Как определить работу внешних сил для поворота диполя…

Глава 2. Электрический диполь Основные формулы

Как определить работу внешних сил для поворота диполя...

Дипольесть система, состоящая из двух равныхпо модулю и противоположных по знакузарядов. Вектор I,проведенный от отрицательного кположительному заряду, называетсяплечом диполя.

Электрическиймомент диполя

,

где– заряд диполя.

Электрическийдипольный момент молекулы принятовыражать в единицах атомного масштаба– дебай (D) = 3,33∙10-30Кл∙м.

Дипольназывается точечным, если расстояниеrот центра диполя доточки, в которой рассматривается действиедиполя, много больше плеча диполя.

Напряженностьполя точечного диполя:

а)на оси диполя

,или ;

б)на перпендикуляре к оси диполя

,или ;

в)в общем случае

,или ,

где─ угол между радиусом-векторомrи электрическим дипольным моментомр(рис. 2.1).

Потенциал поля диполя

.

Потенциальная энергиядиполя в электростатическом поле

.

Механический момент,действующий на диполь с электрическимдипольным моментом ,помещенный в однородное электрическоеполе с напряженностью,

или,

где– угол между направлением векторови.

Сила F,действующая на диполь в неоднородномэлектростатическом поле, обладающемосевой (вдоль осих)симметрией,

,

где─ величина, характеризующая степеньнеоднородности электростатическогополя вдоль оси х;– угол между векторамии.

Примеры решения задач

Пример1.Диполь с электрическим моментом находится в однородном электрическомполе напряженностью.Вектор электрического моментасоставляет уголс направлением силовых линий поля.Определить работуAвнешних сил, совершенную при поворотедиполя на угол .

Решение.Из исходного положения (рис. 2.2, а)диполь можно повернуть на угол ,вращая его по часовой стрелкедоугла (рис. 2.2, б), илипротив часовой стрелки до угла(рис. 2.2,в).

Впервом случае диполь будет поворачиватьсяпод действием сил поля. Следовательно,работа внешних сил при этом отрицательна.Во втором случае поворот может бытьпроизведен только под действием внешнихсил и работа внешних сил при этомположительна.

Работу,совершаемую при повороте диполя, можновычислить двумя способами: 1) непосредственноинтегрированием выражения элементарнойработы; 2) с помощью соотношения междуработой и изменением потенциальнойэнергии диполя в электрическом поле.

а б в

Рис.2.2

1-йспособ. Элементарная работа приповороте диполя на угол:

,

аполная работа при повороте на угол отдо:

.

Произведяинтегрирование, получим

. (2.1)

Работавнешних сил при повороте диполя почасовой стрелке

,

противчасовой стрелки

.

2-йспособ. Работа А внешних сил связанас изменением потенциальной энергиисоотношением

,

где ─ потенциальные энергии системысоответственно в начальном и конечномсостояниях. Так как потенциальнаяэнергия диполя в электрическом полевыражается формулой,то

, (2.2)

чтосовпадает с формулой (2.1), полученнойпервым способом.

Пример2.Три точечных заряда,,,образуют электрически нейтральнуюсистему, причем.Заряды расположены в вершинахравностороннего треугольника. Определитьмаксимальные значения напряженностии потенциалаполя, создаваемого этой системой зарядов,на расстоянииот центра треугольника, длина стороныкоторого.

Решение.Нейтральную систему, состоящую из трехточечных зарядов, можно представить ввиде диполя. Действительно, «центртяжести» зарядовилежит на середине отрезка прямой,соединяющей эти заряды (рис. 2.3). В этойточке можно считать сосредоточеннымзаряд.А так как система зарядов нейтральная(),то

.

Таккак расстояние между зарядами Q3и Qмного меньше расстояния r(рис. 2.4), то систему этих двух зарядовможно считать диполем с электрическиммоментом,где─плечо диполя. Электрическиймоментдиполя

.

Тотже результат можно получить другимспособом. Систему из трех зарядовпредставим как два диполя с электрическимимоментами (рис. 2.5), равными по модулю:;.Электрический момент системы зарядовнайдем как векторную суммуи, и.Какэто следует из рис. 2.5, имеем.Таккак,то

,

чтосовпадает с найденным ранее значением.

Напряженностьи потенциалполя диполя выражаются формулами

; ,

где─ угол между радиусом-вектороми электрическим дипольным моментом(рис. 2.1).

Напряженностьи потенциал будут иметь максимальныезначения при = 0, следовательно,

; .

Таккак,то

;.

Вычислениядают следующие значения:

;.

Задачи

201.Вычислить электрический момент р диполя,если его заряд,.(Ответ:50нКл∙м).

202.Расстояние между зарядамиидиполя равно 12 см. Найти напряженностьЕ и потенциалполя, созданного диполем в точке,удаленной накак от первого, так и от второго заряда.(Ответ: ;).

203.Диполь с электрическим моментомобразован двумя точечными зарядамии.Найти напряженностьEи потенциал электрического поля в точкеA(рис. 2.6), находящейся на расстоянии от центра диполя. (Ответ: ;).

204.Электрический момент диполя .Определить напряженность Е и потенциалполя, созданного в точкеA(рис. 2.6), находящейся на расстоянии отцентра диполя. (Ответ:;).

205.Определить напряженность Eи потенциал поля, создаваемого диполем с электрическиммоментомна расстоянииот центра диполя, в направлении,составляющем уголс вектором электрического момента.(Ответ:;).

206.Диполь с электрическим моментом равномерно вращается с частотойотносительно оси, проходящей черезцентр диполя и перпендикулярной егоплечу. Точка С находится на расстоянииот центра диполя и лежит в плоскостивращения диполя. Вывести закон измененияпотенциала как функцию времени в точкеС. Принять, что в начальный момент временипотенциал в точке С.Построить график зависимости.(Ответ:;;).

207.Диполь с электрическим моментом равномерно вращается с угловой скоростьюотносительно оси, проходящей черезцентр диполя и перпендикулярной егоплечу. Определить среднюю потенциальнуюэнергиюзаряда,находящегося на расстояниии лежащего в плоскости вращения, завремя,равноеполупериоду(от до).В начальный момент времени считать.(Ответ:).

