Как определить тангенциальное ускорение точки…

Содержание
  1. Тангенциальное ускорение
  2. Тангенциальное и нормальное ускорения
  3. Тангенциальное ускорение — определение, формула и измерение
  4. Угловое ускорение
  5. Вывод формулы
  6. Решение простых примеров
  7. Сложная задача
  8. Понятия о скорости, тангенциальном и нормальном ускорениях. Формулы
  9. Понятие о скорости
  10. Понятие об ускорении
  11. Полное, нормальное и тангенциальное ускорения
  12. Связь тангенциального ускорения и скорости
  13. Скорость и нормальное ускорение
  14. § 1.27. Тангенциальное, нормальное и полное ускорения
  15. Ускорение при неравномерном криволинейном движении
  16. Модуль нормального ускорения
  17. Модуль тангенциального и полного ускорений
  18. Классификация движений
  19. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях – решение задачи
  20. Поступательное прямолинейное движение
  21. Соприкосновение тел без проскальзывания
  22. Пример решения задачи
  23. Определение угловых скоростей и ускорений колес
  24. Определение скоростей точек A и C
  25. Определение ускорения точки B
  26. Определение ускорения рейки 4
  27. Ускорение.Тангенциальная и нормальная составляющая ускорения. Кинематика вращательного движения

Тангенциальное ускорение

Как определить тангенциальное ускорение точки...

3 .Тангенциальное ускорение– векторная физическая величина,характеризующая изменение скороститела по абсолютному значению, численноравная первой производной от модуляскорости по времени и направленная покасательной к траектории в ту же сторону,что и скорость, если скорость возрастает,и противоположно скорости, если онаубывает.

4 .Нормальное ускорение–векторная физическая величина,характеризующая изменение направленияскорости, численно равная отношениюквадрата скорости к радиусу кривизнытраектории, направленная вдоль радиусакривизны к центру кривизны:

.

Т ак как векторыинаправленыпод прямым углом, то (рис. 1. 17)

, (1.2.9)

5.Угловое ускорение– векторнаяфизическая величина, характеризующаяизменение угловой скорости, численноравная первой производной угловойскорости по времени и направленнаявдоль оси вращения в ту же сторону, чтои угловая скорость, если скоростьвозрастает, и противоположно ей, еслиона убывает.

Формулу вставить (1.2.10)

СИ:

Полное ускорение

(линейное)

Поскольку мы ограничиваемсярассмотрением вращения вокруг неподвижнойоси, угловое ускорение не делится насоставляющие подобно линейному.

Угловое ускорение

Связь между угловыми характеристиками

вращающегося тела и линейными

характеристиками движения егоотдельных точек

Р

СИ:

ассмотрим одну из точек вращающегосятела, которая находится от оси вращенияна расстоянииR,то есть движется по окружности радиусаR(рис. 1.18).

По истечении времениточка А переместится в положение А1,пройдя расстояние ,радиус-вектор повернется на угол.Центральный угол, опирающийся на дугу,в радианной мере равен отношению длиныдуги к радиусу кривизны этой дуги:

.

Этоостается справедливым и для бесконечномалого интервала времени:.Далее, используя определения, легкополучить:

; (1.2.11)

Связь между линейными и угловыми характеристиками

; (1.2.12)

. (1.2.13)

1.1.2.Классификациядвижений. Кинематические законы

Кинематическимизаконами будем называть законы, выражающиеизменение кинематических характеристикдвижения с течением времени:

-закон пути или;

-закон скорости или;

-закон ускорения или.

Н

Ускорение

Ускорение гоночного автомобиля на старте 4-5 м/с2

Ускорение реактивного самолета при посадке

6-8 м/c2

Ускорение свободного падения вблизи поверхности Солнца 274 м/c2

Ускорение снаряда в стволе орудия 105 м/c2

аиболее информативной характеристикойдвижения является ускорение, поэтомуоно используется в качестве основаниядля классификации движений.

Нормальноеускорение несет информацию об изменениинаправления скорости, то есть обособенностях траектории движения:

-движение прямолинейное (направлениескорости не меняется);

-движение криволинейное.

Тангенциальноеускорение определяет характер изменениямодуля скорости с течением времени. Поэтому признаку принято выделять следующиевиды движения:

— равномерное движение (абсолютноезначение скорости не меняется);

-ускоренное движение

-неравномер- (скорость возрастает)

ноедвиже- -замедленноедвиже

ние ние (скорость убывает).

Наиболеепростыми частными случаями неравномерногодвижения являются движения, при которых

-тангенциальное ускорение не зависитот времени, остается постоянным во времядвижения – равнопеременное движение(равноускоренное или равнозамедленное);

или- тангенциальное ускорение меняется стечением времени по закону синуса иликосинуса – гармоническое колебательноедвижение (например, грузик на пружине).

Аналогично для вращательного движения:

-равномерное вращение;

-неравномерное вращение

Типыдвижения записать более компактно

-равноускоренное

вращение

— замедлен-

ное вращение;

-равнопе-

ременное вращение

Крутильные колебания (например, трифилярный подвес – диск, подвешенный на трех упругих нитях, и совершающий колебания в горизонтальной плоскости).

Еслиизвестен один из кинематических законовв аналитической форме, то можно найтидругие, при этом возможны два типа задач:

Iтип – по заданному закону пути илинайти закон скоростиилиизакон ускоренияили;

IIтип – по заданному закону ускорения илинайти закон скоростиилиизакон путиили.

