdf)

Рыдник В.И. Что такое квантовая механика. М.: Сов. Россия, 1963 (pdf)

Сербо В.Г., Хриплович И.Б. Конспект лекций по квантовой механике. Нсб.: НГУ, 1999 (pdf)

Сигал И. Математические проблемы релятивистской физики. М.: Мир, 1968 (pdf)

Синаноглу О. Многоэлектронная теория атомов, молекул и их взаимодействий. М.: Мир, 1966 (pdf)

Скобельцын Д.В. (ред.) Квантовая теория поля и гидродинамика. Труды ФИАН. Том XXIX. М.: Наука, 1965 (pdf)

Славнов А.А., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М.: Наука, 1978 (pdf)

Соколов А., Иваненко Д. Квантовая теория поля (избранные вопросы). М.-Л.: ГИТТЛ, 1952 (pdf)

Соколов А.А. Введение в квантовую электродинамику. М.: ГИФМЛ, 1958 (pdf)

Соколов А.А., Лоскутов Ю.М., Тернов И.М. Квантовая механика (2-е изд.) М.: Просвещение, 1965 (pdf)

Соколов А.А., Тернов И.М. Квантовая механика и атомная физика. М.: Просвещение, 1970 (pdf)

Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика. М.: Наука, 1979 (pdf)

Соколов А.А., Тернов И.М. Релятивистский электрон. М.: Наука, 1974 (pdf)

Сунакава С. Квантовая теория рассеяния. М.: Мир, 1979 (pdf)

Сушко В.Н. (ред.) Конструктивная теория поля. Серия: Математика Новое в зарубежной науке № 6. М.: Мир, 1977 (pdf)

Тарасов Л.В. Основы квантовой механики. М.: Высш. школа, 1978 (pdf)

Тирринг В.Е. Принципы квантовой электродинамики. М.: Высш. шк., 1964 (pdf)

Толмачев В.В. Квазиклассическое приближение в квантовой механике. М.: МГУ, 1980 (pdf)

Умэдзава X. Квантовая теория поля. М.: Изд-во Ин. Лит., 1958 (pdf)

Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков. Л.: ЛГУ, 1980 (pdf)

Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 8. Квантовая механика-1. М.: Мир, 1966 (pdf)

Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 9. Квантовая механика-2. М.: Мир, 1967 (pdf)

Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М.: Мир, 1968 (pdf)

Ферми Э. Квантовая механика (конспект лекции). М.: Мир, 1965 (pdf)

Флюгге З. Задачи по квантовой механике. Том 1. М.: Мир, 1974 (pdf)

Флюгге З. Задачи по квантовой механике. Том 2. М.: Мир, 1974 (pdf)

Фок В.А. Начала квантовой механики. М.: Наука, 1976 (pdf)

Фудзита С. Введение в неравновесную квантовую статистическую механику. М.: Мир, 1969 (pdf)

Фущич В.И., Никитин А.Г. Симметрия уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1990 (pdf)

Хейне В. Теория групп в квантовой механике. М.: ИЛ, 1963 (pdf)

Хенли Э., Тирринг В. Элементарная квантовая теория поля. М.: ИЛ, 1963 (pdf)

Хинчин А.Я. Математические основания квантовой статистики. М.-Л.: ГИТТЛ, 1951 (pdf)

Шварц А.С. Элементы квантовой теории поля. Бозонные взаимодействия. М.: Атомиздат, 1975 (pdf)

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля. М.: Ин.лит., 1963 (pdf)

Швингер Ю. Частицы, источники, поля. Том 1. М.: Мир, 1973 (pdf)

Швингер Ю. Частицы, источники, поля. Том 2. М.: Мир, 1976 (pdf)

Шифф Л. Квантовая механика. (2-е изд.) М.: ИЛ, 1959 (pdf)

Шмид Э., Цигельман Х. Проблема трех тел в квантовой механике. М.: Наука, 1979 (pdf)

Шпольский Э.В. Атомная физика. Том 2. Основы квантовой механики и строение электронной оболочки атома (4-е издание). М.: Наука, 1974 (pdf)

Шредингер Э. Избранные труды по квантовой механике. М.: Наука, 1976 (pdf)

Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. М.: Мир, 1976 (pdf)

Эренфест П. Относительность. Кванты. Статистика. Сборник статей. М.: Наука, 1972 (pdf)

Источник: https://ikfia.ysn.ru/kvantovaya-mehanika-kvantovaya-fizika/

1 КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, часть 1 В.Г. Сербо, И.Б. Хриплович 24 августа 2005 г.fПредисловие Книга основана на конспекта лекций по годовому курсу квантовой механике. Она отражает

Квантовая механика. Часть 1. Сербо В.Г

Книги по всем темамPages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   …   | 15 | КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, часть 1 В.Г. Сербо, И.Б. Хриплович 24 августа 2005 г.

