Как определить угловое ускорение и частоту вращения…

Содержание
  1. Угловое ускорение
  2. Основные понятия
  3. Закон равнопеременного вращения
  4. Практические примеры
  5. �.�. ���������
  6. Частота вращения: формула
  7. Номинальная скорость вращения
  8. Угловая скорость
  9. Угловая скорость в конкретных случаях
  10. Как определить угловую скорость
  11. Угол поворота и период обращения
  12. Циклическая частота вращения (обращения)
  13. Переход от угловой к линейной скорости
  14. Кинематика(Вращательное движение)
  15. Угол поворота
  16. Соотношение между единицами угла
  17. Число оборотов
  18. Угловое перемещение
  19. Равномерное движение тела по окружности
  20. Равномерно ускоренное движение по окружности без начальной угловой скорости
  21. Равномерно ускоренное движение по окружности с начальной угловой скоростью
  22. Неравномерно ускоренное движение тела по окружности
  23. Мгновенная угловая скорость
  24. Средняя угловая скорость
  25. Вращательное движение тела, формулы
  26. Векторные величины, характеризующие вращательное движение тела
  27. § 4. Угловая скорость и угловое ускорение

Угловое ускорение

Как определить угловое ускорение и частоту вращения...

Система понятий кинематики включает в себя также такую величину как угловое ускорение тела. Дадим ей определение, рассмотрим основные аспекты с использованием примеров.

Основные понятия

Определение 1

Угловое ускорение – величина, характеризующая изменение скорости с течением времени.

Пусть рассматриваемый промежуток времени это: Δt=t1-t, а изменение угловой скорости составит Δω=ω1-ω, тогда числовое значение среднего углового ускорения за тот же интервал времени: ε=∆ω∆t=ε. Перейдем к пределу, когда Δt>0, тогда формула углового ускорения будет иметь вид: ε=lim∆t→0∆ω∆t=dωdt=d2φdt=ω˙=φ¨.

Определение 2

Числовое значение ускорения в заданный момент времени есть первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени.

Размерность углового ускорения 1T2 (т.е. 1время2). Укажем также, в чем измеряется угловое ускорение: за единицу измерения стандартно принимается рад/с2 или иначе: 1с2(с-2).

Определение 3

Ускоренное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) возрастает с течением времени.

Определение 4

Замедленное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) убывает с течением времени.

В общем, довольно просто заметить, что, если ω и ε имеют одинаковые знаки, наблюдается ускоренное вращение, а, когда противоположные знаки – замедленное.

Рисунок 1. Вектор углового ускорения

Если мы представим угловое ускорение как вектор ε→=dω→dt, имеющий направление вдоль оси вращения, то в случае ускоренного вращения ε→ и ω→ совпадут по направлениям (левая часть
рисунка 1) и будут противоположны по направлениям в случае замедленного вращения (правая часть
рисунка 1).

Закон равнопеременного вращения

Определение 5

Равнопеременное вращение – вращение, при котором угловое ускорение во все время движения является постоянным (ε=const).

Выведем формульно закон равнопеременного вращения. Пусть в начальный момент времени t0 угол вращения равен ϕ=ϕ0; угловая скорость — ω=ω0 (т.е. ω0 является начальной угловой скоростью).

Выражение ε=dωdt=ω˙=φ¨ дает нам возможность сделать запись: dω=εdt. Проинтегрируем левую часть крайней записи в пределах от ω0 до ω, а правую – в пределах от 0 до t, тогда:

ω=ω0+εt, dφ=ω0dt+εtdt.

Проинтегрируем вторично и получим формулу, выражающую закон равнопеременного вращения:

Определение 6

Закон равнопеременного вращения: φ=φ0+ωt+εt22.

Вращение является равноускоренным, когда ω и ε имеют одинаковые знаки.

Вращение является равнозамедленным, когда ω и ε противоположны по знаку.

Угловое ускорение имеет связь с полным и тангенциальным ускорениями. Пусть некоторая точка вращается неравномерно по окружности с радиусом R, тогда: αr=εR. Нормальное ускорение имеет также связь с угловым: an=ω2R. Учтем это выражение и для полного ускорения получим: a=ar2+an2=Rε2+ω4 Для равнопеременного движения: ω=εt; an=ω2R=ε2t2R и a=Rε2+ε4t4=Rε1+ε2t4.

Практические примеры

Пример 1

На рисунке 2 заданы различные типы вращения гироскопа (волчка). С учетом соответствующих подписей необходимо указать, какой рисунок верно демонстрирует направление углового ускорения.

Рисунок 2

Решение

Правило буравчика (правого винта) связывает направление вращения и псевдовектор угловой скорости. Рисунки 2.1. и 2.3. показывают направление псевдовектора вверх, а рисунки 2.2. и 2.4. – вниз.

Когда угловая скорость возрастает, ее приращение и вектор ускорения совпадут с вектором угловой скорости (рисунки 2.1. и 2.4.). Когда угловая скорость будет уменьшаться, ее приращение и вектор ускорения окажутся противоположно направлены вектору угловой скорости (рисунки 2.2. и 2.3.). Таким образом, все рисунки демонстрируют верное направление углового ускорения.

