Как определить угловое ускорение колеса

§ 4. Угловая скорость и угловое ускорение

Как определить угловое ускорение колеса

Рассмотримтвердое тело, которое враща­етсявокруг неподвижной оси. Тогда от­дельныеточки этого тела будут описыватьокружности разных радиусов, центрыко­торых лежат на оси вращения. Пустьне­которая точка движется по окружностирадиуса R(рис.6).

Ее положение через промежуток времениtзададимуглом .Элементарные (бесконечно малые) углыповорота рассматривают как векторы.

Мо­дуль вектора dравенуглу поворота, а его направление совпадаетс направле­нием поступательногодвижения острия винта, головка котороговращается в на­правлении движенияточки по окружности, т. е. подчиняетсяправилуправого, винта (рис.6).

Векторы, направления которых связываютсяс направлением вращения, называютсяпсевдовекторамиилиакси­альнымивекторами. Этивекторы не имеют определенных точекприложения: они мо­гут откладыватьсяиз любой точки оси вращения.

Угловойскоростью называетсявектор­ная величина, равная первойпроизводной угла поворота тела повремени:

Вектор«в направлен вдоль оси вращения поправилу правого винта, т. е. так же, каки вектор d(рис. 7). Размерность угловой скоростиdim=T-1,a .ее единица — радиан в секунду (рад/с).

Линейная скоростьточки (см. рис. 6)

В векторном видеформулу для линейной скорости можнонаписать как вектор­ное произведение:

Приэтом модуль векторного произведе­ния,по определению, равен

,анаправление совпадает снаправлениемпоступательного движения правого винтапри его вращении от к R.

Если=const,товращение равномер­ное и его можнохарактеризовать перио­домвращения Т—временем, за которое точка совершаетодин полный оборот, т. е. поворачиваетсяна угол 2.Так как промежутку времени t=Tсоответствует =2,то =2/Т,откуда

Числополных оборотов, совершаемых телом приравномерном его движении по окружности,в единицу времени называет­ся частотойвращения:

Угловымускорением называетсявек­торная величина, равная первойпроизвод­ной угловой скорости повремени:

При вращении телавокруг неподвижной оси вектор угловогоускорения направлен вдоль оси вращенияв сторону вектора элементарногоприращения угловой ско­рости. Приускоренном движении вектор

13

 сонаправленвектору (рис.8),при замедленном.— противонаправленему (рис. 9).

Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальнаясоставляющая ускорения

Такимобразом, связь между линейны­ми (длинапути s,пройденноготочкой по дуге окружности радиуса R,линейнаяско­рость v,тангенциальноеускорение а,нор­мальное ускорение аn)и угловыми величи­нами (угол поворота,угловая скорость (о, угловое ускорение)выражается сле­дующими формулами:

Вслучае равнопеременного движения точкипо окружности (=const)

где0— начальная угловая скорость.

Контрольныевопросы

• Чтоназывается материальной точкой? Почемув механике вводят такую модель?

• Чтотакое система отсчета?

• Чтотакое вектор перемещения? Всегда лимодуль вектора перемещения равен отрезкупути,

пройденному точкой?

• Какоедвижение называется поступательным?вращательным?

• Дать определения векторов средней скорости и среднего ускорения, мгновенной скорости

и мгновенногоускорения. Каковы их направления?

• Что характеризует тангенциальная составляющая ускорения? нормальная составляющая

ускорения? Каковыих модули?

• Возможныли движения, при которых отсутствует нормальное ускорение? тангенциальное

ускорение? Приведитепримеры.

• Чтоназывается угловой скоростью? угловымускорением? Как определяются ихнаправления?

• Каковасвязь между линейными и угловымивеличинами?

Задачи

1.1. Зависимостьпройденного телом пути от временизадается уравнением s= Att2+Dt3(С= 0,1 м/с2,D= 0,03 м/с3).Определить: 1) через какое время посленачала движения ускорение а тела будетравно 2 м/с2;2) среднее ускорение тела за этот промежуток времени. [ 1) 10с; 2) 1,1 м/с2]

1.2. Пренебрегая сопротивлением воздуха,определить угол, под которым тело брошенок гори­зонту, если максимальная высотаподъема тела равна 1/4 дальности егополета. [45°]

1.3. Колесорадиуса R=0,1 м вращается так, что зависимостьугловой скорости от времени задаетсяуравнением = 2At+5Вt4(A=2рад/с2и B=1рад/с5).Определить полное ускорение точек ободаколеса через t=1с после начала вращения и число оборотов,сделан­ных колесом за это время. [а =8,5 м/с2;N= 0,48]

14

1.4. Нормальное ускорение точки, движущейсяпо окружности радиуса r=4м,задается уравнением аn+-Bt+Ct2(A=1м/с2,В=6м/с3,С=3м/с4).Определить: 1) тангенциальное ускорениеточки; 2) путь, пройденный точкой за времяt1=5с после начала движения; 3) полноеускорение для момента времени t2=1с. [ 1) 6 м/с2;2) 85 м; 3) 6,32 м/с2]

1.5. Частотавращения колеса при равнозамедленномдвижении за t=1минуменьшилась от 300 до 180 мин-1.Определить: 1) угловое ускорение колеса;2) число полных оборотов, сделанныхколесом за это время. [1)0,21 рад/с2;2) 360]

1.6.