Предисловие Книга основана на конспекта лекций по годовому курсу квантовой механике.

Она отражает многолетний опыт чтeния лекций и проведения семинаров по квантовой механике для студентов 3-го курса физического факультета Новосибирского государственного университета. Мы руководствовались следующими соображениями:

историческое введение должно быть кратким, с тем чтобы уравнение Шредингера появлялось на второй–третьей лекции;

новые математические методы излагаются только тогда, когда они требуются для решения новых физических задач;

релятивистская квантовая механика и в частности уравнение Дирака необходимые элементы образования студентов-физиков и потому они должны присутствовать в курсе квантовой механики;

решение задач по квантовой механике лучший способ активного усвоения новых понятий, поэтому число семинаров на начальном этапе должно в 1,5 раза превышать число лекций;

помимо семинаров, существует система заданий: каждый студент в течение семестра должен самостоятельно решить 15–20 задач; эти задачи принимаются преподавателем в дополнительное время в форме беседы со студентом, объясняющим свое решение;

для развития квантовой интуиции большое значение имеют занятия в терминальном классе, где имеется возможность получения быстрого численного или графического ответа на большое число достаточно сложных задач по квантовой механике.

Изложение ряда вопросов в книге, на наш взгляд, достаточно оригинально. Стандартный же материал, который можно найти в известных учебниках [1], [2], описан кратко, конспективно. В пособии содержатся те задачи, которые были опробированы на семинарах, часть из них заимствована из известных задачников [3], [4], [5].

Пособие содержит также достаточно трудные задачи (они отмечены звездочкой ), предназначенные, в частности, для самостоятельной работы студентов.

Литература [1] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Квантовая механика, М.: Наука, 1989.

[2] В.Г. Зелевинский, Лекции по квантовой механике, Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2002.

[3] Л.М. Альтшуль, В.Г. Зелевинский, Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо, С.А. Хейфец, И.Б. Хриплович, В.Л. Черняк, Сборник задач по квантовой механике, Новосибирск:

Ротапринтное издание НГУ, 1974.

[4] В.М. Галицкий, Б.М. Карнаков, В.И. Коган, Задачи по квантовой механике, М.: Наука, 1981.

[5] И.И. Гольдман, В.Д. Кривченков, Сборник задач по квантовой механике, М.:

ГИТТЛ, 1957.

Глава I ВВЕДЕНИЕ §1. Первые квантовомеханические понятия 1.1. Квантовая природа света Излучение абсолютно черного тела. Рассматривается спектральный состав электромагнитного излучения, находящегося в равновесии со стенками полости, поддерживаемыми при постоянной температуре. М.

Планк (1900 г.

) сумел объяснить экспериментально наблюдаемый спектр излучения в следующих предположениях: 1) стенки полости моделируются набором осцилляторов заряженных частиц, удерживаемых линейными силами вблизи положения равновесия; 2) осцилляторы частоты поглощают и испускают энергию порциями:

En = n, где = 1, 05 · 10-27 эрг·с квант действия (постоянная Планка), а n целое число.

Фотоэффект ионизация атома под действием падающего света; его основные законы; наличие “красной границы”. Предполагая, что электромагнитная волна частоты состоит из фотонов с энергией, А. Эйнштейн (1905 г.

) рассмотрел фотоэффект как процесс +A e+ A+, где A и A+ атом и ион. Закон сохранения энергии для этого процесса имеет вид = mev2 + I, где I работа выхода (иначе, энергия ионизации).

Отсюда минимальная частота фотона (“красная граница” фотоэффекта) равна I min =.

Эффект Комптона. А. Комптон наблюдал изменение длины волны рентгеновского излучения при рассеянии рентгеновских лучей на атомах. Эффект Комптона интерпретируется как рассеяние фотона на атомарном электроне, который можно считать почти свободным: + e + e (рис.1).

Электромагнитную волну с частотой и волновым вектором k можно представить как поток фотонов. Рассмотрим фотон как частицу, у которой энергия и импульс определяются соотношениями E =, p = k, Рис.