Пример 2

Пусть задана некоторая материальная точка, совершающая движение по окружности с радиусом R. При этом выражение ϕ=αt3 отражает зависимость угла поворота от времени. Необходимо найти полное ускорение заданной точки как функцию времени.

Решение

Запишем выражения для угловой скорости и углового ускорения заданной точки:

ω=dφdt=3αt2; ε=6αt.

Полное ускорение запишем как:

a=ar2+an2=Rε2+ω4=R36a2t2+81a4t8=3atR4+9a2t6.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/kinematika/uglovoe-uskorenie/

�.�. ���������

Как определить угловое ускорение и частоту вращения...
      ��� ��� ����������, ������������ ��������� ��������� �������� ���� ������ ����������� ��� ���������� ����� ��� ��������, ��� ������� ��� ����� ���� �������� � ����������, ���������������� � ����������� ������, ���������� ���� ��������, � ��������� ����������, ������ ������� ����� �� ���� ���.

      ���������� ������� ����, ������� ��������� ������ ����������� ��� (���. 1.6). ����� ��������� ����� ����� ���� ����� ��������� ���������� ������ ��������, ������ ������� ����� �� ��� ��������. ����� ��������� ����� �������� �� ���������� ������� R.

�� ��������� ����� ���������� ������� Δt ������� ����� Δφ.

      ������� ��������� �������� ���������� ������, �������� ������ ������ ����������� ���� �������� ���� �� ������� � ������������ ����� ��� �������� �� ������� ������� �����:

                                                                                   (1.18)

      ������� ��������� ������� �������� ������ � ������� (���/�).

      ����� �������, ������ ω ���������� ����������� � �������� ��������. ���� ω=const, �� �������� ���������� �����������.

      ������� �������� ����� ���� ������� � �������� ��������� υ ������������ ����� . ����� �� ����� Δt ����� �������� �� ���� ���������� ����� ���� Δs. ����� �������� �������� ����� ����� �����:

                   (1.19)

      ��� ����������� �������� ��� ����� ���������������� �������� �������� � ��������, �� ������� ����� ���� ��������� ���� ������ ������, �.�. �������������� �� ���� 2π:
      ����� ������ ��������, ����������� ����� ��� ����������� �������� �� ����������, � ������� ������� ���������� �������� ��������:
������
      ��� �������������� �������������� �������� ���� �������� ������� �������� ���������. ������� ���������� ���������� ��������� ��������, ������ ������ ����������� ������� �������� �� �������:

                                                                                                             (1.20)

      ��� �������� ���� ������ ����������� ��� ������ �������� ��������� ��������� ����� ��� �������� � ������� ������� ������� �������� (���. 1.7); ��� ���������� �������� ������ ε ��������� � �� �� �������, ��� � ω (dω/dt > 0), � � ��������������� ������� ��� ����������� �������� (dω/dt < 0).

      ������� �������������� � ���������� ������������ ��������� ����� A ������������ ���� ����� ������� �������� � ������� ���������:

                   (1.21)

                                           (1.22)

      � ������ ���������������� �������� ����� �� ���������� (ε=const):
��� ω0 — ��������� ������� ��������.       �������������� � ������������ �������� �������� ���� �������� ���� ����������� ������ ��� ��������. � ����� ������ �������� �������� ���� ����� ���� ������ �������. ������ � ������������� �������� ������������, ��� ����� ������� �������� �������� ���� ����� ����������� ��� ������������ ��������������� � ������������� ��������.       �������������� ��������� ��������������� � ������������� �������� ������� � ����. 1.1.