Эти задачи являются взаимно обратнымии решаются на основе применения обратныхматематических операций. Первый типзадач решается на основе определений,то есть путем применения операциидифференцирования.

— задано

— ?

-?.

Второйтип задач решается путем интегрирования.Если скорость есть первая производнаяот пути по времени, то путь по отношениюк скорости можно найти как первообразную.Аналогично: ускорение есть производнаяот скорости по времени, тогда скоростьпо отношению к ускорению – первообразная.Математически эти действия выглядяттак:

-приращение пути за бесконечно малыйпромежуток времени .Для конечного интервала отдоинтегрируем:.По правилам интегрирования.Чтобы взять интеграл в правой части,нужно знать вид закона скорости, то есть.Окончательно, для нахождения положениятела на траектории в произвольный моментвремени получаем:

,где (1.2.14)

-изменение скорости за бесконечно малыйпромежуток времени .

Дляконечного интервала от до:

Источник: https://studfile.net/preview/2792004/page:2/

Тангенциальное и нормальное ускорения

Как определить тангенциальное ускорение точки...

Тангенциальное(касательное) ускорение-это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Направление вектора тангенциального ускорения a лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение-это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела.

Векторперпендикулярен линейной скорости движения, направлен по радиусу кривизны траектории.

Формула скорости при равноускоренном движении

Поступательное и вращательное движение твердого тела.

Поступательное движение— движение, при котором все точки тела движутся по одинаковым траекториям.
Поступательное движение бывает двух типов: равномерное и неравномерное.

Вращательное движение – это движение тела вокруг некоторой оси. При таком движении все точки тела совершают движение по окружностям, центром которых является эта ось.

Угловая скорость. Угловое ускорение.

Угловая скорость — векторная величина, являющаяся псевдовектором (аксиальным вектором) и характеризующая скорость вращения материальной точки вокруг центра вращения. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота точки вокруг центра вращения за единицу времени:

Угловое ускорение — псевдовекторная физическая величина, равная первой производной от псевдовектора угловой скорости по времени

Угловое ускорение характеризует интенсивность изменения модуля и направления угловой скорости при движении твердого тела

Связь линейной скорости с угловой и тангенциального ускорения с угловым.

Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости . Скорость каждой точки, будучи направлена по касательной к соответствующей окружности, непрерывно изменяет свое направление.

Величина скорости определяется скоростью вращения тела и расстоянием R рассматриваемой точки от оси вращения. Пусть за малый промежуток времени тело повернулось на угол (рис.2.4).

Точка, находящаяся на расстоянии R от оси проходит при этом путь, равный

Линейная скорость точки по определению.

Тангенциальное ускорение

Воспользовавшись тем же отношением получаем

1.4

Первый закон Ньютона (или закон инерции)

Существуют такие системы отсчета, относительно которых изолированные поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость неизменной по модулю и направлению.

Инерциальной системой отсчёта является такая система отсчёта, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно (т.е. с постоянной скоростью).

В при­ро­де су­ще­ству­ют че­ты­ре вида вза­и­мо­дей­ствия

1. Гра­ви­та­ци­он­ное (сила тя­го­те­ния) – это вза­и­мо­дей­ствие между те­ла­ми, ко­то­рые об­ла­да­ют мас­сой.

2. Элек­тро­маг­нит­ное- спра­вед­ли­во для тел, об­ла­да­ю­щих элек­три­че­ским за­ря­дом, от­вет­ствен­но за такие ме­ха­ни­че­ские силы, как сила тре­ния и сила упру­го­сти.

3.Силь­ное- вза­и­мо­дей­ствие ко­рот­ко­дей­ству­ю­щее, то есть дей­ству­ет на рас­сто­я­нии по­ряд­ка раз­ме­ра ядра.

4. Сла­бое. Такое вза­и­мо­дей­ствие от­вет­ствен­но за неко­то­рые виды вза­и­мо­дей­ствия среди эле­мен­тар­ных ча­стиц, за неко­то­рые виды β-рас­па­да и за дру­гие про­цес­сы, про­ис­хо­дя­щие внут­ри атома, атом­но­го ядра.

Масса– является количественной характеристикой инертных свойств тела. Она показывает, как тело реагирует на внешнее воздействие.

Сила – является количественной мерой действия одного тела на другое.

Второй закон Ньютона.

Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение: F=ma

Измеряется в

Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения, называется импульсом тела(или количеством движения). Импульс тела – векторная величина. Единицей измерения импульса в СИ является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

Выражение второго закона Ньютона через изменение импульса тела

Равномерное движение– это движение с постоянной скоростью, то есть когда скорость не изменяется (v = const) и ускорения или замедления не происходит (а = 0).

Прямолинейное движение – это движение по прямой линии, то есть траектория прямолинейного движения – это прямая линия.

Равноускоренное движение — движение, при котором ускорение постоянно по модулю и направлению.

1.5



Источник: https://infopedia.su/7xd1f4.html

Тангенциальное ускорение — определение, формула и измерение

Как определить тангенциальное ускорение точки...

Первая лекция для студентов, изучающих кинематику, начинается с рассмотрения тангенциального ускорения, характеризуемого произвольным движением. По сути, рассматривается неравномерное прямолинейное движение общего вида.

Кинематика входит в механику и изучает перемещение объектов без учёта сил, вызвавших их движение. Под перемещением понимают изменение положения в пространстве по отношению к другому физическому телу, которое и считается точкой отсчёта.

Если изменение положения связать с координатами и временем, то образуется система отсчёта. С её помощью можно определить положение объекта в любой момент.