208.Два диполя с электрическими моментамиинаходятся на расстояниидруг от друга. Найти силу их взаимодействия,если оси диполей лежат на одной прямой. (Ответ:).

209.Два диполя с электрическими моментамиинаходятсяна расстояниидруг от друга, так что оси диполей лежатна одной прямой. Вычислить взаимнуюпотенциальную энергию диполей,соответствующую их устойчивомуравновесию. (Ответ: ).

210.Диполь с электрическим моментомприкреплен к упругой нити (рис. 2.7). Когдав пространстве, где находится диполь,было создано электрическое поленапряженностью,перпендикулярно плечу диполя и нити,диполь повернулся на угол.Определить момент силы М, которыйвызывает закручивание нити на 1рад.(Ответ: ).

211.Диполь с электрическим моментомприкрепленк упругой нити (рис. 2.7). Когда в пространстве,где находится диполь, было созданоэлектрическое поленапряженностью ,перпендикулярно плечу диполя и нити,диполь повернулся на малый угол.Определить момент силы М, которыйвызывает закручивание нити на 1рад.(Ответ:).

212.Диполь с электрическим моментом находится в однородном электрическомполе напряженностью.Вектор электрического момента составляетуголслиниями поля. Какова потенциальнаяэнергия П поля? Считать,когда вектор электрического моментадиполя перпендикулярен линиям поля.(Ответ:).

213.Диполь с электрическим моментом свободноустанавливается в однородном электрическомполе напряженностью.Вычислить работу А, необходимую длятого, чтобы повернуть диполь на угол.(Ответ: ).

214.Диполь с электрическим моментом свободно установился в однородномэлектрическом поле напряженностью.Определить изменение потенциальнойэнергиидиполя при повороте его на угол.(Ответ: ).

215.Перпендикулярно плечу диполя сэлектрическим моментом возбуждено однородное электрическоеполе напряженностью.Под действием сил поля диполь начинаетповорачиваться относительно оси,проходящей через его центр. Найти угловуюскоростьдиполя в момент прохождения им положенияравновесия. Момент инерции диполяотносительно оси, перпендикулярнойплечу ипроходящейчерез его центр.(Ответ: ;).

216.Диполь с электрическим моментом свободноустановился в однородном электрическомполе напряженностью.Диполь повернули на малый угол ипредоставили самому себе. Определитьчастоту собственных колебаний диполяв электрическом поле. Момент инерциидиполя относительно оси, проходящейчерез его центр.(Ответ: ).

217.Диполь с электрическим моментом находится в неоднородном электрическомполе. Степень неоднородности поляхарактеризуется величиной,взятой в направлении оси диполя. ВычислитьсилуF,действующую на диполь в этом направлении.(Ответ:).

218.Диполь с электрическим моментом установился вдоль силовой линии в полеточечного зарядана расстоянииот него. Определить для этой точкивеличину,характеризующую степень неоднородностиполя в направлении силовой линии и силуF,действующую на диполь.(Ответ: ;).

219.Диполь с электрическим моментомустановилсявдоль силовой линии в поле, созданномбесконечной прямой нитью, заряженнойбесконечной прямой нитью, заряженнойс линейной плотностьюнарасстоянииот нее. Определить в этой точке величину,характеризующую степень неоднородностиполя в направлении силовой линии и силуF,действующую на диполь.(Ответ:;).

220.Диполь с электрическим моментомобразовандвумя точечными зарядамии.Найти напряженность Е и потенциалэлектрического поля в точке В (рис. 2.6),находящихся на расстоянииот центра диполя.(Ответ:;).

221.Электрический момент диполя .Определить напряженность Е и потенциалполя, созданного в точке В (рис. 3.6),находящейся на расстоянииот центра диполя. (Ответ:;).

222.Определить напряженность Е и потенциалполя, создаваемого диполем с электрическиммоментомна расстоянииот центра диполя, в направлении,составляющем уголсвектором электрического момента.(Ответ:;).

223.Диполь с электрическим моментом равномерно вращается с угловой скоростьюотносительнооси, проходящей через центр диполя иперпендикулярной его плечу. Определитьсреднюю потенциальную энергиюзаряда,находящегося на расстояниии лежащего в плоскости вращения, втечение времени.Вначальный момент времени считать .(Ответ:).

224.Диполь с электрическим моментом свободно устанавливается в однородномэлектрическом поле напряженностью.Вычислить работу А, необходимую длятого, чтобы повернуть диполь на угол.(Ответ: ).

225.Диполь с электрическим моментом свободно установился в однородномэлектрическом поле напряженностью.Определить изменение потенциальнойэнергиидиполя при повороте его на угол.(Ответ: ).

226.Молекула HFобладает электрическим моментом .Межъядерное расстояние .Найти заряд такого диполя и объяснить, почемунайденное значениесущественно отличается от значенияэлементарного заряда.(Ответ: ).

227.Точечный заряд находится на расстоянииот точечного диполя с электрическиммоментом.Определить потенциальную энергию П исилуFих взаимодействия в случае, когдаточечный заряд находится на оси диполя.(Ответ: ;).

228.Точечный заряд находится на расстоянииот точечного диполя с электрическиммоментом.Определить потенциальную энергию П исилуFих взаимодействия в случае, когдаточечный заряд находится на перпендикулярек оси диполя. (Ответ:;).

229.Два диполя (рис. 2.8) с электрическимимоментаминаходятся на расстояниидруг от друга(─ плечо диполя). Определить потенциальнуюэнергию П взаимодействия диполей.(Ответ: ).

230.Два одинаково ориентированных диполя(рис. 2.9) с электрическими моментами находятся на расстояниидруг от друга(─ плечо диполя). Определить потенциальнуюэнергию П и силуFвзаимодействия диполей.(Ответ:;).

Источник: https://studfile.net/preview/3015359/page:3/

Примеры решения задач 3 страница. 1-й способ. Элементарная работа при повороте диполя на угол α

Как определить работу внешних сил для поворота диполя...