������� 1.1

       ������� ������

  • ����� ������, ������� ������� �������������� ������������� �������� � �������, ���������� ��� ���������� ��� ��������, ���������� ���������. ������������ �������� (�������� �������-�������) ������� ������ �������� ���������������� ���, �������� ������� ���� �� ��������� �� ��������� ����� � �������.
  • ���������� � ������ ��������, ��������� �������� �������� �������� �������� ��� ��� ������������ ������, �������� ��� �������� �����������.
  • � �������� ��� �������� �������� ��� � ����������� �� ������� ���������� ����� ������������ ��������� ���������� ������: ������������ �����, ��������� ������� ����, ��������� ������� ����, ��������� ��������� ����.
  • �������� ��� ���������� � ������������ � �� �������. ������� ��� �������� �������� ������������ ����� ���� �����, � ����� ������ ������������ ��� ����� ���������� � � ����� ������� ������� ��� ��������� �� ��� ���� ���������. ������������ ���� �������, ��������� � ��� ������� ��������� � ������������������ ����� ����� ����� ���������� �������� �������.
  • ������ Δr=r-r0, ����������� �� ���������� ��������� ���������� ����� � ��������� �� � ������ ������ ������� ���������� �������� �����������. �����, ����������� ���������� ������������ ������ (�����) ������������ ��������� ������� ������� ���������� ����������� ��������. � ����������� �� ����� ���������� ��������� �������������������������� ��������. ����� ������� ����������, ����������� ������������ ������ �� ������ ���������� �������, ���������� ������ ����.
  • �������� � ��� ��������� ���������� ��������, ������� ������������� �������� �������� � ��� ����������� � ������ ������ �������. ���������� �������� ������������ ������ ����������� �������-������� ���������� ����� �� �������: ������ ���������� �������� ��������� �� ����������� � ���������� � ������� ��������. ������ ���������� �������� ������������ ����� ����� ������ ����������� ����� �� ���� �� �������:
  • ��������� � ��������� ���������� �������� ��� �������������� �������������� ��������. ��� ���������� �������� ��������� �������� �� ������ � �����������. ���������� ��������� — ��������� ��������, ������ ������ ����������� �������� �� �������:�������������� ������������ ��������� ������������� �������� ��������� �������� �� �������� (���������� �� ����������� � ���������� ��������):���������� ������������ ��������� ������������� �������� ��������� �������� �� ����������� (���������� � ������ �������� ����������):������ ��������� ��� ������������� �������� � �������������� ����� �������������� � ���������� ������������:
  • ��������� ��������, ������������ ������ ����������� ���� �������� ���� �� �������, ���������� ������� ���������: ������ ω ��������� ����� ��� �������� �� ������� ������� �����.
  • ��� ����������� �������� �����, �� ������� ����� ���� ��������� ���� ������ ������, �.�. �������������� �� ���� 2π, ���������� �������� ��������:������� �������� � ����� ������ ��������, ����������� ����� ��� ����������� ��� �������� �� ���������� � ������� �������:
  • ������� ��������� � ��� ��������� ���������� ��������, ������������ ������ ����������� ������� �������� �� �������: ��� ���������� �������� ���� ������ ����������� ��� ������ ε ����������� �������ω, ��� ����������� � ���������������� ���.
  • ����� ����� ��������� (����� ���� s, ����������� ������ �� ���������� ������� R, �������� �������� v, �������������� ��������� , ���������� ��������� an) � �������� ���������������� (���� �������� φ, ������� �������� ω, ������� ��������� ε) ���������� ���������� ���������:

      ������� ��� ������������ � ����������

  1. ��� �������� ��������� �������� ��������? ������ ��������� ��������?
  2. ��� ����� ���������� ������? ����� ���������� ������ ���������� �������� ��� �������� �������� ������������ ��������?
  3. ��� ������������ ����� ������� �������? ��� ���������� �������� �����������?
  4. ����� �������� ���������� ��������������? ������������?
  5. ��� ������������� �������� � ���������? ����� ����������� ������� �������� � �������� ���������, ���������� �������� � ����������� ���������.
  6. ��������� ��������� ���������� �������� ����, ���������� ������������� �� ��������� v0 � ��������� ������. ������������� ������� �� ���������.
  7. ��� ������������� �������������� � ���������� ������������ ���������? ������ �� ������?
  8. ��� ����� ���������������� �������� � ����������� �� �������������� � ���������� ������������ ���������?
  9. ��� ���������� ������� ��������� � ������� ����������? ��� ������������ �� �����������?
  10. ������ ��������� ������� ����� ����� �������� � ������� �������������� ��������?

      ������� ������� �����

      ������ 1. ����������� �������������� �������, ���������� ����, ��� ������� ���� ������� � ���������, ���� ������������ ������ ������� ���� ����� 1/4 ��������� ��� ������ (���. 1.8).

      ����: h = 1/4s.
      �����: α.
�������       ������������ ��������� �������� ���� v0x = v0cosα, v0y = v0sinα;
      �����: α=450.

      ������ 2. ���� ��������� ������ ����������� ��� �� ������, ����������� �������� φ = 10 + 20t — 2t2. ����� �������� ������� ��������� �����, ����������� �� ���������� 0,1 � �� ��� �������� ��� ������� ������� t=4 � (���. 1.9).

      ����: φ = 10 + 20t — 2t2; R=0,1 �; t=4 �.
      �����: a.

�������

      �����: � = 1,65 �/�2.