В кинематике любые процессы принято рассматривать, приняв тело за материальную точку. То есть его размерами и формой пренебрегают. При изменении за какой-то промежуток времени точка проходит путь, описывающийся линией — траекторией.

Она является скалярной величиной, а само перемещение — векторной. Движение материальной точки может происходить с разной скоростью и ускорением. Быстроту движения разделяют на среднюю и мгновенную.

Вторая определяется как предел, к которому стремится скорость на бесконечно малом временном интервале: v = Δs / Δt (Δt → 0).

Перемещение может происходить с ускорением. Это физическая величина, определяющая изменение быстроты перемещения. Иными словами, показывает изменение положения за единицу времени. Измеряется она в метрах на секунду в квадрате. В кинематике существует три вида ускорения:

  • Тангенциальное — направленное вдоль касательного пути точки в определённый момент. Из-за происхождения слова его часто называют касательным.
  • Нормальное — совпадающее с нормалью траектории изменения положения.
  • Полное — определяющееся суммой тангенциального и нормального ускорений.

Но также используется понятие «вектор среднего ускорения тела». Определяется он как приращение вектора скорости за промежуток времени: aср = Δv / Δt. При этом он будет совпадать по направлению с вектором скорости, то есть направлен в сторону вогнутости траектории.

Угловое ускорение

Если имеется какая-то точка, находящаяся на вращающемся теле, то скорость её направлена по касательной. Когда движение равномерное, то линейная скорость связана с угловой равенством: v = w * r. А вот ускорение тела будет направлено по радиусу к центру окружности, причём модуль вычисляется как a = v / r либо если это точка на вращающемся теле: a = w2 * r.

В момент, когда тело поворачивается за небольшой промежуток времени на угол дельта фи, угловую скорость можно связать с условием поворота через формулу: w = Δ φ / Δ t. Если тело вращается равномерно, то промежуток времени может быть любым. В ином случае эта величина будет равна мгновенной угловой скорости.

Можно представить, что материальная точка движется неравномерно, то есть изменяется угловая скорость тела. Линейная скорость не будет представлять собой постоянную величину, в отличие от равномерного перемещения.

Угол поворота равняется: w = v / r. Так как скорость не может быть константой, то отсюда следует, что и угловая скорость не будет постоянной величиной. Её изменение обозначают Δw.

Она равняется разности конечной угловой скорости и начальной: Δw = wк — wн.

Изменение угловой скорости можно разделить на промежуток времени, за который оно поменяло значение: (wк — wн) / Δt. По сути, получается ускорение. Обозначается характеристика буквой эпсилон E и называется угловым ускорением.

Измеряется характеристика в радианах на секунду в квадрате. Её смысл заключается в описании физической величины через отношение изменения угловой скорости тела за небольшой промежуток времени к длительности этого промежутка.

Пусть есть дуга окружности с центром. В начальный момент времени у тела есть скорость, направленная по касательной к траектории v0. Через некоторое время точка переместится по окружности на небольшое расстояние. Так как движение неравномерное, модуль скорости изменится v ≠ v0. Для того чтобы найти ускорение тела, нужно воспользоваться следующей формулой: a = Δv / Δt, при этом Δv = v — v0.

Чтобы найти эту разность, нужно воспользоваться правилом треугольника. Для этого следует перенести вектор V0 к V и соединить их линией. Радиус от центра к материальной точке можно обозначить R.

Дельта V можно представить, как сумму взаимно перпендикулярных векторов. Один из них будет направленных тангенциально к радиусу, в физике обозначают его Δ Vτ, а другой радиально Δ Vr.

В итоге: ΔV = Δ Vτ + Δ Vr.

Вывод формулы

Для доказательства формулы необходимо рассмотреть плоскую систему координат, в которой материальная точка изменяет своё положение по криволинейной траектории. В начальный момент её скорость будет равняться V0. Через некоторое время она изменится и станет V.

На графике в плоском измерении это можно представить в виде синусоиды. В определённый момент времени скорость превышает начальную: V > V0.

На схеме вектор нулевой скорости направлен из точки t0 вверх по касательной, а вектор V с нижней точки синусоиды параллельно оси ординаты.

Исходя из графика, можно сделать два вывода:

  • Через промежуток времени Δt скорость изменяется как по направлению, так и по модулю: Δt = t — t0.
  • Вектор изменения скорости, определяемый по правилу треугольника, будет равняться разности существующей скорости на данный момент и начальной: Δv = v — v0.

Для того чтобы построить вектор изменения Δv, нужно из конечной точки отрезка V0 провести линию к рассматриваемой точки, характеризующейся во времени скоростью V. Вершины полученного треугольника можно обозначить буквами ABD.

Из верхнего угла B на сторону AD можно опустить медиану. Точка пересечения со стороной пусть будет C. Получается, что вектор Δv можно разложить на две составляющие — отрезки BC и СD.

Причём медиана равняется Δvn, а изменение по оси ординаты Δvt.

Для разложения необходимо использовать вектор АС, длина которого совпадает с Vo по модулю: |AC| = |AB| = V0. Так как Δvn — результирующий вектор, то его можно вычислить через сумму: Δv = Δvn + Δvt.

Причём первый член в равенстве характеризует изменение быстроты за промежуток времени по направлению, а второй — по модулю. Исходя из того, что t не равняется нулю, на него можно разделить левую и правую часть равенства: Δv / Δt = Δvn / Δt + Δvt / Δt.