Дискрадиусом R=10см вращается вокруг неподвижной оситак, что зависимость угла поворотарадиуса диска от времени задаетсяуравнением =A+Bt+Ct2+Dt3(B= l рад/с,С=1рад/с2,D=lрад/с3).Определить для точек на ободе колеса кконцу второй секунды после началадвижения: 1) тангенциальное ускорениеа;2) нормальное ускорение аn;3) полное ускорение а. [ 1) 0,14 м/с2;2) 28,9 м/с2;3) 28,9 м/с2]

Источник: https://studfile.net/preview/3896090/page:3/

Угловая скорость и угловое ускорение

Как определить угловое ускорение колеса

Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис. 6).

Ее положение через промежуток времени Dr зададим углом Dj. Элементарные (бесконечно малые) повороты можно рассматривать как векторы (они обозначаются или ).

Модуль вектора равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого винта (рис. 6).

Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т. е. так же, как и вектор (рис. 7). Размерность угловой скорости , а ее единица — радиан в секунду (рад/с).

Рис. 6 Рис. 7

Линейная скорость точки (см. рис. 6)

.

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение:

При этом модуль векторного произведения, по определению, равен еаКяп(шК) а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к R.

Если w =const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е поворачивается на угол 2p. Так как промежутку времени Dt = Т соответствует Dj = 2p, то w = 2p/Т,откуда

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении пс окоужности, в единицу времени называется частотой вращения:

откуда

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальная составляющая ускорения

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлю вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору (рис. 8), при замедлен ном — противонаправлен ему (рис. 9).

Рис. 8 Рис. 9

Таким образом, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение аt, нормальное ускорение аn) и угловыми величинами (угол поворота j, угловая скорость w, угловое ускорение e) выражается следующими формулами:

В случае равнопеременного движения точки по окружности (e—const)

где w0 — начальная угловая скорость.

Задачи

1.1.Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s=A+Bt+Ct2+Dt3(С=0,1 м/с2, D=0,03 м/с3). Определить: 1) время после начала движения, через которое ускорение а тела будет равно 2 м/с2;

2) среднее ускорение тела за этот промежуток времени. [1) 10 с; 2) 1,1 м/с2]

1.2. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить угол, под которым тело брошено к горизонту, если максимальная высота подъема тела равна 1/4 дальности его полета. [45°]

1.3.Колесо радиусом R = 0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением w= 2At + 5Bt4 (А = 2 рад/с2 и В = 1 рад/с5). Определить полное ускорение точек обода колеса через t = 1 с после начала вращения и число оборотов, сделанных колесом за это время. [а=8,5 м/с2; N = 0,48]

1.4.Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом г=4 м, задается уравнением an=A+Bt+Ct2 (A = 1 м/с2, B = 6 м/с2, С = 3 м/с2). Определить: 1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время t1=5 с после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени t2=1 с. [1) 6 м/с2; 2) 85 м; 3) 6,32 м/с2]

1.5.Частота вращения колеса при равнозамедленном движении за t = 1 мин уменьшилась от 300 до 180 мин-1. Определить: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время. [1) 0,21 рад/с2; 2) 240]

1.6.Диск радиусом R=10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением j=A+3t+Ct2+Dt3 (B = 1 рад/с, С = 1 рад/с2, D = 1 рад/с3).

Определить для точек на ободе колеса к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение %; 2) нормальное ускорение аn; 3) полное ускорение а.

[1) 1,4 м/с2; 2) 28,9 м/с2; 3) 28,9 м/с2]

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/4_109713_uglovaya-skorost-i-uglovoe-uskorenie.html

�.�. ���������

Как определить угловое ускорение колеса
      ��� ��� ����������, ������������ ��������� ��������� �������� ���� ������ ����������� ��� ���������� ����� ��� ��������, ��� ������� ��� ����� ���� �������� � ����������, ���������������� � ����������� ������, ���������� ���� ��������, � ��������� ����������, ������ ������� ����� �� ���� ���.

      ���������� ������� ����, ������� ��������� ������ ����������� ��� (���. 1.6). ����� ��������� ����� ����� ���� ����� ��������� ���������� ������ ��������, ������ ������� ����� �� ��� ��������. ����� ��������� ����� �������� �� ���������� ������� R.

�� ��������� ����� ���������� ������� Δt ������� ����� Δφ.

      ������� ��������� �������� ���������� ������, �������� ������ ������ ����������� ���� �������� ���� �� ������� � ������������ ����� ��� �������� �� ������� ������� �����:

                                                                                   (1.18)

      ������� ��������� ������� �������� ������ � ������� (���/�).

      ����� �������, ������ ω ���������� ����������� � �������� ��������. ���� ω=const, �� �������� ���������� �����������.