1-й способ. Элементарная работа при повороте диполя на угол α

dA=Md =pE sin d ,

а полная работа при повороте на угол от до

Произведя интегрирование, получим

(1)

Работа внешних сил при повороте диполя по часовой стрелке

мкДж,

против часовой стрелки

мкДж.

2-й способ. Работа А внешних сил связана с изменением потен­циальной энергии Δ соотношением A=Δ = – , где и – потенциальные энергии системы соответственно в начальном и конечном состояниях. Так как потенциальная энергия диполя в электрическом поле выражается формулой = – рЕ cos ,то

(2)

что совпадает с формулой (1), полученной первым способом.

Пример 20. Определить электрическую емкость С плоского конденсатора с двумя слоями диэлектриков: фарфора толщиной d1=2 мм и эбонита толщиной d2= 1,5 мм, если площадь S пластин равна 100 см2.

Решение. Емкость конденсатора, по определению, C=Q/U , где Q — заряд на пластинах конденсатора; U — разность потенциалов пластин. Заменив в этом равенстве общую разность потенциалов U конденсатора суммой U1+U2напряжений на слоях диэлектриков, получим

C=Q/(U1+U2). (1)

Приняв во внимание, что Q=σS, U1= Е1d1= и U2=E2d2= , равенство (1) можно переписать в виде

(2)

где σ — поверхностная плотность заряда на пластинах; Е1 и Е2 — напряженности поля в первом и втором слоях диэлектрика соответственно; D — электрическое смещение поля в диэлектриках.

Умножив числитель и знаменатель равенства (2) на ε0 и учтя, что D=σ,окончательно получим

Сделав вычисления по последней формуле (диэлектрические проницаемости фарфора – ; эбонита – ), найдем

.

Пример 21. Два плоских конденсатора одинаковой электроемкости С12соединены в батарею последовательно и подключены источнику тока с электродвижущей силой E.

Как изменится разность потенциалов U1 на пластинах первого конденсатора, если пространство между пластинами второго конденсатора, не отключая источника тока, заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью =7?

Решение. До заполнения второго конденсатора диэлектриком разность потенциалов на пластинах обоих конденсаторов была одинакова: U1=U2= E / 2. После заполнения электроемкость второго конденсатора возросла в ε раз:

=εC2=εC.

Электроемкость С первого не изменилась, т. е. =C.

Так как источник тока не отключался, то общая разность потенциалов на батарее конденсаторов осталась прежней, она лишь перераспределилась между конденсаторами. На первом конденсаторе

U1'=Q/C1'=Q/C, (1)

где Q — заряд на пластинах конденсатора. Поскольку при последовательном соединении конденсаторов заряд на каждой пластине и на всей батареи одинаков, то

Q = С'бат E

где — емкость батареи. Таким образом,

E.

Подставив это выражение заряда в формулу (1), найдем

E E .

Чтобы найти, как изменилась разность потенциалов на пластинах первого конденсатора, вычислим отношение:

U'1/U1=2ε/(1+ε).

После подстановки значения ε получим

U'1/U1=1,75.

Следовательно, разность потенциалов на пластинах первого конденсатора после заполнения второго конденсатора диэлектриком возросла в 1,75 раза.

Пример 22.Конденсатор электроемкостью C1=З мкФ былзаряжен до разности потенциалов U1=40В. После отключения oт источника тока конденсатор был соединен параллельно с другим незаряженным конденсатором электроемкостью С2=5мкФ. Определить энергию ΔW,израсходованную на образование искры в момент присоединения второго конденсатора.

Решение. Энергия, израсходованная на выбрасывание искры, равна

ΔW=W1 – W2 (1)

где W1- энергия, которой обладал первый конденсатор до, присоединения к нему второго конденсатора; W2 — энергия, которую имеет батарея, составленная из первого и второго конденсаторов.

Подставив в равенство (1) формулу энергии заряженного конденсатора W=CU2/2и приняв во внимание, что общая электроемкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме электроемкостей отдельных конденсаторов, получим

(2)

где С1 и С2 — электроемкости первого и второго конденсаторов; U1- разность потенциалов, до которой был заряжен первый конденсатор; U2 — разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов U2следующим образом: Подставив это выражение U2в формулу (2), получим

После простых преобразований найдем

Выполнив вычисления, получим ΔW=1,5мДж.

Пример 23. Плоский воздушный конденсатор с площадью S пластины, равной 500 см2, подключен к источнику тока, ЭДС которого равна 300 В.

Определить работу А внешних сил по раздвижению пластин от расстояния d1= 1 см до d2=3см в двух случаях: 1) пластины перед раздвижением отключаются от источника тока; 2) пластины в процессе раздвижения остаются подключенными к нему.

Решение. 1-й случай. Систему двух заряженных и отклюенных от источника тока пластин можно рассматривать как изолированную систему, по отношению к которой справедлив закон сохранения энергии. В этом случае работа внешних сил равна изменению энергии системы:

A=ΔW=W2 – W1,(1)

где W2 — энергия поля конденсатора в конечном состоянии (пластины находятся на расстоянии d2); W1- энергия поля в начальном состоянии (пластины находятся на расстоянии d1).

Энергию в данном случае удобно выразить через заряд Q на пластинах, так как заряд пластин, отключенных от источника при их раздвижении, не изменяется. Подставив в равенство (1) выражения

W2=Q2/ (2С2) и W1 =Q2/(2С1),

получим

или

Выразив в этой формуле заряд через ЭДС E источника тока и начальную электроемкость С1 (Q=C1 E), найдем

E2 . (2)

Подставляя в формулу (2) выражения электроемкостей (C10S/dC20S/d2)плоского конденсатора, получим

E2

После сокращения на ε0S формула примет вид

A=ε0S E2(d2 – d1)/2d12 . (3)

Произведя вычисления по формуле (3), найдем A= 3,98 мкДж.

2-й случай. Пластины остаются подключенными к источнику тока и система двух пластин уже не является изолированной (заряд с пластин при их раздвижении перемещается к клеммам батареи). Поэтому воспользоваться законом сохранения энергии в этом случае нельзя.