      ������ ��� ���������������� �������

  1. �������� ���� ������������ ����� ����������� ���������� �����������: x1 = 20 + 2t — 4t2x2 = 2 + 2t + 0,5t2. � ����� ������ ������� �������� ���� ����� ����� �����������? ���� ����� �������� � ��������� ����� � ���� ������?
  2. � ������ 1000 � ������ ���� ��� ��������� ��������. ������������ � ������ 1100 � ������ ������ ���� � ��������� ��������� ���������. ��� ���� ��������� ����� � ���� � ��� �� ������ �������. ����������� �������������� �������, ����� ��������� �������� ������� ����.
  3. ������������ ������� ������ ����� ���� �� ��������� 10 �/�, ����� �������� ���� �� ��������� 6 �/� � ���������� ����� ���� �� ��������� 2 �/�. ���� ����� ������� �������� �������������?
  4. ��� ������� �� ��������� 10 �/� �� ����� 400 � ���������. �� �������� ������������� �������, �����: �) �� ����� ������ ���������� ���? �) �� ����� ���������� �� ����� �������� ��� ������ �� �����? �) ������� ������� ��� ����� � ��������?
  5. ������, ��������� �������������, ���� �� ����� ����� 0,5 � �� ���������� 5 � �� ����������� �� ����� ��������. �� �������� ������������� �������, ����������: �) � ����� ������ ������ ������? �) ���� ����� ��������� �������� �����? �) � ����� ��������� ������ ���� �� �����? �) ����� ���� ���������� ���������� ����� � ���������� � ����� ��� ������� �� �����?
  6. ������ �������� R=0,1 � ��������� ���, ��� ����������� ������� �������� �� ������� �������� ���������� ω = 2At + 5Bt4, ��� =2 ���/�2 � �=1 ���/�5. ���������� ������ ��������� ����� ����� ������ ����� t=1 � ����� ������ �������� � ����� ��������, ��������� ������� �� ��� �����.
  7. ������� �������� ������ ��� ���������������� �������� �� t=1 ��� ����������� �� 300 �� 180 ��/���. ����������: �) ������� ��������� ������; �) ����� ������ ��������, ��������� ������� �� ��� �����.
  8. ���� �������� R=10 �� ��������� ������ ����������� ��� ���, ��� ����������� ���� �������� ������� ����� �� ������� �������� ���������� φ = A + Bt + Ct2 + Dt3 ( = 1 ���/�, = 1 ���/�2, D = 1 ���/�3). ���������� ��� ����� �� ����� ������ � ����� ������ ������� ����� ������ ��������: �) �������������� ���������; �) ���������� ���������; �) ������ ���������.
  9. ������, �������� ��������������, �������� ������� �������� 20 ���/� ����� 10 �������� ����� ������ ��������. ����� ������� ��������� ������.
  10. ������, �������� ��������������, ������ 1 ��� ����� ������ �������� ����������� ��������, ��������������� ������� 720 ��/���. ����� ������� ��������� ������ � ����� �������� �� ��� ������.

Источник: http://csfm.volgatech.net/elearning/Nurgaliev/text/1.3.html

Частота вращения: формула

Как определить угловое ускорение и частоту вращения...

Количество повторений каких-либо событий или их возникновения за одну единицу таймера называется частотой. Это физическая величина измеряется в герцах – Гц (Hz). Она обозначается буквами ν, f, F, и есть отношение количества повторяющихся событий к промежутку времени, в течение которого они произошли.

Вращение планет вокруг Солнца

При обращении предмета вокруг своего центра можно говорить о такой физической величине, как частота вращения, формула:

ν = N/t,

где:

  • N – количество оборотов вокруг оси или по окружности,
  • t – время, за которое они были совершены.

В системе СИ обозначается как – с-1 (s-1) и именуется как обороты в секунду (об/с). Применяют и другие единицы вращения. При описании вращения планет вокруг Солнца говорят об оборотах в часах. Юпитер делает одно вращение в 9,92 часа, тогда как Земля и Луна оборачиваются за 24 часа.

Номинальная скорость вращения

Прежде, чем дать определение этому понятию, необходимо определиться, что такое номинальный режим работы какого-либо устройства. Это такой порядок работы устройства, при котором достигаются наибольшая эффективность и надёжность процесса на продолжении длительного времени.

Исходя из этого, номинальная скорость вращения – количество оборотов в минуту при работе в номинальном режиме. Время, необходимое для одного оборота, составляет 1/v секунд. Оно называется периодом вращения T.

Значит, связь между периодом обращения и частотой имеет вид:

Т = 1/v.

К сведению. Частота вращения вала асинхронного двигателя – 3000 об./мин., это номинальная скорость вращения выходного хвостовика вала при номинальном режиме работы электродвигателя.

Как найти или узнать частоты вращений различных механизмов? Для этого применяется прибор, который называется тахометр.

Прибор для измерения частоты вращения – тахометр Testo 477

Угловая скорость

Когда тело движется по окружности, то не все его точки движутся с одинаковой скоростью относительно оси вращения.

Если взять лопасти обычного бытового вентилятора, которые вращаются вокруг вала, то точка расположенная ближе к валу имеет скорость вращения больше, чем отмеченная точка на краю лопасти.

Это значит, у них разная линейная скорость вращения. В то же время угловая скорость у всех точек одинаковая.

Угловая скорость представляет собой изменение угла в единицу времени, а не расстояния. Обозначается буквой греческого алфавита – ω и имеет единицу измерения радиан в секунду (рад/с). Иными словами, угловая скорость – это вектор, привязанный к оси обращения предмета.

Формула для вычисления отношения между углом поворота и временным интервалом выглядит так:

ω = ∆ϕ/∆t,

где:

  • ω – угловая скорость (рад./с);
  • ∆ϕ – изменение угла отклонения при повороте (рад.);
  • ∆t – время, затраченное на отклонение (с).