      ������� �������� ����� ���� ������� � �������� ��������� υ ������������ ����� . ����� �� ����� Δt ����� �������� �� ���� ���������� ����� ���� Δs. ����� �������� �������� ����� ����� �����:

                   (1.19)

      ��� ����������� �������� ��� ����� ���������������� �������� �������� � ��������, �� ������� ����� ���� ��������� ���� ������ ������, �.�. �������������� �� ���� 2π:
      ����� ������ ��������, ����������� ����� ��� ����������� �������� �� ����������, � ������� ������� ���������� �������� ��������:
������
      ��� �������������� �������������� �������� ���� �������� ������� �������� ���������. ������� ���������� ���������� ��������� ��������, ������ ������ ����������� ������� �������� �� �������:

                                                                                                             (1.20)

      ��� �������� ���� ������ ����������� ��� ������ �������� ��������� ��������� ����� ��� �������� � ������� ������� ������� �������� (���. 1.7); ��� ���������� �������� ������ ε ��������� � �� �� �������, ��� � ω (dω/dt > 0), � � ��������������� ������� ��� ����������� �������� (dω/dt < 0).

      ������� �������������� � ���������� ������������ ��������� ����� A ������������ ���� ����� ������� �������� � ������� ���������:

                   (1.21)

                                           (1.22)

      � ������ ���������������� �������� ����� �� ���������� (ε=const):
��� ω0 — ��������� ������� ��������.       �������������� � ������������ �������� �������� ���� �������� ���� ����������� ������ ��� ��������. � ����� ������ �������� �������� ���� ����� ���� ������ �������. ������ � ������������� �������� ������������, ��� ����� ������� �������� �������� ���� ����� ����������� ��� ������������ ��������������� � ������������� ��������.       �������������� ��������� ��������������� � ������������� �������� ������� � ����. 1.1.

������� 1.1

       ������� ������

  • ����� ������, ������� ������� �������������� ������������� �������� � �������, ���������� ��� ���������� ��� ��������, ���������� ���������. ������������ �������� (�������� �������-�������) ������� ������ �������� ���������������� ���, �������� ������� ���� �� ��������� �� ��������� ����� � �������.
  • ���������� � ������ ��������, ��������� �������� �������� �������� �������� ��� ��� ������������ ������, �������� ��� �������� �����������.
  • � �������� ��� �������� �������� ��� � ����������� �� ������� ���������� ����� ������������ ��������� ���������� ������: ������������ �����, ��������� ������� ����, ��������� ������� ����, ��������� ��������� ����.
  • �������� ��� ���������� � ������������ � �� �������. ������� ��� �������� �������� ������������ ����� ���� �����, � ����� ������ ������������ ��� ����� ���������� � � ����� ������� ������� ��� ��������� �� ��� ���� ���������. ������������ ���� �������, ��������� � ��� ������� ��������� � ������������������ ����� ����� ����� ���������� �������� �������.
  • ������ Δr=r-r0, ����������� �� ���������� ��������� ���������� ����� � ��������� �� � ������ ������ ������� ���������� �������� �����������. �����, ����������� ���������� ������������ ������ (�����) ������������ ��������� ������� ������� ���������� ����������� ��������. � ����������� �� ����� ���������� ��������� �������������������������� ��������. ����� ������� ����������, ����������� ������������ ������ �� ������ ���������� �������, ���������� ������ ����.
  • �������� � ��� ��������� ���������� ��������, ������� ������������� �������� �������� � ��� ����������� � ������ ������ �������. ���������� �������� ������������ ������ ����������� �������-������� ���������� ����� �� �������: ������ ���������� �������� ��������� �� ����������� � ���������� � ������� ��������. ������ ���������� �������� ������������ ����� ����� ������ ����������� ����� �� ���� �� �������:
  • ��������� � ��������� ���������� �������� ��� �������������� �������������� ��������. ��� ���������� �������� ��������� �������� �� ������ � �����������. ���������� ��������� — ��������� ��������, ������ ������ ����������� �������� �� �������:�������������� ������������ ��������� ������������� �������� ��������� �������� �� �������� (���������� �� ����������� � ���������� ��������):���������� ������������ ��������� ������������� �������� ��������� �������� �� ����������� (���������� � ������ �������� ����������):������ ��������� ��� ������������� �������� � �������������� ����� �������������� � ���������� ������������:
  • ��������� ��������, ������������ ������ ����������� ���� �������� ���� �� �������, ���������� ������� ���������: ������ ω ��������� ����� ��� �������� �� ������� ������� �����.
  • ��� ����������� �������� �����, �� ������� ����� ���� ��������� ���� ������ ������, �.�. �������������� �� ���� 2π, ���������� �������� ��������:������� �������� � ����� ������ ��������, ����������� ����� ��� ����������� ��� �������� �� ���������� � ������� �������:
  • ������� ��������� � ��� ��������� ���������� ��������, ������������ ������ ����������� ������� �������� �� �������: ��� ���������� �������� ���� ������ ����������� ��� ������ ε ����������� �������ω, ��� ����������� � ���������������� ���.
  • ����� ����� ��������� (����� ���� s, ����������� ������ �� ���������� ������� R, �������� �������� v, �������������� ��������� , ���������� ��������� an) � �������� ���������������� (���� �������� φ, ������� �������� ω, ������� ��������� ε) ���������� ���������� ���������:

      ������� ��� ������������ � ����������

  1. ��� �������� ��������� �������� ��������? ������ ��������� ��������?
  2. ��� ����� ���������� ������? ����� ���������� ������ ���������� �������� ��� �������� �������� ������������ ��������?
  3. ��� ������������ ����� ������� �������? ��� ���������� �������� �����������?
  4. ����� �������� ���������� ��������������? ������������?
  5. ��� ������������� �������� � ���������? ����� ����������� ������� �������� � �������� ���������, ���������� �������� � ����������� ���������.
  6. ��������� ��������� ���������� �������� ����, ���������� ������������� �� ��������� v0 � ��������� ������. ������������� ������� �� ���������.
  7. ��� ������������� �������������� � ���������� ������������ ���������? ������ �� ������?
  8. ��� ����� ���������������� �������� � ����������� �� �������������� � ���������� ������������ ���������?
  9. ��� ���������� ������� ��������� � ������� ����������? ��� ������������ �� �����������?
  10. ������ ��������� ������� ����� ����� �������� � ������� �������������� ��������?