1: Кинематика эффекта Комптона и предположим, что имеют место обычные законы сохранения энергии и импульса для соударения частиц + E = + E, k + p = k + p.

Покажите, что из этих предположений следует (при условии E2 — p2c2 = m2c4 и e 2 — k2c2 = 0), что изменение длины волны рентгеновского излучения при рассеянии на первоначально неподвижном электроне равно 2 — = 4e sin2, =, =, 2 k k где e = = 3, 86 · 10-11 см mec (приведенная) комптоновская длина волны электрона. Именно такое изменение длины волны и наблюдал А. Комптоном в 1923 г.

Понятие о нелинейном фотоэффекте и нелинейном эффекте Комптона.

О связи волнового и квантового описания света. При обычной рентгенографии на фотопластинке места большей или меньшей засветки определяются интенсивностью волны, т. е. величиной плотности энергии электромагнитного поля [E2(r) + B2(r)] /(8).

Но такую же картину можно получить, используя рентгеновский источник низкой интенсивности, регистрируя отдельные фотоны и накапливая информацию.

В этом случае нельзя предсказать, где именно будет зарегистрирован отдельный фотон, но можно указать вероятность его регистрации, которая пропорциональна интенсивности волны.

1.2. Волновые свойства частиц Опыты Э. Резерфорда по рассеянию -частиц на атомах (1911 г.) привели к планетарной модели атома, в которой размер ядра Rя 10-13 10-12 см, а размер электронной оболочки aат 10-8 см.

Стабильность и стандартность атомов; противоречия с классической физикой. Полуклассическая модель Н. Бора (1913 г.) для атома водорода.

Гипотеза Л. де Бройля о волновых свойствах частиц (1924 г.): частице с энергией E и импульсом p сопоставляется волна с частотой и волновым вектором k:

E p =, k =.

Экспериментальное подтверждение волновых свойств частиц дифракция электронов, нейтронов, атомов и т. д.

В классической механике состояние частицы описывается заданием координаты r(t0) и импульса p(t0) в некоторый момент времени t0. Дальнейшее движение частицы в потенциальном поле U(r) происходит согласно уравнениям движения уравнениям Гамильтона dr H dp H =, = -, (1.1) dt p dt r где pH(r, p) = + U(r) (1.2) 2m функция Гамильтона.

В квантовой механике принципиально изменяется понятия состояния частицы уже потому, что у волны нет траектории и задать одновременно координату и импульс невозможно. Описание волновых свойств частицы в некоторый момент времени t0 дается волновой функцией (r, t0).

Изменение этой функции со временем происходит согласно уравнению Шредингера (см. §4 и §7). Связь такого описания с экспериментом дается следующим постулатом: квадрат модуля волновой функции пропорционален плотности вероятности, т. е.

вероятность dW (r) найти частицу в объеме dV есть dW (r) |(r, t)|2 dV.

Отсюда видно, что функции 1(r, t) и 2(r, t) = ei1(r, t) задают одну и ту же плотность вероятности.

Плоская волна, соответствующая частице с энергией E =, импульсом p = ( k, 0, 0) и массой m, имеет вид (x, t) = Aei(kx-t).

В этой волне поверхность постоянной фазы перемещается с фазовой скоростью E u = =, k p а закон дисперсии соответствует нелинейной зависимости частоты от волнового вектора k(k) =.

2m Рассмотрим волновой пакет, близкий к монохроматической волне с волновым вектором k0 и частотой 0 = (k0), k0+k (x, t) = A(k0)ei(kx-t) dk, (1.3a) k0-k и разложим частоту (k) по малому отклонению k — k0 q до линейных членов:

(k) = 0 + vq +…, v = |k.

k В результате интегрирования получим (x, t) = A(k0)ei(k x-0t) f(x, t), (1.3b) k sin[(x — vt)k] f(x, t) = ei(qx-qvt) dq = 2k.

(x — vt)k -k Из этой формулы видно, что максимум выражения |(x, t)|2 находится в точке x = vt, так что в рассматриваемом приближении пакет движется, не изменяя своей формы, с групповой скоростью E kv = |k = |p =.

0 k p m В отличие от световых волн в пустоте, квантовомеханические волновые пакеты, соответствующие свободным частицам, расплываются из-за того, что фазовая скорость u = k/(2m) различна для разных значений волнового вектора.

§2. Соотношение неопределенностей. Оценки В монохроматической плоской волне импульс частицы имеет определенное значение, а ее координата полностью неопределена, поэтому p = 0, x =. Аналогично, в этой волне E = 0, t =.

