Какова средняя арифметическая скорость молекул…

Идеальный газ. Средняя квадратичная скорость. урок. Физика 10 Класс

Какова средняя арифметическая скорость молекул...

Мы начинаем изучение молекулярно-кинетической теории (свойства тел с точки зрения их атомно-молекулярного строения). Тела находятся в жидком, твёрдом и газообразном состоянии.

На этом уроке мы рассмотрим наиболее простую модель, то есть описание свойств газов, так как в газах потенциальная энергия взаимодействия между молекулами настолько мала, что ею часто пренебрегают, превращая реальный газ в идеальный.

Идеальный газ – математическая модель газа, в которой предполагается, что:

а) потенциальной энергией взаимодействия молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией;

б) суммарный объём молекул газа пренебрежимо мал. Между молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания, соударения частиц абсолютно упруги, а время взаимодействия между молекулами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями.

Модель идеального газа вполне эффективно описывает окружающие нас газы (в частности, воздух).

Кинетической энергией (в отличие от потенциальной) молекул газа не пренебрегают. Кинетическая энергия – это энергия движения, то есть она зависит от скорости, поэтому рассмотрим скорости теплового движения молекул.

Несмотря на то что молекулы одного и того же газа являются одинаковыми, скорости у них разные. Этот факт экспериментально доказал французский физик Жан-Батист Перрен.

На рисунке 1 изображено распределение молекул по скоростям, так называемое распределение Максвелла. На нём видно, что существуют очень быстрые молекулы и очень медленные, но большинство молекул двигаются со средним значением скорости (выделено жёлтым).

Рис. 1. Распределение молекул воздуха по скоростям

Принято считать, что все молекулы идеального газа двигаются с одинаковой скоростью, которую назвали средней квадратичной.

Средняя квадратичная скорость – это скорость, равная корню квадратному из средней арифметической величины квадратов скоростей отдельных молекул; она несколько отличается от средней арифметической скорости молекул.

 ,

где , ,  – скорости отдельных молекул, N – количество молекул.

К чему приводит наличие скорости у молекул газа, можно увидеть из эксперимента, для которого понадобится песок (моделирует молекулы газа) и пластинка из бумаги (моделирует сосуд, в котором находится газ). При высыпании песка пластинка под давлением песчинок отклоняется (см. Рис. 2). Точно так же и молекулы газа оказывают давление на стенки сосуда, в котором они находятся.

Рис. 2. Отклонение пластинки под действием давления песка

Рассмотрим график зависимости давления газа на стенки сосуда от времени (см. Рис. 3). На нём видно, что если молекул было бы мало, то наблюдались бы отклонения, так как в какой-то момент в стенку могло бы ударить разное количество молекул, и это ощутимо поменяло бы давление. Но так как в реальности молекул огромное количество, то давление всё время остаётся постоянным.

Рис. 3. График зависимости давления газа на стенки сосуда от времени

Можно сделать вывод, что скорость – это величина, которая характеризует отдельную молекулу, а давление имеет смысл только для большого числа молекул (понятие «давление одной молекулы» совершенно бессмысленно).

Параметры, которые характеризуют каждую молекулу по отдельности, принято называть микропараметрами. К ним относятся:

а)  – скорость отдельной молекулы;

б)  – масса молекулы;

в)  – размеры молекулы;

г)  – импульс.

Параметры, которые характеризуют газ в целом, без детализации на отдельные молекулы, называют макропараметрами. К ним относятся:

а) p – давление;

б) n – концентрация (число частиц в единице объёма);

в) V – объём газа;

г)  – средняя квадратичная скорость;

д) T – температура.

Именно макропараметры измеряются измерительными приборами.

Модель идеального газа оказалась настолько универсальной, что физики применяют её не только для газов, подобных воздуху, но и для электронного газа в металле, для излучения электромагнитных волн и даже для звуковых колебаний в кристаллах. Теория идеального газа позволяет оценить давление и температуру внутри звёзд, результаты таких оценок близки к полученным строгими расчётами.

Список литературы

  1. Мякишев Г.Я., Синяков А.З. Молекулярная физика. Термодинамика. – М.: Дрофа, 2010.
  2. Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. – М.: Илекса, 2005.
  3. Касьянов В.А. Физика 10 класс. – М.: Дрофа, 2010.