Заметим, что при раздвижении пластин конденсатора: а) разность их потенциалов остается неизменной (U= E); б) емкость будет уменьшаться (С= ε0S/d).

Будут уменьшаться также заряд на пластинах (Q=CU)и напряженность электрического поля (Е = U/d).

Так как величины Е и Q, необходимые для определения работы, изменяются, то работу следует вычислять путем интегрирования.

Напишем выражение для элементарной работы:

dA=QE1dx, (4)

где E1- напряженность поля, создаваемого зарядом одной пластины.

Выразим напряженность поля E1и заряд Q через расстояние х между пластинами:

E1= 1/2Е = E/ 2х и Q = C E, или Q = ε0SE/x.

Подставив эти выражения EQ в равенство (4), получим

dA= E2dx.

Проинтегрировав это равенство в пределах от d1 до d2,найдем выражение искомой работы:

E 2 E 2 E 2.

После упрощений последняя формула примет вид

A=ε0S E 2(d2 – d1)/(2d1d2).

Сделав вычисления по полученной формуле, найдем

А=1,33мкДж.

Пример 24. Плоский конденсатор заряжен до разности потенциалов U= 1 кВ. Расстояние d между пластинами равно 1 см. Диэлектрик – стекло ( ). Определить объемную плотность энергии поля конденсатора.

Решение. Объемная плотность энергии поля конденсатора

,(1)

где W — энергия поля конденсатора; V- объем, занимаемый полем, т. е. объем пространства, заключенного между пластинами конденсатора.

Энергия поля конденсатора определяется по формуле

W=CU2/ 2,(2)

где U — разность потенциалов, до которой заряжены пластины конденсатора; С — его электроемкость. Но C=εε0S/d, V=Sd. Подставив выражение С в формулу (2) и затем выражения W и V в формулу (1), получим

=εε0U2/ (2d2).

Подставив значения величин в последнюю формулу и вычислив, найдем

=0,309 Дж/м3.

Пример 25. Металлический шар радиусом R=3cм несет заряд Q=20 нКл. Шар окружен слоем парафина ( ) толщиной d=2см. Определить энергию W электрического поля,заключенного в слое диэлектрика.

Решение. Так как поле, созданное заряженным шаром, является неоднородным, то энергия поля в слое диэлектрика распределена неравномерно. Однако объемная плотность энергии будет одинакова во всех точках, отстоящих на равных расстояниях от центра сферы так как поле заряженного шара обладает сферической симметрией.

Выразим энергию в элементарном сферическом слое диэлектрика объемом dV: dW=wdV,где w — объемная плотность энергии (рис. 39).

Полная энергия выразится интегралом

, (1)

где r- радиус элементарного сферического слоя; dr- его толщина. Объемная плотность энергии определяется по формуле w = εε0Е2/2,где Е – напряженность поля. В нашем случае и, следовательно,

Подставив это выражение плотности в формулу (1) и вынеся за знак интеграла постоянные величины, получим

произведя вычисления по этой формуле, найдем

W=12 мкДж.

Пример 26. Определить заряд Q, прошедший по проводу с сопротивлением R=3Ом при равномерном нарастании напряжения на концах провода от U0=2В до U =4В в течение t=20с.

Решение. Так как сила тока в проводе изменяется, то воспользоваться для подсчета заряда формулой Q=It нельзя. Поэтому возьмем дифференциал заряда dQ=Idt и проинтегрируем:

(1)

Выразив силу тока по закону Ома, получим

(2)

Напряжение U в данном случае переменное. В силу равномерности нарастания оно может быть выражено формулой

U= U0+kt, (3)

где k — коэффициент пропорциональности. Подставив это выражение U в формулу (2), найдем

Проинтегрировав, получим

. (4)

Значение коэффициента пропорциональности k найдем из формулы (3), если заметим, что при t= 20 с U=4В:

k=(U – U0)/t=0,1B/c.

Подставив значения величин вформулу (4), найдем

Q=20Кл.

Пример 27. Потенциометр с сопротивлением R= 100Ом подключен к источнику тока, ЭДС E которого равна 150 В и внутреннее сопротивление r = 50 Ом (рис. 40).

Определить показание вольтметра с сопротивлением RB=500Ом, соединенного проводником с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом с серединой обмотки потенциометра.

Какова разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключенном вольтметре?

Решение. Показание U1 вольтметра, подключенного к точкам А и В (рис. 40), определяется по формуле

U1=I1R1, (1)

где I1 — сила тока в неразветвленной, части цепи; R1- сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра.

Силу тока I1 найдем по закону Ома для всей цепи:

I1=E/(R+r), (2)

где R — сопротивление внешней цепи.

Внешнее сопротивление R есть сумма двух сопротивлений:

R=R/2+R1. (3)

Сопротивление R1параллельного соединения может быть найдено по формуле откуда

Rl= RRB/(R + 2RB).

Подставив в эту формулу числовые значения величин и произведя вычисления, найдем

Rl=45,5Ом.

Подставив в выражение (2) правую часть равенства (3), определим силу тока:

E =1,03 А

Если подставить значения I1 и R1в формулу (1), то найдем показание вольтметра: U1=46,9В.

Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметре равна произведению силы тока I2 на половину сопротивления потенциометра, т. е. U2 =I2(R/2),или ·E.

Подставив сюда значения величин E, r и R получим

U2=50В.

Пример 28. Источники тока с электродвижущими силами E1и E2включены в цепь, как показано на рис. 41. Определить силы токов, текущих в сопротивлениях R2 и R3, если E1= 10 В иE2=4В, а R1=R4=2 Оми R2=R3=4Ом. Сопротивлениями источников тока пренебречь.

Решение. Силы токов в разветвленной цепи определяют с помощью законов Кирхгофа. Чтобы найти четыре значения силы токов, следует составить четыре уравнения.

Перед составлением уравнений по закону Кирхгофа необходимо, во-первых, выбрать произвольно направления токов, текущих через сопротивления, указав их стрелками на чертеже, и, во-вторых, выбрать направление обхода контуров (последнее только для составления уравнений по второму закону Кирхгофа).