Если дельта-времени стремится к нулю, то формулу можно переписать в виде: lim Δv / Δt = lim Δvn / Δt + lim Δvt / Δt.

Учитывая связь между ускорениями и то, что полное значение состоит из суммы изменения быстроты движения по модулю и направлению, можно утверждать о верности формулы: a = at + an. Так как направление векторов ускорения и скорости всегда совпадают, то последний можно представить, как параметр, состоящий из двух взаимно перпендикулярных компонент:

  • at — тангенциальной составляющей, совпадающей с отрезком V;
  • an — перпендикулярным по отношению расположения V вектором.

Используя теорему Пифагора, можно сказать, что модуль полного ускорения равняется корню квадратному из суммы квадратов тангенциального и нормального ускорения: a = √at 2 + an 2.

Решение простых примеров

В школьном курсе на уроках физики учащимся для закрепления материала предлагается решить определённый тип задач, используя определение тангенциального ускорения. Это типовые примеры, объясняющие суть характеристики и её применение в реальной практике. Вот некоторые из них.

  1. Вычислить все ускорения точки, лежащей на окружности, через десять секунд после воздействия на диск вращателя. При этом учесть, что радиус окружности составит 20 см, а угол между валом и радиус вектором тела соответствует закону: j =3-t+0.2t3. Для решения примера необходимо использовать формулы для нахождения угловой скорости и ускорения. Подставив заданные значения, можно получить: w = d φ / dt = -1 + 0,2 * 3t2 и e = dw / dt = 0,6 * 2t. Применив формулу связи, легко найти ускорение: at = R * E * (0,6 * 2t) = 1,2 * Rt = 24 м2/с. Подставив в формулу нормального ускорения значения, можно вычислить и его an = V2 / R = R * (0,6 * 102 — 1)2 / 0,2 = 696 м/с2. Отсюда полное ускорение будет равняться: a = √ 242 + 6962 = 697 м/с2.
  2. Материальное тело перемещается по окружности, имеющей радиус 20 см. При этом тангенциальное ускорение равняется 5 см на секунду в квадрате. Определить, сколько понадобится времени, чтобы ускорения сравнялись и нормальное стало больше тангенциального в два раза. Исходя из условия, можно утверждать, что движение является равноускоренным. Поэтому можно применить формулы: an = V2 / t; at = V / t. Отсюда: t = V / at, а V = √an * R. Подставив второе выражение в первое, получится: t = (√an * R) / at. При равенстве ускорений an = at, будет верной запись: t = √R / at = √20 / 5 = 2 с. Для второго случая an = 2at, поэтому: t = (√2 * 20) / 5 = 2,8 c.

Но не всегда решаемые задания можно решить, обойдясь одной формулой. При этом значения тех или иных величин могут быть довольно сложными для проведения вычислений. В таких случаях есть резон использовать так называемые онлайн-калькуляторы.

Это специализированные сайты, выполняющие подсчёт в автоматическом режиме. Из таких сервисов можно выделить: сalc, widgety, webmath.

Указанные интернет-решители работают на русском языке, так что вопросов, как с их помощью выполнять расчёты, возникнуть не должно.

Сложная задача

Пусть имеется физическое тело, которое движется, замедляясь по окружности радиусом R так, что в каждый момент времени её тангенциальное и нормальное убыстрение равны друг другу по модулю. Необходимо найти зависимость скорости и полного ускорения от времени и пройденного пути. В начальный момент скорость равняется V0.

Согласно условию, тангенциальное ускорение будет отрицательным, так как точка движется, замедляясь. Для понимания задачи можно изобразить схему движения. Для этого необходимо нарисовать окружность и указать на ней вектор начальной скорости, тангенциального и нормального ускорения. Изобразить вектор полного ускорения как сумму векторов.

Нормальное ускорение можно выразить через скорость и радиус: an = V2 / R. Затем необходимо записать формулу для тангенциального ускорения: at = dV / dt. Так как они равны, то справедливым будет равенство: V2 / R = dV / dt.

Анализируя уравнение, можно сделать вывод, что так как скорость и радиус положительный, то слева будет стоять величина со знаком плюс.

Но, с другой стороны, со временем скорость убывает, поэтому с правой стороны нужно поставить знак минус: V2 / R = — dV / dt.

Полученное уравнение является дифференциальным и показывает зависимость скорости от времени. Равенство можно преобразовать, умножив на отношение dt / V2.

В итоге должно получиться выражение: dV / V2 = — dt / R. Это уравнение можно проинтегрировать. При этом пределами интеграла с левой стороны будет V0 и V, а с правой — 0 и t.

Получился обыкновенный степенной интеграл, который будет равняться: 1 / V = dt / R.

Подставив пределы, можно получить равенство: (1 / V) — (1 / V0) = t / R. Из полученной формулы следует выразить скорость: V = (V0 * R) / (R + V0 * t). Поделив числитель и знаменатель на радиус, ответ примет вид: V (t) = V0 / (1 + (V0 * t / R)).

Теперь можно найти тангенциальное убыстрение, так как оно представляет производную от скорости. После взятия производной получится: at = dV / dt = — V02 / R (1 + V0 * t / R)2 = — V2 / R.

Отсюда можно написать, что модуль полного ускорения будет равняться: a = √2 *|ar| = (√2 * V2) / R. Осталось найти путь. Он совпадает с длиной дуг и равняется интегралу модуля скорости от времени.

После решения должно получиться равенство: S (t) = R * ln (1 + V0 * t / R). Задача решена.