      ������� ������� �����

      ������ 1. ����������� �������������� �������, ���������� ����, ��� ������� ���� ������� � ���������, ���� ������������ ������ ������� ���� ����� 1/4 ��������� ��� ������ (���. 1.8).

      ����: h = 1/4s.
      �����: α.
�������       ������������ ��������� �������� ���� v0x = v0cosα, v0y = v0sinα;
      �����: α=450.

      ������ 2. ���� ��������� ������ ����������� ��� �� ������, ����������� �������� φ = 10 + 20t — 2t2. ����� �������� ������� ��������� �����, ����������� �� ���������� 0,1 � �� ��� �������� ��� ������� ������� t=4 � (���. 1.9).

      ����: φ = 10 + 20t — 2t2; R=0,1 �; t=4 �.
      �����: a.

�������

      �����: � = 1,65 �/�2.

      ������ ��� ���������������� �������

  1. �������� ���� ������������ ����� ����������� ���������� �����������: x1 = 20 + 2t — 4t2x2 = 2 + 2t + 0,5t2. � ����� ������ ������� �������� ���� ����� ����� �����������? ���� ����� �������� � ��������� ����� � ���� ������?
  2. � ������ 1000 � ������ ���� ��� ��������� ��������. ������������ � ������ 1100 � ������ ������ ���� � ��������� ��������� ���������. ��� ���� ��������� ����� � ���� � ��� �� ������ �������. ����������� �������������� �������, ����� ��������� �������� ������� ����.
  3. ������������ ������� ������ ����� ���� �� ��������� 10 �/�, ����� �������� ���� �� ��������� 6 �/� � ���������� ����� ���� �� ��������� 2 �/�. ���� ����� ������� �������� �������������?
  4. ��� ������� �� ��������� 10 �/� �� ����� 400 � ���������. �� �������� ������������� �������, �����: �) �� ����� ������ ���������� ���? �) �� ����� ���������� �� ����� �������� ��� ������ �� �����? �) ������� ������� ��� ����� � ��������?
  5. ������, ��������� �������������, ���� �� ����� ����� 0,5 � �� ���������� 5 � �� ����������� �� ����� ��������. �� �������� ������������� �������, ����������: �) � ����� ������ ������ ������? �) ���� ����� ��������� �������� �����? �) � ����� ��������� ������ ���� �� �����? �) ����� ���� ���������� ���������� ����� � ���������� � ����� ��� ������� �� �����?
  6. ������ �������� R=0,1 � ��������� ���, ��� ����������� ������� �������� �� ������� �������� ���������� ω = 2At + 5Bt4, ��� =2 ���/�2 � �=1 ���/�5. ���������� ������ ��������� ����� ����� ������ ����� t=1 � ����� ������ �������� � ����� ��������, ��������� ������� �� ��� �����.
  7. ������� �������� ������ ��� ���������������� �������� �� t=1 ��� ����������� �� 300 �� 180 ��/���. ����������: �) ������� ��������� ������; �) ����� ������ ��������, ��������� ������� �� ��� �����.
  8. ���� �������� R=10 �� ��������� ������ ����������� ��� ���, ��� ����������� ���� �������� ������� ����� �� ������� �������� ���������� φ = A + Bt + Ct2 + Dt3 ( = 1 ���/�, = 1 ���/�2, D = 1 ���/�3). ���������� ��� ����� �� ����� ������ � ����� ������ ������� ����� ������ ��������: �) �������������� ���������; �) ���������� ���������; �) ������ ���������.
  9. ������, �������� ��������������, �������� ������� �������� 20 ���/� ����� 10 �������� ����� ������ ��������. ����� ������� ��������� ������.
  10. ������, �������� ��������������, ������ 1 ��� ����� ������ �������� ����������� ��������, ��������������� ������� 720 ��/���. ����� ������� ��������� ������ � ����� �������� �� ��� ������.

Источник: http://csfm.volgatech.net/elearning/Nurgaliev/text/1.3.html

Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях – решение задачи

Как определить угловое ускорение колеса

Приводятся основные законы и формулы, применяемые при решении задач на определение скоростей и ускорений точек твердого тела при вращательном движении вокруг неподвижной оси.

Рассмотрен пример подробного решения задачи. В ней дан механизм, состоящий из колес, рейки и груза, соединенных нитями и зубчатой передачей.

Требуется найти скорости и ускорения точек, принадлежащих звеньям этого механизма.