Выберем направления токов, как они показаны на рис. 41, и условимся обходить контуры по часовой стрелке.

Рассматриваемая в задаче схема имеет два узла: А и В. Но составлять уравнение по первому закону Кирхгофа следует только для одного узла, так как уравнение, составленное для второго узла, будет следствием первого уравнения.

При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа необходимо соблюдать правило знаков: ток, подходящий к узлу, входит в уравнение со знаком плюс; ток, отходящий от узла, — со знаком минус.

По первому закону Кирхгофа для узла В имеем

I1+I2+I3 – I4=0.

Недостающие три уравнения получим по второму закону Кирхгофа.

Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму закону Кирхгофа, также меньше числа контуров (в нашем случае контуров шесть, а независимых уравнений три).

Чтобы найти необходимое число независимых уравнений, следует придерживаться правила: выбирать контуры таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо соблюдать следующее правило знаков:

а) если ток по направлению совпадает с выбранным направлением обхода контуров, то соответствующее произведение IR входит в уравнение со знаком плюс, в противном случае произведение IR входит в уравнение со знаком минус,

б) если ЭДС повышает потенциал в направлении обхода контура, т.е. если при обходе контура приходится идти от минуса к плюсу внутри источника, то соответствующая ЭДС входит в уравнение со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус.

По второму закону Кирхгофа имеем соответственно для контуров AR1BR2A, AR1BR3A, AR3BR4A:

I1R1 – I2R2=E1 – E2 ,(1)

I1R1 – I3R3=E1 , (2)

I3R3 + I4R4=0. (3)

Подставив в равенства (1)-(3) значения сопротивлений и ЭДС, получим систему уравнений:

I1+I2+I3 – I4=0,

2I14I2=6,

2I14I3=10,

4I3+2I4=0.

Поскольку нужно найти только два тока, то удобно воспользоваться методом определителей (детерминантов). С этой целью перепишем уравнения еще раз в следующем виде:

I1+I2+I3-I4=0,

2I14I2+0+0=6,

2I1+04I3+0=10,

0+0+4I3+2I4=0.

Искомые значения токов найдем из выражений

I2=ΔI2/Δи I3=ΔI3/Δ,

где Δ- определитель системы уравнений; ΔI2и ΔI3 — определители, полученные заменой соответствующих столбцов определителя столбцами, составленными из свободных членов четырех вышеприведенных уравнений, находим

Отсюда получаем

I2=0; I3 = -1 А.

Знак минус у значения силы тока I3 свидетельствует о том, что при произвольном выборе направлений токов, указанных на рисунке, направление тока I3было указано противоположно истинному. На самом деле ток I3 течет от узла В к узлу А.

Пример 29. Сила тока в проводнике сопротивлением R=20 Ом нарастает в течение времени Δt=2 с по линейному закону от I0=0 до Imax=6 А (рис. 42). Определить количество теплоты Q1, выделившееся в этом проводнике за первую секунду, и Q2 — за вторую, а также найти отношение этих количеств теплоты Q2/Q1.

Решение. Закон Джоуля — Ленца Q=I2Rt применим в случае постоянного тока (I =const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в виде

dQ= I2Rdt. (1)

Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В нашем случае

I=kt, (2)

где k — коэффициент пропорциональности, равный отношению приращения силы тока к интервалу времени, за который произошло это приращение:

k=ΔI/Δt=3 А/с.

С учетом равенства (2) формула (1) примет вид

dQ=k2Rt2dt. (3)

Для определения количества теплоты, выделившегося за конечный промежуток времени Δt,выражение (3) следует проинтегрировать в пределах от t1до t2:

При определении количества теплоты, выделившегося за первую секунду, пределы интегрирования t1=0, t2= 1 с и, следовательно,

Q1=60 Дж,

а за вторую секунду — пределы интегрирования t1= 1 с, t2=2с и тогда

Q2=420 Дж.

Следовательно,

Q2/Q1=7,

т. е. за вторую секунду выделится теплоты в 7 раз больше, чем за первую секунду.


Таблица вариантов

Источник: https://studopedia.su/15_12453_primeri-resheniya-zadach.html

Диполь в поле и поле диполя

Как определить работу внешних сил для поворота диполя...
Основные вопросы электростатики: Какое поле создаёт данное распределение зарядов и какая сила действует на эти заряды во внешнем поле? Относительно точечного заряда эти вопросы решаются известными всем формулами школьного курса. Следующий важный и простой объект электростатики – это, конечно, диполь.

Диполь – это два разноимённых, равных по величине  точечных заряда, расположенных на фиксированном расстоянии l друг от друга. Диполь характеризуется дипольным моментом p = qL            (1)
где  l – вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному.

Интерес к диполю связан, в частности, с тем, что молекулы многих веществ обладают дипольным моментом, а кроме того, молекулы всех веществ приобретают дипольный момент во внешнем электрическом поле. И макроскопические тела (как проводящие, так и не проводящие ток) во внешнем поле поляризуются, т.е. приобретают дипольный момент.

Важнейшие приложения представленных здесь результатов – это поля в диэлектрике. Поставим самые напрашивающиеся вопросы в заявленной теме и попытаемся их разрешить. Никакой особой математики, выходящей за рамки школьного курса, нам не понадобится. Производную от функции Ф(х) будем обозначать  dФ/dх.

Для удобства записи некоторых результатов мы будем использовать скалярное произведение векторов.