Источник: https://nauka.club/fizika/tangentsialno%D0%B5-uskoreni%D0%B5.html

Понятия о скорости, тангенциальном и нормальном ускорениях. Формулы

Как определить тангенциальное ускорение точки...

Чтобы уметь решать различные задачи на движение тел по физике, необходимо знать определения физических величин, а также формулы, с помощью которых они связаны. В этой статье будут рассмотрены вопросы, что такое тангенциальная скорость, что такое полное ускорение и какие компоненты его составляют.

Понятие о скорости

Двумя основными величинами кинематики перемещения тел в пространстве являются скорость и ускорение. Скорость описывает быстроту перемещения, поэтому математическая форма записи для нее имеет следующий вид:

Что такое туча? Определение

v¯ = dl¯/dt.

Здесь l¯ — является вектором перемещения. Иными словами, скорость — это производная по времени от пройденного пути.

Как известно, всякое тело движется по воображаемой линии, которая называется траекторией. Вектор скорости всегда направлен по касательной к этой траектории, в какой бы точке не находилось движущееся тело.

Существует несколько названий величины v¯, если рассматривать ее совместно с траекторией. Так, поскольку направлена она по касательной, то ее называют тангенциальной скоростью. Также о ней могут говорить, как о линейной физической величине в противоположность угловой скорости.

Вычисляется скорость в метрах в секунду в СИ, однако на практике часто пользуются километрами в час.

Понятие об ускорении

В отличие от скорости, которая характеризует быстроту прохождения телом траектории, ускорение — это величина, описывающая быстроту изменения скорости, что математически записывается так:

a¯ = dv¯/dt.

Как и скорость, ускорение — это векторная характеристика. Однако его направление не связано с вектором скорости. Оно определяется изменением направления v¯.

Если в процессе движения скорость не изменяет своего вектора, тогда ускорение a¯ будет направлено вдоль той же линии, что и скорость. Такое ускорение называют тангенциальным.

Если же скорость будет менять направление, сохраняя при этом абсолютное значение, то ускорение будет направлено к центру кривизны траектории. Оно называется нормальным.

Измеряется ускорение в м/с2. Например, известное всем ускорение свободного падения является тангенциальным при вертикальном подъеме или падении объекта. Его величина вблизи поверхности нашей планеты составляет 9,81 м/с2, то есть за каждую секунду падения скорость тела увеличивается на 9,81 м/с.

Причиной появления ускорения является не скорость, а сила. Если сила F оказывает действие на тело массой m, то она неминуемо создаст ускорение a, которое можно вычислить так:

a = F/m.

Эта формула является прямым следствием из второго закона Ньютона.

Полное, нормальное и тангенциальное ускорения

Скорость и ускорение как физические величины были рассмотрены в предыдущих пунктах. Теперь мы подробнее изучим, какие компоненты составляют полное ускорение a¯.

Предположим, что тело движется со скоростью v¯ по криволинейной траектории. Тогда будет справедливо равенство:

v¯ = v*u¯.

Вектор u¯ имеет единичную длину и направлен вдоль касательной линии к траектории. Воспользовавшись таким представлением скорости v¯, получим равенство для полного ускорения:

a¯ = dv¯/dt = d(v*u¯)/dt = dv/dt*u¯ + v*du¯/dt.

Полученное в правом равенстве первое слагаемое называется тангенциальным ускорением. Скорость связана с ним тем фактом, что она количественно определяет изменение абсолютного значения величины v¯, не принимая во внимание ее направление.

Второе слагаемое — это нормальное ускорение. Оно количественно описывает изменение вектора скорости, не принимая во внимание изменение ее модуля.

Если обозначить как at и an тангенциальную и нормальную составляющие полного ускорения a, тогда модуль последнего можно вычислить по формуле:

a = √(at2 + an2).

Связь тангенциального ускорения и скорости

Соответствующую связь описывают кинематические выражения. Например, в случае движения по прямой с постоянным ускорением, которое является тангенциальным (нормальная составляющая равна нулю), справедливы выражения:

v = at*t;

v = v0 ± at*t.

В случае движения по окружности с постоянным ускорением эти формулы так же справедливы.

Таким образом, какой бы ни была траектория перемещения тела, тангенциальное ускорение через тангенциальную скорость рассчитывается, как производная по времени от ее модуля, то есть:

at = dv/dt.

Например, если скорость изменяется по закону v = 3*t3 + 4*t, тогда at будет равно:

at = dv/dt = 9*t2 + 4.

Скорость и нормальное ускорение

Запишем в явном виде формулу для нормальной компоненты an, имеем:

an¯ = v*du¯/dt = v*du¯/dl*dl/dt = v2/r*re¯

Где re¯ — единичной длины вектор, который к центру кривизны траектории направлен. Это выражение устанавливает связь тангенциальной скорости и нормального ускорения. Видим, что последнее зависит от модуля v в данный момент времени и от радиуса кривизны r.

Нормальное ускорение появляется всегда, когда изменяется вектор скорости, однако оно равно нулю, если этот вектор сохраняет направление. Говорить о величине an¯ имеет смысл только тогда, когда кривизна траектории является конечной величиной.

Выше мы отмечали, что при движении по прямой линии нормальное ускорение отсутствует. Однако в природе существует тип траектории, при движении по которой an имеет конечную величину, а at = 0 при |v¯| = const.

Этой траекторией является окружность.

Например, вращение с постоянной частотой металлического вала, карусели или планеты вокруг собственной оси происходит с постоянным нормальным ускорением an и нулевым тангенциальным ускорением at.