Рассмотри твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z. Сделаем рисунок. Ось вращения направим перпендикулярно плоскости рисунка, на нас. Пусть φ – угол поворота тела вокруг оси, отсчитываемый от некоторого начального положения.

За положительное направление выберем направление против часовой стрелки. Угловая скорость ω равна производной угла поворота по времени t:
.
При , тело вращается против часовой стрелки; при – по часовой.

Вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости рисунка. При он направлен на нас; при – от нас.

Угловое ускорение ε равно производной угловой скорости по времени:
.
Вектор углового ускорения также направлен перпендикулярно плоскости рисунка. При он направлен на нас; при – от нас.

Скорость точки при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим точку A, принадлежащую твердому телу. Опустим из нее перпендикуляр OA на ось вращения. Пусть – расстояние от точки до оси. Траекторией движения точки A является окружность (или дуга) с центром в точке O радиуса .

Абсолютное значение скорости точки A определяется по формуле:
.
Вектор скорости направлен по касательной к траектории (окружности), перпендикулярно отрезку OA. При этом вектор должен производить закручивание в ту же сторону, что и вектор угловой скорости .

Касательное (или тангенциальное) ускорение точки A определяется аналогично скорости:
.
Оно направлено по касательной к окружности, перпендикулярно OA. При этом вектор должен производить закручивание в ту же сторону, что и вектор углового ускорения .

Ускорение точки при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси

Нормальное ускорение всегда направлено к центру окружности и имеет абсолютную величину
.

Полное ускорение точки A, или просто ускорение, равно векторной сумме касательного и нормального ускорений:
.
Поскольку векторы и перпендикулярны, то абсолютная величина ускорения точки A определяется по формуле:
.

Поступательное прямолинейное движение

Теперь рассмотрим прямолинейное поступательное движение тела. Направим ось x вдоль его линии движения. Пусть s есть перемещение тела вдоль этой оси относительно некоторого начального положения. Тогда скорость движения всех точек тела равна производной перемещения по времени:
.
При , вектор скорости направлен вдоль оси x. При – противоположно этой оси.

Ускорение точек тела равно производной скорости по времени, или второй производной перемещения по времени:
.
При , вектор ускорения направлен вдоль оси x. При – противоположно.

Соприкосновение тел без проскальзывания

Рассмотрим два тела, находящиеся в зацеплении без проскальзывания. Пусть точка A принадлежит первому телу, а точка B – второму.

И пусть, в рассматриваемый момент времени, положения этих точек совпадают. Тогда, если между телами нет проскальзывания, то скорости этих точек равны:
.

Если каждое из тел вращается вокруг неподвижной оси, то равны соответствующие касательные ускорения:

.

Если одно из тел движется поступательно (пусть это второе тело), то ускорение его точек равно касательному ускорению точки соприкосновения первого тела:

.

Пример решения задачи

Условие задачи

Механизм состоит из ступенчатых колес 1, 2, 3, находящихся в зацеплении и связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес.

Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1 – r1 = 2 см, R1 = 4 см, у колеса 2 – r2 = 6 см, R2 = 8 см, у колеса 3 – r3 = 12 см, R3 = 16 см. На ободьях колес расположены точки A, B и C. Задан закон движения груза: s5 = t3 – 6t (см).

Положительное направление для s5 – вниз.

Определить в момент времени t = 2 скорости точек A, C; угловое ускорение колеса 3; ускорение точки B и ускорение рейки 4.

Эта задача – на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что проскальзывание в ременной передаче и в точках сцепления колес отсутствует. То есть скорости точек колес, находящихся в зацеплении равны, а скорости точек ремня равны скорости точек, лежащих на ободе колес, связанных ременной передачей.

Дано:
t = 2 с; r1 = 2 см, R1 = 4 см; r2 = 6 см, R2 = 8 см; r3 = 12 см, R3 = 16 см; s5 = t3 – 6t (см).

Решение

Груз 5 совершает поступательное движение. Поэтому скорости (и ускорения) всех его точек равны. В условии задачи задано смещение s груза относительно некоторого начального положения. Дифференцируя по времени t, находим зависимость скорости точек груза от времени:
. Дифференцируя скорость груза по времени, находим зависимость ускорения груза от времени:

.

Находим скорость и ускорение груза в заданный момент времени :
см/с;
см/с2.

Определение угловых скоростей и ускорений колес

Решение задачи

Груз 5 связан нитью с внутренним ободом колеса 3. Поэтому скорости точек внутреннего обода колеса 3 равны скорости груза:
. Отсюда находим угловую скорость колеса 3 для произвольного момента времени:

.

Здесь подразумевается, что и являются функциями от времени t. Дифференцируя по t, находим угловое ускорение колеса 3:
.
Находим значения угловой скорости и углового ускорения в момент времени с. Для этого подставляем найденные значения и при с:
с–1;
с–2.

Рассмотрим колесо 2. Его внутренний обод связан нитью с внешним ободом колеса 3. Поэтому скорости точек на этих ободьях равны:
. Отсюда
. Дифференцируя по времени, находим угловое ускорение колеса 2 в произвольный момент времени:

.

Подставляем значения для с:
с–1;
с–2.

Рассмотрим колесо 1. Его внутренний обод находится в зацеплении с внешним ободом колеса 2. Поэтому скорости точек на этих ободьях равны:
. Отсюда
. Дифференцируя по времени, находим угловое ускорение колеса 1 в произвольный момент времени:

.