Напомним, что  a · b = a · b  · cos α, где α – угол между векторами. Размерную константу в законе Кулона мы обозначаем

Диполь в поле  (простые задачи)

1. Какие силы действуют на диполь в однородном электрическом поле?
Пусть диполь p находится в поле напряжённостью E,   пусть вектор дипольного момента составляет угол α с вектором напряжённости поля. Легко видеть, что на диполь в этом случае действует пара сил с моментом
М = qElsin α = pEsin α, которая стремится ориентировать диполь вдоль силовых линий поля. Так что если диполь может вращаться, то он сориентируется указанным образом. Заметим, что у диполя есть и другое положение равновесия, когда он сориентирован противоположным образом, но это положение неустойчиво.
2. Какова энергия диполя в однородном поле?
Как всегда, в задачах, где речь идёт о потенциальной энергии, надо сначала условиться, откуда мы будем эту энергию отсчитывать. Пусть мы отсчитываем её от указанного выше равновесного положения. Тогда энергия – это работа, которую совершат силы поля при вращении диполя вокруг своего центра от исходного положения, характеризуемого углом α (см. рис. к п. 1),  до равновесного. Напомним, что работа связана только с перемещением заряда вдоль направления E. Заряды диполя при таком вращении сместятся вдоль линий поля (в разные стороны) на l (1– cos α)/2. Поэтому искомая энергия W = qEl (1 – cos α) = pE(1 – cos α).
Но чаще в учебниках по электричеству предпочитают в этой задаче полагать, что W = 0 в том положении диполя, когда вектор p  перпендикулярен E. В этом случае
W = –qEl cos α = –pE. Высказанное в конце п. 1 утверждение можно теперь сформулировать и иначе: диполь стремится занять теперь положение с минимальной энергией. Так, дипольные молекулы диэлектрика во внешнем поле стремятся все сориентироваться указанным образом (а тепловое движение мешает им в этом).

3. Теперь пусть диполь, сориентированный вдоль линий поля,  находится в неоднородном поле. Тогда, как легко видеть, на него вдоль линий поля действует сила, направленная в сторону увеличения величины поля:    

(индексы «+» и «–» помечают тот заряд диполя, к которому относится соответствующая физическая величина). Именно эта сила объясняет самый простой опыт, в котором заряженное тело (независимо от знака заряда) притягивает мелкие кусочки бумаги.

Поле диполя

4. Прежде чем заняться расчётом поля диполя, остановимся на общих моментах. Пусть, например, нас интересует гравитационное поле какого-то астероида неправильной формы. Поле в непосредственной близости от астероида можно получить только путём компьютерного расчёта. Но, чем дальше мы отходим от астероида, тем с большей точностью мы можем рассматривать его как материальную точку (поле которой мы знаем). При стремлении к большей математической строгости надо было сказать, что мы знаем асимптотическое поведение поля при С похожей ситуацией мы сталкиваемся и в электростатическом поле. Электростатическое поле по своим свойствам очень похоже на гравитационное (потому что аналогичны фундаментальные законы: закон Кулона и закон всемирного тяготения), но, если так можно сказать, «богаче» его. Ведь электрические заряды могут быть двух типов, между ними возможно и притяжение, и отталкивание, а между «гравитационными зарядами» (т.е. массами)  возможно только притяжение.

Будем считать, что в какой-то ограниченной области распределены положительные и отрицательные точечные заряды q1, q2, … , qn. Полный заряд системы

                                                                                        (2) Мы уже понимаем, что при Q ≠ 0 поле при больших r переходит в поле точечного заряда Q. Но возникает очень важный для нас вопрос: каким будет поле на больших расстояниях, если полный заряд Q = 0?  Самое простое распределение точечных зарядов с Q = 0 – это и есть диполь. Вот почему изучение поля диполя несёт в себе важные принципиальные моменты.

Итак, нас будут в основном интересовать такие ситуации, когда все характерные размеры r весьма велики по сравнению с расстоянием l между зарядами диполя. Эту ситуацию можно описать двояко.

Во-первых, мы можем всегда иметь в виду, что заряды расположены на конечном расстоянии l друг от друга, и интересоваться поведением полученных решений при Но можно и п росто говорить о точечном диполе с определённым дипольным моментом p, тогда все наши результаты справедливы при любом r > 0 (две эти точки зрения, конечно, эквивалентны).

Мы будем использовать известные всем формулы для полей точечных зарядов и в полученных выражениях учитывать, что l мало. Поэтому напомним формулы приближённых вычислений: если  , то
Везде в выкладках знак «≈» будет указывать на то, что мы воспользовались этими формулами в случае малого параметра (малый параметр в рассматриваемых задачах – это l/r).
5. Качественная картинка силовых линий поля диполя хорошо известна, приводится во многих учебниках, и мы не будем её здесь приводить. Хотя и расчёт поля в произвольной точке несложен, мы всё же ограничимся расчётом потенциала и напряжённости вдоль двух выделенных направлений. Совместим начало системы координат с центром диполя, ось х направим вдоль вектора p, а ось Y – перпендикулярно  (при этом заряды диполя отстоят от начала координат на расстояние ). Будем считать, что в бесконечно удалённой точке  
6. Рассчитаем напряжённость поля диполя на оси Y.
По принципу суперпозиции, E = E+ +  E–,  где E+ и  E– – векторы напряжённости полей отдельных зарядов. Из подобия треугольников: 
что можно записать как 
Теперь скажем о ходе потенциала вдоль оси Y. По­скольку в любой точке оси Y вектор E перпендикулярен оси, то при перемещении какого-то заряда вдоль этой оси поле диполя никакой работы не совершает, и следовательно, в любой точке этой оси
7. Вычислим потенциал j поля в произвольной точке оси х. По принципу суперпозиции, он равен сумме потенциалов и  созданных положительным и отрицательным зарядами.                         Пусть х > 0, тогда:

                            (3)

(выражение для (х) для х < 0 будет c другим знаком).
Из симметрии задачи ясно, что на оси х вектор напряжённости поля E имеет только составляющую Ех. Её можно вычислить, исходя из известной формулы, связывающей напряжённость поля и потенциал:
                                                                                                               (4)
но в школьном курсе формулу (4) обычно обходят стороной, поэтому вычислим Ех непосредственно: или

Итак, при удалении от диполя по оси х или по оси y поле спадает как r–3. Можно доказать, что так же ведёт себя поле по любому направлению.

Выражение для потенциала в произвольной точке приведём без вывода:   (т.е. при удалении

по любому направлению, кроме оси Y, потенциал спадает как r–2). Убедитесь, что в частных случаях эта формула приводит к уже известным нам результатам.