Источник

Источник: https://1Ku.ru/obrazovanie/52399-ponjatija-o-skorosti-tangencialnom-i-normalnom-uskorenijah-formuly/

§ 1.27. Тангенциальное, нормальное и полное ускорения

Как определить тангенциальное ускорение точки...

  • Когда точка движется произвольно, то ее скорость изменяется как по направлению, так и по модулю. В этом случае очень удобно полное ускорение разложить на составляющие по направлению скорости и перпендикулярно к ней.

Ускорение при неравномерном криволинейном движении

Пусть в некоторый момент времени t точка занимает положение А (рис. 1.83, а) и имеет скорость v1, a спустя малое время Δt точка переместилась в положение В1 приобретя скорость v2.

Рис. 1.83

Разложим вектор изменения скорости Δ на составляющие Δτ и Δn (рис. 1.83, б). Первая составляющая направлена по скорости 1 т. е. по касательной к траектории, проведенной в точке А. Она называется тангенциальной (касательной) составляющей вектора Δ. Составляющая Δn ⊥ 1. Поэтому Δn называется нормальной составляющей приращения скорости Δ. По правилу сложения векторов

Δ = Δτ + Δn.

Разделим почленно это равенство на Δt и перейдем к пределу при стремлении Δt -» 0:

Каждое слагаемое этого равенства есть составляющая ускорения (см. § 1.15). Левая часть равенства (1.27.1) является полным ускорением точки. Первое слагаемое в правой части называется тангенциальным (касательным) ускорением, второе слагаемое — уже знакомое нам нормальное ускорение.

Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории, так как t ↑↑ . При ускоренном движении точки (модуль скорости возрастает) касательное ускорение имеет то же направление, что и скорость.

При замедленном движении оно направлено противоположно скорости. Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости.

Нормальное ускорение ап перпендикулярно скорости и характеризует быстроту изменения направления скорости.

Полное ускорение точки равно сумме тангенциального и нормального ускорений:

На рисунке 1.84, а изображен случай ускоренного движения, а на рисунке 1.84, б — замедленного движения точки.

Рис. 1.84

Модуль нормального ускорения

Мы нашли, как направлены тангенциальное и нормальное ускорения. Выражение для модуля нормального ускорения при движении по окружности радиусом r нам известно:

Если движение происходит вдоль произвольной кривой, то под r надо понимать радиус кривизны траектории в данной точке. Выясним, что такое радиус кривизны кривой линии в точке. Выберем на кривой АВ вблизи точки М с обеих сторон от нее еще две точки: К и L (рис. 1.85).

Через три точки К, М и L можно провести единственную окружность.

Если точки К и L приближать к точке М, каждый раз проводя через эти три точки окружность, то мы получим серию окружностей разных радиусов, дуги которых вблизи точки М все меньше и меньше будут отличаться от кривой АВ.

Рис. 1.85

В пределе, когда точки К и L сколь угодно близко подходят к точке М, радиус проходящей через них окружности также стремится к предельному значению. Это предельное значение радиусов окружностей и называется радиусом кривизны кривой АВ в точке М.

Модуль тангенциального и полного ускорений

Модуль тангенциального ускорения равен

где dv — приращение модуля скорости за бесконечно малый интервал времени dt. Модуль полного ускорения а. точки можно найти по теореме Пифагора (см. рис. 1.84, а, б):

Полное ускорение направлено по секущей в сторону вогнутости траектории.

Классификация движений

По значениям, которые принимают нормальное и тангенциальное ускорения, можно классифицировать различные движения точки.

Если аn = 0, то при любых значениях скорости движение точки происходит по прямой линии. Эту прямую можно рассматривать как окружность бесконечно большого радиуса (г —> ∞).

Если аt = 0 и аn = 0, но скорость отлична от нуля, то движение по прямой будет равномерным, так как не меняется модуль скорости.

В случае аn ≠ 0 движение точки криволинейное, так как меняется направление скорости. Когда аn ≠ 0, аt = 0, то при движении по кривой линии модуль скорости точки не изменяется — точка движется равномерно.

Если аt = 0, аn = const, то точка совершает равномерное движение по окружности.

И наконец, когда оба ускорения 1 и n отличны от нуля, то точка движется неравномерно по криволинейной траектории.

В заключение заметим, что если точка движется равномерно по криволинейной траектории, то можно вычислить путь, пройденный точкой, по формуле s = vt.

При произвольном движении вектор ускорения направлен внутрь траектории. Тангенциальная составляющая этого вектора характеризует изменение скорости по модулю, а нормальная составляющая — по направлению.

Источник: http://tepka.ru/fizika_10/36.html

Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях – решение задачи

Как определить тангенциальное ускорение точки...

Приводятся основные законы и формулы, применяемые при решении задач на определение скоростей и ускорений точек твердого тела при вращательном движении вокруг неподвижной оси.

Рассмотрен пример подробного решения задачи. В ней дан механизм, состоящий из колес, рейки и груза, соединенных нитями и зубчатой передачей.

Требуется найти скорости и ускорения точек, принадлежащих звеньям этого механизма.

Рассмотри твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z. Сделаем рисунок. Ось вращения направим перпендикулярно плоскости рисунка, на нас. Пусть φ – угол поворота тела вокруг оси, отсчитываемый от некоторого начального положения.

За положительное направление выберем направление против часовой стрелки. Угловая скорость ω равна производной угла поворота по времени t:
.
При , тело вращается против часовой стрелки; при – по часовой.

Вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости рисунка. При он направлен на нас; при – от нас.