Конечные значения x и t можно получить, используя волновые пакеты, например, вида (1.3). Из формулы (1.3) видно, что в этом пакете при фиксированном времени t амплитуда f(x, t) заметно отлична от нуля в области размером x k т.

е.

p · x.

Разброс частот определяется соотношением = k = v k.

k При фиксированном x из (1.3) следует, что f(x, t) заметно отлична от нуля в интервале времен t v k, т. е.

E · t.

Оценим, используя соотношение x · p, энергию основного состояния гармонического осциллятора:

p2 m2xE = +.

2m Поскольку у осциллятора средние значения координаты и импульса равны нулю, x = 0 и p = 0, то из x2 = (x)2 и p2 = (p)2 получаем (p)2 m2(x)2 2 E = + + m2(x)2.

2m 2 2m(x)2 Минимум функции E(x) соответствует x, m что дает Emin (точное значение Emin =, см. §6).

Задачи 2.1. Покажите, что при лобовом соударении лазерного фотона (энергия ) с ультрарелятивистским электроном (энергия E mec2), энергия рассеянного назад фотона равна x 4 E = E, x =.

x + 1 m2ce Найдите для а) = 1, 2 эВ (инфракрасный лазер на неодимовом стекле) и E = 46 ГэВ (ускоритель SLAC (Стэнфорд), опыты по нелинейному эффекту Комптона, 1996 г.);

б) = 1, 2 эВ и E = 5 ГэВ (ускоритель ВЭПП-4М (Новосибирск), опыты по расщеплению фотона на два фотона в поле ядра, 1997 г.).

2.2. Полагая, что для дифракции на кристаллической решетке полезно иметь частицы с длиной волны 10-8 см, найти энергию фотона, электрона и нейтрона с этой длиной волны.

2.3. Оценить энергию электрона, необходимую для изучения строения атома (размер a 10-8 см), атомного ядра (размер R 10-12 см), протона (размер Rp 10-см).

2.4. Ультрахолодными называются нейтроны, скорость которых v 1 м/с.

Найти их длину волны и температуру.

2.5. Найти |(x, t)|2, если A(k) = A0 e-(k-k )2/(2k)2, для частиц с законом дисперсии = ck (электромагнитные волны в пустоте) и k = 2m (нерелятивистская свободная частица массы m).

2.6. Используя соотношение неопределенностей, оценить энергию основного состояния частицы в поле U(x) = |x|.

2.7. Используя соотношение неопределенностей, оценить глубину уровня в одномерной прямоугольной мелкой яме.

2.8. Оценить минимальную энергию для частицы в поле aU(x) = -V x2 + aпри условии V ma2/ 2 1.

2.9. Покажите, используя соотношение неопределенностей, что энергия основного состояния атома водорода meEmin — = -13, 6 эВ.

2 §3. Координатное и импульсное представления.

Операторы физических величин Мы уже знаем, что в данном квантовом состоянии (x, t) плотность вероятности найти частицу в точке x, т. е. величина dW/dx, пропорциональна |(x, t)|2 квадрату модуля волновой функции. Если же волновая функция (x, t) нормирована условием + |(x, t)|2 dx = 1, то dW (x, t) = |(x, t)|2.

dx Отсюда среднее значение x равно x = x dW = x |(x)|2 dx = (x) x (x) dx.

Аналогично, среднее значение любой функции F (x) равно F (x) = (x) F (x) (x) dx.

Если (x) = A(k) eikx dk, то вероятность найти частицу с импульсом p = k пропорциональна |A(k)|2, или dW (k) |A(k)|2.

dk Условию нормировки в x-пространстве |(x)|2 dx = В дальнейшем мы будем опускать обозначения пределов интегрирования, если интегрирование ведется по всей оси.

соответствует условие нормировки в k-пространстве |(k)|2 dk = 1, где A(k) (k) = нормированный Фурье-образ функции (x), т. е.

eikx e-ikx (x) = (k) dk, (k) = (x) dx. (3.1) 2 Поэтому плотность вероятности в k-пространстве dW (k) = |(k)|dk и среднее значение функции F (k) равно F (k) = F (k) dW (k) = (k) F (k) (k) dk.

Выразим p через (x). Подставляя в соотношение p = (k) k (k) dk выражение (k) через (x) из (3.1), получим eikx e-ikx p = (x ) dx k (x) dx dk.