Домашнее задание

  1. Идеальным газом называется…
  2. Объясните своими словами содержания понятия «идеальный газ».
  3. Какие макропараметры, характеризующие газ, Вы знаете?
  4. Что такое средняя квадратичная скорость?
  5. Каким ещё способом можно продемонстрировать наличие скорости у молекул газа?

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Источник: https://interneturok.ru/lesson/physics/10-klass/osnovy-molekulyarno-kineticheskoy-teorii/idealnyy-gaz-srednyaya-kvadratichnaya-skorost

3.3. Характерные скорости молекул

Какова средняя арифметическая скорость молекул...

В этом разделе приводятся некоторые следствия, вытекающие из формул (3.29) и (3.30). В качестве примера на рис. 3.3 изображены две кривые, соответствующие распределениям f(v) молекул кислорода O2 по абсолютным величинам скоростей при температурах Т1 = 300 К и Т2 = 1 300 К.

Рис. 3.3. Распределение молекул кислорода по скоростям при разных температурах T1 = 300 К и T2 = 1 300 К

Наиболее вероятная скорость. При бесконечно малых и неограниченно больших значениях скоростей функция распределения стремится к нулю

то есть такие предельные значения скоростей маловероятны в системе. Следовательно, при каком-то значении скорости функция f(v) достигает своего максимума.

Наиболее вероятная скорость vВЕР — это скорость, отвечающая максимальному значению функции распределения.

Ее можно найти, решая уравнение

откуда следует, что

(3.31)

Иными словами, наиболее вероятной называется скорость, вблизи которой на единичный интервал приходится наибольшее число молекул. В этой точке f(v) принимает максимальное значение:

(3.32)

Соотношения (3.31), (3.32) могут быть полезны для анализа изменения функции распределения при изменении температуры газа или при изменении рода газа, то есть массы молекул. Отметим, что как следует из (3.26) – (3.

29), распределение Максвелла зависит не отдельно от массы молекул и отдельно от температуры газа, а от их отношения .

Поэтому распределение не только «буквенно» но и численно одно и тоже, например, для  молекулярного водорода    при температуре  и для гелия    при температуре .

С ростом температуры наиболее вероятная скорость vВЕР (3.31) увеличивается, то есть максимум функции f(v) сдвигается вправо (см. рис. 3.3), Т2 > Т1. При этом f(vВЕР) уменьшается, то есть кривая становится более пологой.

Так же деформируется кривая, если температура постоянна, но масса молекул уменьшается. Напомним, что при любых деформациях функции распределения f(v) площадь под кривыми постоянна и равна единице в соответствии с формулой (3.

30).

Относительное количество молекул, скорость которых превышает некоторое значение v0, определяется выражением

(3.33)

На графике (см. рис. 3.3) этому интегралу соответствует лежащая справа от v0 часть площади (отмечена штриховкой), ограниченная кривой f(v) и осью скоростей. Как видно из рис. 3.3, относительное количество молекул, имеющих скорости, превышающие v0, растет с повышением температуры.

В заключение этого раздела заметим, что во всех формулах для функции распределения и характерных скоростей входит отношение массы молекулы к постоянной Больцмана

Умножая числитель и знаменатель на число Авогадро NA и учитывая, что

— молярная масса газа, a

— универсальная газовая постоянная, мы всюду можем использовать это отношение в наиболее удобной для конкретной задачи форме

Распределение молекул по величинам безразмерной скорости. Если при графическом изображении функции распределения Максвелла (3.

29) по оси абсцисс откладывать скорости молекул v, то форма кривой и положение максимума будут зависеть от массы молекул и от температуры газа.

Но если по горизонтальной оси откладывать отношение скорости к наиболее вероятной скорости, то есть безразмерную скорость

то для всех температур и любых масс молекул (любых газов) получится одна и та же кривая (рис. 3.4).

Рис. 3.4.Распределение Максвелла по величинам безразмерной скорости

Сделав замену переменной

в (3.29) и учитывая, что

получим распределение Максвелла в форме

(3.34)

Эта формула и соответствующий ей график (см. рис. 3.4) удобны для решения многих задач.