Угловое ускорение ε равно производной угловой скорости по времени:
.
Вектор углового ускорения также направлен перпендикулярно плоскости рисунка. При он направлен на нас; при – от нас.

Скорость точки при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим точку A, принадлежащую твердому телу. Опустим из нее перпендикуляр OA на ось вращения. Пусть – расстояние от точки до оси. Траекторией движения точки A является окружность (или дуга) с центром в точке O радиуса .

Абсолютное значение скорости точки A определяется по формуле:
.
Вектор скорости направлен по касательной к траектории (окружности), перпендикулярно отрезку OA. При этом вектор должен производить закручивание в ту же сторону, что и вектор угловой скорости .

Касательное (или тангенциальное) ускорение точки A определяется аналогично скорости:
.
Оно направлено по касательной к окружности, перпендикулярно OA. При этом вектор должен производить закручивание в ту же сторону, что и вектор углового ускорения .

Ускорение точки при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси

Нормальное ускорение всегда направлено к центру окружности и имеет абсолютную величину
.

Полное ускорение точки A, или просто ускорение, равно векторной сумме касательного и нормального ускорений:
.
Поскольку векторы и перпендикулярны, то абсолютная величина ускорения точки A определяется по формуле:
.

Поступательное прямолинейное движение

Теперь рассмотрим прямолинейное поступательное движение тела. Направим ось x вдоль его линии движения. Пусть s есть перемещение тела вдоль этой оси относительно некоторого начального положения. Тогда скорость движения всех точек тела равна производной перемещения по времени:
.
При , вектор скорости направлен вдоль оси x. При – противоположно этой оси.

Ускорение точек тела равно производной скорости по времени, или второй производной перемещения по времени:
.
При , вектор ускорения направлен вдоль оси x. При – противоположно.

Соприкосновение тел без проскальзывания

Рассмотрим два тела, находящиеся в зацеплении без проскальзывания. Пусть точка A принадлежит первому телу, а точка B – второму.

И пусть, в рассматриваемый момент времени, положения этих точек совпадают. Тогда, если между телами нет проскальзывания, то скорости этих точек равны:
.

Если каждое из тел вращается вокруг неподвижной оси, то равны соответствующие касательные ускорения:

.

Если одно из тел движется поступательно (пусть это второе тело), то ускорение его точек равно касательному ускорению точки соприкосновения первого тела:

.

Пример решения задачи

Условие задачи

Механизм состоит из ступенчатых колес 1, 2, 3, находящихся в зацеплении и связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес.

Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1 – r1 = 2 см, R1 = 4 см, у колеса 2 – r2 = 6 см, R2 = 8 см, у колеса 3 – r3 = 12 см, R3 = 16 см. На ободьях колес расположены точки A, B и C. Задан закон движения груза: s5 = t3 – 6t (см).

Положительное направление для s5 – вниз.

Определить в момент времени t = 2 скорости точек A, C; угловое ускорение колеса 3; ускорение точки B и ускорение рейки 4.

Эта задача – на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что проскальзывание в ременной передаче и в точках сцепления колес отсутствует. То есть скорости точек колес, находящихся в зацеплении равны, а скорости точек ремня равны скорости точек, лежащих на ободе колес, связанных ременной передачей.

Дано:
t = 2 с; r1 = 2 см, R1 = 4 см; r2 = 6 см, R2 = 8 см; r3 = 12 см, R3 = 16 см; s5 = t3 – 6t (см).

Решение

Груз 5 совершает поступательное движение. Поэтому скорости (и ускорения) всех его точек равны. В условии задачи задано смещение s груза относительно некоторого начального положения. Дифференцируя по времени t, находим зависимость скорости точек груза от времени:
. Дифференцируя скорость груза по времени, находим зависимость ускорения груза от времени:

.

Находим скорость и ускорение груза в заданный момент времени :
см/с;
см/с2.

Определение угловых скоростей и ускорений колес

Решение задачи

Груз 5 связан нитью с внутренним ободом колеса 3. Поэтому скорости точек внутреннего обода колеса 3 равны скорости груза:
. Отсюда находим угловую скорость колеса 3 для произвольного момента времени:

.

Здесь подразумевается, что и являются функциями от времени t. Дифференцируя по t, находим угловое ускорение колеса 3:
.
Находим значения угловой скорости и углового ускорения в момент времени с. Для этого подставляем найденные значения и при с:
с–1;
с–2.

Рассмотрим колесо 2. Его внутренний обод связан нитью с внешним ободом колеса 3. Поэтому скорости точек на этих ободьях равны:
. Отсюда
. Дифференцируя по времени, находим угловое ускорение колеса 2 в произвольный момент времени:

.

Подставляем значения для с:
с–1;
с–2.

Рассмотрим колесо 1. Его внутренний обод находится в зацеплении с внешним ободом колеса 2. Поэтому скорости точек на этих ободьях равны:
. Отсюда
. Дифференцируя по времени, находим угловое ускорение колеса 1 в произвольный момент времени:

.

Подставляем значения для с:
с–1;
с–2.

Итак, мы нашли:
ω1 = 5.3333 с–1, ω2 = 1.3333 с–1, ω3 = 0.5 с–1, ε1 = 10.6667 с–2, ε2 = 2.6667 с–2, ε3 = 1 с–2.

Определение скоростей точек A и C

Точка A лежит на окружности радиуса R1 с центром в точке O1, расположенной на оси вращения. Поэтому скорость этой точки направлена по касательной к окружности и по абсолютной величине равна
см/с.