Обозначение угловой скорости употребляется при изучении законов вращения. Оно употребляется при описании движения всех вращающихся тел.

Угловая скорость в конкретных случаях

На практике редко работают с величинами угловой скорости. Она нужна при конструкторских разработках вращающихся механизмов: редукторов, коробок передач и прочего.

Вычислить её, применяя формулу, можно. Для этого используют связь угловой скорости и частоты вращения.

ω = 2*π / Т = 2*π*ν,

где:

  • π – число, равное 3,14;
  • ν – частота вращения, (об./мин.).

В качестве примера могут быть рассмотрены угловая скорость и частота вращения колёсного диска при движении мотоблока. Часто необходимо уменьшить или увеличить скорость механизма.

Для этого применяют устройство в виде редуктора, при помощи которого понижают скорость вращения колёс. При максимальной скорости движения 10 км/ч колесо делает около 60 об./мин. После перевода минут в секунды это значение равно 1 об./с.

После подстановки данных в формулу получится результат:

ω = 2*π*ν = 2*3,14*1 = 6,28 рад./с.

К сведению. Снижение угловой скорости часто требуется для того, чтобы увеличить крутящий момент или тяговое усилие механизмов.

Шестерёнчатый уменьшитель хода для мотокультиватора

Как определить угловую скорость

Принцип определения угловой скорости зависит от того, как происходит движение по окружности. Если равномерно, то употребляется формула:

ω = 2*π*ν.

Если нет, то придётся высчитывать значения мгновенной или средней угловой скорости.

Величина, о которой идёт разговор, векторная, и при определении её направления используют правило Максвелла. В просторечии – правило буравчика. Вектор скорости имеет одинаковое направление с поступательным перемещением винта, имеющего правую резьбу.

Правило Максвелла для угловой скорости

Рассмотрим на примере, как определить угловую скорость, зная, что угол поворота диска радиусом 0,5 м меняется по закону ϕ = 6*t:

ω = ϕ / t = 6 * t / t = 6 с-1

Вектор ω меняется из-за поворота в пространстве оси вращения и при изменении значения модуля угловой скорости.

Угол поворота и период обращения

Рассмотрим точку А на предмете, вращающимся вокруг своей оси. При обращении за какой-то период времени она изменит своё положение на линии окружности на определённый угол. Это угол поворота. Он измеряется в радианах, потому что за единицу берётся отрезок окружности, равный радиусу. Ещё одна величина измерения угла поворота – градус.

Сопротивление тока: формула

Когда в результате поворота точка А вернётся на своё прежнее место, значит, она совершила полный оборот. Если её движение повторится n-раз, то говорят о некотором количестве оборотов. Исходя из этого, можно рассматривать 1/2, 1/4 оборота и так далее. Яркий практический пример этому – путь, который проделывает фреза при фрезеровании детали, закреплённой в центре шпинделя станка.

Внимание! Угол поворота имеет направление. Оно отрицательное, когда вращение происходит по часовой стрелке и положительное при вращении против движения стрелки.

Если тело равномерно продвигается по окружности, можно говорить о постоянной угловой скорости при перемещении, ω = const.

В этом случае находят применения такие характеристики, как:

  • период обращения – T, это время, необходимое для полного оборота точки при круговом движении;
  • частота обращения – ν, это полное количество оборотов, которое совершает точка по круговой траектории за единичный временной интервал.

Интересно. По известным данным, Юпитер обращается вокруг Солнца за 12 лет. Когда Земля за это время делает вокруг Солнца почти 12 оборотов. Точное значение периода обращения круглого гиганта – 11,86 земных лет.

Циклическая частота вращения (обращения)

Что нужно знать об индукционных счётчиках

Скалярная величина, измеряющая частоту вращательного движения, называется циклической частотой вращения. Это угловая частота, равная не самому вектору угловой скорости, а его модулю. Ещё её именуют радиальной или круговой частотой.

Циклическая частота вращения – это количество оборотов тела за 2*π секунды.

У электрических двигателей переменного тока это частота асинхронная. У них частота вращения ротора отстаёт от частоты вращения магнитного поля статора.

Величина, определяющая это отставание, носит название скольжения – S. В процессе скольжения вал вращается, потому что в роторе возникает электроток.

Скольжение допустимо до определённой величины, превышение которой приводит к перегреву асинхронной машины, и её обмотки могут сгореть.

Устройство этого типа двигателей отличается от устройства машин постоянного тока, где токопроводящая рамка вращается в поле постоянных магнитов. Большое количество рамок вместил в себя якорь, множество электромагнитов составили основу статора. В трёхфазных машинах переменного тока всё наоборот.

При работе асинхронного двигателя статор имеет вращающееся магнитное поле. Оно всегда зависит от параметров:

  • частоты питающей сети;
  • количества пар полюсов.

Скорость вращения ротора состоит в прямом соотношении со скоростью магнитного поля статора. Поле создаётся тремя обмотками, которые расположены под углом 120 градусов относительно друг друга.