Подставляем значения для с:
с–1;
с–2.

Итак, мы нашли:
ω1 = 5.3333 с–1, ω2 = 1.3333 с–1, ω3 = 0.5 с–1, ε1 = 10.6667 с–2, ε2 = 2.6667 с–2, ε3 = 1 с–2.

Определение скоростей точек A и C

Точка A лежит на окружности радиуса R1 с центром в точке O1, расположенной на оси вращения. Поэтому скорость этой точки направлена по касательной к окружности и по абсолютной величине равна
см/с.

Точка C лежит на окружности радиуса R3 с центром O3 на оси вращения. Скорость этой точки:
см/с.

Определение ускорения точки B

Точка B лежит на окружности радиуса R2 с центром O2, расположенном на оси вращения. Касательное (или тангенциальное) ускорение этой точки направлено по касательной к окружности в сторону, на которую указывает угловое ускорение (по часовой стрелке). По абсолютной величине оно равно
см/с2.

Нормальное ускорение всегда направлено к центру окружности. По абсолютной величине оно равно
см/с2.

Полное ускорение равно векторной сумме касательного и нормального ускорений:
. Поскольку касательное ускорение перпендикулярно нормальному, то для абсолютной величины полного ускорения имеем:

см/с2.

Определение ускорения рейки 4

Рейка 4 движется поступательно по направляющим. Она находится в зацеплении с внешним ободом колеса 1. Поэтому ее скорость равна скорости точек внешнего обода колеса 1:
. Дифференцирую по времени, получаем ускорение рейки в произвольный момент времени:

.

Подставляем численные значения для момента времени t = 2 с:
см/с2.

Ответ

см/с;   см/с;   с–2;   см/с2;   см/с2.

Олег Одинцов.     : 25-10-2019

Источник: https://1cov-edu.ru/termeh/kinematika/tela/opredelenie-skorostej-i-uskorenij-pri-vraschatelnom-dvizhenii/

Угловое ускорение

Как определить угловое ускорение колеса

Система понятий кинематики включает в себя также такую величину как угловое ускорение тела. Дадим ей определение, рассмотрим основные аспекты с использованием примеров.

Основные понятия

Определение 1

Угловое ускорение – величина, характеризующая изменение скорости с течением времени.

Пусть рассматриваемый промежуток времени это: Δt=t1-t, а изменение угловой скорости составит Δω=ω1-ω, тогда числовое значение среднего углового ускорения за тот же интервал времени: ε=∆ω∆t=ε. Перейдем к пределу, когда Δt>0, тогда формула углового ускорения будет иметь вид: ε=lim∆t→0∆ω∆t=dωdt=d2φdt=ω˙=φ¨.

Определение 2

Числовое значение ускорения в заданный момент времени есть первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени.

Размерность углового ускорения 1T2 (т.е. 1время2). Укажем также, в чем измеряется угловое ускорение: за единицу измерения стандартно принимается рад/с2 или иначе: 1с2(с-2).

Определение 3

Ускоренное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) возрастает с течением времени.

Определение 4

Замедленное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) убывает с течением времени.

В общем, довольно просто заметить, что, если ω и ε имеют одинаковые знаки, наблюдается ускоренное вращение, а, когда противоположные знаки – замедленное.

Рисунок 1. Вектор углового ускорения

Если мы представим угловое ускорение как вектор ε→=dω→dt, имеющий направление вдоль оси вращения, то в случае ускоренного вращения ε→ и ω→ совпадут по направлениям (левая часть
рисунка 1) и будут противоположны по направлениям в случае замедленного вращения (правая часть
рисунка 1).

Закон равнопеременного вращения

Определение 5

Равнопеременное вращение – вращение, при котором угловое ускорение во все время движения является постоянным (ε=const).

Выведем формульно закон равнопеременного вращения. Пусть в начальный момент времени t0 угол вращения равен ϕ=ϕ0; угловая скорость — ω=ω0 (т.е. ω0 является начальной угловой скоростью).

Выражение ε=dωdt=ω˙=φ¨ дает нам возможность сделать запись: dω=εdt. Проинтегрируем левую часть крайней записи в пределах от ω0 до ω, а правую – в пределах от 0 до t, тогда:

ω=ω0+εt, dφ=ω0dt+εtdt.

Проинтегрируем вторично и получим формулу, выражающую закон равнопеременного вращения:

Определение 6

Закон равнопеременного вращения: φ=φ0+ωt+εt22.

Вращение является равноускоренным, когда ω и ε имеют одинаковые знаки.

Вращение является равнозамедленным, когда ω и ε противоположны по знаку.

Угловое ускорение имеет связь с полным и тангенциальным ускорениями. Пусть некоторая точка вращается неравномерно по окружности с радиусом R, тогда: αr=εR. Нормальное ускорение имеет также связь с угловым: an=ω2R. Учтем это выражение и для полного ускорения получим: a=ar2+an2=Rε2+ω4 Для равнопеременного движения: ω=εt; an=ω2R=ε2t2R и a=Rε2+ε4t4=Rε1+ε2t4.