Пример. Найдем, какая часть общего числа молекул кислорода имеет при температуре 27 °С скорости, отличающиеся от наиболее вероятной не более, чем на 1 %; а также скорости в интервале 562–572 м/с.

Произведем необходимые вычисления. Чтобы ответить на первый вопрос задачи, учтем, что u = 1 при v = vВЕР. Величина интервала du = 0,02. Следовательно,

Вычислим наиболее вероятную скорость:

Найдем отношение v = 562 м/с к vВЕР = 395 м/с

Определим по кривой (см. рис. 3.4) значение функции f(u) при u = 1,42. Получаем f(u) = 0,62. Ширина интервала Dv = 10 м/с (Du = 10/395 = 0,0253). Следовательно, доля молекул в этом интервале

Интересно отметить, что молекула кислорода проходит за секунду путь, равный в среднем 0,4 км. Но не нужно забывать о соударениях молекул.

Из-за них молекула по прямой движется очень недолго, и ее путь представляет собой ломаную линию.

Поэтому молекула, двигаясь с огромной скоростью по отдельным звеньям ломаной траектории, передвигается от слоя к слою газа со сравнительно небольшой скоростью.

Средняя арифметическая скорость. Знание функции распределения молекул по скоростям f(v) дает возможность найти среднее значение скорости, а также любой величины, являющейся функцией скорости, например квадрата скорости v2 или кинетической энергии молекулы mv2/2.

Средняя арифметическая скорость — это отношение суммы абсолютных величин скоростей всех молекул в системе к числу этих молекул.

Разобьем интервал всех возможных значений скорости от 0 до бесконечности на малые интервалы Dvi. Каждому интервалу соответствует количество молекул

(3.35)

Так как интервалы Dvi, малы, то можно приближенно считать скорости молекул данного интервала одинаковыми и равными vi. Сумма значений скоростей молекул интервала

(3.36)

Сумма значений скоростей всех молекул

(3.37)

Разделив эту сумму на число молекул, получим выражение для средней арифметической скорости

(3.38)

Переходя от суммы к интегралу, получаем

(3.39)

Вычисляя интеграл, получаем среднюю арифметическую скорость молекул

(3.40)

Среднеквадратичная скорость. Чтобы найти среднее значение произвольной функции L(v) скорости, нужно эту функцию умножить на функцию распределения и проинтегрировать по всем возможным значениям скорости:

(3.41)

В частности, при L(v) = v отсюда находится .

Среднее значение квадрата скорости равно отношению суммы квадратов скоростей всех молекул системы к общему числу молекул. Таким образом,

(3.41)
Среднеквадратичная скорость это корень квадратный из среднего значения квадрата скорости молекул

Следует отметить, что характерные скорости отличаются друг от друга лишь численными множителями, причем

(3.43)

а зависимость от Т и m0 (или m) у них одинаковая.

Через среднеквадратичную скорость выражается средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул

(3.44)

Этот результат находится в согласии с формулой (1.14) кинетической теории идеальных газов и с законом о равнораспределении энергии, который гласит, что на каждую степень свободы молекулы приходится энергия kBТ/2.

Три степени свободы поступательного движения молекулы как раз соответствуют полученному здесь результату (3.44). В сущности, именно для того, чтобы получить такое соответствие, мы выбрали должным образом коэффициент α в (3.

26).

Эксперимент по проверке распределения Максвелла. Необходимо еще раз подчеркнуть, что установленный Максвеллом закон распределения молекул по скоростям и все вытекающие из него следствия справедливы только для газа, находящегося в равновесии.

Закон справедлив для любого числа молекул N, если только это число достаточно велико. Закон Максвелла — статистический, а законы статистики выполняются тем точнее, чем к большему числу одинаковых объектов они применяются. При малом числе объектов могут наблюдаться значительные отклонения от предсказанной статистики — флуктуации.

Экспериментальное определение распределения скоростей молекул было осуществлено впервые О. Штерном в 1920 г. Исследовалось распределение по скоростям одноатомных молекул паров металлов (Ag или Pt), из которых была изготовлена нить, расположенная на оси двух цилиндров. Нить нагревалась электрическим током, и металл испарялся (см. рис 3.5).