Переход от угловой к линейной скорости

Существует различие между линейной скоростью точки и угловой скоростью. При сравнении величин в выражениях, описывающих правила вращения, можно увидеть общее между этими двумя понятиями.

Любая точка В, принадлежащая окружности с радиусом R, совершает путь, равный 2*π*R. При этом она делает один оборот.

Учитывая, что время, необходимое для этого, есть период Т, модульное значение линейной скорости точки В находится следующим действием:

ν = 2*π*R / Т = 2*π*R* ν.

Так как ω = 2*π*ν, то получается:

ν = ω* R.

Следовательно, линейная скорость точки В тем больше, чем дальше от центра вращения находится точка.

К сведению. Если рассматривать в качестве такой точки города на широте Санкт-Петербурга, их линейная скорость относительно земной оси равна 233 м/с. Для объектов на экваторе – 465 м/с.

Числовое значение вектора ускорения точки В, движущейся равномерно, выражается через R и угловую скорость, таким образом:

а = ν2/ R, подставляя сюда ν = ω* R, получим: а = ν2/ R = ω2* R.

Это значит, чем больше радиус окружности, по которой движется точка В, тем больше значение её ускорения по модулю. Чем дальше расположена точка твердого тела от оси вращения, тем большее ускорение она имеет.

Поэтому можно вычислять ускорения, модули скоростей необходимых точек тел и их положений в любой момент времени.

Связь между угловой и линейной скоростями

Понимание и умение пользоваться расчётами и не путаться в определениях помогут на практике вычислениям линейной и угловой скоростей, а также свободно переходить при расчётах от одной величины к другой.

Источник: https://amperof.ru/teoriya/chastota-vrashheniya-formula.html

Кинематика(Вращательное движение)

Как определить угловое ускорение и частоту вращения...

Законы, определяющие движение тела по окружности, аналогичны законам поступательного движения. Уравнения, описывающие вращательное движение, можно вывести из уравнений поступательного движения, произведя в последних следующие замены:

Если:
перемещение s — угловое перемещение (угол поворота) ?,
скорость u — угловая скорость ?,
ускорение a — угловое ускорение ?

Угол поворота

Во всех уравнения вращательного движения углы задаются в радианах, сокращенно (рад).

Если 
? — угловое перемещение в радианах, 
s — длина дуги, заключенной  между сторонами угла поворота, 

r — радиус, 

то по определению радиана

Соотношение между единицами угла

Обратите внимание: Наименование единицы радиан (рад) обычно указывается в формулах только в тех случаях, когда ее можно спутать с градусом. Поскольку радиан равен отношению длин двух отрезков 
(1рад = 1м/ 1м = 1), он не имеет размерности.

Соотношение между угловой скоростью, угловым перемещением и временем для всех видов движения по окружности наглядно видны на графике угловой скорости (зависимость ? от t). Поэтому графику можно определить, какой угловой скоростью обладает тело в тот или иной момент времени и на какой угол с момента начала движения оно повернулось (он характеризуется площадью под кривой).

Кроме того, для представления соотношений между названными величинами используют график углового перемещения (зависимость ? от t) и график углового ускорения (зависимость ? от t).

Число оборотов

Характеристикой всех видов вращения является число оборотов n или равноценная ей характеристика — частота f. Обе величины характеризуют число оборотов в единицу времени.

Единица СИ частоты (или числа оборотов)

В технике число оборотов обычно измеряется в оборотах в минуту (об/мин) = 1/мин.

Таким образом, величина, обратная числу оборотов, есть продолжительность одного оборота.

Если 
n — число оборотов, 
f — частота, 
T — продолжительность одного оборота, период, 
? — угловое перемещение, 
N — полное число оборотов, 
t — время, продолжительность вращения, 
? — угловая частота, 
то

Угловое перемещение

Угловое перемещение равно произведению полного числа оборотов на 2?:

Равномерное движение тела по окружности

Говорят, что тело движется по окружности равномерно, если его угловая скорость постоянна, т.е. тело за равные промежутки времени поворачивается на один и тот же угол.

? — угловая скорость (постоянная в течение времени t)
? — угловое перемещение
t — время поворота на угол ?

Поскольку на графике угловой скорости площадь прямоугольника соответствует угловому перемещению, имеем:

или

Постоянная угловая скорость — есть отношение углового перемещения (угла поворота) ко времени, затраченному на это перемещение.

Единица СИ угловой скорости:

Равномерно ускоренное движение по окружности без начальной угловой скорости

Тело начинает двигаться из состояния покоя, и его угловая скорость равномерно возрастает.

? — мгновенная угловая скорость тела в момент времени t
? — угловое ускорение, постоянное в течение времени t
? — угловое перемещение тела за время t, (? в радианах)
t — время

Поскольку на графике скорости угловое перемещение равно площади треугольника, имеем:

Или

Поскольку вращение тела начинается из состояния покоя, изменение угловой скорости ?? равно достигнутой в результате ускорения угловой скорости ?. Поэтому формула принимает следующий вид:

или

Равномерно ускоренное движение по окружности с начальной угловой скоростью

Начальная скорость тела, равная ?0 в момент t = 0, изменяется равномерно на величину ??. (Угловое ускорение при этом постоянно.)