Практические примеры

Пример 1

На рисунке 2 заданы различные типы вращения гироскопа (волчка). С учетом соответствующих подписей необходимо указать, какой рисунок верно демонстрирует направление углового ускорения.

Рисунок 2

Решение

Правило буравчика (правого винта) связывает направление вращения и псевдовектор угловой скорости. Рисунки 2.1. и 2.3. показывают направление псевдовектора вверх, а рисунки 2.2. и 2.4. – вниз.

Когда угловая скорость возрастает, ее приращение и вектор ускорения совпадут с вектором угловой скорости (рисунки 2.1. и 2.4.). Когда угловая скорость будет уменьшаться, ее приращение и вектор ускорения окажутся противоположно направлены вектору угловой скорости (рисунки 2.2. и 2.3.). Таким образом, все рисунки демонстрируют верное направление углового ускорения.

Пример 2

Пусть задана некоторая материальная точка, совершающая движение по окружности с радиусом R. При этом выражение ϕ=αt3 отражает зависимость угла поворота от времени. Необходимо найти полное ускорение заданной точки как функцию времени.

Решение

Запишем выражения для угловой скорости и углового ускорения заданной точки:

ω=dφdt=3αt2; ε=6αt.

Полное ускорение запишем как:

a=ar2+an2=Rε2+ω4=R36a2t2+81a4t8=3atR4+9a2t6.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/kinematika/uglovoe-uskorenie/

§ 1.28. Угловая скорость и угловое ускорение

Как определить угловое ускорение колеса

  • При движении точки по окружности радиус R, очевидно, — постоянная величина. Это позволяет ввести новые величины, наилучшим образом описывающие данное движение: положение характеризовать углом, а вместо обычных скоростей и ускорений ввести угловую скорость и угловое ускорение.

Угловая скорость

Проведем координатную ось X через центр окружности (начало координат), вдоль которой движется точка (рис. 1.86). Тогда положение точки А на окружности в любой момент времени однозначно определяется углом φ между осью X и радиусом-вектором , проведенным из центра окружности к движущейся точке. Углы будем выражать в радианах(1).

Рис. 1.86

При движении точки угол φ изменяется. Обозначим изменение угла за время Δt через Δφ. Для нахождения положения точки в любой момент времени надо знать угол φ0 в начальный момент времени t0 и определить, на сколько изменился угол за время движения (рис. 1.87):

φ = φ0 + Δφ.       (1.28.1)

Рис. 1.87

Пусть точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Тогда за любые равные промежутки времени радиус-вектор поворачивается на одинаковые углы.

Быстрота обращения точки определяется углом поворота радиуса-вектора за данный интервал времени.

Например, если радиус-вектор точки за каждую секунду поворачивается на угол 90° = , а другой точки — на угол 45 = , то мы говорим, что первая точка обращается быстрее второй в два раза.

Если при равномерном обращении за время Δt радиус-вектор повернулся на угол Δφ, то быстрота обращения определится углом поворота в единицу времени. Быстроту обращения характеризуют угловой скоростью.

Угловой скоростью при равномерном движении точки по окружности называется отношение угла Δφ поворота радиуса-вектора к промежутку времени Δt, за который этот поворот произошел.

Обозначим угловую скорость греческой буквой ω (омега). Тогда по определению(2)

В СИ(3) угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с).

Радиан в секунду равен угловой скорости равномерно обращающейся точки, при которой за время 1 с радиус-вектор этой точки поворачивается на угол 1 рад.

Например, угловая скорость точки земной поверхности равна 0,0000727 рад/с, а точильного диска более 100 рад/с.

Угловую скорость можно выразить через частоту обращения, т. е. число оборотов за 1с. Если точка делает п оборотов в секунду, то время одного оборота равно .

Это время называют периодом обращенияи обозначают буквой Т. Таким образом, частота и период обращения связаны следующим соотношением:

T = .       (1.28.3)

Полному обороту точки на окружности соответствует угол Δφ = 2π. Поэтому, согласно формуле (1.28.2),

Частота обращения точек рабочих колес мощных гидротурбин составляет 1—10 с-1, винта вертолета — 4—6 с-1, ротора газовой турбины — 200—300 с-1.

Если при равномерном обращении точки угловая скорость известна, то можно найти изменение угла поворота Δφ за время Δt. Оно равно Δφ = ωΔt. С учетом этого формула (1.28.1) примет вид: φ = φ0 + ωΔt. Приняв начальный момент времени t0 равным нулю, получим, что Δt = t — t0 = t. Тогда угол поворота равен

По этой формуле можно найти положение точки на окружности в любой момент времени.

Угловое ускорение

В случае переменной угловой скорости вводится новая физическая величина, характеризующая быстроту ее изменения, — угловое ускорение:

Угловое ускорение равно производной угловой скорости по времени. Если β = const, то ω(t) = ω0 + β(t — t0), где ω0 — угловая скорость в начальный момент времени t0. При t0 = 0

Эта формула подобна формуле проекции скорости vx = v0x + axt при прямолинейном движении точки. Соответственно угол поворота

Эту формулу можно получить точно таким же способом, как и уравнение координаты при прямолинейном движении х =

Связь между линейной и угловой скоростями

Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью, чтобы подчеркнуть ее отличие от угловой скорости. Между линейной скоростью точки, обращающейся по окружности, и ее угловой скоростью существует связь.