8. Отступление. Вспомним, что у бесконечной равномерно заряженной плоскости напряжённость поля не зависит от расстояния от плоскости (или, если угодно, спадает как r0). У точечного заряда – убывает как r–2. У диполя, как мы выяснили, убывает на бесконечности как r–3. Попробуйте догадаться, у какого распределения зарядов напряжённость поля  убывает как  r–1;  r–4.

Взаимодействие диполя с другими зарядами

9. Теперь рассмотрим взаимодействие диполя и точечного заряда q′ (пусть q′ > 0). Рисунок в значительной степени повторяет рисунок в п. 5.  Там мы рассчитали напряжённость поля диполя и, следовательно, уже знаем, какая сила  действует на точечный заряд. Заметим, что это взаимодействие являет нам простейший пример нецентральных сил (вспомните, где в школьном курсе встречаются нецентральные силы между частицами).
Но ещё остались вопросы: какая сила действует на диполь? где она приложена? Можно ответить на эти вопросы сразу, без раздумий. Искомая сила F, по третьему закону Ньютона, должна быть равна  – F ′ и должна быть приложена на одной прямой с  F ′. Быть может, кого-то удивит, что равнодействующая двух сил, действующих на заряды  +q  и  –q  диполя, оказалась приложена где-то в стороне от диполя. Что это значит? Ничего не значит. А что значит, что равнодействующая сил тяжести, действующих на бублик, приложена в центре дырки? Равнодействующая двух сил никакого особого смысла не имеет, она просто во всех отношениях заменяет несколько (или даже бесчисленное множество) сил в фундаментальных уравнениях механики. (Объективности ради отметим, что есть весьма известные авторы, для которых такая точка зрения неприемлема. Они предпочитают говорить, что на диполь со стороны точечного заряда действует сила, приложенная к самому диполю, и ещё момент сил).
10. Найдите силу и энергию взаимодействия двух диполей, у которых векторы р1  и  р2 лежат на одной прямой. Расстояние между диполями x.
Сосчитаем суммарную энергию зарядов второго диполя в поле первого (см. п. 7):  Ясно, что диполи, обращённые друг к другу разноимёнными полюсами (как на рисунке), притягиваются (этому соответствует знак «–» в выражении для W), при перевороте одного из диполей энергия сменит знак.

Не будем больше воспроизводить довольно однообразные выкладки и сразу выпишем выражение для величины силы взаимодействия этих диполей (проверьте!):  

11. Найдите энергию взаимодействия двух диполей, у которых  р1 лежит на прямой, соединяющей  диполи, а р2  перпендикулярен к ней. Расстояние между диполями x. (Проверьте себя – ответ очевиден.)
12. Найдите энергию взаимодействия двух диполей, у которых векторы р1 и р2 параллельны друг другу  и оба перпендикулярны оси х, на которой расположены диполи.

 Дополнительные замечания
13. Итак, диполь являет нам простейший пример системы зарядов с полным зарядом Q = 0. Как мы видели, потенциал поля диполя на больших расстояниях от него убывает как r–2. Нельзя ли обобщить этот результат на более общий случай? Можно обобщить понятие дипольного момента так, чтобы оно характеризовало любое распределение зарядов. В частности, для системы n точечных зарядов дипольный момент определяют так: 

                                      .                                     (5)

Легко видеть, что эта величина аддитивна. Можно доказать, что Р при Q = 0 не зависит от выбора начала отсчёта. Убедитесь, что в частном случае эта формула переходит в (1).

Сосчитайте дипольный момент Р ряда простых распределений зарядов (во всех случаях расстояние между ближайшими зарядами l). Можно было бы вести речь и о непрерывных распределениях зарядов, но тогда вместо сумм в (2) и (5) пришлось бы писать интегралы по объёму.

Полученные выше результаты подсказывают нам, в чём значение дипольного момента. И действительно,  можно в общем случае доказать, что чем дальше мы отойдём от произвольной системы зарядов с полным зарядом Q = 0  и дипольным моментом Р ≠ 0, тем её поле будет ближе к рассмотренному нами полю элементарного диполя с дипольным моментом  Р.

Можно было бы пойти по этому пути дальше и рассмотреть поле системы зарядов с Q = 0 и P = 0. Один из самых простых примеров такой системы представлен на рис. а – это так называемый квадруполь. Потенциал поля квадруполя убывает на бесконечности как r–3.     Ряд «точечный заряд – диполь – квадруполь…» можно продолжать и далее. Общее название таких объектов мультиполь. Но мы на этом остановимся.

14. При помещении атома в электрическое поле силы, приложенные к ядру и к электронной оболочке, направлены в разные стороны. Под действием этих сил атом приобретает дипольный момент Р, совпадающий по направлению с направлением напряжённости внешнего поля Е0.

Конечно, молекулы тоже приобретают во внешнем поле дипольный момент (но для них, вообще говоря,  несправедливо предыдущее утверждение о направлении вектора Р). Но многие молекулы имеют дипольные моменты и в отсутствие внешнего поля. Причём эти собственные дипольные моменты обычно намного превышают наведённые моменты (если говорить об обычных, достижимых в лаборатории полях). Для множества процессов в природе (в частности, для существования жизни) чрезвычайно важно, что у молекулы воды есть дипольный момент.

 «Трудно вообразить, на что был бы похож мир, если бы атомы в молекуле Н2О были расположены по прямой линии, как в молекуле СО2; вероятно, наблюдать это было бы некому» (Э.Парселл. Электричество и магнетизм. – М., 1975).

Ответы

К п. 8. Система зарядов, у которой напряжённость поля убывает на бесконечности как  r–1, – это бесконечная равномерно заряженная нить.

К п. 11. При перемещении первого диполя вдоль оси х на его заряды действуют со стороны второго диполя силы, перпендикулярные этой оси, т.е. никакая работа при этом не совершается, значит, W = 0.
К п. 12. Для упрощения расчёта надо удачно выбрать способ перевода одного из диполей из бесконечности в интересующее нас состояние. Удобно сначала перемещать его вдоль оси х, ориентировав его вектор дипольного момента вдоль оси (при этом работа сил взаимодействия диполей равна нулю), а потом повернуть его на 90°. При повороте второго диполя внешние силы должны совершить работу (см. п. 2) .  Это и есть энергия взаимодействия диполей.
К п. 13. Дипольные моменты равны:  а) 0;  б) 2qlj;
в) 0;  г) –3qli (здесь i  и j – единичные векторы в направлениях осей X и Y соответственно).