Точка C лежит на окружности радиуса R3 с центром O3 на оси вращения. Скорость этой точки:
см/с.

Определение ускорения точки B

Точка B лежит на окружности радиуса R2 с центром O2, расположенном на оси вращения. Касательное (или тангенциальное) ускорение этой точки направлено по касательной к окружности в сторону, на которую указывает угловое ускорение (по часовой стрелке). По абсолютной величине оно равно
см/с2.

Нормальное ускорение всегда направлено к центру окружности. По абсолютной величине оно равно
см/с2.

Полное ускорение равно векторной сумме касательного и нормального ускорений:
. Поскольку касательное ускорение перпендикулярно нормальному, то для абсолютной величины полного ускорения имеем:

см/с2.

Определение ускорения рейки 4

Рейка 4 движется поступательно по направляющим. Она находится в зацеплении с внешним ободом колеса 1. Поэтому ее скорость равна скорости точек внешнего обода колеса 1:
. Дифференцирую по времени, получаем ускорение рейки в произвольный момент времени:

.

Подставляем численные значения для момента времени t = 2 с:
см/с2.

Ответ

см/с;   см/с;   с–2;   см/с2;   см/с2.

Олег Одинцов.     : 25-10-2019

Источник: https://1cov-edu.ru/termeh/kinematika/tela/opredelenie-skorostej-i-uskorenij-pri-vraschatelnom-dvizhenii/

Ускорение.Тангенциальная и нормальная составляющая ускорения. Кинематика вращательного движения

Как определить тангенциальное ускорение точки...

§4 Ускорение.

Тангенциальная и нормальная  составляющие ускорения

   Ускорение – векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости движущегося тела по величине и направлению.

   Средним ускорением точки в интервале времени Δt называется вектор аср, равный отношению приращения вектора скорости ΔV к промежутку Δt.

   Ускорением (мгновенным ускорением) точки называется векторная величина a, равная первой производной скорости v по времени (или вторая производная радиус — вектора по времени):

  Ускорение точки в момент времени t равно пределу среднего ускорения  при

   В декартовой системе координат вектор  можно записать через его координаты:

, где

Модуль вектора ускорения

Вектор  можно представить в виде суммы двух составляющих:

— тангенциальная составляющая ускорения направлена по касательной к траектории точки и равна

где вектор  – единичный вектор касательной, проведенной в точке траектории и направлении скорости

Векторы  и  сонаправлены при равноускоренном движении;  при  т.е. при равнозамедленном движении.

Касательное ускорение  — характеризует быстроту изменения модуля вектора скорости точки (характеризует изменение скорости по величине).

Для равномерного движения:          

-нормальная составляющая ускорения (нормальное ускорение) направлена по нормали к траектории и рассматриваемой точке в сторону к центру кривизны траектории.

Криволинейную траекторию можно представить как совокупность элементарных участков, каждый из которых может рассматриваться как дуга окружности некоторого радиуса R (называемого радиусом кривизны кривой в окружности данной точки траектории)

  Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления вектора скорости (характеризует изменение скорости по направлению).

Модуль полного ускорения:

Классификация движений зависит от тангенциальных и нормальных составляющих:

1)

2)                 

3)

4)

5)

6)

7)

§5 Кинематика вращательного движения

Поворот тела на некоторый угол φ можно описать с помощью вектора, длина которого равна φ, а направление совпадает с осью вращения и определяется по правилу правого винта (буравчика, правой руки):

Четыре пальца правой руки – по направлению вращения, согнутый большой палец укажет направление вектора .

Направление вектора поворота φ, связывается с направлением вращения правилом правой руки.

Такие векторы называют аксиальными (осевыми) или псевдовекторами, чтобы подчеркнуть их отличие от обычных (иногда называемых полевыми) векторов.

Угловой скоростью называют вектор  который численно равен первой производной от угла поворота  по времени t и направлен вдоль неподвижной оси по правилу правой руки.

Угловая скорость , как и является аксиальным вектором. Аксиальные векторы не имеют определённых точек приложения, они могут откладываться из любой точки оси вращения. Часто их откладывают от неподвижной точки оси вращения, принимаемой одновременно за начало координат системы отчёта. Вращение тела называют равномерным, если .

Скорость  точки в отличие от угловой скорости , тела называют линейной скоростью. Она направлена перпендикулярно как к оси вращения (т.е. к вектору ), так и радиус — вектору  R, проведённому в точку Р из центра окружности О и равна их векторному произведению:

Равномерное вращение можно  характеризировать периодом вращения Т, под которым понимают время, за которое тело делает один оборот, т.е. поворачивается на угол . Тогда  — связь угловой скорости с периодом обращения.

Частота вращения — число оборотов в единицу времени       ;   .

В случае переменного вращательного движения угловая скорость         материальной точки не изменяется как по величине, так и по направлению. Для характеристики быстроты изменения вектора угловой скорости   при неравномерном вращении вокруг неподвижной оси вводится вектор        углового ускорения тела, равный первой производной от его угловой скорости   по времени.

Вектор  так же является аксиальным (или псевдовектором). Векторы  и   сонаправлены при ускоренном вращении () и           противоположно направлены при замедленном вращении.

 ()

Ускорение  произвольной точки Р тела в отличие от углового ускорения  тела называет линейным ускорением.

Для равноускоренного вращательного движения можно записать:

Связь линейных и угловых величин:                        

Источник: http://bog5.in.ua/lection/mechanics_lect/lect2_meh.html

Biz-books
Добавить комментарий