Рис. 3.5 Схема опыта Штерна: 1 — вид установки сбоку; 2 — вид установки сверху

Молекулы, прошедшие через щель во внутреннем цилиндре, летели по прямой и оседали на стенке холодного внешнего цилиндра.

Если привести всю установку во вращение (щель все время против точки В0), то молекулы, обладающие большой скоростью v, попадут в некоторую точку вблизи В0, а более медленные затратят на путь больше времени и попадут в точки, отстоящие дальше от В0.

Следует обратить внимание, что вылетающие молекулы движутся по прямой, они не участвуют во вращательном движении. Поскольку молекулы в зависимости от скорости попадают в разные точки внешнего цилиндра, то исследуя толщину слоя металла, осевшего на его стенку, можно составить представление о распределении молекул по скоростям.

Найдем распределение молекул по расстояниям S от точки В0 до места их попадания на стенку цилиндра. Если R и r — радиусы большого и малого цилиндров, соответственно (см. рис.), то время полета от щели до стенки цилиндра

За это время цилиндр повернется на угол

где ω — угловая скорость вращения установки. Соответственно, точка попадания будет смещена относительно В0 на расстояние

Подставляя сюда время полета, получаем связь скорости молекулы с расстоянием S:

Подставляя, в свою очередь, полученное выражение в распределение Максвелла и учитывая, что

находим распределение молекул по расстояниям S:

(мы опускаем выражение для нормировочной постоянной С).

Опыты Штерна подтвердили справедливость закона, установленного Максвеллом.

Источник: https://online.mephi.ru/courses/physics/molecular_physics/data/course/3/3.3.1.html

ПОИСК

Какова средняя арифметическая скорость молекул...
    Вычислить среднюю квадратичную скорость движения молекул водорода при 20° С. При какой температуре средняя арифметическая скорость движения молекул достигнет згой величины  [c.14]

    Средняя арифметическая скорость молекул [c.281]

    При какой температуре средняя арифметическая скорость движения молекул оксида углерода будет равна 900 м/с  [c.14]

    Средняя арифметическая скорость молекулы газа (йа)  [c.37]

    Пример. Вычислить среднюю арифметическую скорость движения молекул кислорода при 600°С (873 К). [c.14]

    Вычислите среднюю арифметическую скорость молекул кислорода при 873 К- При какой температуре такую же скорость будут иметь люлекулы гелия  [c.128]

    Вычислить среднюю арифметическую скорость движения молекул хлора при 0°С. [c.14]

    Различают две средние скорости среднюю арифметическую и и среднюю квадратичную и. П сть скорость отдельных молекул [c.22]

    Разница между этими скоростями, как видно из тех же соотношений, довольно значительна средняя арифметическая скорость меньше средней квадратичной примерно на 8%, а наиболее вероятная скорость меньше средней арифметической примерно на 11%.

Средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул газа может быть вычислена при любой температуре, исходя из основного уравнения кинетической теории идеальных газов. Так, применяя уравнение (1,5) к одному килолк) ю газа, получим [c.

23]

    Вывод соотношений для зависимостей величин средней длины свободного пробега молекул и средней арифметической скорости молекул с , в многокомпонентной газовой смеси от ее состава осуществляется с позиций молекулярно-кинетической теории. [c.50]

    В формулах кинетической теории газов используются всегда средние значения скоростей теплового движения причем если имеет значение только скорость молекулы, учитывается средняя арифметическая скорость, а когда имеет значение кинетическая энергия, учитывается средняя квадратичная скорость. [c.22]

    Напишите уравнение, при помощи которого можно рассчитать число двойных соударений между молекулами в единицу времени в единице объема, если столкновения происходят между однородными молекулами. При записи пользуйтесь обозначениями а —диаметр молекулы SJ —средняя арифметическая скорость движения молекул п — число молекул в единице объема. [c.76]

    Сравнить между собой средние арифметическую и квадратичную скорости движения молекул водяного пара при 127° С. [c.14]

    Выразим с помощью (49) и (56) среднюю арифметическую скорость молекул через среднюю квадратичную скорость [c.151]

    Скорости движений отдельных молекул газа могут колебаться в широком интервале (теоретически от нуля до весьма высоких скоростей). В самом деле при ряде неблагоприятных столкновений молекула может на мгновение потерять скорость, а в последующие мгновения приобрести высокую скорость, если тому будут способствовать благоприятные удары со стороны других молекул. Однако для данной температуры характерна некоторая средняя скорость движения газовых молекул. Различают две средние скорости среднюю арифметическую и среднюю квадратичную. [c.235]

    При каких температурах средняя арифметическая и средняя квадратичная скорости движения молекул аммиака достигнут 600 м/с  [c.15]

    Молекулы газа, непрерывно сталкиваясь друг с другом и со стенками сосуда, движутся с различными скоростями (мь иг, из,. .., Ып) и распределяются по скоростям движения в соответствии с законом распределения Максвелла.