?0 — начальная угловая скорость
? — конечная угловая скорость
? — угловое перемещение тела за время t в радианах
t — время
? — угловое ускорение постоянное в течение времени t

Поскольку на графике скорости угловое перемещение соответствует площади трапеции под кривой скорости, имеем:

Так как площадь трапеции равна сумме площадей образующих ее треугольника и прямоугольника, получаем:

откуда

Далее из графика скорости следует

Совместив формулы мы получим

После преобразования получаем выражение, не содержащее времени:

Неравномерно ускоренное движение тела по окружности

Движение тела по окружности будет неравномерно ускоренным, если изменение угловой скорости происходит не пропорционально времени, т. е. если угловое ускорение не остается постоянным. В этом случае и угловая скорость и угловое ускорение являются функциями времени.

Связь величин ?, ? и ? представлена на соответствующих графиках.

Мгновенная угловая скорость

Полный угол поворота тела в любой момент времени можно определить по графику углового перемещения. Чем круче график, тем больше в данный момент времени мгновенная угловая скорость.? — угол между касательной и осью времени t ? — мгновенная угловая скорость ? — угловое перемещение к моменту времени t

или

Мгновенной угловой скоростью называется первая производная функции ? = ?(t) по времени.

Обратите внимание:
1) чтобы вычислить мгновенную угловую скорость ?, необходимо знать зависимость углового перемещения от времени.

2) формула углового перемещения при равномерном движении тела по окружности и формула углового перемещения при равномерно ускоренном движении по окружности без начальной угловой скорости являются частными случаями формулы (2) соответственно для ? = 0 и ? = const.

Из формул следует:

Проинтегрировав обе части выражения, получим

Угловое перемещение есть интеграл по времени от угловой скорости.

Обратите внимание:
Для вычисления углового перемещения ? необходимо знать зависимость угловой скорости от времени.

Средняя угловая скорость

Средняя угловая скорость для некоторого интервала времени

Среднее число оборотов определяется аналогично формуле:

Вращательное движение тела, формулы

При вращательном движении твердого тела все элементы его массы, не лежащие на оси вращения, совершают движение по окружности. Аналогично и материальная точка, находящаяся на расстоянии r > 0 от оси вращения, также совершает движение по окружности, как и любое тело, достаточно удаленное от оси вращения.Линейное перемещение Sл, линейная скорость uл и линейное ускорение aл при таком движении связаны между собой обычными для поступательного движения соотношениями.

Кроме того, эти величины связаны определенным образом с угловым перемещением ?, угловой скоростью ? и угловым ускорением ?.

Sл Uл aл r d ? ? ? f
перемещение тела по траектории,метр
скорость тела при движении по траектории,метр / секунда
ускорение данного тела при движении по траектории,метр / секунда2
радиус траектории,метр
диаметр траектории,метр
угловое перемещение тела,радиан
угловая скорость тела,радиан / секунда
угловое ускорение тела,радиан / секунда2
частота,Герц

Примечание:Формулы справедливы для постоянных, мгновенных и средних величин, во всех случаях движения тела по окружности.

Векторные величины, характеризующие вращательное движение тела

Угловая скорость и угловое ускорение тела являются векторными величинами. Эти векторы направлены вдоль оси вращения (аксиальные векторы), а их длина определяет величину соответствующих характеристик вращательного движения. Направление векторов определяется по правилу буравчика, т. е. совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого движется в том же направлении, что и тело.

Определение:Если тело участвует одновременно в нескольких вращательных движениях, то результирующая угловая скорость определяется по правилу векторного (геометрического) сложения:

Величина результирующей угловой скорости определяется по аналогии с формулой (Сложение движений):

или, если оси вращения перпендикулярны друг другу

Примечание: Результирующее угловое ускорение определяется аналогичным образом. Графически результирующую можно найти как диагональ параллелограмма скоростей или ускорений.

Источник: https://www.nivasposad.ru/school/homepages/belousova/2015-2016/konkurs/shebarshin_pavel_v/html/kinematikavrashenie.html

§ 4. Угловая скорость и угловое ускорение

Как определить угловое ускорение и частоту вращения...

Рассмотримтвердое тело, которое враща­етсявокруг неподвижной оси. Тогда от­дельныеточки этого тела будут описыватьокружности разных радиусов, центрыко­торых лежат на оси вращения. Пустьне­которая точка движется по окружностирадиуса R(рис.6).

Ее положение через промежуток времениtзададимуглом .Элементарные (бесконечно малые) углыповорота рассматривают как векторы.

Мо­дуль вектора dравенуглу поворота, а его направление совпадаетс направле­нием поступательногодвижения острия винта, головка котороговращается в на­правлении движенияточки по окружности, т. е. подчиняетсяправилуправого, винта (рис.6).

Векторы, направления которых связываютсяс направлением вращения, называютсяпсевдовекторамиилиакси­альнымивекторами. Этивекторы не имеют определенных точекприложения: они мо­гут откладыватьсяиз любой точки оси вращения.