При равномерном движении точки по любой траектории модуль скорости равен отношению пути s ко времени Δt, за которое этот путь пройден. Точка А, движущаяся по окружноcти радиусом R, за время Δt проходит путь, равный длине дуги (рис. 1.88): s = = ΔφR.

Модуль линейной скорости движения

Рис. 1.88

Итак, модуль линейной скорости точки, движущейся по окружности, равен произведению угловой скорости на радиус окружности:

Эта формула справедлива как для равномерного, так и для неравномерного движения точки по окружности.

Из выражения (1.28.9) видно, что чем больше радиус окружности, тем больше линейная скорость точки. Для точек земного экватора v = 463 м/с, а на широте Санкт-Петербурга — 233 м/с. На полюсах Земли v = 0.

Модуль ускорения точки, движущейся равномерно по окружности (центростремительное, или нормальное, ускорение) можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности. Так как а = = и v = ωR, то

Чем больше радиус окружности, тем большее по модулю ускорение имеет точка при заданной угловой скорости. Ускорение любой точки поверхности Земли на экваторе составляет 3,4 см/с2.

Связь линейного ускорения с угловым

С изменением угловой скорости точки меняется и ее линейная скорость. Нормальное ускорение связано согласно формуле (1.28.10) с угловой скоростью и не зависит, следовательно, от углового ускорения. Но тангенциальное ускорение, определяемое формулой (1.27.4), выражается через угловое ускорение:

Мы научились полностью описывать движение точки по окружности. При фиксированном радиусе окружности модуль скорости (линейная скорость) пропорционален угловой скорости, а нормальное ускорение пропорционально ее квадрату. Тангенциальное ускорение пропорционально угловому ускорению.

Упражнение 5

  1. Поезд движется по закруглению радиусом 200 м со скоростью 36 км/ч. Найдите модуль нормального ускорения.
  2. Тело брошено с поверхности Земли под углом 60° к горизонту. Модуль начальной скорости равен 20 м/с.

    Чему равен радиус кривизны траектории в точке максимального подъема?

  3. Определите радиус кривизны траектории снаряда в момент вылета из орудия, если модуль скорости снаряда равен 1 км/с, а скорость составляет угол 60° с горизонтом.
  4. Снаряд вылетает из орудия под углом 45° к горизонту.

    Чему равна дальность полета снаряда, если радиус кривизны траектории в точке максимального подъема равен 15 км?

  5. Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет радиус R.

    При какой наименьшей скорости камень, брошенный с поверхности Земли, может перелететь через резервуар, коснувшись его вершины? Под каким углом к горизонту должен быть при этом брошен камень?

  6. Въезд на один из самых высоких в Японии мостов имеет форму винтовой линии, обвивающей цилиндр радиусом r. Полотно дороги составляет угол α с горизонтальной плоскостью.

    Найдите модуль ускорения автомобиля, движущегося по въезду с постоянной по модулю скоростью v.

  7. Точка начинает двигаться равноускоренно по окружности радиусом 1 м и за 10 с проходит путь 50 м.

    Чему равно нормальное ускорение точки через 5 с после начала движения?

  1. Поезд въезжает на закругленный участок пути с начальной скоростью 54 км/ч и проходит путь 600 м за 30 с. Радиус закругления равен 1 км. Определите модуль скорости и полное ускорение поезда в конце этого пути, считая тангенциальное ускорение постоянным по модулю.

  2. Груз Р начинает опускаться с постоянным ускорением а = 2 м/с2 и приводит в движение ступенчатый шкив радиусами г = 0,25 м и R = 0,50 м (рис. 1.89). Какое ускорение а1, будет иметь точка М через t = 0,50 с после начала движения?

    Рис. 1.89

  3. Маховик приобрел начальную угловую скорость ω = 2π рад/с. Сделав 10 оборотов, он вследствие трения в подшипниках остановился.

    Найдите угловое ускорение маховика, считая его постоянным.

  4. Маховое колесо радиусом R = 1 м начинает движение из состояния покоя равноускоренно. Через t1 = 10 с точка, лежащая на его ободе, приобретает скорость v1 = 100 м/с. Найдите скорость, а также нормальное, касательное и полное ускорения этой точки в момент времени t2 = 15 с.
  5. Шкив радиусом R = 20 см начинает вращаться с угловым ускорением β = 3 рад/с2. Через какое время точка, лежащая на его ободе, будет иметь ускорение а = 75 см/с2?
  6. Точка начинает обращаться по окружности с постоянным ускорением β = 0,04 рад/с2. Через какое время вектор ее ускорения будет составлять с вектором скорости угол а = 45°?

(1) Напомним, что радиан равен центральному углу, опирающемуся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. 1 рад приблизительно равен 57°17'48″. В радианной мере угол равен отношению длины дуги окружности к ее радиусу: .

(2) Когда точка движется неравномерно, то мгновенная угловая скорость определяется как предел отношения Δφ к Δt при условии, что Δt —> 0:

(3) СИ — Международная система единиц. В этой системе за единицу длины принят 1 м, за единицу времени — 1с. Подробнее о СИ будет рассказано в дальнейшем.

Источник: http://tepka.ru/fizika_10/37.html

Biz-books
Добавить комментарий