Источник: https://fiz.1sept.ru/article.php?ID=200802211

Поведение диполя во внешнем электрическом поле

Как определить работу внешних сил для поворота диполя...

потенциал и напряженность поля диполя на больших расстояниях от него

Формулу для Е (без вывода) приводим только для того, чтобы отметить, что и потенциал, и напряженность поля диполя убывают быстрее (j~ 1/ r2 , E~ 1/r3), чем в случае одиночного заряда (j~ 1/r, Е~ 1/r2).

Поведение диполя во внешнем электрическом поле.

Однородное поле. Внесем диполь в однородное внешнее электрическое поле с напряженностью Е. На заряды диполя будут действовать силы F1 = F2 = qE .

Разложим их на составляющие F1¢, F1¢¢ и F2¢, F2¢¢ (см. рис.).

Составляющие F1¢¢ и F2¢¢ стремятся растянуть диполь, а составляющие F1¢ и F2¢ создают вращающие моменты и поворачивают диполь (по часовой стрелке) до тех пор, пока он не расположится вдоль силовой линии.

М1 = М2 – вращающие моменты (моменты сил), векторы моментов направлены от нас чертежу; результирующий момент равен М = М1 + М2= 2qE(l/2)sina. Учитывая, что рэл = ql, получим:

вращающий момент (момент сил), действующий на диполь во внешнем поле в скалярной и векторной формах

Таким образом, в однородном внешнем электрическом поле диполь одновременно будет растягиваться и поворачиваться до тех пор, пока не окажется в положении равновесия, при этом его дипольный момент станет параллельным вектору напряженности внешнего поля.

Неоднородное поле. В этом случае на положительный и отрицательный заряды диполя будут действовать неодинаковые силы (на рис. F2 >F1).

Найдем выражение для силы, действующей на диполь для случая, когда напряженность зависит только от одной переменной х. Пусть поле характеризуется градиентом dE/dx.

Найдем результирующую силу F = F2 F1.

изменение напряженности на отрезке l×cosa, a — угол между векторами рэл и Е

результирующая сила [12] и дипольный момент; подставляя, получим:

сила, действующая на диполь в неоднородном электрическом поле

Таким образом, в неоднородном электрическом поле диполь будет одновременно поворачиваться, растягиваться и втягиваться в область более сильного поля.

Работа по повороту диполя в однородном внешнем электрическом поле.

Если внести диполь в однородное электростатическое поле так, что его дипольный момент будет составлять угол a с вектором напряженности поля Е, силы поля F будут поворачивать диполь (на рис. – по часовой стрелке) до достижения им положения равновесия.

работа при вращательном движении, М — вращающий момент, a — угол поворота

работа по повороту диполя в однородном внешнем электростатическом поле

Если диполь из положения равновесия повернуть так, что между дипольным моментом и вектором напряженности внешнего поля образуется угол a, диполь получит запас потенциальной энергии Wпот. Так как работа равна убыли потенциальной энергии, то в общем случае получим:

Изменение потенциальной энергии диполя во внешнем электростатическом поле

Потенциальная энергия диполя во внешнем поле. Для определения константы надо принять некоторое положение диполя за нулевое (какое хочешь). Скобки в формуле – скалярное произведение указанных векторов.

Поляризация диэлектриков.

Все вещества состоят из нейтральных атомов или молекул. И в атоме, и в молекуле поровну отрицательно заряженных частиц (электронов) и положительно заряженных ядер. В тех веществах, которые образуют металлические кристаллы,

от каждого атома (или молекулы) отрываются по 1-2 электрона, атомы становятся ионами, образуя кристаллическую решетку, а электроны свободно перемещаются по всему кристаллу. Эти электроны называют свободными зарядами.

Такие вещества называют металлическими проводниками, они хорошо проводят электрический ток.. [13] Другие твердые вещества образуются из нейтральных молекул, они практически не проводят электрический ток и их называют диэлектриками (а в электротехнике — изоляторами).

Молекулы, особенно многоатомные, имеют сложное строение: ядра атомов в данной молекуле колеблются на определенных равновесных расстояниях друг от друга, вокруг них движется большая часть «своих» электронов, а часть электронов становятся «общими», и движутся вокруг всех ядер данной молекулы.

Эти общие электроны как-бы цементируют атомы, и образуется молекула. Все виды молекул, из которых состоят диэлектрики, можно отнести к двум типам: полярные молекулы и неполярные молекулы. У неполярных молекул центры тяжести отрицательных и положительных зарядов совпадают.

У полярных — эти центры смещены относительно друг друга, и полярная молекула представляет собой диполь. Примером полярной молекулы является молекула воды (см. рис.).

Если диэлектрик внести во внешнее электрическое поле, на его поверхностях появляются заряды.

Это явление называется поляризацией диэлектриков, а сами заряды называются связанными, так как они могут смещаться только в пределах самой молекулы.

При снятии внешнего поля поляризация практически мгновенно исчезает. В зависимости от того, из какого типа молекул состоит диэлектрик различают следующие типы поляризации.

1) Деформационная (электронная) поляризация наблюдается для веществ с неполярными молекулами. При внесении такого диэлектрика во внешнее электрическое поле, его молекулы растягиваются и образуют диполь с дипольным моментом рэл. При не очень сильных внешних полях рэл оказывается пропорциональным напряженности поля Е: рэл ~ Е и можно записать:

индуцированный дипольный момент одной молекулы неполярного диэлектрика

aкоэффициент поляризуемости (поляризуемость) молекулы

Примерами веществ, для которых наблюдается деформационная поляризация, являются: водород Н2, парафин, ССl4 и др.

Источник: http://fiziku5.ru/uchebnye-materialy-po-fizike/povedenie-dipolya-vo-vneshnem-elektricheskom-pole

Biz-books
Добавить комментарий