2 Используя тождество d ke-ikx = i e-ikx dx и интегрируя по частям по переменной x, получим окончательно d p = (x) -i (x) dx.

dx Здесь при интегрировании по k использована формула eik(x -x) dk = 2(x — x).

Таким образом, при нахождении p можно пользоваться формулой p = (x) p dx, (x) где оператор d p = -i. (3.2) dx В квантовой механике постулируется, что наблюдаемые динамические величины описываются операторами, так что среднее значение некоторой величины A в состоянии с заданной волновой функцией (x) (или (p)) равно A = (x) (x) dx = (p) (p) dp.

В частности, оператор импульса в x-пространстве определяется формулой (3.2), а в p-пространстве это просто оператор умножения p = p. Аналогично, оператор x = x в x-пространстве и d x = +i dp в p-пространстве.

Из операторов и p строятся все динамические переменные. Например, оператор r момента импульса M = p = -i r.

r Несколько более подробно формализм квантовой механике изложен в Приложении.

Задачи 3.1. Для потенциального ящика вида при x < U(x) = 0 при 0 < x < a при x > a найти уровни энергии En и волновые функции n(x), предполагая, что состояние частицы внутри ящика описывается стоячей волной вида (x) = A sin(kx) с узлами на границах ящика. Оценить En для а) частицы массы m 1 г в ящике размером a 1 см;

б) молекулы H2 в ящике размером a 1 см; найти n, соответствующий энергии En kT, где T 300 К; оценить (En — En-1)/En для данной энергии;

в) электрона в ящике размером a 10-8 см.

Сравнить классическую плотность вероятности, определенную соотношением dW (x)класс =, dx v(x)Tкласс где Tкласс классический период колебаний, а v(x) = [E — U(x)] m классическая скорость частицы в точке x, и квантовую плотность вероятности dW/dx = |n(x)|2 при n = 1 и n 1. Провести такое же сравнение для dW/dp плотности вероятности в импульсном пространстве.

3.2. Найти изменение с течением времени волновой функции нерелятивистской свободной частицы массы m, если в начальный момент времени (r, 0) = A e-(r /a2)+ibr.

3.3. Найти (k) для волновой функции e-r/a (r) =, a = = 0, 53 · 10-8 см meea(основное состояние атома водорода). Пусть данная волновая функция описывает состояние свободного электрона при t = 0. Оценить, на каком расстоянии окажется этот электрон через 1 с.

Глава II УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА §4. Оператор Гамильтона. Уравнение Шрёдингера 4.1. Стационарное уравнение Шрёдингера В классической механике уравнения движения частицы в потенциальном поле U(r) имеют вид (1.1) с функцией Гамильтона (1.2).

В квантовой механике классическая функция Гамильтона pH = + U(r) 2m заменяется оператором Гамильтона p2 = + U(r) = — + U(r), 2m 2m который и должен определять эволюцию состояния частицы, т. е.

закон изменения со временем волновой функции частицы (r, t).

Для плоской волны (r, t) = A ei(pr-Et)/, соответствующей свободному движению частицы с энергией E, легко проверить, что изменение волновой функции со временем происходит согласно уравнению E 1 p(r, t) = (r, t) = (r, t), =.

t i i 2m Можно ожидать, что и в общем случае эволюция волновой функции будет происходить по тому же закону.

Конечно, все это лишь наводящие соображения, показывающие естественность следующего утверждения: в квантовой механике постулируется уравнение Шрёдингера в виде (r, t) i = (r, t) = — + U(r) (r, t). (4.

1) t 2m Его также называют нестационарным уравнением Шрёдингера (E. Schrdinger, г.). Более подробное рассмотрение этого уравнеия будет дано в §7.

Если в этом уравнении можно разделить временные и пространственные переменные, записав (r, t) = E(r) e-iEt/, то для функции E(r) мы получаем стационарное уравнение Шрёдингера E(r) = E E(r). (4.2) С математической точки зрения, это уравнение задача на собственные значения оператора.

Если потенциальная энергия U(r) непрерывная функция, то решения этого уравнения ищутся в классе функций, непрерывных вместе с первыми и вторыми призводными. Если же потенциальная энергия имеет разрывы, то первые производные волновой функции также могут иметь разрывы (см.

ниже), но сама волновая функция и плотность вероятности dW/dV |E(r)|2 являются непрерывными функциями.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   …   | 15 | Книги по всем темам

Источник: http://knigi.dissers.ru/books/1/16421-1.php

Biz-books
Добавить комментарий