Угловойскоростью называетсявектор­ная величина, равная первойпроизводной угла поворота тела повремени:

Вектор«в направлен вдоль оси вращения поправилу правого винта, т. е. так же, каки вектор d(рис. 7). Размерность угловой скоростиdim=T-1,a .ее единица — радиан в секунду (рад/с).

Линейная скоростьточки (см. рис. 6)

В векторном видеформулу для линейной скорости можнонаписать как вектор­ное произведение:

Приэтом модуль векторного произведе­ния,по определению, равен

,анаправление совпадает снаправлениемпоступательного движения правого винтапри его вращении от к R.

Если=const,товращение равномер­ное и его можнохарактеризовать перио­домвращения Т—временем, за которое точка совершаетодин полный оборот, т. е. поворачиваетсяна угол 2.Так как промежутку времени t=Tсоответствует =2,то =2/Т,откуда

Числополных оборотов, совершаемых телом приравномерном его движении по окружности,в единицу времени называет­ся частотойвращения:

Угловымускорением называетсявек­торная величина, равная первойпроизвод­ной угловой скорости повремени:

При вращении телавокруг неподвижной оси вектор угловогоускорения направлен вдоль оси вращенияв сторону вектора элементарногоприращения угловой ско­рости. Приускоренном движении вектор

13

 сонаправленвектору (рис.8),при замедленном.— противонаправленему (рис. 9).

Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальнаясоставляющая ускорения

Такимобразом, связь между линейны­ми (длинапути s,пройденноготочкой по дуге окружности радиуса R,линейнаяско­рость v,тангенциальноеускорение а,нор­мальное ускорение аn)и угловыми величи­нами (угол поворота,угловая скорость (о, угловое ускорение)выражается сле­дующими формулами:

Вслучае равнопеременного движения точкипо окружности (=const)

где0— начальная угловая скорость.

Контрольныевопросы

• Чтоназывается материальной точкой? Почемув механике вводят такую модель?

• Чтотакое система отсчета?

• Чтотакое вектор перемещения? Всегда лимодуль вектора перемещения равен отрезкупути,

пройденному точкой?

• Какоедвижение называется поступательным?вращательным?

• Дать определения векторов средней скорости и среднего ускорения, мгновенной скорости

и мгновенногоускорения. Каковы их направления?

• Что характеризует тангенциальная составляющая ускорения? нормальная составляющая

ускорения? Каковыих модули?

• Возможныли движения, при которых отсутствует нормальное ускорение? тангенциальное

ускорение? Приведитепримеры.

• Чтоназывается угловой скоростью? угловымускорением? Как определяются ихнаправления?

• Каковасвязь между линейными и угловымивеличинами?

Задачи

1.1. Зависимостьпройденного телом пути от временизадается уравнением s= Att2+Dt3(С= 0,1 м/с2,D= 0,03 м/с3).Определить: 1) через какое время посленачала движения ускорение а тела будетравно 2 м/с2;2) среднее ускорение тела за этот промежуток времени. [ 1) 10с; 2) 1,1 м/с2]

1.2. Пренебрегая сопротивлением воздуха,определить угол, под которым тело брошенок гори­зонту, если максимальная высотаподъема тела равна 1/4 дальности егополета. [45°]

1.3. Колесорадиуса R=0,1 м вращается так, что зависимостьугловой скорости от времени задаетсяуравнением = 2At+5Вt4(A=2рад/с2и B=1рад/с5).Определить полное ускорение точек ободаколеса через t=1с после начала вращения и число оборотов,сделан­ных колесом за это время. [а =8,5 м/с2;N= 0,48]

14

1.4. Нормальное ускорение точки, движущейсяпо окружности радиуса r=4м,задается уравнением аn+-Bt+Ct2(A=1м/с2,В=6м/с3,С=3м/с4).Определить: 1) тангенциальное ускорениеточки; 2) путь, пройденный точкой за времяt1=5с после начала движения; 3) полноеускорение для момента времени t2=1с. [ 1) 6 м/с2;2) 85 м; 3) 6,32 м/с2]

1.5. Частотавращения колеса при равнозамедленномдвижении за t=1минуменьшилась от 300 до 180 мин-1.Определить: 1) угловое ускорение колеса;2) число полных оборотов, сделанныхколесом за это время. [1)0,21 рад/с2;2) 360]

1.6.

Дискрадиусом R=10см вращается вокруг неподвижной оситак, что зависимость угла поворотарадиуса диска от времени задаетсяуравнением =A+Bt+Ct2+Dt3(B= l рад/с,С=1рад/с2,D=lрад/с3).Определить для точек на ободе колеса кконцу второй секунды после началадвижения: 1) тангенциальное ускорениеа;2) нормальное ускорение аn;3) полное ускорение а. [ 1) 0,14 м/с2;2) 28,9 м/с2;3) 28,9 м/с2]

Источник: https://studfile.net/preview/3896090/page:3/

Biz-books
Добавить комментарий