В кинетической теории газов пользуются величинами средней арифметической йа н средней квадратичной скорости м. Средние скорости ма и м зависят от природы газа, изменяются с температурой и вычисляются по формулам [c.

13]

    В определении средней арифметической скорости молекул для смеси использованы значения средних арифметических скоростей для каждого компонента, равные таковым для чистых газов.

Это оказывается возможным потому, что для смеси функция распределения молекул по скоростям в равновесии такая же, как и для чистых газов, т.е. распределение Максвелла-Больцмана устойчиво в вероятностном смысле [5,8].

Эго можно [c.52]

    Кроме скоростей да акс и ш, дл расчетов иногда надо знать среднюю арифметическую скорость w молекул системы  [c.219]

    При какой темперктуре средняя арифметическая скорость движения молекул водорода станет равной 1500 м/с  [c.14]

    Здесь (а — средняя скорость движения молекул. Обычно под и понимают среднюю арифметическую скорость, но иногда берут среднеквадратичную. В зависимости от этого численные коэффициенты в формуле (Х.2) могут несколько различаться. [c.271]

    Если считать, что молекула движется с некоторой средней арифметической скоростью и при этом сталкивается с другими молекулами, то длина свободного пробега будет равна скорости, деленной на число столкновений в единицу времени. [c.18]

    Скорость поступательного движения молекул газа./. Средняя скорость поступательного движения молекул газа.

Поступательное движение молекул газа при любой температуре характеризуется тремя скоростями средней квадратичной н, средней арифметической Мд и наиболее в оятной б .

Последняя представляет собой такую скорость, которую имеет наибольшее число молекул газа при данной температуре. Связь между этими тремя скоростями выра- [c.22]

    Вычислите для гелия, находящегося в условиях, приведенных в задаче 8, среднюю арифметическую скорость молекул и и коэффициент вязкости Т]. [c.133]

    Остается найти значение средней арифметической скорости молекул в неравновесных условиях. Для этого можно воспользоваться распределением молекул по скоростям в молекулярном пучке, функция которого известна [8] и отлична от максвелловского распределения  [c.55]

    Перенос газовых смесей через микропористые среды под влиянием градиента полного давления происходит диффузионным путем вследствие неравенства частот соударения отдельных молекулярных частиц со стенками пор.

Из кинетической теории газов следует, что величины средней кинетической энергии компонентов газовой смеси в изотермических условиях равны. Следовательно, в пределах перегородки должно произойти отделение быстрой легкой молекулы г от соседней с ней медленной тяжелой молекулы /.

Средняя арифметическая скорость молекул компонента I в максвелловском газе иг = 1/ 8№7лЖ,-. Аналогичную формулу можно написать для молекул компонента /. Тогда  [c.614]

    Рассмотрим случаи разделения через микропористую перегородку. При данных температуре и давлении в каждой фазе будут иметь. место определенные равновесные концентрации. Между концентрациями компонентов по обе стороны перегородки и средними арифметическими скоростями движения их молекул существует зависимость  [c.615]

    Предположим, что все молекулы, за исключением одной, остановились, а движущаяся молекула обладает удвоенной средней арифметической скоростью 2ьт- Если вместо молекулы движется диск, радиус которого равен диаметру молекулы, то в 1 с диск вырежет в пространстве объем, равный 2лii 0m. В этом объеме может содержаться 2лй ЬтП молекул. [c.18]

    Известно, что средняя скорость молекул в заданном направлении, в частности в направлении х, состазляет 1/4 от средней арифметической скорости с Гб-8], т.е. [c.55]

Источник: https://www.chem21.info/info/862743/

Biz-books
Добавить комментарий